RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
Zadanie 1 Obliczyć granice funkcji:
"
ln sin x + 1 x + x
a) lim m) lim
x0+ x2 x0+ x
1 16
x
b) lim (x - 1)e- n) lim
x"
x0- 4 + e-x

e-3x 3 + 5x 1
x
c) lim + (4 + 3x) � ln o) lim (xe- + 2)
x" x"
x 4 + 3x
"
ln cos x + 3 sin x x - 2 - x
d) lim p) lim
x1
x0+ sin x - 2 x - 1
�ł �ł
x+4

2 1 (x-2)2
�ł łł
e) lim (5 - x2)e4x r) lim ln(x - 2 + e) +
x-" x2
Ą
"
4x+2 + 3-x - 1
f) lim (x - x2 + 1) s) lim
x" x-"
22x-1 + 3x - 5
2 x2 - 4
x+1
g) lim (x2 + 1)e- t) lim
x-2
x-1- x3 + 8
x
x + 1
4-x2
h) lim (ln - 2arctg x) u) lim (x + 5)e
x"
x x2+

2x 5x + 3 4x
i) lim x - ln w) lim
x"
x0- x2 - 4 5x - 1
"
x
j) lim x) lim (3x - 16x2 - 2x + 4)
x"
x1+ ln x
arctg x 2 - sin x
k) lim y) lim
4
Ą -
x1
x- cos x
(1-x)2
1 + e 2
arcctg x e2-3x
l) lim z) lim
x-"
ln(4 - 3x) x-1+ - x2
1
Zadanie 2 Korzystając z reguły de l Hospitala obliczyć granice funkcji:
e2x - 1 6
x
a) lim i) lim xe
x0+ x2 x0+
x + 3 2
x
b) lim j) lim xe-
x"
ex + 2x x0-
x2 + 3x
c) lim k) lim x3 ln x
x0+ sin x x0+
ln x
d) lim l) lim xarcctg x
x"
x1
x - 1

x 1 1
e) lim m) lim -
x0+ arcsin x x1- ln x x - 1
"

3
x 1 1
f) lim n) lim -
x"
ln x x0+ x e2x - 1

1
x
g) lim x2e-2x o) lim xe - x
x" x"

2
x
h) lim (2x + 5)e4x p) lim x - xe-
x-" x-"
Izabela Józ
wik Małgorzata Terepeta 1
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
Zadanie 3 Wyznaczyć dziedzinę funkcji i obliczyć granice funkcji w punktach brzegowych dziedzi-
ny
x - 1
"-5
x-3
a) f(x) = ln g) f(x) = xe
x
1
x
e - 1 1
b) f(x) = h) f(x) =
1 1
x
e + 1 1 + e- x
ex + e-x 7
c) f(x) = i) f(x) =
ex - e-x ln(2 - 3x)
x2 -3
d) f(x) = arctg j) f(x) =
x - 1 x2 - 4x - 5
"
1 2x + 1
e) f(x) = k) f(x) =
2 - ln x arcsin x
x - 2 3x + 5
" "
f) f(x) = l) f(x) =
x - 1 - 1 9 - x2
Zadanie 4 Wyznaczyć ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji:
1
x3+4x2
a) f(x) = e g) f(x) = ln3 x + 3 ln2 x
4 - ln x
b) f(x) = e2x(-2x2 + 2x + 7) h) f(x) =
x
2
x
c) f(x) = x4e-x i) f(x) = (x + 1)e-
x
d) f(x) = 4x2 ln j) f(x) = ln(x2 + 12)
2
x3
e) f(x) = k) f(x) = x3e-3x
1 - ln x
f) f(x) = (x2 - 8)ex l) f(x) = 4arctg x - ln x
Zadanie 5 Wyznaczyć przedziały wklęsłości i wypukłości oraz punkty przegięcia krzywej danej
wzorem:
2 + ln x 2 - 3 ln x
a) f(x) = h) f(x) =
x x2
ex
b) f(x) = (x2 + 1)e-x i) f(x) =
x + 2
c) f(x) = ln(4 - x2) j) f(x) = x3 ln x
1 - ln x
d) f(x) = ln2 x k) f(x) =
x
e) f(x) = ln(x2 + 16) l) f(x) = x ln3 x
2
f) f(x) = earctg x m) f(x) = e-2x
2 x
x x-1
g) f(x) = xe- n) f(x) = e
Izabela Józ
wik Małgorzata Terepeta 2
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
Zadanie 6 Wyznaczyć wszystkie asymptoty wykresu funkcji:
x ln x 1
x
a) f(x) = g) f(x) = e - x
1 - 2 ln x
x
b) f(x) = x + ln h) f(x) = x2 ln x
x + 2
x2 + 1 2x ln x - 1
c) f(x) = 2 - i) f(x) =
3 - x ln x
"
x x2 + 4
x-5
d) f(x) = xe j) f(x) =
x
ln(x + 2) 4
x
e) f(x) = k) f(x) = xe
x + 1
ln2 x + 1
f) f(x) = x - 2arctg x l) f(x) =
ln x
Zadanie 7 Wyznaczyć dziedzinę funkcji, obliczyć granice w punktach brzegowych dziedziny, wy-
znaczyć ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji oraz sporządzić jej wykres:
e-2x x ln x
a) f(x) = g) f(x) =
3 - x 1 - 2 ln x
2 - ln x 2 - ln x
b) f(x) = h) f(x) =
x2 x
1
2
1-x2
c) f(x) = e-x i) f(x) = e
3 1
x x
d) f(x) = xe- j) f(x) = (x - 6)e-
x ln2 x
e) f(x) = k) f(x) =
ln x x
x
f) f(x) = x2 ln(-x) l) f(x) = ln
x - 3
Zadanie 8 Zbadać przebieg zmienności funkcji:
1 - ln x (x - 1)3
a) f(x) = h) f(x) =
x x2
ln x
b) f(x) = x ln2 x i) f(x) =
1 - ln x
2 x
c) f(x) = e-x j) f(x) =
4 - ln x
1
x
d) f(x) = xe- k) f(x) = ln2 x - ln x
2 - ln x x - 1
e) f(x) = l) f(x) = ln
x2 x
ex
f) f(x) = x2e-x m) f(x) =
x2
"
g) f(x) = ln3 x - 3 ln2 x n) f(x) = (9 - x) x
Izabela Józ
wik Małgorzata Terepeta 3
ODPOWIEDZI
LEKTURA UZUPEA
NIAJ
CA:
1. Arkusz- reguła de l Hospitala (hasło: Reguła H)
2. K. Dobrowolska, W. Dyczka, H. Jakuszenkow  Matematyka 1 (rok wyd. 2002 lub póz
niej)
" Granice funkcji: str. 110 zad. 2-10
" Pochodna: str. 136 zad. 3, 6, 12, 16, 17
" Badanie funkcji: str. 152 zad. 3, 6; str. 162 zad. 5, 6, 7, 9 (a, b), 10; str. 169 zad. 5;
str. 175 zad. 3; str. 190 zad. 1 (a- k), 2 (a- f, i, l, o)
3. M.Terepeta, K.Dems, I.Józ
wik, D.Szymczak  Analiza matem. i algebra. Kolokwia i egzaminy
cz.1 (zadania dotyczące rachunku różniczkowego)
ODPOWIEDZI
1.
a) -"; b) -"; c) "; d) 0; e) -"; f) 0; g) "; h) -Ą; i) "; j) "; k) 0; l) 0; m) "; n) 4; o) ";
16
3
5
p) ; r) 1; s) -"; t) -1; u) 0; w) e ; x) -"; y) -"; z) ".
2 3
2.
1
a) "; b) 0; c) 3; d) 1; e) 1; f) "; g) 0; h) 0; i) "; j) -"; k) 0; l) 1; m) ; n) "; o) 1; p) 2.
2
3.
a) D = (-", 0) *" (1, "), lim f(x) = lim f(x) = 0, lim f(x) = ", lim f(x) = -";
x-" x"
x0- x1+
b) D = (-", 0) *" (0, "), lim f(x) = lim f(x) = 0, lim f(x) = -1, lim f(x) = 1;
x-" x"
x0- x02
c) D = (-", 0) *" (0, ") lim f(x) = -1, lim f(x) = -", lim f(x) = ", lim f(x) = 1;
x-" x"
x0- x0+
Ą Ą Ą Ą
d) D = (-", 1) *" (1, "), lim f(x) = - , lim f(x) = - , lim f(x) = , lim f(x) = ;
x-" x"
2 x1- 2 x1+ 2 2
e) D = (0, e2) *" (e2, "), lim f(x) = lim f(x) = 0, lim f(x) = ", lim f(x) = -";
x"
x0+ xe2- xe2+
f) D = 1, 2) *" (2, "), f(1) = 1, lim f(x) = lim f(x) = 2, lim f(x) = ";
x"
x2- x2+
g) D = (3, "), lim f(x) = 0, lim f(x) = ";
x"
x3+
1
h) D = (-", 0) *" (0, "), lim f(x) = lim f(x) = , lim f(x) = 0, lim f(x) = 1;
x-" x"
2 x0- x0+
Izabela Józ
wik Małgorzata Terepeta 4
ODPOWIEDZI
1 2
i) D = (-", ) *" (1, ), lim f(x) = lim f(x) = 0, lim f(x) = ", lim f(x) = -";
3 3 3
- - +
x-" 2 1 1
x x x
3 3 3
j) D = (-", -1) *" (-1, 5) *" (5, "), lim f(x) = lim f(x) = 0,
x-" x"
lim f(x) = lim f(x) = -", lim f(x) = lim f(x) = ";
x-1- x5+ x-1+ x5-
"
2 3
k) D = -1, 0) *" (0, 1 , f -1 = 0, lim f(x) = -", lim f(x) = ", f(1) = ;
2 2
x0- x0+ Ą
l) D = (-3, 3), lim f(x) = -", lim f(x) = ".
x-3+ x3-
4.
Zdanie  funkcja jest malejąca na przedziale zastępujemy symbolem:  f : (analogicznie, jeśli
funkcja jest rosnąca piszemy  f : ).

27
256
a) fmin = f -8 = e ; f : (-", -4), -4, -8 , (0, "); f : -8, 0 .
3 3 3
b) fmin = f(-2) = -5e-4, fmax = f(2) = 3e4; f : (-", -2), (2, "); f : (-2, 2).
c) fmin = f(0) = 0, fmax = f(4) = 44e-4; f : (-", 0), (4, "); f : (0, 4).

1 1 1
2 2 2
d) fmin = f 2e- = -8e-1; f : 0, 2e- ; f : (2e- , ").

4 4 4
3 3 3
e) fmax = f e = -3e4; f : e , " ; f : (0, e), e, e .
f) fmin = f(2) = -4e2, fmax = f(-4) = 8e-4; f : (-4, 2); f : (-", -4), (2, ").
g) fmin = f(1) = 0, fmax = f (e-2) = 4; f : (e-2, 1) ; f : (0, e-2), (1, ").
h) fmin = f(e5) = -e-5; f : (0, e5) ; f : (e5, ").
i) brak ekstremów, f : (-", 0), (0, ").
j) fmin = f(0) = ln 12; f : (-", 0); f : (0, ").
k) fmax = f(1) = e-3; f : (1, "); f : (-", 1).

" " "
l) fmin = f 2 - 3 = 4arctg 2 - 3 + ln 2 - 3 ;

" " "
fmax = f 2 + 3 = 4arctg 2 + 3 + ln 2 + 3 ;

" " " "
f : 0, 2 - 3 ; 2 + 3, " ; f : 2 - 3, 2 + 3 .
5.
Literą P oznaczamy punkt przegięcia krzywej y = f(x).

1 1 1 1
3
2 2 2 2
a) P = e- , e , krzywa jest wypukła na e- , " , wklęsła na 0, e- .
2
b) P = (1, 2e-1) , P = (3, 10e-3), krzywa jest wypukła na (-", 1), (3, "), wklęsła na (1, 3).
c) brak punktów przegięcia, krzywa jest wklęsła na całej dziedzinie.
Izabela Józ
wik Małgorzata Terepeta 5
ODPOWIEDZI
d) P = (e, 1), krzywa jest wypukła na (0, e), wklęsła na (e, ").
e) P = (-4, ln 32), P = (4, ln 32), krzywa jest wypukła na (-4, 4), wklęsła na (-", -4), (4, ").

1
1 1 1
2
f) P = , earctg , krzywa jest wypukła na -", , wklęsła na , " .
2 2 2
g) brak punktów przegięcia, krzywa jest wypukła na (0, "), wklęsła na (-", 0).

3 3 3
1
2 2 2
h) P = e , e-3 , krzywa jest wypukła na 0, e , wklęsła na e , " .
2
i) brak punktów przegięcia, krzywa jest wypukła na (-2, "), wklęsła na (-", -2).

5 5 5 5
6 2 6 6
j) P = e- , -5e- , krzywa jest wypukła na e- , " , wklęsła na 0, e- .
6

5 5 5 5
2 2 2 2
k) P = e , -3e- , krzywa jest wypukła na 0, e , wklęsła na e , " .
2
l) P = (e-2, -8e-2) , P = (1, 0), krzywa jest wypukła na (0, e-2), (1, "), wklęsła na (e-2, 1).

1 1
1 1
2 2
m) P = -1, e- , P = , e- , krzywa jest wypukła na -", -1 , , " ,
2 2 2 2

1
wklęsła na -1, .
2 2

1 1 1
n) P = , e , krzywa jest wypukła na , 1 , (1, "), wklęsła na -", .
2 2 2
6.
"
a) asymptota pionowa (obustronna) x = e;
b) asymptoty pionowe x = -2 (lewostronna), x = 0 (prawostronna); asymptota ukośna y = x
w ą";
c) asymptota pionowa (obustronna) x = 3; asymptota ukośna y = x + 5 w ą";
d) asymptota pionowa (prawostronna) x = 5, asymptota ukośna y = ex + 5e w ą";
e) asymptota pionowa (prawostronna) x = -2, asymptota ukośna y = 0 w ";
f) asymptoty ukośne: y = x + Ą w -" oraz y = x - Ą w ";
g) asymptota pionowa (prawostronna) x = 0, asymptota ukośna y = -x + 1 w ą";
h) brak asymptot;
i) asymptota pionowa (obustronna) x = 1, asymptota ukośna y = 2x w ";
j) asymptota pionowa (obustronna) x = 0, asymptoty ukośne: y = 1 w " oraz y = -1 w -";
k) asymptota pionowa (prawostronna) x = 0, asymptota ukośna y = x + 4 w ą";
l) asymptota pionowa (prawostronna) x = 0, asymptota pionowa (obustronna) x = 1.
Izabela Józ
wik Małgorzata Terepeta 6