Pole skalarne i pole wektorowe
Niech P=(x, y, z) należy do obszaru V R3. Jeżeli każdemu punktowi P przyporządkujemy
liczbę f(x, y, z), to mówimy, że w obszarze V zostało określone pole skalarne. Jeżeli każdemu
punktowi P=(x, y, z) należącemu do obszaru V R3 przyporządkujemy wektor F(P), to
mówimy, że w obszarze V zostało określone pole wektorowe.
Gradient pola skalarnego. Niech w obszarze V dane będzie pole skalarne, tzn. funkcja
f(x, y, z). Zakładamy, że f jest klasy C1. Gradientem tego pola nazywamy wektor
Dywergencja pola wektorowego. Niech w obszarze V dane będzie pole wektorowe F.
Zakładamy, że F jest klasy C1.
Dywergencją pola wektorowego F nazywamy pole skalarne określone wzorem
Mówimy, że pole F jest bezz
ródłowe, gdy w danym obszarze V mamy div W = O.
Rotacja pola wektorowego. Niech w obszarze V dane będzie pole wektorowe F. Zakładamy,
że F jest klasy C1.
Rotacją pola wektorowego F nazywamy pole wektorowe określone wzorem
Jeśli , to pole nazywamy bezwirowym.
Potencjał pola wektorowego. Pole wektorowe F nazywamy polem potencjalnym, jeżeli
istnieje takie pole skalarne f=f(x, y, z), dla którego
Warunkiem koniecznym i wystarczającym istnienia potencjału f pola wektorowego F w
obszarze jednospójnym V jest rot F = O. Wówczas potencjał pola F jest określony wzorem
Jeśli pole wektorowe F jest potencjalne, to całka krzywoliniowa skierowana jest równa przyrostowi
potencjału
Twierdzenie Greena. Jeżeli l jest krzywą płaską zamkniętą zorientowaną dodatnio i
ograniczającą obszar jednospójny D, przy czym w obszarze D dane są funkcje X(x, y) i Y(x, y)
klasy C1 w obszarze D i na brzegu l, to
Wniosek
Twierdzenie Greena-Gaussa-Ostrogradskiego. Jeżeli powierzchnia S ograniczająca obszar
jednospójny V jest wypukła, wektor normalny N do powierzchni S jest skierowany na zewnątrz
obszaru V oraz współrzędne X, Y, Z wektora F są klasy C1 wraz z brzegiem S, to strumień
wektora pola W = [X, Y, Z] przez zamkniętą powierzchnię S jest równy całce potrójnej z
dywergencji wektora pola F rozciągniętej na obszar V