8. Stabilność układów regulacji
8. STABILNOŚĆ UKA
ADÓW REGULACJI
Zamknięcie układu pętlą sprzężenia zwrotnego poprawia dokładność regulacji
i szybkość, ale powstaje możliwość, że układ będzie niestabilny.
Transmitancja układu zamkniętego:
G(s)
Gz (s)=
1+ G(s)H(s)
Definicja (warunek konieczny i wystarczajÄ…cy)
Badamy położenie pierwiastków równania charakterystycznego 1+ G(s)H(s) na
płaszczyz
nie zespolonej. Zamknięty UAR jest stabilny wówczas gdy wszystkie
pierwiastki równania charakterystycznego układu zamkniętego leżą w lewej
półpłaszczyz
nie zmiennej zespolonej.
Warunkiem koniecznym, ale niewystarczającym, aby nie było pierwiastków równania
charakterystycznego zamkniętego UAR o dodatniej wartości części rzeczywistej jest, aby:
- wszystkie współczynniki wielomianu miały ten sam znak;
- wszystkie współczynniki wielomianu były różne od zera.
Dla układu I i II stopnia warunek powyższy jest wystarczający, ale dla układów wyższych
rzędów należy dodatkowo zastosować kryterium Routha lub Hurwitza np.:
s3 + 2s2 + 2s + 40 = (s + 4)(s2 - 2s +10)
- układ ma dwa pierwiastki o części rzeczywistej dodatniej.
8.1. Kryterium Routha [8]
1 + G(s)H(s)= an sn + an-1 sn-1 + an-2 sn-2 + an-3 sn-3 + & + a1 s + a0 = 0
an an-2 an-4 an-6
an-1 an-3 an-5
b1 b3 b5
c1 c3
d1 d3
e1
f1
an an-2 an an-4 an an-6
an-1 an-3 an-1 an-5 an-1
gdzie b1 = ; b3 = ; b5 = ;
- an-1 - an-1 - an-1
an-1 an-3 an-1 an-5
b1 b3 b1 b5
c1 = ; c3 =
- b1 - b1
Wszystkie współczynniki pierwszej kolumny mają mieć ten sam znak.
Każdej zmianie znaku odpowiada jeden pierwiastek z częścią rzeczywistą dodatnią.
111
8. Stabilność układów regulacji
Przykład 8.1
s4 + 2s3 + 8s2 + 4s + 3 = 0
1 8 3
2 4
6 3
3
3
Wszystkie współczynniki pierwszej kolumny są dodatnie.
Przykład 8.2
s5 + s4 + 3s3 + 4s2 + s + 2 = 0
1 3 1
1 4 2
-1 1
5 2
-1,4
2
Dwa pierwiastki są z części rzeczywistej dodatniej.
Przykład 8.3
s3 + 2s2 + 2s + 40 = 0
1 2
2 40
-18
40
Dwa pierwiastki znajdują się w prawej części.
8.2. Kryterium Hurwitza [10]
Równanie charakterystyczne zamkniętego UAR ma wszystkie pierwiastki w lewej
półpłaszczyz
nie jeżeli :
1. wszystkie współczynniki równania istnieją i mają ten sam znak;
2. poszczególne podwyznaczniki (minory) wyznacznika "n są większe od zera.
1 + G(s)H(s)= an sn + an-1 sn-1 + an-2 sn-2 + an-3 sn-3 + & + a1 s + a0 = 0
an-1 an 0 0 0 0
"n = an-3 an-2 an-1 an 0 0 > 0
an-5 an-4 an-3 an-2 an-1 an
112
8. Stabilność układów regulacji
Przykład 8.4
4s4 + 2s3 + 8s2 + 3s +1,5 = 0
2 4 0 0 0 0
3 8 2 4 0 0
0 1,5 3 8 2 4
0 0 0 1,5 3 8
0 0 0 0 0 1,5
2 > 0
2 Å"8 - 3Å" 4 > 0
2 Å"8 Å"3 - 3Å"3Å" 4 - 2 Å" 2 Å"1,5 > 0
Inny sposób:
1. Podzielić na część parzystą i nieparzystą;
2. Utworzyć iloraz z tym, że część o wyższym stopniu będzie stanowić licznik;
3. Rozwinąć iloraz wielomianów na ułamek łańcuchowy Stieltjesa.
P(s) 1
1
N(s)= Ä…1 s + Ä…2 s +
1
Ä…3 s +
Ä…4 s +&
3. Układ jest stabilny gdy wszystkie współczynniki ą są dodatnie. Istnieje możliwość
2
istnienia pierwiastków nie majÄ…cych części rzeczywistych typu (s2 + É1 ).
Przykład 8.5
4s4 + 2s3 + 8s2 + 3s +1,5 = 0
4s4 + 8s2 +1,5
2s3 + 3s
Sposób zapisu:
4s4 + 8s2 +1,5
=
2s3 + 3s
+ + ÷ + =
4s4 8s2 1,5 2s3 3s 2s
1
= 2s + =
+
4s4 6s2
2s3 + 2s
2s2 +1,5
+
2s2 1,5
1
+ ÷ + =
2s3 3s 2s2 1,5 s
= 2s + =
1
1,5s +
+
2s3 1,5s
2s2 +1,5
1,5s
1,5s
4
1
+ ÷ =
2s2 1,5 1,5s s
= 2s + =
3
1
1,5s +
2s2 4 1,5
s +
3 1,5s
1,5
1
÷ =
1,5s 1,5 s
= 2s +
1
1,5s
1,5s +
4 1
s +
0
3 s
113
8. Stabilność układów regulacji
8.3. Kryterium Michajłowa [4]
L(s)
Mając transmitancję układu otwartego Go (s)= = G(s) H(s)
M (s)
Å"M
L(s)
Go
M(s) L(s)
Gz (s)= = =
L(s)
1+ Go 1+ M (s)+ L(s)
M (s)
czyli równanie charakterystyczne układu zamkniętego będzie: M(s)+ L(s).
Mając wielomian charakterystyczny układu zamkniętego M(s)+ L(s)= N(s)
N(s)= an sn + an-1 sn-1 +& + a1 s + a0 = 0
an  są rzeczywiste, mogą być +, _, lub równe 0.
Podstawiamy s=jÉ, gdyż z wielu możliwych punktów na pÅ‚aszczyz
nie zmiennej
zespolonej wybieramy zbiór punktów położonych na osi liczb urojonych, co odpowiada
wymuszeniu harmonicznemu N(jÉ)= Re[N(jÉ)]+ Im[N(jÉ)] i sporzÄ…dzamy wykres.
Koniec wektora wykreśli nam tzw. hodograf Michajłowa.
UkÅ‚ad automatycznej regulacji jest stabilny, gdy zmiana argumentu funkcji N(jÉ) przy
Ä„
zmianie pulsacji É od zera do +" wynosi n Å" , gdzie n oznacza stopieÅ„ równania
2
charakterystycznego.
jQÉ jQÉ
jQÉ
n=5
n=2 n=1
omija środek
PÉ PÉ
PÉ
a0
przebiega wzdłuż
n=3
zły kierunek poprzednio
przeciętej osi
Układ stabilny Układ na granicy stabilności
Układ niestabilny
Rys. 8.1
Metoda mnemotechniczna
P(É) Q(É) P(É) Q(É)
Q(É)
P(É)
a0
P(É)
É1 É2 É3 É4
É É
Q(É)
stabilny niestabilny
Rys. 8.2
114
8. Stabilność układów regulacji
Przykłady 8.6
K
Go(s)=
s(1+ T1s)(1+ T2s)
gdzie K= 60 [rad/sek]
T1=0,6s;
T2=0,01s;
2 2
Re N(jÉ)= K - (T1 - T2 )É = 60 - 0,6É
3 3
Im N(jÉ)= É + T1T2É = É - 6 Å"10-3É
j N(jÉ)
N(jÉ)
É=0
Rys. 8.3
8.4. Kryterium Nyquista [9]
Służy do oceny stabilności układu zamkniętego UAR przy pomocy oceny funkcji
N(jÉ) ukÅ‚adu otwartego. UkÅ‚ad zamkniÄ™ty jest stabilny wówczas, gdy caÅ‚kowita zmiana
argumentu mianownika transmitancji widmowej (1+ G(jÉ)H(jÉ))przy zmianie pulsacji -
" wynosi m  kątów pełnych, gdzie m oznacza ilość pierwiastków równania
charakterystycznego układu otwartego w prawej półpłaszczyz
nie.
"agr[1+ G(jÉ)H(jÉ)]= m2Ä„ przy zmianie -" +"
1. Jeżeli układ otwarty jest stabilny i jego charakterystyka amplitudowo  fazowa
G(jÉ)H(jÉ) dla pulsacji É od 0 do +" nie obejmuje punktu (-1;+j0) to wtedy i tylko
wtedy po zamknięciu będzie on również stabilny.
2. Jeżeli układ otwarty jest niestabilny i ma m  pierwiastków swego równania
charakterystycznego w prawej półpłaszczyz
nie, to układ zamknięty jest stabilny
wówczas, gdy charakterystyka amplitudowo  fazowa G(jÉ)H(jÉ) ukÅ‚adu otwartego
m
okrąża + razy punkt (-1;+j0) w kierunku dodatnim (przy czym znak dodatni odnosi
2
się do przeciwnego kierunku obrotu niż obroty wskazówek zegara, przy zmianie od 0
do +")
Ad. 1.  Reguła lewej strony : układ zamknięty jest stabilny, kiedy punkt (-1;+j0) znajduje
siÄ™ w obszarze leżącym po lewej stronie charakterystyki G(jÉ)H(jÉ) idÄ…c w stronÄ™
rosnÄ…cych É.
W układach z większą ilością sprzężeń zwrotnych lepiej stosować metody
mnemotechniczne.
115
8. Stabilność układów regulacji
jQÉ
É=0
jQÉ
1+R(jÉ) PÉ
-"
PÉ
- - + +
R(jÉ)
É=+"
Układ jest niestabilny
Rys. 8.4
Dodatni kierunek przecinania zakładamy z góry na dół. Konieczna jest znajomość liczby
pierwiastków równania charakterystycznego układu otwartego, które leżą w prawej
półpłaszczyz
nie (w ilości m). Rozwiązane to jest za pomocą kryterium Routha,
Michajłowa lub znajomości pierwiastków tego równania co jest możliwe w układach z
jednym sprzężeniem. W układach z większą ilością sprzężeń lepiej stosować kryterium
Michajłowa.
Układ zamknięty wówczas, gdy różnica pomiędzy dodatnimi i ujemnymi przecięciami
charakterystyki czÄ™stotliwoÅ›ciowej ukÅ‚adu otwartego dla É od 0 do +" z ujemnÄ… osiÄ… liczb
m
rzeczywistych na lewo od punktu(-1;+j0) równa się , gdzie m oznacza ilość
2
pierwiastków równania charakterystycznego układu otwartego, leżących w dodatniej
półpłaszczyz
nie. Gdy ukÅ‚ad otwarty jest stabilny lub neutralny (pierwiastki na osi jÉ)
różnica wynosi 0.
8.5. Zapas stabilności
Układ pracujący w warunkach przemysłowych narażony jest na działanie szeregu
czynników szkodliwych: temperatura, wilgotność, zapylenie, wibracje itp. Czynniki te
powodują między innymi zmiany stałych czasowych układu. W związku z czym układ
dobrany optymalnie po pewnym czasie mógłby stać się niestabilny. Dlatego projektując
układ uwzględnia się tzw. zapas stabilności. Zapas ten zapewnia również właściwy kształt
procesów przejściowych.
Zapas stabilności można wyznaczyć:
1. Za pomocą zbadania położenia pierwiastków dominujących. Pierwiastki dominujące to
pierwiastki znajdujące się najbliżej granicy stabilności a odpowiadające im czas
regulacji i przeregulowanie przyjmują duże wartości.
a) DominujÄ…cy pierwiastek jest rzeczywisty
¾  tÅ‚umienie (bezwzglÄ™dne), miara szybkoÅ›ci dziaÅ‚ania
jÉ
układu  stopień stabilności.
s4
s1 Ã
¾
¾ = min Res sk
Rys. 8.5
Znamy równanie charakterystyczne UAR i jego pierwiastki:
1 + H(s)G(s)= an sn + an-1sn-1 + & + a1s + a0 = 0
(s - s1)(s - s2 )& (s - s4 )& (s - sn )= 0
(Tk s +1)
116
8. Stabilność układów regulacji
1 1
Tk = - = - dominująca stała czasowa
s4 ¾
Jeżeli jest znane położenie pierwiastka dominującego rzeczywistego to można
wyznaczyć stałą czasową Tk, a następnie na podstawie badań członu I rzędu ocenić
czas regulacji, który powinien wynosić (3 ÷ 4) Tk.
b) DominujÄ…cy pierwiastek jest zespolony
jÉ
miary zapasu
tg· - oscylacyjność
stabilności
Å› = cos· - tÅ‚umienie wzglÄ™dne
s3
z
Ã
s1 s2 ·
·
s4 ¾
Rys. 8.6
(s - s1)(s - s2 )(s - s3)(s - s4 )&
(Tz2 s2 + 2¾zTz s +1)
Tz¾ - dominujÄ…ce staÅ‚e czasowe i liczba tÅ‚umienia zwiÄ…zana z pierwiastkami
z
dominującymi zespolonymi równania charakterystycznego.
Na podstawie badaÅ„ czÅ‚onów II rzÄ™du, można powiedzieć, że ¾z wpÅ‚ywa na
oscylacyjny lub aperiodyczny charakter odpowiedzi a Tz wpływa na czas regulacji.
1
rk = = É0 ; · = arc cos¾z
Tz
W większości przypadków dla układów dobrze zaprojektowanych przyjmuje się:
0,4 d" ¾ d" 0,8 (oraz 2% d" "Cmr d" 25%)
z
PowyższÄ… wartość zapasu stabilnoÅ›ci ¾z z reguÅ‚y wykorzystuje siÄ™ w syntezie ukÅ‚adów za
pomocą metody Evansa (metoda miejsc geometrycznych pierwiastków równania
charakterystycznego).
2. Za pomocą zapasu wzmocnienia i fazy w układzie otwartym.
Ä…
Przejście układu stabilnego na granicę
stabilności może dokonać się poprzez:
-1;0 ÉÄ„
a) wzrost wzmocnienia;
Å‚
b) wzrost jednej ze stałych czasowych
(dominujÄ…cej).
ÉĆ
Ć
W przypadku (a) wydłuża się wektor
odpowiadajÄ…cy pulsacji fazy ÉÄ„(Ä…). W
przypadku (b) zachodzi obrót wektora
odpowiadajÄ…cy pulsacji moduÅ‚u ÉĆ.
Ć-jest ujemne
Rys. 8.7
a) Zapas wzmocnienia;
117
8. Stabilność układów regulacji
Dla ukÅ‚adu stabilnego jest H(jÉÄ„ )G(jÉÄ„ ) = Ä…
1
stÄ…d Kd =
Dla ukÅ‚adu na granicy stabilnoÅ›ci Kd H(jÉÄ„ )G(jÉÄ„ ) = 1
Ä…
dodatkowe wzmocnienie, które
można odczytać z wykresu
b) Zapas fazy;
Jest to kÄ…t okreÅ›lony wzorem Å‚ = 180 + Õ (Ć jest ujemne). W przypadku ukÅ‚adów
dobrze zaprojektowanych przyjmuje się następujące wartości:
2 d" Kd d" 4
Znaczenie drugorzędne
6dB d" "LM d" 12db
Znaczenie pierwszorzędne
30° d" Å‚ d" 60°
3. Za pomocą amplitudy rezonansowej układu zamkniętego.
Mamy układ:
K 1
s(sT +1) Tz2 s2 + 2¾ Tz s +1
-
z
T 1
Tz = ; ¾z =
K
2 T K
Rys. 8.8
Stosując klasyczne metody poszukiwania ekstremów funkcji można wyznaczyć
maksymalną wartość modułu Mr (amplituda rezonansowa), która jest miarą zapasu
stabilności.
Gz(jÉ) = M
1
M =
r
Mr
2
2¾ 1- ¾
z z
1
Dla układów dobrze zaprojektowanych:
1,1 d" M d" 1,5
r
t
1dB d" LMr d" 4dB
LMr = 20 lg Mr
Szybkość działania układu charakteryzuje
pulsacja rezonansowa Ér
Ér
lg É 1
2 2
Ér = 1- 2¾ ; Ér = É0 1- 2¾
z z
Tz
Rys. 8.9
4. Zapas stabilności względem parametrów układu.
5. Bezpośrednia ocena przebiegu przejściowego np. przeregulowanie.
118
8. Stabilność układów regulacji
Przykład 8.7
Za pomocą charakterystyki amplitudowo-fazowej zbadać zapas stabilności układu
opisanego funkcją przejścia w układzie otwartym:
KK
Z
H(s)G(s)=
s(T1s +1)(T2s +1)
dla danych liczbowych:
KKz= 0,8 [1/s]
T1 = 1 [s]
T2 = 10 [s]
RozwiÄ…zanie
Na podstawie funkcji przejścia w układzie otwartym otrzymujemy na stepujące
związki, niezbędne do wykreślenia charakterystyki:
KK
Z
H(jÉ)G(jÉ) =
2 2
É 1+É T12 1+É T22
Õ = -90o  arctg ÉT1  arctg ÉT2
PrzyjmujÄ…c wartoÅ›ci pulsacji É sygnaÅ‚u harmonicznego z przedziaÅ‚u [0,25; "]
otrzymamy współrzędne punktów charakterystyki zestawione w tabeli 8.1.
Tabela 8.1.
É [1/s] 0,25 0,30 0,40 0,50 0,60 0,80 1,00 "
|H(jÉ)G(jÉ)| 1,15 0,81 0,45 0,28 0,19 0,10 0,06 0
Õ [o] -172 -178 -188 -195 -201 -212 -219 -270
Na podstawie tabeli 8.1. wykreślamy charakterystykę amplitudowo-fazową przedstawioną
na rysunku. 8.11.
aH"0,73 jImH(jÉ)G(jÉ)
0,6
0,5 0,8
0,4
ReH(jÉ)G(jÉ)
~5°
0,3
É="
0,25
Rys. 8.10
Zgodnie z definicją zapasu stabilności, wyrażonego przez zapas wzmocnienia i fazy
otrzymujemy:
1 1
K = H" H" 1,37
d
a 0,73
Å‚ = 180 + Õ H" 5 [o]
119
8. Stabilność układów regulacji
Bezpieczna praca układu regulacji oraz właściwy kształt jego charakterystyk
czasowych wymagają, aby zapas stabilności charakteryzowały następujące wielkości:
2 d" Kd d" 4
30 [o] d" Å‚ d" 60 [o]
W związku z tym można stwierdzić, że rozpatrywany układ ma za mały zapas
wzmocnienia, a szczególnie za mały zapas fazy. Można oszacować wartość
przeregulowania odpowiadajÄ…cÄ… wyznaczonemu zapasowi fazy, mianowicie:
"cmr H" 95 [%]
Tak dużej wartości przeregulowania będzie odpowiadał również bardzo duży czas
regulacji, wykluczający praktyczne zastosowanie rozpatrywanego układu, o ile nie
zastosuje się odpowiedniego regulatora lub członu korekcyjnego.
Przykład 8.8.
Za pomocą charakterystyk logarytmicznych amplitudowej i fazowej zbadać zapas
stabilności układu regulacji opisanego funkcją przejścia w układzie otwartym:
KK
z
H(s)G(s)=
(T1s + 1)(T2s + 1)
dla danych liczbowych:
KKz = 10 [-]
T1 = 0,1 [s]
T2 = 0,2 [s]
RozwiÄ…zanie
LmH(jÉ)G(jÉ)
1 1
30 [dB]
ÉÕ H" 21[ ] , ÉÄ„ = " [ ]
s s
20
10
lgÉ
É
1
2 4 6 10 20 40 60 100 200 400
-10
1 1
-20
ÉÕ H" 21[ ] , ÉÄ„ = " [ ]
s s
-30 Ć
[°]
lgÉ
É
2 4 6 10 20 40 400
-30 60 100 200
-60
-90
-120
-150
-180
Rys. 8.11
Na podstawie funkcji przejścia w układzie otwartym otrzymujemy następujące
związki, niezbędne do wykreślenia charakterystyk logarytmicznych:
2 2
LmH(jÉ)G(jÉ)= 20 lg KK - 20 lg 1+T12É - 20 lg 1+ T22É
Z
120
8. Stabilność układów regulacji
Õ = -arctg ÉT1  arctg ÉT2
Wyznaczając charakterystyki przybliżone za pomocą asymptot, a następnie
uwzględniając wartości błędów powstałych wskutek przybliżania, otrzymamy
charakterystyki o większej dokładności pokazane na Rys. 8.12.
Zgodnie z definicją zapasu stabilności, wyrażonego poprzez zapas wzmocnienia i
fazy, otrzymujemy:
"Lm = 20 lg Kd = " [dB]
Å‚ = 180 + Õ = 36 [o]
Bezpieczna praca układu regulacji oraz właściwy kształt jego charakterystyk
czasowych wymagają, aby zapas stabilności charakteryzowały następujące wartości:
6 [dB] d" "Lm d" 12 [dB]
30 [o] d" Å‚ d" 60 [o]
W związku z tym można stwierdzić, że:
a) rozpatrywany układ ma za duży zapas wzmocnienia; jest to jednak cecha
strukturalna układów zawierających co najwyżej dwie stałe czasowe i dopuszczalna w
układach regulacji, gdyż zapas wzmocnienia pełni rolę drugorzędną w porównaniu z
zapasem fazy;
b) rozpatrywany układ ma zapas fazy zgodny z wytycznymi projektowymi; należy
jednak pamiętać, że małym wartościom zapasu fazy odpowiadają duże wartości
przeregulowania i czasu regulacji oraz odwrotnie: w rozpatrywanym przypadku
otrzymamy:
"cmr = 43 [%]
Értr Értr 10,6
tr = H" = = 0,5[s].
Ér ÉÕ 21
121