Instrukcja do ćwiczenia - Laboratorium E9
Jakość i korekcja układów regulacji
Materiały Pomocnicze do Laboratorium Automatyki
Cz I - OCENA JAKO CI REGULACJI
WPROWADZENIE
Od układu automatycznej regulacji, oprócz spełnienia nadrz dnego warunku dotycz cego jego stabilno ci,
wymaga si tak e odpowiedniej jako ci regulacji. Jako ta okre lana jest wielko ci uchybu regulacji w czasie
całego okresu pracy układu. Ze wzgl du jednak na przypadkowy charakter zakłóce oddziałuj cych na układ, nie
jest mo liwe analityczne okre lenie rzeczywistego przebiegu uchybu regulacji. Wobec tego ocen jako ci pracy
układu mo na przeprowadzi jedynie na podstawie odpowiednio dobranych wska ników jako ci, które
wyra aj stawiane układowi wymagania technologiczne, ekonomiczne i inne. Poni ej przedstawione zostan
niektóre z takich wska ników, najcz ciej stosowanych w praktyce [2 s.118-121],[3 s.210-249]
I. Dokładno statyczna
- charakteryzuje stan ustalony układu, a okre lana jest na podstawie warto ci uchybu ustalonego
eust = lim e(t ) = lim se( s ) (1)
t " s0
na który w przypadku ogólnym składaj si cz ci b d ce efektem działania wymuszenia w(t) oraz zakłóce z1(t),
z2(t) , ..., zr(t) (jak na Rys. 1)
eust = eust ,w + eust ,z (2)
przy czym
r
eust ,z = (3)
e
ust ,zi
i=1
Rys. 1. Schemat blokowy układu automatycznej regulacji z rozbiciem obiektu regulacji
na r członów zgodnie z miejscami działania zakłóce
Dla powy szego układu regulacji, mo na zapisa
r r
G ( s ) Gj ( s )
" "
j
1 Gr ( s )
j=1 j =2
e( s ) = w( s ) + z1( s ) + z2( s ) + + zr ( s ) (4)
1+ Go( s ) 1+ Go( s ) 1+ Go( s ) 1+ Go( s )
przy czym
r
Go( s ) = Greg ( s ) ( s ) = Greg ( s ) Gob( s ) (5)
"G
j
j=1
nazywa si transmitancj operatorow układu otwartego i jest szeregowym poł czeniem transmitancji regulatora
Greg(s) i obiektu Gob(s). Na tej podstawie otrzymuje si transmitancje uchybowe:
1 - wymuszeniow - od sygnału w(s) - dla z1( s ) = z2 ( s ) = = zr ( s ) = 0
e( s ) 1
Ge,w ( s ) = = (6)
w( s ) 1 + Go ( s )
1
Materiały Pomocnicze do Laboratorium Automatyki
2 - zakłóceniow - od sygnałów zi(s) - dla: w( s ) = z1( s ) = = zi-1( s ) = zi+1( s ) = = zr ( s ) = 0
r
G ( s )
"
j
e( s )
j=i
Ge,z ( s ) = = (7)
i
zi ( s ) 1+ Go ( s )
Ze wzgl du na zachowanie si uchybu w stanie ustalonym, układy regulacji dzieli si na statyczne i
astatyczne. W układzie statycznym stałemu sygnałowi wymuszaj cemu (lub stałym sygnałom zakłócaj cym)
odpowiada w stanie ustalonym stały (ró ny od 0) sygnał uchybu. Natomiast w układzie astatycznym uchyb
ustalony równy jest 0 i nie zale y on od ustalonych warto ci sygnału wymuszaj cego (lub sygnałów
zakłócaj cych). Dodatkowo mówi si , e układ regulacji jest astatyczny wzgl dem wymuszenia i ma h-ty rz d
astatyzmu, je li dla sygnału wymuszeniowego b d cego wielomianow funkcj czasu l-tego stopnia
l
j
w(t ) = Aj t (8)

j=0
obowi zuje
0 dla h > l

eust ,w = `" 0 dla h=l (9)
const

" dla h < l

Korzystaj c z powy szych zale no ci mo na wykaza , e posta transmitancji układu otwartego pozwala
okre li rz d astatyzmu układu z Rys. 1. Tak wi c dla transmitancji Go(s) o postaci
Lo( s )
Go( s ) = (10)
sh Mo( s )
dla: Lo(0) Mo(0)`"0,
otrzymuje si dla
h=0 - układ statyczny wzgl dem wymuszenia,
h=1 - układ astatyczny 1-go rz du wzgl dem wymuszenia,
h=k - układ astatyczny k-tego rz du wzgl dem wymuszenia;
a wymuszeniow transmitancj uchybow mo na zapisa jako
e( s ) 1 1 sh Mo( s ) sh Mo( s )
Ge,w( s ) = = = = = (11)
Lo( s )
w( s ) 1+ Go( s ) sh Mo( s ) + Lo ( s ) M( s )
1+
sh Mo( s )
dla: Mo(0) M(0)`"0
Oznacza to, e układ jest statyczny wzgl dem wymuszenia, je li jego wymuszeniowa transmitancja uchybowa
nie ma miejsca zerowego licznika równego zeru, oraz jest astatyczny k-tego rz du wzgl dem wymuszenia,
je li transmitancja ta posiada takie miejsce zerowe o krotno ci równej k.
Analogicznie jak dla wymuszenia, mówi si , e układ regulacji jest astatyczny wzgl dem zakłócenia i ma q-
ty rz d astatyzmu, je li dla sygnału zakłócaj cego b d cego wielomianow funkcj czasu l -tego stopnia
l'
j
zi ( t ) = Bj t (12)

j =0
obowi zuje
0 dla q > l'

eust ,zi = `" 0 dla q=l' (13)
const

" dla q < l'

Dla uchybów, których przebiegi po zanikni ciu procesów przej ciowych nie s stałymi funkcjami czasu,
wygodnie jest wykorzystywa tzw. współczynniki uchybu. Wykazuje si bowiem, e dla t "
2
Materiały Pomocnicze do Laboratorium Automatyki
k
d d
ew(t ) = G0,ww(t ) + G1,w dt w(t ) + + Gk ,w dt w( t ) +
k
(14)
k
d d
ez ( t ) = G0,z zi ( t ) + G1,z dt zi (t ) + + Gk ,zi dt zi (t ) +
k
i i i
gdzie współczynniki uchybu Gk ,w oraz Gk ,z oblicza si z zale no ci
k k
1 d 1 d
Gk ,w = Ge,w ( s ) Gk ,zi = Ge,z ( s ) (15)
i
k ! dsk k ! dsk
s=0 s=0
Inn metod wyznaczania tych współczynników jest podzielenie przez siebie wielomianów licznika i mianownika
odpowiednich transmitancji uchybowych, co pozwala zapisa
Ge,w( s ) = G0,w + G1,w s + + Gk ,w sk +
(16)
Ge,z ( s ) = G0,z + G1,z s + + Gk ,zi sk +
i i i
Problemy do samodzielnego rozwi zania:
1. Wyprowadzi podane powy ej zale no ci.
2. Okre lenie astatyzmu układu na podstawie jego transmitancji wypadkowej.
3. Wpływ współczynnika wzmocnienia toru głównego układu statycznego na warto uchybu ustalonego.
Mo liwo ci zmniejszania uchybu ustalonego.
4. Posta współczynników uchybu dla układów astatycznych.
II. Parametry odpowiedzi jednostkowej
- zgodnie z oznaczeniami na Rys. 2, bada si
Rys. 2. Przykładowa odpowied jednostkowa układu
1 - przeregulowanie - okre lone zale no ci
hmax - hust
´1 = 100% (17)
hust
Zwykle dopuszcza si przeregulowanie ´1 = (10÷30)% warto ci ustalonej.
2 - czas regulacji tr - jest to czas, po upływie którego wielko regulowana ró ni si trwale od swojej warto ci
ustalonej o nie wi cej ni zało ony bł d dopuszczalny ".
"
"
"
3
Materiały Pomocnicze do Laboratorium Automatyki
3 - bł d dopuszczalny " - ocenia dokładno z jak okre la si w układzie stan ustalony. Zwykle przyjmuje si
"
"
"
warto ci " = (2÷5)% warto ci ustalonej.
4 - czas narastania tn - mierzy szybko reakcji układu. Jest to czas, po upływie którego wielko regulowana
po raz pierwszy zrówna si z warto ci ustalon .
5 - tłumienno - okre la skłonno układu do oscylacji, a obliczana jest jako stosunek
´1
à = (18)
´2
III. Rozkład pierwiastków równania charakterystycznego
- okre la charakter przebiegów czasowych w stanach przej ciowych. Wymagania stawiane układowi mog
wi c dotyczy nie tylko poło enia tych pierwiastków w lewej półpłaszczy nie zmiennej zespolonej (ze wzgl du
na stabilno ), ale tak e w okre lonej cz ci tej półpłaszczyzny. Bada si :
1 - stopie stabilno ci · - wyra aj cy minimaln szybko zanikania skÅ‚adowych w ukÅ‚adzie. Okre lony jest
·
·
·
zale no ci
· = min Re si (19)
{ }
si
gdzie si jest i-tym pierwiastkiem równania charakterystycznego n-tego stopnia.
2 - oscylacyjno µ - wskazuj c skÅ‚onno ukÅ‚adu do oscylacji. Okre lona jest (zgodnie z Rys.3) zale no ci
µ
µ
µ
Im si
{ }
µ = max = tg È (20)
si
Re si
{ }
Zwykle przyjmuje si ¨ d" 60°.
Rys. 4. Okre lanie zapasu stabilno ci na
Rys. 3. Okre lanie stopnia stabilno ci ·
podstawie charakterystyki amplitudowo-fazowej
i oscylacyjno ci µ
układu otwartego
IV. Kryteria cz stotliwo ciowe
- okre laj jako regulacji na podstawie charakterystyk cz stotliwo ciowych układu. Miar zapasu sta-
bilno ci układu zamkni tego jest odległo charakterystyki amplitudowo-fazowej układu otwartego (jak na Rys.
4) od punktu (-1,j0). Zapas ten definiowany jest przy tym poprzez zapas amplitudy (modułu) "A lub zapas
wzmocnienia "K oraz zapas fazy "Õ.
4
Materiały Pomocnicze do Laboratorium Automatyki
Powy sze wielko ci okre lane s za pomoc nast puj cych zale no ci
" A = A0(É1 ) - 1
1
(21)
" A = 1- A0(É2 )
2
" K = A0 (É1 )
1
(22)
1
" K =
2
A0 (É2 )
"Õ = -  + Õo (Éx ) (23)
przy czym
Ao (É ) = Go ( jÉ )
(24)
Õo (É ) = arg Go ( jÉ )
[ ]
Cz sto do okre lenia zapasu stabilno ci u ywa si logarytmicznych charakterystyk cz stotliwo ciowych (jak
to pokazano na Rys. 5). Mówi si wtedy o logarytmicznym zapasie amplitudy "L (w decybelach)
" L = 20 lg Ao(É1 )
1
(25)
" L = 20 lg Ao(É2 )
2
i logarytmicznym zapasie fazy "Õ (jak 23).
Zwykle przyjmuje si "A = (0,5÷0,6) co odpowiada "K = (2,0÷2,5) lub "L = (6÷8) dB oraz "Õ H" /6.
Rys.6. Okre lanie szczytu i pulsacji rezonansowej na
Rys.5. Okre lanie zapasu stabilno ci na podstawie
podstawie charakterystyki amplitudowej układu
charakterystyk logarytmicznych układu otwartego
zamkni tego
W oparciu o charakterystyk amplitudow układu zamkni tego (jak na Rys. 6) okre la si szczyt rezo-
nansowy Mp. Jest to maksymalna warto amplitudy, wyst puj ca dla É = Ér czyli tzw. pulsacji rezonansowej.
Im wy szy jest szczyt rezonansowy, tym słabsze tłumienie oscylacji i tym wi ksze warto ci przeregulowania.
Zwykle przyjmuje si Mp = (1,1÷1,5)Å"A(0). Dla znanej pulsacji rezonansowej mo na w przybli eniu obliczy
czas regulacji zgodnie z zale no ci
5
Materiały Pomocnicze do Laboratorium Automatyki
3 
tr H" (26)
Ér
Pulsacja ta na ogół niewiele ró ni si od pulsacji odci cia, tzn. pulsacji, przy której wykres Go(jÉ) przecina
okr g jednostkowy.
V. Kryteria całkowe
- najbardziej kompleksowo okre laj jako regulacji na podstawie funkcjonałów, b d cymi odpowiednimi
całkami z uchybu przej ciowego
ep (t ) = e(t ) - eust (27)
Najcz ciej stosowanymi kryteriami całkowymi s
" " "
k
I0 = ep( t ) dt I0t = t ep( t ) dt I0t = t ep( t ) dt (28)
k

0 0 0
" " "
k
I1 = ep (t )dt I1t = t ep( t )dt I1t = t ep(t )dt (29)
k

0 0 0
" " "
k
I2 = e2 ( t )dt I2t = t e2 ( t )dt I2t = t e2 ( t )dt (30)
k
p p p
0 0 0
przy czym kryteria I1 , I1t oraz I1t mo na stosowa wył cznie do przebiegów, dla których uchyb przej ciowy
k
ma stały znak. Według tych kryteriów jako regulacji jest tym lepsza im mniejsz warto przyjmuje dany
funkcjonał. Warunek ten prowadzi do ich minimalizacji wzgl dem okre lonych parametrów układu.
Mo na wykaza , e warto ci niektórych kryteriów wymagaj znajomo ci jedynie transformat Laplace a
uchybu przej ciowego ep(s). I tak
k
d ep( s )
I1t = ( -1)k (31)
k
d sk
s=0
a st d
I1 = lim ep( s ) (32)
s0
Ponadto
2
"
1
I2 = ep( jÉ ) d É (33)


0
gdzie ep( j É ) = ep( s ) .
s= j É
Problemy do samodzielnego rozwi zania:
1. Wyja ni na podstawie wzoru na składow przej ciow odpowiedzi jednostkowej zamkni tego układu re-
gulacji, dlaczego stopie stabilno ci · jest miar czasu regulacji, a oscylacyjno µ - miar tÅ‚umienia
oscylacji.
2. W jakim sensie zapas amplitudy jest miar tolerancji układu na zmiany współczynnika wzmocnienia toru
głównego, a zapas fazy - na zmiany opó nienia w torze głównym?
3. Okre li wpływ na szybko reakcji układu regulacji - zapasu stabilno ci oraz cz stotliwo ci odci cia.
6
Materiały Pomocnicze do Laboratorium Automatyki
PROGRAM WICZENIA
A. Układy statyczne.
A.1. Wykorzystuj c program CODAS zamodelowa układ zamkni ty z obiektem statycznym oraz regulatorem
typu P (o transmitancjach podanych przez prowadz cego). Przej do trybu kre lenia odpowiedzi czasowych i
wyznaczy (m.in. dobieraj c liczb obliczanych punktów i odpowiednie zakresy na osiach) oraz wydrukowa
odpowied jednostkow dla tego układu. Powtórzy badanie dla kilku warto ci współczynnika K - wzmocnienia
toru głównego.
A.2. Przej do trybu kre lenia charakterystyk cz stotliwo ciowych i dla układu otwartego wyznaczy oraz wy-
drukowa charakterystyki amplitudowo-fazow oraz logarytmiczne (dla poprzednio wykorzystywanych warto ci
współczynnika K).
A.3. Dla badanego układu obliczy transmitancj uchybow , zamodelowa j i w układzie otwartym (dla po-
przednio wykorzystywanych warto ci współczynnika K) wyznaczy i wydrukowa przebiegi uchybu w funkcji
czasu dla wymuszenia w postaci skoku jednostkowego, a nast pnie w postaci liniowej funkcji czasu.
A.4. Do badanego układu wprowadzi (podawane przez prowadz cego) opó nienie. Wyznaczy i wydrukowa
odpowiedzi jednostkowe układu otwartego i zamkni tego, oraz na podstawie wyznaczonej charakterystyki
amplitudowo-fazowej (lub charakterystyk logarytmicznych) okre li zapas stabilno ci amplitudy i fazy.
A.5. Powtórzy badania z p. A.1. ÷A.4. dla ukÅ‚adu z rzeczywistym regulatorem PD (o transmitancji podanej
przez prowadz cego) z uwzgl dnieniem kilku warto ci stałej wyprzedzenia TD.
B. Układy astatyczne.
B.1. Powtórzy badania z p. A.1. ÷A.4. dla ukÅ‚adu z regulatorem PI (o transmitancji podanej przez prowadz -
cego) z uwzgl dnieniem kilku warto ci stałej zdwojenia TI.
B.2. Zamodelowa układ z obiektem astatycznym co najmniej drugiego rz du. Dla układu zamkni tego wy-
znaczy i wydrukowa wybrane odpowiedzi i charakterystyki.
1.3 WYMAGANIA
Ad. A.1 i A.2
Zamie ci otrzymane wykresy i na ich podstawie wypełni tabel 1.
Tabela 1.
Greg(s) = Gob(s) =
K eust tr tn ´1 ´2 "A "Õ É0
´ ´ " "Õ É
´ ´ " "Õ É
´ ´ " "Õ É
Omówi wpływ współczynnika K na jako regulacji.
Ad. A.3
Poda obliczon transmitancj uchybow i zamie ci uzyskane przebiegi. Dla ka dego wymuszenia wy-
znaczy współczynniki uchybu, a na ich podstawie przebieg uchybu w stanie ustalonym. Porówna obliczenia z
otrzymanymi wykresami.
Ge,w( s ) =
G0,w = G1,w =
eust =
Ad. A.4
Zamie ci otrzymane wykresy i na ich podstawie wypełni tabel 1. Omówi wpływ współczynnika K na
jako regulacji.
7
Materiały Pomocnicze do Laboratorium Automatyki
Ad. A.5
Powtórzy powy sze punkty sprawozdania dla wszystkich TD.
Ad. B.1
Powtórzy powy sze punkty sprawozdania dla wszystkich TI.
Ad. B.2
Poda zamodelowan transmitancj obiektu i obliczone transmitancje wypadkow oraz uchybow . Zamie ci
uzyskane wykresy i omówi je.
8
Materiały Pomocnicze do Laboratorium Automatyki
Cz II - KOREKCJA UKA
ADÓW REGULACJI AUTOMATYCZNEJ
1. Cel i rodzaje korekcji
Podczas projektowania układów regulacji automatycznej, zadanie syntezy cz sto sprowadza si
do nast puj cego zadania. Dany jest obiekt regulacji o transmitancji G0(s). Nale y zaprojektowa
układ spełniaj cy dan dokładno statyczn oraz warunek dostatecznego zapasu stabilno ci i
szybko ci działania. W tym celu wprowadza si do układu dodatkowe człony zwane członami
korekcyjnymi. Ich struktura i parametry s dobrane tak, aby nowo powstały układ spełniał zało one
wymagania. Taki tok post powania nazywamy korekcj . Celem korekcji jest wi c uzyskanie danej
dokładno ci oraz dostatecznego zapasu stabilno ci układu przy jednoczesnym zapewnieniu
wymaganego pasma przenoszonych cz stotliwo ci. Wymagan dokładno układu mo na osi gn
poprzez:
" zwi kszenie współczynnika wzmocnienia układu otwartego,
" podwy szenie rz du astatyzmu układu,
" zastosowanie regulacji z wykorzystaniem pochodnych uchybu.
Człony korekcyjne wł cza si do układu regulacji ze sprz eniem zwrotnym w trojaki sposób:
" Å‚a cuchowo (szeregowo) z obiektem,
" równolegle z jednym z członów obiektu,
" w p tl sprz enia zwrotnego obejmuj c jeden lub kilka członów wchodz cych w skład obiektu.
W ka dym przypadku mo na wyznaczy równowa ny człon korekcyjny wł czony szeregowo z
obiektem. Bierze si te pod uwag Å‚atwo wyznaczania transmitancji korektora i mo liwo
poprawy odporno ci wła ciwo ci układu zamkni tego na zmiany parametrów obiektu i na zakłócenia.
Ujemne korekcyjne sprz enie zwrotne stosuje si z uwagi na korzystne wła ciwo ci utworzonej w
ten sposób cz ci układu pracuj cej jak lokalny układ regulacji. Uzyskuje si dzi ki temu znaczne
zmniejszenie wpływu nieliniowo ci charakterystyk i zmian parametrów cz ci obiektu obj tej
lokalnym sprz eniem zwrotnym. Nale y sobie zdawa spraw , e korekcja poprzez lokalne
sprz enie zwrotne mo e zlikwidowa astatyzm układu regulacji. Korekcj równoległ stosuje si
zwykle, gdy popraw jako ci regulacji mo na uzyska przez dodanie do sygnałów w torze głównym
sygnałów utworzonych przez ich całkowanie lub ró niczkowanie. Za przykład takiej korekcji uwa a
si wprowadzenie członów proporcjonalno - całkuj cych lub członów typu proporcjonalno -
ró niczkuj cych, co mo na tak e interpretowa jako korekcj szeregow . Zaletami korekcji
szeregowej jest jej prostota i Å‚atwo realizacji, Å‚atwo wyznaczania transmitancji korektora metod
charakterystyk cz stotliwo ciowych lub metod analizy zer i biegunów układu. Wad stanowi to, e
zmian parametrów korektorów i niepo dane nieliniowo ci ich charakterystyk silnie wpływaj na
parametr)' całego układu.
2. Człony korekcyjne.
W ród elementów korekcji szeregowej mo na wyró ni : elementy czynne zasilane zewn trzn
energi . Nazywane s one zwykle regulatorami i s one dokładnie omówione w wiczeniu nr 6 oraz
elementy bierne, które nie zawieraj wzmacniaczy i s
najcz ciej czwórnikami zawieraj cymi
Z1(s)
elementy R, L, C, jak na rys. 1.
Transmitancja operatorowa takiego
czwórnika jest wyra ona zale no ci :
U1(s) Z2(s) U2(s)
Z2(s)
Gk (s) =
(1)
Z1(s)+ Z2(s)
gdzie Z1(s), Z2(s) s impedancjami
Rys.1 Budowa korektora szeregowego,
operatorowy mi.
zbudowanego z elementów biernych
Najcz ciej spotykanymi członami
korekcyjnymi s :
a) człon korekcyjny opó niaj cy faz ,
b) człon korekcyjny przy pieszaj cy faz ,
c) człon korekcyjny opó niaj co -przy pieszaj cy faz .
9
Materiały Pomocnicze do Laboratorium Automatyki
2.1.Człon korekcyjny opó niaj cy faz
R1
É<0
Q(É)
T1 + T2
2T1
R2
1
U1(s) U2(s)
É=0
P(É)
C
T1 -T2
T1
2T1
Rys.2 Przykład członu korekcyjnego
É>0
T2
opó niaj cego faz
Rys.3 Charakterystyka amplitudowo-
(R1
1+ sT2 T1 = + R2)C
Gk (s)=
(2)
fazowa członu
1+ sT1 T2 = R2C
t
T1 -T2 -
T1
h(t)=1- e (3)
T1
Rys.5 Charakterystyki logarytmiczne
członu korekcyjnego opó niaj cego faz
Rys.4 Odpowied jednostkowa członu
opó niaj cego faz
2.2. Człon korekcyjny przyspieszaj cy faz .
É>0
C
Q(É)
T1 + T2
2T1
É=0
R1
1
U1(s) R2 U2(s)
P(É)
T1 -T2
T2
2T1
Rys.6 Człon korekcyjny przyspieszaj cy faz
É<0
T1
Rys.8 Charakterystyka amplitudowo-fazowa
członu korekcyjnego przyspieszaj cego faz .
Transmitancja członu
T2 1+ sT1
Gk(s)=
T1 1+ sT2
(4)
Rys.7 Odpowied jednostkowa członu
R1R2
korekcyjnego przyspieszaj cego faz .
T1 = R1C T2 = C
R1 + R2
10
Materiały Pomocnicze do Laboratorium Automatyki
Odpowied jednostkowa
t
T2 T1 -T2 -
T2
h(t)= + e (5)
T1 T1
Rys.9 Charakterystyki logarytmiczne amplitudowa i fazowa członu korekcyjnego
2.3.Człon korekcyjny opó niaj co- przyspieszaj cy faz .
C1
R1
R2
U1(s) U2(s)
C2
Rys.10 Człon korekcyjny przyspieszaj co -
opó niaj cy faz
(1+ sT1)(1+ sT2)
Rys.12 Charakterystyka amplitudowo-fazowa
Gk (s)=
(6)
(1+ sT3)(1+ sT4)
elementu korekcyjnego opó niaj co-
przyspieszaj cego faz
Odpowied jednostkowa
t t
T3 + T4 -T1 -T2 - - (7)
e T3 e T4
h(t)= 1- -

T3 -T4

Rys.13 Logarytmiczna charakterystyka
amplitudowa i fazowa elementu korekcyjnego
opó niaj co-przyspieszaj cego faz
Rys.11 Odpowied jednostkowa członu
przyspieszaj co -opó niaj cego faz .
Współczynnik wzmocnienia członów korekcyjnych biernych jest mniejszy od jedno ci..
11
Materiały Pomocnicze do Laboratorium Automatyki
3. Metody wyznaczania transmitancji układu skorygowanego.
W praktyce stosuje si nast puj ce metody korekcji:
metoda wzgl dnego współczynnika tłumienia,
metoda charakterystyk logarytmicznych,
metoda wykresu Nicholsa,
metoda okr gów stałej amplitudy.
Ni ej zostanie omówiona metoda korekcji oparta na wykorzystaniu charakterystyk logarytmicznych.
W metodzie tej człon korekcyjny dobieramy na podstawie logarytmicznych charakterystyk
amplitudowych (zazwyczaj asymptotycznych) i fazowych. Rozpatrzono dwa przypadki:
człon korekcyjny wł czamy ła cuchowo (szeregowo) z obiektem,
człon korekcyjny wł czamy w p tl sprz enia zwrotnego.
Człon korekcyjny wł czamy szeregowo z obiektem,
Dany jest układ o logarytmicznej charakterystyce amplitudowej i fazowej przedstawionej na
rys.14 lini przerywan . Z charakterystyk wynika, e układ jest niestabilny, gdy dla pulsacji odci cia
(Orf = 80 opó nienie fazowe przekracza 180° (Ap=-18°). ZakÅ‚adamy, e zapas fazy ukÅ‚adu
skorygowanego ma wynosi na przykÅ‚ad 50°. W przypadku korekcji za pomoc czÅ‚onu
proporcjonalnego dla osi gni cia takiego zapasu nale y wprowadzi człon o współczynniku
wzmocnienia k. Warto tego współczynnika wzmocnienia otrzymujemy z rys.14 przesuwaj c
logarytmiczn charakterystyk amplitudow układu nieskorygowanego tak, aby dla nowej pulsacji
odci cia 10 zapas fazy byÅ‚ równy 50°. Wynika to z faktu, e logarytmiczna charakterystyka
amplitudowa układu skorygowanego jest równa sumie logarytmicznej charakterystyki amplitudowej
układu nieskorygowanego i logarytmicznej charakterystyki amplitudowej członu korekcyjnego, a
logarytmiczna charakterystyka fazowa układu skorygowanego jest równa logarytmicznej
charakterystyce fazowej układu nieskorygowanego. Jednocze nie ze wzgl du na małe pasmo
przenoszenia układ taki jest układem powolnym. Je eli z powodu wymienionych wad korekcja za
pomoc członu proporcjonalnego jest niedopuszczalna, to nale y wprowadzi do układu człon
opó niaj cy lub przyspieszaj cy faz . W przypadku korekcji za pomoc członu opó niaj cego faz
rys.2 o logarytmicznej charakterystyce amplitudowej i fazowej przedstawionej na rys.5,
asymptotyczna logarytmiczna charakterystyka amplitudowa i fazowa układu skorygowanego dla
pulsacji mniejszych od É1, (rys.15) b d si pokrywaÅ‚y z odpowiednimi charakterystykami ukÅ‚adu
nieskorygowanego. Człon korekcyjny spowoduje w tym przypadku zmniejszenie pulsacji odci cia i
wzrost ujemnego nachylenia charakterystyki amplitudowej na odcinku od É1 do É2. Z rys.15 wynika,
e zapas fazy ukÅ‚adu skorygowanego wynosi zaÅ‚o one 50°. Cz stotliwo odci cia ukÅ‚adu po korekcji
jest jednak jeszcze mniejsza ni w układzie z korekcj proporcjonaln . Natomiast korekcj za pomoc
członu przyspieszaj cego faz (rys.6) o logarytmicznej charakterystyce amplitudowej i fazowej
(rys.9) przedstawia rys.16. WÅ‚a ciwo ci tego rozwi zania polegaj na wprowadzeniu dodatkowego
przesuni cia fazowego pozwalaj cego na zwi kszenie współczynnika wzmocnienia toru głównego
przez uprowadzenie dodatkowego wzmocnienia. Rys.16 przedstawia sytuacj , gdy element
przyspieszaj cy faz wł czono ze wzmacniaczem o wzmocnieniu T1/T2. Człon korekcyjny
przyspieszaj cy faz powoduje przesuni cie punktu przeci cia logarytmicznej charakterystyki
amplitudowej układu skorygowanego w zakres wi kszych pulsacji (rys.16), a wi c zwi kszenie
dokładno ci statycznej układu i poszerzenie pasma przenoszenia. Jednocze nie z poszerzeniem pasma
przenoszenia wzrasta wpływ szumów du ych cz stotliwo ci wywołuj cych szkodliwe uchyby.
Rozwi zanie takie posiada wi c pewne wady. W celu przeprowadzenia korekcji układów zło onych
stosuje si człony korekcyjne opó niaj co-przyspieszaj ce faz , które ł cz w sobie zalety
poszczególnych członów prostych. Wybór odpowiedniego członu korekcyjnego powinien by
kompromisem pomi dzy wymaganiami dokładno ci statycznej i szybko ci, a jego stabilno ci . Na
rys.17 pokazano przykład doboru takiego korektora.
12
Materiały Pomocnicze do Laboratorium Automatyki
Rys.15. Logarytmiczna charakterystyka układu
Rys.14. Logarytmiczna charakterystyka układu
przed korekcj (linie przerywane), układu
przed korekcj (linie przerywane), układu
skorygowanego (linie ci głe) i członu
skorygowanego (linie ci głe) przez zmian
korekcyjnego opó niaj cego faz .
współczynnika wzmocnienia
.
Rys.16 Logarytmiczna charakterystyka układu
Rys.17 Logarytmiczna charakterystyka układu
przed korekcj (linie przerywane), układu
przed korekcj (linie przerywane), układu
skorygowanego (linie ci głe) i członu
skorygowanego (linie ci głe) i członu
korekcyjnego przyspieszaj cego faz
korekcyjnego przyspieszaj cego faz .
13
Materiały Pomocnicze do Laboratorium Automatyki Instytut Automatyki Politechniki A
ódzkiej
Człon korekcyjny wł czamy w p tl sprz enia zwrotnego
Rozpatrujemy schemat blokowy układu regulacji automatycznej z rys.18. z członem korekcyjnym
wł czonym w wewn trzn p tl sprz enia zwrotnego. Maj c dane transmitancje G(s),Gi(s) i G2(5)
nale y tak dobra transmitancje H(s) członu korekcyjnego, aby układ skorygowany spełniał okre lone
wymagania dotycz ce dokładno ci statycznej oraz zapasu stabilno ci amplitudy i fazy.
Rys.18 Układ z członem korekcyjnym wł czonym w wewn trzn p tl sprz enia zwrotnego.
Transmitancja widmowa zast pcza układu z wewn trzn p tl sprz enia zwrotnego okre lana jest
G( jÉ) 1 H( jÉ)G( jÉ)
Gw( jÉ)= =
(8)
1+ H( jÉ)G( jÉ) H( jÉ)1+ H( jÉ)G( jÉ)
Przybli ona warto transmitancji widmowej
1

dla H( jÉ)G( jÉ) >>1

Gw( jÉ)= (9)
H( jÉ)


G( jÉ) dla H( jÉ)G( jÉ) <<1

Transmitancja układu otwartego z korektorem
Gok ( jÉ)= G1( jÉ)Gw( jÉ)G2( jÉ) (10)
Warto przybli ona
G1( jÉ)G( jÉ)G2( jÉ) dla G( jÉ)H( jÉ) << 1
G
Gok ( jÉ)= ( jÉ)G( jÉ)G2( jÉ)
(11)

1
dla G( jÉ)H( jÉ) >> 1

H( jÉ)G( jÉ)

Z zale no ci (8) wynika, e dla pulsacji spełniaj cych warunek logarytmiczna
H( jÉ)G( jÉ) >> 1
charakterystyka amplitudowa i fazowa skorygowanego układu otwartego jest ró nic logarytmicznej
charakterystyki amplitudowej i odpowiednio fazowej nieskorygowanego układu otwartego oraz
logarytmicznej charakterystyki amplitudowej i fazowej układu otwartego z wewn trzn p tl sprz enia
zwrotnego wydzielonego na rys.18 lini przerywan . Maj c dane logarytmiczne charakterystyki
nieskorygowanego układu otwartego oraz przyjmuj c po dany przebieg logarytmicznych
charakterystyk skorygowanego układu otwartego, mo na wyznaczy logarytmiczne charakterystyki
układu otwartego o transmitancji H(s)G(s). Znaj c transmitancj G(s), mo na nast pnie wyznaczy
poszukiwan transmitancj członu korekcyjnego H(s). Kolejno post powania:
1) wykre lenie logarytmicznej charakterystyk amplitudowej i fazowej układu otwartego przed
korekcj ,
2) wykre lenie po danej charakterystyki układu otwartego,
3) wyznaczenie ró nicy charakterystyk układu nieskorygowanego i charakterystyk o po danym
przebiegu,
4) na podstawie ró nicy wyznaczonej w poprzednim punkcie mo na wyznaczy transmitancj
operatorow H(s)G(s) i nast pnie H(s).
14
Materiały Pomocnicze do Laboratorium Automatyki Instytut Automatyki Politechniki A
ódzkiej
4 Wymagania i przebieg wiczenia
Podczas wiczenia b d wymagane wiadomo ci dotycz ce:
" rodzajów i wła ciwo ci członów korekcyjnych
" stabilno ci UAR
" kryteriów jako ci regulacji,
" metod korekcji.
Za pomoc programu CODAS nale y wyznaczy i zarejestrowa charakterystyki członów
korekcyjnych o parametrach zadanych przez prowadz cego zaj cia. Dla obiektu o zadanej transmitancji
dobra korektory szeregowe, zapewniaj ce narzucone wła ciwo ci przebiegów przej ciowych.
Zarejestrowa przebiegi charakterystyk cz stotliwo ciowych i odpowiedzi jednostkowych układu.
15