1. Układ współrzędnych, ogólne zasady rzutowania
1. Układ współrzędnych, ogólne zasady rzutowania
WYKA
AD 8
WYKA
AD 8
Lewoskrętny układ współrzędnych i rzutnia:
rzutnia (ekran)
y

RZUTOWANIE
RZUTOWANIE
oś x y z
x
z
oś y z x
oś z x y
Plan wykładu:
Plan wykładu:
obserwator
" Układ współrzędnych, ogólne zasady rzutowania
" Układ współrzędnych, ogólne zasady rzutowania
Jeśli patrzymy z dodatniego kierunku osi w stronę środka układu
" Rzutowanie równoległe współrzędnych, to obrót o 90� w kierunku zgodnym
" Rzutowanie równoległe
z ruchem wskazówek zegara, przekształci jedną dodatnią oś
" Rzutowanie perspektywiczne
" Rzutowanie perspektywiczne
w drugą.
" Ogólny przypadek rzutowania
" Ogólny przypadek rzutowania
Wartości współrzędnej z są większe dla punktów leżących dalej od
obserwatora.
Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej
Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej
Punkty P1 i P2 zostały przeniesione na rzutnię, wzdłuż prostych
Zadanie rzutowania:
równoległych. Punkty przecięcia prostych rzutowania z rzutnią są
Dane:
obrazami rzutowanych punktów.
" opis obiektu w układzie współrzędnych xyz.
" płaszczyzna rzutowania (rzutnia  ).
y
2.
rzutnia
P2

Jak uzyskać obraz obiektu na rzutni ?
P1
P2 x
Stosuje się zwykle jeden z dwóch sposobów rzutowania.
z
P1
1.
rzutnia
P2 y
 obserwator
(środek projekcji)
P1
P2 x
z
Rzutowanie perspektywiczne
Punkty P1 i P2 zostały przeniesione na rzutnię, wzdłuż prostych
P1
przecinających się w jednym punkcie (środku projekcji). Punkty
obserwator
przecięcia prostych rzutowania z rzutnią są obrazami rzutowanych
punktów.
Rzutowanie równoległe
Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej
Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej
1
Jeśli proste rzutowania przecinają rzutnię pod kątem prostym, to
2. Rzutowanie równoległe
rzut obiektu wygląda następująco.
Wyróżnia się zwykle dwa przypadki :
y
" proste rzutowania przecinają rzutnię pod kątem prostym
(rzut pionowy),
" proste rzutowania przecinają rzutnię pod kątem innym niż kąt
prosty (rzut ukośny).
2.1. Rzut pionowy x
Proste rzutowania przecinają rzutnię pod kątem prostym.
Jeśli rzutnią  jest płaszczyzna (x-y), to równania opisujące związek
y
między współrzędnymi rzutowanego punktu (x, y, z) a współrzędnymi
(1,2,2) (2,2,2)
jego rzutu (xp, yp, zp) przyjmują postać
Przykład:
(1,2,1)
(2,2,1)
Obiekt - sześcian jednostkowy (2,1,2) xp = x
Rzutnia  - płaszczyzna (x-y)
(1,1,1) (2,1,1)
yp = y
z
x
zp = 0
Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej
Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej
2.2. Rzut ukośny
Własności obrazów wykonanych techniką rzutu pionowego:
Proste rzutowania przecinają rzutnię pod kątem innym niż kąt
" rzuty odcinków równoległych do rzutni mają taką samą
prosty.
długość jak te odcinki,
Jak jednoznacznie zorientować proste rzutowania względem rzutni
" rzuty odcinków prostopadłych do rzutni są punktami.
?
Zastosowanie rzutu pionowego - rysunek techniczny.
y

Definiując rzutnie jako płaszczyzny (x-y), (x-z), (y-z) ,
(x, y, z ) (xp, yp )
bądz
płaszczyzny do nich równoległe, można uzyskać rzuty
ą
z przodu, z boku, z góry itd. Dla przykładu: x
z
L Ś
y z
(x, y)
Aby jednoznacznie zorientować prostą rzutowania względem
z x
rzutni, prócz kąta ą trzeba zadać dodatkowy parametr np. kąt Ś .
rzut z góry
rzut z boku
Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej
Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej
2
Z rysunku widać, że
Parametrami definiującymi rzut ukośny są wiec kąt Ś

y
i odległość L1 = 1 / tg ą lub para kątów Ś i ą.
xp = x + LcosŚ
(x, y, z ) (xp, yp )
Dla przykładu sześcianu jednostkowego, można pokazać
ą x
interpretację parametrów rzutowania na utworzonym obrazie.
z
yp = y + L sinŚ
L Ś
y
(x, y)
podstawiając

z 1
tgą = =
L L1 i dalej L = z L1
L1
uzyskuje się równania
Ś
�# cosŚ ś#
xp = x + z( L1 cosŚ )= x + z
ś# ź#
x
tgą
�# #
Powyższy rysunek wyjaśnia także metodę konstrukcji rysunkowej
�# sinŚ ś#
yp = y + z( L1 sinŚ ) = y + z
ś# ź#
rzutu ukośnego sześcianu.
tgą
�# #
Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej
Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej
o
1. L1 = 1 / tgą = 1, ą = 45 (rzut kawaleryjski)
Przykład:
y
y
Wyprowadzone wcześniej równania pozwalają na wykonywanie
rzutów ukośnych dla dowolnych zestawów parametrów L1 i Ś.
W praktyce stosuje się jednak najczęściej pewne typowe zestawy
parametrów rzutowania.
x x
Wykonane zostaną cztery rzuty ukośne sześcianu
jednostkowego. Ś = 45o
Ś = 30o
o
y 2. L1 = 1 / tgą = 1 / 2 , ą H" 63 (rzut gabinetowy)
(1,2,2) (2,2,2)
y y
(1,2,1)
(2,2,1)
(2,1,2)
(1,1,1) (2,1,1)
z
x
x x
Sześcian, którego rzuty zostaną narysowane
Ś = 30o Ś = 45o
Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej
Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej
3
Przykład (miniatura średniowieczna):
3. Rzutowanie perspektywiczne
Jak na płaszczyz
nie zobrazować obiekty trójwymiarowe, aby
obserwator patrzący na taki obraz odniósł wrażenie, że widzi świat
trójwymiarowy ?
Niektóre czynniki jakie należy uwzględnić przy próbie
osiągnięcia wrażenia  przestrzenności na obrazie płaskim:
" Geometria obrazu
- obiekty, które są w rzeczywistości dalej, wydają się
mniejsze,
- linie, które są w rzeczywistości równoległe, wydają się
zbieżne.
" Wpływ oświetlenia sceny na to, co widzi obserwator
La Somme le Roy (1290)
- oświetlenie powierzchni obiektów sceny,
British Museum, London
- interakcje świetlne pomiędzy obiektami, cienie.
Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej
Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej
Filip Brunelleschi (1377-1446) - architekt, rzez
biarz
Paweł Uccello (1397-1475) - malarz
Kopuła katedry we Baptysterium św. Jana
Florencji
Filip Brunelleschi jest uważany za odkrywcę świadomie
stosowanej metody rzutu perspektywicznego. Narysował on obraz
perspektywiczny baptysterium św. Jana posługując się systemem
P. Uccello  Bitwa pod san Romano
dwóch zwierciadeł.
Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej
Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej
4
Rafael Santi (1483-1520) - malarz
Masaccio (1401-1428) - malarz
Masaccio  Grosz czynszowy
Rafael  Szkoła ateńska
Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej
Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej
Urządzenie do wykonywania rzutów perspektywicznych:
Albrecht D�rer (1471- 1528)
Pouczenie o mierzeniu cyrklem i linią - 1525 r.
Przy pomocy trzech nici możesz przenieść na obraz każdą rzecz, którą [tymi nićmi] można dosięgnąć
i narysować na desce. Czyń tedy tak: jeśli jesteś w sali, wbij w ścianę dużą szpilę z dużym uchem
i przyjmij, że to jest oko. Przez to [ucho] przeciągnij mocną nić i zawieś u dołu na niej ołowiany ciężarek: Potem
postaw stół lub deskę tak daleko jak zechcesz od ucha szpili, w której jest nić. Ustaw na tym [stole] prostą [pionową]
ramę poprzecznie do ucha szpili , wyżej lub niżej, w jaką zechcesz stronę, a w tej ramie niech będą drzwiczki, które
można by otwierać i zamykać. Przybij do nich dwie nici, które by były tak długie jak pionowa rama jest szeroka i
długa, u góry i pośrodku ramy i zostaw by tak wisiały. Potem zrób długi metalowy sztyft, który na przedzie, na
ostrzu miałby uch igielne; przewlecz przezeń długą nić, która przeciągnięta jest przez ucho szpili w ścianie i przenieś
igłę i długą nić przez ramę na zewnątrz. Daj ją komuś innemu do ręki i pilnuj dwóch innych nici, które wiszą przy
ramie.
A teraz używaj ich tak: połóż lutnię czy cokolwiek ci się podoba tak daleko od ramy, jak zechcesz byleby leżała bez
zmiany tak długo jak będziesz jej potrzebował. Każ teraz pomocnikowi naciągać igłę
z nicią do najbardziej istotnych punktów lutni. A ile razy zatrzyma się ona na którymś z tych punktów
i napnie długą nić, naciągnij zawsze dwie nici przy ramie na krzyż, w miejscu [gdzie przechodzi] długa nić, i
przylepiaj je w obu miejscach woskiem do ramy, a do pomocnika wołaj by popuścił długą nić. Wtedy zamykaj
drzwiczki i wrysowuj na desce ten sam punkt w miejscu gdzie nici się krzyżują. Potem otwieraj znów drzwiczki i
czyń tak samo z innym punktem - aż wypunktujesz całą zupełnie lutnię na desce. Potem połącz liniami wszystkie
punkty lutni, które znajdują się na desce - wówczas zobaczysz, co z tego wyjdzie. Możesz w ten sposób odrysować i
inne rzeczy.
Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej
Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej
5
drzwiczki
ucho
y
(x, y, z )
rama
z
x
długa nić
(xp, yp, 0)
(xp ,yp)
(x , y , z )
(x, y, z)
d
środek projekcji
krótkie
nici
Zależność pomiędzy współrzędnymi punktu (x, y, z ) a punktu (x , y ,
ciężarek z ) opisuje układ równań parametrycznych
2
x = x - xu
Jak wyrazić związek między współrzędnymi punktu (x, y, z )
2
y = y - yu 0 d" u d" 1
a współrzędnymi jego rzutu ( xp, yp ) przy pomocy równań ?
2
z = z - ( z + d )u
Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej
Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej
Aby wyznaczyć współrzędne punktu rzutu (xp, yp, 0 ) należy więc
Jak wyglądają obrazy perspektywiczne ?
obliczyć u, dla którego
Przykład:
2
z = z - ( z + d )u = 0
y
(1,2,2) (2,2,2)
Rozwiązaniem równania jest
(1,2,1)
(2,2,1)
z
(2,1,2)
u =
z + d (1,1,1)
(2,1,1)
z
Podstawiając obliczone u do układu równań parametrycznych x
opisujących współrzędne punktu (x , y , z ) otrzymuje się równania,
y
y
d
xp = x�# ś#
ś# ź#
z + d
�# #
d = 3
d = 20
d
x
x
yp = y�# ś#
ś# ź#
z + d
�# #
Gdy d "rzut perspektywiczny staje się rzutem pionowym.
Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej
Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej
6
yw
Model syntetycznej kamery:
4. Ogólny przypadek rzutowania
4. Ogólny przypadek rzutowania
xv
W poprzednich rozważaniach rzutnia leżała na płaszczyz
nie yv
xw, yw, zw  układ zewnętrzny
(x-y).
obiekt
zv
xv, yv, zv  układ obserwatora
Co zrobić gdy rzutnia jest usytuowana inaczej ?
Jaki będzie w takim przypadku efekt rzutowania ? xw
zw
Sformułowanie problemu:
Rozwiązanie:
1. Zapisać obiekt w układzie współrzędnych obserwatora
1. Dany jest układ prostokątny współrzędnych zewnętrznych
(przeliczyć współrzędne obiektu z układu (xw, yw, zw ) na
(world coordinates) i opisany w tym układzie obiekt.
układ (xv, yv, zv ).
2. W układzie współrzędnych zewnętrznych opisany jest drugi
2. Wykonać rzutowanie (np. perspektywiczne) na płaszczyznę (xv -
układ współrzędnych prostokątnych zwany układem
obserwatora (viewing coordinates). yv ) .
Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej
Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej
Aby wykonać krok 1 najlepiej jest określić transformacje złożoną (z
Zastosowanie dla rzutu perspektywicznego:
transformacji elementarnych).
Składanie transformacji elementarnych może odbywać się według
Klasyfikacja rzutów perspektywicznych
następującej procedury:
Kryterium klasyfikacji - liczba osi układu współrzędnych
1. Przesunięcie środka układu obserwatora do środka
zewnętrznych ( xw, yw, zw ) , które przecinają rzutnię ( xv- yv).
układu współrzędnych zewnętrznych.
yw yw
2. Obrót przesuniętego układu obserwatora wokół osi xw ,
xv
tak aby oś zv znalazła się na płaszczyz
nie (xv-zv ).
yv
3. Obrót układu obserwatora wokół osi yv , tak by oś zv pokryła obiekt obiekt
yv
zv
się z osią zw .
xv
xw xw
4. Obrót układu obserwatora wokół osi zw , aby osie xv i yv
zv
pokryły się z osiami xw i yw.
zw zw
jedna oś (zw) przecina rzutnię
Pewnym problemem przy wykonaniu złożenia transformacji może być
trzy osie przecinają rzutnię
wyznaczenia kątów obrotu.
Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej
Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej
7
Jak wyglądają obrazy perspektywiczne dla różnych położeń
rzutni ?
1. Perspektywa jednopunktowa (rzutnia (xv - yv ) leży na
płaszczyz
nie (xw- yw) ).
yv
Pozorny punkt
zbieżności
xv
Sześcian (z poprzednich przykładów) w perspektywie jednopunktowej
Na obrazie perspektywicznym proste, na których leżą obrazy
Canaletto (1735 - 45) - Plac św. Marka
niektórych krawędzi sześcianu zbiegają się w jednym punkcie
w Wenecji
(pozorny punkt zbieżności, vanishing point).
Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej
Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej
2. Perspektywa dwupunktowa. Dwie osie układu współrzędnych
zewnętrznych ( xw, yw, zw ) przecinają rzutnię ( xv- yv )
P1
P2
yv
xv
Sześcian jednostkowy w perspektywie dwupunktowej
Na obrazie perspektywicznym sześcianu pojawiły się dwa
E. Hopper (1923) - The Mansard Roof
pozorne punkty zbieżności.
Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej
Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej
8
3. Perspektywa trójpunktowa. Trzy osie układu współrzędnych
zewnętrznych ( xw, yw, zw ) przecinają rzutnię ( xv- yv )
yv
xv
Sześcian jednostkowy w perspektywie trójpunktowej
Na obrazie perspektywicznym sześcianu można zaznaczyć trzy
pozorne punkty zbieżności.
G. O'Keefe (1926) - City Night
Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej
Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej
Przykład:
Pietro Lorenzetti (1432) - Birth of Mary
Hans Memling (1490) - Flower still-life
Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej
Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej
9