Materiały do wykładów
Fizyka 1 (Informatyka - EEIiA 2013/14)
2 paz
dziernika 2013
�Mariusz Krasiński 2013
Spis treści
I Własności wektorów (materiał do samodzielnej nauki) 1
1 Działania na wektorach 1
1.1 Dodawanie wektorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Odejmowanie wektorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Mnożenie wektora przez liczbę . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Rozkład wektora na składowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5 Dodawanie wektorów z wykorzystaniem składowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.6 Mnożenie wektorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Część I
Własności wektorów (materiał do samodzielnej nauki)
1 Działania na wektorach
1.1 Dodawanie wektorów
Rysunek 1: Aby dodać wektor A do wektora B należy do końca wektora A zaczepić początek wektora B. Wektor
A + B znajdujemy łącząc początek wektora A z końcem wektora B (lewy rysunek). Podobnie znajdujemy sumę
trzech i więcej wektorów (prawy rysunek).
Dodawanie wektorów jest przemienne
C = A + B = B + A
1
1.2 Odejmowanie wektorów 1 DZIAA
ANIA NA WEKTORACH
Rysunek 2: Przemienność dodawania wektorów.
i łączne
A + (B + C) = (A + B) + C
Korzystając z przemienności dodawania wektorów (rys. 2) możemy stworzyć inny (praktyczny) sposób dodawa-
nia wektorów zwany regułą równoległoboku.
Rysunek 3: Reguła równoległoboku. Wyjaśnienie podczas zajęć audytoryjnych.
1.2 Odejmowanie wektorów
Aby znalez
ć różnicę wektorów A i B należy do wektora A dodać wektor przeciwny do wektora B (rys. 4)
C = A - B = A + (-B)
Rysunek 4: Odejmowanie wektorów
�Mariusz Krasiński 2013 2
1.3 Mnożenie wektora przez liczbę 1 DZIAA
ANIA NA WEKTORACH
1.3 Mnożenie wektora przez liczbę
Wektor ( A ) można pomnożyć przez liczbę (N)
C = N A |C| = |N| |A|
Jeśli liczba N jest dodatnia to powstały w ten sposób wektor C ma ten sam kierunek i zwrot co wektor A lecz
jego długość (wartość) jest N razy większa od długości wektora A.
Jeśli N < 0 to zwrot wektora musimy zmienić na przeciwny!
1.4 Rozkład wektora na składowe
Wektor możemy przedstawić zawsze jako złożenie dwóch lub więcej tak zwanych wektorów składowych. Jeśli
proces fizyczny opisujemy wykorzystując układ kartezjański dwuwymiarowy (x, y) wtedy bardzo często przed-
stawiamy wektor A jako sumę dwóch wektorów Ax + Ay równoległych odpowiednio do osi x oraz y. Wektory
Ax oraz Ay nazywamy składowymi wektora A zaś sam proces nazywamy rozkładem wektora A na składowe
(rys. 5).
Rysunek 5: Rozkład wektora na składowe.
A = Ax + Ay
Długości wektorów Ax oraz Ay (oznaczane jako Ax oraz Ay) możemy znalez
ć korzystając z funkcji trygonome-
trycznych dla trójkąta jaki widoczny jest na rysunku 5.
|Ax| = Ax = |A| cos ą |Ay| = Ay = |A| sin ą
Długość wektora A może być wyrażona poprzez długości wektorów Ax oraz Ay (twierdzenie Pitagorasa)
|A| = A = A2 + A2
x y
1.5 Dodawanie wektorów z wykorzystaniem składowych
Rozkład wektorów na składowe w znaczący sposób ułatwia dodawanie dwóch lub więcej wektorów. Wyobraz
my
sobie, że chcemy znalez
ć wektor C będący suma wektorów A oraz B przedstawionych na rysunku 6
C = A + B
�Mariusz Krasiński 2013 3
1.5 Dodawanie wektorów z wykorzystaniem składowych 1 DZIAA
ANIA NA WEKTORACH
Rysunek 6: Jak dodać te dwa wektory?
W tym celu każdy z wektorów (A i B) rozkładamy na składowe (rys. 7 lewy).
Rysunek 7: Procedura dodawania wektorów A i B
Wektor C można więc teraz przedstawić jako sumę składowych
C = A + B = Ax + Ay + Bx + By
Składowe Ax oraz Bx skierowane są wzdłuż osi x więc można je dodać dodając po prostu ich długości (rys. 7
prawy. Podobnie postępujemy z wektorami Ay oraz By, które są równoległe do osi y.
W takim razie składowe wektora C mają postać
Cx = Ax + Bx
Cy = Ay + By
a długości tych składowych mają postać
Cx = Ax + Bx
Cy = Ay + By
Korzystając z równania (1.4) możemy znalez
ć długość wektora C
C = (Ax + Bx)2 + (Ay + By)2
Możemy też znalez
ć kąt ł jaki wektor C tworzy z osią x (rys. )
Ay + By
tan ł =
Ax + Bx
�Mariusz Krasiński 2013 4
1.5 Dodawanie wektorów z wykorzystaniem składowych 1 DZIAA
ANIA NA WEKTORACH
Rysunek 8: Procedura znajdowania kąta wektora C z osią x.
1.5.1 Wektory jednostkowe
Dla każdej z osi xyz możemy wprowadzić tak zwany wektor jednostkowy (wersor osi). Wektor taki ma zwrot i
kierunek odpowiedniej osi oraz długość równą jeden.
" wersor osi x nazywamy i
" wersor osi y nazywamy j
" wersor osi z nazywamy k
przy czym spełniona jest równość | i| = | j| = | k| = 1 .
1.5.2 Przedstawienie wektora przy pomocy wersorów
Każdą ze składowych wektora położenia możemy wyrazić jako iloczyn wektora jednostkowego ( i, j, k) oraz
liczby (równej jego długości)
Ax = Ax i Ay = Ay j Az = Az k
a cały wektor można przedstawić w następujący sposób
A = Ax i + Ay j + Az k
Rysunek 9: Przedstawienie wektora przy pomocy wersorów osi.
Długość wektora A można obliczyć następująco
|A| = A2 + A2 + A2
x y z
�Mariusz Krasiński 2013 5
1.6 Mnożenie wektorów 1 DZIAA
ANIA NA WEKTORACH
1.5.3 Dodawanie wektorów z wykorzystaniem składowych
Jeśli wektor Ama postać
A = Ax i + Ay j + Az k
zaś wektor B
B = Bx i + By j + Bz k
to suma wektorów C = A + B może być obliczona w następujący sposób
C = A + B = (Ax + Bx) i + (Ay + By) j + (Az + Bz) k
natomiast mnożenie wektora przez liczbę ma teraz postać
C = NA = NAx i + NAy j + NAz k
zaś odejmowanie
C = A - B = (Ax - Bx) i + (Ay - By) j + (Az - Bz) k
1.6 Mnożenie wektorów
Wektory można mnożyć ale są dwa sposoby mnożenia wektorów. Wynikiem pierwszego jest skalar i dlatego
działanie to nazywamy iloczynem skalarnym. Wynikiem drugiego jest wektor i stąd nazwa iloczyn wektorowy.
1.6.1 Iloczyn skalarny wektorów
Wynik tego działania jest skalarem (liczbą z jednostkami).
C = A � B = |A| � |B| � cos "(A, B) (1.1)
gdzie cos "(A, B) jest kątem pomiędzy wektorami A i B
Rysunek 10: Iloczyn skalarny. Rysunek pomocniczy do równania (1.1)
Przykład:
Praca W stałej siły F jest iloczynem tej siły i przesunięcia s
W = F � s
Iloczyn skalarny jest przemienny
A � B = B � A
Znając składowe wektorów A i B można obliczyć iloczyn skalarny z wzoru
A � B = AxBx + AyBy + AzBz
Zauważ, że
" Jeśli A Ą" B to A � B = 0
" Jeśli A B to A � B = |A| � |B|
�Mariusz Krasiński 2013 6
1.6 Mnożenie wektorów 1 DZIAA
ANIA NA WEKTORACH
1.6.2 Iloczyn wektorowy wektorów
Wynikiem tego działania jest wektor
C = A � B
" Wartość (długość) wektora C wynosi
|C| = |A| � |B| � sin "(A, B)
gdzie "(A, B) jest kątem pomiędzy wektorami A i B liczonym od wektora Ado wektora B (rys. 11).
" Kierunek jest prostopadły do płaszczyzny zawierającej wektory Aoraz B
" Zwrot określa reguła śruby prawoskrętnej albo reguła nakrętki od butelki (rys. 11)
Rysunek 11: Definicja iloczynu wektorowego. Pamiętaj, że kręcimy od pierwszego do drugiego wektora, po
mniejszym kącie. Kierunek wektrora C pokazuje pionowy ruch nakrętki od butelki.
Przykłady:
" Siła Lorentza F = q v � B
" Moment siły M = r � F
" Moment pędu K = r � mv
Iloczyn wektorowy nie jest przemienny
A � B = -B � A
Zauważ także, że
" Jeśli A Ą" B to A � B = |A| � |B|
" Jeśli A B to A � B = 0
�Mariusz Krasiński 2013 7