Wydział EAIiE
Wydział EAIiE
Przedmiot: Fizyka
Przedmiot: Fizyka
Kierunek: Elektrotechnika
Kierunek: Elektrotechnika
RACHUNEK WEKTOROWY W
RACHUNEK WEKTOROWY W
FIZYCE
FIZYCE
Materiał do wykładu 2 2010/2011, zima 1
Wydział EAIiE
Wydział EAIiE
Przedmiot: Fizyka
Przedmiot: Fizyka
Kierunek: Elektrotechnika
Kierunek: Elektrotechnika
Plan
Plan
" Pojęcie wektora
" Pojęcie wektora
" Działania na wektorach
" Działania na wektorach
" Wektor w kartezjańskim układzie
" Wektor w kartezjańskim układzie
współrzędnych
współrzędnych
" Przykłady wykorzystania wektorów i działań
" Przykłady wykorzystania wektorów i działań
na nich w fizyce
na nich w fizyce
Materiał do wykładu 2 2010/2011, zima 2
1
Wydział EAIiE
Wydział EAIiE
Przedmiot: Fizyka
Przedmiot: Fizyka
Kierunek: Elektrotechnika
Kierunek: Elektrotechnika
Pojęcie wektora
Pojęcie wektora
Wektor ma trzy cechy:
Wektor ma trzy cechy:
1. Kierunek
1. Kierunek
r
2. Zwrot
2. Zwrot
a
r
3. Wartość
3. Wartość
- a
(długość)
(długość)
r r
a = - a = a
Materiał do wykładu 2 2010/2011, zima 3
Wydział EAIiE
Wydział EAIiE
Przedmiot: Fizyka
Przedmiot: Fizyka
Kierunek: Elektrotechnika
Kierunek: Elektrotechnika
DA
UGOŚĆ WEKTORA
DA
UGOŚĆ WEKTORA
r
a â
Wersor jest to
Wersor jest to
OÅ› liczbowa
OÅ› liczbowa
5 â
wektor jednostkowy
wektor jednostkowy
â =1
Długość wektora
Długość wektora
Ogólnie:
Ogólnie:
r r
a = a a = a â
MateriaÅ‚ do wykÅ‚adu 2 2010/2011, zîma 4
2
Wydział EAIiE
Wydział EAIiE
Przedmiot: Fizyka
Przedmiot: Fizyka
Kierunek: Elektrotechnika
Kierunek: Elektrotechnika
A punkt przyło\
enia?
A punkt przyło\
enia?
Ruch
Ruch
postępowy
postępowy
Ruch
Ruch
obrotowy
obrotowy
Materiał do wykładu 2 2010/2011, zima 5
Wydział EAIiE
Wydział EAIiE
Przedmiot: Fizyka
Przedmiot: Fizyka
Kierunek: Elektrotechnika
Kierunek: Elektrotechnika
Działania na wektorach
Działania na wektorach
" Dodawanie
" Dodawanie
" Odejmowanie
" Odejmowanie
" Mno\
enie:
" Mno\
enie:
" Iloczyn wektora przez liczbÄ™
" Iloczyn wektora przez liczbÄ™
" Iloczyn skalarny dwóch wektorów
" Iloczyn skalarny dwóch wektorów
" Iloczyn wektorowy dwóch wektorów
" Iloczyn wektorowy dwóch wektorów
Materiał do wykładu 2 2010/2011, zima 6
3
Wydział EAIiE
Wydział EAIiE
Przedmiot: Fizyka
Przedmiot: Fizyka
Kierunek: Elektrotechnika
Kierunek: Elektrotechnika
Dodawanie wektorów
Dodawanie wektorów
r
b
r
a
r
r
a + b
Materiał do wykładu 2 2010/2011, zima 7
Wydział EAIiE
Wydział EAIiE
Przedmiot: Fizyka
Przedmiot: Fizyka
Kierunek: Elektrotechnika
Kierunek: Elektrotechnika
Odejmowanie wektorów
Odejmowanie wektorów
r r
r r
a - b = a + (-b)
r
b
r
r
r
a
r
a - b
- b
Wektor przeciwny
Wektor przeciwny
Materiał do wykładu 2 2010/2011, zima 8
4
Wydział EAIiE
Wydział EAIiE
Przedmiot: Fizyka
Przedmiot: Fizyka
Kierunek: Elektrotechnika
Kierunek: Elektrotechnika
Reguła równoległoboku
Reguła równoległoboku
r
b
r
r
r
a
a + b
r
r
a - b
Materiał do wykładu 2 2010/2011, zima 9
Wydział EAIiE
Wydział EAIiE
Przedmiot: Fizyka
Przedmiot: Fizyka
Kierunek: Elektrotechnika
Kierunek: Elektrotechnika
WEKTOR WYPADKOWY
WEKTOR WYPADKOWY
np. wypadkowe
np. wypadkowe
przemieszczenie,
przemieszczenie,
wypadkowa siła
wypadkowa siła
Materiał do wykładu 2 2010/2011, zima 10
5
Wydział EAIiE
Wydział EAIiE
Przedmiot: Fizyka
Przedmiot: Fizyka
Kierunek: Elektrotechnika
Kierunek: Elektrotechnika
Rozkład wektora
Rozkład wektora
k
r
r
ak a
r
l
al
r r r
a = ak + al
Materiał do wykładu 2 2010/2011, zima 11
Wydział EAIiE
Wydział EAIiE
Przedmiot: Fizyka
Przedmiot: Fizyka
Kierunek: Elektrotechnika
Kierunek: Elektrotechnika
ILOCZYN WEKTORA PRZEZ LICZB

ILOCZYN WEKTORA PRZEZ LICZB

r
r
k a = b
r
a
r
r
3a = b
r
r
-1,5 a = b
Wynik działania jest wektorem
Wynik działania jest wektorem
Materiał do wykładu 2 2010/2011, zima 12
6
Wydział EAIiE
Wydział EAIiE
Przedmiot: Fizyka
Przedmiot: Fizyka
Kierunek: Elektrotechnika
Kierunek: Elektrotechnika
r
r
Wektory i są równoległe
Wektory i są równoległe
a b
(majÄ… ten sam kierunek)
(majÄ… ten sam kierunek)
r r
r r
k a = bÒ!a b
Gdy k>0, zwroty zgodne
Gdy k<0, zwroty przeciwne
Wartość (długość) wektora:
b = k a
Materiał do wykładu 2 2010/2011, zima 13
Wydział EAIiE
Wydział EAIiE
Przedmiot: Fizyka
Kierunek: Elektrotechnika
Kierunek: Elektrotechnika
ILOCZYN SKALARNY - DEFINICJA
ILOCZYN SKALARNY - DEFINICJA
r
r
r
a o b = a b cosÕ
b
Ć Wynik działania jest liczbą:
Wynik działania jest liczbą:
dodatniÄ…, ujemnÄ… (kiedy?) lub
dodatniÄ…, ujemnÄ… (kiedy?) lub
r
nawet zero
a nawet zero
r r
r r
Działanie jest przemienne
Działanie jest przemienne
a o b = b o a
Materiał do wykładu 2 2010/2011, zima 14
7
Wydział EAIiE
Wydział EAIiE
Przedmiot: Fizyka
Przedmiot: Fizyka
Kierunek: Elektrotechnika
Kierunek: Elektrotechnika
ILOCZYN SKALARNY - KONSEKWENCJE
ILOCZYN SKALARNY - KONSEKWENCJE
r
r
a o b = a b cos900= 0
r
b Je\
eli wektory są prostopadłe
Ć=900 Je\
eli wektory są prostopadłe
to ich iloczyn skalarny jest
to ich iloczyn skalarny jest
równy 0
równy 0
r
SÅ‚u\
y do sprawdzania
SÅ‚u\
y do sprawdzania
a
prostopadłości wektorów
prostopadłości wektorów
Materiał do wykładu 2 2010/2011, zima 15
Wydział EAIiE
Wydział EAIiE
Przedmiot: Fizyka
Przedmiot: Fizyka
Kierunek: Elektrotechnika
Kierunek: Elektrotechnika
ILOCZYN SKALARNY - KONSEKWENCJE
ILOCZYN SKALARNY - KONSEKWENCJE
r
r r
a
Ć=00
a o a = a2
r
SÅ‚u\
y do określenia długości wektora
SÅ‚u\
y do określenia długości wektora
a
r r
a = a o a
Materiał do wykładu 2 2010/2011, zima 16
8
Wydział EAIiE
Wydział EAIiE
Przedmiot: Fizyka
Przedmiot: Fizyka
Kierunek: Elektrotechnika
Kierunek: Elektrotechnika
ILOCZYN WEKTOROWY - DEFINICJA
ILOCZYN WEKTOROWY - DEFINICJA
r
r r
a × b = c
Wynik działania jest
Wynik działania jest
r
wektorem. Nale\
y zatem
wektorem. Nale\
y zatem
b
r
podać trzy jego cechy, nie
podać trzy jego cechy, nie
c
Ć
tylko wartość ale przede
tylko wartość ale przede
wszystkim kierunek (!!!!) i
wszystkim kierunek (!!!!) i
r
zwrot
zwrot
a
Materiał do wykładu 2 2010/2011, zima 17
Wydział EAIiE
Wydział EAIiE
Przedmiot: Fizyka
Przedmiot: Fizyka
Kierunek: Elektrotechnika
Kierunek: Elektrotechnika
Iloczyn wektorowy - definicja
Iloczyn wektorowy - definicja
r
r
1. Kierunek wektora jest
1. Kierunek wektora jest
a × b
prostopadły do płaszczyzny utworzonej
prostopadły do płaszczyzny utworzonej
r
r
przez wektory i czyli
przez wektory i czyli
a b
r
r r
a × b Ä„" a
i
ri r
r
a × b Ä„" b
Materiał do wykładu 2 2010/2011, zima 18
9
Wydział EAIiE
Wydział EAIiE
Przedmiot: Fizyka
Przedmiot: Fizyka
Kierunek: Elektrotechnika
Kierunek: Elektrotechnika
Iloczyn wektorowy - definicja
Iloczyn wektorowy - definicja
r
r
2. Zwrot wektora
2. Zwrot wektora
a × b
określamy regułą prawej ręki
określamy regułą prawej ręki
lub śruby prawoskrętnej
lub śruby prawoskrętnej
Działanie to nie jest przemienne
Działanie to nie jest przemienne
r r
r r
a × b = -b × a
Materiał do wykładu 2 2010/2011, zima 19
Wydział EAIiE
Wydział EAIiE
Przedmiot: Fizyka
Przedmiot: Fizyka
Kierunek: Elektrotechnika
Kierunek: Elektrotechnika
Iloczyn wektorowy - definicja
Iloczyn wektorowy - definicja
r
r
3. Długość wektora
3. Długość wektora
a × b
to liczba:
to liczba:
r
r
a × b = a bsin Õ
Uwaga: Je\
eli przynajmniej jeden z wektorów
Uwaga: Je\
eli przynajmniej jeden z wektorów
jest zerowy lub wektory majÄ… ten sam kierunek
jest zerowy lub wektory majÄ… ten sam kierunek
r
r
(pokrywają się lub są równoległe) to
(pokrywają się lub są równoległe) to
a × b = 0
r r
W szczególności
W szczególności
a × a = 0
Materiał do wykładu 2 2010/2011, zima 20
10
Wydział EAIiE
Wydział EAIiE
Przedmiot: Fizyka
Przedmiot: Fizyka
Kierunek: Elektrotechnika
Kierunek: Elektrotechnika
r r
a × a = 0
DLACZEGO?
Bo je\
eli jest tylko jeden wektor to nie mo\
na
Bo je\
eli jest tylko jeden wektor to nie mo\
na
utworzyć płaszczyzny, do której wektor będący
utworzyć płaszczyzny, do której wektor będący
wynikiem iloczynu wektorowego byłby
wynikiem iloczynu wektorowego byłby
prostopadły.
prostopadły.
Jak widać, jest to problem kierunku a nie
Jak widać, jest to problem kierunku a nie
wartości wektora.
wartości wektora.
Materiał do wykładu 2 2010/2011, zima 21
Wydział EAIiE
Wydział EAIiE
Przedmiot: Fizyka
Przedmiot: Fizyka
Kierunek: Elektrotechnika
Kierunek: Elektrotechnika
Iloczyn wektorowy - konsekwencje
Iloczyn wektorowy - konsekwencje
r r
1. Je\
eli
1. Je\
eli r r
a bÒ!a × b = 0
2. SÅ‚u\
y do sprawdzania równoległości wektorów
2. SÅ‚u\
y do sprawdzania równoległości wektorów
Materiał do wykładu 2 2010/2011, zima 22
11
Wydział EAIiE
Wydział EAIiE
Przedmiot: Fizyka
Przedmiot: Fizyka
Kierunek: Elektrotechnika
Kierunek: Elektrotechnika
Algebra wektorów
Algebra wektorów
Rozdzielność mno\
enia skalarnego i wektorowego
Rozdzielność mno\
enia skalarnego i wektorowego
względem dodawania (odejmowania)
względem dodawania (odejmowania)
r r
r r r r r
a o (b + c) = a o b + a o c
r r
r r r r r
a × (b + c) = a × b + a × c
r
a
Dzielić przez wektor nie wolno !!!
r
b
Materiał do wykładu 2 2010/2011, zima 23
Wydział EAIiE
Wydział EAIiE
Przedmiot: Fizyka
Przedmiot: Fizyka
Kierunek: Elektrotechnika
Kierunek: Elektrotechnika
Algebra wektorów
Algebra wektorów
Przykład 1.
Przykład 1.
Dane jest równanie wektorowe:
Dane jest równanie wektorowe:
r r r
r r r
2a - 3b + x[(a + b)o b]= 0
r
Znalez
ć wektor
Znalez
ć wektor
x
RozwiÄ…zanie:
RozwiÄ…zanie:
Materiał do wykładu 2 2010/2011, zima 24
12
Algebra wektorów
Algebra wektorów
r r r
r r r
2a - 3b + x[(a + b)o b]= 0
RozwiÄ…zanie:
RozwiÄ…zanie:
r r r r
r r r
1. Z rozdzielności mno\
enia
1. Z rozdzielności mno\
enia
2a - 3b + x(a o b + b o b)= 0
względem dodawania:
względem dodawania:
r r
2. Ale:
2. Ale: bob=b2
3. DodajÄ…c i odejmujÄ…c stronami
3. DodajÄ…c i odejmujÄ…c stronami
r r
r r r
jak w  zwykłym równaniu:
jak w  zwykłym równaniu:
x(a o b + b2)= -2a + 3b
4. Mamy prawo podzielić przez
4. Mamy prawo podzielić przez
r
r
wyra\
enie w nawiasie po
wyra\
enie w nawiasie po
r - 2a + 3b
r
x =
upewnieniu siÄ™, \
e jest liczbÄ…:
upewnieniu siÄ™, \
e jest liczbÄ…:
r
a o b + b2
Materiał do wykładu 2 2010/2011, zima 25
Wydział EAIiE
Wydział EAIiE
Przedmiot: Fizyka
Przedmiot: Fizyka
Kierunek: Elektrotechnika
Kierunek: Elektrotechnika
Dowodzenie twierdzeń
Dowodzenie twierdzeń
Rachunek wektorowy ułatwia dowodzenie twierdzeń
Rachunek wektorowy ułatwia dowodzenie twierdzeń
geometrycznych.
geometrycznych.
Przykład 2.
Przykład 2.
Udowodnić, \
e dwa wektory muszą mieć równe
Udowodnić, \
e dwa wektory muszą mieć równe
długości je\
eli ich suma jest prostopadła do ich
długości je\
eli ich suma jest prostopadła do ich
ró\
nicy.
ró\
nicy.
Materiał do wykładu 2 2010/2011, zima 26
13
Wydział EAIiE
Wydział EAIiE
Przedmiot: Fizyka
Przedmiot: Fizyka
Kierunek: Elektrotechnika
Kierunek: Elektrotechnika
Dowód
Dowód
r r
r r
1. Je\
eli:
1. Je\
eli:
(a + b)Ä„" (a - b)
2. To (z definicji iloczynu skalarnego):
2. To (z definicji iloczynu skalarnego):
r r
r r
(a + b)o(a - b)= 0
3. Korzystając z rozdzielności mno\
enie względem
3. Korzystając z rozdzielności mno\
enie względem
dodawania:
dodawania:
r r r r
r r r r
a o a - a o b + b o a - b o b = 0
Materiał do wykładu 2 2010/2011, zima 27
Wydział EAIiE
Wydział EAIiE
Przedmiot: Fizyka
Przedmiot: Fizyka
Kierunek: Elektrotechnika
Kierunek: Elektrotechnika
Dowód
Dowód
r r
r r
4. Iloczyn skalarny jest
4. Iloczyn skalarny jest
- a o b + b o a = 0
przemienny, a zatem:
przemienny, a zatem:
r r r r
r r r r
5. I:
5. I:
a o a - a o b + b o a - b o b = 0
redukuje siÄ™ do:
redukuje siÄ™ do:
a2- b2= 0
6. Zatem:
6. Zatem:
a = b
c.n.d.
c.n.d.
Materiał do wykładu 2 2010/2011, zima 28
14
Wydział EAIiE
Wydział EAIiE
Przedmiot: Fizyka
Przedmiot: Fizyka
Kierunek: Elektrotechnika
Kierunek: Elektrotechnika
Zadanie 2-1
Zadanie 2-1
Stosując rachunek wektorowy udowodnić twierdzenie
Stosując rachunek wektorowy udowodnić twierdzenie
kosinusów.
kosinusów.
Materiał do wykładu 2 2010/2011, zima 29
Wydział EAIiE
Wydział EAIiE
Przedmiot: Fizyka
Przedmiot: Fizyka
Kierunek: Elektrotechnika
Kierunek: Elektrotechnika
Wektor w kartezjańskim układzie
Wektor w kartezjańskim układzie
współrzędnych  przypadek dwuwymiarowy
współrzędnych  przypadek dwuwymiarowy
r r r
r
y
a = ax + ay = axî + ay5

a
r
Tw. Pitagorasa
Tw. Pitagorasa
ay
a = a2 + a2
x y
Ć Ć
j
Trygonometria
Trygonometria
r
î
ax x
a
y
tg Õ =
a
x
Materiał do wykładu 2 2010/2011, zima 30
15
Wydział EAIiE
Wydział EAIiE
Przedmiot: Fizyka
Przedmiot: Fizyka
Kierunek: Elektrotechnika
Kierunek: Elektrotechnika
Wektor w kartezjańkim układzie
Wektor w kartezjańkim układzie
współrzędnych  3D
współrzędnych  3D
r
a
az z Ć
î × 5
= k
î o 5
= 0
kĆ ay
Ć
j
î o î = 1
y
ax î
r
Ć
a = axî + ay5
+ azk
x
Materiał do wykładu 2 2010/2011, zima 31
Wydział EAIiE
Wydział EAIiE
Przedmiot: Fizyka
Przedmiot: Fizyka
Kierunek: Elektrotechnika
Kierunek: Elektrotechnika
Zadanie 2-2
Zadanie 2-2
Stosując definicje iloczynów skalarnego i
Stosując definicje iloczynów skalarnego i
wektorowego oblicz:
wektorowego oblicz:
Ć Ć
î × k , 5
× k , 5
× î
oraz
oraz
Ć Ć
î o k , 5
o k , 5
o 5

Materiał do wykładu 2 2010/2011, zima 32
16
Wydział EAIiE
Wydział EAIiE
Przedmiot: Fizyka
Przedmiot: Fizyka
Kierunek: Elektrotechnika
Kierunek: Elektrotechnika
Działania na wektorach
Działania na wektorach
w układzie kartezjańskim
w układzie kartezjańskim
Materiał do wykładu 2 2010/2011, zima 33
Wydział EAIiE
Wydział EAIiE
Przedmiot: Fizyka
Przedmiot: Fizyka
Kierunek: Elektrotechnika
Kierunek: Elektrotechnika
1. Dodawanie wektorów
1. Dodawanie wektorów
r
r
a + b
Wynik jest wektorem
Wynik jest wektorem
r
r
Ć
Ć
b = bxî + by5
+ bzk
a = axî + ay5
+ azk
r
r
Ć
a + b = (ax + bx )î + (ay + by)5
+ (az + bz)k
Materiał do wykładu 2 2010/2011, zima 34
17
Wydział EAIiE
Wydział EAIiE
Przedmiot: Fizyka
Przedmiot: Fizyka
Kierunek: Elektrotechnika
Kierunek: Elektrotechnika
2. Równość wektorów
2. Równość wektorów
r r
r r
a = b lub a a" b
r
r
Ć Ć
a = axî + ay5
+ azk b = bxî + by5
+ bzk
ax = bx
Wynik
Wynik
ay = by
az = bz
Materiał do wykładu 2 2010/2011, zima 35
Wydział EAIiE
Wydział EAIiE
Przedmiot: Fizyka
Przedmiot: Fizyka
Kierunek: Elektrotechnika
Kierunek: Elektrotechnika
3. Iloczyn skalarny
3. Iloczyn skalarny
r
r
Ć
Ć
a = axî + ay5
+ azk
b = bxî + by5
+ bzk
r
r
Wynik
Wynik
a o b = axbx + ayby + azbz
OBOWI
ZUJE TYLKO W UKA
ADZIE
KARTEZJAC
SKIM  DLACZEGO?
Materiał do wykładu 2 2010/2011, zima 36
18
Wydział EAIiE
Wydział EAIiE
Przedmiot: Fizyka
Przedmiot: Fizyka
Kierunek: Elektrotechnika
Kierunek: Elektrotechnika
4. Iloczyn wektorowy
4. Iloczyn wektorowy
r
r
Ć Ć
a = axî + ay5
+ azk b = bxî + by5
+ bzk
Ć
î 5
k
r
r
a × b = ax ay az
Wynik
bx by bz
Materiał do wykładu 2 2010/2011, zima 37
Wydział EAIiE
Wydział EAIiE
Przedmiot: Fizyka
Przedmiot: Fizyka
Kierunek: Elektrotechnika
Kierunek: Elektrotechnika
ZASTOSOWANIE RACHUNKU
ZASTOSOWANIE RACHUNKU
WEKTOROWEGO
WEKTOROWEGO
W FIZYCE
W FIZYCE
Materiał do wykładu 2 2010/2011, zima 38
19
Wydział EAIiE
Wydział EAIiE
Przedmiot: Fizyka
Przedmiot: Fizyka
Kierunek: Elektrotechnika
Kierunek: Elektrotechnika
Wielkości fizyczne
Wielkości fizyczne
Długość, czas, siła, masa, prędkość, przyspieszenie,
temperatura, ciśnienie, natę\
enie pola elektrycznego,
natÄ™\
enie prądu elektrycznego, strumień pola
magnetycznego
SKALARY WEKTORY
SKALARY WEKTORY
Materiał do wykładu 2 2010/2011, zima 39
Wydział EAIiE
Wydział EAIiE
Przedmiot: Fizyka
Przedmiot: Fizyka
Kierunek: Elektrotechnika
Kierunek: Elektrotechnika
Mno\
enie wektora przez liczbÄ™:
Mno\
enie wektora przez liczbÄ™:
r r
p = mv
Pęd: definicja
Pęd: definicja
Pytanie: Jaki jest kierunek wektora pędu?
Pytanie: Jaki jest kierunek wektora pędu?
v
wektor prędkości
m
masa
p
r r
Odpowiedz
:
p v
Materiał do wykładu 2 2010/2011, zima 40
20
d
Å‚
u
g
o
Å›
ć
s
i
Å‚
a
a
r
u
ć
t
s
Å›
a
a
m
z
a
r
l
o
c
o
a
e
p
s
k
p
e
a
i
d
n
e
m
o
\

Ä™
g
Ä™
a
e
t
r
e
l
t
a
n
o
n
z
p
c
c
i
p
Å›
n
y
i
e
r
n
Å„
t
i
e
e
k
e
i
e
i
l
n
n
e
a
m
e
t
Ä™
u
z
\

r
t
e
s
s
n
.
e
e
i
n
i
e
l
e
g
p
p
k
a
r
s
t
Ä…
r
y
d
m
y
c
u
z
z
r
n
e
p
g
o
Wydział EAIiE
Wydział EAIiE
Przedmiot: Fizyka
Przedmiot: Fizyka
Kierunek: Elektrotechnika
Kierunek: Elektrotechnika
Iloczyn skalarny
Iloczyn skalarny
r
r
Praca
Praca
W = F o s
Wektor siły
Wektor siły
W = F s cos Ć
W = F s cos Ć
F
Ć
A B
r
Wektor przesunięcia s = AB
Materiał do wykładu 2 2010/2011, zima 41
Wydział EAIiE
Wydział EAIiE
Przedmiot: Fizyka
Przedmiot: Fizyka
Kierunek: Elektrotechnika
Kierunek: Elektrotechnika
Iloczyn wektorowy:
Iloczyn wektorowy
r
1. Moment siły (ang. torque)
1. Moment siły (ang. torque)
r F
r r
Ä = r × F
2. Moment pędu (ang. angular
2. Moment pędu (ang. angular
momentum)
momentum)
L
r
r r
L = r × p
r
p
Materiał do wykładu 2 2010/2011, zima 42
21
Wydział EAIiE
Wydział EAIiE
Przedmiot: Fizyka
Przedmiot: Fizyka
Kierunek: Elektrotechnika
Kierunek: Elektrotechnika
Iloczyn wektorowy:
Iloczyn wektorowy:
3. Siła Lorentza (ang. magnetic force)  siła
działająca na ładunek q poruszający się w polu
magnetycznym o wektorze indukcji B
r r
r
F = qv × B
To jest definicja wektora
indukcji pola
magnetycznego
Materiał do wykładu 2 2010/2011, zima 43
Wydział EAIiE
Wydział EAIiE
Przedmiot: Fizyka
Przedmiot: Fizyka
Kierunek: Elektrotechnika
Kierunek: Elektrotechnika
Określanie zwrotu iloczynu wektorowego :
Określanie zwrotu iloczynu wektorowego :
Materiał do wykładu 2 2010/2011, zima 44
22
Wydział EAIiE
Wydział EAIiE
Przedmiot: Fizyka
Przedmiot: Fizyka
Kierunek: Elektrotechnika
Kierunek: Elektrotechnika
Pole magnetyczne zakrzywia tor ruchu Å‚adunku
Pole magnetyczne zakrzywia tor ruchu Å‚adunku
elektrycznego.
elektrycznego.
p - skok śruby
p - skok śruby
p = v T
r - promień śruby
r - promień śruby
mv2
Ä„"
= qvĄ"B
r
Materiał do wykładu 2 2010/2011, zima 45
Wydział EAIiE
Wydział EAIiE
Przedmiot: Fizyka
Przedmiot: Fizyka
Kierunek: Elektrotechnika
Kierunek: Elektrotechnika
Zadanie 2-4
Zadanie 2-4
Rozwa\
yć szczególne przypadki ruchu cząstki
Rozwa\
yć szczególne przypadki ruchu cząstki
naładowanej w polu magnetycznym, gdy:
naładowanej w polu magnetycznym, gdy:
a)wektor prędkości jest równoległy do wektora
a)wektor prędkości jest równoległy do wektora
indukcji magnetycznej
indukcji magnetycznej
b)wektor prędkości jest prostopadły do
b)wektor prędkości jest prostopadły do
wektora indukcji magnetycznej
wektora indukcji magnetycznej
Odpowiedzieć na pytania: jaka siła działa na
Odpowiedzieć na pytania: jaka siła działa na
czÄ…stkÄ™ i jaka krzywa opisuje tor ruchu
czÄ…stkÄ™ i jaka krzywa opisuje tor ruchu
czÄ…stki.
czÄ…stki.
Materiał do wykładu 2 2010/2011, zima 46
23
Wydział EAIiE
Wydział EAIiE
Przedmiot: Fizyka
Przedmiot: Fizyka
Kierunek: Elektrotechnika
Kierunek: Elektrotechnika
Zadanie 2-5
Zadanie 2-5
Zastanowić się nad innymi zastosowaniami
Zastanowić się nad innymi zastosowaniami
rachunku wektorowego zarówno w matematyce
rachunku wektorowego zarówno w matematyce
jak i fizyce. Poszukać informacji na temat iloczynu
jak i fizyce. Poszukać informacji na temat iloczynu
mieszanego oraz podwójnego iloczynu
mieszanego oraz podwójnego iloczynu
wektorowego czyli:
wektorowego czyli:
r r
r r r r
ao(b×c) a×(b×c)
Materiał do wykładu 2 2010/2011, zima 47
Pole magnetyczne nie zmienia energii kinetycznej
cząstki naładowanej poruszającej się w tym polu
r
m r r
dEk m d r r r dv
Ek= vov
= vov= mvo
2
dt 2 dt dt
r
r
dv r
m = ma = F
ale
dt
r r
dEk r r r
= v o F = qv o (v ×B)
czyli
dt
0
Ek=const
Materiał do wykładu 2 2010/2011, zima 48
24
TEST 2P
1. Wektor o długości 20 dodano do wektora o długości 25.
Długość wektora będącego sumą wektorów mo\
e być
równa:
A) zero B) 3 C) 12 D) 47 E) 50
r
r
2. Wektory a na płaszczyz
nie xy. Mo\
emy
i b le\
Ä…
r
r
wnosić, \
e je\
eli:
a
=b
ax2 +ay2 =bx2 +by2
ay/ax =by/bx
A) D)
B) ay =b +by E)
x
ax +
ax = ay i bx = by
C)
ax = bx i ay = by
Materiał do wykładu 2 2010/2011, zima 49
r
r
3. Je\
eli = î ) to ma wartość:
4a
a (6m) - (8m 5

A) 10 m B) 20 m C) 30 m D) 40 m E) 50 m
4. Kąt pomiędzy wektorem r a dodatnim
a = (-25m)î + (45m) 5

kierunkiem osi OX wynosi:
A) 29o B) 61o C) 119o D) 151o E) 209o
5. Dwa wektory, których początki się pokrywają, tworzą
pewien kÄ…t. Je\
eli kąt pomiędzy tymi wektorami zwiększy
się o 20o to iloczyn skalarny tych dwóch wektorów
zmienia znak na przeciwny. Kąt, który początkowo
tworzyły te dwa wektory wynosi:
A) 0 B) 600 C) 70o D) 80o E) 900
Materiał do wykładu 2 2010/2011, zima 50
25
r
r
Ć
a = ( m)î - b (2m +
6. Dwa wektory 3 (2m) 5
= )î (3m) 5
- (2m)k
wyznaczają jednoznacznie płaszczyznę. Który z
wektorów jest prostopadły do tej płaszczyzny:
Ć Ć
A) D)
(4m)î + (6m) 5
+ (13m)k (4m)î + (6m) 5
- (13m)k
B) Ć E) (4m)î + (6m) 5

(-4m)î + (6m) 5
+ (13m)k
Ć
C) (4m)î - (6m) 5
+ (13m)k
iĆ o ( 5
× kĆ )
7. Wartość wynosi:
A) zero B) +1 C) -1 D) 3 E) "3
Materiał do wykładu 2 2010/2011, zima 51
TEST 2A
1. A vector of magnitude 3 CANNOT be added to a vector
of magnitude 4 so that the magnitude of the resultant is:
A) zero B) 1 C) 3 D) 5 E) 7
2. A vector has a magnitude of 12. When its tail is at the
origin it lies between the positive x axis and negative y
axis and makes an angle of 30o with the x axis. Its y
component is:
A) 6"3 B)-6 "3 C) 6 D) -6 E) 12
3. A vector has a component of 10 in the +x direction, a
component of 10 m in the +y direction, and a component
of 5 m in the +z direction. The magnitude of this vector
is:
A) zero B) 15 m C) 20 m D) 25 m E) 225 m
Materiał do wykładu 2 2010/2011, zima 52
26
4. Two vectors have magnitudes of 10 and 15. The angle
between them when they are drawn with their tails at
the same point is 65o. The component of the longer
vector along the line of the shorter is:
A) 0 B) 4.2 C) 6.3 D) 9.1 E) 14
5. If the magnitude of the sum of two vectors is less than
the magnitude of either vector, then:
A) the scalar product of the vectors must be negative
B) the scalar product of the vectors must be positive
C) the vectors must be parallel and in opposite directions
D) the vectors must be parallel and in the same direction
E) none of the above
Materiał do wykładu 2 2010/2011, zima 53
Wydział EAIiE
Wydział EAIiE
Przedmiot: Fizyka
Przedmiot: Fizyka
Kierunek: Elektrotechnika
Kierunek: Elektrotechnika
Podsumowanie
Podsumowanie
Działanie Wynik Metoda Zastosowanie
postępowania
dodawanie wektor wypadkowe
r
r
przemieszczenie,
a + b
wypadkowa siła
reguła
równoległoboku
odejmowanie wektor algebra wektorów,
r
r
dowodzenie
a - b
twierdzeń
rozkład wektora wektory równia pochyła,
rzut ukośny, itp.
składowe
Materiał do wykładu 2 2010/2011, zima 54
27
Wydział EAIiE
Wydział EAIiE
Przedmiot: Fizyka
Przedmiot: Fizyka
Kierunek: Elektrotechnika
Kierunek: Elektrotechnika
Działanie Wynik Definicja Wzór w W W fizyce
układzie matema
kartezj. tyce
iloczyn skalar prosto praca,
r r
r
r
a o b = axbx + ayby + azbz
a o b = a b cosÕ
skalarny padłość energia
r
r
wektorów np.kinetycz
a o b
na
r
r
Ć
iloczyn wektor a×b = a b sin Õn równo moment
Ć
î 5
k
wektorowy pędu,
r
r ległość
a × b = ax ay az
r
moment
r 1. kierunek
wektorów
a×b
bx by bz
siły, siła
2. zwrot
Lorentza
3.wartość
r
r rr
mno\
enie wektor ka = bÒ!a b równo pÄ™d, II
ka = bx
x
wektora 1. kierunek zasada
ległość
ka = b
y y
przez r dynamiki
2. zwrot
wektorów
ka
ka = bz
liczbÄ™ z
Materiał do wykładu 2 2010/2011, zima 55
3.wartość ka
28