POLE GRAWITACYJNE
Prawa Keplera
1. Elipsa.
Elipsa jest figurą geometryczną utworzoną przez zbiór punktów na płaszczyz
nie,
których suma odległości od dwóch punktów stałych zwanych ogniskami jest
jednakowa.
r1 + r2 = 2a
P
r r
1 2
a - du\
a półoś elipsy
F F
1 2 b - mała półoś elipsy
c
a
e - mimośród elipsy
c
b
e =
=
=
=
a
Okrąg jest szczególnym przypadkiem elipsy dla e = 0. Jeśli e = 1 to elipsa staje się
odcinkiem.
2. Pierwsze prawo Keplera.
Jan Kepler - wybitny matematyk i astronom niemiecki, \
ył w latach 1571 - 1630. W
oparciu o dane obserwacyjne Kepler sformułował trzy prawa, zwane dzisiaj prawami
Keplera. Zgodnie z pierwszym prawem
P
Keplera planety krą\
ą wokół Słońca po
torach eliptycznych, przy czym Słońce
znajduje się w jednym z ognisk.
S
Przed Keplerem istniało powszechne
przekonanie, \
e orbity planet mogą być
tylko okręgami.
3. Drugie prawo Keplera.
Ka\
da planeta ma stałą, charakterystyczną
dP1
dla siebie prędkość polową.
dP2
Przez prędkość polową rozumiemy stosunek
Słońce
pola zakreślonego przez promień wodzący
planety do czasu w jakim to pole zostało
zakreślone.
1
dP1 dP2
=
=
=
=
dt1 dt2
4. Trzecie prawo Keplera.
Kwadraty okresów obiegu planet wokół Słońca mają się do siebie tak jak sześciany
średnich odległości tych planet od Słońca.
3
T12 a1
=
=
=
=
2
T2 a3
2
Przez średnią odległość planety od Słońca rozumiemy wielkość du\
ej półosi orbity
eliptycznej.
Obecnie wiadomo, \
e drugie prawo Keplera wynika z zasady zachowania momentu
pędu, a trzecie prawo - z prawa cią\
enia powszechnego Newtona. Wyniki swoich
prac Kepler zawarł w dziele tworzonym w latach 1601 - 1605 i opublikowanym w
roku 1609 pt. "Astronomia nowa, oparta na przyczynach, czyli fizyka nieba
wyło\
ona w badaniach ruchu gwiazdy Marsa podług obserwacji Tychona Brahego".
Prawo cią\
enia powszechnego
Prawo cią\
enia powszechnego zostało sformułowane przez Izaaka Newtona.
Rozwa\
ania nad tym prawem były przeprowadzone w roku 1666, ale samo prawo
zostało opublikowane póz
niej.
Newton doszedł do wniosku, \
e przedmioty spadające na powierzchnię Ziemi
doznają działania siły, która ma to samo z
ródło co siła działająca na Księ\
yc.
y
ródłem siły jest Ziemia. Księ\
yc doznaje działania siły dośrodkowej, pod wpływem
której porusza się po okręgu. Przyspieszenie dośrodkowe Księ\
yca wynosi:
Fr 2 2Ąr
v Ą
Ą
Ą
ar = = v =
= = =
= = =
= = =
m r T
Fr Księ\
yc
2
4Ą Ą �" �" m
Ą2r 4Ą �" 3,84 �" 108 m
Ą Ą �" �"
Ą Ą �" �"
ar = = H" 0,00272
= = H"
= = H"
= = H"
V
T2 27,322�" 24 �" 3600s 2 s2
�" �"
�" �"
�" �"
( )
( )
( )
( )
r
Ziemia
1 m
ar = �" g g H" 9,81
= �" H"
= �" H"
= �" H"
3600 s2
2
Ciała spadające na powierzchnię Ziemi mają przyspieszenie g = 9,81 m/s . To samo
ciało umieszczone przy powierzchni Ziemi porusza się zatem z przyspieszeniem
3600 razy większym od przyspieszenia jakie miałoby po umieszczeniu w takiej
2
odległości od Ziemi w jakiej znajduje się Księ\
yc. Poniewa\
Księ\
yc jest 60 razy
dalej od środka Ziemi w porównaniu do przedmiotów umieszczonych na
powierzchni Ziemi, stąd wniosek, \
e siła jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu
odległości.
Wiadomo tak\
e, \
e Ziemia przyciąga ciało o większej masie z proporcjonalnie
większą siłą. Z powy\
szego wynika wniosek:
r
r
- F
-
- r
-
F
M m
Ka\
de dwa ciała materialne przyciągają się wzajemnie z siłą wprost
proporcjonalną do ich mas i odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości
między nimi.
Mm
F <"
r2
Wstawiając współczynnik proporcjonalności G otrzymujemy:
Nm2
-
-
-
G - stała grawitacji, G = 6,67�" 10-11
= �"
= �"
= �"
kg2
Mm
F = G
=
=
=
r2
r
r
r
F
M
m
r
r - wektor wskazujący poło\
enie ciała o masie m, na które działa siła grawitacji ze
strony ciała o masie M,
r
r r
- wektor jednostkowy o kierunku i zwrocier .
r
r
r
GMm r
F = -
= -
= -
= -
r2 r
Powy\
sza zale\
ność przedstawia prawo cią\
enia powszechnego w zapisie
wektorowym.
3
Wartość stałej grawitacji mo\
na wyznaczyć z prawa cią\
enia powszechnego. Do
wyznaczenia stałej G nale\
y znać masy dwóch ciał (M, m), odległość ich środków
(r) i wartość siły z jaką te ciała wzajemnie
się przyciągają. Poniewa\
siła ta jest bardzo
mała, stąd problemy z jej pomiarem. Wartość
stałej grawitacji została wyznaczona po raz
pierwszy dopiero około 100 lat po
sformułowaniu prawa cią\
enia
powszechnego. Dokonał tego w roku 1798
Cavendish. Wartość siły grawitacji obliczył
on mierząc skręcenie cienkiego drutu,
wywołanego oddziaływaniem
grawitacyjnym. Do bardziej znanych metod wyznaczania stałej grawitacji nale\
y
metoda zastosowana w roku 1880 przez Jolly'ego, który do pomiaru siły wykorzystał
dokładną wagę. W tym doświadczeniu zmierzono siłę, z jaką przyciagają się dwa
ciała o masach 5 kg i 5800 kg umieszczone w odległości 59 cm (odległość ich
środków). Wartość siły grawitacji wynosi w tym przypadku ok. 5,56 . 10-6 N. Jest to
cię\
ar odwa\
nika o masie 0,57 mg. Obecnie wiadomo, \
e stała grawitacji ma
wartość:
Nm2
G = (6,67259 ą 0,00058) . 10-11
kg2
Zastosowanie prawa cią\
enia powszechnego
1. Wyznaczanie masy Ziemi.
Siła, która nadaje spadającemu ciału przyspieszenie ziemskie jest praktycznie siłą
grawitacji. Wynika stąd równanie:
GMm
= mg
=
=
=
r2
m
2
R
2
9,81�" 6,37�" 106
�" �"
�" �"
�" �"
( )
( )
( )
( )
gR
M = = kg
= =
= =
= =
M
-
-
-
G 6,67�" 10-11
�"
�"
�"
M H" �"1024 kg
H" 6�"
H" �"
H" �"
2. Wyznaczanie masy Słońca.
Fr mz
Na Ziemię, która krą\
y wokół Słońca działa siła dośrodkowa.
Jest nią siła grawitacji. Wynika stąd równanie: V
r
GMsmz mzv2 2Ąr
Ą
Ą
Ą
Ms
= ; v =
= =
= =
= =
r2 r T
4
3
4Ą �" 1,5 �" 1011
Ą2 �" �"
Ą �" �"
Ą �" �"
( )
( )
( )
( )
4Ą
Ą2r3
Ą
Ą
Ms = = kg
= =
= =
= =
-
-
-
GT2 6,67�" 10-11 �" 365,25 �" 24 �" 3600 2
�" �" �" �"
�" �" �" �"
�" �" �" �"
( )
( )
( )
( )
Ms = 2�"
�"1030 kg
�"
�"
Analogicznie jak masę Słońca mo\
na wyznaczyć masę ka\
dej planety, wokół której
krą\
y satelita. Nale\
y jedynie znać promień orbity satelity i jego okres obiegu.
Natę\
enie pola grawitacyjnego
Przestrzeń wokół ciała obdarzonego masą, gdzie na inne ciała działają siły grawitacji
nazywamy polem grawitacyjnym. Ka\
demu punktowi pola mo\
na przypisać wektor
charakterystyczny dla danego punktu pola zwany natę\
eniem pola grawitacyjnego.
r
r
ł
ł
ł
ł
F
M
m
r
Miarą natę\
enia pola grawitacyjnego jest stosunek siły grawitacji jak działa na ciało
umieszczone w danym punkcie pola do masy tego ciała.
r
r F
ł =
ł =
ł =
ł =
m
W przypadku, gdy z
ródłem pola jest punktowe ciało o masie M natę\
enie pola w
punkcie odległym o r od z
ródła pola wynosi:
GMm
r2
ł =
ł =
ł =
ł =
m
GM
ł =
ł =
ł =
ł =
r2
5
Stosunek siły grawitacji jaka działa na ciało umieszczone w pewnym punkcie
przestrzeni do masy tego ciała wyra\
a równie\

przyspieszenie ciała. Pomiędzy natę\
eniem
r
Fr pola grawitacyjnego i przyspieszeniem
ziemskim istnieją jednak istotne ró\
nice.
Ziemia nie jest dokładnie układem inercjalnym.
Na ka\
de ciało umieszczone na Ziemi działa
siła odśrodkowa bezwładności wywołana
ruchem wirowym Ziemi. Siła odśrodkowa jest
nieznaczna w stosunku do siły grawitacji i jest
skierowana prostopadle do osi Ziemi. Stosunek
r
siły grawitacji (F ) do masy ciała wyra\
a
natę\
enie pola grawitacyjnego. Cię\
ar jest
wypadkową siły grawitacji i siły odśrodkowej
r
r
r
bezwładności. Stosunek cię\
aru (Q) do masy
F
Q
ciała wyra\
a przyspieszenie ziemskie.
r r
r F r Q
ł = g =
ł = =
ł = =
ł = =
m m
r r
r r
F H" Q �! ł H" g
H" �! ł H"
H" �! ł H"
H" �! ł H"
Wynika stąd, \
e ruch wirowy Ziemi jest przyczyną drobnych ró\
nic między
wartością natę\
enia pola grawitacyjnego w danym punkcie pola i przyspieszeniem
r
ziemskim ciała umieszczonego w tym punkcie. Istotna ró\
nica między wektorami ł i
ł
ł
ł
r r r
g polega jednak na tym, \
e ł jest cechą danego punktu pola, podczas gdy g jest
ł
ł
ł
cechą ciała poruszającego się w tym punkcie.
Przyspieszenie ziemskie zale\
y od szerokości geograficznej oraz od wysokości nad
m
poziom morza. Na biegunie wynosi ono g = 9,83216 , a na równiku
s2
m m m
g = 9,78030 . W Warszawie g = 9,8123 , a w Krakowie g = 9,81054 .
s2 s2 s2
Pole grawitacyjne wewnątrz jednorodnej kuli
Natę\
enie pola grawitacyjnego na powierzchni
jednorodnej kuli o masie M i promieniu R jest ło.
Natę\
enie pola wewnątrz kuli, w odległości r od jej
ł
środka jest ł. y
ródłem tego pola jest kula o masie M i
r
promieniu r.
R
ło
GM G�4ĄR3 4ĄG�R
� Ą Ą �
� Ą Ą �
� Ą Ą �
ł0 = = =
ł = = =
ł = = =
ł = = =
R2 3R2 3
6
GM' G�4Ąr3 4ĄG�r
� Ą Ą �
� Ą Ą �
� Ą Ą �
ł = = =
ł = = =
ł = = =
ł = = =
3
r2 3r2
ł r
ł
ł
ł
=
=
=
=
ł0 R
ł
ł
ł
r
ł = ł0
ł = ł
ł = ł
ł = ł
R
Natę\
enie pola grawitacyjnego na
zewnątrz kuli w odległości r od jej
środka jest ł.
GM
ł =
ł =
ł =
ł0 ł ł = r2
Na powierzchni kuli:
GM ł R2
ł
ł
ł
ł0 = =
ł = =
ł = =
ł = =
R2 ł0 r2
ł
ł
ł
R2
ł = ł0
ł = ł
ł = ł
ł = ł
r2
Zale\
ność natę\
enia pola grawitacyjnego od odległości liczonej od środka kuli
przedstawia poni\
szy wykres:
ł
r
R
Praca w polu grawitacyjnym
Ciało materialne o masie m znajdujące się początkowo w odległości r od z
ródła pola
grawitacyjnego, jakim jest ciało o masie M, zostało przemieszczone o ds, w wyniku
czego odległość między ciałami zwiększyła się o dr.
r
M F
m
ą
ą
ą
ą
ds
dr
Praca elementarna wykonana przy tym przez siłę zewnętrzną jest równa:
7
dr
dW = Fds cosą ; = cosą
= ą = ą
= ą = ą
= ą = ą
ds
dW = Fdr
=
=
=
Praca elementarna nie zale\
y zatem od przemieszczenia, a zale\
y jedynie od zmiany
odległości między ciałami (dr).
Przyjmijmy, \
e początkowo dwa ciała materialne znajdowały się w odległości
wzajemnej r1, a następnie w wyniku przesunięcia znalazły się w odległości r2.
1
Praca wykonana przy tym
m
przez siłę zewnętrzną
r1
stanowi sumę prac
M
elementarnych i tak jak one
nie zale\
y od drogi. Praca
wykonana podczas
F1
r2
3 przesunięcia jest zatem
F2
2 równa sumie:
W = W1,3 + W3,2
= +
= +
= +
Pierwszy składnik sumy jest równy zeru, poniewa\
nie zmienia się wtedy odległość
między ciałami.
W1,3 = 0 �! W = W3,2
= �! =
= �! =
= �! =
Podczas przesunięcia z odległości r1 na odległość r2 siła potrzebna do takiego
przesunięcia maleje. Wykonana przy tym praca wynosi:
W = F
śr . (r2 - r1)
Mo\
na wykazać, \
e średnia siła działająca podczas przesunięcia jest średnią
geometryczną sił działających w krańcowych punktach tego przesunięcia.
GMm GMm GMm
Fr = F1F2 = �" =
= = �" =
= = �" =
= = �" =
2
r12 r2 r1r2
-
-
-
GMm r2 - r1
W = r2 =
= =
= =
=
( - r1 = GMm
( - )
( - )
( - )
)
r1r2 r1r2
�ł �ł
�ł �ł
�ł 1 1 �ł
�ł �ł
W = GMm�ł -
=
= -
=
�ł - �ł
�ł - �ł
�ł �ł
�ł
- praca sił zewnętrznych
�ł r1 r2 łł
�ł łł
�ł łł
�ł łł
8
Energia potencjalna grawitacji
Energia potencjalna jest cechą układu zło\
onego co najmniej z dwóch ciał
pozostających w spoczynku, jeśli pomiędzy ciałami tego układu zachodzą jakieś
oddziaływania. Układ dwóch ciał materialnych o masach m i M, pomiędzy którymi
działają siły grawitacji ma energię potencjalną grawitacji. Gdyby między ciałami nie
działały siły grawitacji, to energia układu byłaby równa zeru. Ka\
da zmiana energii
jest równa wykonanej pracy.
m
M
r
Energia potencjalna grawitacji jest równa pracy jaką trzeba wykonać przenosząc
dany układ ze stanu energii zerowej (gdy ciała są nieskończenie od siebie odległe) do
danego stanu energii (gdy są w odległości wzajemnej r).
1 1
�ł �ł
�ł �ł
�ł �ł
�ł
Ep = GMm�ł -
=
= -
=
�ł - �ł
�ł - �ł
�ł �ł
�ł �ł
�ł łł
�ł łł
�ł łł
�ł łł
" r
"
"
"
GMm
Ep = -
= -
= -
= -
r
Zmianę energii potencjalnej grawitacji w ogólnym przypadku obliczamy, obliczając
pracę:
M
r1
m
M
m
r2
�ł �ł �ł �ł
�ł �ł �ł �ł
�ł 1 1 �ł GMm GMm
�ł �ł �ł �ł
�ł �ł
"Ep = GMm�ł - = - - -
" = = - -
" = - = - - �ł -
" = = - �ł -
�ł - �ł -
�ł - �ł -
�ł
�ł �ł �ł �ł
�ł �ł �ł
�ł
�ł r1 r2 łł r2 �ł r1 łł
�ł łł �ł łł
�ł łł �ł łł
�ł łł �ł łł
"Ep = E2 - E1
"
"
"
Jeśli jednym z ciał układu jest Ziemia, a drugim ciało o masie m umieszczone na jej
powierzchni, to zmiana energii układu przy podniesieniu ciała o masie m na
nieznaczną wysokość nad powierzchnię Ziemi wynosi:
9
1 1
m �ł �ł
�ł �ł
�ł �ł
�ł
"Ep = GMm�ł -
" =
" = -
" =
�ł -
�ł -
�ł
�ł �ł
�ł �ł
�ł
h
�ł łł
�ł łł
�ł łł
�ł łł
R R + h
+
+
+
GMmh
2
"Ep =
" =
" =
" =
; h << R �! R R + h H" R
<< �! + H"
<< �! + H"
<< �! + H"
( )
( )
( )
( )
R
R R + h
+
+
+
( )
( )
( )
( )
GM
GM
"Ep = mh
" =
" =
" =
= g
=
=
=
2 2
R R
"Ep = mgh
" =
" =
" =
Jeśli układ składa się z trzech ciał umieszczonych w odległościach wzajemnych r1, r2
i r3, to energia układu stanowi sumę energii potencjalnych poszczególnych par.
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
�ł 1 1 �ł �ł 1 1 �ł �ł 1 1 �ł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
Ep = Gm1m2 �ł - + Gm2m3 �ł - + Gm1m3 �ł -
= + +
= - + - + -
= + +
�ł - �ł �ł - �ł �ł - �ł
�ł - �ł �ł - �ł �ł - �ł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
�ł �ł �ł
" " "
" " "
�ł " r1 łł �ł " r2 łł �ł " r3 łł
�ł " łł �ł " łł �ł " łł
�ł łł �ł łł �ł łł
�ł łł �ł łł �ł łł
m2
Gm1m2 Gm2m3 Gm1m3
Ep = - - -
= - - -
= - - -
r2 = - - -
r1
r1 r2 r3
m1
m3
r3
Potencjał grawitacyjny
Ka\
demu punktowi pola grawitacyjnego mo\
na przypisać wielkość skalarną zwaną
potencjałem grawitacyjnym. Miarą potencjału grawitacyjnego jest stosunek energii
potencjalnej jaką ma ciało umieszczone w danym punkcie pola do masy tego ciała.
Ep
V =
=
=
=
m
Jeśli z
ródłem pola jest punktowe ciało o masie M, to potencjał w punkcie odległym o
r od z
ródła pola wynosi:
GMm
-
-
-
-
m GM
M
r
r
V = -
= -
= -
= -
V =
=
=
=
r
m
Pracę wykonaną podczas przesuwania ciała w polu grawitacyjnym mo\
na wyrazić
poprzez ró\
nicę potencjałów.
10
m �ł �ł �ł �ł
�ł �ł �ł �ł
�ł �ł �ł �ł
�ł
M �ł 1 1 �ł �ł GM GM
W = GMm�ł - = m�ł -
= =
= - = -
= =
�ł - �ł �ł - �ł
�ł - �ł �ł - �ł
�ł �ł �ł �ł
�ł �ł
�ł r1 r2 łł �ł r1 r2 łł
�ł łł �ł łł
�ł łł �ł łł
�ł łł �ł łł
1 2
W = m V2 - V1
=
=
=
( - )
( - )
( - )
( )
Prędkość satelity na orbicie
Siła dośrodkowa działająca na satelitę krą\
ącego po torze o promieniu r jest siłą
grawitacji.
2
mv GMm
=
=
=
=
r r2
Fr
r
GM
v =
=
=
=
r
v
Prędkość satelity jest zatem tym większa im mniejszy jest promień orbity.
Energia satelity na orbicie
Ka\
dy satelita ma energię kinetyczną i potencjalną grawitacji:
2
mv2 GMm mv GMm
E = Ek + Ep = - =
= + = - =
= + = - ; =
= + = - =
2 r r r2
GMm GMm
E = -
= -
= -
= -
2r r
GMm
E = -
= -
= -
= -
2r
GMm GMm
Ep = - ; Ek =
= - =
= - =
= - =
r 2r
Ep
= -2
= -
= -
= -
Ek
Energia potencjalna dominuje i dlatego energia całkowita rośnie ze wzrostem
promienia orbity.
11
Pierwsza prędkość kosmiczna
Wystrzelenie sztucznego satelity wymaga energii tym większej im większy ma być
promień jego orbity. Najmniejszej energii wymaga wystrzelenie satelity krą\
ącego na
minimalnej wysokości nad ziemią. Obecność atmosfery powoduje, \
e minimalna
wysokość toru satelity powinna wynosić około 300 km. Pierwsza prędkość
kosmiczna jest to prędkość jaką trzeba nadać ciału stycznie do powierzchni Ziemi,
aby ciało mogło okrą\
ać Ziemię po torze o promieniu równym promieniowi Ziemi.
GM GM
vI = ; = g
= =
= =
= =
R R
z z
km
vI = gR vI = 7,9
= =
= =
= =
z
s
W praktyce ciało, któremu nadano pierwszą prędkość kosmiczną nie mo\
e okrą\
ać
Ziemi z uwagi na opór powietrza i przeszkody terenowe.
Satelita geostacjonarny
Jest to satelita krą\
ący w płaszczyz
nie równika po tak dobranej orbicie, \
e jego okres
obiegu Ziemi wynosi 24 h. Jeśli satelita krą\
y z zachodu na wschód, to znajduje się
ciągle nad tym samym
h
punktem na powierzchni
V
Ziemi.
R
2
mv GMm
=
=
=
=
r r2
Ą
GM 2Ąr
Ą
Ą
r = ; v =
= =
= =
= =
2
v T
GMT2
r3 =
=
=
=
2
4Ą
Ą
Ą
Ą
GMT2
3
h = - R
= -
= -
= -
4Ą
Ą2
Ą
Ą
Satelita geostacjonarny musi krą\
yć nad ziemią na wysokości ok. 35,9 tys. km.
12
Druga prędkość kosmiczna
Jest to prędkość jaką musi mieć ciało wyrzucone z powierzchni Ziemi, aby mogło
wyzwolić się z pola grawitacyjnego Ziemi.
2
�ł �ł
�ł 1 1 �ł
�ł �ł
mVII �ł �ł
�ł - �ł
�ł - �ł
�ł
= GMm�ł - �ł
= �ł - �ł
=
=
�ł �ł
�ł �ł
�ł �ł
�ł
2 Rz "
"
"
"
�ł łł
�ł łł
�ł łł
�ł łł
2GM
VII =
=
=
=
Rz
km
VII = 2 VI VII = 11,2
= =
= =
= =
s
Przecią\
enie i niewa\
kość
Przecią\
enie i niewa\
kość są to zjawiska zachodzące w układach nieinercjalnych. Przecią\
enie
powstaje wtedy, gdy siła bezwładności sumując się z cię\
arem zwiększa nacisk ciała na podło\
e.
Między innymi przecią\
enie powstaje przy starcie rakiety oraz w wirówce do
badania kosmonautów.
Niewa\
kość ma miejsce w takich układach inercjalnych, w których siła bezwładności
równowa\
y cię\
ar.
13
ma
Fr
F
a = g
ma
Stan niewa\
kości powstaje między innymi podczas swobodnego spadku oraz w statku kosmicznym
na orbicie.
Drugie prawo Keplera a zasada zachowania momentu pędu
Rysunek przedstawia orbitę eliptyczną jednej z planet okrą\
ających np. Słońce. Jeśli
planeta przebywa odcinek toru o długości dx1, to promień wodzący tej planety
zakreśla pole ds1, a jeśli planeta przebywa odcinek toru o długości dx2, to promień
wodzący tej planety zakreśla pole ds2. Na planetę działa siła grawitacji, która jest siłą
centralną i zgodnie z zasadą zachowania momentu pędu, moment pędu planety nie
ulega zmianie. Wychodząc z równości momentów pędu otrzymujemy:
dx v
1 1
L1 = L2 �!
�! mv1R1 = mv2 R2
�!
�!
R1
ds
1
dx1 dx2
R = R
=
=
=
dt1 1 dt2 2
ds
2
1
R2
ds = dxR
=
=
=
2
dx
2
v
2
ds1 ds2
=
=
=
=
dt1 dt2
A zatem prędkość polowa planety jest stała.
Z powy\
szych rozwa\
ań wynika, \
e drugie prawo Keplera jest konsekwencją
istnienia zasady zachowania pędu.
14
Trzecie prawo Keplera a prawo cią\
enia powszechnego
Na planetę krą\
ącą wokół Słońca działa siła grawitacji, która pełni rolę siły
dośrodkowej.
2
mv GMm
=
=
=
=
a1
r r2
a2
M 4Ą
Ą2r2 GM
Ą
Ą
= �! 4 Ą2 r3 = G M T2
= Ą
= Ą
= Ą
T2 r
Rozwa\
amy dwie planety okrą\
ające
Słońce po orbitach o promieniach a1 i a2.
Dla ka\
dej z nich słuszna jest analogiczna
zale\
ność:
3
ńł
ńł
ńł Ą =
ńł
Ą =
Ą =
�ł4Ąa1 = GMT12
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
2
�ł4Ąa2 = GMT2
�ł Ą =
�ł Ą =
�ł Ą =
2
ół
ół
ół
ół
Dzieląc te równania przez siebie stronami otrzymujemy:
3
T12 a1
=
=
=
=
2
T2 a3
2
Oznacza to, \
e trzecie prawo Keplera wynika z prawa cią\
enia powszechnego.
Uogólniona postać trzeciego prawa Keplera
Obiekty o masach M i m krą\
ą wokół wspólnego środka masy. Siła dośrodkowa
działająca na ka\
dy z nich jest siłą grawitacji.
V2
r2 r1 Fr m
1
M
Środek masy
V1
układu
mv1 GMm Mv2 GMm
= =
= =
= =
= =
r1 r2 r21 r2
4Ą GM Ą Gm
Ą2r1 Ą2r2
Ą 4Ą
Ą Ą
= = (r1 + r2 = r )
= =
= =
= =
T2 r2 T2 r2
Dodając powy\
sze równania stronami otrzymujemy:
15
4Ą r1 + r2 G M + m
Ą2 + +
Ą + +
Ą + +
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
=
=
=
=
T2 r2
G M + m T2 = 4Ą2r3
+ = Ą
+ = Ą
+ = Ą
( )
( )
( )
( )
W przypadku dwóch planet krą\
ących wokół słońca po ró\
nych torach, dla ka\
dej z
nich otrzymujemy:
3
G M + m T12 = 4Ą
+ = Ą2a1
+ = Ą
+ = Ą
( )
( )
( )
( )
2
G M + m T2 = 4Ą2a3
+ = Ą
+ = Ą
+ = Ą
( )
( )
( )
( )
2
m
1
a
1
T
1
Dzieląc te równania stronami otrzymamy:
M
a
2
m
2
M + m1 T12 3
+
+
+
( ) a1
( )
( )
( )
T
2 =
=
=
=
2
M + m2 T2 a3
+
+
+
( )
( )
( )
( )
2
W przypadku gdy masy planet są nieznaczne w stosunku do masy Słońca
otrzymujemy:
3
T12 a1
=
=
=
=
2
T2 a3
2
16