Działania na wektorach. Zastosowania iloczynu skalarnego i wektorowego
rð
rð rð
1. Dane sÄ… wektory a =ð [ð5,-ð6,1]ð, b =ð [ð-ð 4,3,1]ð, c =ð [ð1,2,-ð3]ð. Obliczyć wartość wyrażenia
rð rð
rð rð rð rð2
3a2 -ð 2a ×ðb +ð b ×ðc -ð 2c .
Odp. 231
rð
rð rð
2. Dane sÄ… wektory a =ð [ð2,-ð3,4]ð, b =ð [ð1,0,1]ð, c =ð [ð2,-ð1,2]ð. Obliczyć iloczyn skalarny wektorów
rð rð
rð rð rð rð rð
u =ð 2a -ðb , v =ð a -ð 2b +ð c .
rð rð
Odp. u ×ðv =ð 58
rð
rð rð
3. Dane sÄ… wektory a =ð [ð2,1,2]ð, b =ð [ð-ð 2,1,1]ð, c =ð [ð1,-ð2,-ð1]ð . Znalez
ć cosinusy kata między wektorami
rð
a
rð rð rð rð2 rð rð2 rð
rð
i d , jeżeli d =ð a2b +ð b c +ð c a .
rð
rð 11
Odp. cos(ða, d)ð=ð
3 26
rð
rð rð
4. Dane sÄ… wektory a =ð [ð1,3,3]ð, b =ð [ð0,3,-ð4]ð, c =ð [ð1,2,-ð1]ð. Znalez
ć długość wektora
rð rð rð rð
rð rð 1 rð rð rð
2
d =ð 2(ða ×ðb)ðc +ð b a +ð(ða ×ðc)ðb .
25
Odp. 83
5. Czy czworokÄ…t o wierzchoÅ‚kach A(ð-ð3,5,6)ð, B(ð1,-ð5,7)ð, C(ð8,-ð3,-ð1)ð, D(ð4,7,-ð2)ð jest kwadratem?
Odp. Tak
6. Obliczyć:
rð rð
rð rð rð rð
rð rð
a) pole równolegÅ‚oboku zbudowanego na wektorach u =ð 3i +ð 2 j +ð k, v =ð i -ð j +ð 2k . Odp.
5 3
b) pole trójkÄ…ta o wierzchoÅ‚kach A(ð3,4,-ð3)ð, B(ð6,2,3)ð, C(ð0,-ð1,5)ð. Odp. 24,5
7. Dane sÄ… wierzchoÅ‚ki trójkÄ…ta A(ð-ð3,1,-ð1)ð, B(ð6,-ð2,-ð5)ð, C(ð1,-ð2,-ð1)ð. Oblicz dÅ‚ugość wysokoÅ›ci
opuszczonej z wierzchołka B na bok AC. Odp. 5
8. Dany jest czworoÅ›cian o wierzchoÅ‚kach A(ð3,1,1)ð, B(ð1,4,1)ð, C(ð1,1,7)ð, D(ð3,4,9)ð. Obliczyć jego objÄ™tość
oraz wysokość poprowadzonÄ… z wierzchoÅ‚ka D. Odp. V =ð14, h =ð 14
9. Obliczyć objętość równoległościanu wyznaczonego przez punkty
A(ð1,0,3)ð, B(ð1,2,0)ð, C(ð3,0,4)ð, D(ð0,-ð1,3)ð.
Odp. 4
10. Sprawdzić, czy punkty A(ð1,1,1)ð, B(ð0,1,2)ð, C(ð-ð1,3,0)ð, D(ð5,0,-ð4)ð należą do jednej pÅ‚aszczyzny.