Zadania przygotowawcze do kolokwium 2 z Algebry - SIMR 2010/11
1. Rozwiązać układ równań:
Å„Å‚
ôÅ‚ 2x + y + z = 1
òÅ‚
(a) 4x + 2y - az = 2
ôÅ‚
ół
x + y + z = a
Å„Å‚
ax + y + z = 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
x + y + az = a
(b)
ôÅ‚
x + ay + z = 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
ax - y + z = a
Å„Å‚
ôÅ‚ - y + z = 1
ax
òÅ‚
(c) x + y - az = a
ôÅ‚
ół
4x + y = 4
Å„Å‚
ôÅ‚ - az = 1
x + y
òÅ‚
(d) ax + y + 2z = 1
ôÅ‚
ół
2x + 2y + z = 2
2. Obliczyć:
( × ×
a b) c
( ×
a b c)
( b)
a c
(( × × c
a b) c)
( × × + ( × ×
a b) c b c) a
(2 + 3 × ( - 2
a b) a b)

(a) = [1, 2, 1] ; b = [2, 3, -1] ; = [4, 1, 2]
a c

(b) = [2, -1, 0] ; b = [3, 0, 2] ; = [4, -1, 1]
a c

(c) = [1, 0, 1] ; b = [1, -1, 2] ; = [3, 0, 3]
a c

(d) = [2, 2, 1] ; b = [4, 4, 2] ; = [1, 1, -2]
a c
3. (a) Przez punkt przecięcia prostej l i płaszczyzny Ą poprowadzić prostą leżącą w
plaszczyz
nie Ą , prostopadłą do prostej l .
Å„Å‚
ôÅ‚ x = t + 4
òÅ‚
l1 : y = -t - 1 ; Ä„ : x + y + 3z - 12 = 0
ôÅ‚
ół
z = t + 6
(b) Znalez
ć kąt między rzutem prostej l na płaszczyznę Ą a prostą l1
Å„Å‚

ôÅ‚ x = 3t + 1
òÅ‚
2x + y - 2z + 1 = 0
l : y = -t + 2 ; Ä„ : 2x - 2y + 3z + 1 = 0 ; l1 :
ôÅ‚
4x - y - z - 3 = 0
ół
z = 3t - 2
"
(c) Znalez
ć płaszczyznę przechodzącą przez prostą l i oddaloną od punktu A o 2
Å„Å‚
ôÅ‚ x = t
òÅ‚
A(1, 2, 2) ; l : y = -t + 1
ôÅ‚
ół
z = t
(d) Znalez
ć płaszczyznę równoległą do prostej l , prostopadłą do płaszczyzny Ą ,
przechodzÄ…cÄ… przez punkt A .
Å„Å‚
ôÅ‚ x = t - 1
òÅ‚
l : y = t + 2 ;
ôÅ‚
ół
z = -3t + 4
Ä„ : x - y - z + 5 = 0 ;
A(2, -1, 0)