Mechanika budowli
Metoda sił  przykład ramy z ukośnymi prętami
Przykład zaczerpnięto z książki  Podstawy mechaniki budowli M. Palucha
Temat:
Skonstruuj wykres momentów zginających dla statycznie niewyznaczalnej ramy jak na Rys. 1.
Rys. 1. Rama statycznie niewyznaczalna
Stopień statycznej niewyznaczalności dla rozważanej ramy wynosi SNS=2. W celu skonstruowania
układu podstawowego należy więc z układu odrzucić dwa więzy zewnętrzne lub wewnętrzne. W
tym przykładzie ze względu na proste rachunki na etapie wyprowadzania macierzy podatności i
wektora wyrazów wolnych zdecydowano się na przyjęcie układu podstawowego jak na Rys. 2.
Rys. 2. Układ podstawowy
M M X
Wykresy oraz od obciążeń jednostkowych na kierunkach niewiadomych i
1 2 1
X
sÄ… przedstawione na Rys. 2.
2
M M
Rys. 3. Wykresy i
1 2
X X
Przemieszczenia na kierunkach niewiadomych i wywołane jednostkowymi
1 2
obciążeniami na tych samych kierunkach można obliczyć ze wzoru:
Mi M
j
´ij= d s
"+"
EI
M1 M1 1 1
1 1 31
´11= d s= 1Å"1Å"5+ 1Å"1Å"6+ 2Å"2Å"5 =
"+"
( )
EI EI 3 3 3 2 EI
M2 M2 1 1
1 11
´22= d s= 1Å"1Å"6+ 1Å"1Å"5 =
"+"
( )
EI EI 3 3 3 EI
M M2 1 1
1 8
1
´12=´21= d s= 1Å"1Å"6+ 1Å"2Å"5 =
"+"
( )
EI EI 6 6 3 EI
Ostatecznie macierz podatności:
1
31 8
"=
[ ]
3 EI 8 11
Sprawdzenie 1:
Należy sprawdzić czy zachodzi:
M M
s s
´ij= d s
"" "+"
EI
i j
M = M
"
s i
gdzie czyli w rozwiÄ…zywanym zadaniu:
i
1 2 2
´11+´21+´21+´22= d s
"+"(M +M )(M1+M )
EI
Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymujemy
58 58
=
3 EI 3 EI
´ij
Wykonywanie tego sprawdzenia jest zalecane zaraz po obliczeniu wszystkich wartości
X X
W celu obliczenia przemieszczeń na kierunkach niewiadomych i wywołanych
1 2
MP
działaniem obciążenia zewnętrznego należy skonstruować wykres :
MP
Rys. 4. Wykres
"1P "2P
Szukane przemieszczenia oraz mogą być teraz obliczone ze wzoru:
Mi MP
"iP= d s
"+"
EI
M1 MP
1 1 1 134
"1P= d s=- 1Å"9Å"6+ 2Å"16Å"5 =-
"+"
( )
EI EI 3 6 3 EI
M MP
1 1 134
2
"2P= d s=- 1Å"9Å"6+1 1Å"16Å"5 =-
"+"
( )
EI EI 3 3 3 EI
Wektor wyrazów wolnych:
1 -134
"P=
[ ]
3 EI -134
Sprawdzenie 2:
Należy sprawdzić czy zachodzi:
M M
s P
"iP= d s
" "+"
EI
i
czyli w rozwiÄ…zywanym zadaniu:
(M +M2)MP
1
"1P+"2P= d s
"+"
EI
Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymujemy
268 268
- =-
3EI 3 EI
"iP
Wykonywanie tego sprawdzenia jest zalecane zaraz po obliczeniu wszystkich wartości
Układ równań kanonicznych metody sił przyjmie więc (po przemnożeniu przez 3 EI ) postać:
X -134 0
31 8
1
+ =
[ ] [ ] [ ]
[ ] -134 0
8 11
X
2
Co prowadzi do:
X 1
11 -8 134
1
=
[ ][ ]
[ ] -8 31 134
227
X
2
X
1,451
1
=
[ ]
[ ]
11,126
X
2
Końcowy wykres momentów zginających można otrzymać z:
M= M Å"X +MP
"
i i
i
Końcowy wykres momentów zginających jest przedstawiony na Rys. 5.
Rys. 5. Końcowy wykres momentów zginających
Przed przystąpieniem do konstruowania wykresów sił poprzecznych i sił osiowych należy wykonać
sprawdzenie końcowego wykresu momentów zginających.
Sprawdzenie 3:
Sprawdzenie to polega na obliczeniu przemieszczenia rozważanej ramy w kierunku zablokowanym
przez jeden z rzeczywistych więzów. W tym celu należy przyjąć układ podstawowy metody sił
(najlepiej inny niż ten wykorzystany podczas rozwiązywania ramy) i obciążyć go siłą jednostkową
na kierunku jednego z odrzuconych więzów (patrz Rys. 6).
Rys. 6. Wykres momentów zginających od siły
jednostkowej na kierunku odrzuconego więzu
W rozpatrywanym przykładzie poziome przemieszczenie lewego dolnego węzła ramy, zgodnie ze
wzorem redukcyjnym, wynosi:
M M
u= d s
"+"
EI
Jeżeli wykres momentów jest skonstruowany prawidłowo to obliczane przemieszczenie musi
uzyskać wartość równą zero.
1 1 12,578 2 5
"= 4Å"1,451Å"5+ 6Å"4- 9Å"6Å"4+ (46,442-38,989+11,610-38,989) =
( )
EI 3 2 3 6
1
= (160,608-160,605)H"0
EI
Oznacza to, że przemieszczenie poziome podpory nieprzesuwnej, obliczone przy zastosowaniu
otrzymanego wcześniej końcowego wykresu momentów zginających, odpowiada wartości
rzeczywistej (podpora nieprzesuwna ma zablokowaną możliwość przesuwu we wszystkich
kierunkach). To z kolei jest przesłanką do uznania otrzymanego wykresu momentów zginających za
prawidłowy.
Wykresy sił poprzecznych i osiowych należy skonstruować samodzielnie.