SKRYPT
DO
WYKAADÓW I ĆWICZEC
Z
MATEMATYKI
DLA
KIERUNKU BUDOWNICTWO
DRUGI STOPIEC
Małgorzata Firmanty
1
1. Równania różniczkowe cząstkowe liniowe
i quasi liniowe rzędu pierwszego
Niech P(x, y, z) , Q(x, y, z) , R(x, y, z) i f(x, y, z)
C1
będą danymi funkcjami klasy w pewnym
obszarze przestrzennym D.
Definicja 1.1
Równanie :
śu śu śu
(1) P(x, y, z) + Q(x, y, z) + R(x, y, z) = f (x, y, z)
śx śy śz
nazywamy równaniem różniczkowym cząstkowym
liniowym rzędu pierwszego z funkcją niewiadomą
u = u(x, y, z)
.
f (x, y, z) 0
Jeżeli w obszarze D ,
(1) przyjmuje postać :
to równanie
śu śu śu
(2) P(x, y, z) + Q(x, y, z) + R(x, y, z) = 0
śx śy śz
(2) nazywamy równaniem jednorodnym.
Równanie
2
Definicja 1.2
Układ równań różniczkowych zwyczajnych
dx dy dz
(*) = =
P(x, y, z) Q(x, y, z) R(x, y, z)
nazywamy równaniem różniczkowym
(2) .
charakterystyk równania
Twierdzenie 1.1
F1(x, y, z) F2(x, y, z) klasy w
C1
Jeżeli funkcje i
obszarze D są niezależnymi całkami pierwszymi
(*) , to funkcja
układu
u = F[F1(x, y, z),F2(x, y, z)]
F(x1 ,x2) oznacza dowolną funkcję klasy
C1
gdzie
w pewnym obszarze płaskim, jest całką ogólną
(2) w dostatecznie małym otoczeniu
równania
dowolnego punktu obszaru D
Zadanie 1.1
Znajdz całkę ogólną równania :
śu śu śu
(*) x + y + z2 y = 0
.
śx śy śz
3
Rozwiązanie
Równanie różniczkowe charakterystyk ma postać :
dx dy dz
= =
.
x y z2 y
(1)
dx dy dz dx dy dx dy
= = = =
x y z2 y x y x y
ln x = ln y + ln C ln x - ln y = ln C
x x x
ln = ln C = C = ąC
y y y
x
= C1.
y
x
F1(x, y, z) =
Całka pierwsza :
y
4
(2)
dx dy dz dy dz dz
= = = dy =
x y z2 y y z2 y z2
dz -1
y = + C2
dy =
z2 z
1
y + = C2.
z
1
F2 (x, y, z) = y + .
Całka pierwsza :
z
Zatem funkcja :
ć
x 1
u = F , y +
y z
Ł ł
F(x1 ,x2) oznacza dowolną funkcję klasy
C1
gdzie
w pewnym obszarze płaskim,
(*) .
jest całką ogólną równania
Niech P(x, y, u) , Q(x, y, u) i R(x, y, u) będą danymi
C1
funkcjami klasy w pewnym obszarze
przestrzennym D.
5
Definicja 1.3
Równanie :
śu śu
(3) P(x, y,u) + Q(x, y,u) = R(x, y,u)
śx śy
nazywamy równaniem różniczkowym cząstkowym
guasi - liniowym rzędu pierwszego z funkcją
u = u(x, y)
niewiadomą .
v = v(x, y,u)
C1
Niech będzie funkcją klasy w
śv
ą 0
obszarze D , której pochodna w otoczeniu
śu
P0 D
u = u(x, y)
punktu i niech funkcja będzie
v(x, y,u) = 0.
określona w sposób uwikłany równaniem
v = v(x, y,u)
Można udowodnić że, jeżeli funkcja jest
rozwiązaniem równania
śv śv śv
(4) P(x, y,u) + Q(x, y,u) + R(x, y,u) = 0
śx śy śu
P0 D
w pewnym otoczeniu punktu , to funkcja
u = u(x, y)
określona w sposób uwikłany
v(x, y,u) = 0 , jest rozwiązaniem
równaniem
6
P0'
równania (3) w pewnym otoczeniu punktu ,
P0
będącego rzutem punktu na płaszczyznę XOY .
Zadanie 1.2
Znajdz całkę ogólną równania :
śu
(*) (x2 + y2)śu + 2xy = -u2
.
śx śy
Rozwiązanie
Pomocnicze równanie liniowe jednorodne:
śv śv
(**) (x2 + y2)śv + 2xy - u2 = 0
śx śy śu
Równanie różniczkowe charakterystyk :
dx dy du
= =
x2 + y2 2xy - u2
7
(1)
dx + dy du d(x + y) du
= =
2
x2 + y2 + 2xy - u2 - u2
(x + y)
d(x + y) du -1 1
= = + C1
2
- u2 (x + y) u
(x + y)
1 1
+ = C1
u x + y
1 1
F1(x, y,u) = +
Całka pierwsza :
u x + y
(2)
dx - dy du d(x - y) du
= =
2
x2 + y2 - 2xy - u2 - u2
(x - y)
d(x - y) du -1 1
= = + C2
2
- u2 (x - y) u
(x - y)
1 1
+ = C2
u x - y
1 1
F2(x, y,u) = +
Całka pierwsza :
u x - y
8
u = u(x, y)
Zatem funkcja określona w sposób
uwikłany równaniem :
ć
1 1 1 1
F + , + = 0
u x + y u x - y
Ł ł
F(x1 ,x2) oznacza dowolną funkcję klasy
C1
gdzie
w pewnym obszarze płaskim,
(*) .
jest rozwiązanie równania
u = u(x, y)
Niech funkcja będzie rozwiązaniem
równania (3) . Wykresem tej funkcji jest pewna
powierzchnia S , którą nazywamy powierzchnią
całkową równania (3) .
Niech funkcje P=P(x,y,u) , Q=Q(x,y,u) , R=R(x,y,u)
będą współrzędnymi pola wektorowego W=[P,Q,R].
Linią pola wektorowego W nazywamy każdą krzywą,
która spełnia układ równań różniczkowych
dx dy du
= =
.
P Q R
Każda powierzchnia całkowa S równania
różniczkowego (3) jest utworzona z linii pola
wektorowego W .
Zadanie 1.3
Znajdz powierzchnię całkową S równania
przechodzącą przez krzywą L.
9
(a)
śu śu
x + y = 2u L : x = t , y = t2 , u = t3
śx śy
(b)
śu
u +(u2 - x2)śu + x = 0 L : x = 0 , y = x2 , u = 2x
śx śy
Rozwiązanie przykładu (a)
Pomocnicze równanie liniowe jednorodne:
śv śv śv
(a1) x + y + 2u = 0
śx śy śu
Równanie różniczkowe charakterystyk :
dx dy du
= =
x y 2u
10
(1)
dx dy du dx dy dx dy
= = = =
x y 2u x y x y
ln x = ln y + ln C ln x - ln y = ln C
x x x
ln = ln C = C = ąC
y y y
x
= C1
y
(2)
dx dy du dx du dx du
= = = =
x y 2u x 2u x 2u
1
ln y = ln u + ln C 2ln x - ln u = 2ln C
2
x2 x2 x2
ln = ln C2 = C2 = ąC2
u u u
x2
= C2
u
Mamy zatem
x
= C1 i x2
= C2
y
u
oraz
11
x = t , y = t2 , u = t3
Z tych pięciu równań rugujemy zmienne t, x, y, u.
t t2 1 1
= C1 Ł = C2 = C1 Ł = C2
t2 t3 t t
x x2
C1 = C2 = xu = x2 y
y u
u = xy
Powierzchna całkowa S równania różniczkowego (a)
ma równanie
u = xy
.
Rozwiązanie przykładu (b)
Pomocnicze równanie liniowe jednorodne:
śv śv śv
(b1) u +(u2 - x2)śy - x = 0
śx śu
Równanie różniczkowe charakterystyk :
dx dy du
= =
u (u2 - x2) - x
12
(1)
dx dy du dx du
= = = - xdx = udu
u (u2 - x2) - x u - x
- x2 u2
- xdx =
udu 2 = 2 + C
- x2 = u2 + 2C u2 + x2 = C1
(2)
dx dy du udx dy xdu
= = = =
u (u2 - x2) - x u2 (u2 - x2) - x2
udx + xdu dy
= udx + xdu = dy
(u2 - x2 ) (u2 - x2)
d(xu)= dy
d(xu)= dy xu = y + C2
xu - y = C2
Mamy zatem
u2 + x2 = C1 i xu - y = C2
oraz
x = 0 , y = x2 , u = 2x
Z tych pięciu równań rugujemy zmienne x, y, u.
2
(2x) + x2 = C1 Ł x(2x)- x2 = C2 5x2 = C1 Ł x2 = C2
C1 = 5C2 u2 + x2 = 5(xu - y)
13
Powierzchna całkowa S równania różniczkowego (b)
ma równanie
u2 + x2 = 5(xu - y).
Zadanie 1.4
Znajdz całki ogólne następujących równań :
śu śu
y + x = 0 odp. u = F(x2 - y2)
1.
śx śy
śu śu y
x + y = 4y odp. F , 4y - uł = 0
ę ś
2.
śx śy x
ł
śu śu y 1
x + y = u2 y odp. F , = 0
ę ś
3.
śx śy x u + y
4.
śu śu
y + x = x - y odp. F[x2 - y2 , x - y + u]= 0
śx śy
5.
2
ł
śu (x + y)
2
2x +(y - x)śu = x2 odp. F - 4u , = 0
ęx ś
śx śy x
śu śu u
x2 ł
xy - x2 = yx odp. F + y2 , = 0
ę
6.
śx śy xś
14
7.
ł
śu śu x2 3u
x = 2y = x2 y + u odp. F , xy - = 0
ę ś
śx śy y x
8.
ł
śu śu 1 1 u2
x2u + y2u = x + y odp. F - , ln xy - = 0
ę ś
śx śy x y 2
9.
śu śu
2 2
(u - y) + xu = xy odp. F[u2 - y2 , x2 +(y - u) ]= 0
śx śy
10.
śu u
xy +(x - 2u)śu = yu odp. F , 2x - 4u - y2 ł = 0
ę ś
śx śy x
11.
śu śu y
y + u = odp. F[u - ln x , 2x(u -1)- y2]= 0
śx śy x
12.
(x + u)śu + (y + u)śu = x + y
śx śy
x + y + u
odp. F , (x - y)(x + y - 2u)ł = 0
ę ś
2
(x - y)
15
13.
(xu + y)śu + (x + yu)śu = 1- u2
śx śy
odp. F[(x - y)(u +1), (x + y)(u +1)]= 0
Zadanie 1.5
Znajdz powierzchnię całkową równania przechodzącą
przez krzywą L.
1.
2
śu śu t
y + x = 0 L : x = 0 , y = t , u =
śx śy 2
y2 - x2
odp. u =
2
2.
śu śu
x + y = 4y L : x = t , y = t2 , u = 0
śx śy
4(x2 y - y2 )
odp. u =
x2
3.
śu śu
- = x2 + y L : x = 0 , y = t , u = -t3
śx śy
x3 x2
odp. u = - - xy - y2
3 2
16
4.
śu śu
3
x + y = u2 y L : x = t , y = t , u = 0
śx śy
x2
odp. u =
x3 + y2 - x2 y
5.
śu śu
x - 2y = x2 + y2 L : y = 1, u = x2
śx śy
odp. 2x2(y +1) = y2 + 4u -1
6.
śu śu
x + y = u - xy L : x = 2 , u = y2 +1
śx śy
2
odp. (x + 2y) = 2x(u + xy)
7.
śu śu
x - y = u2(x - 2y) L : x = 1, yu +1 = 0
śx śy
1
odp. 2xy +1 = x + 3y +
u
8.
śu śu
x + y = u - x2 - y2 L : y = -2 , u = x - x2
śx śy
odp. x - 2y = x2 + y2 + u
17
9.
śu śu
yu + xu = xy L : x = 2 , x2 + y2 = 4
śx śy
odp. 2x2 - y2 - u2 = 4
10.
(y - u)śu + (u - x)śu = x - y L : u = y = -x
śx śy
2
odp. 3(x + y + u) = x2 + y2 + u2
11.
śu śu
x + (xu + y) = 0 L : x + y = 2u , xu = 1
śx śy
2
odp. xu = (xu - y - x + 2u)
12.
śu śu
x + u = y L : y = 2x , x + 2y = u
śx śy
odp. x + y + u = 0
18
13.
(x - u)śu + (y - u)śu = 2u L : x - y = 2 , u + 2x = 1
śx śy
odp. (x - y)(3x + y + 4u) = 4u
14.
śu śu
xy3 + x2u2 = y3u L : x = -u3 , y = u2
śx śy
odp. xu + y2 = 0
19
2. Równanie różniczkowe cząstkowe liniowe
rzędu drugiego
A = A(x, y) , B = B(x, y) ,C = C(x, y) ,
Niech
a = a(x, y) , b = b(x, y) , c = c(x, y) i d = d(x, y) będą
C1
danymi funkcjami klasy w pewnym obszarze
płaskim D.
Definicja 2.1
Równaniem różniczkowym cząstkowym liniowym
z = z(x, y)
rzędu drugiego o niewiadomej funkcji
nazywamy równanie postaci :
ś2z ś2z śz śz
A + B + C + a + b + cz + d = 0
(*) ś2z śxśy śy2 śx śy
.
śx2
Niech
d = B2 - 4AC
(*) nazywamy
d > 0
2.1 Jeżeli to równanie
równaniem hiperbolicznym.
Niech
f (x, y)= C1 i g(x, y)= C2
będą całkami pierwszymi układu równań
różniczkowych zwyczajnych ( równania
charakterystyk ).
20
dy B - d dy B + d
= , = , gdy A ą 0
dx 2A dx 2A
lub
dx B - d dx B + d
= , = , gdy C ą 0
.
dy 2C dy 2C
Przyjmując nowe zmienne niezależne
u = f (x, y) i v = g(x, y)
(*) do postaci kanonicznej :
przekształcamy równanie
ś2z śz śz
+ F( , , z , u , v) = 0
śuśv śu śv
Przyjmując nowe zmienne niezależne
u = f (x, y)+ g(x, y) i v = f (x, y)- g(x, y)
(*) do postaci kanonicznej :
przekształcamy równanie
21
ś2z ś2z śz śz
- + F( , , z , u , v) = 0
.
śu2 śv2 śu śv
Zadanie 2.1
Rozwiąż równanie :
ś2z ś2z ś2z
(*) + 5 + 6 = 0
.
śx2 śxśy śy2
Rozwiązanie
d = 52 - 416 =1> 0
(*) jest równaniem hiperbolicznym.
Zatem równanie
Równania charakterystyk :
dy 5 - 1 dy 5 + 1
= = 2 , = = 3
.
dx 21 dx 21
dy
= 2 dy = 2dx
dy = 2dx
dx
y = 2x + C1 y - 2x = C1
22
dy
= 3 dy = 3dx
dy = 3dx
dx
y = 3x + C2 y - 2x = C2
Całki pierwsze :
y - 2x = C1 i y - 3x = C2 .
Przyjmując nowe zmienne niezależne :
u = y - 2x v = y - 3x
i .
(*).
przekształcamy równanie
z = z(u,v) gdzie u = y - 2x v = y - 3x
i .
śz śz śu śz śv śz śz śz śz
= + = (- 2)+ (- 3)= -2 - 3
śx śu śx śv śx śu śv śu śv
śz śz śu śz śv śz śz śz śz
= + = (1)+ (1)= +
śy śu śy śv śy śu śv śu śv
23
śz śz śz śz śz
ść ść- 2 - 3 ść ść
ś2z
śx śu śv śu śv
Ł ł Ł ł Ł ł Ł ł
= = = -2 - 3 =
śx2 śx śx śx śx
ć ć
ś2z ś2z ś2z ś2z
= -2- 2 - 3 - 3- 2 - 3 =
śu2 śuśv śuśv śv2
Ł ł Ł ł
ś2z ś2z ś2z
= 4 +12 + 9
śu2 śuśv śv2
śz śz śz śz śz
ść ść- 2 - 3 ść ść
ś2z
śx śu śv śu śv
Ł ł Ł ł Ł ł Ł ł
= = = -2 - 3 =
śxśy śy śy śy śy
ć ć
ś2z ś2z ś2z ś2z
= -2 + - 3 + =
śu2 śuśv śuśv śv2
Ł ł Ł ł
ś2z ś2z ś2z
= -2 - 5 - 3
śu2 śuśv śv2
ć
śz
śz śz śz śz
ś
ść + ść ść
śy
ś2z
śu śv śu śv
Ł ł Ł ł Ł ł Ł ł
= = = + =
śy2 śy śy śy śy
ć ć
ś2z ś2z ś2z ś2z ś2z ś2z ś2z
= + + + = + 2 +
śu2 śuśv śuśv śv2 śu2 śuśv śv2
Ł ł Ł ł
24
Obliczone pochodne wstawiamy do lewej strony
(*)
równania
ć
ś2z ś2z ś2z ś2z ś2z ś2z
4 +12 + 9 - 52 + 5 + 3 +
śu2 śuśv śv2 Ł śu2 śuśv śv2
ł
ć
ś2z ś2z ś2z ś2z
+ 6 + 2 + = -
śu2 śuśv śv2 śuśv
Ł ł
Otrzymujemy nowe równanie :
ś2z
(**) = 0
,
śuśv
które rozwiązujemy :
śz
ść
ś2z śz
śu
Ł ł
= 0 = 0 =
0dv
śuśv śv śu
śz
= F(u) z =
F(u)du
śu
z = G(u)+ H(v)
25
Funkcja
z = H(u)+ G(v)
(**).
jest rozwiązaniem równania
Funkcja
z = H(y - 2x)+ G(y -3x)
(*).
jest rozwiązaniem równania
Zadanie 2.2
Rozwiąż równanie :
ś2z śz
(*) - 2 = 0
.
śxśy śx
Rozwiązanie
(*) jest równaniem
Zauważmy, że równanie
hiperbolicznym w postaci kanonicznej.
ś2z śz
- 2 = 0
śxśy śx
26
ć
śz
ś - 2z
śy
Ł ł
= 0
śx
śz
- 2z =
0dx
śy
śz
- 2z = j(y)
(1)
śy
Równanie (1) jest równaniem liniowym
niejednorodnym.
Rozwiązujemy najpierw równanie jednorodne
śz
- 2z = 0
(2)
śy
śz
= 2z
śy
śz
= 2śy
z
dz
= 2
dy
z
27
ln z = 2y + A(x)
z = eA(x)e2 y
z = ąeA(x)e2 y
Funkcja
z = C(x)e2 y
jest rozwiązaniem równania (2).
Uzmienniamy stałą
z = C(x, y)e2 y
(a)
śz śC(x, y)e + 2C(x, y)e2
2 y y
=
(b)
śy śy
(a) i (b) wstawiamy do równania (1).
śC(x, y)e + 2C(x, y)e2 - 2C(x, y)e2 = j(y)
2 y y y
śy
śC(x, y)e = j(y)
2 y
śy
28
śC(x, y) j(y)
=
śy e2 y
j(y)dy
C(x, y)=
e2 y
C(x, y)= F(y)+ G(x)
(c)
(b) wstawiamy do (a)
z = (F(y)+ G(x))e2 y = F(y)e2 y + G(x)e2 y =
H(y)+ G(x)e2 y
Funkcja :
z = H(y)+ G(x)e2 y
(*).
jest rozwiązaniem równania
(*) nazywamy
d = 0
2.2 Jeżeli to równanie
równaniem parabolicznym.
Niech
f (x, y)= C
będzie całką pierwszą równia różniczkowego
zwyczajnego ( równanie charakterystyk ).
29
dy B
= , gdy A ą 0
dx 2A
lub
dx B
= , gdy C ą 0.
dy 2C
Przyjmując nowe zmienne niezależne
u = f (x, y) i
v = x
(*) do postaci kanonicznej :
przekształcamy równanie
ś2z śz śz
+ F( , , z , u , v) = 0
śv2 śu śv
Przyjmując nowe zmienne niezależne
u = f (x, y) i v = y
(*) do postaci kanonicznej :
przekształcamy równanie
ś2z śz śz
+ F( , , z , u , v) = 0
.
śu2 śu śv
30
Zadanie 2.3
Rozwiąż równanie :
ś2z ś2z ś2z
(*) - 2 + = 0
.
śx2 śxśy śy2
Rozwiązanie
2
d = (- 2) - 411 = 0
(*) jest równaniem parabolicznym.
Zatem równanie
Równanie charakterystyk :
dy - 2
= = -1.
dx 21
dy
= -1 dy = -dx
dy = -dx
dx
y = -x + C y + x = C
Całka pierwsza :
y + x = C
i .
Przyjmując nowe zmienne niezależne :
31
u = y + x
v = x
i .
(*).
przekształcamy równanie
z = z(u,v) gdzie u = y + x
v = x
i .
śz śz śu śz śv śz śz śz śz
= + = (1)+ (1)= +
śx śu śx śv śx śu śv śu śv
śz śz śu śz śv śz śz śz
= + = (1)+ (0)=
śy śu śy śv śy śu śv śu
śz śz śz śz śz
ść ść + ść ść
ś2z
śx śu śv śu śv
Ł ł Ł ł Ł ł Ł ł
= = = + =
śx2 śx śx śx śx
ć ć
ś2z ś2z ś2z ś2z
= + + + =
śu2 śuśv śuśv śv2
Ł ł Ł ł
ś2z ś2z ś2z
= + 2 +
śu2 śuśv śv2
32
śz śz śz śz śz
ść ść + ść ść
ś2z
śx śu śv śu śv
Ł ł Ł ł Ł ł Ł ł
= = = + =
śxśy śy śy śy śy
ć ć
ś2z ś2z ś2z ś2z
= + = +
śu2 śuśv śu2 śuśv
Ł ł Ł ł
ć
śz
śz
ś
ść
śy
ś2z ś2z
śu
Ł ł Ł ł
= = =
śy2 śy śy śu2
Obliczone pochodne wstawiamy do lewej strony
(*)
równania
ć
ś2z ś2z ś2z ś2z ś2z
+ 2 + - 2 + +
śu2 śuśv śv2 Ł śu2 śuśv
ł
ć
ś2z ś2z
+ =
śu2 śv2
Ł ł
Otrzymujemy nowe równanie :
ś2z
(**) = 0
,
śv2
które rozwiązujemy :
33
śz
ść
ś2z śz
śv
Ł ł
= 0 = 0 =
0dv
śv2 śv śv
śz
= F(u) z =
F(u)dv
śv
z = F(u)
dv z = F(u)v + G(u)
Funkcja
z = F(u)v + G(u)
(**).
jest rozwiązaniem równania
Funkcja
z = xF(y + x)+ G(y + x)
(*).
jest rozwiązaniem równania
(*) nazywamy
d < 0
2.3 Jeżeli to równanie
równaniem eliptycznym.
Niech
f (x, y)=a(x, y)ą ib(x, y)= C
34
będzie całką pierwszą układu równań różniczkowych
zwyczajnych ( równania charakterystyk ).
dy B ą d
= , gdy A ą 0
dx 2A
lub
dx B ą d
= , gdy C ą 0
.
dy 2C
Przyjmując nowe zmienne niezależne
u = a(x, y) i v = b(x, y)
(*) do postaci kanonicznej :
przekształcamy równanie
ś2z ś2z śz śz
+ + F( , , z , u , v) = 0
śu2 śv2 śu śv
Zadanie 2.4
Sprowadz do postaci kanonicznej równanie :
ś2z ś2z ś2z
(*) x2 + 8xy + 25y2 = 0
.
śx2 śxśy śy2
35
Rozwiązanie
d = 82 - 41 25 = -36 < 0
(*) jest równaniem eliptycznym.
Zatem równanie
d = - 36 = 36 -1 = ą6i
Równania charakterystyk :
dy 8 ą 6i
= = 4 ą 3i
.
dx 21
dy
= 4 ą 3i dy = (4 ą 3i)dx
dy = (4 ą 3i)dx
dx
y = (4 ą 3i)x + C (y - 4x)ą (3x)i = C
Całka pierwsza :
(y - 4x)ą(3x)i = C
i .
Przyjmując nowe zmienne niezależne :
u = y - 4x
v = 3x
i .
(*).
przekształcamy równanie
36
z = z(u,v) gdzie u = y - 4x
v = 3x
i .
śz śz śu śz śv śz śz śz śz
= + = (- 4)+ (3)= -4 + 3
śx śu śx śv śx śu śv śu śv
śz śz śu śz śv śz śz śz
= + = (1)+ (0)=
śy śu śy śv śy śu śv śu
śz śz śz śz śz
ść ść- 4 + 3 ść ść
ś2z
śx śu śv śu śv
Ł ł Ł ł Ł ł Ł ł
= = = -4 + 3 =
śx2 śx śx śx śx
ć ć
ś2z ś2z ś2z ś2z
= -4- 4 + 3 + 3- 4 + 3 =
śu2 śuśv śuśv śv2
Ł ł Ł ł
ś2z ś2z ś2z
= 16 - 24 + 9
śu2 śuśv śv2
37
śz śz śz
ść ść- 4 + 3
ś2z
śx śu śv
Ł ł Ł ł
= = =
śxśy śy śy
śz śz
ść ść
ć ć
ś2z ś2z
śu śv
Ł ł Ł ł
- 4 + 3 == -4 + 3 =
śy śy śu2 Ł śuśv
Ł ł ł
ś2z ś2z
= -4 + 3
śu2 śuśv
ć
śz
śz
ś
ść
śy
ś2z ś2z
śu
Ł ł Ł ł
= = =
śy2 śy śy śu2
Obliczone pochodne wstawiamy do lewej strony
(*)
równania
ć
ś2z ś2z ś2z ś2z ś2z
16 - 24 + 9 + 8- 4 + 3 +
śu2 śuśv śv2 Ł śu2 śuśv
ł
ć ć
ś2z ś2z ś2z ś2z ś2z
+ 25 = 9 + 9 = 9 +
śu2 śu2 śv2 Ł śu2 śv2
Ł ł ł
38
Stąd mamy następującą postać kanoniczną
(*) :
równania
ś2z ś2z
(**) + = 0
.
śu2 śv2
Zadanie 2.5
Wyznacz rozwiązanie równania :
ś2z śz
(*) - 2 = 0
śxśy śx
spełniające następujące warunki początkowe :
z(x,0)= x5 , z(0, y)= y2
.
Rozwiązanie
Funkcja :
z = H(y)+ G(x)e2 y
(*). ( patrz Zadanie 2.2 )
jest całką ogólna równania
Uwzględniając warunki początkowe :
z(x,0)= x5 , z(0, y)= y2
Mamy
39
(0)+ G(x)= x5
H
(y)+ G(0)e2 y = y2
H
Z pierwszego równania mamy
H(0)+ G(0)= 0 H(0)= -G(0)
Zatem
- G(0)+ G(x)= x5
(y)+ G(0)e2 y = y2
H
y y y
- G(0)e2 + G(x)e2 = x5e2
(y)+ G(0)e2 y = y2
H
Dodając równania stronami otrzymujemy :
H(y)+ G(x)e2 y = x5e2 y + y2
z = z(x, y) wyraża się wzorem
Zatem szukana funkcja
z = z(x, y)= x5e2 y + y2 .
40
Zadanie 2.6
Wyznacz rozwiązanie równania :
ś2z ś2z
(*) + = 0
śx2 śxśy
spełniające następujące warunki początkowe :
śz(x,2x)
= 6x
z(x,2x)= 4x
, .
śy
Rozwiązanie
d =12 - 410 =1> 0 , d =1
(*) jest równaniem hiperbolicznym.
Zatem równanie
Równania charakterystyk :
dy 1-1 dy 1+1
= = 0 , = =1.
dx 2 dx 2
dy
=1 dy = dx
dy = dx
dx
y = x + C2 y - x = C2
41
Całki pierwsze :
y = C1 i y - x = C2 .
Przyjmując nowe zmienne niezależne :
u = y v = y - x
i .
(*).
przekształcamy równanie
z = z(u,v) gdzie u = y v = y - x
i .
śz śz śu śz śv śz śz śz
= + = (0)+ (-1)= -
śx śu śx śv śx śu śv śv
śz śz śu śz śv śz śz śz śz
= + = (1)+ (1)= +
śy śu śy śv śy śu śv śu śv
śz śz śz
ść ść- ść
ś2z
śx śv śv
Ł ł Ł ł Ł ł
= = = - =
śx2 śx śx śx
ć
ś2z ś2z
= -- =
śv2 śv2
Ł ł
42
śz śz śz
ść ść- ść
ś2z
śx śv śv
Ł ł Ł ł Ł ł
= = = - =
śxśy śy śy śy
ć
ś2z ś2z ś2z ś2z
= - + = - -
śuśv śv2 śuśv śv2
Ł ł
Obliczone pochodne wstawiamy do lewej strony
(*)
równania
ć
ś2z ś2z ś2z ś2z
+ - = -
śv2 - śuśv śv2 śuśv
Ł ł
Otrzymujemy nowe równanie :
ś2z
(**) = 0
.
śuśv
Funkcja
z = H(u)+ G(v)
(**).( patrz zadanie 2.1 )
jest rozwiązaniem równania
43
Zatem funkcja
z = H(y)+ G(y - x)
(*).
jest rozwiązaniem ogólnym równania
śz
'
= H (y)+ G'(y - x)
śy
Uwzględniając warunki początkowe mamy :
z(x,2x)= H(2x)+ G(x)= 4x
śz(x,2x)
'
= H (2x)+ G'(x)= 6x
śy
H(2x)+ G(x)= 4x
'
(2x)+ G'(x)= 6x
H
H(2x)+ G(x)= 4x
1
2 H(2x)+ G(x)= 6 xdx
H(2x)+ G(x)= 4x
1
2 H(2x)+ G(x)= 3x2 + C
44
- H(2x)- G(x)= -4x
(2x)+ 2G(x)= 6x2 + 2C
H
Zatem
G(x)= 6x2 - 4x + 2C
2
G(y - x)= 6(y - x) - 4(y - x)+ 2C
- 2H(2x)- 2G(x)= -8x
(2x)+ 2G(x)= 6x2 + 2C
H
Zatem
H(2x)= 8x - 6x2 - 2C
y y2
H(y)= Hć2 = 4y - 3 - 2C
2 2
Ł ł
Stąd
y2
2
z = H(y)+ G(y - x)= 4y - 3 + 6(y - x) - 4(y - x) .
2
45
Zadanie 2.7
Sprowadz do postaci kanonicznej równania :
ś2z śz2 ś2z
2 + 5 + 2 = 0
(1)
śx2 śxśy śy2
ś2 z
= 0
Odp.
śuśv
ś2z śz2 ś2z
2 + 6 + 3 = 0
(2)
śx2 śxśy śy2
ś2z
= 0
Odp.
śv2
ś2z śz2 ś2z
+ 2 + 2 = 0
(3)
śx2 śxśy śy2
ś2z ś2z
+ = 0
Odp.
śu2 śv2
ś2z śz2 ś2z śz śz
+ 4 + 5 + + 2 = 0
(4)
śx2 śxśy śy2 śx śy
śz2 ś2z śz
+ + = 0
Odp.
śu2 śv2 śv
46
ś2z śz2 ś2 śz
- 2cos x -(3+ sin2 x)śyz - y = 0
2
(5)
śx2 śxśy śy
śz2 v - u śz śz
+ ( - ) = 0
Odp.
śuśv 32 śu śv
ś2z śz2 ś2z śz
y2 + 2xy + 2x2 + y = 0
(6)
śx2 śxśy śy2 śy
ś2z ś2z 1 śz 1 śz
+ + + = 0
Odp.
śu2 śv2 u - v śu 2v śv
ś2z śz2 ś2z śz
2 3
tg x - 2ytgx + y2 + tg x = 0
(7)
śx2 śxśy śy2 śx
ś2z 2u śz
- = 0
Odp.
śv2 v2 śu
ś2z ś2z
+ y = 0 ; y > 0
(8)
śx2 śy2
ś2z ś2z 1 śz
+ - = 0
Odp.
śu2 śv2 v śv
ś2z ś2z
y2 - x2 = 0
(9)
śx2 śy2
47
śz2 v śz u śz
+ + = 0
Odp.
śuśv 4(v2 - u2)śu 4(v2 - u2)śv
ś2z ś2z
x2 - y2 = 0
(10)
śx2 śy2
śz2 1 śz
- = 0
Odp.
śuśv 2u śu
ś2z ś2z
x2 + y2 = 0
(11)
śx2 śy2
ś2z ś2z śz śz
+ - - = 0
Odp.
śu2 śu2 śu śv
ś2z śz2 ś2z
y2 + 2xy + x2 = 0
(12)
śx2 śxśy śy2
śz2 v śz v śz
+ - = 0
Odp.
śu2 2(u2 - v2)śu 2(u2 - v2)śv
ś2z śz2 ś2z
+ 2 + 5 = 0
(13)
śx2 śxśy śy2
ś2z ś2z
+ = 0
Odp.
śu2 śv2
48
Zadanie 2.8
Rozwiąż równania :
ć
ś2z ś2z 1 śz śz
x - y + - = 0 ; x, y > 0
(1)
śx2 śy2 2 śx śy
Ł ł
z = F( x - y)+ G( x + y)
Odp.
ś2z ś2z śz
x2 - y2 - 2y = 0 ; xy > 0
(2)
śx2 śy2 śy
x y
z = F(xy)+ Gć
Odp.
y x
Ł ł
ś2z ś2z śz
x - x + 2 = 0
(3)
śx2 śy2 śx
F(x - y)+ G(x + y)
z =
Odp.
x
ś2z
- 3(x2 + y2)= 0
(4)
śxśy
z = x3 y + xy3 + F(x)+ G(y)
Odp.
ś2z śz
- 2y = 0
(5)
śxśy śx
49
2
z = F(x)ey + G(y)
Odp.
ś2z
+ 4x3 = 0
(6)
śxśy
z = -x4 y + F(x)+ G(y)
Odp.
ś2z śz
+ = 0
(7)
śxśy śy
z = F(y)e-x + G(x)
Odp.
ś2z śz
- - y = 0
(8)
śx2 śx
z = F(y)ex + G(x)-(x +1)y
Odp.
ś2z ś2z
+ - y = 0
(9)
śx2 śxśy
z = F(y)+ G(x - y)
Odp.
50
Zadanie 2.9
Wyznacz rozwiązania równania spełniające warunki
początkowe :
ś2z
=1 ; z(x,0)= x5 , z(0, y)= y2
(1)
śxśy
z = x5 + xy + y2
Odp.
ś2z
- 2xsin y = 0 ; z(x,0)= x2 , z(0, y)= sin y
(2)
śxśy
z = x2(2 - cos y)+ sin y
Odp.
(3)
ś2z śu
- 3x2 = 0 ; z(x,0)= 5x4 + x2 , z(0, y)= 3y3
śxśy śy
3
z = 5x4 + x2 + 3y3ex
Odp.
ś2z ś2z
+ = 0 ; z(x,0)= x5 , z(0, y)= y3
(4)
śxśy śy2
3
z = x5 + x3 +(y - x)
Odp.
ś2z śz
+ = 0 ; z(x,0)= x3 , z(0, y)= y7
(5)
śxśy śy
z = ex y7 + x3
Odp.
51
ś2z
- 3(x2 + y2)= 0
(6)
śxśy
ś(x, x)
z(x, x)= 2x4 + 2ex , = 4x3 + ex
śy
z = x3y + xy3 + ex + ey
Odp.
ś2z śz
+ 4x3 = 0
(7)
śxśy śx
ś(x, x)
z(x, x)= -x5 , = -x4 -1
śy
z = -x4y + x - y
Odp.
ś2z śz
+ = 0
(8)
śxśy śy
ś(x, x)
z(x,2x)= ex + x2 , = ex
śy
z = ey-x + x2
Odp.
51
ś2z śz
- - y = 0
(9)
śx2 śx
ś(y, y)
z(y, y)= yey - y , = y(ey -1)
śx
z = yex + y2 -(x +1)y
Odp.
ś2z ś2z
+ = 0
(10)
śx2 śxśy
ś(x,-x)
z(x,-x)= -x3 + 4x2 , = 3x2 - 4x
śy
2
z = y3 +(x - y)
Odp.
52
3. Szeregi potęgowe
Definicja 3.1
x0
Szeregiem potęgowym o środku w punkcie
nazywamy szereg funkcyjny postaci :
Ą
n
a (x - x0) ,
n
n=0
x0
x
gdzie jest zmienną, pewną ustaloną wartością
x
zmiennej , natomiast
a0 , a1 , a2 , ...
są to ustalone liczby rzeczywiste nazywane
współczynnikami szeregu .
x0 = 0
Dla szereg potęgowy przyjmuje postać :
Ą
(*)
a xn .
n
n=0
Uwaga 3.1
Ą
a xn = a0x0 + a1x1+a2x2 +... =
n
n=0
= a0 + a1x + a1x2 +...
(*) jest zbieżny i ma sumę
x = 0
Dla szereg
S = a0 .
53
x
X
Niech oznacza zbiór wszystkich punktów ,
(*) jest zbieżny.
dla których szereg
Z ={ x : x X}.
Niech
supZ
Z
Oznaczmy przez kres górny zbioru , a przez
inf Z Z
kres dolny zbioru .
0 Z inf Z = 0
Ponieważ to .
Mamy zatem
0 Ł supZ Ł +Ą,
supZ = +Ą jeżeli zbiór jest
Z
przy czym
nieograniczony z góry.
Definicja 3.2
R = supZ
(*)
nazywamy promieniem zbieżności szeregu .
Możliwe są następujące przypadki :
(*) jest zbieżny tylko
R = 0
(1) Jeżeli to szereg
x (- Ą , 0 )( 0 , + Ą)
x = 0
dla . Dla
(*) jest rozbieżny.
szereg
(*)
0 < R < +Ą
(2) Jeżeli to szereg jest
x (- R , R ) i rozbieżny dla
zbieżny dla
54
x (- Ą , - R )( R , + Ą). Dla
x = -R
(*) może być zarówno
x = R
lub szereg
zbieżny jak i rozbieżny. Należy zatem
przeprowadzić badanie zbieżności szeregów
liczbowych
Ą Ą
n
a (- R) oraz a Rn .
n n
n=0 n=0
(*) jest zbieżny dla
R = +Ą
(3) Jeżeli to szereg
x (- Ą , Ą ).
każdego
(*)
R > 0
Jeżeli to szereg jest zbieżny w pewnym
przedziale, który nazywamy przedziałem zbieżności
(*).
szeregu
Twierdzenie 3.1
Jeżeli istnieje granica
an+1
lim = g , an ą 0
nĄ
an
to
0 gdy g = +Ą
1
R = gdy 0 < g < +Ą
ż
g
.
+ Ą gdy g = 0
55
Uwaga 3.2
an+1
n
lim = lim an
.
nĄ
an nĄ
Zadanie 3.1
Znajdz promień zbieżności oraz przedział zbieżności
szeregu :
Ą
2n xn
.
n +1
n=0
Rozwiązanie
2n+! 2n2
an+1 = =
,
(n +1)+1 n + 2
2n2
an+1 2(n +1)
n + 2
lim = lim = lim = 2 = g
nĄ nĄ
2n
an nĄ n + 2
n +1
1 1
R = =
Promień zbieżności .
g 2
n
Ą
(-1)
-1
x =
Dla otrzymujemy szereg liczbowy .
n +1
2
n=0
56
Jest to szereg naprzemienny, jego zbieżność zbadamy
za pomocą kryterium Leibniza.
1
lim = 0
(1) ,
nĄ
n +1
1 1
"n ł 0 an+1 = < = an .
(2)
n + 2 n +1
Z warunku (2) wynika, że ciąg
1
(an): an =
n +1
jest nierosnący.
n
Ą
-1)
(n +1 < Ą .
Zatem z (1) i (2) mamy
n=0
Ą
1
1
x =
Dla otrzymujemy szereg liczbowy .
n +1
2
n=0
Zbieżność tego szeregu zbadamy za pomocą kryterium
porównawczego.
1
lim = 0
(1) ,
nĄ
n +1
57
1 1
"n > 0 ł
(2) ,
n +1 2n
Ą Ą Ą
1
> 0
1 > Ą 1 1 =
(3) .
n 2 n 2n
n=0 n=0 n=0
Ą
1
> Ą
Z (2) i (3) wynika, że .
n +1
n=0
Zatem przedział zbieżności badanego szeregu to
1 1
< - , >
przedział .
2 2
X
W przedziale , w którym szereg potęgowy
Ą
(*)
a xn
n
n=0
S(x)
jest zbieżny to ma sumę, którą jest pewna funkcja
ciągła wewnątrz tego przedziału.
Fakt ten będziemy zapisywać symbolicznie za pomocą
równości :
Ą
S(x).
=
a xn
n
n=0
X
58
Szczególnym przypadkiem szeregu potęgowego jest
szereg postaci :
Ą
n
x .
n=0
Nazywamy go szeregiem geometrycznym. Szereg
geometryczny jest zbieżny w przedziale otwartym
(-1,1 ). Sumą szeregu geometrycznego w tym
przedziale jest funkcja
1
S(x)=
.
1- x
Ą
1
n
x (-1 ) 1- x .
=
, 1
n=0
Zadanie 3.2
x0 = 0
Rozwiń w szereg potęgowy w punkcie funkcję :
x
f (x)=
.
1- 3x
59
Rozwiązanie
f (x) to znaczy
Rozwinąć w szereg potęgowy funkcję
Ą
a xn dla, którego
n
znalezć taki szereg potęgowy
n=0
f (x) jest jego sumą.
funkcja
Ą Ą
x 1
n
n
f (x)= = x = x
(3x) = x3 xn =
1- 3x 1-(3x)
n=0 n=0
Ą Ą
n n-1
=
3 xn+1 = 3 xn
n=0 n=1
dla
1 1
3x (-1,1 ) x ć- ,
.
3 3
Ł ł
Zadanie 3.3
x0 = 0
Rozwiń w szereg potęgowy w punkcie funkcję :
1
f (x)=
.
2 + x
60
Rozwiązanie
n
Ą
1 1 1 1 x
f (x)= = = - =
ć 2
x
2 + x 2 2
ć
Ł ł
n-0
1- -
2
Ł ł
Ą
1 xn Ą xn
n n
=
(-1) 2n = (-1) 2n+1
2
n=0 n=0
dla
x
- (-1,1 ) x (- 2 , 2 ) .
2
Twierdzenie 3.2
x
Jeżeli należy do wnętrza przedziału zbieżności
szeregu potęgowego
Ą
a xn
n
n=0
to
'
Ą Ą
ć
=
a xn na xn-1
n n
.
Ł n=0 ł n=1
Twierdzenie 3.2 mówi, że szereg potęgowy można
różniczkować wyraz po wyrazie.
61
Zadanie 3.4
Znajdz przedział zbieżności oraz sumę wewnątrz
przedziału zbieżności szeregu :
Ą
xn
.
n +1
n=0
Rozwiązanie
(-1,1 ) jest
Aatwo sprawdzić, że przedział
przedziałem zbieżności tego szeregu.
' '
Ą
ć ć
xn+! x2 x3 xn+1
= x + + +...+ +... =
n +1 2 3 n +1
n=0
Ł ł Ł ł
Ą
1
n
= (1+ x + x2 +...+ xn +...)=
x = 1- x
n=0
stąd
Ą
xn+1 x 1
x
= [- ]
1- t dt = ln1- t = -ln1- x .
0
n +1
n=0
0
x ą 0
Dla mamy
Ą Ą
xn 1 xn+1 - ln1- x
= =
.
n +1 x n +1 x
n=0 n=0
62
x = 0
Dla mamy
Ą
xn
= 0
n +1
n=0
Odp.
- ln1- x
Ą
xn
dla x ą 0
x
=
n +1
(-1 , 1 )
n=0
0
dla x = 0
Twierdzenie 3.3
x
Jeżeli należy do wnętrza przedziału zbieżności
szeregu potęgowego
Ą
a xn
n
n=0
to
x
Ą Ą
anxn+1
ć
a tn dt =
n
.
n +1
Ł n=0 ł n=1
0
Twierdzenie 3.3 mówi, że szereg potęgowy można
całkować wyraz po wyrazie.
63
Zadanie 3.5
Znajdz przedział zbieżności oraz sumę wewnątrz
przedziału zbieżności szeregu :
Ą
(n +1) xn .
n=0
Rozwiązanie
(-1,1 ) jest
Aatwo sprawdzić, że przedział
przedziałem zbieżności tego szeregu.
x
Ą Ą
ć xn+1 Ą n+1
(n +1)tn dt = (n +1)n +1 = x =
Ł n=0 ł n=0 n=0
0
Ą
1 x
n
= x
x = x1- x = 1- x
n=0
Stąd
'
'
x
Ą Ą
ć
=
(n +1)xn = ć(n +1)tn dt = ć x x
Ł1- ł
n=0 Ł n=0 ł
Ł 0 ł
(1- x)- x(-1) 1
= =
2 2
(1- x) (1- x)
64
Odp.
Ą
(n +1)xn (-1 ) (1-1x) .
= 2
, 1
n=0
Wykorzystując własności szeregów potęgowych
możemy obliczać sumy szeregów liczbowych .
Zadanie 3.6
Oblicz sumę szeregu liczbowego
Ą
n + 2
4n .
n=0
Rozwiązanie
Ą
(n + 2) xn jest zbieżny w
Szereg potęgowy
n=0
1
(-1,1 ). Dla x = 4
przedziale otwartym
Ą
n + 2
otrzymujemy szereg liczbowy
4n .
n=0
65
x
Ą Ą
ć xn+2 Ą n+2
(n + 2)tn+1 dt = (n + 2)n + 2 = x =
Ł n=0 ł n=0 n=0
0
Ą
1 x2
n
= x2
x = x2 1- x = 1- x
n=0
x ą 0
Dla mamy
'
x
Ą Ą Ą
(n + 2)xn = 1 (n + 2)xn+1 = 1ć ć(n + 2)tn+1 dt =
x x 0 Ł n=0
n=0 n=0 ł
Ł ł
'
ć
ć
1 x2 1 2x(1- x)- x2(-1) = 1 x(2 - x) 2 - x
= = =
2 2 2
1- x
x x x
(1- x) (1- x) (1- x)
Ł ł
Ł ł
Zatem
Ą
2 x
(n + 2)xn (-1 ) (1--x) .
= 2
, 1
n=0
Stąd
1
2 -
Ą
n + 2 7 16 28
4
= = =
2
4n 4 9 9
n=0 1
ć1-
.
4
Ł ł
66
Zadanie 3.7
x0 = 0
Rozwiń w szereg potęgowy w punkcie
następujące funkcje :
f (x)= ex ;
(1)
Ą
xn
ex
=
odp.
n!
(-Ą , +Ą)
n=0
f (x)= sin x
(2) ;
Ą
x2n+1
n
sin x
(-1) (2n +1)!
=
odp.
(-Ą , +Ą)
n=0
f (x)= cos x
(3) ;
Ą
x2n
n
cos x
(-1) (2n)!
=
odp.
(-Ą , +Ą)
n=0
f (x)= ln(1+ x) ;
(4)
Ą
n-1
ln(1+ x)
(-1) xn
=
odp.
n
(-1 , 1 >
n=1
a
f (x)= (1+ x)
(5) ;
Ą
a
a
n
(1+ x)
ćn
=
x
odp.
(-1 , 1 )
n=0
Ł ł
67
n = 0 ,1, 2 , ... to wzór (5) jest
w przypadku, gdy
x (- Ą , + Ą ).
dla prawdziwy dla
Zadanie 3.8
x0 = 0
Rozwiń w szereg potęgowy w punkcie
następujące funkcje :
Ą
1
1 n
f (x)=
(-1) xn
=
(1)
x +1
x +1 ; odp. (-1 , 1 )
n=0
Ą
1 1
f (x)=
(n +1)xn
2 2 =
(2) ; odp.
(1- x) (1- x)
(-1,1 )
n=0
Ą
1
1 n
f (x)=
(-1) x3n
=
(3) ; odp.
x3 +1
x3 +1 (-1 , 1 )
n=0
Ą
1+ x 2x2n+1
1+ x
ln
f (x)= ln
=
(4) ; odp.
1- x 2n +1
1- x (-1 , 1 )
n=0
Ą
2
n
2
(-1) x2n
=
f (x)= e-x ; odp. e-x (-Ą , +Ą)
(5)
n!
n=0
2n+1
Ą
sinh x
(2x +1)!
f (x)= sinh x =
(6) ; odp.
n
(-Ą , +Ą)
n=0
68
Ą
x2n
cosh x
(2n)!
f (x)= cosh x =
(7) ; odp.
(-Ą , +Ą)
n=0
Zadanie 3.9
Znajdz przedział zbieżności oraz sumę wewnątrz
przedziału zbieżności następujących szeregów :
Ą
2n xn
1 1
< - , )
(1) ; odp.
n +1
2 2
n=0
1
ln 2 dla x = -
2
1
S(x)= dla x = 0
1 1 1
ln dla 0 < x <
2
2x 1- 2x
Ą
5 5
< - , )
5 3n xn ; odp.
n
(2)
(n +1)
3 3
n=0
5
ln 2 dla x = -
3
1
S(x)= dla x = 0
5 5 5
ln dla 0 < x <
3
3x 5 - 3x
69
Ą
12 - x
S(x)= 6
(n + 2)xn ; odp.
(-6 , 6 ) 2
(3) ,
6n (6 - x)
n=0
Ą
+1)xn 4 + x
S(x)= 4
(2n4
(-4 , 4 ) 2
n
(4) ; odp. ,
(4 - x)
n=0
Ą
n(n +1)xn 8x
S(x)=
(-2 , 2 ) 3
(5) ; odp. ,
2n (2 - x)
n=0
Ą
xn
< -1,1 >
(6) ; odp.
n(n + 2)
n=0
1
- 4 dla x = -1
dla x = 0
0
S(x)=
ć
1 1 x2 x
(1- x2)ln(1- x)+ + dla 0 < x <1
x2 2 4 2
Ł ł
3
dla x =1
4
70
4 Szereg trygonometryczny Fouriera
{jn(x)} taki , że :
Dany jest ciąg funkcyjny
j0(x) = 1
( 1 )
oraz
np x np x
j2n-1(x) = cos j2n(x) = sin
i
l l
n = 1,2 , ...
dla
l
gdzie jest pewną liczbą dodatnią.
f (x) będzie pewną funkcją całkowalną w
Niech
- l , l
przedziale .
Liczby :
l
1
a0 = f (x)dx
,
l
-l
l l
1 np x 1 np x
an = f (x)cos dx bn = f (x)sin dx
,
l l l l
-l -l
n = 1,2 , ...
gdzie
71
f (x)
nazywamy współczynnikami Fouriera funkcji
względem układu ( 1 ) .
Definicja 4.1
Szereg
a0 Ą
+
ća cos np x + bn sin np x
n
2 l l
Ł ł
n=1
nazywamy szeregiem trygonometrycznym Fouriera
- l , l
f (x) w przedziale
funkcji
i zapisujemy :
a0 Ą
f (x)~ +
.
ća cos np x + bn sin np x
n
2 l l
Ł ł
n=1
f (x0 -) granicę lewostronną
Oznaczmy przez
x0
f (x) punkcie ,
funkcji
f (x0 +) granicę prawostronną .
a przez
Definicja 4.2
f (x) spełnia w przedziale
Mówimy , że funkcja
- l , l
warunki Dirichleta jeżeli :
72
f (x) jest przedziałami monotoniczna w
(1)
- l , l
przedziale ,
- l , l
f (x) jest ciągła w przedziale
( 2 ) , z
wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby
punktów nieciągłości , przy czym w każdym
x0
punkcie nieciągłości istnieją granice
jednostronne właściwe oraz spełniony jest
warunek :
1
f (x0)= [ f (x0 -)+ f (x0 +) ],
2
- l , l
( 3 ) w końcach przedziału spełnione są
równości :
1
f (- l)= f (l)= [ f (- l +)+ f (l -) ]
.
2
Twierdzenie 4.1 ( Dirichleta )
- l , l
f (x) spełnia w przedziale
Jeżeli funkcja
warunki Dirichleta to
jest w tym przedziale rozwijalna w szereg
trygonometryczny Fouriera
to znaczy
73
a0 Ą
(*) f (x)= +
ća cos np x + bn sin np x
n
2 l l
Ł ł
n=1
x - l , l
dla każdego .
f (x) jest funkcją okresową o
Ponadto jeżeli funkcja
(*) jest prawdziwa dla
2l
okresie to równość
x Df .
każdego
Uwaga 4.1
f (x) jest parzysta to
Jeżeli funkcja
bn = 0
n = 1 ,2 , ...
dla
i wtedy
a0 Ą
f (x)= +
a cos np x .
n
2 l
n=1
f (x) jest nieparzysta to
Jeżeli funkcja
a0 = 0 i an = 0
n = 1 ,2 , ...
dla
i wtedy
Ą
f (x)=
b sin np x .
n
l
n=1
74
Zadanie 4.1
Rozwiń w szereg trygonometryczny Fouriera funkcję :
-1 dla x(-p , 0)
0 dla x{-p , 0 , p}
f (x)=
1 dla x(0 , p
)
Rozwiązanie
f
Wykres funkcji wygląda następująco :
Y
1
-p
0
p
X
-1
75
f
Z wykresu funkcji możemy odczytać , że funkcja
spełnia warunki Dirichleta w przedziale domkniętym
- l , l
f
oraz , że jest funkcją nieparzystą.
Zatem
an = 0 dla
a0 = 0
n = 1, 2 , ...
i
Obliczamy współczynniki
bn dla
n = 1, 2 , ...
l p
2 np x 2 np x
bn = f (x)sin dx ==
1sin p dx =
l l p
0 0
p
p
2 2 1 - 2
ć
= = cos(np )ł -
ś ęnp
ęp
sin(nx)dx = - n cos(nx)ł
ś
p
Ł ł
0
0
- 2 2
n
- = [1-(-1) ] .
ęnp cos 0ł np
ś
Stąd
0 dla n parzystych
bn =
4
np dla n nieparzystych
76
Ponieważ każdą liczbę nieparzysta można zapisać w
postaci :
2n -1 dla n = 1, 2 , ...
to
4
bn =
n = 1, 2 , ...
dla
(2n -1)p
Zatem
Ą
(*) f (x)=
b sin np x =
n
l
n=1
Ą Ą
4 (2n -1)p x 4 1
= sin =
(2n -1)p p p (2n -1)sin(2n -1)x .
n=1 n=1
x -p , p
(*) jest prawdziwy dla każdego
Wzór
p
x =
a wiec również dla .
2
p
ć
f = 1
Ponieważ
2
Ł ł
Zatem
Ą Ą
4
n+1
1 = =
(2n1-1)sin(2n -1)p 4 (2n1-1)(-1) .
p 2 p
n=1 n=1
77
Stąd
n+1
Ą
-1
(**) p = 4
((2n) = 4ć1- 1 + 1 - 1 + ... .
-1) 3 5 7
Ł ł
n=1
(**) był pierwszym historii matematyki
Wzór
p
rozwinięciem liczby w szereg liczbowy .
Zadanie 4.2
Rozwiń w szereg trygonometryczny Fouriera
następujące funkcje :
f (x) = x
< -p , p >
( a ) w przedziale
Ą
p 4 2
x = -
cos(nn -1)x
2
Odp.
2 p
(2 -1)
n=1
f (x) = x (-p , p )
( b ) w przedziale
Ą
n-1
x = 2
(-1) sin nx
Odp.
n
n=1
78
f (x) = x2 w przedziale < -1,1 >
( c )
Ą
1 4
n
x2 = +
(-1) cos npx
2
Odp.
3 p n2
n=1
5 Postać trygonometryczna szeregu Fouriera
Niech
a0 Ą
(*) +
ća cos np x + bn sin np x
n
2 l l
Ł ł
n=1
będzie szeregiem trygonometrycznym Fouriera funkcji
- l , l
f (x) w przedziale
.
Ze wzoru Eulera
eia := cosa + isina
mamy
npx
i
npx npx
l
e = cos + i sin
l l
npx
-i
npx npx
l
e = cos - isin
.
l l
79
Stąd
npx npx
i -i
ć
npx 1
l l
cos =
e + e
l 2
Ł ł
npx npx
i -i
ć
npx 1
l l
sin =
e - e
l 2i
Ł ł.
Zatem
npx npx an - ibn i npx an + ibn -i npx
l l
an cos + bn sin = e + e
.
l l 2 2
Wprowadzmy następujące oznaczenia :
a0 an - ibn an + ibn
c0 = cn = c-n =
, , ;
2 2 2
n =1, 2 , ...
gdzie .
(*) zapisać w postaci :
Możemy zatem szereg Fouriera
npx npx
Ą
i -i
ć
l l
c0 +
c e + c-ne
n
n=1
Ł ł
albo krótko
80
npx
Ą
i
l
(**)
c e
n
-Ą
(**) nazywamy postacią zespoloną szeregu
Postać
trygonometrycznego Fouriera ,albo zespolonym
szeregiem Fouriera.
cn
(**) współczynniki
Występujące we wzorze
obliczamy ze wzoru :
l npx
-i
1
l
cn = f (x)e dx
n = 0 , ą1, ą 2 , ... .
, gdzie
2l
-l
f (x) o okresie
2l
Dla funkcji okresowej
2l npx
-i
1
l
cn = f (x)e dx
n = 0 , ą1, ą 2 , ... .
, gdzie
2l
0
- l , l
f (x) spełnia w przedziale
Jeżeli funkcja
warunki Dirichleta to
npx
Ą
i
l
f (x)=
c e .
n
-Ą
81
Zadanie 5.1
Rozwinąć w szereg zespolony Fouriera funkcję :
A
dla x = 0
2
A
f (x)= x dla 0 < x < T
T
A
dla x = T
2
A
gdzie jest stałą większą od zera ,
oraz
"xR f (x +T)= f (x) .
Rozwiązanie
f (x) jest funkcją okresową o okresie równym
Funkcja
T
.
2l = T
Mamy zatem .
82
T
ł
2npx
-i
ę ś
T 2npx
T
-i
1 A A e 2np
ć
T
ę
cn = xe dx = - i x -1ś =
2
ęć 2np 2 Ł
T T T T
łś
0
- i
ę ś
T
Ł ł
0
T
2npx
-i
ł
- A 2np
ć
=
ęe T - i T x -1ś =
2
4n2p
Ł ł0
- A - A i A
= [e-i2np (- i 2np -1)+1]= (- i 2np )=
2 2
4n2p 4n2p 2np
n = ą1, ą 2 , ... .
dla
n = 0
Dla mamy
T
T
2
ł
1 A A x2 A T A
c0 = x dx = = =
ę ś
2 2
T T T 2
0 T 2 2 .
0
Stąd
2npx
+Ą
i
A i A
T
f (x) = + e
2 2np .
-Ą
(ną0)
83
u(t) będzie funkcją okresową o okresie ,
T
Niech
rozwijalną w zespolony szereg Fouriera .
Zatem
2np t
+Ą +Ą
i
nw t
T
u(t)= =
c e c ei ,
n n
-Ą -Ą
gdzie
2p
w =
.
T
2p
w =
Liczbę nazywamy pulsacją funkcji
T
okresowej
+Ą
nw t
u(t)=
c ei .
n
-Ą
Definicja 5.1
Ciąg liczb
{An} gdzie
n = 0 , ą1, ą 2 , ...
takich, że
An = cn
nazywamy widmem amplitudowym funkcji okresowej
+Ą
nw t
u(t)=
c ei .
n
-Ą
89
cn
cn
Symbol oznacza moduł liczby zespolonej .
Definicja 5.2
Ciąg liczb
{Fn} gdzie
n = 0 , ą1, ą 2 , ...
takich, że
arg cn gdy Imcn ą 0
0
Fn = gdy cn ł 0
p sgn n gdy cn < 0
nazywamy widmem fazowym funkcji okresowej
+Ą
nw t
u(t)=
c ei .
n
-Ą
arg cn oznacza argument główny liczby
Symbol
cn -p < arg cn Ł p
zespolonej , zatem .
Imcn oznacza część urojoną liczby zespolonej
Symbol
cn .
-1 dla n < 0
0 dla n = 0
sgn n =
1 dla n > 0
90
Zadanie 5.2
Znajdz widmo amplitudowe i widmo fazowe funkcji z
zadania 5.1.
Rozwiązanie
A
dla n = 0
2
cn =
i A dla n ą 0
2np
{An} takim, że
Stąd widmo amplitudowe jest ciągiem
A
dla n = 0
2
An =
A
dla n ą 0
2 n p
A
c0 = > 0 to F0 = 0 .
Ponieważ
2
A
cn = i
n ą 0
Dla mamy .
2np
Stąd
91
p
- 2 dla n < 0
arg cn =
p
dla n > 0
2
{Fn} takim, że
A zatem widmo fazowe jest ciągiem
p
- 2 dla n < 0
Fn = dla n = 0
0
p
dla n > 0
2
Zadanie 5.3
Rozwiń w zespolony szereg Fouriera funkcję :
T
0
dla t =
2
u(t)=
sgn t dla t < T
2
oraz
"t R u(t +T)= u(t).
Wyznacz widmo amplitudowe i widmo fazowe tej
funkcji.
92
6 Transformacja Fouriera
Twierdzenie 6.1
f (x) spełnia dwa pierwsze warunki
Jeżeli funkcja
( a,b )
Dirichleta w każdym przedziale skończonym
+Ą
f (x)dx
oraz całka niewłaściwa jest zbieżna to dla
-Ą
x(- Ą,+ Ą )
każdego
+Ą +Ą
1
(*) f (x)= f (t )cos[w(x -t )]dt
dw
.
p
0 -Ą
(*) nazywamy wzorem całkowym Fouriera.
Wzór
Ponieważ
cos[w(x -t)]= coswxcoswt + sinwxsinwt
(*) przyjmuje postać
to wzór
+Ą +Ą +Ą
ł
1
f (x)= f (t )coswt dt + sinwx f (t )sinwt dt dw
ę ś
coswx
p
0 -Ą -Ą
93
Wprowadzając następujące oznaczenia :
+Ą
1
a(w)= f (t )coswt dt
p
-Ą
+Ą
1
b(w)= f (t )sinwt dt
p
-Ą
(*) do postaci
sprowadzamy wzór całkowy Fouriera
+Ą
(**) f (x)=
[a(w)coswx + b(w)sinwx]dw
0
(**) nazywamy całką
Całkę po prawej stronie wzoru
Fouriera.
a(w) jest parzysta a
Aatwo sprawdzić, że funkcja
b(w) jest nieparzysta.
funkcja
Zatem
f (x) jest parzysta to
- jeżeli funkcja
+Ą
2
a(w)= f (t )coswt dt
b(w)= 0
i
p
0
94
oraz
+Ą
(1) f (x)=
a(w)coswx dw
0
f (x) jest nieparzysta to
- jeżeli funkcja
+Ą
2
b(w)= f (t )sinwt dt
a(w)= 0
i p
0
oraz
+Ą
( 2 ) f (x)=
b(w)sinwx dw .
0
Zadanie 6.1
Przedstaw za pomocą wzoru całkowego Fouriera
funkcję
4 dla x < 3
f (x)=
2 dla x = 3
0 dla x > 3
a następnie korzystając z tego wzoru oblicz całkę
niewłaściwą
95
+Ą
1
w sin 3w dw
.
0
Rozwiązanie
Wykres tej funkcji wygląda następująco :
Y
4
2
0
-3
3
X
f (x) jest
Z wykresu możemy odczytać, że funkcja
parzysta.
b(w)= 0
Mamy zatem i
+Ą 3
2 2
a(w)= f (t )coswt dt =
4coswt dt =
p p
0 0
3
2 4 8
ł
= = sin 3w
ęw sinwt ś
p
0 pw
96
a(w) do wzoru (1)
Podstawiając obliczoną wartość
otrzymamy
+Ą
8 1
f (x)=
w sin 3w coswx dw .
p
0
x = 0
Dla mamy
+Ą
8 1
4 =
w sin 3w dw
p
0
stąd
+Ą
1 p
w sin 3w dw = 2 .
0
Wzór całkowy Fouriera
+Ą +Ą
1
(*) f (x)= f (t )cos[w(x -t )]dt
dw
p
0 -Ą
możemy zapisać w równoważnej mu postaci
+Ą +Ą
1
iw x
(***) f (x)= f (t )e-iw xdt
e dw
.
p
-Ą -Ą
97
(***) nazywamy wzorem całkowym Eulera
Wzór
w postaci zespolonej.
Jeżeli prowadzimy oznaczenie
+Ą
1
F(iw)= f (t )e-iw xdt
2p
-Ą
(***) możemy zapisać w postaci :
to wzór
+Ą
1
iw x
(****) f (x)=
e F(iw)dw
.
2p
-Ą
(***) przyporządkowuje funkcji f (x)
Wzór
F(iw) zmiennej
x
zmiennej rzeczywistej funkcję
iw
urojonej .
Przyporządkowanie to nazywamy prostym
f (x) i
przekształceniem Fouriera funkcji
oznaczamy symbolem F . Zatem
F(iw)= F[f (x)].
F(iw) nazywamy transformatą Fouriera
Funkcję
f (x).
funkcji
98
(****) określa tzw. odwrotne przekształcenie
Wzór
Fouriera, które przyporządkowuje
F(iw) zmiennej urojonej funkcję f (x)
iw
funkcji
x
zmiennej rzeczywistej .
-1
Przekształcenie to oznaczamy symbolem F . Zatem
-1
f (x)= F [F(iw)].
Zadanie 6.2
Oblicz transformatę Fouriera funkcji
x dla x <1
1
f (x)= sgn x dla x =1
2
0 dla x >1
Rozwiązanie
Wykres tej funkcji wygląda następująco :
99
Y
1
2
-1
0
X
1
1
-
2
[f (x)]=
F
1 1 1
= F(iw)= xe-iwx dx = x coswx dx - i x sinwx dx =
-1 -1 -1
1
1
coswx sinwx
ł
= 0 - 2i xsinwx dx = -2i- x + =
ę
w w2 ś
0
0
cosw sinw 2i
= -2ić- + = (w coswx - sinwx)
w w2 ł w2
Ł
100
Przekształcenie Fouriera posiada następujące
własności :
[a f1(x)+ b f2(x)]= F[f1(x)]+ b [f2(x)]
a
1 F F
f1(x) i f2(x) są to funkcje spełniające
gdzie
b
a
założenia twierdzenia Fouriera, zaś i
są dowolnymi liczbami rzeczywistymi.
k
d (F(iw))
k
= (- i)
[xk f (x)] , k =1, 2 , ... , n
2 F
dwk
xn f (x),
n N
gdzie jest funkcją spełniającą
założenia twierdzenia Fouriera.
0
[f (x - x0)] =
[f (x)]
e-iwx
3 F F
f (x) jest funkcją spełniającą
gdzie
x0
założenia twierdzenia Fouriera, zaś
jest dowolną liczbą rzeczywistą.
101
0
F[i(w -w0)]
[eiw x f (x)]
4 F =
f (x) jest funkcją spełniającą
gdzie
w0
założenia twierdzenia Fouriera, zaś
jest dowolną liczbą rzeczywistą.
'
[f (x)] = F[f (x)]
iw
5 F
'
f (x) i jej pochodna f (x) spełniają
gdzie funkcja
założenia twierdzenia Fouriera oraz
lim f (x)= lim f (x)= 0
.
x-Ą x+Ą
Zadanie 6.3
Oblicz transformaty Fouriera następujących funkcji :
f (x)=1 x< -1,1>
(a)
f (x)= x x< -1,1>
(b)
1
f (x)= [sgn(x -1)- sgn(x - 3)]
(c)
2
102
7 Transformacja Laplace a
Definicja 7.1
f (x) zmiennej
Oryginałem nazywamy funkcję
x
rzeczywistej spełniającą następujące warunki :
"x < 0 f (x)= 0
1.
f (x) spełnia dwa pierwsze warunki
2. funkcja
Dirichleta w każdym otwartym przedziale
skończonym
$M > 0 $l ł 0 "x f (x) Ł Melx
3. .
Definicja 7.1
Transformacją (przekształceniem) Laplace a
L
nazywamy przekształcenie , które każdemu
f (x) przyporządkowuje funkcję
oryginałowi
F(s) zmiennej zespolonej wzorem
s
zespoloną
+Ą
F(s)= f (x)e-sxdx
,
0
s = a + bi
gdzie .
Zatem
F(s)= L[f (x)]= L[f ]
103
F(s) nazywamy obrazem albo transformatą
Funkcję
f (x).
Laplace a oryginału
Zadanie 7.1
Znajdz obraz funkcji jednostkowej
1 dla x ł 0
1(x)=
0 dla x < 0 .
Rozwiązanie
A
+Ą
ł
e-sx
L(1)= F(s)= e-sxdx = lim =
ę ś
1
A+Ą
- s
0
0
ć
e-sA 1 1 1
.
= lim + = 0 + =
A+Ą
- s s s s
Ł ł
Uwaga 7.1
f (x) spełnia warunki 2 i 3 definicji 7.1
Jeżeli funkcja
a nie spełnia warunku 1 to funkcja
1(x) f (x)
jest już oryginałem.
1(x)eax ,
Na przykład oryginałami są funkcje :
1(x)sin bx 1(x) xn .
,
104
1(x)eax
Jednak mając na uwadze funkcję np.
eax
będziemy pisać krótko .
Poniżej znajduje się lista transformat Fouriera kilku
funkcji
1
(1) L[1]= F(s)=
s
n!
(2) L[xn]= F(s)=
sn+1
1
(3) L[eax]= F(s)=
s - a
s
( 4) L[cosbx]= F(s)=
s2 + b2
b
(5) L[sin bx]= F(s)= b ą 0
s2 + b2
Przekształcenie Laplace a posiada następujące
własności :
L[c1 f1 + c2 f2]= c1 L[f1]+ c2 L[f2] ,
W.1
f1 i f2 są to oryginały, a c1 i c2
gdzie
dowolne stałe rzeczywiste.
105
'
f (x) funkcji f (x) jest
W.2 Jeżeli pochodna
oryginałem to
'
L[f (x)]= sL[f (x)]- f (0 +)
gdzie
f (0 +)= lim f (x).
x0+
(n)
f (x) , rzędu , funkcji
n
W.3 Jeżeli pochodna
f (x) jest oryginałem to
(n) '
L[f (x)]= snL[f (x)]- sn-1 f (0 +)- sn-2 f (0 +)-
'' (n-1)
- sn-3 f (0 +)- ... - f (0 +)
x ł
1
Lę f (t)dtś = L[f (x)] .
W.4
s
0
L[f (x)]= F(s) to
W.5 Jeżeli
L[- xf (x)]= F'(s) .
L[f (x)]= F(s) to
W.6 Jeżeli
n
L[(-1) xn f (x)]= F(n)(s) .
106
f (x)
W.7 Jeżeli funkcja jest oryginałem oraz
x
L[f (x)]= F(s) to
+Ą
f (x)
ł
L =
F(s)ds .
ę ś
x
s
L[f (x)]= F(s) to
W.8 Jeżeli
1 s
L[f (ax)]= Fć
a a
Ł ł
a > 0
gdzie .
L[f (x)]= F(s) to
W.9 Jeżeli
L[f (x - a)]= e-asF(s)
a > 0
gdzie .
L[f (x)]= F(s) to
W.10 Jeżeli
L[epx f (x)]= F(s - p) .
p
gdzie jest dowolną liczbą zespoloną.
107
L[f (x)]= F(s) to
W.11 Jeżeli
lim f (x)= lim sF(s) .
s+Ą
x0+
L[f (x)]= F(s) oraz istnieje
W.12 Jeżeli
lim f (x) to
granica
x+Ą
lim f (x)= lim sF(s)
x+Ą s0
Zadanie 7.2
s
L[cos bx]=
Wiedząc, że .
s2 + b2 wyznacz L[sin bx]
Rozwiązanie
b ą 0
Dla
-1
'
sin bx = -bć sin bx = -b(cos bx)
.
b
Ł ł
Z własności W.1 i W.2 mamy
108
' '
L[sin bx]= L[- b(cos bx)]= -bL[(cos bx)]=
ć
s2
)
= -b(sL(cos bx)- lim cos bx = -b -1 =
x0+
s2 + b2 ł
Ł
.
ć ć
s2 - s2 - b2 - b2 b
= -b = -b =
s2 + b2 s2 + b2 s2 + b2
Ł ł Ł ł
Zadanie 7.3
Wykorzystując własności przekształcenia Laplace a
wyznacz obrazy ( transformaty Laplace a )
następujących funkcji :
f (x)= eax gdzie jest liczbą rzeczywistą
a
(a)
f (x)= xn gdzie jest naturalną
n
(b)
f (x)= e + x3 - 2
(c)
f (x)= xcos x
(d)
e3x - e2x
f (x)=
(e) .
x
Rozwiązanie
(a)
W własności W.10 oraz wzoru
109
1
(1) L[1]= F(s)=
s
mamy
1
L[eax]= L[eax 1]= F(s - a)=
.
s - a
Zatem
1
L[eax]=
s - a
(b)
Z własności W.1 i W.6 oraz wzoru
1
(1) L[1]= F(s)=
s
mamy
(n)
1 1 1
ć
n
L[xn]= L[(-1) xn 1]= F(n)(s)= =
n n
s
(-1) (-1)
Ł ł
n
1 (-1) n! n!
= = .
n
sn+1 sn+1
(-1)
Zatem
n!
L[xn]=
sn+1 .
(c)
Z własności W.1 oraz wzorów
110
1 n! 1
(1) L[1]= (2) L[xn]= (3) L[eax]=
,
s sn+1 , s - a
mamy
1 6 2
L[ex + x3 - 2]= L[e]+ L[x2]- 2L[1]= + -
s -1 s4 s
(d)
Z własności W.1 i W.5 oraz wzoru
s
( 4) L[cosbx]= F(s)=
s2 + b2
mamy
'
s
L[x cos x]= -L[- x cos x]= -F'(s)= -ć =
s2 +1ł
Ł
ć
s2 +1- 2s2 ć 1- s2 s2 -1
= - = - =
2 2 2
(s2 +1) (s2 +1) (s2 +1)
Ł ł Ł ł
(e)
Z własności W.1 oraz wzoru
1
(3) L[eax]= F(s)=
s - a
mamy
1 1
L[e3x - e2x]= L[e3x]- L[e2x]= -
s - 3 s - 2
Stąd z własności W.7
111
+Ą
ł
e3x - e2x +Ą 1 1
ć ds
Lę = L[e3x - e2x]ds =
ś
s - 3 - s - 2 =
x
Ł ł
s s
A
A
1 1 s - 3
ć ds ln ł
= lim
s - 3 - s - 2 = lim s - 2śs =
ę
A+Ą A+Ą
Ł ł
s
A - 3 s - 3 A - 3 ł s - 3
ćln ć
= lim - ln = lnęAlim - ln =
ś
A+Ą +Ą
A -1 s -1 A - 2 s - 2
Ł ł Ł ł
s - 3 s - 3 s - 2
= ln1- ln = - ln = ln
s - 2 s - 2 s - 3
Zadanie 7.4
Wyznacz transformaty Laplace a następujących
funkcji :
s + 2
f (x)= e-2x cos x ; odp. F(s)=
(1)
s2 + 4s + 5
2s
f (x)= xsin x ; odp. F(s)=
2
(2)
(s2 +1)
1
f (x)= sinh x ; odp. F(s)=
(3)
s2 -1
s2 + 2
f (x)= cos2 x ; odp. F(s)=
(4)
s(s2 + 4)
2
f (x)= sin2 x ; odp. F(s)=
(5)
s(s2 + 4)
112
L
Można udowodnić, że przekształcenie Laplace a
posiada przekształcenie odwrotne, które oznaczamy
L-1
symbolem .
L-1
Przekształcenie przyporządkowuje funkcji
F(s) zmiennej zespolonej jej oryginał,
s
zespolonej
f (x) zmiennej
to jest funkcję rzeczywistą
x
rzeczywistej .
Np.
1 1
ł
L-1
ęs -1ś = ex bo L[ex]= s -1
s s
L-1 2 ł = cosh x bo L[cosh x]=
ęs -1ś
s2 -1
L-1
Przekształcenie odwrotne jest też
przekształceniem liniowym tzn. posiada następującą
własność :
L-1[c1F1 + c2F2]= c1 L-1[F1]+ c2 L-1[F2] ,
V.1
c1 c2
F1 i F2 są to transformaty, a i
gdzie
dowolne stałe rzeczywiste.
Zadanie 7.5
1
F(s)=
Znajdz oryginał funkcji .
s2 + s
113
Rozwiązanie
1
F(s)=
Funkcję rozkładamy na ułamki proste.
s2 + s
1 1 1
F(s)= = -
s2 + s s s +1
Z własności V.1 oraz wzorów
1 1
(1) L[1]= F(s)= (3) L[eax]= F(s)=
i
s s - a
mamy
1 1 1 1 1
ł ł ł
L-1 2 ł = L-1 - - L-1
ęs + sś ęs s +1ś = L-1 ęs +1ś =
ęsś
ex -1
=1- e- x =
ex
Przykłady zastosowania transformacji Laplace a.
Zadanie 7.6
Znajdz rozwiązanie równania
(*) y'' - 3y' + 2y =12e3x
spełniające następujące warunki początkowe :
y(0)= 0 , y'(0)= 0
.
114
Rozwiązanie
(*) jest równaniem różniczkowym
Równanie
zwyczajnym liniowym o stałych współczynnikach, w
y(x). Stosując do obu
którym niewiadomą jest funkcja
(*) przekształcenie Laplace a mamy :
stron równania
L[y'' - 3y' + 2y] = L[12e3x]
L[y'']-3L[y']+ 2L[y] =12L[e3x]
12
s2L[y] - sy(0 +)- y'(0 +)- 3sL[y] + 3y(0 +)+ 2L[y] =
s - 3
y(x) i y'(x) wynika, że
Z ciągłości funkcji
y(0 +)= y(0)= 0 i y'(0 +)= y'(0)= 0
Zatem
12
s2L[y] - 3sL[y] + 2L[y] =
s - 3
12
(s2 - 3s + 2)L[y] =
s - 3
12 12
L[y] =
(s - 3)(s2 - 3s + 2)= (s - 3)(s -1)(s + 2)
115
Stąd
1 ł
y =12L-1ę =
(s - 3)(s -1)(s + 2)ś
1 -1 1
ł
ę ś
6 15
=12L-1ę 10 + + =
ęs - 3 s -1 s + 2ś
ś
6 1 1 4 1
ł ł ł
= L-1
ęs - 3ś - 2L-1 ęs +
ęs -1ś + 5 L-1 2ś =
5
6 4
= e3x - 2ex + e-2x
5 5
(*) jest funkcja
Zatem rozwiązaniem równania
6 4
y(x)= e3x - 2ex + e-2x .
5 5
Zadanie 7.7
Znajdz rozwiązanie układu równań różniczkowych
'
y + y - z = ex
(**)
'
z + 3y - 2z = 2ex
spełniające następujące warunki początkowe :
y(0)=1 , z(0)=1
116
Rozwiązanie
(**) jest układem dwóch równań
Układ
różniczkowych zwyczajnych liniowych o stałych
współczynnikach, w którym niewiadome są dwie
y(x) oraz z(x).
funkcje
(**)
Stosując do obu stron każdego równania układu
przekształcenie Laplace a mamy :
'
L[y + y - z] = L[ex]
'
L[z + 3y - 2z] = L[2ex]
'
L[y ] + L[y] - L[z] = L[ex]
'
L[z ] + 3L[y] - 2L[z] = 2L[ex]
1
sL[y] - y(0 +)+ L[y] - L[z] =
s -1
sL[z] - z(0 +)+ 3L[y] - 2L[z] = 2
s -1
y(x) i z(x) wynika, że
Z ciągłości funkcji
y(0 +)= y(0)=1 i z(0 +)= z(0)=1
117
Zatem
1
sL[y] -1+ L[y] - L[z] =
s -1
sL[z] -1+ 3L[y] - 2L[z] = 2
s -1
1
sL[y] + L[y] - L[z] =
+1
s -1
sL[z] + 3L[y] - 2L[z] = 2 +1
s -1
1
(s +1)L[y] - L[z] =
+1
s -1
(s - 2)L[z] + 3L[y] = 2 +1
s -1
1
L[z] = +1)L[y] -
(s -1
s -1
(s - 2)(s +1)L[y] - 1 -1ł + 3L[y] = 2 +1
ę ś
s -1 s -1
118
1
L[z] = +1)L[y] -
(s -1
s -1
[(s - 2)(s +1)+ 3]L[y] - s - 2 - s + 2 = 2 +1
s -1 s -1
1
L[z] = +1)L[y] -
(s -1
s -1
[(s - 2)(s +1)+ 3]L[y] = s - 2 + s - 2 + 2 +1
s -1 s -1
1
L[z] = +1)L[y] -
(s -1
s -1
(s
[(s - 2)(s +1)+ 3]L[y] = - 2)(s +1)+ 3
s -1
1
L[z] = +1)L[y] -
(s -1
s -1
L[y] = 1
s -1
1 1
L[z] = +1)
(s - -1
s -1 s -1
L[y] = 1
s -1
119
1
L[z] =
s -1
L[y] = 1
s -1
Stąd
1
ł
z = L-1
ęs -1ś = ex
x
y = L-1 1 ł e-
ęs -1ś =
(**) jest para funkcji :
Zatem rozwiązaniem układu
y = ex i
z = ex
.
Zadanie 7.8
Rozwiąż równanie różniczkowe przy danych warunkach
początkowych :
y'' - 2y' + y = x2ex ; y(0)= y'(0)= 0
(a)
1
y = x4ex
Odp.
12
y''' + 3y'' + 3y' + y = 6e-x ; y(0)= y'(0)= y''(0)= 0
(b)
y = x3e-x
Odp.
120
y'' -3y' + 2y =12e3x ; y(0)= 2 , y'(0)= 6
(c)
y = 6e3x -8e2x + 4ex
Odp.
(d)
y'' + 4y = 3sin x +10cos3x ; y(0)= -2 , y'(0)= 3
y = sin x + sin 2x - 2cos3x
Odp.
(e)
y'' - y = 4sin x + 5cos 2x ; y(0)= -1 , y'(0)= -2
y = -sin x - cos 2x
Odp.
y'' + y = cos x ; y(0)= y'(0)= 0
(f)
1
y = xsin x
Odp.
2
y'' - 2y' + 2y = 2ex cos x ; y(0)= y'(0)= 0
(g)
y = xex sin x
Odp.
y'' + 9y = 30cosh x ; y(0)= 3 , y'(0)= 0
(h)
y = 3cosh x
Odp. .
121
Zadanie 7.8
Rozwiąż układ równań różniczkowych przy danych
warunkach początkowych :
'
y + z = 0
; y(0)= z(0)=1
'
(a)
z - 2y - 2z = 0
y = ex(cos x - 2sin x) , z = ex(cos x + 3sin x)
Odp.
'
y - y - z = ex ; y(0)= 0 , z(0)=1
'
(b)
z + y - z = 0
y = 2ex sin x , z = ex(2cos x -1) .
Odp.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Biologia Molekularna Roślin skrypt do ćwiczeń (2002)Skrypt do ćwiczeń z analizy sensorycznej1Instrukcja do cwiczenia 4 Pomiary oscyloskopoweT2 Skrypt do lab OU Rozdział 6 Wiercenie 3Skrypt do U EMateriały pomocnicze do ćwiczenia nr 3 co powinien wiedzieć wnioskodawca (1)Skrypt do lab OU R7 Zaborski 3Chromatografia kolumnowa Instrukcja do cwiczeniakonspekty do ćwiczeńwięcej podobnych podstron