Atom jednoelektronowy (wodoru)
Cechy wspólne orbitalnych funkcji falowych
Jakich rozwi za równania Schrödingera mo emy si spodziewa dla
elektronów w atomie na podstawie poprzednio omówionych prostych
modeli ? Rozumujemy przez analogi :
1. Spodziewamy si funkcji falowych trzech zmiennych w postaci f(x,y,z).
2. Funkcje te b reprezentowa fale stoj ce w przestrzeni
czterowymiarowej (warto funkcji + wspó rz dne x, y, z).
3. Funkcje te b mie znaki + i  w ró nych obszarach przestrzeni oraz
powierzchnie w owe (w najprostszym przypadku p aszczyzny
owe), zamiast punktów w owych.
4. Funkcje te b zale ne od 3 liczb kwantowych  oznaczamy je przez n,
l, i m (pó niej omówienie szczegó owe).
1
Atom jednoelektronowy (wodoru)
Komentarz
Poj cie orbity Bohra zast pujemy pojeciem funkcji orbitalnej, czyli orbitalem
 mówimy  elektron na orbitalu zamiast  elektron na orbicie . Orbital jest
funkcj matematyczn !  nie nale y o tym zapomina . Oznaczamy go greck
liter .
Sens fizyczny ma 2(x,y,z) (prawdopodobie stwo znalezienia elektronu w
punkcie o wspó rz dnych x,y,z) i 2(x,y,z) × e, czyli g sto elektronowa
(e = 1,6 × 10-19 C).
sto elektronow w konkretnych punktach cz steczek i jej rozk ad (mapy
sto ci elektronowej) mo na wyznacza do wiadczalnie metod dyfrakcji
promieni X i neutronów na monokryszta ach. Mo na te oblicza rozk ad
sto ci elektronowej w cz steczkach metodami chemii kwantowej.
2
Mapy g sto ci elektronowej
Skala w
e/bohr3
Moleku a
wody
Moleku a benzenu
http://home.hiroshima-u.ac.jp/fpc/oguchi/graphics/mol-images.html
3
Orbitale atomowe - oznaczenia
Oznaczenia:
1. nlm(x, y,z)
2. 1s(x, y,z) , 2s(x, y,z)
2px (x, y,z), 2py (x, y,z), 2pz (x, y, z)
3dxy (x, y, z), 3dxz (x, y, z), 3dyz (x, y,z)
3d (x, y, z), 3d (x, y, z)
x2 y2 z2
3. 1s, 2s, 2px , 2py , 2pz ,3s, 3px , 3py , 3pz ,
3dxy , 3dxz , 3dyz , 3d , 3d
x2 y2 z2
4
Funkcje orbitalne  forma matematyczna
Posta funkcji:
1s W0 r e r Z / a0
2s W1 r e r Z / 2a0
r x2 y2 z2
3s W2 r e r Z / 3a0
2px~xe r 2py ~ye r 2pz ~ze r
3dxy~xy e r 3dxz ~xz e r 3dyz ~ yz e r
3dx2 y2 ~ x2 y2 e r 3dz2 ~ 3z2 r2 e r
Mamy do czynienia z trudnymi do wizualizacji funkcjami trzech zmiennych.
5
Funkcje orbitalne
Komentarz:
1. Trzy rodzaje oznacze  trzecie (1s, 2s, 2p itd.) najbardziej popularne w ród
chemików.
2. Równoznaczno symboliki: l = 0 s, l = 1 p, l = 2 d itd.
3. Indeksy literowe dla funkcji p, d, f itd. s zwi zane z liczbami kwantowymi m,
ale niekoniecznie im odpowiadaj (patrz dalej orbitale p).
4. Funkcja stanowi zawsze iloczyn cz ci eksponencjalnej i cz ci
przedeksponencjalnej (radialnej).
5. Cz eksponencjalna funkcji zapewnia to, e orbital rozci ga si (malej c) w
niesko czono . Cz eksponencjalna funkcji jest zawsze dodatnia.
6. Cz przedeksponencjalna (radialna) funkcji decyduje o kszta cie orbitalu i
jego usytuowaniu w przestrzeni, nadaje mu znak w danym obszarze
przestrzeni (mo e tam by dodatnia lub ujemna) oraz decyduje o liczbie i
kszta cie powierzchni w owych. Na przyk ad dla orbitali s powierzchnie
owe s sferami, ich liczba ro nie z energi i równa jest n  1.
6
Drgania membrany b bna  obiekt dwuwymiarowy
Mod (0,1) Mod (1,1)
Mod (2,1) Mod (0,2)
Mod (1,2) Mod (0,3)
Dwie  liczby kwantowe .
Do wizualizacji potrzebujemy 3 wymiarów !
http://www.isvr.soton.ac.uk/SPCG/Tutorial/Tutorial/Tutorial_files/Web-standing-waves.htm
7
Drgania d wi kowe powietrza w pokoju  obiekt trójwymiarowy
Poni ej widzimy jeden z modów drga w rzucie na jedn ze cian prostopad ciennego
pokoju. Rysunki górne pokazuj zachowanie si cz stek kurzu. Rysunki dolne obrazuj za
pomoc kolorów zmiany ci nienia powietrza.
Trzy  liczby kwantowe .
Do wizualizacji potrzebujemy 4 wymiarów !
http://www.isvr.soton.ac.uk/SPCG/Tutorial/Tutorial/Tutorial_files/Web-standing-waves.htm
8
Orbital 2s  obrazujemy 2
Zwykle ograniczamy si do obj to ci orbitalu
zawieraj cej 90% jego g sto ci elektronowej.
2
2
N(2 Zr / a0)exp( Zr / 2a0)
r x2 y2 z2 Z 1 a0 0,53 A
N czynnik normalizacyjny
9
Radialna g sto prawdopodobie stwa
dr
dV = 4 r2dr jest obj to ci fragmentu
r
kuli ograniczonego powierzchniami
1s
kulistymi o promieniach r i r +dr.
2
2dV 2 4 r2dr
dV
dV 4 r2dr
r
r
a0
10
Radialna g

sto

prawdopodobie

stwa
Porównanie wykresów warto ci funkcji i
radialnej g sto ci prawdopodobie stwa
Liczba w ów = n - 1
11
Orbitale atomowe  wykres
Prosz zwróci uwag na znaki funkcji !
12
Orbitale s i p (wykres prawdopodobie stwa 2)
Dla l = 1 mamy zestaw orbitali p0, p-1 i p+1, z których dwa
ostatnie s funkcjami zespolonymi. W zwiazku z tym, e
orbitale te maj t sam energi (ta sama warto w asna,
t.j. potrójna generacja energetyczna) mo na je zast pi
ns
zestawem trzech nowych orbitali px, py i pz, przy czym
wszystkie z nich s ju wygodniejszymi w u yciu funkcjami
rzeczywistymi:
p0 pz , a p-1 + b p+1 px , a p-1 - b p+1 py
(bierze si kombinacj liniow funkcji p-1 i p+1).
px
py
pz
13
Orbitale 3d (wykresy prawdopodobie stwa 2)
14
Orbitale 4f (wykresy prawdopodobie stwa 2)
15
Podsumowanie typowych metod obrazowania orbitali:
1. Wykres 2 (chmura elektronowa)  znak dodatni funkcji.
2. Wykres  znaki dodatnie i ujemne funkcji.
3. Radialna g sto prawdopodobie stwa.
4. Mapa g sto ci elektronowej.
16
Zuo, Kim, Spence, O Keeffe (Arizona State University)
Nature, 401, 49 (1999)
Badano kupryt Cu2O metod dyfrakcji rentgenowskiej.
orbital dz2
17
Liczby kwantowe elektronów w atomach
Okre lana
Symbol Nazwa Dozwolone warto ci
Oznaczenia literowe
ciwo
orbitali
wielko i
n ówna 1, 2, 3...
l
n Symbol Symbol
energia orbitalu
1 K 0 s
kszta t orbitalu
poboczna
2 L 1 p
l 0, 1, 2, ..., n-1
(energia w atomach
(orbitalna) 3 M 2 d
wieloelektronowych)
4 N 3 f
orientacja
5 O 4 g
m magnetyczna -l, -l + 1, ...,0, ..., l - 1, l
orbitalu
6 P
ms spinowa +1/2, -1/2 spin elektronu
7 Q
18
Kwantowanie orbitalnego momentu p du
z
P l(l 1)
Pz m
Wspó czynnik magnetogiryczny (giromagnetyczny) i kwantowanie orbitalnego momentu magnetycznego
i

P
M
magnetogiryczny
P
e

M
Z definicji wspó czynnika magnetogirycznego mamy: M l(l 1) i Mz m

Energia potencjalna oddzia ywania M z B zale y od liczby kwantowej m: E BM BMz B m
19
Spin elektronu:
do wiadczenie Sterna i Gerlacha (1921)
s 1 2 i ms 1 2
N
wi zka
Pspin s(s 1)
atomowa
niejednorodne B
Ag 4d105s1
Pspin,z ms
S
20
Ekran