A. Zaborski, Ekstremalne naprężenia styczne
Ekstremalne naprężenia styczne
Poszukujemy takich kierunków, dla których naprężenia styczne przyjmują wartości
ekstremalne. Wektor naprężenia przyporządkowany płaszczyz
nie o wersorze normalnej
zewnętrznej n, pj = ni�ij , ma składową normalną: � = pj nj = ni nj�ij . W kierunkach
głównych, wobec postaci diagonalnej macierzy naprężenia, wzory powyższe zapiszemy:
p(n1�1,n2� ,n3�3),� = n12�1 + n22� + n32�3 ,
2 2
a składową styczną jako:
2
2 2
� = p2 - � = n12�12 + n22� + n32�32 - (n12�1 + n2 2� + n32�3)2 .
2 2
Jedną ze składowych wersora n możemy wyrazić przez pozostałe, np. n32 =1-n12-n22. Mamy
więc:
2
2
� = (�12 - �32)n12 + (� - �32)n22 + �32 - [(�1 - �3)n12 + (� - �3)n22 + �3]2 .
2 2
Poszukujemy ekstremum tej funkcji ze względu na kierunki wersora n:
2 2
" � " �
= 0, = 0 ,
" n1 " n2
i wykluczając przypadek �1 = �2 = �3 dla którego każdy kierunek jest kierunkiem głównym,
oraz przypadki dwóch równych sobie naprężeń głównych dla których każdy z kierunków na
płaszczyz
nie jest kierunkiem głównym, otrzymujemy układ równań:
ńł
{(�1 + �3) - 2[(�1 -�3)n12 + (�2 -�3)n22 + �3]}n1 = 0
�ł
.
�ł
�ł{(� + �3) - 2[(�1 -�2)n12 + (�2 -�3)n22 + �3]}n2 = 0
ół 2
Zauważmy, że dla n1 = n2 = 0 jest n3 = 1, otrzymujemy więc płaszczyznę główną,
prostopadłą do osi x3, w której naprężenia styczne są równe zero (postać diagonalna macierzy
naprężenia, minimalne naprężenia styczne).
Jeśli założymy, że zarówno n1 jak i n2 są różne od zera, to odejmując stronami równania
dochodzimy do równości �1 - �3 = 0 , co jest sprzeczne z założeniem. Musi zachodzić więc
jedna z 2 możliwości:
1
1. n1 = 0,n2 `" 0 �! �2 + �3 - 2(�2 -�3)n22 - 2�3 = 0 �! n2 = ą
2
1
2. n1 `" 0,n2 = 0 �! �1 + �3 - 2(�1 - �3)n12 - 2�3 = 0 �! n1 = ą
2
Rugując ze wzoru na �2 inną współrzędną, np. n1, otrzymamy jeszcze jedno rozwiązanie.
Ostatecznie:
3
ńł 1 1 � -�3
�ł0,ą ,ą �ł
2
�! �23 =
�ł �ł
�ł
2
2 2
�ł łł
�ł
�ł
2
1 1 �1 - �3
�ł �ł �ł
ą ,0,ą �! �13 =
�ł �ł
�ł
1
2
2 2
�ł łł
�ł
�ł
1 1 �1 - �
�ł �ł
2
�ł ą ,ą ,0 �! �12 =
�ł �ł
�ł
2
2 2
�ł łł
ół
Stwierdzamy, że płaszczyzny ekstremalnych naprężeń stycznych przechodzą przez jedną z osi
głównych i do pozostałych są nachylone pod kątem 450. Powyższy rysunek przedstawia
płaszczyzny dla których �yz jest ekstremalne.