Pole grawitacyjne
Mm
F =� G
2
r
F >� F
BA
gdzie:
M  ciało o masie M, z
ródło pola
m  ciało próbne o masie m, nie deformuje pola wytworzonego przez z
ródło
W otoczeniu każdego ciała przestrzeń posiada tę właściwość, że w każdym jej punkcie na ciało
próbne działa siła grawitacyjna. Mówimy, że każde ciało wytwarza pole grawitacyjne.
W celu scharakteryzowania pola grawitacyjnego wprowadzamy wielkość, która nie zależy od ciała
próbnego, tzw. natężenie pola grawitacyjnego.
def
F
- definicja wielkości fizycznej
g� =�
m
Wartość liczbowa g� jest równa wartości siły działającej na punkt materialny o masie m = 1 kg
umieszczony w danym miejscu pola.
Kierunek g� jest taki, jak kierunek siły . W przypadku masy punktowej M (lub ciała w kształcie
F
kuli) g� ma kierunek radialny.
Mm
G
M
- prawo fizyczne
r2
g� =� G
g� =�
r2
m
g�
Pole centralne
g�
M
g�
linie sił pola
Zasada superpozycji pól
M1, M2  z
ródła pola
Natężenie pola grawitacyjnego
w punkcie P jest równe:
g� =� g� +� g�
12
Przy powierzchni Ziemi: g�k =3,4 x 10-5 m/s2 g�s =5,6 x 10-3 m/s2
g�z = 9,8 m/s2
Dla niewielkich wysokości ponad Ziemią oraz dla niewielkiego obszaru powierzchni
Ziemi możemy przyjąć, że linie pola grawitacyjnego przebiegają równolegle.
pole jednorodne
g� =� const
M
W dużych odległościach od Ziemi (h duże względem R) g� =� G
(R +� h)2
M
W pobliżu Ziemi dla h << R
g� =� G
R2
Pojęcie pracy
dW =� F �� dl
dl tak małe,
elementarna
prace
że F =� const
def
W =� F �� dl
��
AB
W =� Fs ��cosa�
Jeśli:
1. a� = 0
W =� F �� s
- jednostka pracy (def.)
[J] =�[N �� m]
2. a� = 180o
W =� -�F �� s - praca ujemna
3. a� = 90o
W = 0
4. Jeśli na ciało działa wiele sił, to praca wykonana nad ciałem równa się sumie prac
poszczególnych sił.
F1, F2, ... , Fn dW =� F1 �� dl +� F2 �� dl +� ... +� Fn �� dl
F =� F1 +� F2 +� ... +� Fn
dW =� F �� dl
Praca siły grawitacyjnej
rB
WA��B =� Fg �� dl
��
rA
dl =�-�dr
rB
Mm
W =�-�
A��B ��G r dr
2
rA
rB
Mm
W =� G
A��B
r
rA
Mm Mm
W =� G -� G >� 0
A��B
rr
BA
F =�-�F
Obliczymy pracę siły zewnętrznej g przy przeniesieniu ciała z punktu
z
A do B.
-� elementarne przesunięcie
dl
a� =� 180
dl =�-�dr
rB
W =� F �� dl
A��B �� z
rA
rB
Mm
W =� -�
A��B ��G r (-�1)dr
2
rA
rB
Mm
W =�-�G
A��B
r
rA
Mm Mm
W =� (-�G ) -� (-�G
)
A��B
rr
BA
Mm Mm
W =� G -� G <� 0
A��B
rr
AB
Mm
Jeśli to W =�-�G energia potencjalna ciała m w punkcie B pola
rA ��Ą�
Ą��B
r
B
Praca siły zewnętrznej przy przenoszeniu ciała m z nieskończoności do dowolnego punktu
pola centralnego P wynosi:
Mm
W =�-�G
Ą��P
r
P
Obliczmy wartość tej pracy przy przeniesieniu masy próbnej m = 1 kg.
WM
Ą��B
=�-�G
mr
P
Tę wielkość fizyczną, która definiujemy jako stosunek pracy wykonanej przez siłę
zewnętrzną z g przy przeniesieniu punktu materialnego o masie m = 1 kg z
F =�-�F
nieskończoności do danego punktu P pola, nazywamy potencjałem w danym punkcie
pola (lub potencjałem danego punktu pola).
M
def
WĄ��P j� =�-�G
j�P =�
P
r
m
P
gdzie:
M  masa z
ródła pola
rP  odległość wybranego
punktu P pola od z
ródła pola
j� =�j� +�j�
W przypadku np. dwóch z
ródeł pola M1 i M2 potencjał w punkcie P pola
1 2
M
1
j� =�-�G
1
r
1
M
2
j�2 =�-�G
1
r
2
ć� �� ć� ��
MM2
11
j� =� -�G +� -�G
�� �� ��
rr2 ��
Ł� 1 ł� Ł� 1 ł�
W =� m j�B -�j�A
(� )�
W =� m �� D�j�
Praca sił zachowawczych
W =� 0
r =� r
B��B'
AA'
W =� 0
r =� r
A��A'
BB'
WAB =�-�WB' A'
j� =� j�
AA'
WABA'B' =� 0
j� =� j�
BB'
Pole grawitacyjne jest polem sił zachowawczych.
Praca sił zachowawczych po krzywej zamkniętej jest równa zero.
j� =� j�
AA'
j� =� j�
BB'
Związek między siłą grawitacji i potencjałem grawitacyjnym
Siły pola są
prostopadłe do
powierzchni
ekwipotencjalnych i
zwrócone są w
stronę malejącego
potencjału
(j� >� j� )
A B
g� =�-�grad j�
Gradient potencjału (grad j�) jest to wektor, którego wartość jest równa szybkości
wzrostu potencjału w kierunku linii sił pola.
dj�
Wartość wektora grad j� w tym przypadku równa się
dr
j� >� j�
1 2
D�j� =� j� -�j�
1 2
Wartość wektora grad j�
dj�
w tym przypadku równa się
dh
Praca siły ciężkości w polu jednorodnym
dl =�-�dh
a� =� 0
h2
h2
W =� -� mg �� dh =� -�mgh =� (-�mgh2) -� (-�mgh1)
��
h1
h1
W =� mgh1 -� mgh2 >� 0
Praca równa się różnicy dwóch wyrażeń, które są
funkcjami wysokości (położenia). Wyrażenie mgh
nazywamy energią potencjalną ciężkości układu:
Ziemia-ciało.
Potrafimy określić przyrost
e�p =� mgh
energii potencjalnej ciężkości
W =�D�e�
p
Praca wykonana przy konstrukcji układu
mas punktowych o zadanej konfiguracji.
Obliczamy pracę siły zewnętrznej przy przeniesieniu masy m2 z Ą� na odległość r12 do masy m1.
mm
1 2
W =�-�G
12
r
12
Następnie obliczamy pracę przy przeniesieniu masy m3 z Ą� na odległość r13 do masy m1.
mm3
1
W13 =�-�G
r13
Nie uwzględniając obecności masy m1 obliczamy pracę przy przesunięciu masy m3 z Ą�
na odległość r23 do masy m2.
m2m3
W =�W +�W +�W
12 12 23
W23 =� -�G
r23
ć��� ć� �� ć� ��
m m m m m m
1 2 1 3 2 3
W =� -�G +� -�G +� -�G
���� �� �� �� ��
r r r
Ł� 12 ł� Ł� 13 ł� Ł� 23 ł�
Praca siły sprężystości
< 0
Praca W równa jest różnicy dwóch wyrażeń, które są funkcjami
wychylenia ciała z położenia równowagi.
2
energia potencjalna sprężystości
kx
e� =�
p
2
W =�D�e�
p
Praca siły F przy rozpędzaniu ciała o masie m od prędkości o wartości v1
do prędkości o wartości v2.
dW =� F �� dl
dp
F =�
dt
dp
dW =� �� dl
Obliczenia pomocnicze:
dt
dl
v �� v =� v �� v �� cos0 =� v2
dW =� dp ��
dt
d(v �� v) =� v �� dv +� dv �� v =� 2v �� dv
dW =� d(mv) �� v
d(v2) =� 2v �� dv
dW =� m �� dv �� v =� mv �� dv
v2
ć� ��
d =� v �� dv
v2 �� ��
ć� ��
2
Ł� ł�
dW =� m �� d
�� ��
2
Ł� ł�
mv2
��
dW =� d
����
2
Ł�ł�
mv2
Oznaczmy wyrażenie =�e�k
2
Wyrażenie to nazwijmy energią kinetyczną ciała o masie m poruszającego się z prędkością v.
dW =� de�k
2
W =�
k 2
��de� ; W =� e�k -� e�k1; W =� D�e�k
1
22
mv mv
21
W =�-�
22
Praca W jest równa różnicy dwóch wyrażeń, które są funkcjami prędkości.
Energia jest funkcją stanu
-� energia grawitacyjna
funkcją położenia
funkcją wychylenia -� energia potencjalna sprężystości
funkcją prędkości -� energia kinetyczna
Zasada zachowania energii
W przypadku układu odosobnionego suma energii potencjalnej i kinetycznej jest stała.
(� )�
��F =� 0
z
e� +� e� =� const
pk