Algebra
WYKA
AD 8
ALGEBRA
1
1
Geometria analityczna w przestrzeni
2
Geometria analityczna
Geometria analityczna  dział geometrii zajmujący się
badaniem figur geometrycznych metodami analitycznymi
(obliczeniowymi) i algebraicznymi.
Złożone rozważania geometryczne zostają w geometrii
analitycznej sprowadzone do rozwiązywania układów równań,
które opisują badane figury.
PoczÄ…tki geometrii analitycznej sÄ… zwiÄ…zane z nazwiskami
Fermata, Pascala oraz Kartezjusza, którzy jako pierwsi
punktom na płaszczyz
nie przypisali pary liczb nazywane
ich współrzędnymi, a pewne zależności między współrzędnymi
w danym układzie współrzędnych utożsamili z krzywymi
na płaszczyz
nie
ALGEBRA
3
3
Geometria analityczna
Definicja
Układem współrzędnych kartezjańskich nazywamy układ
współrzędnych, w którym zadane są:
punkt zwany początkiem układu współrzędnych, którego
wszystkie współrzędne są równe zeru, często oznaczany literą
O lub cyfrÄ… 0.
zestaw parami prostopadłych osi liczbowych zwanych osiami
układu współrzędnych.
z
0
y
Kartezjusz (René Descartes)
x
ALGEBRA
4
Geometria analityczna
Podstawowym obiektem w geometrii analitycznej jest wektor.
Uwaga
Wielkości, dla określenia których wystarczy podanie
pojedynczych wartości liczbowych,w naukach przyrodniczych
i ekonomii są nazywane wielkościami skalarnymi (skalarami).
Są to między innymi: długość odcinka, masa, objętość.
Wielkości, dla jednoznacznego określania których trzeba podać
ich wartość liczbową oraz kierunek i zwrot są nazywane
wielkościami wektorowymi (wektorami).
Wektorami są więc np: prędkość, przyspieszenie,przesunięcie,
siła.
ALGEBRA
5
5
Geometria analityczna
Definicje
Wektor zaczepiony to uporządkowana para punktów, której
poprzednik nazywamy poczÄ…tkiem (punktem zaczepienia),
zaś następnik końcem wektora.
AB BA
Dwa punkty A i B wyznaczaja dwa wektory , i .
x
0 A B
AB
Wektor ma poczÄ…tek w punkcie A i koniec w punkcie B.
BA
Wektor ma poczÄ…tek w punkcie B i koniec w punkcie A
AB BA
AB BA
Wektor jest przeciwny do (różni się zwrotem).
6
Geometria analityczna
AB BA
Wektor (podobnie ) reprezentuje kierunek prostej
przechodzÄ…cej przez punkty A i B.
AB
Przez długość wektora rozumiemy odległość między
punktami A i B
AB d(A, B) AB | BA|
Miarą wektora nazywamy liczbę równą długości tego
wektora wziętą ze znakiem "plus", jeżeli zwrot wektora jest
zgodny ze zwrotem prostej, natomiast ze znakiem "minus",
jeżeli zwrot wektora jest przeciwny do zwrotu prostej.
Wektor o długości jednostkowej nazywamy wersorem
(wektorem jednostkowym) prostej.
7
Geometria analityczna
Wersory osi układu kartezjańskiego o zwrotach zgodnych
z kierunkami osi oznaczamy literami i, j, k.
z
k
j
y
0
i
x
8
Geometria analityczna
Wektory nazywamy równoważnymi, jeżeli mają taką samą
długość, ten sam kierunek i zwrot.
Wektory równoważne różnią się jedynie punktem zaczepienia.
Wektorem swobodnym nazywamy zbiór (klasę abstrakcji)
wektorów równoważnych.
Każdy wektor zaczepiony jest reprezentantem pewnego
wektora swobodnego.
Każdy wektor swobodny posiada reprezentanta zaczepionego
w początku układu współrzędnych.
Pojedyncze słowo wektor oznacza wektor swobodny.
9
Geometria analityczna
Wektor swobodny
z
0
y
x
10
Geometria analityczna
Wektorem zerowym nazywamy wektor o długości 0.
Wektory niezerowe majÄ…ce ten sam kierunek nazywamy
równoległymi (kolinearnymi, współliniowymi).
Wektory kolinearne
11
Geometria analityczna
AB
Współrzędnymi wektora zaczepionego w danym układzie
współrzędnych nazywamy trójkę liczb
(x2 x1, y2 y1, z2 z1)
A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2).
gdzie
Wszystkie wektory zaczepione będące reprezentantami tego
samego wektora swobodnego mają takie same współrzędne.
Wektor swobodny jest jednoznacznie wyznaczony przez swoje
współrzędne, co zapisujemy
v [vx ,vy ,vz ]
Współrzędne wektora są miarami rzutów prostokątnych
wektora na osie układu współrzędnych.
Wektory u i v są równe (u = v) wtedy i tylko wtedy, gdy ich
współrzędne są sobie równe.
12
Geometria analityczna
Wektor, będący rzutem wektora na oś układu nazywamy
składową wektora.
Wersory osi w kartezjańskim układzie współrzędnych mają
postać
i = [1,0,0], j = [0,1,0], k = [0,0,1]
Dowolny wektor w układzie współrzędnych kartezjańskim
ma przedstawienie
v [vx,vy,vz ] vx vy vz vxi vyj vzk
gdzie
vx , v , vz - składowe wektora,
y
vx,vy ,vz - współrzędne wektora.
13
Geometria analityczna
Działania na wektorach swobodnych
u [ux,uy,uz ], v [vx,vy,vz ], R
Niech ,
Sumę wektorów u i v okreśamy wzorem
u v [ux vx,uy vy,uz vz ]
Iloczyn wektora u przez liczbę rzeczywistą ą określamy wzorem
u [ ux, uy, uz ]
14
Geometria analityczna
Suma wektorów u i v
u v [ux vx,uy vy,uz vz ]
u u +v
v
15
Geometria analityczna
SUMA WEKTORÓW - METODA RÓWNOLEGA
OBOKU
1) Za pomocą przesunięcia równoległego
przesuwamy wektor b tak, aby poczÄ…tek wektora
b znalazł się w początku wektora a.
2) Budujemy równoległobok oparty o wektory a i b.
3) Sumę wektorów a i b otrzymujemy łącząc
początek wektorów a i b naprzeciwległym
wierzchołkiem równoległoboku.
16
Geometria analityczna
SUMA WEKTORÓW - METODA TRÓJK
TA
1. Za pomocą przesunięcia równoległego
przesuwamy wektor b tak, aby poczÄ…tek
wektora b znalazł się w końcu wektora a.
2. Sumę wektorów a i b otrzymujemy
łącząc początek wektora a z końcem
wektora b
17
Geometria analityczna
Iloczyn wektora u przez liczbÄ™ rzeczywistÄ… Ä…
u [ ux, uy, uz ]
Ä…v (Ä… > 0)
v
Ä…v (Ä… < 0)
Dwa niezerowe wektory u i v mają ten sam kierunek, jeśli istnieje taka niezerowa liczba ą, że u= ą v.
Jeśli ponadto:
Ä… > 0, to wektory te majÄ… ten sam zwrot,
Ä… < 0, to wektory te majÄ… zwrot przeciwny.
18
Geometria analityczna
Działania na wektorach swobodnych są izomorficzne
z działaniami na wektorach algebraicznych (macierzach
wektorowych w rachunku macierzowym), dzięki czemu można
przenieść pojęcia dotyczące wektorów algebraicznych
na wektory swobodne.
Własności działań na wektorach
Dla dowolnych wektorów u, v, w
u + v = v + u
u + (v + w) = (u + v) + w
u + 0 = u,
u + (-u) = 0.
19
Geometria analityczna
Niech u i v będą wektorami niezerowymi zaczepionymi w jednym
punkcie.
Kątem między wektorami u i v nazywamy mniejszy z kątów
wyznaczonych przez te wektory.
z
u
v
0
y
x
20
Geometria analityczna
Definicja
Iloczyn skalarny wektorów u i v określamy wzorem
uoð v | u| | v | cos
gdzie - jest kątem między wektorami u i v.
u oð v 0
Jeśli u = 0, lub v = 0 to przyjmujemy .
21
Geometria analityczna
Własności iloczynu skalarnego
Niech v, u i w będą wektorami i niech ą R. Wtedy:
v oðu uoð v
1.
v oð v | v |2
2.
( v)oðu (uoð v)
3.
(u v)oð w uoð w v oð w
4.
22
Geometria analityczna
Twierdzenie
Niezerowe wektory u i v są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy
v oðu 0
Twierdzenie
Iloczyn skalarny wektorów u i v wyznaczamy z wzoru
v oðu vxux vyuy vzuz
Wniosek
v oð u
cos
| v | | u |
23
Geometria analityczna
Wniosek
Każdy wersor ma przedstawienie
v vx vy vz
, , cos , cos , cos
x y z
| v | | v | | v | | v |
cos , cos , cos
gdzie x y z sÄ… kosinusami kierunkowymi
wektora (kosinusami kątów jakie tworzy wektor z osiami
układu współrzędnych).
24
Geometria analityczna
Definicja
Iloczynem wektorowym niewspółliniowych wektorów u i v
nazywamy wektor w spełniający warunki:
1. Jest prostopadły do płaszczyzny rozpiętej na wektorach
u i v,
2. Jego długość jest określona wzorem
| w | | u | | v | sin
,
3. Orientacja trójki wektorów u, v i w jest zgodna z orientacją
układu współrzędnych.
Oznaczamy go symbolem u v.
Jeżeli jeden z wektorów u, v jest wektorem zerowym, lub
wektory te są współliniowe, to przyjmujemy u v = 0.
25
Geometria analityczna
Pole równoległoboku, którego przyległymi bokami są wektory
u i v jest równe u v .
u v
Pole równoległoboku
| u v | | u | | v | sin
u
v
26
Geometria analityczna
Prawoskrętny układ osi współrzędnych
27
Geometria analityczna
Własności iloczynu wektorowego
Jeśli u, v i w są dowolnymi wektorami, 0 jest wektorem zerowym,
Ä… 0 jest skalarem, to:
1. u 0 = 0 u = 0,
2. u v = - (v u),
3. (Ä… u) v = Ä… (u v) = u (Ä… v),
4. u (v + w) = (u v) + (u w),
5. (u + v) w= (u w) + (v w),
28
Geometria analityczna
Twierdzenie
Iloczyn wektorowy wektorów u i v wyznaczamy z wzoru
i j k
u v ux uy uz
vx vy vz
29
Geometria analityczna
Przykład
Wyznaczyć wektor prostopadły do wektorów u, v R3,
jeżeli u = [1,0,2], v=[1,3,-2].
Wektorem takim będzie iloczyn wektorowy danych wektorów,
i j k
0 2
u v = 1 0 2 = i - j1 22 + k1 0 = -6i+4j+3k = [-6,4,3].
3 2 1 1 3
1 3 - 2
30
Geometria analityczna
Wnioski
Niezerowe wektory u i v są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy
ux uy uz
u v 0
vx vy vz
(tzn. gdy mają proporcjonalne współrzędne).
Wersory osi współrzędnych spełniają związki
i j k
j k i
k i j
31
Dziękuję za uwagę
32