WYKA
AD 10
FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
1
FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
Def.
Otoczeniem O(P0,r) punktu P0 przestrzeni nazywamy zbiór: , : ,
Sąsiedztwem S(P0,r) punktu P0 przestrzeni nazywamy zbiór: , , \
Def.
Funkcją f dwóch zmiennych określoną na zbiorze o wartościach w nazywamy
przyporządkowanie ka\
demu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej liczby rzeczywistej. Funkcję
taką oznaczamy przez : lub , .
Funkcją f trzech zmiennych określoną na zbiorze o wartościach w nazywamy
przyporządkowanie ka\
demu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej liczby rzeczywistej. Funkcję
taką oznaczamy przez : lub , , .
Def.
Ciąg punktów , , & , przestrzeni jest zbie\
ny do punktu
, , & , tej przestrzeni, je\
eli odległość , dą\
y do zera, gdy ":
lim
Def. (Heinego granicy właściwej funkcji w punkcie)
Niech , oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie , .
Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w punkcie , , co zapisujemy:
lim , , , ,
wtedy i tylko wtedy, gdy:
lim , , lim , .
,
Def. (Heinego granicy niewłaściwej funkcji w punkcie)
Niech , oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie , .
Funkcja f ma granicę niewłaściwą " w punkcie , , co zapisujemy:
lim , , , ",
wtedy i tylko wtedy, gdy:
lim , , lim , " .
,
Uwaga!!!
Nie ma odpowiednika reguły de L Hospitala do obliczania granic wyra\
eń nieoznaczonych funkcji
dwóch i trzech zmiennych.
2
Def.
Niech , oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu , .
Funkcja f jest ciągła w punkcie , wtedy i tylko wtedy, gdy
lim , ,
, ,
Funkcja f jest ciągła w pewnym zbiorze A, je\
eli jest ciągła w ka\
dym punkcie tego zbioru.
Mówimy wówczas , \
e funkcja f jest klasy C w zbiorze A.
POCHODNE CZ
STKOWE FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH
Def. (pochodne cząstkowe pierwszego rzędu)
Niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu , . Pochodną cząstkową
pierwszego rzędu funkcji f względem x w punkcie , określamy wzorem:
, lim" " , " , .
Pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji f względem y w punkcie , określamy
wzorem:
, lim" , " , .
"
Oznaczenia: , , .
Interpretacja geometryczna pochodnych cząstkowych:
, , ,
Gdzie oznacza kąt nachylenia stycznej do krzywej otrzymanej w wyniku przekroju wykresu
funkcji f płaszczyzną w punkcie ( , , , , do płaszczyzny xOy, a oznacza kąt
nachylenia stycznej do krzywej otrzymanej w wyniku przekroju wykresu funkcji f płaszczyzną
.
Def.
Je\
eli funkcja f ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w ka\
dym punkcie zbioru otwartego
, to funkcje: , , , , gdzie , nazywamy pochodnymi
cząstkowymi pierwszego rzędu funkcji f na zbiorze A.
3
Def.
Niech funkcja f ma pochodne cząstkowe , przynajmniej na otoczeniu , . Pochodne
cząstkowe drugiego rzędu funkcji f w punkcie , określamy wzorami:
, , , , , ,
, , , , , ,
Def.
Je\
eli funkcja f ma pochodne cząstkowe drugiego rzędu w ka\
dym punkcie zbioru otwartego
, to funkcje
, , , , , , ,
nazywamy pochodnymi cząstkowymi drugiego rzędu funkcji f na zbiorze A i oznaczamy
odpowiednio:
, , , , lub przez , , ,
Def.
Niech funkcja f ma pochodne cząstkowe rzędu 2 przynajmniej na otoczeniu , .
Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie , pochodnych cząstkowych rzędu n funkcji
f nazywamy pochodnymi cząstkowymi rzędu n+1 funkcji f w punkcie , .
Je\
eli funkcja f ma pochodne cząstkowe rzędu n w ka\
dym punkcie zbioru otwartego, to mówimy,
\
e na tym zbiorze określone są pochodne cząstkowe rzędu n funkcji f.
Pochodną cząstkową n-tego rzędu funkcji f w punkcie , , powstałą w wyniku k-krotnego
ró\
niczkowania względem zmiennej x i następnie l-krotnego ró\
niczkowania względem zmiennej y,
gdzie k+l=n, oznaczamy: , .
Tw.(Schwarza o pochodnych mieszanych)
Je\
eli pochodne cząstkowe , , , są ciągłe w punkcie , , to są równe, tj.:
, , .
Równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji
Niech funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe , w punkcie , . Wówczas płaszczyzna
styczna do wyk teru funkcji f w punkcie , , , ma postać:
, , ,
4
Def. (ró\
niczka funkcji)
Niech funkcja f ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie , . Ró\
niczką funkcji f
w punkcie , nazywamy funkcję df , zmiennych " , " określoną wzorem:
, " , " , " , " .
Zastosowanie ró\
niczki do obliczeń przybli\
onych:
Niech funkcja f ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie , . Wtedy:
" , " , , " , "
Def. (gradient funkcji)
Gradientem funkcji w punkcie , nazywamy wektor określony wzorem:
, , , ,
Analogicznie określa się gradient funkcji trzech zmiennych.
Gradient funkcji w punkcie wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji w tym punkcie.
Def. (minimum lokalne (właściwe) funkcji dwóch zmiennych)
Funkcja f ma w punkcie , minimum lokalne (właściwe), je\
eli istnieje otoczenie
(sąsiedztwo) tego punktu takie, \
e dla dowolnego (x, y) z tego otoczenia (sąsiedztwa) zachodzi
nierówność:
, , , , , .
Def. (maksimum lokalne (właściwe) funkcji dwóch zmiennych)
Funkcja f ma w punkcie , maksimum lokalne (właściwe), je\
eli istnieje otoczenie
(sąsiedztwo) tego punktu takie, \
e dla dowolnego (x, y) z tego otoczenia (sąsiedztwa) zachodzi
nierówność:
, , , , , .
Tw. (warunek konieczny istnienia ekstremum)
Je\
eli funkcja f spełnia warunki:
1. Ma ekstremum lokalne w punkcie , ,
2. Istnieją pochodne cząstkowe , , , ,
to , 0, , 0
Prawdziwe jest analogiczne twierdzenie dla funkcji trzech zmiennych.
Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa.
!!! Funkcja mo\
e mieć ekstrema w punktach, w których wszystkie jej pochodne cząstkowe
pierwszego rzędu są równe 0 albo w punktach, w których choć jedna z tych pochodnych
cząstkowych nie istnieje.
5
Tw. (warunek wystarczający istnienia ekstremum)
Niech funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe rzędu drugiego na otoczeniu punktu , oraz
niech :
1. , 0, , 0,
, ,
2. 0.
, ,
Wtedy funkcja f ma w punkcie , ekstremum lokalne właściwe i jest to :
minimum, gdy , 0 albo maksimum, gdy , 0.
Uwaga.
Gdy wyznacznik w zało\
eniu 2. Jest ujemny, to funkcja nie ma ekstremum lokalnego. W
przypadku, gdy wyznacznik ten jest równy 0, to badanie, czy funkcja f ma ekstremum lokalne w
punkcie , przeprowadzamy innymi metodami (np. korzystając z definicji).
Tw. (warunek wystarczający istnienia ekstremum)
Niech funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe rzędu drugiego na otoczeniu punktu , , oraz
niech :
1. , , 0, , , 0, , , 0
2. , , 0
, , , ,
0,
, , , ,
, , , , , ,
, , , , , ,
0.
, , , , , ,
Wtedy funkcja f ma w punkcie , , minimum lokalne właściwe.
Uwaga.
Gdy zało\
enie 2. ma postać 0, 0, 0, to funkcja f ma w punkcie , ,
maksimum lokalne właściwe.
Dla pozostałych wartości A,B,C, o ile 0 , funkcja nie ma ekstremum lokalnego w
punkcie , , .
6