Automatyka i Robotyka Wykład nr 8
Wprowadzenie
Wprowadzenie
Automatyka i Robotyka
Automatyka i Robotyka
Podstawowym wymaganiem stawianym układowi
regulacji jest uzyskanie na jego wyjściu sygnału
y(t) odpowiednio bliskiego przebiegowi wartości
zadanej w(t) (czyli minimalizacji sygnału uchybu).
Uchyb regulacji e(t) jest różnicą pomiędzy
Uchyb regulacji e(t)
wartością zadaną a regulowaną, może być
wywołany przez np:
zakłócenia
e(t)= w(t)- y(t)
Agata Nawrocka
Agata Nawrocka
zmianę wartości zadanej
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
zmianą parametrów układu
Akademia Górniczo-Hutnicza
Akademia Górniczo-Hutnicza
1 22
1 2
Automatyka i Robotyka Wykład nr 8 Automatyka i Robotyka Wykład nr 8
Wprowadzenie
Wprowadzenie W przebiegu uchybu regulacji e(t) można wydzielić
dwie składowe:
Dokładność statyczna  zdolność układu do
Dokładność statyczna
1)Uchyb ustalony eu występuje wtedy, gdy
1)Uchyb ustalony eu
utrzymywania wartości regulowanej jak najbliżej
w układzie dla t " przy danym sygnale
wartości zadanej w stanie ustalonym, a więc po
sterującym i danych sygnałach zakłócających
zakończeniu stanu przejściowego.
sygnał wyjściowy ustala się. Przy wymuszeniu
skokowym uchyb ustalony nosi nazwę uchybu
statycznego.
Dokładność dynamiczna  określa zdolność
Dokładność dynamiczna
układu do wiernego i szybkiego śledzenia zmiany 2) Uchyb dynamiczny ed(t ) występuje w stanie
Uchyb dynamiczny ed(t )
przejściowym
wartości zadanej.
e(t ) = eu + ed (t )
33 44
3 4
Automatyka i Robotyka Wykład nr 8 Automatyka i Robotyka Wykład nr 8
Ocena dokładności statycznej układu
Ocena dokładności statycznej
Dokładność statyczna liniowych układów
Dokładność statyczna liniowych układów
sprowadza się do oceny uchybu w stanie
regulacji
regulacji
ustalonym eu.
Miarą dokładności statycznej są: e = lim e (t )
u
t "
uchyby ustalone  utrzymujące się po zaniku
uchyby ustalone
Uchyb regulacji e(t) można wyrazić także jako
procesu przejściowego, wywołanego zmianą
sumę dwóch składowych
wartości zadanej w(t) lub zakłócenia z(t)
e(t)= ez(t)+ ew(t)
Z(s)
gdzie:

W(s) E(s) U(s) Y(s)
ez(t)  składowa będąca wynikiem oddziaływania
GO(s)
GR(s)

zakłóceń (uchyb zakłóceniowy),
ew(t)  składowa wywołana zmianą wartości zadanej na
" Schemat blokowy układu regulacji wejściu układu (uchyb nadążania).
55 66
5 6
Automatyka i Robotyka Wykład nr 8 Automatyka i Robotyka Wykład nr 8
1) Zakładamy, że z(t) a" 0 wtedy:
2) Zakładamy, że w(t) a" 0, wtedy
YZ(s) G0(s)
YW (s) G0(s)GR (s)
G2(s) = = -
G1(s)= =
Z(s) 1+G0(s)GR(s)
W(s) 1+ G0(s)GR (s)
lecz
lecz
1
YZ (s ) = - E (s )
Yw(s)= G0 (s)GR (s)Ew (s)
Z
G ( s )
0
stąd transmitancja uchybu względem zakłócenia
Transmitancja uchybu układu względem wartości
z(t) wynosi:
zadanej w(t) wynosi więc:
Ez(s) G0(s)
EW(s) 1 Ge/z(s) = =
Ge/w(s) = =
Z(s) 1+G0(s)GR(s)
W(s) 1+G0(s)GR(s)
77 88
7 8
Automatyka i Robotyka Wykład nr 8 Automatyka i Robotyka Wykład nr 8
Przykład
Przykład
Odpowiedz
całkowita wielkości regulowanej
Obiekt regulacji jest elementem inercyjnym
G0 (s)GR (s) G0 (s)
Y(s)= YW (s)+ YZ (s) = W (s)- Z(s)
pierwszego rzędu.
1+ G0 (s)GR (s) 1+ G0 (s)GR (s)
K
G ( s ) =
0
Odpowiedz
całkowita uchybu Ts + 1
1 G0(s) Wyznaczyć uchyb statyczny układu wywołany
E(s)= EW(s)+ EZ(s)= W(s)+ Z(s)
1+G0(s)GR(s) 1+G0(s)GR(s) skokową zmianą zakłócenia w przypadku, gdy
w układzie zastosowano:
stąd uchyb statyczny (twierdzenie o wartości
a) regulator typu P
końcowej)
b) regulator typu PI
eu = lim e(t) = lim0 sE (s)
t " s
Ponieważ w(t) = 0 otrzymujemy:
Powyższe zależności pozwalają ocenić wpływ typu
G0(s)
eu = limsE(s)= lims Z(s)
i nastaw regulatora na dokładność statyczną układu.
s0 s0
1+G0(s)GR(s)
99 10
9 10
10
Automatyka i Robotyka Wykład nr 8 Automatyka i Robotyka Wykład nr 8
a) Jeżeli GR (s) = Kp, to
Z powyższych obliczeń wynika, że:
K
zst K
Ts+1
a) zwiększenie wzmocnienia Kp, regulatora typu P,
eu = lims = zst
s0 K
powoduje zmniejszenie uchybu statycznego,
1+ Kp s 1+ KKp
Ts+1
b) działanie całkujące regulatora powoduje, że
�# ś#
1
b) Jeżeli , to
ś#
Gr(s) = Kp
uchyb statyczny eu = 0.
ś#1+Tsź#
ź#
�# i #
K
zst
Należy zwrócić uwagę, że zmniejszenie uchybu
Ts +1
eu = lim s
s0
�# ś# s
K 1 statycznego na drodze zwiększenia
1+ K ś# ź#
p
ś#1+ ź#
współczynnika wzmocnienia Kp regulatora jest
Ts +1 Tis
�# #
możliwe w ograniczonym zakresie  może
KTis
eu = lim zst = 0 bowiem prowadzić do niestabilności układu.
s0
Tis(Ts+1) + KKp(Tis +1)
11 12
11 12
11 12
Automatyka i Robotyka Wykład nr 8 Automatyka i Robotyka Wykład nr 8
2) Układy regulacji astatycznej
Istnieją dwa typy liniowych układów regulacji: Układy regulacji astatycznej
Istnieją dwa typy liniowych układów regulacji:
Układy, w których uchyby ustalone przy stałym
1) Układy regulacji statycznej
Układy regulacji statycznej
wymuszeniu są równe zero. Układy astatyczne,
Układy, w których występują uchyby ustalone,
wykazują pewne uchyby ustalone przy
proporcjonalne do wartości wymuszenia
wymuszeniach liniowo narastających.
skokowego.
Transmitancja układu otwartego Gotw(s) dla
Transmitancja układu otwartego dla układów
układów statycznych nie zawiera biegunów
astatycznych ma postać:
zerowych
L(s)
L(s)
Gotw (s)=
Gotw (s) =
n
M (s)
s M (s)
13 14
13 14
13 14
Automatyka i Robotyka Wykład nr 8 Automatyka i Robotyka Wykład nr 8
Odpowiedzi układu astatycznego I rzędu
Odpowiedzi układu astatycznego I rzędu
Odpowiedzi układu statycznego
Odpowiedzi układu statycznego
a)
b) e =const
u
w y
a) w y
b)
w y
w y
w(t)

e "
w(t)
u
w(t)
w(t)
y(t)
y(t)
y(t)
y(t)
t t
t t
Na wymuszenie liniowo
Na wymuszenie skokowe
Na wymuszenie skokowe Na wymuszenie liniowo
narastające
narastające
15 16
15 16
15 16
u
cnt
e=0
u
e=os
Automatyka i Robotyka Wykład nr 8 Automatyka i Robotyka Wykład nr 8
Przykład 2 Wyznaczyć uchyb ustalony w odpowiedzi na
Przykład 2
wymuszenie skokowe i liniowo narastające.
Układ regulacji automatycznej ma strukturę
przedstawioną na rysunku. Regulator i obiekt mają
Przy założeniu, że Z(s) = 0 dla wymuszeń
transmitancje operatorowe odpowiednio równe:
nieokresowych otrzymamy
�# ś#
1
Ą# 1 ń#
ś# ź#
G (s ) = K 1 + ,
R p
eu = lim[sE (s)]= limĄ#sG (s)W (s)ń# = limó#s
ś# ź# W (s)Ą#
e
sT
s0 s0 ó# Ą# s0
�# i # Ł# w Ś#
1 + GR (s)GO (s)
Ł# Ś#
1
G (s ) =
O
s (s + 2 )
Ą# ń#
M (s)M (s)
R O
eu = limó#s W (s)Ą# =
Z(s)
s0
M (s)M (s) + LR (s)LO (s)
Ł# R O Ś#

W(s) E(s) U(s) Y(s)
1
O
R = lim[sM (s)M (s)W (s)]
R O

s0
M (0)M (0) + LR (0)LO (0)
R O
17 18
17 18
17 18
Automatyka i Robotyka Wykład nr 8 Automatyka i Robotyka Wykład nr 8
Przy wymuszeniu liniowo narastającym
Dla wymuszenia skokowego w1(t)=a11(t)
(prędkościowym) uchyb ustalony będzie również
o amplitudzie a1=1 otrzymamy
znikał ze względu na całkujący charakter obiektu:
1
1 1
W1(s)=
eu = limĄ#s sTis(s + 2)ń# = 0
s2
Ą#
kp s0ó# s2
Ł# Ś#
Mianownik transmitancji operatorowej regulatora
Dopiero wymuszenie drugiego rzędu,
PI ma postać:
przyspieszeniowe (paraboliczne) o amplitudzie
MR(s)= sTi
a3=1 daje
Uchyb ustalony (statyczny) przy wymuszeniu 2
w3 (t) = a3t �"1(t)
skokowym będzie równy zeru:
i wtedy powstanie niezerowy uchyb ustalony
1 1
Ą#s
eu = lim sTis(s + 2)ń# = 0
1
ó# Ą#
s 0
0 �" 0 + 1�" k s
Ł# Ś#
p W3(s)=
19 20
19 20
19 20
s3
Automatyka i Robotyka Wykład nr 8 Automatyka i Robotyka Wykład nr 8
h(t)
Jakość dynamiczna
Jakość dynamiczna
Z odpowiedzi układu z regulatorem
1
proporcjonalnym na skokową zmianę wartości
zadanej widać, że wzrost wzmocnienia regulatora:
3
zmniejsza wartość uchybu ustalonego
2
powoduje, że przebieg sygnału wyjściowego
K 1 2
1
coraz bardziej odbiega od przebiegu wartości
zadanej.
0 t
Zatem wzrost wzmocnienia regulatora w konsekwencji
Odpowiedz
skokowa dla różnych wzmocnień
zmniejsza dokładność dynamiczną układu.
21 regulatora 22
21 22
21 22
Automatyka i Robotyka Wykład nr 8 Automatyka i Robotyka Wykład nr 8
Ocena parametrów odpowiedzi skokowej
Ocena dokładności dynamicznej nie jest Ocena parametrów odpowiedzi skokowej
jednoznaczna. O ile bowiem uchyb ustalony łatwo
Odpowiedz
skokowa rzeczywistego układu
zdefiniować i wyznaczyć jego wartość, o tyle
sterowania często daje tłumione oscylacje, zanim
dokładność dynamiczną można scharakteryzować
osiągnie stan ustalony. Jakość regulacji określa
różnymi parametrami, na podstawie różnych
się w tym przypadku na podstawie następujących
kryteriów. Kryteria te można podzielić na cztery
parametrów:
grupy:
a) czas td,
ocena parametrów odpowiedzi skokowej,
b) czas narastania (czas wzrostu) t1,
kryteria całkowe,
c) czas szczytowy tm,
kryteria częstotliwościowe,
d) maksymalne przeregulowanie A1,
rozkład pierwiastków.
e) czas regulacji tr.
23 24
23 24
23 24
Automatyka i Robotyka Wykład nr 8 Automatyka i Robotyka Wykład nr 8
dopuszczalna
Typowe przebiegi regulacji uzyskane przy skokowym zakłóceniu
Typowe przebiegi regulacji uzyskane przy skokowym zakłóceniu
tolerancja
y(t)
z = 1(t)
z = 1(t)
0.05
lub
a b
0.02
1 ye ye
yemax
yemax
0.5 t t
Tu Tu
c d
ye ye
ye1
td
t
0
ye3
t1
yemax=ye1
tm
ye2
ye3
yemax
tr
t
t ye2
Tu
Tu
czas td - jest czasem potrzebnym, aby odpowiedz
po
czas regulacji t - jest czasem potrzebnym, aby raz wzrosła
czas narastania rt1-tm jest czasem potrzebnym, aby odpowiedz
pierwszy
odpowiedz

czas szczytowy - jest to czas potrzebny, aby krzywa odpowiedzi
maksymalne przeregulowanie A1 (w procentach)
osiągnęła połowę
osiągnęła i pozostała w otoczeniu ustalonej. swojej wartości
od 10% do 90%, wartości ustalonej od 0% do 100%
od 5% lub
osiągnęła pierwszy szczyt przeregulowania
y (do )95% (" )wartości Wartość tego
t - y
m
a  przebieg aperiodyczny z błędem statycznym c  przebieg oscylacyjny z błędem statycznym
A1 = �" 100 %
czasu zwykle przyjmuje się jako 2% lub 5% wartości ustalonej.
końcowej.
y (" ) 25 26
25
25 b  przebieg aperiodyczny bez błędu statycznego d  przebieg oscylacyjny bez błędu statycznego26
Automatyka i Robotyka Wykład nr 8 Automatyka i Robotyka Wykład nr 8
Dla większości układów drugiego rzędu tłumienie Przykład 3
Przykład 3
powinno zawierać się między 0.4 a 0.8,
Wyznaczyć czas narastania, czas szczytowy,
maksymalne przeregulowanie i czas regulacji
Małe wartości � (� < 0.4) dają nadmierne
układu drugiego rzędu przedstawionego na
przeregulowanie w odpowiedzi skokowej,
rysunku.
.
a układy o dużej wartości � (� > 0.8) odpowiadają
powoli,
2
W(s) E(s) Y(s)
�n
 s(s + 2��n)
Niektóre parametry, np. maksymalne
przeregulowanie i czas narastania, są prze-
ciwstawne, tzn. maksymalne przeregulowanie
i czas narastania nie mogą być zmniejszane
" Schemat blokowy układu II-go rzędu
równocześnie.
27 28
27 28
27 28
1
A
Automatyka i Robotyka Wykład nr 8 Automatyka i Robotyka Wykład nr 8
Wartości te określimy jako funkcję � i wn. Zakłada
Z równania na y(t1) otrzymujemy:
się, że układ jest niedotłumiony (oscylacyjny). Wtedy
�
transmitancja układu zamkniętego ma postać
cos�dt1 + sin�dt1 = 0
2 2
Y (s) � 1- �
n
GZ (s)= =
2 2
czyli
W (s) s + 2�� s + �
2
n n
1- � �d
a) czas narastania t1
tg�dt1 = - = -
� �
Obliczając z równania odpowiedz skokową,
otrzymujemy czas narastania t1 przyjmując y(t1) = 1,
stąd czas narastania t1 jest równy:
czyli
�# ś#
�
�d Ą
n 1 �# ś# - �
y(t1)= 1- e-�� t1 ś# cos�dt1 + sin�dt1 ź#
t1 = tg-1ś# ź# =
2
ś# ź#
1- �
�d �# -� �d
�# # #
przy czym wd oznacza pulsację drgań własnych
gdzie � jest zdefiniowane na rysunku. Oczywiście,
tłumionych, wynoszącą .
2
dla małych wartości t1, wd musi być duże.
�d =�n 1-�
29 30
29 30
29 30
Automatyka i Robotyka Wykład nr 8 Automatyka i Robotyka Wykład nr 8
�
j
b) czas szczytowy tm
Czas szczytowy otrzymujemy różniczkując y(t) ze
�d
j
względu na czas i przyrównując tę pochodną do
�n
zera. Stąd
�n = 1-ś2 �# ś# �#
dy � ��d ś#
n ź# n ź#
= ��ne-�� tś#cos�dt + sin�dt + e-�� tś#�dsin�dt - cos�dt
2 2
ś# ź# ś# ź#
dt
1-� 1-�
�# # �# #
�
-� 0 � Człony zawierające cosinus w ostatnim równaniu
dy
znoszą się i oszacowane w t = tm może być
dt
uproszczone do
ś�n
dy �n
n
= (sin�dtm) e-�� tr = 0
2
" Definicja kąta � dt
t=tm 1-�
31 32
31 32
31 32
Automatyka i Robotyka Wykład nr 8 Automatyka i Robotyka Wykład nr 8
c) maksymalne przeregulowanie A1:
Z ostatniego równania otrzymujemy:
Maksymalne przeregulowanie występuje w czasie
sin � t = 0
d m
szczytowym, czyli dla
czyli:
Ą
t =tm =
�dtm =0,Ą,2Ą,3Ą,...
�d
Ponieważ czas szczytowy dotyczy pierwszego
Stąd z równania otrzymujemy A1 podstawiając
przeregulowania, więc stąd :
�
Ą �
- Ą
-��n �# ś# - Ą
2
�d �d 1-�
ś#cosĄ + � sinĄ ź#
� tm = Ą
A1 = y(tm )-1 = e = e = e
d
ś# 2 ź#
1 - �
�# #
Czas szczytowy tm odpowiada połowie okresu
drgań własnych tłumionych
Maksymalne procentowo przeregulowanie równe
Ą jest �
- Ą
tm =
�d
�d
e �"100%
33 34
33 34
33 34
Automatyka i Robotyka Wykład nr 8 Automatyka i Robotyka Wykład nr 8
y(t)
n
e-ś� t
1
d) czas regulacji tr:
1+
1+
1- ś2
1- ś2
1
Dla niedotłumionego układu (oscylacyjnego)
T =
ś�n
drugiego rzędu odpowiedz
skokowa ma postać:
1
n
2 e-ś� t
n ś#
1 - � 1-
e-�� t �#
-1
ź#
y(t)=1 - sinś#� t + tg 1- ś2
dla t e" 0
d
2 ś# ź#
�
1 - �
�# #
1 0
1- Ą
1- ś2 T 2 T 2T 3T 4T t
" Para obwiedni odpowiedzi skokowej
35 36
35 36
35 36
Automatyka i Robotyka Wykład nr 8 Automatyka i Robotyka Wykład nr 8
Krzywe są obwiedniami odpowiedzi skokowej dla
W praktyce do porównania odpowiedzi układów
jednostkowego skokowego sygnału wejściowego.
powszechnie stosuje się czas regulacji
Krzywa odpowiedzi y(t) zawsze pozostaje
zdefiniowany jako:
wewnątrz pary obwiedni, jak to pokazano na
rysunku. Stała czasowa tych obwiedni równa jest
4 4
1/�wn. tr = 4T = = (kryterium 2%)
� ��n
Prędkość tłumienia odpowiedzi skokowej zależy
lub
od wartości stałej czasowej 1/�wn. Dla danego
wn czas regulacji tr jest funkcją stosunku �.
3 3
tr =3T = =
Czas regulacji określany do chwili znalezienia się
� ��n (kryterium 5%)
sygnału wyjściowego w paśmie tolerancji
o szerokości ą2% lub ą5% może być mierzony
poprzez stałą czasową T = 1/��n
37 38
37 38
37 38
Automatyka i Robotyka Wykład nr 8 Automatyka i Robotyka Wykład nr 8
We wszystkich wymienionych kryteriach
Kryteria całkowe
Kryteria całkowe
(wskaz
nikach) ed(t) oznacza uchyb przejściowy,
Najczęściej stosowane kryteria całkowe: czyli:
"
ed (t)= e(t)- eu, eu = lim e(t)
I0 = ed (t)dt, t"
+"
0
"
Niekiedy stosowane są wskaz
niki całkowe,
I = ed (t )dt ,
1
+" w których funkcja podcałkowa jest kombinacją
0
funkcji podcałkowych z powyższych kryteriów,
"
k
I1k = ed(t)dt,
+"t
0
Za miarę jakości układu uważa się wartość
"
2
całki I, tzn. im mniejsza jest ta wartość, tym
I2 = (t)dt.
+"e
d
wyższa jakość regulacji układu.
0
39 40
39 40
39 40
Automatyka i Robotyka Wykład nr 8 Automatyka i Robotyka Wykład nr 8
Układ statyczny
Układ statyczny
Układ astatyczny
Układ astatyczny
ed
ed
przebieg aperiodyczny
eu
przebieg aperiodyczny
+
+
przebieg oscylacyjny
0 t
0 t
y
przebieg oscylacyjny
-
+
+ +
0 t
-
0 t
Interpretacja graficzna całkowych kryteriów jakości
Interpretacja graficzna całkowych kryteriów jakości
41 42
41 42
41 42
Automatyka i Robotyka Wykład nr 8 Automatyka i Robotyka Wykład nr 8
Zasadniczymi parametrami określanymi na
Kryteria częstotliwościowe
Kryteria częstotliwościowe
podstawie charakterystyk częstotliwościowych
Podstawowym warunkiem dobrego działania
układu są:
układu regulacji jest jego stabilność.
zapas stabilności (modułu i fazy),
Kryterium Nyquista mówi, że gdy
charakterystyka amplitudowo-fazowa stabilnego
pulsacja odcięcia wn charakterystyki widmowej
układu otwartego nie obejmuje punktu (-1, j0), to
części rzeczywistej P(w) transmitancji układu
układ zamknięty jest też stabilny,
zamkniętego Gz(jw), czyli pulsacja, przy której
charakterystyka rzeczywista przecina oś odciętych
Odległość charakterystyki częstotliwościowej od
punktu krytycznego (-1, j0) jest miarą zapasu
maksymalna wartość modułu Mp transmitancji
stabilności.
widmowej zamkniętego.
43 44
43 44
43 44
Automatyka i Robotyka Wykład nr 8 Automatyka i Robotyka Wykład nr 8
Q
P(�)
P
m
P(0)
-0.707 �=0
-1 -0.5 -0.2 1
P
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
-1.2 �m �n �e �
0
-1.4 Pmin
Charakterystyka amplitudowo-fazowa; " Parametry charakterystyki rzeczywistej transmitancji
zapas modułu wynosi 1/ 0,707 układu zamkniętego
45 46
45 46
45 46
Automatyka i Robotyka Wykład nr 8 Automatyka i Robotyka Wykład nr 8
|G(j �)| Przenoszone pasmo jest to zakres
Przenoszone pasmo
częstotliwości, w którym układ zamknięty
przenosi sygnały zadane,
M
P
Miarą pasma częstotliwości przenoszonych
przez układ jest wartość graniczna wg, dla której
logarytm modułu transmitancji widmowej
zmniejsza się do wartości  3 dB, czyli
�p �
0
|GZ(jwg)| = 0,707
" Charakterystyka modułu transmitancji układu
zamkniętego
47 48
47 48
47 48
Automatyka i Robotyka Wykład nr 8 Automatyka i Robotyka Wykład nr 8
Metoda miejsc geometrycznych
Metoda miejsc geometrycznych
Istnieje ścisła relacja pomiędzy wartościami własnymi
pierwiastków (wartości własnych)
pierwiastków (wartości własnych)
(biegunami układu zamkniętego) czyli pierwiastkami
równania charakterystycznego a jakością regulacji.
Transmitancję układu zamkniętego możemy określić jako:
Najprostsza sytuacja przy projektowaniu zachodzi
b (s )
G (s ) =
Z wtedy, gdy tylko jeden parametr układu regulacji jest
a (s )
nieznany.
Wartości s, dla których a(s) = 0 są punktami, gdzie
Wtedy na płaszczyz
nie zmiennych zespolonych (na
GZ(s) ", będziemy nazywać biegunami funkcji.
płaszczyz
nie s) pojawią się tzw. krzywe pierwia-
Wartości s, dla których b(s) = 0 są punktami, gdzie
stkowe, po których poruszają się pierwiastki równania
GZ(s) = 0 i są nazywane zerami.
charakterystycznego w funkcji tego parametru.
Inaczej mówiąc bieguny są to pierwiastki mianownika
Taki zbiór punktów nazywa się miejscem
(równania charakterystycznego) a zera są to pierwiastki
geometrycznym pierwiastków.
licznika.
49 50
49 50
49 50
Automatyka i Robotyka Wykład nr 8 Automatyka i Robotyka Wykład nr 8
to odpowiedz
impulsowa będzie funkcją wykładniczą
Rozważmy układ, którego równanie charakterystyczne
-�t
ma jeden pierwiastek rzeczywisty albo pojedynczą
g(t) = e �"1(t)
parę pierwiastków zespolonych sprzężonych, na który
Kiedy s > 0 bieguny położone są w płaszczyz
nie,
działa wymuszenie impulsowe.
gdzie s < 0. Możemy powiedzieć, odpowiedz

impulsowa jest stabilna.
W jaki sposób zmienia się odpowiedz
skokowa gdy
zmienia się lokalizacja wartości własnych na Jeżeli s < 0 bieguny położone są na prawo od
płaszczyz
nie s. Jeżeli: początku układu współrzędnych. Ponieważ
wyrażenie wykładnicze rośnie tutaj z czasem,
1
odpowiedz
impulsowa jest oznaczona jako
GZ(s)=
s +�
niestabilna.
51 52
51 52
51 52
Automatyka i Robotyka Wykład nr 8 Automatyka i Robotyka Wykład nr 8
x
Pierwiastki leżące najbliżej osi urojonej reprezentują
składowe rozwiązania zanikające najwolniej, a więc
determinujące szybkość działania układu.
x
P
x
2
2
� 1 - ś = �
� 1 - ś = � Oddalenie pierwiastków zespolonych sprzężonych
n
n
Re=ą
x x x x0 x x
od osi rzeczywistej decyduje o częstotliwości drgań
- 1
- 1
cos ś = �
cos ś = �
tłumionych w odpowiedzi oscylacyjnej.
- ą = ś�
n
n
x
Oddalenie pierwiastków od początku układu
współrzędnych mówi o tzw. częstotliwości drgań
x
własnych układu.
Przebiegi przejściowe w zależności od położenia pierwiastka na
53 54
53 54
53 54
płaszczyz
nie s
Automatyka i Robotyka Wykład nr 8 Automatyka i Robotyka Wykład nr 8
a) rozkłady wartości własnych
Stopień stabilności układu bez konieczności obliczenia
a)
Im s
3
pierwiastków równania charakterystycznego pozwalają
ś=0,2
b) odpowiedzi skokowe
b) określić nomogramy Wyszniegradzkiego
h(t)
Analiza tych nomogramów pozwala na wyznaczenie
2
obszarów stabilności oraz stopni stabilności na
2 3
4
podstawie których określa się przybliżoną wartość czasu
1
1(t)
4
regulacji.
2
1
4
Przeregulowanie odpowiedzi skokowej zależy od stopnia
oscylacyjności układu ź
t
0
ś=0,2
3
Im mniejsza wartość ź, tym mniejsze przeregulowanie
Związek między rozkładem wartości własnych A1 i tym mniejsza liczba oscylacji w czasie tr.
a przebiegiem odpowiedzi skokowej
55 56
55 56
55 56
ś
=
0
,
9
9
,
0
=
ś
Automatyka i Robotyka Wykład nr 8
Im s
s6 Im s6
An+1
e-Ą ź =
An
s2
-Re s
5
s4 s1 0 Re s
-Re s
6
Imsk
s3
ź = max
k
Re sk
s6
-Im s
6
57 58
57
Stopień oscylacyjności układu 57 58
x
x
x
x
x
x