Automatyka i Robotyka Wykład nr 10
Plan wykładu
Plan wykładu
Automatyka i Robotyka
Automatyka i Robotyka
Wprowadzenie
Synteza metodami klasycznymi
Dobór parametrów regulatora
metoda Zieglera  Nicholsa
metoda charakterystyk częstotliwościowych
metoda linii pierwiastkowych
Agata Nawrocka Synteza układów sterowania z uwzględnieniem
Agata Nawrocka
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
wskaz
ników jakości. Metoda przestrzeni stanów.
Akademia Górniczo-Hutnicza
Akademia Górniczo-Hutnicza
1 2
1 2
Automatyka i Robotyka Wykład nr 10 Automatyka i Robotyka Wykład nr 10
Wprowadzenie
Najczęściej stosowana jest struktura szeregowa, w której
Synteza układów sterowania, polega na doborze takiej
regulator jest włączony w tor główny układu regulacji czyli
struktury układu i parametrów regulatora, by układ
szeregowo z obiektem.
mógł wykonać postawione przed nim zadania.
Sygnałem wejściowym regulatora jest sygnał uchybu e(t),
e(t),
Postępowanie jest dwuetapowe:
sygnałem wyjściowym - sterowanie obiektu u(t).
u(t).
Pierwszy etap: określenie struktury układu regulacji i
typu regulatora (członu korekcyjnego). Zadania tego
w e u y
w e u y
etapu są najtrudniejszymi zagadnieniami zarówno teorii, R O
R O
jak i praktyki sterowania.
Drugi etap: dobór wartości parametrów regulatora.
Struktura szeregowa układu regulacji
3 4
3 4
Automatyka i Robotyka Wykład nr 10 Automatyka i Robotyka Wykład nr 10
Inną, często stosowaną - zwłaszcza w automatyce napędu -
Niekiedy przed regulatorem włączany jest dodatkowo
strukturą układu regulacji jest struktura z dodatkowym
element (człon) korekcyjny, którego zadaniem jest wstępne
sprzężeniem zwrotnym, w którym człon korekcyjny jest
włączany w tor dodatkowego sprzężenia zwrotnego wokół
uformowanie sygnału uchybu.
obiektu.
w e u y
Obiekt
Obiekt
w e u y
Człon
Człon
Regulator Obiekt
Regulator Obiekt
korekcyjny
korekcyjny
Człon
Człon
korekcyjny
korekcyjny
Włączanie członu korekcyjnego przed regulatorem
Struktura układu regulacji z dodatkowym sprzężeniem
5 6
5 6
zwrotnym
Automatyka i Robotyka Wykład nr 10 Automatyka i Robotyka Wykład nr 10
W obu powyższych przypadkach regulator i człon w eUkład y
Układ
zmodyfikowany
zmodyfikowany
korekcyjny mają za zadanie taką modyfikację właściwości
obiektu, by działanie skorygowanego układu zamkniętego
było zadowalające z punktu widzenia przyjętego kryterium
Skorygowany układ zamknięty regulacji
jakości.
Podstawowymi wymaganiami stawianymi
Kryterium to łączy zwykle wiele elementów  takich jak:
jednowymiarowym układom regulacji automatycznej są:
uzyskanie odpowiednich parametrów odpowiedzi
dokładność statyczna,
skokowej na wymuszenie zewnętrzne w(t),
zakres regulacji wielkości wyjściowej,
odporność na zakłócenia, zwłaszcza oddziałujące na
pasmo robocze (pasmo przenoszonych częstotliwości),
wejście obiektu.
zapas stabilności.
7 8
7 8
Automatyka i Robotyka Wykład nr 10 Automatyka i Robotyka Wykład nr 10
Synteza metodami klasycznymi
Synteza metodami klasycznymi
Po przyjęciu założeń dokonuje się:
Przy klasycznej metodzie syntezy układów sterowania
wyboru struktury układu,
najpierw zestawia się dane wyjściowe obejmujące zadanie
stawiane układowi, model matematyczny obiektu,
dobiera wstępnie elementy i podzespoły,
ograniczenia i warunki pracy. Na tej podstawia określa się
sprawdza dokładność w stanie ustalonym,
wymagania i ustala założenia.
Do podstawowych wymagań należą: sprawdza zakres regulacji.
dokładność w stanach ustalonych,
Jeżeli nie odpowiadają one założonym, wprowadza się
zakres, w jakim wielkość wyjściowa ma być
odpowiednią korekcję właściwości statycznych przez
regulowana, stabilność i odpowiedni jej zapas,
zmiany parametrów lub nastaw niektórych elementów.
charakter przebiegu procesów przejściowych (pasmo
przenoszonych częstotliwości).
9 10
9 10
Automatyka i Robotyka Wykład nr 10 Automatyka i Robotyka Wykład nr 10
Jeżeli uda się uzyskać wymaganą dokładność w stanie
Dobór
Dobór
Ustalenie
Ustalenie
Wybór struktury
Wybór struktury elementów i
elementów i
założeń
ustalonym i zakres regulacji, należy z kolei zbadać założeń
podzespołów
podzespołów
stabilność tego układu.
Ponieważ parametry układu mogą ulegać zmianie (np.
tak tak tak Dokładność
Właściwości Stabilność i
w stanie
dynamiczne jej zapas
ustalonym
zależnie od warunków otoczenia oraz przebiegu procesu
nie nie nie
technologicznego w obiekcie sterowania) należy
Korekcja
Korekcja
zapewnić stabilność w najbardziej niekorzystnym
właściwości w
właściwości w
stanie ustalonym
stanie ustalonym
przypadku.
Korekcja
Korekcja
Uzyskuje się to przez zaprojektowanie układu z Wymagania nie
dynamiczna
dodatkowe dynamiczna
odpowiednim marginesem bezpieczeństwa, biorąc pod
STOP
tak STOP
uwagę stabilność i jakość regulacji. Dogodnie jest to
Schemat postępowania przy syntezie układu sterowania metodami
wyrazić np. przez zapas amplitudy i zapas fazy.
11 12
11 12
klasycznymi
Automatyka i Robotyka Wykład nr 10 Automatyka i Robotyka Wykład nr 10
Dobór parametrów regulatora
Dobór parametrów regulatora
Wzmocnienie krytyczne to wzmocnienie regulatora
Wzmocnienie krytyczne
Metoda Zieglera - Nicholsa proporcjonalnego, który połączony szeregowo z obiektem
Metoda Zieglera - Nicholsa
spowoduje znalezienie się układu zamkniętego na granicy
Są to najbardziej znane i najprostsze w zastosowaniu
stabilności (pojawiają się niegasnące drgania okresowe).
reguły, sformułowane na początku lat czterdziestych w
wyniku prowadzonych badań doświadczalnych.
Okres tych drgań nazywany jest okresem drgań
okresem drgań
Jak wykazano znacznie póz
niej, reguły te prowadzą do
krytycznych Tos.
minimalizacji całki z modułu uchybu (kryterium całkowe I). krytycznych Tos
Korzystanie z tych reguł wymaga wstępnego wprowadzenia
Ponieważ bezpośrednie doświadczalne wyznaczenie tych
dwóch pojęć:
parametrów ze względów bezpieczeństwa jest trudne
wzmocnienia krytycznego Kkr
wzmocnienia krytycznego Kkr
stosuje się metody pośrednie.
okresu drgań krytycznych Tos
okresu drgań krytycznych Tos
13 14
13 14
Automatyka i Robotyka Wykład nr 10 Automatyka i Robotyka Wykład nr 10
Wariant 1
Wariant 1
Ograniczenia tej metody:
Kroki eksperymentu Z-N:
nie zawsze można przeprowadzić eksperyment
Ustawić regulator na działanie proporcjonalne P
zakres współczynnika kp może być zbyt mały, aby
Stopniowo zwiększając doprowadzić układ zamknięty do
wzbudzić drgania
granicy stabilności
obiekt nie może być wzbudzony, bo jest stabilny
Zapisać wzmocnienie krytyczne Kkr i okres oscylacji Tos
Kkr Tos
Nastawy bezpieczne:
Określić nastawy według reguł podanych w tabeli dla
wybranego typu regulatora
zaczynamy od małego kp i stopniowo go zwiększamy
zaczynamy od dużego Tp i stopniowo ja zmniejszajmy
Regulator Kr Ti Td
zaczynamy od małego Td i stopniowo ja zwiększamy
0.5Kgr - -
P
P
0.45Kgr 0.83Tos -
PI
PI
0.6Kgr 0.5Tos 0.125Tos
PID
PID
15 16
15 16
Automatyka i Robotyka Wykład nr 10 Automatyka i Robotyka Wykład nr 10
Przykład
Przykład
Regulator Kr Ti Td
Dobrać nastawy regulatora P, PI, PID metoda Zieglera- 4.1 - -
P
P
1
Nicholsa dla obiektu
Go(s)= 3.69 15.18 -
PI
PI
2
(5s +1)
4.92 8.9 2.14
PID
PID
Kp=10
Kp=10
Kpkr=8.2
Kp=8.2 Kpkr=8.2
Kp=8.2
Kp=5
Kp=5
Kp=1
Kp=1
Tosc=17.8s
Tosc=17.8s
17 18
17 18
Automatyka i Robotyka Wykład nr 10 Automatyka i Robotyka Wykład nr 10
1  charakterystyka
Wariant 2
Wariant 2
rzeczywista Metody te oparte są na przybliżeniu odpowiedzi skokowej
h(t)
T2 obiektu statycznego (krzywa 1) - charakterystyką skokową
1
członu inercyjnego pierwszego rzędu z opóz
nieniem
(krzywa 2) o transmitancji operatorowej
2  charakterystyka
przybliżona
1
- s�
G ( s ) = e ; T = T2 -�
0
Ts + 1
t
Według Zieglera i Nicholsa parametry Kkr i Tos wyrażone są
� T wzorami:
T - �
2
;
K =
Tos = 4�
Przybliżenie odpowiedzi skokowej obiektu statycznego kr
19 � 20
19 20
Automatyka i Robotyka Wykład nr 10 Automatyka i Robotyka Wykład nr 10
Nastawy regulatorów według Zieglera i Nicholsa
Cechy tej metody:
Regulator K/Kkr Ti/Tos TdTos
szybka metoda doboru nastaw na podstawie modelu
P 0,5 - -
P
obiektu
PI 0,45 0,83 -
PI
prostota, wymagany jest skok jednostkowy
PID 0,6 0,5 0,125
PID
układ regulacji jest stabilny
jakość regulacji nie jest wysoka
K = KrKo - iloczyn wzmocnień regulatora i obiektu
nie można jej stosować dla � >T2, wrażliwa przy � = T2
Przyjęcie nastaw regulatorów z powyższej tabeli, pozwala do zastosowania do obiektów z wyrównaniem
uzyskać przebiegi przejściowe o charakterze zbliżonym do duży skok może ujawnić istotne nieliniowości
przedstawionego na następnym rysunku. Przeregulowanie wrażliwa na zakłócenia
jest rzędu 15 - 20%, a liczba oscylacji nie przekracza
dwóch.
21 22
21 22
Automatyka i Robotyka Wykład nr 10 Automatyka i Robotyka Wykład nr 10
h(t)
Bardziej szczegółową analizę doboru nastaw regulatorów
przeprowadził zespół pracujący pod kierunkiem Cypkina.
Opublikował on zestaw nomogramów, umożliwiający dobór
1
nastaw regulatorów dla trzech zasadniczych kryteriów
jakości:
przebiegu aperiodycznego o najkrótszym czasie
regulacji,
minimum całki z kwadratu uchybu,
0 t
przebiegu o 20% przeregulowaniu i najkrótszym
Odpowiedz
skokowa układu regulacji przy nastawach
regulatora według Zieglera i Nicholsa czasie regulacji.
23 24
23 24
Automatyka i Robotyka Wykład nr 10 Automatyka i Robotyka Wykład nr 10
Metoda charakterystyk częstotliwościowych
Metoda charakterystyk częstotliwościowych
Nomogramy te opracowano dla regulatorów P, I, PI i PID,
przy czym uwzględniano zarówno:
Dobór regulatora lub członu korekcyjnego możemy również
obiekty statyczne opisane transmitancją operatorową
przeprowadzić na podstawie analizy charakterystyk
częstotliwościowych układu.
1
G0(s) = e-s�
Określić z nich można przede wszystkim:
Ts +1
zapas stabilności,
jak i obiekty astatyczne o transmitancji operatorowej
czas regulacji (oceniany na podstawie pulsacji
przecięcia),
K0
G0(s) = e-s�
przeregulowanie (oceniane na podstawie zapasu fazy).
s(Ts +1)
25 26
25 26
Automatyka i Robotyka Wykład nr 10 Automatyka i Robotyka Wykład nr 10
Tok postępowania jest następujący:
4. wyznaczyć minimalną wartość pulsacji przecięcia
(powyżej której moduł transmitancji układu otwartego
1. wykreślić charakterystyki częstotliwościowe obiektu,
jest mniejszy od jedności) układu skorygowanego,
2. wyznaczyć minimalną wartość wzmocnienia,
konieczną ze względu na ograniczenie czasu regulacji,
konieczną ze względu na ograniczenie uchybu
5. wybrać typ regulatora i naszkicować charakterystykę
ustalonego,
układu z regulatorem,
3. wyznaczyć minimalne wartości zapasu modułu i 6. sprawdzić, czy warunki 2-4 są spełnione,
zapasu fazy, konieczne ze względu na ograniczenie 7. jeśli wybrany typ regulatora nie spełnia postawionych
warunków bez względu na dobór nastaw, wybrać inny
przeregulowania oraz obszar zabroniony dla
regulator i powtórzyć postępowanie.
charakterystyki częstotliwościowej układu otwartego,
27 28
27 28
Automatyka i Robotyka Wykład nr 10 Automatyka i Robotyka Wykład nr 10
Metoda linii pierwiastkowych
Metoda linii pierwiastkowych
Rozpatrzymy układ ze sprzężeniem zwrotnym
Metoda linii pierwiastkowych (metoda miejsc
W(s) E(s)
W(s) E(s)
U(s) Y(s)
U(s) Y(s)
Regulator Obiekt
Regulator Obiekt
geometrycznych pierwiastków) - umożliwia wyznaczenie
Kp KoGo(s)
Kp KoGo(s)

położenia pierwiastków równania charakterystycznego
układu zamkniętego na podstawie rozmieszczenia zer
i biegunów transmitancji układu otwartego.
Transmitancja układu zamkniętego wynosi
Ze zmianą wzmocnienia układu otwartego pierwiastki te
K K0G0(s)
Y (s)
p
poruszają się po liniach pierwiastkowych, będących
GZ (s) = =
W (s) 1+ K K0G0(s)
miejscem geometrycznym pierwiastków. p
29 30
29 30
Automatyka i Robotyka Wykład nr 10 Automatyka i Robotyka Wykład nr 10
Równanie charakterystyczne, którego pierwiastki są
Założymy, że transmitancja układu otwartego Kp K0 G0(s)
biegunami transmitancji ma postać
jest funkcją wymierną, licznik ma postać Kp K0 b(s), gdzie
b(s) jest wielomianem stopnia m
1+ K K0G0(s) = 0
p
m m -1
b(s) = s + b1s + ... + bm =
Pierwiastki układu zamkniętego zależą od współczynnika
m
wzmocnienia Kp, tym samym możemy mieć wpływ na
Kp
= (s - z1)(s - z2 )...( s - zm ) = (s - zi )
odpowiedz
dynamiczną układu zamkniętego przez dobór "
i =1
odpowiedniej wartości Kp.
Kp
Mianownik jest wielomianem a(s) n-tego stopnia, a ne"m
Rozważmy mechanizm konstruowania wykresu
n
pierwiastków przy wykorzystaniu wzmocnienia jako
a(s) = sn +a1sn-1 +...+an = pi)
"(s-
zmiennego parametru.
i=1
31 32
31 32
Automatyka i Robotyka Wykład nr 10 Automatyka i Robotyka Wykład nr 10
Dla potrzeb analizy załóżmy, że wzmocnienie obiektu K0
Możemy teraz przedstawić położenie pierwiastków
jest dodatnie, oraz zdefiniujmy parametr miejsca
równania na kilka możliwych sposobów. Każde z
geometrycznego jako
poniższych równań ma te same pierwiastki
1+ KG0 (s) = 0
K = K K0
p
b(s)
1+ K = 0
Miejsca zerowe (pierwiastki) b(s) = 0 są zerami
zerami
a(s)
transmitancji GZ(s) i oznaczamy je jako zi, podobnie
transmitancji zi
a(s) + Kb(s) = 0
miejsca zerowe (pierwiastki) a(s) = 0 są biegunami
biegunami
1
transmitancji GZ(s) i oznaczamy je jako pi.
transmitancji pi
G0(s) = -
K
33 34
33 34
Automatyka i Robotyka Wykład nr 10 Automatyka i Robotyka Wykład nr 10
Przykład
Równania te określa się często jako formuły pierwiastków
Wyznaczyć położenie pierwiastków układu zamkniętego ze
równania charakterystycznego.
względu na Kp.
Linia pierwiastkowa jest zbiorem wartości s, dla których
w powyższych równaniach zachowana jest dodatnia
W(s) E(s)
W(s) E(s)
U(s) Y(s)
U(s) Y(s)
Regulator Obiekt
Regulator Obiekt
wartość K (oraz Kp).
Kp Go(s)
Kp Go(s)

Rozwiązaniami równań są pierwiastki układu
zamkniętego, więc można powiedzieć, że metoda linii
Transmitancja obiektu ma postać
pierwiastkowych jest sposobem wnioskowania o
K
własnościach układu zamkniętego na podstawie
0
G0 (s) =
transmitancji układu otwartego KG0(s). s(s + 1)
35 36
35 36
Automatyka i Robotyka Wykład nr 10 Automatyka i Robotyka Wykład nr 10
Wykorzystując przyjęte wcześniej formy zapisu
Im
m=0 b(s)=1 K0=1 K = Kp
n=2 a(s)=s2+s pi = 0, -1
1
� = cos-1� = 30�
Charakterystyka położenia pierwiastków jest graficznym
przedstawieniem pierwiastków równania:
Re
x x
a(s) + Kb(s) = 0 -1
czyli
2
-1
s + s + K = 0
1 1- 4K
Rozwiązania mają postać: - ą
s1, s2 =
2 2
37 38
37 38
Szkic położenia pierwiastków
Automatyka i Robotyka Wykład nr 10 Automatyka i Robotyka Wykład nr 10
1 Synteza układów sterowania z uwzględnieniem
Dla 0 d" K d" pierwiastki przyjmują wartości rzeczywiste z
4
wskaz
ników jakości. Metoda przestrzeni stanów
przedziału (-1,0).
1 1
Dla istnieją dwa pierwiastki o wartościach równych - Metoda klasyczna syntezy układu sterowania umożliwia
K =
4 2
1
przyjęcie jednego z rozwiązań, natomiast nie daje podstawy
Dla K > pierwiastki są liczbami zespolonymi, których
4
dla ustalenia, które z nich jest optymalne.
1
część rzeczywista ma wartość - , natomiast część urojona
2
wzrasta proporcjonalnie do .
K
Ograniczeń takich nie mają np. metody wykorzystujące
wskaz
niki jakości. Umożliwiają one wyznaczenie
rozwiązań optymalnych tzn. takich, które zapewniają
Zmieniając wartość K możemy umiejscowić bieguny układu
minimalizację przyjętego wskaz
nika jakości - przy
zamkniętego w dowolnych punktach należących do
spełnieniu warunków wynikających z narzuconych
charakterystyki pierwiastków.
ograniczeń.
39 40
39 40
Automatyka i Robotyka Wykład nr 10 Automatyka i Robotyka Wykład nr 10
Można wyróżnić następujące kryteria:
Wskaz
niki jakości bywają różne w zależności od rodzaju
"
I = e(t)dt
całki z wartości bezwzględnej odchyłki (ang. IAE)
+"
układu, warunków jego pracy i postawionych mu wymagań.
0
"
2 Najczęściej formułuje się je jako funkcjonały całkowe, które
I = dt
całki z kwadratu odchyłki (ang. ISE)
+"e(t)
0
dla jednowymiarowych ciągłych i stacjonarnych układów
całki z czasu pomnożonego przez wartość bezwzględną
sterowania mają postać:
"
odchyłki (ang. ITAE)
I = e(t) �"t dt
+"
0
tr " k
całki z kwadratu czasu pomnożonego przez odchyłkę,
I = f [y(t),y(t),...,y(t),u(t)]dt
wyrażenie całkowane i podniesione do kwadratu (ang. ISTES) +"
" t0
2
I = (e(t)�"t2) dt
+"
0
k d" n-1
całki z kwadratu czasu pomnożonej przez kwadrat odchyłki
(ang. ISTSE)
"
gdzie: n - rząd równania opisującego układ sterowania.
2
I = �"t2dt
+"e(t) 41 42
41 42
0
Automatyka i Robotyka Wykład nr 10 Automatyka i Robotyka Wykład nr 10
Przy takim sformułowaniu problemu sterowania występują
Ponieważ całkowe kryteria jakości stosuje się w
dwa zagadnienia:
przypadkach, gdy głównym celem staje się ocena jakości
znalezienie struktury i parametrów układu, przy
pracy układu, w wybranym przedziale czasowym często
których dla danych ograniczeń i zadanych typowych
stosuje się kryterium całki kwadratu uchybu w postaci:
przebiegów sygnału sterującego, wskaz
nik jakości
ts
osiąga minimalną wartość - jest to zagadnienie
syntezy układu sterowania.
J = (xT Qx + uT Ru)dt
+"
wyznaczanie takiego sterowania u(t), które
0
przeprowadza dany układ z pewnego stanu
gdzie:
początkowego do pewnego stanu końcowego w
Q i R - dodatnio określone macierze wagowe,
sposób zapewniający minimalizację wskaz
nika jakości
x i u - odpowiednio wektory stanu i wektor sterowań.
przy zachowaniu narzuconych ograniczeń.
43 44
43 44
Automatyka i Robotyka Wykład nr 10 Automatyka i Robotyka Wykład nr 10
W zagadnieniach związanych z syntezą często spotykany
Kryterium jakości w formie kwadratowej zawiera odchylenia
jest wskaz
nik jakości będący całką kwadratu uchybu w
zarówno zmiennych stanu x, jak i zmiennych sterujących u,
postaci:
+"
od ich wartości optymalnych dla stanu ustalonego w
2
J = Ed (t)dt
zakresie rozpatrywanego przedziału czasu sterowania ts. E
+"
0
Jeżeli układ sterowania opisany jest równaniem stanu:
którą wyznacza się dla typowych stanów przejściowych w
rozważanym układzie.
x(t) = Ax(t) + Bu(t)
Gdy układ jest stabilny asymptotycznie, a jego parametry są
tak dobrane, że odpowiedz
jednostkowa ma przebieg
i czas sterowania ts jest zadany, zadanie polega na
aperiodyczny, to wtedy przy zmniejszeniu wskaz
nika jakości
wyznaczeniu sterowania spełniającego powyższe równanie,
zmniejszają się czasy tm, tr oraz maksymalne
oraz minimalizującego funkcjonał (wskaz
nik jakości).
przeregulowanie.
45 46
45 46
47
47