Fizyka 2 - Lekcja 1
Co to jest - pole ?
Pole - to obszar przestrzenny, w którym każdemu punktowi przypisana jest pewna wielkość.
Jeśli wielkością tą jest liczba, czyli funkcja skalarna położenia punktu - mamy do czynienia z polem
skalarnym; jeśli punktowi przypisany jest wektor - mamy pole wektorowe.
Przykładem pola skalarnego może być pole
temperatur, gdzie każdemu punktowi przypisana
jest określona wartość temperatury. Ilustruje to
kolor tła niniejszego tekstu - zmiana temperatur
od wyższych (panujących blisko powierzchni
Ziemi) do niskich (panujących na dużych
wysokościach) odpowiada zmianie kolorów od
żółtego do niebieskiego. Podobnie, polem
skalarnym jest pole gęstości powietrza będące
funkcją wysokości nad poziomem morza.
Przykładem pola wektorowego może być pole
prędkości wiatru lub wody, gdzie każdemu
punktowi przypisany jest wektor wskazujący
wartość, kierunek i zwrot prędkości, patrz
rysunek obok.
Rys. 1.1. Pole temperatur jest przykładem pola
Spróbuj teraz sam podać inne przykłady pól
skalarnego; pole prędkości wiatru jest polem
skalarnych i wektorowych.
wektorowym
Lekcję pierwszą rozpoczynamy od wprowadzenia podstawowych pojęć dotyczących pól: skalarnych
i wektorowych. Stanowi to przygotowanie naszego "warsztatu pracy", bowiem znajomość tych
pojęć jest niezbędna do zrozumienia i opisu zjawisk elektromagnetycznych. Pojęcia te są intuicyjnie
zrozumiałe - niezbędne jest jednak, wyrażenie ich w formalizmie matematycznym. Dlatego
podajemy zarówno przykłady jak i uogólniające je definicje oraz formuły. Pojęcie rotacji ilustrujemy
animacją filmową .
Fizyka 2 - Lekcja 1
1. Gradient funkcji skalarnej
Wiemy już, że pole skalarne określone jest za pomocą funkcji
skalarnej, której argumentem jest wektor wyznaczający położenie
punktu w przestrzeni. Argumentem tym może być promień
wodzący punktu zdefiniowany w danym układzie
współrzędnych. Wybór odpowiedniego układu do opisu pola
zależy od własności tego pola. W przypadku, kiedy funkcja
skalarna przybiera jednakowe wartości w punktach położonych w
tej samej odległości od danego punktu, mówimy o polu
centralnym lub kulistym, i do opisu stosujemy układ
współrzędnych sferycznych, kiedy te same wartości funkcji
dotyczą punktów znajdujących się w jednakowej odległości od
danej prostej - mówimy o polu osiowym lub cylindrycznym.
Często jednak pole ma formę nieregularną, jak na przykład
Fot. 1.1.1 Skalarne pole zilustrowane obok pole temperatury płonącej świecy.
temperatur płonącej świecy
Pole skalarne zdefiniowane jest przez przyporządkowanie każdemu punktowi, którego położenie w
przestrzeni określa promień wodzący , pewnej funkcji skalarnej będącej funkcją położenia,
czyli
(1.1.1)
Zmiana wartości związana ze zmianą położenia punktu może być opisana za pomocą tzw.
pochodnej kierunkowej. [Pochodna kierunkowa była już wprowadzona w kursie Matematyka 2,
Rozdział 1. Lekcja 2, Sekcja 5 - Pochodna kierunkowa]. Rozpatrzmy następujący przykład. Niech
funkcją będzie temperatura w punktach pokoju określonych przez trzy współrzędne prostokątne
względem wybranego punktu odniesienia (np. lewego dolnego rogu pokoju naprzeciwko okna).
Kiedy zbliżamy się do otwartego zimą okna - odczuwamy zmianę temperatury, podczas gdy w głębi
pokoju temperatury są podobne. Mówimy, że pochodna wyrażająca zmianę temperatury względem
zmiany położenia, ma w kierunku do okna większą wartość bezwzględną (choć ujemny znak) niż
pochodna w innych kierunkach.
Kierunek, w którym zmiana funkcji skalarnej jest największa, tzn. pochodna kierunkowa osiąga
największą wartość, wyznaczony jest przez wielkość zwaną gradientem funkcji skalarnej. Wzór
określający gradient funkcji skalarnej ma postać charakterystyczną dla zastosowanego układu
współrzędnych. W układzie współrzędnych prostokątnych gradient funkcji skalarnej zdefiniowany
jest wzorem
(1.1.2)
Gradient funkcji skalarnej jest więc wektorem o składowych
(1.1.2a)
.
Fizyka 2 - Lekcja 1
Punktowi odległemu od danego punktu o wektor odpowiada przyrost
funkcji skalarnej o wartość
, (1.1.3)
co odpowiada wykonaniu mnożenia skalarnego wektorów
(1.1.4)
.
A teraz test: Na fotografii 1.1.1. naniesiony jest układ współrzędnych i zaznaczane są trzy punkty:
A, B, C. Załóżmy, że rozkład temperatur ma osiową symetrię względem osi pionowej przechodzącej
przez środek świecy i przyjmijmy, że wyższym temperaturom odpowiada jaśniejszy kolor. Niech
liczby: 0,1,2,3 odpowiadają: zerowej, małej, średniej i dużej wartości składowych gradientu
temperatury w każdym z tych punktów. Podaj w tej konwencji swoją ocenę wartości gradientów
temperatury w punktach A, B, C.
Fizyka 2 - Lekcja 1
2. Strumień wektora przez powierzchnię
Zajmiemy się teraz polami wektorowymi. Rozważania nasze odnosić się będą do dowolnego pola
wektorowego. Jedynie dla uczynienia ich bardziej poglądowymi będziemy mówić o polu wektora
prędkości cieczy.
Na rysunku1.2.1. kolorem czerwonym
pokazane są przykładowe trajektorie
obrazujące przepływ cieczy (linie, do których
styczne są wektory prędkości elementów
cieczy). Kolorem zielonym pokazane są
wektory prędkości w kilku wybranych
miejscach, ale oczywiście wektory takie można
przypisać każdemu punktowi przez który
następuje przepływ. Szarym odcieniem
pokazana jest pewna powierzchnia przez
którą ciecz przepływa. Kierunki i wartości
wektorów prędkości w różnych punktach tej
powierzchni są różne i nie muszą być do niej
prostopadłe. Kolorem niebieskim pokazany
jest elementarny fragment powierzchni
oraz wektor jednostkowy prostopadły do tej
powierzchni i skierowany na stronę
powierzchni zgodną z kierunkiem przepływu.
Symbolem oznaczony jest kąt pomiędzy
Rys. 1.2.1. Strumień wektora prędkości przez
wersorem , a kierunkiem wektora prędkości
powierzchnię
cieczy przepływającej przez ten element.
Od czego zależy ilość cieczy, która w danym czasie przepłynie przez daną powierzchnię?
Na rysunku 1.2.2 pokazany jest w powiększeniu
fragment powierzchni z wybranym elementem i
zaznaczony jest odcinek, o który przemieszcza się
ciecz z prędkością w czasie . Wartość tego
przemieszczenia wynosi . (Przyjmujemy tu, że
wybrany element jest wystarczająco mały, by
wartość i kierunek wektora prędkości cieczy w
całym elemencie były takie same.)
Objętość cieczy, która przepłynie w czasie przez
Rys.1.2.2. Objętość przepływająca przez
element powierzchni będzie więc
wybrany element powierzchni w czasie d.
(1.2.1)
,
gdzie przez oznaczyliśmy składową prędkości prostopadłą do powierzchni i równą
.
Strumień cieczy przepływający przez powierzchnię , to objętość cieczy przepływająca
przez tą powierzchnię w jednostce czasu. Mamy więc
Fizyka 2 - Lekcja 1
(1.2.2)
,
Dodaliśmy tu jeszcze jedną postać zapisu strumienia oznaczając przez rzut
wektora na kierunek wektora prędkości. Oba zapisy: z lub z są równoważne.
Zauważmy również, że wyrażenie może być też zapisane jako iloczyn skalarny wektora
prędkości przez wersor . Jeśli zaś zdefiniujemy wektor jako iloczyn powierzchni i
wersora , czyli
(1.2.3)
,
to wzór (1.2.2) możemy zapisać w postaci
(1.2.4)
,
Wielkość tę możemy nazwać strumieniem wektora przez element powierzchni . Jeżeli
umówimy się, że linie do których styczne są wektory prędkości, które można nazwać liniami
wektora , będziemy rysować z gęstością proporcjonalną do wartości prędkości (długości wektora
), to strumień wektora przez powierzchnię będzie miarą liczby linii przebijających
powierzchnię . Przy określonym kierunku wektora jego strumień przez powierzchnię
równoległą do będzie równy zeru (żadna linia nie przebija powierzchni), zaś przez
powierzchnię prostopadłą do będzie maksymalny (wtedy maksymalna liczba linii
przebija daną powierzchnię).
Strumień wektora prędkości przez dowolną powierzchnię otrzymamy poprzez sumowanie
przyczynków od wszystkich powierzchni elementarnych, co zapisujemy w postaci całki
. (1.2.5)
Kiedy powierzchnia S jest powierzchnią zamkniętą to przyjmuje się, że wersor skierowany jest na
zewnątrz, czyli wzór (1.2.5) odpowiada strumieniowi skierowanemu na zewnątrz (wypływającemu).
Zauważamy od razu, że jeśli wewnątrz zamkniętej powierzchni nie ma z
ródła, to strumień całkowity
przez tą powierzchnię będzie równy zeru, tzn. strumień wypływający będzie równy strumieniowi
wpływającemu (strumień wypływający jest dodatni, strumień wpływający jest ujemny). Niezerowa
wartość strumienia przez powierzchnię zamkniętą wskazuje więc, że w objętości ograniczonej tą
powierzchnią znajduje się z
ródło. W przypadku gdy ciecz wpływa do wewnątrz poprzez zamkniętą
powierzchnię mamy do czynienia z istnieniem zlewu, gdzie ciecz wpływa. Może być i tak, że
wewnątrz danej powierzchni zamkniętej istnieją równocześnie zarówno z
ródła jak i zlewy, i wtedy
znak strumienia określa, czy więcej cieczy wpływa, czy wypływa.
Na podstawie wzoru (1.2.5) możemy określić strumień dowolnego wektora przez dowolną
powierzchnię .
(1.2.6)
.
Fizyka 2 - Lekcja 1
3. Dywergencja czyli rozbieżność pola
Średnia wydajność z
ródeł zawartych w danej objętości określona jest przez stosunek całkowitego
strumienia przez powierzchnię zamkniętą ograniczającą tę objętość do wartości objętości. Kiedy
objętość zmniejsza się i w granicy zdąża do zera, to mówimy o wydajności z
ródeł w danym punkcie
. Tak zdefiniowana wielkość, to dywergencja lub rozbieżność danego wektora i oznaczana
jest symbolem . Dla wektora prędkości mamy więc
(1.3.1)
.
gdzie całkowanie rozciąga się na całą zamkniętą powierzchnię ograniczającą objętość wokół
punktu .
Zapiszmy wzór na dywergencję w układzie
współrzędnych prostokątnych. Wybierzmy małą
objętość w postaci prostopadłościanu, którego
ścianki prostopadłe są do osi współrzędnych, co
ilustruje Rys.1.3.1. Wersory prostopadłe do
przeciwległych ścianek skierowane są w przeciwne
strony (czerwone strzałki). Sumaryczny strumień
przez powierzchnie przeciwległe (dla przykładu
wez
my powierzchnie prostopadłe do osi Y)
otrzymamy odejmując od strumienia przez ściankę 2
strumień wypływający przez ściankę 1.
Rys. 1.3.1 Strumienie wypływające przez
przeciwległe ścianki
Strumień wzdłuż współrzędnej Y , tj. przez powierzchnie do niej prostopadłe, możemy więc zapisać
w postaci
(1.3.2)
gdzie w nawiasie zawarta jest różnica składowych prędkości prostopadłych do powierzchni 1 i 2, a
iloczyn długości ścianek to pole powierzchni wypływu; porównaj ze wzorem (1.2.2).
Jeśli rozważany prostopadłościan ma wystarczająco małe rozmiary, to możemy różnice składowych
prędkości wzdłuż osi Y wyrazić poprzez pochodną w punkcie P pomnożoną przez
odległość pomiędzy ściankami . W rezultacie, wzór (1.3.2) możemy zapisać inaczej
(1.3.3)
Identyczne rozumowanie prowadzi do wyrażeń dla strumieni przez ścianki prostopadłe do dwóch
pozostałych osi
Fizyka 2 - Lekcja 1
(1.3.4)
Całkowity strumień przez powierzchnię wybranego prostopadłościanu jest sumą strumieni we
wszystkich kierunkach; mamy więc
(1.3.5)
Całkowity strumień na jednostkę objętości, czyli dywergencję wektora w punkcie
otrzymamy dzieląc prawą stronę wzoru (1.3.5) przez ; patrz wzór (1.3.1)
(1.3.6)
Jest to właśnie zapis dywergencji w układzie współrzędnych prostokątnych.
Możemy powiedzieć, że jest operatorem, który działając na wektor ( lub inny) zamienia go na
skalar w postaci sumy pochodnych składowych wektora względem odpowiadających im
współrzędnych.
Fizyka 2 - Lekcja 1
4. Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego
Ze wzoru (1.3.5) widzimy, że iloczyn dywergencji przez element objętości jest strumieniem
wypływającym (lub wpływającym w przypadku ujemnego znaku) z/do tego elementu objętości.
Suma takich iloczynów, wyrażona przez całkę po skończonej objętości, stanowi wypadkowy
strumień przepływający przez powierzchnię ograniczającą tę objętość. Z drugiej strony wiemy, że
strumień taki wyrażony jest wzorem (1.2.5). Możemy więc zapisać, że
(1.4.1)
(Symbol "o" na znaku całki podkreśla, że powierzchnia S ograniczająca objętość V jest
powierzchnią zamkniętą.) Rozważania nasze prowadziliśmy dla wektora prędkości, co umożliwia
łatwe i intuicyjne przedstawienie rozważanych zależności oraz interpretację wprowadzonych pojęć.
Nic nie stoi jednak na przeszkodzie, by te pojęcia i zależności zastosować dla każdego pola
wektorowego. Jeżeli każdemu punktowi przestrzeni przypisany jest wektor , to wzór ( 1.4.1)
zapisujemy dla tego wektora w postaci
(1.4.2)
Jest to równanie wyrażające twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego. Twierdzenie to, łącząc całki po
powierzchni i objętości, posiada doniosłe znaczenie praktyczne, które pokazane tu będzie w
odniesieniu do pola elektrycznego. Jak widzimy, na podstawie tego twierdzenia możemy całkę
powierzchniową z wektora zamienić na całką objętościową (po objętości zamykającej tą
powierzchnię) z dywergencji tego wektora.
Fizyka 2 - Lekcja 1
5. Cyrkulacja po konturze zamkniętym
Zacznijmy od przykładu. W rzece woda płynie powoli w pobliżu dna zaś szybciej przy swej
powierzchni. Gdybyśmy w takim strumieniu umieścili wiatraczek podobny do tego, który pokazany
jest na rysunku 1.5.1. to zacząłby się on obracać w kierunku wskazanym strzałką. Gdyby jednak
prędkość wody była ta sama dla różnych wysokości albo wiatraczek ustawiony byłby w innej
płaszczyz
nie - pozostawałby nieruchomy. Przykład ten ilustruje nie omawiane przez nas dotychczas
własności pola wektorowego, które charakteryzują wielkości zwane cyrkulacją i rotacją.
Rys.1.5.1. Przepływ wody w rzece ilustruje pojęcia cyrkulacji i rotacji.
Dla ich określenia wyróżnijmy w wodzie objętość w postaci wąskiej rurki o stałym przekroju .
(Na rysunku 1.5.1 rurka ta pokazana jest kolorem zielonym.) Będziemy przy tym zakładać, że
rozważana przez nas "woda" jest cieczą nieściśliwą. Oznaczmy przez wektor elementarnego
przesunięcia się wody wzdłuż osi rurki w danym jej miejscu. (Na rysunku wektory te pokazane są w
kilku miejscach kolorem ciemnobrązowym.) Wektory prędkości wody w różnych punktach są różne
i na ogół nie pokrywają się z kierunkami osi rurki. (Na rysunku pokazane są kolorem czerwonym.)
Można jednak wyróżnić składową prędkości wzdłuż tej osi. (Składowa taka dla jednego wybranego
punktu oznaczona jest na rysunku symbolem .) Wyrażenie (patrz rysunek) można
przyjąć za miarę ruchu wody wzdłuż osi rurki w danym punkcie. W różnych punktach wartości tego
wyrażenia będą różne, bo zarówno prędkość wody jak i jej kierunek względem osi rurki mogą się
zmieniać od punktu do punktu. (Kilka przykładów pokazanych jest na rysunku.) Obliczając jednak
całkę z tego wyrażenia wzdłuż całej długości rurki stanowiącej zamknięty kontur, określamy
wielkość zawierającą uśrednioną informację o cyrkulacji wody w rurce. Rzeczywiście, wyrażenia
mogą być większe i mniejsze, dodatnie i ujemne, ale ich suma obliczona dla całej rurki
będzie uśrednioną miarą krążenia w niej wody co do ilości i co do kierunku. Całkę tę nazywamy
cyrkulacją lub krążeniem wektora prędkości wzdłuż konturu i zapisujemy w postaci.
(1.5.1)
Ważną własnością cyrkulacji jest jej addytywność.
Oznacza to, że gdybyśmy powierzchnię ograniczoną konturem
podzielili na elementy i obliczyli sumę cyrkulacji po konturach tych
elementów składowych, to otrzymalibyśmy wartość cyrkulacji po
Fizyka 2 - Lekcja 1
konturze . Wynika to natychmiast z faktu, że na odcinkach wspólnych
tych składowych konturów znak cyrkulacji po jednym konturze będzie
przeciwny do znaku cyrkulacji po drugim, zaś wartości będą równe.
Spowoduje to ich redukcję czyli wzajemne znoszenie się. Nie będą
redukować się jedynie cyrkulacje po zewnętrznych elementach konturu
dając w rezultacie wartość cyrkulacji po całym konturze. Składowe
kontury można dzielić dalej, co nie wpłynie na rezultat końcowy.
Rys.1.5.2. Ilustracja
addytywności cyrkulacji
Fizyka 2 - Lekcja 1
6. Rotacja (wirowość) pola wektorowego
Zauważmy, że wielkość którą nazwaliśmy cyrkulacją, zależy od rozmiarów konturu oraz od jego
orientacji względem kierunku wektora prędkości. W ogólnym przypadku rurka może mieć dowolny
kształt a pole wektora prędkości może być skomplikowaną funkcją położenia. Na rysunku 1.6.1
pokazany jest przykładowy kontur ograniczający powierzchnię wokół punktu . Kiedy jednak
powierzchnia ta będzie się kurczyć czyli będzie zdążać do zera, a wartość cyrkulacji po konturze
podzielimy przez , to określimy wielkość stanowiącą charakterystykę pola w danym punkcie,
niezależną od wielkości powierzchni.
Pozostaje jeszcze do zdefiniowania orientacja tej powierzchni
względem kierunku prędkości. Wybieramy taką orientację w
której cyrkulacja będzie maksymalna przy zdążającej do zera
powierzchni.
Podobnie jak w przypadku definicji strumienia, orientację tę
zdefiniujemy poprzez kierunek normalnej (czyli prostopadłej)
do powierzchni rozpiętej na konturze. Przyjmiemy też umowę, że
obchodząc kontur przy wykonywaniu całkowania we wzorze
(1.5.1) poruszać się będziemy tak, że kierunek normalnej będzie
Rys. 1.6.1. Kierunek wektora
określony przez regułę śruby prawoskrętnej, co ilustruje rysunek
rotacji.
1.6.1.
Wielkość zdefiniowaną jako stosunek cyrkulacji danego wektora ( na przykład wektora prędkości
) do powierzchni wokół punktu ( patrz rysunek 1.6.1), która obejmowana jest przez kontur
gdzie odbywa się cyrkulacja - nazywamy rotacją lub wirowością albo też wirem wektora w
punkcie .
(1.6.1)
Indeks "n" podkreśla, że zdefiniowana tu rotacja wektora ma charakter kierunkowy i w tym
przypadku związana jest z kierunkiem normalnej do powierzchni S rozpiętej na konturze C.
Rotacja wektora jest więc także wektorem.
Rozważanie nasze przeprowadziliśmy tak jak i dotychczas dla wektora prędkości, bowiem ułatwiło
to nam poglądowe przedstawienie wielkości, którymi posługujemy się dla zdefiniowania wektora
rotacji. W ten sam jednak sposób możemy zdefiniować wektor rotacji dla dowolnego pola
wektorowego.
Nietrudno zapisać rotację w układzie współrzędnych prostokątnych. W tym celu wyznaczmy
składowe rotacji dla kierunków pokrywających się z kierunkami osi układu współrzędnych. Dla
wyznaczenia składowej przyjmijmy, że normalna pokrywa się z osią , czyli kontur leży
w płaszczyz
nie . Powtarzając tę operację dla pozostałych składowych wyznaczymy
wszystkie składowe, czyli wyrazimy wektor rotacji w układzie współrzędnych prostokątnych.
Rysunek 1.6.2 ilustruje przypadek dla składowej .
Dla uproszczenia zakładamy, że kontur ma kształt
prostokąta o bokach i . Oś jest skierowana
Fizyka 2 - Lekcja 1
tak, że układ jest prawoskrętny. Strzałkami
ciemnozielonymi pokazane są kierunki prędkości na
poszczególnych odcinkach. Zgodnie z oznaczeniami na
rysunku i definicją (1.5.1) cyrkulację zapiszemy jako
sumę iloczynów średnich prędkości w poszczególnych
odcinkach prostokąta przez odpowiadające długości
boków. Uwzględnimy przy tym w postaci ujemnego
znaku, że kierunki prędkości na odcinkach 1 i 4 są
odwrotne niż odpowiadające im kierunki osi
współrzędnych. W rezultacie otrzymujemy wyrażenie
Rys.1.6.2. Cyrkulacja w płaszczyz
nie (Y,Z)
(1.6.2)
gdzie przez oraz oznaczyliśmy różnice średnich prędkości odpowiednio na odcinkach
oraz .
Podobnie jak przy wyznaczaniu strumienia, wyrazimy przyrosty prędkości na odcinku
przez i na odcinku przez tj. poprzez iloczyny
pochodnych cząstkowych w środku tego obszaru czyli w punkcie P przez odpowiadające przyrosty
współrzędnych (zobacz też wzór (1.1.14)). W rezultacie możemy cyrkulację w punkcie P zapisać w
postaci
(1.6.3)
gdzie jest powierzchnią ograniczającą kontur w płaszczyz
nie . Dzieląc wyrażenie (1.6.3)
przez wyznaczamy rzut wektora na oś , czyli składową tego wektora.
W analogiczny sposób wyznaczamy rzuty na dwie pozostałe osie. Pamiętać przy tym należy,
by zachowywać zawsze układ prawoskrętny. Ostatecznie, wektor rotacji we współrzędnych
prostokątnych zapisujemy w postaci.
(1.6.4)
Operator rotacji działając na wektor daje więc nowy wektor. Składowe tego wektora są kombinacją
przemienną pochodnych składowych wektora na który działa rotacja względem współrzędnych
przestrzennych.
Pojęcie rotacji pola wektorowego może być dobrze zilustrowane za pomocą wspominanego już
wiatraczka. Wykonajmy w naszym domowym laboratorium proste doświadczenie używając
wyłącznie łatwo dostępnych materiałów. (Jak widać na zdjęciu poniżej, użyliśmy tu: suszarki do włosów, linijki,
kawałka kartonu i drutu oraz taśmy samoprzylepnej; nie ma tu skomplikowanej (i drogiej) aparatury...)
Nauczanie przez działanie
Fizyka 2 - Lekcja 1
Wykonaj proste doświadczenie ilustrujące składowe
wektora rotacji, we współrzędnych prostokątnych
Dmuchawa (np. suszarka do włosów) kieruje
strumień powietrza (strzałki czerwone) w stronę
małego wiatraczka umieszczanego na drucie
przymocowanym do ściany. Na drucie tym
zawieszona jest też cienka blaszka, która może
odchylać się (strzałka zielona) pod wpływem
strumienia powietrza. Dmuchawa przesuwa się w
dół (strzałka niebieska).
Odpowiedz:
1. W jakim położeniu dmuchawy wiatraczek będzie się obracać, a w jakim nie ?
2. Jeżeli będzie się obracać, to w jakim kierunku ?
3. Które i kiedy pochodne we wzorze (1.6.4) mają tu niezerowe wartości ?
4. Jaki jest znak pochodnych o niezerowych wartościach ?
5. Które z pochodnych zachowują przez cały czas wartości bliskie zeru ?
6. Rozpatrz trzy przypadki: dmuchawa w położeniu: a-górnym, b-środkowym, c-dolnym.
7. Wykonaj tabelę dla trzech w/w przypadków i wszystkich sześciu pochodnych.
8. Oznacz odpowiednio: -1, 0, +1 - pochodna: mniejsza od zera, bliska zeru, większa od zera.
9 Wykonaj tabelę dla trzech w/w przypadków i wszystkich sześciu pochodnych.
10. Jeśli masz już odpowiedzi - sprawdz
ich poprawność klikając w polu obrazka, a zobaczysz
kiedy i w którą strone obraca sie wiatraczek. Możesz także wysłać wykonaną tabelę z pochodnymi
do swego opiekuna i poprosić o sprawdzenie.
Fizyka 2 - Lekcja 1
7. Twierdzenie Stokesa
Zapiszmy nieco inaczej wzór (1.6.1) zamieniając powierzchnię o zdążającej do zera wartości
przez zdefiniowany wzorem (1.2.3) skierowany element powierzchni . Pamiętając, że kierunek
wektora jest prostopadły do powierzchni możemy wzór (1.6.1) zapisać w postaci
(1.7.1)
Po lewej stronie wzoru (1.7.1) mamy cyrkulację po konturze obejmującym element powierzchni
. Kiedy będziemy rozważać powierzchnię o skończonych rozmiarach i niekoniecznie płaską to
wyrażenie po lewej stronie wzoru (1.7.1) musimy zastąpić sumą (całką) po całej tej powierzchni.
Kontur po lewej stronie obejmować teraz będzie powierzchnie stanowiąc również sumę
cyrkulacji po tych samych elementach, po których wykonywane jest całkowanie. Pamiętając jednak
o własności addytywności cyrkulacji możemy sumę tę zapisać jako cyrkulację po jednym konturze
obejmującym całą powierzchnię . W konsekwencji po prawej stronie wystąpi ciągła suma (całka)
iloczynów po tej samej powierzchni S. Otrzymujemy więc zależność
(1.7.2)
Zauważmy, że wyrażenie po prawej stronie jest, zgodnie ze wzorem (1.2.5), strumieniem wektora
przez powierzchnię .
Uzyskany związek nosi nazwę twierdzenia Stokesa. Związek ten łączy całkę liniową dla
dowolnego wektora po danym konturze z całką powierzchniową (po powierzchni obejmowanej tym
konturem) z rotacji tego wektora i może być wyrażony w następujący sposób.
Cyrkulacja wektora wzdłuż danego konturu równa jest strumieniowi rotacji tego wektora przez
dowolną powierzchnię ograniczoną tym konturem.
Pamiętamy stale, że wzór (1.7.2) zapisany dla wektora prędkości cieczy obowiązuje dla dowolnego
wektora, którego wartości określone są w każdym punkcie powierzchni .
Fizyka 2 - Lekcja 1
8. Operator nabla
Wprowadzone tu pojęcia i zależności można sformułować w prostej postaci stosując wprowadzony
przez Hamiltona operator różniczkowy tzw. operator nabla oznaczony symbolem ("nabla", z
greckiego - harfa) i zdefiniowany wzorem
(1.8.1)
Zapiszmy podstawowe reguły wyrażające rezultaty działań tego operatora.
1. Operator nabla działając na funkcję skalarną daje wektor
(1.8.2)
,
który, jak widzimy z postaci wzoru (1.1.2), jest gradientem funkcji .
2. Działając skalarnie tym operatorem na wektor (na przykład, na wektor ) otrzymujemy
skalar
(1.8.3)
,
co jest znanym nam wyrażeniem określającym dywergencję wektora , patrz wzór (1.3.6).
3. Działanie wektorowe operatora nabla na wektor daje w rezultacie wektor, którego składowe
łatwo jest wyznaczyć korzystając z zapisu w postaci wyznacznika
(1
8.
4)
Wektor ten wyraża rotację wektora, np. wektora prędkości , patrz wzór (1.6.4).
Stosując operator nabla możemy twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego zapisać w postaci
(1.8.5)
Zapis z operatorem nabla będziemy wykorzystywać w dalszej części naszego kursu.
Fizyka 2 - Lekcja 1
Nowe pojęcia, definicje i wyrażenia
obszar przestrzenny, w którym każdemu punktowi przypisana jest pewna
pole
wielkość
pole skalarne obszar przestrzenny, w którym każdemu punktowi przypisana jest liczba
obszar przestrzenny, w którym każdemu punktowi przypisana jest wielkość
pole wektorowe
wektorowa
gradient funkcji wektor prostopadły do powierzchni równych wartości funkcji skalarnej i
skalarnej skierowany w stronę jej wzrastania
przez element powierzchni - iloczyn skalarny wektora przez skierowany
strumień wektora element powierzchni (o kierunku wersora prostopadłego do powierzchni w
danym punkcie)
w danym punkcie pola - stosunek strumienia przez powierzchnię zamykającą
dywergencja nieskończenie mały element objętości wokół danego punktu do wartości
objętości tego elementu
cyrkulacja całka wektora po konturze zamkniętym
stosunek maksymalnej wartości cyrkulacji po nieskończenie małym konturze
rotacja
do wielkości tego konturu
twierdzenie
związek pomiędzy całką wektora po zamkniętej powierzchni i całką
Gaussa-
dywergencji wektora po objętości, którą ta powierzchnia ogranicza
Ostrogradskiego
operator różniczkowania względem współrzędnych przestrzennych działający
operator nabla
na funkcje skalarne lub wektorowe