Interpolacja funkcjami sklejanymi stopnia trzeciego
Główną cechą wyróżniającą interpolację funkcjami sklejanymi, jest podział
przedziału, na którym znajdują się węzły, na mniejsze podprzedziały a następnie użycie
na każdym z nich wielomianu interpolacyjnego odpowiednio niskiego stopnia (u nas
dokładnie trzeciego).
"={x0 , x1 , .. . , xn}
Mamy n+1 węzłów w przedziale , spełniających warunek
a = x < x < x < ... < x < x = b (1)
0 1 2 n-1 n
dzielących na podprzedziały dla i=-1,0,1,2 ... n-1,n, gdzie
i i+1
x-1=-" , xn�ą1 =+"
. (2)
Definicja 1
S (x) jest funkcją sklejaną stopnia m z węzłami D�, gdy:
m
1) S w każdym przedziale (x , x ) jest wielomianem stopnia co najwyżej m dla
m i i+1
i=-1,0,1,2 ... n-1,n;
Cm-1
2) S jest klasy .
m
śą-" ,�ą"źą
Definicja 2
Funkcja sklejana stopnia 2m-1 z węzłami D� czyli S (x) (stopnia nieparzystego) jest
2m-1
naturalną funkcją sklejaną, jeśli na zewnątrz przedziału zawierającego węzły " jest stopnia
m-1.
Definicja 3
Funkcję sklejaną stopnia m z węzłami D� nazywamy okresową funkcją sklejaną
S (x) o okresie (b-a), jeśli:
m
+ -
S(i)(x ) = S(i)(x ) dla i=0,1,....,m-1. (3)
0 n
Interpolacyjna funkcja sklejana spełnia oczywiście podstawowy warunek interpolacji:
S (x ) = f(x ) dla i=0,1, ... ,n. (4)
m i i
< xi , xi�ą1źą
Szukaną funkcję sklejaną S (x) można przedstawić w każdym z podprzedziałów
3
w postaci:
S3śą x źą=ąi�ą�i śą x-xi źą�ąłi śą x-xi źą2�ą�i śą x -xi źą3 . (5)
Wzory na współczynniki funkcji dla i = 0, 1, & , n-1:
ąi= f
, (6)
i
M
i
łi= , (7)
2
Mi�ą1-Mi
�i=
(8)
6hi�ą1
f - f hi�ą1
i�ą1 i
�i= -
, (9)
śą2M �ąMi�ą1źą
i
hi�ą1 6
oraz
hi�ą1=xi�ą1-xi
(10)
M =S ''śą xi źą
natomiast momenty zależą od rodzaju funkcji sklejanej.
i
1. Dla naturalnej funkcji sklejanej st. 3-go:
S ''śą x0 źą=S '' śą xnźą=0 M =M =0
czyli . (11)
0 n
Otrzymujemy układ o wymiarach (n-1)�(n-1) postaci:
2 1 0 �" �" 0
M1 d
1
ź2 2 2 ń" �"
M2 d
2
0 ź3 2 3 ń" �"
=
(12)
�" ń" ń" ń" ń" 0 �" �"
�" ń" źn-2 2 n-2
[ ][ ]
[ ]
M d
0 �" �" 0 źn-1 2
n-1 n-1
gdzie
hi�ą1
i=
, dla i = 1, & , n-2 (13)
hi�ą1�ąhi
hi
źi=1-i=
, dla i = 2, & , n-1 (14)
hi�ąhi�ą1
f - f f - f
6
i�ą1 i i i-1
d = -
(15)
i
{ }
hi�ąhi�ą1 hi�ą1 hi , dla i = 1, & , n-1.
2. Dla okresowej funkcji sklejanej st. 3-go:
S ''śą x0 źą=S '' śą xnźą M =M
czyli (16)
0 n
Otrzymujemy układ o wymiarach n�n postaci:
2 1 0 �" 0 ź1 M1 d1
ź2 2 2 ń" 0
M2 d2
0 ź3 2 3 ń" �"
=
(17)
�" ń" ń" ń" ń" 0 �" �"
0 ń" źn-1 2 n-1
[ ][ ]
[ ]
M d
n 0 �" 0 źn 2
n n
gdzie
mają zastosowanie wzory (13), (14) i (15) oraz poniższe:
ź1=1-1
(18)
h1
n=
(19)
hn�ąh1
f - f f - f
6
1 n n n-1
d = -
(20)
n
{ }
h1�ąhn h1 hn .
ZADANIE 1
Wyznaczyć naturalną funkcję sklejaną stopnia 3-go interpolującą funkcję
1
f śą x źą=
)#-1,1*#
na przedziale z węzłami:
1�ąx2
"={-1, 0, 1}
a) wykonując obliczenia  ręcznie ;
"={-1, -0 . 5, 0, 0 . 5, 1}
b) wykorzystując procedurę naturalsplinecoeffns (jej
zawartość w pliku lab7-nsplcns.pas).
ZADANIE 2
a) Wyznaczyć przy użyciu procedury naturalsplinecoeffns (jej zawartość w pliku
lab7-nsplcns.pas) naturalną funkcję sklejaną stopnia 3-go interpolującą podane
dane:
x -1 0 1 2
i
y 0 1 -1 2
i
b) Obliczyć przy interpolacji funkcjami sklejanymi stopnia 3-go przybliżoną wartość
funkcji w punktach: -0.3, 0.75, 1.8 za pomocą funkcji naturalsplinevalue (jej
zawartość w pliku lab7-nsplval.pas);
c) (*) Wykonać obliczenia  ręcznie .