E. Michlowicz: Logistyka przemysłowa - Optymalizacja zapasów i prognozowanie
WYKA
AD 5
PROGNOZOWANIE POPYTU
OPTYMALIZACJA ZAPASÓW
I. PROGNOZOWANIE POPYTU
1. Szeregi czasowe, trendy
Szeregiem czasowym nazywamy ciąg wyników obserwacji uporządkowany w
czasie, tzn. { t, yt }, przy czym t oznacza numery kolejnych jednostek czasu, a yt
wielkość badanej zmiennej w okresie t.
Trend wyra\
a ogólną tendencję rozwojową zjawiska. Wydzielenie składnika
charakteryzującego trend poprzez eliminację z szeregu wahań okresowych i
przypadkowych, nazywane jest wygładzaniem szeregu czasowego.
Wahania okresowe są to zmiany powtarzające się, w tych samych mniej
więcej rozmiarach, co pewien, w przybli\
eniu stały okres. Odstęp czasu, w którym
występują wszystkie fazy wahań określa się mianem cyklu.
Do obliczania wskaz
nika wahań okresowych wykorzystuje się wartości:
szeregu czasowego oraz szeregu wygładzonego.
Do obliczenia tzw. surowego wskaz
nika wahań okresowych stosujemy
zale\
ność:
s
w
" i + jk
" +
" +
" +
j = 0
=
=
=
c ' = ; i = 1 ,2 ,..., k
= =
= =
= =
i
s
Przy zało\
eniu, \
e:
y
t
w =
=
=
=
t
w

t
gdzie:
yt , w
t - wyrazy szeregu empirycznego i wygładzonego.
s - liczba jednoimiennych okresów
k - liczba faz cyklu
2. Metody prognozowania
Podstawą wszystkich metod krótkookresowych (krótkoterminowych) są dane
historyczne o popycie w minionych okresach, wyra\
one w postaci szeregu czasowego.
1
E. Michlowicz: Logistyka przemysłowa - Optymalizacja zapasów i prognozowanie
1. Model naiwny  metoda najprostsza: prognoza popytu na rozpatrywany okres
jest równa popytowi rzeczywistemu zaobserwowanemu w okresie poprzednim.
2. Model średniej arytmetycznej:
- zwykła średnia arytmetyczna  prognoza na okres  k+1 wykorzystuje
wszystkie dostępne wcześniejsze wartości popytu (jako średnia z okresów
od 1 do  k ) .
- średnia arytmetyczna ruchoma  prognoza na okres  k+1 wykorzystuje nie
wszystkie dostępne wcześniejsze wartości popytu, lecz tylko pewne określone
wartości ostatnich danych (wykres bardziej wygładzony).
- średnia arytmetyczna ruchoma wa\
ona  w prognozie tej wartościom
zmiennej z minionego okresu przypisuje się określone wagi (dane z ostatniego
okresu mają większą wagę, ni\
dane z poprzednich okresów).
3. Model Browna  wygładzanie wykładnicze  dla przebiegów quasi-
stacjonarnych; prognoza popytu na kolejny okres jest równa prognozie
poprzedniej skorygowanej o pewną część popełnionego błędu (określa go stała
wygładzania ą (0, 1> ).
4. Model Holta  prognozowanie trendów  umo\
liwia identyfikację trendów;
jest metodą dwuparametrową : uwzględnia stałą wygładzania ą oraz stałą
wygładzania trendu � (umo\
liwia ocenę przyrostu średniej).
5. Modele analityczne  prognozowanie trendów  model ekonometryczny;
najbardziej znanym jest regresja liniowa.
6. Model Wintersa  prognozowanie sezonowości  umo\
liwia identyfikację
trendów i sezonowości; jest metodą trzyparametrową : uwzględnia stałą
wygładzania ą, stałą wygładzania trendu � oraz wygładzania sezonowości ł.
3. Modele prognozowania
Do krótkoterminowego, powtarzalnego prognozowania popytu, szczególnie
przydatne są ekonometryczne modele adaptacyjne.
Odpowiedni model prognozowania dobieramy jest w zale\
ności od szeregu
czasowego dotychczasowego popytu na analizowany produkt.
" Model Browna
Jednoparametrowy model Browna stosowany jest do przebiegów quasi-
stacjonarnych, tj. takich, w których wartość średnia nie ulega istotnym zmianom w
czasie. Model ten mo\
na zapisać następująco:
y = ą y + ( 1 - ą ) y
= ą + - ą
= ą + - ą
= ą + - ą
(wyrównanie danych)
t t t - 1
-
-
-
w
= y
=
=
=
(prognoza na okres t+T)
t + T t
+
+
+
gdzie:
yt , yt-1 - średnie obliczone, odpowiednio po okresach t (ostatnio zakończonym) i t-1
(poprzednim)
yt - ostatnia realizacja zmiennej prognozowanej
ą - parametr wyrównania wykładniczego przyjmujący wartość (0, 1)
w
t+T - prognoza zmiennej y w okresie t+T
2
E. Michlowicz: Logistyka przemysłowa - Optymalizacja zapasów i prognozowanie
" Model Holta
Bardziej adekwatnym do prognozowania popytu na produkty, w których
szeregach czasowych stwierdzono istnienie istotnych trendów rozwojowych, jest
dwuparametrowy model zaproponowany przez C.C.Holta. Na model składają się trzy
równania:
a = ą y + ( 1 - ą )( a + b )
= ą + - ą +
= ą + - ą +
= ą + - ą +
(wyrównanie danych)
t t t - 1 t - 1
- -
- -
- -
bt = � ( a - a ) + ( 1 - � )bt -1
= � - + - �
= � - + - �
= � - + - �
(wyrównanie trendu)
t t -1 -
- -
- -
-
w
= a + b T
= +
= +
= +
(prognoza na okres t+T)
t + T t t
+
+
+
Składnik at wyra\
a średni popyt do okresu t włącznie, natomiast składnik
bt ró\
nicę pomiędzy średnimi tj. ( at - at-1 ) stanowiącą ocenę przyrostu trendu.
Parametry ą, � przyjmują wartości z przedziału (0,1)
" Model Wintersa
W szeregu czasowym obrazującym rozwój interesującego nas zjawiska mogą
występować, obok istotnych zmian (przyrostu bądz
spadku trendu), powtarzające się
wahania cykliczne. Je\
eli w szeregu czasowym daje się zauwa\
yć takie zjawisko, to
jego ewentualne pominięcie spowoduje powstanie błędów prognozy o charakterze
systematycznym, tj. dodatnich w jednych okresach i ujemnych w drugich. Do
prognozowania popytu dla przebiegów czasowych z wyraz
nymi wahaniami
sezonowymi słu\
y model P.R. Wintersa opisywany przy pomocy równań:
ą y
ą
ą
ą
t
a = + ( 1 - ą )( a + b )
= + - ą +
= + - ą +
= + - ą +
t t - 1 t - 1
- -
- - (wyrównanie danych)
- -
S
t - K
-
-
-
b = � ( a - a ) + ( 1 - � )b
= � - + - �
= � - + - �
= � - + - �
(wyrównanie trendu)
t t t - 1 t - 1
- -
- -
- -
ł y
ł
ł
ł
t
S = + ( 1 - ł ) S
= + - ł
= + - ł
= + - ł
t t - K
-
- (wyrównanie sezonowości)
-
a
t
w
= ( a + b T ) S
= +
= +
= +
(prognoza na okres t+T)
t + T t t t - K + T
+ - +
+ - +
+ - +
gdzie:
a , a
- średnie obliczone wykładniczo po okresach t (ostatnio zakończonym) i t-1
t t -1
(poprzednim),
b , b
- średnie zmiany trendu obliczone wykładniczo po okresach t (ostatnio
t t -1
zakończonym) i t-1 (poprzednim),
S
- wskaz
nik sezonowości,
t
K - cykl sezonowości (w przypadku danych miesięcznych K=12, zaś dla kwartalnych
K=4)
ą , � , ł
- parametry wyrównania wykładniczego; wartości z przedziału (0,1),
y
- ostatnia realizacja zmiennej prognozowanej,
t
w
t+t - prognoza zmiennej y w okresie t+T.
3
E. Michlowicz: Logistyka przemysłowa - Optymalizacja zapasów i prognozowanie
PRZYKA
ADOWE WYNIKI PROGNOZOWANIA
Obiekt: wentylator (156319)  do wózków widłowych
" Model Browna
Tab. Prognoza dla ą = 0,9
t yt ąyt (1-ą)yt yt y^t et=yt-y^t et2
0 950,00 950,00
1 943 848,70 95,00 943,70 950,00 -7,00 49,00
2 945 850,50 94,37 944,87 943,70 1,30 1,69
3 942 847,80 94,49 942,29 944,87 -2,87 8,24
4 954 858,60 94,23 952,83 942,29 11,71 137,19
5 958 862,20 95,28 957,48 952,83 5,17 26,74
6 964 867,60 95,75 963,35 957,48 6,52 42,47
7 965 868,50 96,33 964,83 963,35 1,65 2,73
8 960 864,00 96,48 960,48 964,83 -4,83 23,38
9 952 856,80 96,05 952,85 960,48 -8,48 71,97
10 955 859,50 95,28 954,78 952,85 2,15 4,63
11 950 855,00 95,48 950,48 954,78 -4,78 22,89
12 947 852,30 95,05 947,35 950,48 -3,48 12,10
średnia 952,92 -0,25 403,03
ą =0,90 Błąd prognozy st = 6,05 36,64
Wsp.zmien.wzgl. V=0,64%
Wykres prognozy Browna dla ą = 0,9
970
965
960
955
950
945
940
935
930
925
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
prognoza
rzeczywiste zu\
ycie
Zastosowanie prostego modelu Browna dla wartości ą = 0.9 daje błąd
standardowy st= 6,05, przy współczynniku zmienności V = 0,64 %.
4
Edward Michlowicz: Logistyka przemysłowa  Optymalizacja zapasów
" Model Holta
Tab. Model Holta
t yt' ąyt' (1-ą)(yt-1+bt-1) yt �*(yt-yt-1) (1-�)bt-1 bt yt+bt=y^t+1 y^t et=yt-y^t e2t
0 947 3,1 950,1
3 942 847,8 95,01 942,81 -0,42 2,79 2,37 945,18 950,10 -8,1065,61
1 943 848,7 94,52 943,22 0,04 2,13 2,17 945,39 945,18 -2,18 4,76
2 945 850,5 94,54 945,04 0,18 1,96 2,14 947,18 945,39 -0,39 0,15
12 947 852,3 94,72 947,02 0,20 1,93 2,12 949,14 947,18 -0,18 0,03
11 950 855 94,91 949,91 0,29 1,91 2,20 952,11 949,14 0,86 0,74
9 952 856,8 95,21 952,01 0,21 1,98 2,19 954,20 952,11 -0,11 0,01
4 954 858,6 95,42 954,02 0,20 1,97 2,17 956,19 954,20 -0,20 0,04
10 955 859,5 95,62 955,12 0,11 1,95 2,06 957,18 956,19 -1,19 1,42
5 958 862,2 95,72 957,92 0,28 1,86 2,14 960,06 957,18 0,82 0,67
8 960 864 96,01 960,01 0,21 1,92 2,13 962,14 960,06 -0,06 0,00
6 964 867,6 96,21 963,81 0,38 1,92 2,30 966,11 962,14 1,86 3,46
7 965 868,5 96,61 965,11 0,13 2,07 2,20 967,31 966,11 -1,11 1,24
952,9
średnia -0,83
ą =0,90 st =2,67 Łe2t78,14
� =0,1 V=0,28%
Wykres prognozy Holta dla ą = 0,9 i � = 0,1
970
965
960
955
950
945
940
935
930
925
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
prognoza
rzeczywiste zu\
ycie
Zastosowanie modelu Holta dla wartości ą = 0.9 � = 0,1daje błąd standardowy
st= 2,67, przy współczynniku zmienności V = 0,28% (wynik lepszy od
M. Browna).
5
Edward Michlowicz: Logistyka przemysłowa  Optymalizacja zapasów
II. ZAPASY
1. Klasyfikacja zapasów
1. Przeznaczenie zapasu
- zapasy materiałów i surowców,
- zapasy robót w toku,
- zapasy wyrobów gotowych,
- zapasy materiałów pomocniczych i eksploatacyjnych.
2. Zapas sezonowy  okresowo tworzone wysokie stany zapasów związane z
ograniczoną dostępnością dóbr lub wskutek spodziewanego wysokiego popytu.
3. Zapas spekulacyjny  tworzony w przypadku spodziewanego wzrostu cen.
4. Zapas promocyjny  gromadzony w celu pokrycia spodziewanego zwiększenia
popytu w związku z planowaną kampanią promocyjną.
5. Zapas strategiczny - jest tworzony w odniesieniu do dóbr bie\
ąco zu\
ywanych, ale
wa\
nych dla utrzymania płynności wytwarzania lub do dóbr aktualnie nie
zu\
ywanych, ale utrzymywanych ze względu na sytuacje specjalne (np. awarie).
6. Zapas zbędny  istniejący, ale nie zu\
ywany, np. wskutek zakończenia wytwarzania
jakiegoś produktu.
Utrzymywanie zapasów magazynowych w optymalnej z punktu widzenia poziomu
obsługi klienta wielkości, jest sprawą bardzo istotną. W skrajnych przypadkach niewłaściwa
polityka zapasów mo\
e doprowadzić do utraty płynności finansowej przez przedsiębiorstwo
lub do znacznego pogorszenia jego wizerunku.
Problemami decyzyjnymi w zakresie logistycznego zarządzania zapasami są:
f& wybór materiałów, których zapasy powinny być utrzymywane,
f& określenie wielkości zamawianych partii,
f& określenie zapasów bezpieczeństwa,
f& określenie momentu składania zamówień,
f& wdro\
enie systemu kontroli zamówień.
Wielkość zapasu magazynowego wynika z ilości, którą trzeba zamówić, aby ponownie
uzupełnić zapas w magazynie (rysunek). Im większa jest zamawiana ilość towarów, lub im
rzadziej dokonuje się zamówienia, tym wy\
szy jest przeciętny zapas, który określa się jako
zapas średni (Q/2).
Od średniego zapasu magazynowego nale\
y odró\
nić całkowity przeciętny zapas
magazynu, który obejmuje jeszcze zapas bezpieczeństwa, mający na celu zabezpieczenie
przed wyczerpaniem zapasu. Zapas bezpieczeństwa wynika z braku pewności co do przebiegu
popytu i ponownego zaopatrzenia, zabezpiecza zatem przekroczenie krytycznej wielkości
poborów z magazynu i przekroczenie czasu realizacji zamówienia.
6
Edward Michlowicz: Logistyka przemysłowa  Optymalizacja zapasów
Zapas magazynowy
Max = S
Przebieg
Zamawiana ilość Q
popytu
Zapas
Średni zapas
krytyczny
magazynowy
- zło\
enie
Q/2
zlecenia
s
Zapas
zapas
przeciętny
bezpieczeństwa
czas trwania zamówienia
czas
t cykl zamówień
Rys. Składniki zapasu magazynowego
Je\
eli zamawiający (odbiorca) chce wiedzieć ile kapitału jest zamro\
onego w zapasach
magazynowych, musi oprócz przeciętnego zapasu materiałów (wg rysunku) uwzględnić tzw.
zapasy magazynowe in transit (movement inventories),  zapasy w drodze .
Zaznaczone na rysunku wielkości nale\
y interpretować następująco:
" t - cykl składania zamówień, a więc wymiar czasu upływającego między dwoma
kolejnymi zamówieniami lub cykl kontrolny, tzw. wymiar czasu upływającego między
następującymi po sobie przeglądami kontrolnymi zapasów w magazynie,
" Q - wielkość zamówienia (w ujęciu ilościowym),
" s - punkt składania zamówień (granica składania zamówień, moment składania
zamówień, poziom zapasów, którego osiągnięcie jest sygnałem konieczności zło\
enia
zamówienia),
" - po\
ądany poziom zapasów magazynowych (maksymalny poziom zasobów
magazynowych), a więc poziom do którego nale\
y uzupełniać te zapasy.
Stąd te\
proces zamówień mo\
na realizować ró\
nymi zasadami. W tabeli przedstawiono
zasady zamawiania bazujące na zmiennych decyzyjnych s, t, Q, S.
7
Edward Michlowicz: Logistyka przemysłowa  Optymalizacja zapasów
Tab. Zasady zamawiania materiałów
Termin zamówienia Zamawiana ilość materiałów
wg stanu lub czasu Q S
Moment s zasada (s, Q) zasada (s, S)
Moment t zasada (t, Q) zasada (t, S)
Dla potrzeb ustalania formuły optymalnej wielkości zamówienia materiałowego
przyjęto w dalszym ciągu następujące oznaczenia:
P - roczna wielkość potrzebnych dóbr fizycznych (w jednostkach),
T - rozpatrywany okres (okres analizy),
Q - wielkość zamówienia (w jednostkach),
Kz - roczne koszty zamówień handlowych,
qa - koszty stałe przypadające na jedno zamówienie handlowe,
qj - wartość lub koszt jednostki zapasów,
t - okres między dwoma kolejnymi zamówieniami (cykl składania zamówień),
Ku - koszty utrzymania zapasów magazynowych,
qm - stawka jednostkowa kosztów magazynowania i kosztów zamro\
enia (oprocentowania)
kapitału w zapasach (jako % wartości jednostki zapasów w skali roku).
2. Koszty zapasów
Koszty realizacji zamówień handlowych Kz w analizowanym okresie stanowią
iloczyn kosztów stałych przypadających na zamówienie handlowe i ilości zło\
onych
zamówień:
P
Kz = qa �"
Q
Koszty utrzymania zapasów magazynowanych Ku przypadające na jedno
zamówienie stanowią iloczyn ceny (wartości jednostki zapasów) przeciętnego poziomu
zapasów magazynowych i łącznej stawki kosztów magazynowania oraz kosztów
oprocentowania kapitału (% wartości jednostki zapasów na rok):
Q
Ku = �" q �" qm
j
2
Tak więc globalne koszty roczne GKR realizacji zamówień materiałowych wyra\
a
następująca formuła, która winna być minimalizowana:
P Q
GKR = K + Ku = qa �" + �" q �" qm �! min
z j
Q 2
Zale\
ność na Optymalną Wielkość Dostawy Qopt - OWD:
2qa �" P
Qopt =
q �" qm
j
8
Edward Michlowicz: Logistyka przemysłowa  Optymalizacja zapasów
Oprócz optymalnej wielkości zamówienia dla danego okresu określić mo\
na równie\

optymalny czas magazynowania topt i optymalną częstotliwość składania zamówień
handlowych u dostawców nopt.
Qopt
P
topt = nopt =
P Qopt
Optymalna wartość kosztów całkowitych w analizowanym okresie czasu topt wynika
z równania:
�ł Qopt �ł
qa �" P
GKRopt = nopt �ł + �" q �" qm �ł
j
�ł �ł
Qopt 2
�ł łł
Przy wyborze odpowiedniej dla przedsiębiorstwa zasady występuje typowy konflikt
celów. Du\
a partia zamówienia wią\
e się z zaanga\
owaniem większego kapitału. Jednak
koszty zamawiania takiej partii są mniejsze, ni\
w przypadku mniejszego zamówienia,
bowiem występują odpowiednio mniej razy w rozpatrywanym okresie.
W klasycznym wzorze do określenia optymalnej wielkości zamówienia sumy
przeciwstawnych sobie kosztów (zamówienia i magazynowania) są minimalizowane:
200 Zapotrzebowanie roczne* Koszty zamówienia
Optymalna wielkość zamówienia =
Cena jednostkowa towaru *Koszt utrzymywania zapasu
Wyjściem w rozwiązaniu problemu ustalenia optymalnej wielkości zamawianej partii
towaru jest znajomość rocznego zapotrzebowania Q (lub zu\
ycia) danego materiału.
Zakładając, \
e zakupy będą dokonywane n razy w roku otrzymuje się wielkość S
jednorazowego zakupu:
S = Q / n
Zakładając, \
e koszt zakupu partii materiału  S wynosi Km, a koszt utrzymywania
zapasów wynosi Ku mo\
na wyznaczyć optymalną wielkość partii S zakupu (dostawy)
materiału:
2 " " Km
" Q "
" "
" "
S =
Ku
Obserwowany popyt zawsze jest zjawiskiem mniej lub bardziej stochastycznym,
więc przy jego rozpatrywaniu istotna jest znajomość podstawowych zagadnień statystyki.
9
Edward Michlowicz: Logistyka przemysłowa  Optymalizacja zapasów
3. Model poziomu zapasu wyznaczającego moment zamawiania
Model poziomu zapasu to klasyczny model sterowania zapasami. Charakteryzuje się
zmiennym cyklem zamawiania oraz stałą wielkością partii. Decyzja o zło\
eniu
zamówienia podejmowana jest w przypadku, gdy zapasy osiągnęły poziomu tzw. punktu
ponownego zamówienia (ROP  Re-order Point).
Poziom zapasu
alarmowego
Zapas
bezpieczeństwa
Czas
Zamówienie Dostawa Zamówienie Dostawa
Rys. Model poziomu zapasu wyznaczającego moment zamawiania
4. Model stałego cyklu zamawiania
Jest to model sterowania zapasami opierający się na stałych cyklach zamówienia
(ROC  Re-order Cycle). W tym modelu w stałych punktach czasowych sprawdzany jest
poziom zapasu. W przypadku, gdy posiadany poziom zapasów jest ni\
szy od poziomu zapasu
maksymalnego, nale\
y go zwiększyć. Wynika więc on z ró\
nicy pomiędzy zapasem
maksymalnym, a zapasem istniejącym na magazynie.
Zapas maksymalny
Zapas
bezpieczeństwa
Zamówienie Zamówienie
Dostawa Dostawa
Czas
Cykl Cykl Cykl
zamawiania zamawiania zamawiania
Rys. Model stałego cyklu zamawiania
10
Wielko
ść
zapasu
Wielko
ść
zapasu