Gęstość spektralna
Paweł Gotowała
 Głównym zastosowaniem analizy spektralnej jest badanie
cykliczności zmian procesów stochastycznych. Tak więc
pozwala ona analizować występowanie wahań, zarówno o
charakterze sezonowym jak i koniunkturalnym.
Analiza spektralna pozwala analizować szeregi czasowe w
dziedzinie częstości oraz stanowi doskonałe uzupełnieni
analizy procesów stochastycznych w dziedzinie czasu.
Podstawowym warunkiem stosowalności analizy spektralnej
jest stacjonarność badanego procesu stochastycznego.
Analiza spektralna w dużej mierze polega na wyznaczeniu
widma badanego procesu stochastycznego, które umożliwia
wskazanie, jakie częstotliwości w większym stopniu potrafią
wyjaśnić zmienność analizowanego szeregu czasowego.
(DF)
Proces stochastyczny X(t) nazywamy procesem stacjonarnym
(w wąskim sensie) jeżeli dla każdego (t1, t2, & , tn) łączny rozkład
X t1 + t0 , X t2 + t0 , & , X(tn + t0) nie zależy od t0, innymi
słowy właściwości takiego procesu nie zmieniają się przy
przesunięciu osi czasu.
Proces stochastyczny X(t) nazywamy procesem stacjonarnym w
szerszym sensie , jeżeli:
1. EX2 t < "
2. EX t = ź
3. E X t - ź)(X s - ź) zależy tylko od różnicy t - s
(DF)-Szereg Fouriera
Niech dana bÄ™dzie funkcja f:RR o okresie TõR+, bezwzglÄ™dnie
T T
całkowalna na [- , ]. Trygonometrycznym szeregiem Fouriera
2 2
dla f nazywamy funkcjÄ™
"
5ØÜ5ØÎß 5ØÐß5ØŃÞ5Ø'Ü5Ø-Ü 5ØÐß5ØŃÞ5Ø'Ü5Ø-Ü
5ØÜ 5Ø-Ü T" + (5ØÜ5Ø'Ü5ØÜ5Ø(Ü5Ø,Ü + 5ØÜ5Ø'Ü5Ø,Ü5Ø"Ü5Ø'Ü )
5ØÐß 5ØÜ 5ØÜ
5Ø'Ü=5ØÏß
,gdzie
5ØÜ
5ØÐß
5ØÐß 5ØÐß5ØŃÞ5Ø'Ü5Ø-Ü
5ØÜ5Ø'Ü = 5ØÜ 5Ø-Ü 5ØÜ5Ø(Ü5Ø,Ü 5ØÜ5Ø-Ü
5ØÜ 5ØÜ
-5ØÜ
5ØÐß
5ØÜ
5ØÐß
5ØÐß 5ØÐß5ØŃÞ5Ø'Ü5Ø-Ü
5ØÜ5Ø'Ü = 5ØÜ 5Ø-Ü 5Ø,Ü5Ø"Ü5Ø'Ü 5ØÜ5Ø-Ü
5ØÜ 5ØÜ
-5ØÜ
5ØÐß
 Aby otrzymać funkcję gęstości spektralnej (widmo) szeregu,
przedstawimy go przy pomocy transformaty Fouriera jako suma
sinusów i cosinusów różnych częstotliwości.
Dekompozycja szeregu 5ØKÜ(5ØaÜ) ma postać:
5ØŽÜ
5Ø‚Ü5ØÎß
5Ø™Ü5Ø•Ü = + 5Ø‚Ü5ØÅšÜ 5ØÜ5Ø(Ü5Ø,Ü 5ØNß5ØÅšÜ5Ø•Ü + 5؃Ü5ØÅšÜ5Ø,Ü5Ø"Ü5Ø'Ü(5ØNß5Ø•Ü)
5ØÐß
5ØÅšÜ=5ØÏß
(DF)-Gęstość spektralna
Niech Xn " będzie stacjonarnym procesem stochastycznym na
n=1
przestrzeni probabilistycznej ©, F, P , zaÅ› Å‚ 6" $! ! jego
funkcją autokowariancji. Wówczas funkcję f : -Ą, Ą !
określoną wzorem
+"
5ØÏß
5ØÜ 5ØÚÞ T" 5ØÄÞ(5Ø'Ü)5ØÜ-5Ø"Ü5ØÚÞ5Ø'Ü
5ØÐß5ØŃÞ
5Ø'Ü=-"
nazywamy gęstością spektralną procesu Xn " .
n=1
Własności:
1
+"
1. 5ØSÜ É = Å‚ n cos(5Ø[Ü5Øß)
n=-"
2Ä„
2. 5ØSÜ É õ !
3. 5ØSÜ -É = 5ØSÜ É
4. 5ØSÜ É = 5ØSÜ É + 2Ä„
(TW)o odwracaniu
5Øß
+"
5Ø=Ü5ØRÜÅ›5ØYÜ5ØVÜ 5ØþÞ 5Ø[Ü < ", 5ØaÜ5Ø\Ü 5ØþÞ 5Ø[Ü = 5ØSÜ 5Øß 5ØRÜ5ØVÜ5Øß5Ø[Ü5ØQÜ5Øß.
5Ø[Ü=-"
-5Øß
Ä„
StÄ…d VarXn = Å‚ 0 = f É dÉ
-Ä„
(DF)Periodogram
Periodogramem dla szeregu czasowego
5ØŽÜ
5Ø‚Ü5ØÎß
5Ø™Ü5Ø•Ü = + 5Ø‚Ü5ØÅšÜ 5ØÜ5Ø(Ü5Ø,Ü 5ØNß5ØÅšÜ5Ø•Ü + 5؃Ü5ØÅšÜ5Ø,Ü5Ø"Ü5Ø'Ü(5ØNß5Ø•Ü)
5ØÐß
5ØÅšÜ=5ØÏß
5ØGÜ 25Øß5ØXÜ
(5ØZÜ = , 5Øß5ØXÜ = ) nazywamy funkcjÄ™ postaci
2 5ØGÜ
5Ø{Ü
5ØqÜ 5ØNß5ØÅšÜ = (5Ø‚Ü5ØÐß + 5؃Ü5ØÐß)
5ØÅšÜ 5ØÅšÜ
5ØÐß
Periodogram jest asymptotycznie nieobciążonym, ale nie
zgodnym estymatorem gęstości spektralnej.
Gęstość spektralną możemy estymować również przy użyciu
estymatora funkcji autokowariancji.
 Ze względu na brak zgodności tego estymatora, wygładza się go
(czyli redukuje wariancje wokół konkretnych częstości) przy
pomocy funkcji wag (ważona średnia ruchoma), zwanej
oknem spektralnym.
Po takim zabiegu wygładzony już periodogram przyjmuje postać
5ØpÜ(5ØÅ‚Ü)
5ØIß
5ØqÜ 5ØNß5ØÅšÜ = 5ØÅšÜ( )5ØqÜ(5ØNß5ØÅšÜ+5ØIß)
5ØpÜ 5ØÅ‚Ü
5ØIß=-5ØpÜ(5ØÅ‚Ü)
gdzie, 5ØÅšÜ(5Ø™Ü)jest funkcjÄ… wagowÄ… ( oknem spektralnym), a
5ØpÜ(5ØÅ‚Ü) szerokoÅ›ciÄ… okna.
W punktach końcowych ,średnia ruchoma jest obliczana cyklicznie ;
to znaczy
Procedura Spectra w SAS obsługuje następujące okna:
(Są one wymienione z ich funkcji przepustowości domyślnych)
Bartlett(BART): Parzen(PARZEN): Quadratic spectral(QS):
Tukey-Hanning(TUKEY): Truncated(TRUNCAT):
Wartości domyślnych parametrów przepustowości (c i e) , w
procedurze Spectra
Dane
proc spectra data=sunspot out=b p s adjmean;
var wolfer;
run;
proc spectra data=sunspot out=b p s adjmean ;
var wolfer;
weights bart;
run;
proc spectra data=sunspot out=b p s adjmean whitetest;
var wolfer;
weights qs;
run;
proc sgplot data=b;
where period < 50;
series x=period y=s_01 / markers markerattrs=(symbol=circlefilled);
refline 11 / axis=x;
run;
Biały szum
Procedura spectra daje nam też możliwość zbadania czy dany szereg czasowy
pochodzi z procesu białego szumu.
Opcja whitetest oblicza dwie statystyki wykorzystywane w testach na
białoszumowosć:
1. Statystyka Kappa Fishera ( przyrównuje największą wartość periodogramu do
średniej)
2. Statystyka Kołmogorowa-Smirnova Bartletta ( przyrównuje znormalizowane
dystrybuanty periodogramu do dystrybuanty rozkładu jednostajnego)
proc spectra data=sunspot out=b whitetest;
var wolfer;
run;
Bibliografia
- Michal Rubaszek, Skrypt do Ekonometrii Finansowej II
- X-12-ARIMA i TRAMO/SEATS  empiryczne porównanie metod wyrównania
sezonowego w kontekście długości próby ,Sylwia Grudkowska Ewa Paśnicka
- Analiza spektralna wahań koniunkturalnych w gospodarce polskiej,
Andrzej Geise
- Analiza harmoniczna szeregów czasowych cen węgla,
Izabela JONEK-KwalskaOWALSKA, Adam Sojda, Maciej Wolny
- Wikipedia
- http://support.sas.com