Dr inż. Michał Chłędowski
PODSTAWY AUTOMATYKI I ROBOTYKI  LABORATORIUM
Ćw. S-III.4
ELEMENTY ANALIZY I SYNTEZY UAR
(Badanie stabilności i dobór nastaw regulatora)
Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z kryteriami stabilności UAR, dokładnością
statyczną (uchybem ustalonym) i z metodyką Nicholsa-Zieglera doboru nastaw regulatorów.
Program ćwiczenia
1. Zapoznanie się ze strukturą układu i przydzielonymi danymi liczbowymi poszczególnych
parametrów. Struktura podana jest na rys. 1. Dane liczbowe każdy Zespół otrzymuje
indywidualnie.
Rys. 1. Struktura badanego w ćwiczeniu UAR
2. Obliczenie kkr
3. Symulowanie pracy UAR. Otrzymanie wykresów charakterystyki skokowej i
charakterystyk częstotliwościowych: amplitudowo-fazowej i logarytmicznych
charakterystyk dla przypadków: k < kkr , k = kkr , k > kkr
4. Określenie z wykresu h(t) dla k = k okresu oscylacji T
kr osc
5. Wyznaczenie kopt dla regulatora P i regulatora PI w oparciu o metodykÄ™ Nicholsa-
Zieglera
6. Obliczenie µust dla optymalnych nastaw regulatora P i regulatora PI
7. Zarejestrowanie procesów przejściowych w badanym układzie dla obydwóch typów
regulatora
8. Oszacowanie z wykresów charakterystyk skokowych wartości uchybów ustalonych
1
 Praktyczna realizacja ćwiczenia
Część teoretyczna
W ramach przygotowania do ćwiczenia należy dla przedstawionej na rys. 1 struktury
UAR i otrzymanych wartości parametrów transmitancji wchodzących w jego skład obliczyć
transmitancję zastępczą, wyznaczyć równanie charakterystyczne i korzystając z kryterium
Hurwitza wyznaczyć krytyczną wartość współczynnika wzmocnienia układu. Należy również
wyliczyć wartość uchybu ustalonego dla optymalnej nastawy regulatora P.
Część doświadczalna
Korzystając z dostępnych programów symulacyjnych wykonać model badanego UAR,
zarejestrować charakterystyki skokowe i częstotliwościowe zgodnie z pkt. 3. a następnie
korzystając z otrzymanych wykresów i zasad wyznaczania optymalnych nastaw regulatorów
obowiązujących w metodyce Nicholsa-Zieglera określić optymalne nastawy regulatorów P i PI
dla badanego UAR.
Zmodyfikować model UAR i narysować charakterystyki skokowe układu dla obydwu
typów regulatorów.
Wyciągnąć rozsądne wnioski.
Podstawy teoretyczne
W ramach ćwiczenia rozpatrywany będzie UAR o strukturze przedstawionej na rys. 1 .
Dla naświetlenia toku postępowania przedstawione zostaną kolejne kroki postępowania dla
przykładowego układu przedstawionego na rys. 2
Rys. 2. Przykładowy UAR
Tok postępowania:
1. Określić krytyczną wartość współczynnika wzmocnienia regulatora kkr . Do tego celu
wykorzystamy kryterium Hurwitza. Dla jego zastosowania konieczna jest znajomość równania
charakterystycznego albowiem jego współczynniki decydują o stabilności lub niestabilności
układu. Równaniem charakterystycznym nazywamy mianownik  ładnej transmitancji zastępczej
przyrównany do zera. Tak więc wykonamy w kolejności następujące czynności:
" wyliczymy transmitancję zastępczą,
" przekształcimy transmitancję zastępczą do postaci stosunku dwóch wielomianów
(zlikwidujemy ułamki piętrowe),
" mianownik transmitancji zastępczej przyrównamy do zera i otrzymamy równanie
2
charakterystyczne,
" sprawdzimy, czy współczynniki równania charakterystycznego istnieją i są tego samego
znaku (pierwszy warunek Hurwitza),
" napiszemy wyznacznik główny Hurwitza,
" sprawdzimy, czy podwyznaczniki wyznacznika głównego niezawierające kr są większe od
zera (warunek konieczny),
" przyrównamy do zera podwyznacznik zawierający kr i z otrzymanej równości wyliczymy
k = kkr.
2. Określimy optymalny współczynnik wzmocnienia k według metodyki Nicholsa-Zieglera.
opt
Ponieważ w rozważanym przypadku mamy do czynienia z regulatorem typu P (proporcjonalnym) to
zgodnie z regułami metodyki Nicholsa-Zieglera k = 0,5k .
opt kr
3. Wyznaczenie wartoÅ›ci liczbowej uchybu ustalonego µust..
MajÄ…c liczbowÄ… wartość k możemy wyliczyć wartość uchybu ustalonego µ . korzystajÄ…c z
opt ust
transmitancji uchybowej i ze wzoru na uchyb ustalony. Przyjmiemy sygnał wymuszający w
1
postaci skoku jednostkowego czyli .
wz a d ( s)=
s
Transmitancja uchybowa ze względu na sygnał zadany w(s) ma postać:
µ( s)
1
Gµ w( s)= =
w( s) 1+GR (s)Go( s)GU P( s)
Natomiast wartość uchybu ustalonego w tym przypadku liczymy ze wzoru:
1
µ0 w=l i m µw(t )=l i m s µw( s)=l i m s wz a d ( s)
1+GR( s)Go(s)GU P (s)
t " s0 s0
Przykład rozwiązania zadania dla regulatora P
Krok I  określenie transmitancji zastępczej
Korzystając ze wzorów na transmitancję zastępczą połączenia szeregowego członów oraz
połączenia ze sprzężeniem zwrotnym (szczegóły patrz Wykład Nr5, w szczególności rozdział 5.3)
napiszemy wzór na transmitancję zastępczą układu przedstawionego na schemacie:
10kr
10kr(s+1)
(10 s+1)(400 s2+30 s+1)
Gza s= =
10 kr
(10s+1)( 400s2+30 s+1)(s+1)+10 kr
1+
(10s+1)(400s2+30 s+1)(s+1)
Krok II  określenie równania charakterystycznego
Równaniem charakterystycznym nazywamy mianownik transmitancji zastępczej przyrównany
do zera. Ważnym jest, aby transmitancja zastępcza była  ładna to znaczy, aby była wyrażona w
postaci stosunku dwóch wielomianów. Nie mogą w transmitancji zastępczej występować ułamki
piętrowe. Tak więc w omawianym przykładzie równanie charakterystyczne przyjmie postać:
.
(10 s+1)( 400 s2+30 s+1)( s+1)+10 k =4000 s4+4700 s3+740 s2+41 s+1+10 kr=0
r
Warto sobie równocześnie napisać ogólną postać równania charakterystycznego 4-go stopnia
a4 s4+ a3 s3+ a2 s2+a1 s +a0=0
i podpisać jedno nad drugim, czyli
4000 s4+4700 s3+ 740 s2+ 41 s +1+ 10 k = 0
r
a4 s4+ a3 s3+ a2 s2+a1 s +a0=0
Taki zapis ułatwi za chwilę badanie podwyznaczników.
3
Krok III  główny wyznacznik Hurwitza dla układu 4-go stopnia
Zastosowanie kryterium Hurwitza do wyznaczenia krytycznej wartości współczynnika
wzmocnienia regulatora k wymaga badania podwyznaczników wyznacznika głównego Hurwitza
r
(szczegóły: wykład 8, pkt. 8.4). Dlatego teraz napiszemy ogólną postać tego wyznacznika dla
układu 4-go stopnia a następnie sam wyznacznik.
Wyznacznik główny dla układu 4-go stopnia ma postać:
a3 a4 0 0
a1 a2 a3 a4
.
“ =
0 a0 a1 a2
( )
0 0 0 a0
Wyznacznik główny w omawianym przykładzie zapiszemy następująco:
4700 4000 0 0
41 740 4700 4000
“ =
0 ( 1+10 k ) 41 740
r
( )
0 0 0 (1+10 k )
r
Krok IV -sprawdzamy pierwszy warunek Hurwitza
Pierwszy warunek Hurwitza brzmi: wszystkie współczynniki równania
charakterystycznego muszą istnieć i być tego samego znaku .
Sprawdzamy: współczynniki a , a , a , a istnieją i są dodatnie. Po to aby a również
4 3 2 1 0
istniało i były dodatnie, k musi być:
r
-1
"
1+10 k > 0k > kr >-0,1
r r
10
Widzimy więc, że jeśli k będzie dodatnie to pierwszy warunek będzie spełniony.
r
Krok V  sprawdzamy drugi warunek Hurwitza
Drugi warunek Hurwitza powiada: wszystkie podwyznaczniki " . > 0, gdzie i = 2,3,...,n-
i
1.
W przypadku, kiedy n = 4 należy sprawdzić dwa podwyznaczniki: " oraz " .
2 3
Sprawdzamy " :
2
a3 a4 =a2 a3-a1 a4=740Å"4700- 41Å"4000=3478000-164000=3314000> 0
"2=
( )
a1 a2
Sprawdzamy " :
3
a3 a4 0
"3= =a1 a2a3-a0a2-a2 a4= 41Å"740Å"4700-(1+10 k )Å"47002-412Å"4000
a1 a2 a3
3 1 r
( )
0 a0 a1
"3=142598000-22090000-220900000 k -6724000=113784000-220900000 k >0
r r
113784000
k < <0,515
r
22090000
Krok VI  określenie krytycznej wartości współczynnika wzmocnienia regulatora,
k
r
Z przeprowadzonych rozważań i wyliczeń wynika, że graniczna wartość współczynnika
wzmocnienia regulatora k przy której układ będzie na granicy stabilności to k = 0,515. Tę
r r
wartość wzmocnienia nazywamy krytyczną.
Tak więc w rozważanym przykładzie k =0,515 .
kr
Krok VII  określenie optymalnej wartości współczynnika wzmocnienia regulatora,
k
opt
4
Jednym ze znanych sposobów doboru optymalnych nastaw regulatora jest metodyka
Nicholsa-Zieglera (szczegóły: wykład 10, pkt. 10.3). Dla przypadku, kiedy stosujemy regulator
proporcjonalny P ( a tak mamy w tym przypadku albowiem pytamy tylko o jeden parametr
regulatora i to parametr charakteryzujÄ…cy regulator P) sprawa jest bardzo prosta. Zgodnie z
zaleceniami Nicholsa-Zieglera dla UAR z regulatorem P k = 0,5k . Tak więc w
opt kr
omawianym przykładzie k = 0,257.
opt
Krok VIII okreÅ›lenie wartoÅ›ci uchybu ustalonego, µ
ust
Uchyb ustalony wyliczymy ze wzoru na uchyb ustalony przyjmując k = k (szczegóły:
r opt
wykład 9, pkt. 9.1 oraz przykład 9.1).
Wstawimy do wzoru na uchyb ustalony transmitancje z rozważanego przykładu a za
sygnał wejściowy w przyjmiemy wymuszenie jednostkowe.
zad
Otrzymamy
1
Å"1
ko p tÅ"10
1+
1 ( 10 s+1 )( 400 s2+ 30 s +1)( s+ 1)
µ =l i m s w ( s )=l i m s
0 w z a d
s 0 1+ G ( s ) Go( s ) GU P( s ) s 0 s
R
1 1
µ0 w= = =0,28
1+10 k 1+ 10Å"0,257
o p t
Taka wartość uchybu ustalonego oznacza, że w stanie ustalonym na wyjściu obiektu w
rozpatrywanym przykładowym UAR sygnał ustali się na poziomie: y =1-0,28 = 0,72.
ust
5