6. Wykład
Iloczyn skalarny
Od tego miejsca będziemy rozważać jedynie przestrzenie wektorowe nad ciałem lub . Bę-
dziemy używać symbolu na oznaczenie jednego z tych ciał. Niech  " . W przypadku =
oznaczenie   e" 0 będzie skróconą formą   " i  e" 0 . Z kolei dla = oznaczenie  
będzie miało to samo znaczenie co   . Podobnie będziemy traktować symbol .
6.1. Iloczyn skalarny i norma.
Definicja 6.1. Niech X będzie przestrzenią wektorową nad . Iloczynem skalarnym na X nazy-
wamy funkcję dwóch zmiennych
(� �) : X � X (x, y) - (x y) "
spełniającą:
(1) dla dowolnego x " X funkcja X y (x y) " jest funkcjonałem liniowym,
(2) dla dowolnego x " X mamy (x x) e" 0,
(3) (x x) = 0 implikuje x = 0,
(4) (x y) = (y x) dla wszystkich x, y " X.
6.1.1. Uwagi.
(1) Jeśli = , to iloczyn skalarny jest po prostu ściśle dodatnią symetryczną formą dwulin-
iową.
(2) Dla = iloczyn skalarny jest liniowy względem drugiego argumentu, a antyliniowy
względem pierwszego argumentu. Nie jest on odwzorowaniem dwuliniowym. Takie odw-
1
zorowania określa się mianem 1 -liniowych (półtoraliniowych).
2
Definicja 6.2. Niech X będzie przestrzenią wektorową nad . Jeśli na X zdefiniowany jest
iloczyn skalarny, to X nazywamy przestrzenią z iloczynem skalarnym. W przypadku =
używa się czasem określenia przestrzeń euklidesowa, natomiast dla = mówimy też, że X jest
przestrzenią unitarną.
Definicja 6.3. Niech X będzie przestrzenią z iloczynem skalarnym nad K. Dla x " X definiujemy
normę x wektora x wzorem
x = (x x).
6.1.2. Uwaga. Niech X będzie przestrzenią z iloczynem skalarnym nad K. Wówczas dla każdego
x " X mamy
x = 0 �!�! x = 0 .
6.2. Przykłady.
n
(1) Niech X = . Dla
�ł łł �ł łł
�1 �1
�ł śł �ł śł
. .
. .
x = oraz y =
�ł �ł �ł �ł
. .
�n �n
definiujemy
n
(x y) = �k�k.
k=1
n
A
atwo sprawdzamy, że w ten sposób staje się przestrzenią z iloczynem skalarnym.
Mamy
n
x = |�k|2
k=1
1
2
(2) Niech X = C [-Ą, Ą] będzie przestrzenią wektorową wszystkich zespolonych funkcji
ciągłych na [-Ą, Ą]. Dla f, g " X kładziemy
+Ą
1
(f g) = f(x)g(x) dx.
2Ą
-Ą
Tak jak w poprzednim przykładzie sprawdzamy, że X jest przestrzenią z iloczynem ska-
larnym. Podobnie jak poprzednio
+Ą
1
2
1
2
f = f(x) dx
2Ą
-Ą
Stwierdzenie 6.4 (Tożsamości polaryzacyjne).
(1) Niech X będzie przestrzenią z iloczynem skalarnym nad . Wówczas dla dowolnych x, y "
X mamy
1 2 2 2
(x y) = x + y - x - y .
2
(2) Niech X będzie przestrzenią z iloczynem skalarnym nad . Wówczas dla dowolnych x, y "
X mamy
3
1 2
(x y) = ik y + ikx .
4
k=0
2
Dowód. Ad (1). x + y = (x + y x + y) = (x x) + (x y) + (y x) + (y y).
Ad (2).
3
2
ik y + ikx = (y + x y + x) + i (y + ix y + ix) - (y - x y - x) - i (y - ix y - ix)
k=0
= (y y) + (x y) + (y x) + (x x)
+ i (y y) + (x y) - (y x) + i (x x)
- (y y) + (x y) + (y x) - (x x)
- i (y y) + (x y) - (y x) - i (x x) = 4 (x y) .
6.3. Układy ortonormalne, ortonormalizacja.
Definicja 6.5. Niech X będzie przestrzenią z iloczynem skalarnym nad . Powiemy, że wektory
x " X i y " X są ortogonalne lub prostopadłe, jeśli (x y) = 0. Piszemy wówczas x Ą" y. Dla
dowolnego S �" X definiujemy
SĄ" = x " X (x s) = 0 dla każdego s " S .
Piszemy x Ą" S, jeśli x " SĄ". Zbiór SĄ" nazywamy dopełnieniem ortogonalnym zbioru S.
Definicja 6.6. Niech X będzie przestrzenią z iloczynem skalarnym nad . Układ wektorów S �" X
nazywamy ortogonalnym, jeśli dla x, y " S, x = y mamy (x y) = 0. Układ S jest ortonormalny,

jeśli S jest ortogonalny i x = 1 dla wszystkich x " S. Układ ortonormalny S �" X nazywamy
zupełnym, jeśli nie jest on zawarty żadnym większym układzie ortonormalnym.
6.3.1. Przykłady.
n
(1) W przykładzie 6.2(1) baza standardowa jest zupełnym układem ortonormalnym
(łatwe).
(2) W przykładzie 6.2(2) zbiór funkcji {Ćn}n"
Ćn(t) = eint, (t " [-Ą, Ą])
jest układem ortonormalnym. Jest on również zupełny, ale dowód tego faktu należy do
analizy matematycznej.
3
Lemat 6.7. Niech X będzie przestrzenią z iloczynem skalarnym nad . Wówczas każdy układ
ortonormalny S �" X jest liniowo niezależny.
Twierdzenie 6.8. Niech X będzie przestrzenią z iloczynem skalarnym nad i niech {x1, . . . , xn}
będzie układem ortonormalnym. Niech x " X i oznaczmy
ąi = (xi x)
(i = 1, . . . , n). Wówczas
n
2
|ąi|2 d" x . (1)
i=1
n
Ponadto wektor x = x - ąixi jest ortogonalny do span{x1, . . . , xn}.
i=1
Dowód. Mamy
�ł �ł
n n
2
�łx
0 d" x = (x x ) = - ąixi x - ąixiłł
i=1 j=1
n n n
= (x x) - ąi (xi x) - ąj (x xj) + |ąi|2 (xi xj)
i=1 j=1 i,j=1
n n n
2
= x - |ąi|2 - |ąj|2 + |ąr|2
i=1 j=1 r=1
n
2
= x - |ąi|2.
i=1
Druga część twierdzenia wynika natomiast z rachunku:
n
(xj x ) = (xj x) - ąj (xj xi) = ąi - ąi = 0.
i=1
6.3.2. Uwaga. Nierówność (1) nazywamy nierównością Bessela.
Twierdzenie 6.9. Niech X będzie skończenie wymiarową przestrzenią z iloczynem skalarnym
nad i niech S = {x1, . . . , xn} będzie układem ortonormalnym. Wówczas następujące warunki są
równoważne:
(1) S jest zupełny;
(2) warunek (xi x) = 0 dla i = 1, . . . , n implikuje x = 0;
(3) span S = X;
n
(4) dla każdego x " X mamy x = (xi x) xi;
i=1
(5) dla wszystkich x, y " X mamy
n
(x y) = (x xi) (xi y) ; (2)
i=1
(6) dla każdego x " X mamy
n
2
2
x = (xi x) . (3)
i=1
x
Dowód.  (1)�!(2) Jeśli (xi x) = 0 dla pewnego x = 0 oraz i = 1, . . . , n, to S *" jest układem

x
ortonormalnym większym niż S.
4
 (2)�!(3) Jeśli x " X nie jest kombinacją liniową wektorów z S, to na mocy drugiej części
twierdzenia 6.8 niezerowy wektor
n
x = x - (xi x) xi
i=1
jest ortogonalny do wszystkich wektorów z S, co przeczy (2).
 (3)�!(4) Skoro każdy x " X jest postaci
n
x = ąixi,
i=1
to mamy
n
(xj x) = ąi (xj xi) = ąj
i=1
co dowodzi (4).
 (4)�!(5) Niech x, y " X. Mamy
n n
x = (xi x) xi oraz y = (xj y) xj.
i=1 j=1
Zatem
n n
(x y) = (xi x) (xi xj) (xj y) = (x xi) (xi y) .
i,j=1 i=1
 (5)�!(6) Równość (3) uzyskujemy z (2) podstawiając y = x.
 (6)�!(1) Załóżmy, że istnieje zbiór ortonormalny S S. Wez
my x " S \ S. Wówczas
n
2
2
x = (xi x) = 0
i=1
więc x = 0  sprzeczność.
Definicja 6.10. Niech X będzie przestrzenią z iloczynem skalarnym nad . Zupełny układ
ortonormalny w X nazywamy również bazą ortonormalną przestrzeni X.
Twierdzenie 6.11 (Ortogonalizacja Gramma-Schimdta). Niech X będzie przestrzenią z iloczy-
nem skalarnym i niech S = {x1, x2, x3, . . .} �" X będzie liniowo niezależnym układem wek-
torów. Wówczas istnieje układ ortogonalny O = {y1, y2, y3, . . .} �" X i układ ortonormalny
O = {e1, e2, e3, . . .} �" X taki, że span S = span O = span O , oraz dla każdego k mamy
span x1, . . . , xk = span y1, . . . , yk = span e1, . . . , ek .
Dowód. Teza dla skończonych podukładów układów wynika z tezy dla dowolnych układów o mocy
nie większej niż moc zbioru liczb naturalnych. Przedstawimy procedurę produkującą z układu S
1
układy O i O . Niech y1 = x1 i e1 = y1. Dla k > 1 kładziemy
y1
k-1
yk = xk - (ei xk) ei
i=1
i
1
ek = yk.
yk
Procedurę tę można kontynuować albo w nieskończoność albo do wyczerpania zbioru S (jeśli jest
on skończony). A
atwo sprawdzić, że z liniowej niezależności układu S wynika, że kolejne wektory
yk nie są zerowe. Równie łatwo sprawdzamy, że układy O = {e1, e2, e3, . . .} i O = {y1, y2, y3, . . .}
spełniają warunki naszego stwierdzenia.
5
6.4. Nierówność Schwarza, metryka.
Twierdzenie 6.12 (Nierówność Schwarza). Niech X będzie przestrzenią z iloczynem skalarnym
nad . Wówczas dla dowolnych x, y " X mamy
(x y) d" x y . (4)
Dowód. Jeśli y = 0, to obie strony (4) są równe 0. W przeciwnym przypadku stosujemy nierówność
y
Bessela do ortonormalnego układu S = .
y
Wniosek 6.13 (Nierówność Minkowskiego). Niech X będzie przestrzenią z iloczynem skalarnym
nad . Wówczas dla dowolnych x, y " X mamy
x + y d" x + y . (5)
Dowód. Obliczamy korzystając z nierówności Schwarza:
2 2
x + y = (x + y x + y) = x + (x y) + (y x) + y 2
2
= x + (x y) + (x y) + y 2
2
= x + 2 (x y) + y 2
2
d" x + 2 (x y) + y 2
2
2 2
d" x + 2 x y + y = x + y .
Wniosek 6.14. Niech X będzie skończenie wymiarową przestrzenią z iloczynem skalarnym nad
. Wówczas wzór
d(x, y) = x - y
definiuje metrykę na X, która jest niezmiennicza na translacje, czyli
d(x + z, y + z) = d(x, y)
dla wszystkich x, y, z " X.
Dowód. Jedyne, co trzeba udowodnić, to nierówność trójkąta. Niech x, y, z " X. Podstawiając
x - z i y - z w miejsce x i y w nierówności Minkowskiego otrzymujemy
x - y d" x - z + y - z ,
czyli d(x, y) d" d(x, z) + d(z, y).
6.5. Twierdzenie o rzucie ortogonalnym, dopełnienie ortogonalne.
Twierdzenie 6.15. Niech X będzie skończenie wymiarową przestrzenią z iloczynem skalarnym
nad i niech Y będzie podprzestrzenią Y . Wówczas
Ą"
(1) Y �" Y = X,
Ą"
Ą"
(2) Y = Y .