1
Wydział: WILiŚ, Budownictwo i Transport, sem.2
dr Jolanta Dymkowska
Iloczyn mieszany wektorów

Definicja Iloczynem mieszanym trójki wektorów , b i nazywamy liczbę
a c
( × ) ć%
a b c.

Uwaga Wektory , b i sÄ… liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy ( × b ) ć% = 0 .
a c a c

Zatem, jeżeli ( × b ) ć% = 0 , to wektory , b i sÄ… liniowo zależne. Trójka wektorów
a c a c

liniowo zależnych (w R3 ) leży w jednej płaszczyz
nie, zatem wektory , b i są wówczas
a c
współpłaszczyznowe.
(Uwaga powyższa pozwala w szybki i prosty sposób sprawdzać liniową niezalezność trójki wektorów
w R3 , a tym samym ich współpłaszczyznowość).
Interpretacja geometryczna iloczynu mieszanego

" Rozważmy równoległościan zbudowany na wektorach , b i (rys.). Wówczas objętość
a c
takiego równoległościanu wyraża się wzorem:
Vr = | ( × ) ć% |
a b c

tj. objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach , b i jest równa wartości
a c
bezwzględnej z iloczynu mieszanego tych wektorów.

" Objętość czworościanu zbudowanego na wektorach , b i wyraża się wzorem:
a c
1
Vcz = | ( × ) ć% |
a b c
6
2
Własności (iloczynu mieszanego wektorów)
" ( × ) ć% = - ( × ) ć%
a b c b a c
" ( × ) ć% = - ( × ) ć%
a b c a c b
" ( × ) ć% = ( × ) ć% = ( × ) ć%
a b c c a b b c a

Twierdzenie Jeżeli = [ a1, a2, a3] , b = [ b1, b2, b3] i = [ c1, c2, c3] , to
a c


a1 a2 a3


( × ) ć% = b1 b2 b3
a b c


c1 c2 c3

Przykład Oblicz objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach = [ 1, 1, 1] , b =
a
[ 1, 1, -3] i = [ 2, -1, -1] .
c
RozwiÄ…zanie

Objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach , b i jest równa
a c
Vr = | ( × ) ć% |
a b c

Zatem obliczmy najpierw iloczyn mieszany wektorów , b i , korzystając z powyższego twier-
a c
dzenia:


1 1 1


( × ) ć% = 1 1 -3 = -1 - 6 - 1 - 2 - 3 + 1 = -12
a b c


2 -1 -1
StÄ…d
Vr = | ( × ) ć% | = | - 12| = 12
a b c

Odpowiedz
Objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach , b i jest równa 12.
a c