Iloczyn skalarny
Definicja

Je\
eli u = [u1 , u2 , & , uk] , v = [v1 , v2 , & , vk], to iloczynem skalarnym wektorów

u , v nazywamy liczbÄ™ u " v = u1v1 + u2 v2 + & + ukvk .

Zamiast u " v piszemy u Å" v .
Å"
Å"
Å"
Przykład 1.

Oblicz b Å" c , gdy b = [4, 0, -2], c = [ 0, -2, -1].
Å"
Å"
Å"

Mamy b Å" c = [4, 0, -2] Å" Å" 0 + 0 Å" Å" (-1) = 2.
Å" Å" [ 0, -2, -1] = 4 Å" Å" (-2) + (-2) Å"
Å" Å" Å" Å" Å"
Å" Å" Å" Å" Å"
Definicja

Niezerowe wektory a , b są prostopadłe ( a Ą" b ) wtedy i tylko wtedy, gdy

a Å" b = 0.
Twierdzenie

1
Niech ą będzie miarą kąta między wektorami u , v , wtedy cos ą = u " v .
| u | Å" | v |
Definicja

Długością wektora u = [u1 , u2 , & , uk] nazywamy liczbę | u | równą
(u1)2 + (u2 )2 + ...+ (uk )2 .
Iloczyn wektorowy
Definicja

Iloczynem wektorowym a × b uporzÄ…dkowanej pary ( a , b ) wektorów w przestrzeni Oxyz
zorientowanej nazywamy wektor:
" zerowy, gdy wektory są równoległe,

" prostopadły do ka\
dego wektora a , b ,
" ma zwrot zgodny z orientacjÄ… przestrzeni Oxyz,

" jego długość wynosi | a | | b | sin ( a , b ).
Twierdzenie
W układzie współrzędnych Oxyz iloczyn wektorowy wektorów

a = [ ax , ay , az ] i b = [ bx , by , bz ] wyra\
a siÄ™ wzorem
i j k

a × b = ax ay az .
bx by bz

Czyli a × b = [ay bz - by az, az bx - bz ax , ax by - bx ay ] .
Twierdzenie

Niech w układzie współrzędnych Oxyz wersorami osi będą i = [1, 0, 0], j = [1, 0, 0],

k = [1, 0, 0] oraz a = [ ax , ay , az ] i b = [ bx , by , bz ].

Wtedy iloczyn wektorowy wektorów a , b jest wektorem

a × b = (ay bz - by az) i + (az bx - bz ax ) j + ( ax by - bx ay) k .
Twierdzenie

" b × a = - a × b

" a × ( b + c ) = a × b + a × c c

" (m a ) × b = m( a × b )

" a × a = 0

" Je\
eli AB , AC są wektorami nierównoległymi to pole S trójkąta rozpiętego na tych

wektorach wynosi ½ | AB × AC | , czyli S = ½ | AB × AC | .
Przykład 2.

Wyznacz iloczyn wektorowy wektorów a = [-2, 3, 1] , b = [-1, 2, 0] w układzie

współrzędnych Oxyz o wersorach i = [1, 0, 0], j = [1, 0, 0], k = [1, 0, 0] .

Mamy a × b = [-2, 3, 1] × [-1, 2, 0] = [x, y, z], gdzie
x = 3Å" Å" 1 = -2, y = 1Å" Å" (-2) = -1, z = (-2) Å" Å"3 = -1.
Å" 0  2Å" Å" (-1)  0 Å" Å" 2  (-1) Å"
Å" Å" Å" Å" Å" Å"
Å" Å" Å" Å" Å" Å"

Zatem a × b = [ -2, -1, -1] = -2 i - j - k
Przykład 3.

Oblicz pole S trójkąta zbudowanego na wektorach a = [-2, 3, 1] , b = [-1, 2, 0] w
układzie współrzędnych Oxyz.

Z przykÅ‚adu 4. mamy a × b =[ -2, -1, -1].

Zatem S = ½ | a × b | = korzystajÄ…c ze wzoru na dÅ‚ugość wektora
= ½ (-2)2 + (-1)2 + (-1)2 = ½ 6 .
Iloczyn mieszany
Definicja

Iloczynem mieszanym trójki wektorów ( a , b , c ) w przestrzeni zorientowanej w układzie

współrzÄ™dnych Oxyz nazywamy liczbÄ™ a b c = a ° ( b × c )
Twierdzenie

" a b c = b c a = c a b .

" Je\
eli a = [ ax , ay , az ] i b = [ bx , by , bz ] i c =[ cx , cy , cz ] , w układzie współ-
rzędnych Oxyz,
ax ay az

to a ° ( b × c ) = bx by bz .
cx cy cz
" Wartość bezwzględna iloczynu mieszanego trzech wektorów jest równa objętości
równoległościanu rozpiętego na tych wektorach zaczepionych we wspólnym początku.
Ćwiczenia
1. Iloczyn skalarny
Zad. 1.1.
Wyznacz iloczyny skalarne wektorów:
a) [-1, 2], [ 2, 0], b) [3, -1] , [2, -3], c) [3, -1] ć% [2, -3] ,
d) [3, -1, 2] , [2, -3, 1] , e) [-1, 2, 0] , [ 1, 2, 0] , f) [-2,-3, 2, 0] ć% [ 0, 2, 0, 3] .
Zad. 1.2.
Dobierz tak liczby, a, b, aby zachodziła równość:
a) [-2, 3] ć% [ 2, a] = 2 , b) [-1, 2b] ć% [ 4 - b2, 0] = 0
c) [-2a2, -3 + b, 2 + b2] ć% [ 0, 4, 0] = 1 , d) [a, 4, -a2] ć% [4, 1, -3] = 0 .
Zad. 1.3.
Oblicz długość wektora :
a) [1, -3] , b) [ 0, 0], c) [1, -3, -2] ,
d) [3, 3, 3, 3, 3 ], e) [0, 1, 0], f) [ 0, 0, 0, 0, 0, 0].
Zad. 1.4.

Dane sÄ… wektory a = [-2, 0, 4, 1] , b = [-1, 2, 0, 0], c = [0, 4, -1, 2] .
Oblicz długość wektora:

a) a , b) - b -2 c , c) 6 a - ( b - 2 c ) Å"(-2) .
Zad. 1.5.

Sprawdz
, podstawiajÄ…c u = [ u1, u2 ], v = [v1 , v2 ] \
e:

a) | u + v |2 + | u - v |2 = 2(| u |2 + | v |2 ) ,

b) 4 u ć% v = | u + v |2 - | u - v |2 .
Zad. 1.6.
Zbadaj, czy wektory są ortogonalne (prostopadłe):
a) [1, -3] , [3, 1], b) [0, 1], [ 0, 3], c) [-2, -1], [ -3, 6],
d) [1,-1, 2, -2] , [3, 3, 1,1], e) [0, 1, -2, 5], [ 3, 2, 0, 0].
Zad. 1.7.
Sprawdz
, który układ wektorów jest układem wektorów ortogonalnych .
a) [1,2,3,4], [1,-2,2,1], [1,1,1,1]; b) [1,2,3], [-3,0,1]; c) [1,0,0,0], [0,3,5,0], [0,5,-3,1] .
Zad. 1.8.

Sprawdz
, czy są prostopadłe, czy są równoległe wektory u , v , gdy:


a) u = [-2, 3, 1] , v = [-1, 2, 0], b) u = a - b , v = a + b ,


c) u = - 3 a - 3( b - a ) , v = -7 b .
Zad. 1.9.
Oblicz miary kątów między wektorami:
a) [0, 4] , [ -1, 2] , b) [-1,1] , [0,1], c) [0,1,-1,2], [3,-1,2,0], d) [0, 0, 0, -1] , [-1, 0, 0, 0].
2. Iloczyn wektorowy
Zad. 2.1.
Wyznacz iloczyny wektorowe wektorów w układzie współrzędnych Oxyz:
a) [3, -1, 2] , [2, -3, 1] , b) [-1, 2, 0] , [ 1, 2, 0] ,
c) [-2,-3, 2] × [ 0, 2, 0], d) [-2,-3, 2] × [ 4, 6, -4].
Zad. 2.2.

Niech ex , ey , ez będą wersorami osi odpowiednio osi x, y, z w układzie
współrzędnych Oxyz. Wyznacz wektory:

a) ex × ey , b) ey × ex , c) ez × ex , d) ez × ey .
Zad. 2.3.

Dane sÄ… wektory a = [-2, 1, 1] , b = [-1, 3, 0]. Sprawdz
, czy są równoległe wektory:

a) a × 2 b i a × 4 b , b) -3 a × 4 b i 5 a × (-2 b ).
Zad. 2.4.

Dane sÄ… wektory a = [-1, 1, 1] , b = [1, -2, 0]. Sprawdz
, czy są prostopadłe wektory:

a) a × 2 b i -3 a × b , b) -3 a × 4 b i 5 a × (-2 b ).
Zad. 2.5.

Oblicz | a × b |, gdy a = [- 1, 2, 3] , b = [ 1, 4, 5] .
Zad. 2.6.
Dobierz tak liczby a, b, aby w układzie współrzędnych Oxyz zachodziła równość:
a) [-2a2, -3 + b, 2 + b2] × [ 0, 4, 0] = [-12 , 0, -32],

b) [a, 4, -a2] × [1, -4, 1] = 0 ,
c) [a, 3, b] × [2, b, 1+a] = [6, 10, -1].
Zad. 2.7.

Sprawdz
, czy w układzie współrzędnych dla wektora c = [4, -2, 1] zachodzi związek:

je\
eli a × c = b × c , to a = b .
Zad. 2.8.
Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach A(1, 2, 3), B(-1,3,2), C(1, 1,5).
Zad. 2.9.

Wiadomo, \
e | a | = 3, | b | = 4 oraz a Å" b = 6.

a) Oblicz miarę kąta między wektorami a i b .

b) Oblicz pole trójkąta rozpiętego na wektorach a i b .
3. Iloczyn mieszany
Zad. 3.1.
Wyznacz iloczyny wektorów w układzie współrzędnych Oxyz:
a) [3, -1, 2] ć% ( [-2,-3, 2] × [ 0, 2, 0] ), b) ( [-2,-3, 2] × [ 4, 6, -4] ) ć% [2, -3, 1] ,
c) [-1, 2, 0] Å" ( [ 1, 2, 0] ć% [2, -4, 1] ),
d) ( [-1, 2, 0] ć% [3, 2, 1]) Å" ([ 1, 2, 0] × [2, -4, 1]) .
Zad. 3.2.
Oblicz iloczyny mieszane wektorów:

a) a = [3, -2, 5], b = [ -1, 1, 2], c = [-2, 2, 2],

b) a = [-2, -2, 3], b = [ -4, 1, 3], c = [0, 2, 0].
Zad. 3.3.
Wiadomo, \
e A(1, 0, 3), B(1, 2, 0), C( 0, 2, 4), D(3, 1, 4). Oblicz objętość równoległo-

ścianu rozpiętego na wektorach AB , AC i AD
Zad. 3.4.
Oblicz objętość czworościanu o wierzchołkach:
P(1, 1, 1), Q(1, 2, 3), R( -1, 2, 0), S(0, 0, 4).