Wykład 10
Zjawisko piezoelektryczności
Rozróżniamy efekt piezoelektryczny prosty i odwrotny. Efekt piezoelektryczny prosty
obejmuje zjawiska polegające na tym, że w pewnych kryształach naprężenia mechaniczne albo
deformacje powodujÄ… wystÄ…pienie w nich polaryzacji elektrycznej albo pola elektrycznego,
które są wprost proporcjonalne do wielkości przyłożonego naprężenia albo deformacji. Prosty
efekt piezoelektryczny opisują cztery równania:
Pi = dijkt Pi = eijkrjk , (10.1a)
,
jk
Ei = -gijkt Ei = -hijkt
, . (10.1b)
jk jk
Pi Ei
We wzorach (10.1) i są składowymi wektora polaryzacji elektrycznej i wektora
t rjk
natężenia pola elektrycznego; i  składowe tensora naprężenia i tensora deformacji.
jk
Efekt piezoelektryczny odwrotny, jak widać z nazwy efektu, obejmuje grupę zjawisk
polegających na tym, że kryształ pod wpływem z zewnątrz pola elektrycznego albo zmiany
polaryzacji elektrycznej kryształu deformuje się i zmienia swój kształt. Odwrotny efekt
piezoelektryczny opisują też cztery równania:
rjk = dijk Ei , rjk = gijk Pi , (10.2a)
t = -eijk Ei , t = -hijk Pi . (10.2b)
jk jk
dijk eijk gijk hijk
We wzorach (10.1) i (10.2) wielkości , , , , określające efekt piezoelektryczny
prosty i odwrotny, tworzą odpowiednie tensory trzeciego rzędu  tensory współczynników
dijk
piezoelektryczności. Współczynniki zwykle nazywane są modułami
piezoelektryczności.
W ogólnym przypadku tensor trzeciego rzędu ma składowych. Jednak
33 = 27
t rjk t tkj rjk
wskutek tego, że tensory drugiego rzędu i są tensorami symetrycznymi ( = ; =
jk jk
rkj ) ze wzorów (10.1) i (10.2) wynika, że tylko 18 składowych tych tensorów jest
t
niezależnych. Istotnie, biorąc pod uwagę symetrię tensora , na przykład wzór (10.1a)
jk
możemy zapisać w postaci
93
(dijk + dikj )
Pi = Å"t . (10.3)
jk
2
dijk dikj
Stąd widzimy, że współczynniki i występują parami w równaniu prostego efektu
piezoelektrycznego. Oznacza to, że nie można przeprowadzić takiego eksperymentu, który
dijk dikj
pozwoliłby zmierzyć oddzielnie i . Zawsze będziemy mierzyli sumę tych dwóch
dijk
składowych tensora . Ten element niejednoznaczności w wyborze pojedynczych
dijk dikj
współczynników i możemy usunąć zakładając, że
dijk = dikj . (10.4)
dijk j
Symetria (10.4) tensora względem wskaz
ników i k zmniejsza liczbę niezależnych
dijk
składowych tensora do osiemnastu.
eijk gijk hijk
Podobne rozumowania, przeprowadzone dla tensorów , , doprowadzą do
wniosku, że te tensory również mają tylko 18 niezależnych składowych.
dijk eijk gijk hijk
Współczynniki , , , nie są niezależne od siebie. Na przykład, korzystając
z uogólnionego prawa Hooke a łatwo otrzymać ze wzorów (10.1a) i (10.1b)
dmjk Em = rjk = s tnl = -s emnl Em ,
jknl jknl
skÄ…d
dmjk = -s emnl . (10.6)
jknl
W podobny sposób możemy znalez
ć, że
emjk Em = -t = -cjknlrnl = -c dmnlEm ,
jk jknl
skÄ…d
emjk = -cjknldmnl . (10.7)
t rjk dijk eijk gijk hijk
Fakt, iż składowe tensorów , , oraz tensorów , , , są symetryczne
jk
j
ze względu na wskaz
niki i k , daje możliwość wprowadzenia bardziej zwięzłego zapisu
równań efektu piezoelektrycznego, znanego pod nazwą zapisu macierzowego. W tym celu
94
j
zastępujemy dwa wskaz
niki i k w równaniach (10.1) i (10.2) jednym wskaz
nikiem,
zmieniającym się od 1 do 6 zgodnie z regułą:
Zapis wskaz
ników (jk) 11 22 33 23,32 31,13 12,21
(10.8)
Tensorowy
Zapis macierzowy (m) 1 2 3 4 5 6
wskaz
ników (jk)
m
i
gdy = 1,2 lub 3; = 1,2,3,
dijk = dim ,
(10.9)
m
i
gdy = 4,5 lub 6; = 1,2,3.
2dijk = dim ,
dim m
Wprowadzenie czynnika 2 w definicji składowych ( = 4,5,6) jest związane z chęcią
uniknięcia tego czynnika w zapisie macierzowym równań efektu piezoelektrycznego, które
przyjmują teraz postać:
Pi = dimtm Pi = eimrm
, , (10.10a)
Ei = -gimtm Ei = -himrm
, , (10.10b)
rm = dimEi rm = gimPi
, , (10.11a)
tm = -eimEi tm = -himPi
, . (10.11b)
dijk eijk gijk hijk
Oznaczenie składowych tensorów , , , za pomocą dwóch wskaz
ników daje
możliwość zapisu wszystkich współczynników piezoelektryczności w postaci tabelki. Na
dijk
przykład moduły piezoelektryczności możemy zapisać jako
d11 d12 d13 d14 d15 d16
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚d d22 d23 d24 d25 d26 śł
. (10.12)
21
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
31 ûÅ‚
ðÅ‚d d32 d33 d34 d35 d36 śł
dim
Należy jednak zawsze pamiętać, że współczynniki , charakteryzujące się dwoma
wskaz
nikami, nie transformują się jak składowe tensora drugiego rzędu.
95
dim eim gim him
Tensory , , , są tensorami materii, a więc występująca w kryształach
symetria, zgodnie z zasadą Neumanna, redukuje w znacznym stopniu liczbę niezależnych
współczynników piezoelektryczności. Wcześniej wykazaliśmy, że kryształy w których
występuje środek symetrii nie mogą mieć własności piezoelektrycznych. Efekt
piezoelektryczny może występować tylko w kryształach należących do 10-ciu klas polarnych,
co stanowi cenną wskazówkę przy analizie struktury kryształów metodą rentgenograficzną.
W praktyce efekt piezoelektryczny najczęściej bada się ściskając cienką płytkę wyciętą
z kryształu. W ogólnym przypadku przy ściskaniu płytki piezoelektryka powstająca polaryzacja
elektryczna jest skierowana nie zawsze prostopadłe do powierzchni płytki. Jeżeli okładki
metalowe, za pomocą których mierzymy indukowane na powierzchni płytki ładunki
elektryczne, są rozmieszczone prostopadle do pary sił, ściskających płytkę, to doświadczalne
P||
będziemy mierzyli tylko podłużną składową polaryzacji elektrycznej, tj. składową wektora
polaryzacji , równoległa do kierunku działania naprężenia ściskającego płytkę. Mierzony w
P
taki sposób efekt piezoelektryczny nazywamy podłużnym. Podłużny efekt piezoelektryczny
możemy przedstawić graficznie za pomocą powierzchni podłużnego efektu
piezoelektrycznego. Promień wodzący tej powierzchni pokrywa się z kierunkiem działania siły
ściskającej, długość zaś jest proporcjonalna do ładunku elektrycznego indukowanego
działaniem jednostki siły na jednostkę powierzchni płytki, wyciętej prostopadle do kierunku
działającej siły.
Efekty piezoelektryczne prosty i odwrotny zawsze są powiązane między sobą.
Naprężenie zewnętrzne przyłożone do kryształu piezoelektrycznego wskutek prostego efektu
piezoelektrycznego wywołuje w nim polaryzację. Z kolei ładunki elektryczne indukowane na
powierzchni piezoelektryka wytwarzają pole elektryczne, które prowadzi, wskutek
odwrotnego efektu, do jego deformacji. Ważną charakterystyką piezoelektryka z punktu
k
widzenia jego zastosowań w przetwornikach jest czynnik sprzężenia elektromechanicznego ,
który określamy dla prostego efektu jako
zmagazynowana energia elektryczna
k =
. (10.13)
zmagazynowana energia mechaniczna
k
Przykład 10.1. Obliczymy czynnik sprzężenia elektromechanicznego na przykładzie
cienkiej płytki wyciętej z piezoelektryka na którą działa para sił prostopadle do powierzchni
96
rð
płytki. Jeżeli oznaczmy przez n wektor jednostkowy normalny do powierzchni płytki, to
tensor naprężenia w przypadku efektu podłużnego ma składowe
tij = t Å" ninj . (10.14)
(t > 0)
Umówmy się, że dla naprężenia ściskającego płytkę .
Gęstość powierzchniowa ładunku elektrycznego które powstaje na powierzchni płytki wskutek
prostego efektu piezoelektrycznego wynosi
rð
rð
à = n Å" P = Pn
, (10.15)
Pn
gdzie - składowa wektora polaryzacji wzdłuż kierunku prostopadłego do powierzchni
płytki.
Zgodnie z równaniem prostego efektu piezoelektrycznego (10.10a) mamy
Pn = d33 Å" t
. (10.16)
rð
Tu Oz wybraliśmy wzdłuż jednostkowego wektora n .
Występujące na przeciwległych powierzchniach płytki ładunki elektryczne wytwarzają pole
elektryczne, które ma kierunek przeciwny do wektora polaryzacji. Składowa natężenia tego
pola wzdłuż osi Oz wynosi
Ã
d33
Ez = - = - Å" t
. (10.17)
µ0µ33 µ0µ33
Zgodnie z równaniem odwrotnego efektu piezoelektrycznego (10.11a) i uogólnionym
rm
prawem Hooke a dla składowych tensora deformacji możemy zapisać
2
d33
rm = sm3 Å"t + d33Ez = ( sm3 - )Å"t
. (10.18)
µ0µ33
a
Energia sprężysta pytki o grubości , zgodnie z (10.19) wynosi
2
1 1 1 d33
Wsp = a Å" tmrm = at2s33 - at2
. (10.19)
2 2 2 µ0µ33
97
Energia elektryczna zmagazynowana w spolaryzowanej płytce na jednostce pola powierzchni
płytki jest równa
2
1 1 µ0µ33 d33 1 d33
2
Wel = CU = Å" (a Å" Å" t)2 = at2
. (10.20)
2 2 a µ0µ33 2 µ0µ33
Z porównania wzorów (10.19) i (10.20) widzimy, że energia sprężysta płytki zmniejsza się o
tyle o ile rośnie energia związana z polaryzacją płytki. Stosunek Wel /(Wel + Wsp ) właśnie
Rmech = Wel + Wsp która została zużyta na polaryzację
określa tą cześć energii mechanicznej
płytki. Więc, dla czynnika sprzężenia elektromechanicznego k otrzymujemy
Wel d33
k = =
. (10.21)
Rmech
µ0µ33s33
W przypadku efektu odwrotnego zewnętrzne pole elektryczne powoduje deformację
r3 = d33E3
płytki wzdłuż osi Oz : . Deformacja płytki, wskutek prostego efektu, wywołuje
(P3 = e33r3 = e33d33E3 = -c33d33d33E3)
polaryzacje płytki . Wypadkowe pole elektryczne będzie
równe sumie pola zewnętrznego i pola indukowanych ładunków. Składowa wypadkowego
pola elektrycznego wzdłuż osi Oz wynosi więc
d33c33d33
Ez = E3(1- )
. (10.22)
µ0µ33
a
Energia sprężysta płytki grubości wynosi
1 1 1
2
Wsp = a Å" tmrm = a Å" cmkrkrm = aE3 (d33c33d33)
. (10.23)
2 2 2
Energia pola elektrycznego, zgodnie z (10.22), zmagazynowana w płytce jest równa
1 1 µ0µ33 2 d33c33d33
2
Wel = CU = Å" E3 a2 Å" (1- )2
2 2 a µ0µ33
. (10.24)
1
2 2
E" µ0µ33aE3 - aE3 (d33c33d33)
2
98
Z porównania wzorów (10.23) i (10.24) widzimy, że energia elektryczna płytki zmniejsza się i
idzie na polaryzację i deformację płytki. Stosunek Wsp /(Wel + 2Wsp ) właśnie określa tą cześć
Rel = Wel + 2Wsp która została zużyta na deformację płytki. Więc, dla
energii elektrycznej
czynnika sprzężenia elektromechanicznego k w tym przypadku otrzymujemy
Wsp
c33
k = = d33
. (10.25)
Rel µ0µ33
dim
Przykład 10.2. Wykażemy, że macierz modułów piezoelektryczności ferroelektryka
NaKC4H4O6 4H2O
winianu sodowo - potasowego (sól Siegnette a , , grupa punktowa )
222
ma postać
0 0 0 d14 0 0
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚0 śł
[dim] = 0 0 0 d25 0
. (10.26)
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
ðÅ‚0 0 0 0 0 d36 śł
ûÅ‚
Skorzystamy z metody bezpośredniego sprawdzania. Rozważmy najpierw
dijk
przekształcenie składowych tensora wskutek działania osi dwukrotnej równoległej do osi
Ox3
. Obrót układu współrzędnych dookoła tej osi o kąt doprowadzi do następujących
1800
x1
przekształceń współrzędnych: -x1 x2 -x2 x3 x3
, , . Stąd otrzymujemy, że
d14 d15 d24 d25 d31 d32 d33 d36
niezerowe jest 8 modułów: , , , , , , , . Rozważmy teraz
dijk
przekształcenie składowych tensora wskutek działania osi dwukrotnej równoległej do osi
Ox2
. Obrót układu współrzędnych dookoła tej osi o kąt doprowadzi do następujących
1800
x1
przekształceń współrzędnych: -x1 x2 x2 x3
. Stąd otrzymujemy, że spośród
, , -x3
d15 = 0 d24 = 0 d31 = d32 = d33 = 0
8 modułów pięć jest równych zeru: , , . A więc macierz
modułów piezoelektryczności soli Siegnette a ma trzy niezerowe moduły i ma postać (10.26).
Przykład 10.3. Wykażemy, że równanie powierzchni podłużnego efektu
piezoelektrycznego ma postać
r = ninjnkdijk . (10.27)
99
rð
r ni
Tu - długość promienia wodzącego w kierunku określonym jednostkowym wektorem n ;
rð
- cosinusy kierunkowe wektora n w wybranym układzie współrzędnych.
Ox1,Ox2,Ox3
Niech układ współrzędnych jest krystałofizycznym układem
/ / /
Ox1 ,Ox2,Ox3
współrzędnych. Wprowadz
my nowy układ współrzędnych , związany z płytką
/
tak aby oś Ox1 była prostopadła do powierzchni płytki. Jeżeli poddajemy płytkę działaniu
naprężenia rozciągającego o kierunku prostopadłym do powierzchni płytki, w płytce z
piezoelektryka wystąpi polaryzacja o składowych we wszystkich trzech kierunkach
/ / / /
Ox1 ,Ox2,Ox3
. Zgodnie ze wzorem (10.1a), składowa wektora polaryzacji w kierunku osi Ox1
, którą mierzymy w efekcie podłużnym, wynosi
/ /
P1/ = d111 Å"t11 . (10.28)
/
Tu d111 jest składową tensora modułów piezoelektryczności w  primowanym układzie
współrzędnych.
Zgodnie z określeniem powierzchni charakterystycznej podłużnego efektu
/
piezoelektrycznego promień wodzący tej powierzchni w kierunku osi Ox1 jest równy
/
P1/ = Ã
modułowi d111 ( , gdzie à jest gęstością powierzchniową ładunku polaryzacyjnego), a
więc
/
r = d111 . (10.29)
Korzystając z reguł transformacji składowych tensora trzeciego rzędu, wzór (10.29) możemy
zapisać w postaci
/
r = Ä…1 iÄ…1 jÄ…1 kdijk . (10.30)
/ / /
ZamieniajÄ…c we wzorze (10.30) wskaz
nik na i biorąc pod uwagę, że ąni a" ni
,
1/ n
otrzymujemy wzór (10.27).
Przykład 10.4. Wykażemy, że w krysztale soli Siegnette a istnieją takie kierunki w
których podłużny efekt piezoelektryczny nie jest obserwowany.
Sól Siegnette a, zgodnie z (10.26), ma trzy niezerowe moduły piezoelektryczności
d14 = 2d123 d25 = 2d231 d36 = 2d321
, , . (10.31)
100
Podstawiając (10.31) do równania powierzchni podłużnego efektu piezoelektrycznego (10.27)
mamy
r = n1n2n3(2d123 + 2d231 + 2d321)
. (10.32)
Ze wzoru (10.32) wynika, że jeżeli płytka z kryształu soli Siegnette a jest ściśnięta wzdłuż
n1 = 1 n2 = n3 = 0
jednej z osi dwukrotnej (na przykład , ), to efekt podłużny nie jest
obserwowany. Maksymalny efekt podłużny ma płytka dla której wektor prostopadły do
powierzchni płytki pokrywa się z kierunkiem [111] ( n1 = n2 = n3 = 1/ 3 ).
Przykład 10.5. Obliczymy czynnik sprzężenia elektromechanicznego k cienkiej płytki
wyciętej z soli Siegnette a w kształcie prostopadłościanu. Powierzchnia płytki jest
Ox1
zorientowana prostopadłe do osi (oś 2). Wektor natężenia pola elektrycznego,
/
Ox1
wzbudzający poprzeczne drgania płytki, jest równoległy do osi . Krawędz
płytki (oś Ox2 )
Ox3 Ox2
tworzy kÄ…t z osiami (oÅ› 2) i (oÅ› 2).
450
Zgodnie ze wzorem (10.11a) równanie poprzecznego piezoelektrycznego wzbudzenia
takiej płytki ma postać
r2 = d1 2/ E1 . (10.33)
/ /
Czynnik sprzężenia elektromechanicznego określa w tym przypadku wzór
d1 2/
/
k =
. (10.34)
µ0µ11s2 2/
/
Korzystając z reguł przekształcenia składowych tensora trzeciego rzędu oraz uwzględniając, że
/
macierz ąi j przekształcenia osi współrzędnych ma postać
1 0 0
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚0
[ąi j]= cos 450 sin 450 śł
/ , (10.35)
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ - sin 450 cos 450 ûÅ‚
śł
ðÅ‚0
otrzymujemy
101
d1 2/ a" d1 2/2/ = Ä…1 iÄ…2 jÄ…2 k dijk =
/ / / / /
= Ä…1 1(Ä…2 2Ä…2 2d122 +Ä…2 2Ä…2 3d123 + Ä…2 3Ä…2 2d132 + Ä…2 3Ä…2 3d133 ) =
/ / / / / / / / /
1
= (d12 + d14 + d13 )
. (10.36)
2
Korzystając z postaci macierzy piezoelektrycznych modułów (10.26) dla soli Siegnette a, ze
wzoru (10.36) otrzymujemy
1
d1 2/ = d14
. (10.37)
/
2
W sposób podobny, korzystając z reguł przekształcenia składowych tensora czwartego rzędu
/
oraz uwzględniając postać macierzy ąi j przekształcenia osi współrzędnych (10.35)
znajdujemy
s2 2/ a" s2 2/ 2/ 2/ = Ä…2 iÄ…2 jÄ…2 kÄ…2 l sijkl = Ä…2 2Ä…2 2Ä…2 2Ä…2 2s2222 + Ä…2 3Ä…2 3Ä…2 3Ä…2 3s3333 +
/ / / / / /
/ / / / / / / /
+Ä…2 2Ä…2 2Ä…2 2Ä…2 3( s2223 + s2232 + s2322 + s3222 ) +
/ / / /
+Ä…2 2Ä…2 2Ä…2 3Ä…2 3( s2233 + s2323 + s3223 + s3232 + s3322 + s2332 ) +
/ / / /
+Ä…2 3Ä…2 3Ä…2 3Ä…2 2( s3332 + s3323 + s3233 + s2333 ) =
/ / / /
1
= [s22 + s33 + (s24 + s42 ) + (s23 + s32 + s44 ) + (s34 + s43 )]
(10.38)
4
Biorąc pod uwagę postać macierzy współczynników sprężystości dla soli Siegnette a
s11 s12 s13 0 0 0
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚s s22 s23 0 0 0 śł
12
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
s13 s23 s33 0 0 0
sij =
,
ïÅ‚ śł
0 0 0 s44 0 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 0 0 0 s55 0
ïÅ‚ śł
0 0 0 0 0 s66 ûÅ‚
ïÅ‚ śł
ðÅ‚
102
ze wzoru (10.38) otrzymujemy
1
s2 2/ = (s22 + s33 + 2s23 + s44 )
. (10.39)
/
4
Po podstawieniu (10.37) i (10.39) do wzoru (10.34) znajdujemy
d14
k =
. (10.40)
µ0µ11(s22 + s33 + s44 + 2s23)
103