Algebra
WYKA
AD 2
ALGEBRA
1
Liczby zespolone
Liczbę zespoloną z ą� 0 możemy przedstawić w postaci
a b
z =� a +�bi =�| z | ( +� i) =� r(�cosj� +�isinj�)�
| z | | z |
gdzie
r  moduł liczby zespolonej,
j�  argument liczby zespolonej.
�� Definicja
Przedstawienie
z =� r(�cosj� +�isinj�)�
nazywamy postacią trygonometryczną liczby
zespolonej z.
ALGEBRA
2
Liczby zespolone
�� Twierdzenie
Różne od 0 liczby zespolone
z1 =� r1(cosj�1 +�isinj�1), z2 =� r2(cosj�2 +�isinj�2)
są równe wtedy i tylko wtedy, gdy
| r1 | =�| r2 | Ł� $�(k ��Z) j�1 -�j�2 =� 2kp�
(tzn.: moduły liczb z1 i z2 są równe, zaś argumenty są
równe modulo 2p� ).
ALGEBRA
3
Liczby zespolone
Mnożenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej
Niech z1 =� r1(cosj�1 +�isinj�1), z2 =� r2(cosj�2 +�isinj�2)
z1z2 =�[r1(cosj�1 +�isinj�1)][r2(cosj�2 +�isinj�2)] =�
=� r1r2[(cosj�1 cosj�2 -�sinj�1 sinj�2) +�
+�i(cosj�1 sinj�2 +�sinj�1 cosj�2) =�
=� r1r2[cos(j�1 +�j�2) +�isin(j�1 +�j�2)]
Stąd
z1z2 =� r1r2[cos(j�1 +�j�2)+�isin(j�1 +�j�2)]
ALGEBRA
4
Liczby zespolone
Dzielenie liczb zapisanych w postaci trygonometrycznej
wykonujemy wg wzoru
z1 =� r1 [cos(j�1 -�j�2) +�isin(j�1 -�j�2)]
z2 r2
Mnożenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej
polega na mnożeniu ich modułów i dodawaniu
argumentów.
Dzielenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej
polega na dzieleniu ich modułów i odejmowaniu
argumentów.
ALGEBRA
5
Liczby zespolone
Postać kanoniczna liczby zespolonej jest
dogodna do wykonywania operacji dodawania
(odejmowania).
Postać trygonometryczna jest wygodna
do wykonywania operacji mnożenia (dzielenia).
ALGEBRA
6
Liczby zespolone
Wzór de Moivre a
Postać trygonometryczna liczby zespolonej jest
szczególnie przydatna przy podnoszeniu do potęgi
i obliczaniu pierwiastka z tej liczby.
Jeżeli we wzorze na mnożenie liczb zespolonych
w postaci trygonometrycznej przyjmiemy z1 = z2 = z
i rozszerzymy go na dowolną ilość liczb zespolonych,
to otrzymamy wzór na n-tą (n��N) potęgę liczby
zespolonej zwany wzorem de Moivre a
n
n
z =� z (cos(nj�) +� i sin(nj�))
ALGEBRA
7
Liczby zespolone
Wzór de Moivre a pozwala w prosty sposób podnosić
liczby zespolone do dowolnie wysokiej potęgi.
Przykład
(1+�i)12
Obliczyć
(1+�i)
Liczba ma przedstawienie trygonometryczne
p� p�
ć�cos +� isin ��
1+�i =� 2
�� ��
4 4
Ł� ł�
Stosując wzór de Moivre'a na potęgowanie liczb
zespolonych otrzymujemy
12��p�
��
(1+�i)12 =� ( 2)12ć�cos12��p� +� isin =�
�� ��
4 4
Ł� ł�
=� 64(-�1+� 0i) =� -�64
ALGEBRA
8
Liczby zespolone
�� Definicja
Pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby w nazywamy każdą
liczbę zk , spełniającą równanie
zk n =� w
�� Twierdzenie
w =� r(�cosj� +�isinj�)�, to
Jeżeli
j� +� 2kp�
��
n
zk =� rć�cosj� +� 2kp� +�isin , k =� 0,1, ...,n-�1
�� ��
n n
Ł� ł�
Wniosek
Każda, różna od zera liczba zespolona ma dokładnie n
pierwiastków zespolonych stopnia n -tego
ALGEBRA
9
Liczby zespolone
Uwagi
n
| z |
Wszystkie pierwiastki mają ten sam moduł , tzn. leżą
n
r =� | z |
na okręgu o środku w 0 i promieniu .
j� +� 2kp� j� 2p�
=� +� k
Ponieważ , dla n ł� 3 pierwiastki
n n n
są wierzchołkami wielokąta foremnego wpisanego w okrąg
n
r =� | z |
o promieniu i boku odpowiadającym kątowi
2p�
środkowemu .
n
ALGEBRA
10
Liczby zespolone
Przykład
z3 =�1
Rozwiązać równanie .
Rozwiązanie równania sprowadza się do znalezienia
wszystkich pierwiastków trzeciego stopnia z 1 (istnieją
oczywiście dokładnie trzy).
Ponieważ moduł liczby 1 jest równy 1, a argument 0, to
korzystając ze wzoru na pierwiastki n-tego stopnia z liczby
zespolonej mamy
w0 =� cos0 +� isin 0 =� 1,
2p� 2p� -�1+�i 3
w1 =� cos +� isin =� ,
3 3 2
4p� -�1-�i 3
w2 =� cos4p� +� isin =� .
3 3 2
ALGEBRA
11
Liczby zespolone
Interpretacja geometryczna
Im
-�1+�i 3
2
0
1 Re
-�1-�i 3
2
ALGEBRA
12
Liczby zespolone
Przykład
3
-�i
Wyznaczyć pierwiastki liczby zespolonej
i =�1,
cosj� =� 0,
��
3p�
�� j� =�
ż�
sinj� =� -�1 2
��
p� p�
w�0 =�1(cos +�isin ) =� i
Dla k = 0 mamy
2 2
Dla k = 1 mamy
7p� p� p� p� 3 1
�� ��
w�1 =�1(cos7p� +�isin ) =� cosć�p� +� +�isinć�p� +� =� -�cosp� -�isin =� -� -� i
�� �� �� ��
6 6 6 6 6 6 2 2
Ł� ł� Ł� ł�
Dla k = 2 mamy
p� p� p� 3 1
�� ��
w�2 =�1(cos11p� +�isin11p� ) =� cosć�2p� -� +�isinć�2p� -� =� cosp� -�isin =� -� i
�� �� �� ��
6 6 6 6 6 6 2 2
Ł� ł� Ł� ł�
ALGEBRA
13
Liczby zespolone
Wielomiany w dziedzinie zespolonej
�� Definicja
Funkcję W: C �� C postaci
W(z) =� a0 +�a1z +�...+�anzn
a0, a1, ...,an ��C, Ł� an ą� 0 nazywamy wielomianem
gdzie
(zespolonym) stopnia n, n��N�� {0}.
�� Definicja
Miejscem zerowym (pierwiastkiem) wielomianu nazywamy
każdą liczbę z0��C, dla której W(z0) = 0
ALGEBRA
14
Liczby zespolone
�� Twierdzenie (B�zouta)
Liczba z0��C jest pierwiastkiem wielomianu W wtedy i tylko
wtedy, gdy wielomian ten jest podzielny przez dwumian
(z -� z0)
.
�� Definicja
Pierwiastek nazywamy k-krotnym jeżeli wielomian jest
(z -� z0)k i nie jest podzielny przez (z -� z0)k+�1
podzielny przez
ALGEBRA
15
Liczby zespolone
�� Twierdzenie (zasadnicze twierdzenie algebry)
Każdy wielomian zespolony stopnia dodatniego ma co najmniej
jeden pierwiastek zespolony.
Wniosek
Wielomian stopnia n��N ma w dziedzinie zespolonej
dokładnie n pierwiastków.
ALGEBRA
16
Liczby zespolone
Wielomiany o współczynnikach rzeczywistych
�� Twierdzenie
Jeżeli z0 jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach
z0
rzeczywistych, to jest również pierwiastkiem tego
wielomianu.
�� Wniosek
Wielomian o współczynnikach rzeczywistych, stopnia
nieparzystego ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.
�� Twierdzenie
W dziedzinie liczb rzeczywistych każdy wielomian
o współczynnikach rzeczywistych można rozłożyć na czynniki
stopnia co najwyżej drugiego.
ALGEBRA
17
Liczby zespolone
Przykłady
Rozwiązać równania
x2 +�9 =� 0
x2 =� -�9 x2 =� 9i2 x =� 3i lub x =� -�3i.
x2 -� 2x +�5 =� 0
D� =� -�16 D� =�16i2 x1 =�1+� 2i x2 =�1-� 2i
x3 +� x2 +� 4x +� 4 =� 0
x2(x +�1) +� 4(x +�1) =� 0 (x +�1)(x2 +� 4) =� 0 x +�1=� 0 lub x2 +� 4 =� 0
x =� -�1 lub x =� 2i lub x =� -�2i
ALGEBRA
18
DZI
KUJ
ZA UWAG

ALGEBRA
19