WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA
im. Jarosława Dąbrowskiego
ZAKA
AD AWIONIKI I UZBROJENIA LOTNICZEGO
Przedmiot:
PODSTAWY AUTOMATYKI I AUTOMATYZACJI
(studia I stopnia)
ĆWICZENIE RACHUNKOWE
OCENA JAKOÅšCI UKA
ADU REGULACJI AUTOMATYCZNEJ
W OPARCIU O PARAMETRY CHARAKTERYSTYK
CZASOWYCH I CZ
STOTLIWOÅšCIOWYCH.
Warszawa 2013
ĆWICZEN HUNKOWE
NIE RACH E
Temat:
Ocena jakości układu r utomatyczn ciu
regulacji au nej w oparc
o parametry ch tyk czasow otliwościow
harakteryst wych i często wych.
Podczas będą następ dnienia:
s ćwiczenia poruszane b pujące zagad
·ð dokÅ‚adność statyczna u gulacji;
d układów reg
·ð dokÅ‚adność dynamiczn kryteria: odp
d na układów regulacji (k powiedzi
s c zęstotliwośc jsc geometr
skokowej, całkowe, cz ciowe i miej rycznych
p
pierwiastków).
1. Wpro
owadzenie
Pods em stawiany wi regulacji
stawowym wymaganie ym układow i (rys.1.)
jest uzy ściu bliskiego
yskanie na jego wyjś sygnału y(t) odpowiednio b
przebieg warto zadan w(t), czyli min
gowi ości nej nimalizacji sygnału
uchybu e(t):
t y
e(ðt)ð =ð w(ðt)ð-ð y(ðt)ð (1)
Rys.1. Schema kładu regulac
R at blokowy uk cji
Ocen jakości regulacji p na analizie dw stanów układu
na polega a wóch w
regulacji:
·ð rzejÅ›cioweg ność dynam
·ð stanu pr go  dokÅ‚adn miczna;
·ð stalonego  dokÅ‚adność
·ð stanu us ć statyczna
Dok y dolność układu do w
kładność dynamiczna określa zd k wiernego
i szybkiego śledzen adanej, a do statyczna
nia zmiany wartości za okładność s
 zdolno ywania war owanej jak najbliżej
ość układu do utrzymy rtości regulo
wartości zadanej w stanie ustalonym, a więc po zakończen stanu
i w a niu
przejścio
owego.
2
W przebiegu uchybu uk e(t) (2) możn wydziel dwie
kładu na lić
składow
we:
·ð u cy g adzie
·ð uchyb ustalony eu wystÄ™pujÄ…c wtedy, gdy w ukÅ‚a dla
t®ðÄ„ð, przy danym sygnale st i ygnaÅ‚ach
m terujÄ…cym i danych sy
zakłócaj y wymusze wym uchyb ustalony
jÄ…cych. Przy eniu skokow
nosi naz o;
zwÄ™ uchybu statycznego
·ð dy je w stanie przejÅ›ciowy
·ð uchyb dynamiczny ed wystÄ™puj ym i jest
nazywan m dynamiczn
ny uchybem nym ed(t):
e e
e(ðt)ð =ð eu +ð ed (2)
Uchyby ustalo i dyn o d
one namiczne określają dokładność układu
regulacji w stanie u jściowym.
ustalonym i stanie przej
2. Dokła tyczna
adność stat
Miar dokładno statycz są uch ustalon utrzymu się
rą ości znej hyby ne, ujące
po zanik przejściowe aną wartości
ku procesu p ego, wywołanego zmia i zadanej
w(t) lub zakłócenia z(t) (rys.2 Ocena dokładnośc statycznej układu
b 2). ci ej
sprowad bu w stanie u e
dza siÄ™ do oceny uchyb ustalonym eu:
)ð
eu =ð lime(ðt)ð (3)
t®ðÄ„ð
Rys.2. Sc owy układu re kłóceniem
chemat bloko egulacji z zak
Bior pod uw działa sygnał z(t) i w(t) (rys.2) uchyb
rąc wagę anie łów w ),
regulacji e(t) można wyrazić ta umę dwóch składowyc
akże jako su ch:
t
e(ðt)ð=ð ez(ðt)ð+ð ew(ðt)ð (4)
w
gdzie:
e dąca kiem iaływania z
ez(t)  składowa będ wynik oddzi zakłóceń
(uch niowy);
hyb zakłócen
e dowa wywo ną wartości zadanej na
ew(t)  skład ołana zmian a wejściu
ukła nadążania)
adu (uchyb n
3
Wśr liniowy układów regulacji można wyróżnić dw typy
ród ych w w wa
układów
w:
·ð órych wy ustalone,
·ð ukÅ‚ady, w któ ystÄ™pujÄ… uchyby u
proporcj do ci okowego,
jonalne d wartośc wymuszenia sko
nazywan mi regulacji s
ne układam statycznej:
L(ðs)ð
s
G
Gotw(ðs)ð =ð (5)
(ð
M(ðs)ð
·ð uchyby usta muszeniu
·ð ukÅ‚ady, w których u alone przy staÅ‚ym wym
są równe zero nazy acji astatycz
ywamy układami regula znej:
L(ðs)ð
s
Gotw(ðs)ð
Go =ð (6)
(ð
sM(ðs)ð
Asta ukła względ sygnał zadające lub w
atyzm adu dem łu ego względem
zakłócen w y w tym uk elementy
nia może występować wtedy, gdy kładzie są e
całkując e od usytuow obu włączen ementów,
ce. Zależnie wania sposo nia tych ele
układ może być astatyczny względem jednych sy natomiast
m a ygnałów, n
statyczn m innych (ry
ny względem ys.3).
a) b)
Rys.3. Przebiegi od ładów regula szenie skokow
dpowiedzi ukł acji na wymus we oraz
lin tające: a) ukł u astatyczneg
niowo narast ładu statycznego b) układu go.
3. Dokła namiczna
adność dyn
Dla zapewnieni ych właściw micznych uk
ia określony wości dynam kładu nie
wystarcz wymaga stabilno Jeżeli układ jest stabilny, to wiemy
za anie ości. o
jedynie, że przebie owe w tym układzie zanikają. Ni
egi przejścio ie znamy
jednak istotnych z punktu wid lacji parametrów układ
i dzenia regul du. SÄ… to
4
m.in. rodzaj prze wartość odchyleń maksymalnyc czas
r ebiegów, w d a ch,
zanikani przebie prz h
ia egów zejściowych (czas regulacji), pasmo
częstotli rzanie s
iwości, w którym zachodzi odtwar sygnałów
wymusz zadaną dokł tp.
zających z z ładnością, it
Z od u egulatorem proporcjon na s
dpowiedzi układu z re nalnym skokową
zmianę wartości zadanej (r wid że wz wzm
rys.4) dać, zrost mocnienia
regulato zmniejs wartość uchybu ustalonego, ale równ
ora sza ć u nocześnie
powoduj bieg sygnału wego coraz b dbiega od
uje, że przeb u wyjściow bardziej odb
przebieg wartoś zadane Powod to więc zmni
gu ści ej. duje w niejszenie
dokładn micznej. Jedn o amicznej
ności dynam nocześnie ocena dokładności dyna
nie jest jednoznacz hyb ustalony
zna. O ile bowiem uch y łatwo zdefiniować
i wyznaczyć jego wartość, o tyle dokładność dynamiczną można
d Ä…
scharakt za podstawi kryteriów.
teryzować z ie różnych k
Rys.4. Odpowiedz
skokowa dla mocnień regu K
a różnych wzm ulatora (K1Kryt żna podzieli pujące grupy
teria te moż ić na następ y:
·ð arametrów odpowiedzi
·ð ocena pa i skokowej;
·ð
·ð kryteria caÅ‚kowe;
·ð oÅ›ciowe;
·ð kryteria czÄ™stotliwo
·ð ierwiastków
·ð kryteria rozkÅ‚adu pi w.
3.1. Kryterium o i skokowej
odpowiedzi
Pierw kry micznej ukł regu są
wszym yterium oceny dynam ładów ulacji
paramet charakte kokowej uk Jakoś regulacji określa
try erystyki sk kładu. ść i
się na po astępujących ów:
odstawie na h parametró
·ð rzebny, aby odpowied po raz p
·ð czas td - czas potr y dz
pierwszy
osiągnęł wartości usta
ła połowę w alonej;
·ð arastania (c wzrost t1 - cz potrzeb aby
·ð czas na czas tu) zas bny,
odpowie a od 10% do 5% do 95% lub od 0
edz
wzrosła o 90%, od 5
do 100 swoje wartośc końcow Dla układów
0% ej ci wej.
niedotłu drugiego lu wyższeg rzędu no
umionych d ub go ormalnie
wykorzy est 00%.
ystywany je czas narastania od 0% do 10 Dla
układów przetłum o odycznej)
w mionych (o odpowiedzi aperio
5
powszec wyko y
chnie orzystywany jest czas narastania od 10%
do 90%.
·ð czytowy tm  zebny aby o skokowa
·ð czas szc  czas potrz odpowiedz
s
osiągnęł y szczyt prze
Å‚a pierwszy eregulowania;
·ð malne regulowania A1 - (w procenta jest
·ð maksym przer a w ach)
maksym warto odpow mie od wartości
malną ością wiedzi, erzoną
ustalone t ono zdefin stępująco:
ej y(Ä„ð). Jest niowane nas
y(ðtm)ð-ð y(ðÄ„ð)ð
y
A1 =ð ×ð100% (7)
y(ðÄ„ð)ð
·ð gulacji ebny, k powiedzi
·ð czas reg tr - czas potrze aby krzywa odp
osiągnęł i pozostała w otoczeniu wartości u
Å‚a o w ustalonej.
Wartość tego czasu zwykle przyjmuje się jako 2% lub 5%
ć u p %
wartości ustalonej. Czas regula iązany z naj
acji jest zwi ajwiększą
stałą cza du regulacji
asową układ i
Rys.4. C tyka skokowa aznaczonymi w
Charakteryst a układu z za wskaz
nikamii jakości
regulacji.
Dla konkretneg można do oceny wybra b kilka z
go układu m ać jeden lub
wyżej wymieniony parame Parametry te są bardzo w ze
w ych etrów. ą ważne
względu większość u gulacji jest b ziedzinie
u na to, ze w układów reg badana w dz
czasu. Układ regula yć modyfikowany tak d arametry
U acji musi by długo, aż pa
odpowie wej nie osiÄ…g nych wartoÅ›
edzi skokow gną założon ści.
4. Kryte we
eria całkow
W g riów całkow ęściej stosow
grupie kryter wych najczÄ™ wanymi sÄ…:
Ä„ð
I0 0
I0 =ð ed (ðt)ðdt (8)
òð
Ä„ð
I
I1 =ð (ðt)ðdt (9)
d
òðe tt
0
6
Ä„ð
I1k =ð tked (ðt)ðdt (10)
òð
0
Ä„ð
2
I2 =ð ed (ðt)ðdt (11)
òð
0
gdzie:
ed  uchyb przejÅ›ciowy ed (ðt)ð =ð e(ðt)ð-ð eu eu =ð lim e(ðt)ð
t®ðÄ„ð
Za miarę jakości układu uważa się wartość całki I, tzn. im mniejsza
jest ta wartość, tym wyższa jest jakość regulacji układu. W stabilnych
ukÅ‚adach regulacji uchyb przejÅ›ciowy ed(t) dąży do zera dla czasu t®ðÄ„ð,
dlatego dla czasu tr przyjmuje się przedział 0Interpretację garficzna całek przedstawiono na rys.5.
Całka I1 (9) stanowi pole zawarte między krzywą uchybu regulacji
e(t), a asymptota, do której dąży ta krzywa. Całka ta może być
stosowana wyłącznie dla przebiegów aperiodycznych. W przypadku
gdy przebieg uchybu wskazuje przeregulowanie stosowane kryterium
całki I1 prowadzi do błędnych wyników.
Dla przebiegów oscylacyjnych stosuje się krytria I0 (8) i I2 (11),
ponieważ wartości tych całek nie zależą od znaku funkcji ed(t) a jedynie
od wartości bezwzględnej tej funkcji lub jej drugiej pochodnej.
Rys.5. Interpretacja graficzna całkowych kryteriów jakości regulacji:
a) układ astatyczny  przebieg aperiodyczny; b) układ astatyczny 
przebieg oscylacyjny; c) układ statyczny  przebieg aperiodyczny;
d) układ statyczny  przebieg oscylacyjny.
5. Kryteria częstotliwościowe
Na podstawie charakterystyk częstotliwościowych układu określane
sÄ…:
·ð zapas stabilnoÅ›ci (moduÅ‚u i fazy);
·ð pulsacja odciÄ™cia wðn charakterystyki widmowej części
rzeczywistej P(wð) transmitancji ukÅ‚adu zamkniÄ™tego Gz(jwð),
7
c acja, rakterystyka rzeczywi (lub
czyli pulsa przy której char a ista
s o ystawiona w punkcie przegięcia części
styczna do niej, wy w a
o ś odciętych;
opadajÄ…cej) przecina oÅ›
·ð maksymalna wartość m transmitancj ej ukÅ‚adu
m modułu Mp t ji widmowe
z
zamkniętego
Para pulsacji odcięcia i maksym m smitancji
ametry malnego modułu trans
widmow mają śc związ z przeb powiedzi s
wej cisły zek biegiem odp skokowej
układu zamknięteg Duże znaczenie ma także kształt p
go. przebiegu
charakte ęści rzeczyw
erystyki czÄ™ wistej P(wð).
R ościowe układ automatyczn
Rys.6. Kryteria częstotliwo du regulacji a nej
Ocen są również przenoszon pasmo, a więc zakres
niane ne ,
częstotli ład ięty osi
iwości, w którym ukł zamkni przeno sygnały zadane.
Miarą pasma częstotliwości przenoszon przez układ jest wartość
p nych
graniczn wðg, dla której log moduÅ‚u transm widmowej
na garytm mitancji wi
zmniejsz artości -3dB
za siÄ™ do wa B, czyli:
7
Gz(ðjwðg)ð =ð 0,707 (12)
z
6. Meto geometrycz
oda miejsc g znych
Tran u mkniętego możemy okr
nsmitancję układu zam m reślić jako stosunek
wielomi
ianów:
d(ðs)ð
G
Gz(ðs)ð =ð (13)
c(ðs)ð
8
Jeżeli założymy, że d(s) i c(s) nie mają wspólnego dzielnika, wtedy
wartości s takie, że równanie charakterystyczne c(s)=0 będą
reprezentować punkty, dla których Gz(s) jest nieskończona.
Wartości s będziemy wówczas nazywać biegunami funkcji Gz(s).
Wartości s, dla których d(s)=0 są punktami, gdzie Gz(s), są nazywane
zerami.
Istnieje ścisła relacja pomiędzy wartościami własnymi (biegunami
układu zamkniętego), a jakością regulacji. Dlatego podczas
projektowania układu regulacji należy postępować w taki sposób, aby
pewne nieznane parametry układu zostały ustalone w taki sposób, aby
rozmieszczenie pierwiastków, a przez to zapewnić odpowiednią jakość
regulacji. Najprostsza sytuacja zachodzi wówczas, gdy tylko jeden
parametr układu regulacji jest nieznany. Jeżeli uważa się ten parametr
za zmienną niezależną, to wszystkie pierwiastki stają się zmiennymi
zależnymi od tego nieznanego parametru. Wtedy na płaszczyz
nie
zmiennych zespolonych (na płaszczyz
nie s) pojawiÄ… siÄ™ tzw. krzywe
pierwiastkowe, po których poruszają się pierwiastki równania
charakterystycznego w funkcji tego parametru. Taki zbiór punktów
nazywa się miejscem geometrycznym pierwiastków.
Rozważmy układ, którego równanie charakterystyczne ma jeden
pierwiastek rzeczywisty albo pojedynczą parę pierwiastków
zespolonych sprzężonych, na który działa wymuszenie impulsowe.
Pytamy w jaki sposób zmienia się odpowiedz
impulsowa, gdy zmienia
się lokalizacja wartości własnych na płaszczyz
nie s.
1
Jeżeli Gz(ðs)ð =ð to odpowiedz
impulsowa będzie funkcją
s +ð sð
wykÅ‚adniczÄ…: g(ðt)ð =ð e-ðsðt ×ð1(ðt)ð.
Kiedy sð>0, bieguny poÅ‚ożone sÄ… w pÅ‚aszczyz
nie, gdzie s<0
odpowiedz
impulsowa jest stabilna.
Jeżeli sð<0, to bieguny poÅ‚ożone sÄ… na prawo od poczÄ…tku ukÅ‚adu
współrzędnych, to odpowiedz
impulsowa jest niestabilna.
Pierwiastki leżące najbliżej osi urojonej reprezentują składowe
rozwiązania zanikające najwolniej, a więc determinujące szybkość
działania układu. Oddalenie pierwiastków zespolonych sprzężonych od
osi rzeczywistej decyduje o częstotliwości drgań tłumionych
w odpowiedzi oscylacyjnej. Oddalenie pierwiastków od początku
układu współrzędnych mówi o tzw. częstotliwość drgań własnych
układu  parametrze nie ujawniającym się bezpośrednio w odpowiedzi
skokowej.
9
Rys.7. Przebiegi przejściowe układu regul ności od położ
lacji w zależn żenia
pierwias czyz
nie s.
stka na płaszc
Ana odpow im h znaczenie
aliza wiedzi mpulsowych pozwala na wyzn
obszarów stabilności oraz st stabilności, na podstawie których
w topni
określa się przybliż ulacji.
żoną wartość czasu regu
Prze ie wiedzi sko st minowane
eregulowani odpow okowej jes determ
stopniem
m oscylacyjnoÅ›ci mð:
2
Imsk
1-ðxð
=ð
mð =ð max mð =ð (14)
k
Resk xð
Im wartość mð, tym mniej przeregulowanie A1 i tym m
w jsze mniejsza
liczba oscylacji w czasie tr. Stopień oscylacyjnośc jest zwią ze
o ci Ä…zany
stosunki przeregulow ością:
iem dwóch kolejnych p wań zależno
pð
-ð
An+ð1
mð
e =ð (15)
An
Przykład
d 1.
Wykorzy erdzenie o w ńcowej znal ść funkcji
ystując twie wartości koń lez
ć wartoś
4
f(t®ðÄ„ð) o transform .
macie
F(ðs)ð=ð
s(ðs2 +ð s +ð 2)ð
10
Twierdzenie o wartości końcowej mówi, że jeżeli funkcja wymierna
sF(s) ma bieguny leżące wyłącznie w lewej półpłaszczyz
nie zmiennej
zespolonej s, to: lim f (t) =ð lim sF(ðs)ð
t®ðÄ„ð s®ð0
StÄ…d;
4
lim f (t) =ð lim sF(ðs)ð =ð lim s =ð 2
t®ðÄ„ð s®ð0 s®ð0
s(ðs2 +ð s +ð 2)ð
Przykład 2.
W układzie regulacji stałowartościowej przedstawionej na rys.8 wartość
wyjściowa sygnał sterowania w(t)=0, obiekt regulacji jest elementem
inercyjnym, natomiast regulator jest proporcjonalny. Wyznaczyć
przebieg przejściowy y(t) po skokowej zmianie wartości sygnału
zakłócenia z o Dðz. Przyjąć, że przed wystÄ…pieniem skoku wartość
sygnału wyjściowego y(t)=0.
Go(ðs)ð
Gr(ðs)ð
Rys.8. Układ regulacji stałowartościowej.
Z treści zadania mamy:
ko
·ð transmitancja obiektu regulacji: Go(ðs)ð =ð ;
Ts +ð1
·ð transmitancja regulatora: Gr(ðs)ð =ð kr ;
Stąd transmitancja układu regulacji wynosi:
ko
Y (ðs)ð Go(ðs)ð 1+ð kokr
G(ðs)ð =ð =ð
T
Z(ðs)ð 1+ð Go(ðs)ðGr(ðs)ð=ð
s +ð1
1+ð kokr
Transformata Y(s) może być wyznaczona z powyższego równania
po podstawieniu Z(s)=DðZ/s.
ko
Y (ðs)ð ko DðZ(ðs)ð 1+ð kokr
Þð Y (s) =ð
DðZ(ðs)ð=ð T
Ts +ð1+ð kokr s
s +ð1
s 1+ð kokr
Po zastosowaniu odwrotnego przekształcenia Lapalce a uzyskujemy:
11
-ðt
éð T Å‚ð
ko Ä™ð1-ð 1+ðkokr Å›ð
y(t) =ð DðZ e
Å›ð
1+ð kokr Ä™ð
Ä™ð Å›ð
ëð ûð
Odchyłkę statyczną można wyznaczyć z twierdzenia o wartości
końcowej:
ko
DðZ
DðZ ×ðko
Ts +ð1
lim y(t) =ð lim sY (ðs)ð =ð lim s =ð
t®ðÄ„ð s®ð0 s®ð0
kok
1+ð kok
p
p
1+ð
Ts +ð1
Przykład 3.
Obiekt regulacji będący elementem całkującym z inercją
współpracuje z regulatorem proporcjonalnym. Na układ taki oddziałuje
zakłócenie z(t). Należy dobrać parametry regulatora, aby osiągnąć
aperiodyczny przebieg regulacji o minimalnej całce składowej
przejściowej uchybu.
Z treścią zadania mamy:
kob Gr(ðs)ð =ð kr
;
Go(ðs)ð =ð
s(ðTs +ð 1)ð
Transformata wielkości wyjściowej wynosi:
Y (ðs)ð kob
X (ðs)ð =ð =ð
2
s s(ðTs +ð 1)ð+ð kr
Stąd równanie charakterystyczne ma postać:
s(ðTs +ð1)ð+ð kr =ð 0 Þð Ts2 +ð s +ð kr
Przebieg aperiodyczny występuje przy wzmocnieniu
regulatora:
1
kr <ð
kobT
Całkę składowej przejściowej uchybu wyraża wzór:
Ä„ð
1
I =ð (ðÄ„ð)ð-ð X2(ðt)ð]ðdt =ð limìð lim[ðsX2(ðs)ð]ð-ð X2(ðs)ðüð =ð
íð żð
2
òð[ðX
p®ð0 p®ð0
îðs þð
0
éð Å‚ð
Ä™ð Å›ð
1 1
Å›ð
=ð limY (s)Ä™ð -ð =ð
p®ð0
Ä™ðkrs éð 1
sÄ™ðkr +ð s(ð1+ð Ts)ðÅ‚ðÅ›ð
Ä™ð
Å›ðÅ›ð
kob
ëð ûð
ëð ûð
éð Å‚ð
1
kr +ð s(ð1+ð Ts)ð-ð kr Å›ð
Ä™ð
kob Y (ðs)ð
Å›ð
=ð limY (s)Ä™ð =ð
2
p®ð0
Ä™ð Å›ð
éð kobkr
1
Ä™ðk sÄ™ðkr +ð kob s(ð1+ð Ts)ðÅ‚ð Å›ð
r
Å›ð
ëð ûð
ëð ûð
12
Wartość całki maleje ze wzrostem wzmocnienia regulatora kr. Dla
maksymalnie dopuszczalnego wzmocnienia przy aperiodycznym
przebiegu regulacji:
1
kr =ð
kobT
2
StÄ…d otrzymujemy minimalnÄ… caÅ‚kÄ™ uchybu o wartoÅ›ci I =ð Y (s)kob16T
Wzmocnienie regulatora należy wiÄ™c nastawić na wartość: kr =ð 1
4kobT
6. Literatura
1. Janusz KOWAL  Podstawy automatyki T1 , Uczelniane
Wydawnictwa Naukowo-Dydaktyczne AGH, Kraków 2004,
Sygnatura: 60378
2. Tadeusz Kaczorek  Teoria sterowania. Tom I Układy liniowe ciągłe
i dyskretne . Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1977
13