Schematy zastępcze linii
Schematy zastępcze linii
elektroenergetycznych
elektroenergetycznych
do obliczeń:
Rozpływów prądów
Spadków i strat napięcia
Prądów zwarciowych
Strat mocy i energii
Założenia
Założenia
1. Symetria obciążenia  każdy przewód prowadzi prąd o takiej
samej wartości skutecznej, a wektory prądów są przesunięte
względem siebie o 120�.
2. Symetria elementu  wszystkie przewody fazowe są
jednakowo wykonane i usytuowane względem siebie i
względem ziemi.
Każda faza układu pracuje tak samo, schemat
zastępczy jest schematem jednofazowym
2/ 29
Układ symetryczny
Układ symetryczny
U A UAB
Napięć
Prądów
U1A = U1A I1A = I1A
U1B = a2U1A I1B = a2I1A
UC A
U B
I1C = aI1A
U1C = aU1A
UB C
UC
2
j Ą
3
1
3
a = e = - + j
2 2
42
j Ą -j Ą
3
1
33
a2 = e = e = - - j
2 2
3/ 29
Równania elementu 3-fazowego
Równania elementu 3-fazowego
E
A
Z
AA
I
A
Z Z
AB AC
E
B
Z
BB
I
B
Schemat układu
Z 3-fazowego
BC
E
C
Z
CC
I
C
UC UB UA
UA = EA - IAZAA + IBZAB + ICZAC
()
UB = EB - ()
IAZBA + IBZBB + ICZBC
UC = EC - ()
IAZCA + IBZCB + ICZCC
4/ 29
Równania elementu 3-fazowego
Równania elementu 3-fazowego
W postaci macierzowej:
"U = ZI
gdzie:
ZA ZAm ZAm Ą# ń#
Ą#Z A s Z B Z C ń#ń#
E
Ą# - U I
ń# Ą#
A A
ó#ZZ ZZB Z Ą#Ą#; I = ó#I A Ą#
ó# ó#
Z = ZBm Ą#Ą#
" U = E - UB Ą# ; Z =
msC
BB A B
B
ó#
ó#Ą# ó# ó# Ą#
ó# - U ó#Z Z Z Ą# ó# Ą#
ó# Ą#
Z ZCm Z
C C C A B C C
Ł#E Ą# Ł# m s Ś# Ł#I C Ś#
Ś#
Ł# Ś#
Impedancje własne:
ZAA = ZBB = ZCC = Zs
Impedancje wzajemne:
ZAB = ZAC = ZBA = ZBC = ZCA = ZCB = Zm
5/ 29
Równania elementu 3-fazowego
Równania elementu 3-fazowego
Przy symetrycznych prądach:
EA - UA = IAZs + a2IAZm + aIAZm = IA Zs + a2Zm + aZm = IA Zs - Zm
()
() ( )
EB - UB = aIBZm + IBZs + a2IBZm = IB aZm + Zs + a2Zm = IB Zs - Zm
()
()
()
EC - UC = a2ICZm + aICZm + ICZs = IC a2Zm + aZm + Zs = IC Zs - Zm
()
() ()
Strata napięcia w danej fazie zależy tylko od prądu tej fazy -
równania są od siebie niezależne, a macierz impedancji Z jest
macierzą diagonalną
Idea obwodu zastępczego jednofazowego
6/ 29
Idea obwodu zastępczego
Idea obwodu zastępczego
Wszystko trzeba robić tak prosto, jak to tylko jest możliwe, ale ani trochę prościej.
Albert Einstein
7/ 29
Schemat zastępczy linii
Schemat zastępczy linii
W schemacie zastępczym linii elektroenergetycznej uwzględnia się
następujące parametry:
rezystancję R  związaną ze stratami mocy czynnej w
przewodach wiodących prąd
reaktancję indukcyjną X  wynikającą z istnienia pola
magnetycznego wokół przewodów
konduktancję G  odwzorowującą zjawisko upływności oraz ulotu
w liniach WN
susceptancję B  wynikająca z istnienia pola elektrycznego
pomiędzy przewodami i ziemią
8/ 29
Schemat zastępczy linii
Schemat zastępczy linii
W ogólnym przypadku linię przesyłową zastępuje się schematem o
parametrach rozłożonych:
Równania linii długiej:
Uf1= U ch ł l +I2 Zf sh ł l
( ) ( )
f2
I1= I2 ch ł l + sh ł l
( )U f2 ( )
Zf
9/ 29
Równania linii długiej
Równania linii długiej
Wielkości występujące w równaniach linii długiej:
Współczynnik rozchodzenia się fali:
ł = Zk Yk = Rk + j Xk Gk + jBk
()()
Impedancja falowa:
Rk + j Xk
Zk ()
Zf ==
Yk Gk + jBk
()
Parametry dla całej linii:
Z = Zk �" l = Rk + j Xk �" l
( )
l  długość linii
Zk, Yk  parametry kilometryczne
Y = Yk �" l = Gk + jBk �" l
()
10 / 29
Równania linii długiej
Równania linii długiej
Po przekształceniach:
Z
U = Uf2 ch Z Y +I2 sh Z Y
( )Y ( )
f1
Y
I1= I2 ch Z Y + Uf2 sh Z Y
( ) ( )
Z
Funkcje hiperboliczne można rozwinąć w szeregi:
a2 a4 a6
ch a = 1+ + + +K
( )
2! 4! 6!
a3 a5 a7
sh a = a+ + + +K
( )
3! 5! 7!
11 / 29
Równania linii długiej
Równania linii długiej
Po rozwinięciu w szeregi
Ą#
ZY ZY
ZY ( )2 ( )3 ń#
ó# Ą#
U =U 1+ +++K +
równania linii długiej
f1 f2
2 24 720
ó# Ą#
Ł# Ś#
przybierają postać:
Ą#
ZY ZY
ZY ( )2 ( )3 ń#
ó# Ą#
+ I2 Z 1+ + + +K
2
6 120 5040
ó# Ą#
Ł# Ś#
Ą#
ZY ZY
ZY ( )2 ( )3 ń#
ó#Ą#
I1=I2 1+ +++K +
2 24 720
ó#Ą#
Ł#Ś#
Ą#
ZY ZY
ZY ( )2 ( )3 ń#
ó#Ą#
+U Y 1+ +++K
f2
6 120 5040
ó#Ą#
Ł#Ś#
12 / 29
Równania linii długiej
Równania linii długiej
Po uporządkowaniu:
ZY ZY
U =U +I2Z +Uf2 +I2 Z +
f1 f2
26
ZY ZY
( )2 ( )2
+U +I2 Z +K
f2
24 120
ZY ZY
W zależności od liczby
I1 =I2 +U Y +I2 +U Y +
f2 f2
wyrazów uwzględnionych
26
w równaniach linii
ZY ZY
( )2 ( )2
otrzymuje się różne typy +I2f2 +K
+U Y
24 120
schematów linii stosowane
w praktyce.
13 / 29
Linia I rodzaju
Linia I rodzaju
U =U +I2 Rl
f1 f2
I1 =I2
Do linii I-go rodzaju zalicza się linie niskiego napięcia oraz kable
o napięciu znamionowym 6 kV o małych przekrojach.
14 / 29
Linia II rodzaju
Linia II rodzaju
U =U +I2 Zl
f1 f2
I1 =I2
Zl=Rl+jXl
Do linii II-go rodzaju zalicza się linie napowietrzne o napięciu
znamionowym do 30 kV oraz linie kablowe o napięciu
znamionowym do 15 kV włącznie.
15 / 29
Linia III rodzaju
Linia III rodzaju
W równaniach linii uwzględnia się trzy składniki:
Zl Yl
U = Uf2+I2 Zl + U
f1 f2
2
Zl Yl
I1= I2+ Uf2 Yl +I2
2
Stosuje się dwa typy schematów zastępczych: typu  i T.
Do linii III-go rodzaju zalicza się linie napowietrzne o napięciu Un
powyżej 30 kV i kablowe o napięciu Un powyżej 15 kV , o długości
nie przekraczającej 5% długości fali elektromagnetycznej.
16 / 29
Linia III rodzaju
Linia III rodzaju
Schemat
typu 
Schemat
typu T
17 / 29
Linia III rodzaju
Linia III rodzaju
Długość fali elektromagnetycznej wyraża się wzorem:
�
 =
f
� - prędkość rozchodzenia się fali
f  częstotliwość
Prędkość fali oblicza się w zależności od stałej kątowej linii �
(ł = ą+j�)
�
�=
�
�- pulsacja
W linii bez strat Rl =Gl =0 oraz:
1
�=
�=� LC
ą =0
LC
18 / 29
Linia III rodzaju
Linia III rodzaju
Po podstawieniu przybliżonych wzorów na L i C :
Ą�
ź a
C H"
L H" ln
a
Ą r ln
r
otrzymuje się:
11
�= =
�ź � ź � ź
0 0 r r
R  promień przewodu,
a  średnia odległość między przewodami
�, ź - przenikalność elektryczna i magnetyczna środowiska,
w którym znajdują się przewody,
�0, ź0 - przenikalność elektryczna i magnetyczna próżni,
�r, źr - przenikalność elektryczna i magnetyczna względna
19 / 29
Linia III rodzaju
Linia III rodzaju
Ponieważ prędkość światła:
1 c
0
c0 H" �H"
więc:
� ź
� ź
0 0
r r
W linii napowietrznej bez strat �r = źr = 1, a zatem
�E"c0 E" 300 000 km/s. Dla częstotliwości f = 50 Hz daje to długość
fali:
� 300000
= = =6000 km
f 50
Ostatecznie długość linii przesyłowej, która może być opisana
równaniem III-go rodzaju nie powinna przekraczać 300 km 
w przypadku linii napowietrznej i 150 km  w przypadku kablowej.
20 / 29
Linia IV rodzaju
Linia IV rodzaju
Linie IV rodzaju to linie WN i NN o długościach przekraczających
5% długości fali elektromagnetycznej. Do ich opisu stosuje się
schemat o parametrach rozłożonych i pełne równania linii długiej
(slajd 9), z uwagi na falowy charakter zachodzących w nich
zjawisk.
Długość linii przesyłowej, która powinna być opisana równaniami
linii długiej przekracza 300 km  w przypadku linii napowietrznej
i 150 km  w przypadku kablowej.
21 / 29
Obliczanie parametrów linii
Obliczanie parametrów linii
Rezystancja
1000
R = [ � / km]
k
ł s
ł- konduktywność (przewodność właściwa) przewodu, w m/�mm2
s  przekrój przewodu, w mm2
miedz
twarda: drut ł =55m/�mm2, linka ł =53m/�mm2,
miedz
miękka ł =56m/�mm2,
aluminium twarde ł =34m/�mm2,
aluminium miękkie ł =35m/�mm2,
stal (zależnie od wytrzymałości) ł =5�8m/�mm2.
22 / 29
Obliczanie parametrów linii
Obliczanie parametrów linii
Reaktancja indukcyjna
X =�Lk =2Ąf Lk [� / km]
k
� - pulsacja prądu, w rd/s (� =2Ąf),
Lk  indukcyjność jednostkowa (kilometryczna) linii, w H/km
b
ś#
-4
śr
Lk =�#2ln +0,5ź [H/ km]
w
ś#ź#�"10
r
�# #
bśr  średni odstęp między przewodami, w cm,
r  promień przekroju przewodów, w cm,
ź - względna przenikalność magnetyczna materiału przewodowego.
Dla stosowanych praktycznie materiałów przewodowych (miedz
, aluminium) źw =1,
a wówczas:
bb b
śr śr śr
Lk =�#2ln + 0,5ś#�"10-4 =�# 4,6lg + 0,5ś#�"10-4 = 4,6lg �"10-4
ś#ź# ś# ź#
r r 0,779r
�# # �# #
23 / 29
Obliczanie parametrów linii
Obliczanie parametrów linii
Obliczanie średniego odstępu pomiędzy przewodami
Dla układu trójkąta równobocznego:
Linia 2-torowa z symetrycznie względem
siebie rozmieszczonymi torami:
b =b
śr
Dla układów niesymetrycznych:
3
b = b12 b b
śr 23 31
b12 b b b12' b b
23 31 23' 31'
b = 3
śr
b11' b b
22' 33'
24 / 29
Obliczanie parametrów linii
Obliczanie parametrów linii
Indukcyjność przewodów wiązkowych:
�# b 11
ś# �# b ś#
-4 -4
śr śr
Lk =ś#2ln +
r ' 2nź#�"10 =ś# 4,6lg r ' + 2n ź#�"10
�# # �# #
n-1
1
n
n
r ' = r �"cśr
bśr średni odstęp pomiędzy środkami geometrycznymi wiązek,
r  rzeczywisty promień przekroju przewodów,
n  liczba przewodów w wiązce,
cśr  średni geometryczny odstęp przewodu wiązki od pozostałych przewodów tej
samej wiązki
Dla linii WN można w przybliżeniu przyjąć:
dla linii napowietrznej Xk = 0,4 �/km,
dla linii kablowej Xk = 0,1 �/km
25 / 29
Obliczanie parametrów linii
Obliczanie parametrów linii
Konduktancja
W praktyce uwzględniana, jeśli w linii występuje zjawisko ulotu, tj. gdy
napięcie robocze linii Uf jest większe od napięcia krytycznego ulotu Ufkr:
bb
śr śr
U =21,1mp�"ma�"��"r �"ln = 48,9mp�"ma�"��"r �"lg [kV]
fkr
rr
mp - współczynnik zależny od stanu powierzchni przewodu:
przewód jedno drutowy nowy mp = 1, stary mp = 0,93�0,98
linka mp = 0,83�0,87, przewód rurowy mp = 0,9
ma - współczynnik zależny od stanu pogody:
pogoda sucha, słoneczna ma = 1
pogoda deszczowa, mgła ma = 0,8
� - współczynnik zależny od ciśnienia i temperatury powietrza:
w normalnych warunkach polskich przyjmuje się � = 1
r - promień przewodu, w cm
bśr - średnia odległość między przewodami, w cm
26 / 29
Obliczanie parametrów linii
Obliczanie parametrów linii
Strata mocy spowodowana ulotem, na 1 km linii wyrażona jest wzorem:
2
r
"P =0,18 U -U [kW / km]
()
ul f f kr
b
śr
Znając straty mocy spowodowane ulotem można obliczyć
konduktancję linii:
"P
ul
Gk = �"10-3 [S / km]
U2
f
Zwiększanie napięcia krytycznego ulotu prowadzi do ograniczenia
tego zjawiska.
27 / 29
Obliczanie parametrów linii
Obliczanie parametrów linii
Susceptancja
Bk =��"C[S / km]
k
Ck  pojemność robocza linii
0,02415
C =�"10-6 [F/ km]
k
2hśr bśr
lg
2
r 4h2 +b
śr śr
hsr - średni odstęp przewodów od ziemi
Jeśli h >> bsr
0,02415
C =�"10-6 [F/ km]
k
b
śr
lg
r
28 / 29
Obliczanie parametrów linii
Obliczanie parametrów linii
a
2r
Kabel 3-żyłowy z izolacją rdzeniową
0,0483�"�w
Ck =�"10-6 [F/ km]
3
3a2 R2 - a2
()
lg
r2 R6 - a6
()
a  odstęp środka żyły od środka kabla
2R
R  promień wewnętrzny płaszcza ołowianego
r  promień żyły
Kabel ekranowany lub trójpłaszczowy
0,02415�
w
C =�"10-6 [F/ km]
k
R
lg
r
29 / 29