POLE GRAWITACYJNE
PRAWO POWSZECHNEGO CI
ŻENIA
Newton - 1665 spadanie ciał. Skoro istnieje siła przycią-
gania pomiędzy dowolnym ciałem i Ziemią, to musi istnieć
siła między każdymi dwoma masami m1 i m2.
Prawo powszechnego ciążenia:
'"
r
m1m2 r
1
F = G �" r
F ~ m1m2, , .
r2
r2
Siła działająca między dwoma masami m1 i m2 jest pro-
porcjonalna do iloczynu tych mas i maleje odwrotnie pro-
porcjonalnie do kwadratu od-
m1 m2
ległości między nimi.
F F
Stała grawitacyjna:
r
G = 6.6710-11 Nm2/kg2.
Prawo słuszne dla mas
punktowych i rozkładów mas
o symetrii sferycznej.
m2 kg2 kg �" m
[F] =1N =1 �" =1
kg �" s2 m2 s2
701
Doświadczenie Cavendisha
Henry Cavendish 1797 r.
b)
a)
Wykorzystał on fakt, że siła
m
potrzebna do skręcenia dłu-
M
giego, cienkiego włókna
M
kwarcowego o kilka stopni
m
ą r r
jest bardzo mała. � ~ ą
r
r
czyli F ~ ą .
702
PRAWA KEPLERA RUCHU PLANET
Zanim Newton zapostulował prawo powszechnego
ciążenia, Johannes Kepler (1571-1630) stwierdził, że
ruch planet stosuje się do trzech prostych praw:
Prawa Keplera:
1. Planety krążą po orbitach będących krzywymi stożko-
wymi, ze Słońcem znajdującym się w jednym z ognisk.
2. Promień wodzący planety zakreśla w jednakowym cza-
sie jednakowe pola. Prędkość polowa planety jest stała.
3. Stosunek kwadratów czasów obiegu dwóch planet jest
równy stosunkowi trzecich potęg ich dużych półosi.
3
T12 R1
=
2
T2 R3
2
703
Ad. 1
Jeśli poobserwujemy trajektorie ruchu ciał niebieskich
(planet, księżyców, słońc...) to okazuje się, że krążą one
najczęściej po torach eliptycznych. Zgodnie z prawami fi-
zyki ciało pod działaniem siły centralnej może się poru-
szać po krzywej stożkowej (tzn. elipsie, paraboli, lub hi-
perboli). Ruch po okręgu to przypadek szczególny.
Ad. 2
r
P'
r dL
Z II ZDN RO � =
dt
O
Siła centralna to taka, że mo-
r
r
P
� = 0
ment siły tzn zgodnie z
r
ZZMP L = Const .
Jeśli dokonamy obserwacji toru
ruchu planety po trajektorii elip-
S1
S2
tycznej w dwóch różnych punk-
tach obiegu, ale w identycznych przedziałach czasowych
to okazuje się że:
(i) prędkości liniowe są zależne od miejsca,
704
(ii) pola zakreślane w jednostce czasu są identyczne.
Trochę matematyki
A x B r r
S =
c
Sc = A � B
O
df
c=
dt
Niech P o masie m poru-
2df
sza się pod wpływem siły
m
r
P
centralnej w odl. r .
O
r
r
W czasie dt wektor zakreśla pole powierzchni
r
1 r r 1 r r dt 1 r r
dS = r � dr = r � dr �" = r � v �" dt ,
2 2 dt 2
r
dS - ma własności wektora opisującego ww. pole pow.
Prędkość polową c definiujemy jako:
r
r dS r 1 r r 1 r r m 1 r r
c = , więc c = �" r � v = �" r � v �" = �" r � p
dt 2 2 m 2m
r
r 1
c = �" L
2m
705
B
r
A
d
r
r
d
r
+
r
r
r
 Prędkość plowa jest wektorem o kierunku i zwrocie
r
zgodnym zgodnym z kierunkiem i zwrotem wektora L,
jest prędkością zmian pola pow., przez analogię do
v=dr/dt
r 1 r r m m2 pole.pow.
[c] = [ r � v] = m �" = = { }
2 s s czas
r r
r r
L = Const. L ~ c c = Const.
Jeśli i to
W ruchu pod wpływem siły centralnej prędkość polowa
jest wielkością stałą.
706
Ad. 3
Siła grawitacyjna jest siłą dośrodkową!
r r
mM
FG = Fd, FG = G
F
d
r2
F
G
m
M
mv2 4Ą2
r
Fd = = m�2r = m r
r T2
4Ą2r �" m mM r2
= G /�"
T2 r2 4Ą2m
r3
r3 GM GM
= Const.
= , ale = Const. �! więc
T2
T2 4Ą2 4Ą2
Jest to słuszne dla dowolnej planety, więc dla dwóch pla-
net:
T12 r13
3
r13 r2 =
2 3
= , lub
2
T2 r2 .
T12 T2
Stosunek kwadratów czasów obiegu dwóch planet
jest równy stosunkowi trzecich potęg ich dużych pół-
osi
707
CI
ŻAR
Def.: Ciężar to siła ciążenia działającą na ciało.
W pobliżu powierzchni Ziemi dla ciała o masie m bę-
dzie ona równa:
r r
r r
Q = FG = m �" aG = m �" g
Ciężar zależy od masy wytwarzającej pole grawitacyjnej i
odległości od powierzchni (promienia).
Obl. O ile ciężar na Księżycu jest mniejszy od ciężaru
na Ziemi?
D: MZ H" 6,0" 1024 kg,
MKm
G
MK H" 7,3" 1022 kg,
FK R2 MKR2
K Z
= = = 0.165
RZ H" 6,4" 106 m,
FZ G MZm MZR2
K
RK H" 1,7" 106 m. R2
Z
Odp.: na Księżycu ciężar jest około sześć razy mniej-
szy w porównaniu z ciężarem na Ziemi.
708
MASA BEZWA
ADNA I MASA GRAWITACYJNA
1. Pchanie klocka nawet po idealnie gładkiej poziomej
powierzchni wymaga wysiłku, tzn. pokonania bezwładno-
ści ciała, mimo iż ciążenie nie pojawia się tu w ogóle.
Fb = mb�a mb  masa bezwładna
2. Gdy utrzymujemy ten sam klocek uniesiony w górę w
stanie spoczynku, to bezwładność nie odgrywa tu żadnej
roli, bo ciało nie przyspiesza, jest w spoczynku. Musimy
używać siły o wartości równej przyciąganiu grawitacyjne-
mu między ciałem i Ziemią, żeby ciało nie spadło.
Odgrywa tu rolę ta właściwość ciała, która powoduje
jego przyciąganie przez inne obiekty takie jak Ziemia i si-
ła ta dana jest wzorem
mG �" MZ
FG = G , mG  jest masą grawitacyjną.
R2
Z
709
Czy mb i mG ciała są sobie równe?
Jeżeli masy bezwładne mb1 i mb2 spadając swobodnie w
pobliżu powierzchni Ziemi uzyskują przyspieszenia, od-
powiednio: a1 i a2, to
mG1 �" MZ
mb1 �" a1 = G
R2
Z
mG2 �" MZ
mb2 �" a2 = G
R2
Z
Dzieląc te równania przez siebie otrzymamy
mb1 �" a1 mG1
=
mb2 �" a2 mG2
Jeżeli wszystkie ciała spadają z tym samym przyspie-
szeniem a1 = a2 = g to stosunek mas bezwładnych jest
równy stosunkowi mas grawitacyjnych.
Aktualnie jesteśmy w stanie stwierdzić, że a1 = a2 z
dokładnością 10-10, a zatem:
masa bezwładna jest równa masie grawitacyj-
nej.
To stwierdzenie nazywa się zasadą równoważności,
będącą punktem wyjścia ogólnej teorii względności Ein-
steina.
710
NAT
ŻENIE POLA GRAWITACYJNEGO
FmM m
'"
r
M �" m r
F = G �" r
r2
M
r
F
Mm
m
EM
Pole wytworzone
EM
M
przez masę M:
E
M
EM
r
'"
r dla masy
F M r
E = = G r
punktowej
m r2
r
Sens fizyczny: znając wartość E w danym punkcie
pola graw. możemy obliczyć wielkość siły działającej
na dowolną masę m w polu grawitacyjnym:
r r
F = m �" E
.
r
r
r r
r r
E = g
jeśli równocześnie F = m �" g i m �" g = m �" E , to
N kg �" m m
[E] =1 = = .
kg s2 �" kg s2
711
ZMIANY PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO
(A). Zmiany g w funkcji wysokości nad Ziemią
Mz
g(h) = G ,
2
(Rz + h)
gdzie h - wysokość nad Ziemią
h [m] g [ms-2] miejsce
na pow. Ziemi
0 9,806
1'000 9,803
8'000 9,782
typowa orbita satelity
1'000'000 7,410
orbita Księżyca
380'000'000 0,00271
712
(B). Zmiany g pod wpływem ruchu obrotowego Ziemi
Obl.: g=? na biegunie, równiku, na szer geogr. ą
siła grawitacji:
Mz �" m
FG = G ,
�
R2
F
z
d
F
siła dośrodkowa:
g
Q
F
g
Fd = m �" �2 �" r
Q
ciężar:
Q
ą Q a" m �" g
F F
g d
Mz �" m
na biegunie: Qb = FG, m �" gb = G ,
R2
z
Mz
gb = G .
R2
z
na równiku: Qr = FG - Fd,
Mz �" m
m �" gr = G - m �" �2 �" Rz ,
R2
z
Mz
gr = G - �2 �" Rz
R2
z
713
ą
s
o
c
.
d
F
2 2
na szer geograf. ą: Q2 = FG + Fd - 2 �" FG �" Fd �"cosą ,
ą
2
�ł �ł 2
Mz �" m
2
(m �" gą ) = �ł
�łG R2 �ł +(m �" �2 �" rą) -
�ł
�ł z łł
Mz �" m2
- 2 �" G �" �2 �" rą �" cosą /: m2
R2
z
2
�ł �ł 2 Mz
Mz
2
gą = �ł �ł + (�2 �" rą) - 2 �" G �" �2 �" rą �" cos ą ,
�łG R2 �ł
R2
�ł z łł z
rą = Rz �" cos ą ,
M2 Mz
gą = G2 z + �4 �" R2 �" cos2 ą - 2 �" G �" �2 �" cos2 ą .
z
R4 Rz
z
szerokość geograficzna g [m s-2]
równik 0o 9,78039
PL 50o 9,81071
biegun 90o 9,83217
714
RUCHY SATELITÓW (PLANET)
Przykład i Obl. promień orbity po jakiej winien poruszać
się stacjonarny satelita ziemski, jeśli dane są:
Mz=5,98x1024kg, Rz=6,37x106m, G=6,67x10-11Nm2/kg2
GPS
Satelita stacjonarny to taki, który krąży w płaszczyz
nie
równika, zawieszony nad jego jednym punktem.
FG = Fd,
�z
Mz �" ms
h
G = ms �" �2 �" r
Mz
r2
r
F
Rz F 2Ą
g
d
� = ,
T
Mz 4Ą2
G = ,
r3 T2
1 2
GMzT2
3
3
r = , r `" f (ms ) ; r ~ Mz , T3
4Ą2
T = 24�3600 s = 8,64�104 s, r H" 6,2�107 m
h = r - Rz = 6,2�107 m  6,37�106 m,
h H" 5,6�107 m = 56'000 km
715
PRACA W POLU GRAWITACYJNYM
Obl. pracę sił pola jaką wykona pole grawitacyjne wytwo-
rzone przez masę M przy przesuwaniu punktu material-
nego o masie m punktu A do B wzdłuż promienia.
Zagadnienie podobne do swobodnego spadku.
Dodatnia praca wykonana przez
A
siły pola grawitacyjnego jest
m
równoważna utracie (ubytkowi)
energii potencjalnej układu mas
B
M, m.
WAB = WAB = -"U , (*)
r r
r r
M
dW = F�" dr , F�" dr = -F�" dr
r
r
bo F II - dr ,
rB rB rB rB
Mm dr
WAB = = - dr = - ,
+"dW +"F�" +"G r2 �"dr = - GMm+"
r2
rA rA rA rA
�ł �ł
rB 1 1
1
�ł
WAB = GMm�ł - �ł
WAB = GMm ,
rB rA �ł
r
�ł łł
rA
Wartość pracy wykonanej przez siły pola grawitacyj-
nego nie zależy od drogi lecz od różnicy odwrotności
odległości wzajemnej mas m, M.
716
r
d
F
r
PRACA PO DRODZE ZAMKNI
TEJ W POLU
GRAWITACYJNYM
Obl. pracę, jaką wykona pole grawitacyjne wytworzone
przez masę M przy przesuwaniu punktu materialnego o
masie m po drodze zamkniętej.
B
r1
r
r r r
r r r
1
Wo = dr = dr + dr =
+"F�" +"F�" +"F�"
r r1
r1
r1 r1
r r
r r
2
m
= dr - dr = I1 - I2 = 0
+"F�" +"F�"
A
r r
ponieważ I1=I2
r
r
r
Wo = dr = 0
+"F�"
Praca wykonana w polu grawitacyjnym po drodze za-
mkniętej jest równa zeru.
Praca wykonana w polu grawitacyjnym nie zależy od dro-
gi.
Praca w polu grawitacyjnym jest zachowawcza.
717
ENERGIA POLA GRAWITACYJNEGO
�ł �ł �ł �ł
Mm Mm
Z (*) WAB = -"U = �ł
�łG rB �ł - �ł rA �ł
�ł �łG �ł,
�ł łł �ł łł
gdzie: U jest energią pola G. (dotychczas E, ale symbol
zarezerwowany do natężenia pola).
�ł �ł �ł �ł
Mm Mm
�ł-
"U = UB - UA = G �ł - �ł- G �ł
�ł
rB �ł �ł rA �ł,
�ł łł �ł łł
Mm
UB = U(rB)= -G , UB UA
rB
Mm
Nm2 kg2
U(r)= -G
ogólnie , [U] = �" = Nm = J
r
kg2 m
"U = UB - UA = -WAB,
Mm
�ł
jeśli A " U" = lim�ł - G = 0 ,
�ł �ł
r"
r
�ł łł
U(rB)= U(r),
"U = U(r) - 0 = -W"r ,
Mm
U(r) = -G = -W"r .
r
Energia potencjalna pola grawitacyjnego jest równoważ-
na pracy, jaką trzeba wykonać, aby utworzyć układ mas
M i m w odległości wzajemnej r przesuwając masę m z
nieskończoności do r.
718
M
m
W
duża
r
r
U(r)<0
duża wartość
M
m
mała W
r
r
U(r)<0
mniejsza wartość
M
m
r
=0
W
r
U(r)=0
U
r
r
U 0-
1
(U ~ )
r
Mm
U = -G = -W"r
r
r
0
-
U
719
POTENCJAA
POLA GRAWITACYJNEGO
Potencjał pola grawitacyjnego V(r) w danym punkcie jest
zdefiniowany jako iloraz masy i pracy wykonanej przez
siły pola przy przemieszczaniu tej masy z nieskończono-
ści do danego punktu.
"A
W"r
V(r)= - ,
m
m
r
r
1 r
B
V(r) = - �" dr , (**)
+"F
m
"
r
r Mm
F �" dr = -F �" dr , F = G ,
r2
M
r
Mm dr dx 1
V(r) = G , { = - }
+" +"
m r2 x2 x
"
M
V(r) = -G
słuszne dla masy punktowej
r
1
V ~ , M;
r
gdy r " to V" 0.
720
r
d
F
r
V(r) �" m = U(r)
Sens fizyczny V:
V
r
r
V 0
M
V = -G
r
r
0
-
V
m3 kg m2 J
M
[V] = = =
kg �"s2 m s2 kg
Dla danej odległości od środka M potencjał ma stałą
wartość V=-GM/r i tworzy powierzchnię stałego potencja-
łu - tzw. powierzchnię ekwipotencjalną.
Powierzchnie ekwipotencjalne wytworzone przez masy
punktowe (o symetrii sferycznej) mają kształt współśrod-
kowych sfer.
Porównajmy dla pola radialnego:
M Mm
V = -G i U = -G
r r
więc - W = "U = m �" "V
721
0
=
V
V
y
ł
a
0
m
<
V
V
y
z
V
s
j
e
i
n
m
V
V
y
ż
u
d
r
V
E
ZWI
ZEK POMI
DZY i
W"r
V(r) = - .
m
r
r r
r
1 r F r
Ze wzoru (**): V(r) - V(") = V(r) = - �" dr = - �" dr ,
+"F +"
m m
" "
r
r
r
r
r
F
V(r) = - �"dr
= E więc +"E
m
"
r
V(r) = V(r) - V(") = ,
+"dV
"
r r
r
r
+"dV = -+"E �" dr ,
" "
r
r r
dV = -E �" dr /�" dr ,
r
dV
= gradV = "V ,
r
dr
'" '" '"
�ł " " " �ł
gradV = �ł i+ j+ k�łV ,
�ł �ł
dx dy dz
�ł łł
r
E = -gradV
.
722