6. Granice funkcji, ciągłość funkcji.
Definicja 6.1. Granica funkcji w punkcie x0.
Definicja  intuicyjna : Niech funkcja f (x) będzie określona na pewnym otoczeniu punktu
x0. W samym punkcie x0 funkcja mo\
e być określona lub nie. Funkcja f (x) ma granicę w
punkcie x0 , co zapisujemy
lim f (x) = g ,
xx0
je\
eli wartości funkcji f (x) zbli\
ają się do g, gdy wartości x zbli\
ajÄ… siÄ™ do punktu x0 .
Definicja  precyzyjna , definicja Heinego:
lim f (x) = g Ô! "(xn ), xn `" x0[( lim xn = x0 ) Ò! (lim f (xn ) = g)] .
xx0 n" n"
Dla ciągów (xn ) o wartościach xn > x0 mówimy o granicy prawostronnej w punkcie x0 ,
a dla ciągów (xn ) o wartościach xn < x0 mówimy o granicy lewostronnej w punkcie x0.
Twierdzenie 6.1 Warunek konieczny i wystarczajÄ…cy istnienia granicy.
Funkcja f ma w punkcie x0 granicÄ™ wtedy i tylko wtedy, gdy granice prawostronna i
lewostronna są sobie równe.
Przykład 6.1. Wa\
niejsze granice wyra\
eń nieoznaczonych
x
sin x tgx ex -1 1 ln(1+ x)
öÅ‚
lim = 1, lim = 1, lim = 1, limëÅ‚1+ = e, lim = 1,
ìÅ‚ ÷Å‚
x0 x0 x0 x" x0
x x x x x
íÅ‚ Å‚Å‚
Przykład 6.2 Wyznaczyć granice lewostronne, prawostronne funkcji f we wskazanych
punktach.
ln(1- x) dla x d" 0
Å„Å‚
a) f (x) =
òÅ‚2 - 4 dla x > 0 , x0 = 0 ,
x-2
ół
Å„Å‚ -1
x3
, dla x < 1
ôÅ‚
1- x
b) f (x) = , x0 = 1.
òÅ‚
ôÅ‚sin(Ä„ x) -1, dla x e" 1
ół 2
Å„Å‚
4x2 + x +1 dla x d" 0
ôÅ‚
c) f (x) = , x0 = 0 .
ex
òÅ‚ -1
dla x > 0
ôÅ‚
ół x
Czy funkcję określone w punktach a), b), c) mają granice we wskazanych punktach?
Dla punktów a), b) sporządzić wykresy funkcji.
Twierdzenia o granicach właściwych funkcji.
Twierdzenie o arytmetyce granic funkcji (granica sumy, ró\
nicy iloczynu, ilorazu funkcji) jest
analogiczne do twierdzenia o arytmetyce granic ciągów
Twierdzenie 6.2. O arytmetyce granic
Je\
eli funkcje f , g mają granice właściwe (skończone) to
1. lim( f (x) + g(x)) = lim f (x) + lim g(x),
xx0 xx0 xx0
2. . lim( f (x) - g(x)) = lim f (x) - lim g(x),
xx0 xx0 xx0
3. . lim( f (x) Å" g(x)) = lim f (x) Å" lim g(x),
xx0 xx0 xx0
lim f (x)
f (x)
xx0
4. lim = o ile lim g(x) `" 0 .
xx0 nx0
g(x) lim g(x)
xx0
Granice niewłaściwe. O funkcji f(x) określonej na otoczeniu punktu x0 , z wyjątkiem co
najwy\
ej punktu x0 , mówimy, \
e dÄ…\
y do nieskończoności , gdy x x0 , je\
eli jej wartości
sÄ… dowolnie du\
e o ile tylko argumenty le\
Ä… dostatecznie blisko punktu x0. Definiujemy to w
następujący sposób:
(xx f (x) = ") Ô! "(xn ), xn `" x0[(lim xn = x0 ) Ò! (lim f (xn ) = ")] .
lim
n" n"
0
Granice funkcji mo\
emy wyznaczać równie\
w nieskończoności. Definicje są analogiczne.
Definicja 6.2 Funkcja ciągła w punkcie.
Mówimy, \
e funkcja f jest ciągła w punkcie x0 je\
eli lim f (x) = f (x0 ) .
xx0
Przykład 6.3. Sprawdzić, czy funkcje określone w przykładzie 6.2 są ciągłe we wskazanych
punktach.
Definicja 6.3. Mówimy, \
e funkcja f(x) jest ciągła na przedziale, je\
eli jest ciągła w ka\
dym
punkcie tego przedziału.
Przykład 6.4 Dla jakiej wartości parametru b funkcja
ln(2 - x), dla x < 1
Å„Å‚
f (x) =
òÅ‚
x2 - 4x + 4 - b, dla x e" 1
ół
jest ciągła na R? Narysować wykres tej funkcji.
Działania na funkcjach ciągłych.
Mo\
na wykazać, \
e suma, ró\
nica, iloczyn , iloraz, zło\
enie funkcji ciągłych jest funkcją
ciągłą.
Oznacza to, \
e prawdziwe jest następujące twierdzenie :
Twierdzenie 6.3.
Funkcje elementarne są ciągłe w swoich dziedzinach.
Twierdzenie 6.4 o funkcjach ciągłych:
a) Funkcja ciągła w przedziale domkniętym i ograniczonym [a , b] jest ograniczona
b) Funkcja ciągła w przedziale domkniętym i ograniczonym [a , b] przybiera przynajmniej w
jednym punkcie x1 przedziału wartość najmniejszą i przynajmniej w jednym punkcie x2
wartość największą.
c) Własność Darboux.
Je\
eli funkcja f(x) jest ciągła na przedziale [a,b], oraz f(a) < w, f(b) >w, to istnieje punkt c
nale\
ący do tego przedziału, \
e f(c) = w.
Przykład 6.5 Uzasadnić, \
e równanie x3 = 2x ma dodatni pierwiastek.
7. Pochodna funkcji.
Definicja 7.1 Iloraz ró\
nicowy funkcji.
Ilorazem ró\
nicowym funkcji f w punkcie x0 odpowiadajÄ…cym przyrostowi h nazywamy
liczbÄ™:
f (x0 + h) - f (x0)
h
y
y
f(x0+h)
f(x0+h)
f(x)
przyrost wartości
przyrost wartości
f(x0)
f(x0)
przyrost argumentu
przyrost argumentu
x0 x0+h
x0 x0+h
0 x
0 x
Definicja 7.2 Pochodna funkcji.
PochodnÄ… funkcji f(x) w punkcie x0 nazywamy liczbÄ™
f (x0 + h) - f (x0)
2
f (x0) = lim
h0
h
y
y
f(x0+h)
f(x0+h)
f(x)
"y
"y
"
"
"
"
"
"
"y "y
"y "y
" "
" "
" "
" "
" "
" "
"yh
"yh
"
"
"
"
"
"
f(x0)
f(x0)
h hh
h hh
x0 x0+h
x0 x0+h
0 x
0 x
Przykład 7.1. Obliczyć z definicji pochodną funkcji f (x) = x3 w punkcie x0 = 2.
Pochodne wa\
niejszych funkcji elementarnych
Interpretacja geometryczna:
Pochodna funkcji w punkcie jest równa tangensowi kąta, jaki styczna do wykresu funkcji w
tym punkcie tworzy z dodatnim kierunkiem osi Ox.
Je\
eli f (x0 ) istnieje, styczna do wykresu funkcji f(x) w punkcie P = (x0 , f(x0 )) ma równanie:
2
y - f (x0 ) = f (x0 )(x - x0 ) .
Przykład 7.2 Napisać równanie stycznej do wykresów podanych funkcji we wskazanych
punktach:
a) f (x) = ex , (0,1) , b) f (x) = sin x, (Ä„ ,0) .
Twierdzenie 7.1 O pochodnej funkcji
Je\
eli funkcje f i g mają pochodne właściwe w punkcie x , to
2 2 2
a) [ f (x) + g(x)] = f (x) + g (x)
2 2 2
b) [ f (x) - g(x)] = f (x) - g (x)
2 2 2
c) [ f (x) Å" g(x)] = f (x)g(x) + f (x)g (x)
2
ëÅ‚ öÅ‚ 2 2
f (x) f (x)g(x) - f (x)g (x)
d)ìÅ‚ ÷Å‚ = .
ìÅ‚ ÷Å‚
g(x) [g(x)]2
íÅ‚ Å‚Å‚
Twierdzenie 7.2. O pochodnej funkcji zło\
onej .
Je\
eli funkcja f ma pochodnÄ… w punkcie x , funkcja g ma pochodnÄ… w punkcie f(x ), to
2 2 2
[g( f (x))] = g ( f (x)) Å" f (x) .
Przykład 7.3. Obliczyć pochodne funkcji:
x2 2x
a) f (x) = x(2x -1) + , b) : f (x) = , c) f (x) = (x +1)e- x , d) f (x) = x 4 - x2 .
2 x2 +1
Twierdzenie 7.3 .O pochodnej funkcji odwrotnej.
Je\
eli funkcja f spełnia warunki:
" jest ciągła oraz ściśle monotoniczna na otoczeniu punktu x0 ,
2
" ma pochodnÄ… f (x0 ) `" 0 ,
1
-1
2
to ( f ) (y0 ) = , gdzie y0 = f (x0 ) .
2
f (x0 )
Przykład 7.4 . Obliczyć pochodne funkcji:
a)g(x) = ln x, b) f (x) = x .
Twierdzenie 7.4 . Warunki monotoniczności funkcji.
Załó\
my, \
e funkcja f ma pochodnÄ… w ka\
dym punkcie przedziału (a, b ). Wówczas:
2
" je\
eli dla wszystkich x " (a,b) f (x) > 0 , to f jest rosnÄ…ca na (a,b) ,
2
" je\
eli dla wszystkich x " (a,b) f (x) < 0 , to f jest malejÄ…ca na (a,b) ,
2
" je\
eli dla wszystkich x " (a,b) f (x) = 0 , to f jest stała na (a,b) ,
Przykład 7.5. Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji:
a) f (x) = (x -1)e- x ,
ln x
b) f (x) = ,
x
c) f (x) = x 4 - x2 .
8. Ekstrema funkcji.
Definicja 8.1 . Ekstremum lokalne funkcji.
Je\
eli dla wszystkich x `" x0 z pewnego otoczenia punktu x0 zachodzi nierówność :
" f (x) > f (x0 ) , to funkcja f ma w punkcie x0 minimum,
" f (x) < f (x0 ) to funkcja f ma w punkcie x0 maksimum.
Twierdzenie 8.1. Warunek konieczny istnienia ekstremum.
Je\
eli funkcja f ma
" ekstremum lokalne w punkcie x0 ,
" pochodnÄ… f (x0 ) ,
to f (x0 ) = 0.
Uwaga. Funkcja mo\
e mieć ekstrema lokalne tylko w punktach, w których jej pochodna jest
równa zero albo w punktach, w których jej pochodna nie istnieje.
Twierdzenie 8.2 Warunek wystarczajÄ…cy istnienia ekstremum.
Je\
eli funkcja f spełnia warunki:
2
" f (x0 ) = 0
" istnieje otoczenie punktu x0 , \
e dla x nale\
Ä…cych do tego otoczenia
2 2
f (x) > 0 , dla x < x0 oraz f (x) < 0 , dla x > x0
to w punkcie x0 ma maksimum lokalne .
Przykład 8.1. Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji:
x x
a) f (x) = x 4 - x , b) f (x) = , c) f (x) =
ln x 1+ x2