Algebra
WYKA
AD 3
ALGEBRA
1
Zbiór Mandelbrota
ALGEBRA
2
Zbiór Mandelbrota
ALGEBRA
3
Zbiór Mandelbrota
ALGEBRA
4
Zbiór Mandelbrota
ALGEBRA
5
Zbiór Mandelbrota
ALGEBRA
6
Zbiór Mandelbrota
ALGEBRA
7
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota - podzbiór płaszczyzny zespolonej, którego brzeg
jest jednym ze sławniejszych fraktali. Nazwa tego obiektu została
wprowadzona dla uhonorowania jego odkrywcy, matematyka Benoit
Mandelbrota.
ALGEBRA
8
Zbiór Mandelbrota
Konstrukcja
Zbiór Mandelbrota M wyznaczają te punkty dla których ciąg opisany
równaniem rekurencyjnym:
nie dąży do nieskończoności:
Można wykazać, że jest to równoważne z warunkiem:
Podsumowując:
ALGEBRA
9
Zbiór Mandelbrota
Za pomocą komputera można wykreślić przybliżone obrazy zbioru Mandelbrota
(obrazy takie przedstawiają zamieszczone rysunki).
Aby uzyskać taki obraz dla każdego punktu p oblicza się pewną liczbę
początkowych wyrazów ciągu zn.
Przyjmuje się, że punkt należy do zbioru jeżeli dla wszystkich (w szczególności
dla ostatniego) wyrazów tego podciągu spełniony jest warunek | zn | < 2.
Jest to tym samym obraz przybliżony (okazuje się jednak, że efekt przybliżenia
jest widoczny tylko w dużych powiększeniach).
Zbiór Mandelbrota jest podzbiorem każdego przybliżenia.
Dla każdego z punktów nie należących do zbioru można określić liczbę m:
Jest to liczba początkowych wyrazów ciągu zn, które spełniają powyższy
warunek.
Wykorzystuje się ją do barwienia punktów nie należących do zbioru Mandelbrota
przyporządkowując każdej z wartości m pewien kolor.
ALGEBRA
10
W wieku 85 lat zmarł w czwartek w Cambridge w stanie Massachusetts
Benoit B. Mandelbrot, wybitny i nowatorski matematyk pochodzący z Polski -
poinformowały w niedzielę amerykańskie media.
Był on twórcą tzw. geometrii fraktalnej, opisującej nieregularne kształty
występujące w przyrodzie, takie jak linia brzegowa, zbocza górskie, i systemy
komórkowe. Fraktale w najogólniejszym znaczeniu to interpretacja graficzna
równań i ciągów uchodzących poprzednio za całkowicie abstrakcyjne i nie mające
odniesień do rzeczywistości.
Jak wykazał Mandelbrot, powinny one być przedmiotem badań i mają
zastosowania w wielu dziedzinach praktycznych. Jedną z nich była m.in. grafika
komputerowa.
Benoit Mandelbrot urodził się w Warszawie 20 listopada 1924 roku w rodzinie
litewskich Żydów. W 1936 roku wyemigrował z rodzicami do Francji, gdzie
studiował w Ecole Polytechnique w Paryżu. Po wojnie wyjechał do USA. Pracował
w centrum badawczym im. Watsona w Nowym Jorku, wykładał na Uniwersytecie
Harvarda, w Massachusetts Institute of Technology, a od 1987 roku był
profesorem na Uniwersytecie Yale.
- Jeśli mówimy o wpływie w matematyce i jej zastosowaniach w naukach ścisłych,
Mandelbrot był jedną z najważniejszych postaci ostatnich 50 lat - powiedział o
zmarłym profesor matematyki z Uniwersytetu w Bremie, Heinz-Otto Peitgen,
cytowany w artykule wspomnieniowym w niedzielnym "New York Timesie".
ALGEBRA
11
Macierze
ALGEBRA
12
Macierze
��Definicja
Macierzą rzeczywistą wymiaru m��n, gdzie m,n �� N nazywamy tablicę
prostokątną m �� n liczb rzeczywistych ustawionych w m wierszach i n
kolumnach:
a11 L� a1 j L� a1n
�� ł�
ę� ś�
ę�L� L� L� L� L� ś�
ę� ś�
ai1 L� aij L� ain
A =� i -�ty wiersz
ę� ś�
ę�L� L� L� L� L� ś�
ę�am1 L� amj L� amnś�
�� ��
j -�ta kolumna
Element stojący na przecięciu i-tego wiersza i j-tej kolumny oznaczamy
przez aij.
Macierz A o elementach aij zapisywana jest jako [aij ] lub [aij]mxn.
ALGEBRA
13
Macierze
Uwagi
W definicji macierzy przyporządkowujemy parze (i,j)
(miejscu na przecięciu i-tego wiersza i j-tej kolumny)
liczbę aij, zatem macierz jest wartością funkcji
odwzorowującej iloczyn kartezjański
(1,..., m) �� (1, ... , n) w zbiór liczb rzeczywistych R
( i, j) �� ( 1, ..., m) �� ( 1, ..., n), ( i, j) �� aij.
Jeżeli aij są liczbami zespolonymi, to otrzymujemy
macierz zespoloną.
ALGEBRA
14
Macierze
��Definicja
Macierz kwadratowa stopnia n jest to macierz o wymiarze n �� n.
Liczbę wierszy n równą liczbie kolumn n nazywamy stopniem
macierzy.
a11 L� L� a1n
�� ł�
ę�a a22 L� a2nś�
21
ę� ś�
ę� ś�
M� M� M� M�
ę�a L� L� annś�
�� n1 ��
Elementy macierzy mające ten sam numer wiersza i kolumny
tworzą główną przekątną macierzy.
ALGEBRA
15
Macierze
Macierz diagonalna stopnia n jest to macierz kwadratowa stopnia
n, w której wszystkie elementy poza główną przekątną są równe 0.
a11 0 L� 0
�� ł�
ę� ś�
0 a22 L� 0
ę� ś�
ę� ś�
M� M� M� M�
ę�
0 L� L� annś�
�� ��
Macierz jednostkowa stopnia n jest to macierz diagonalna,
której przekątna składa się z samych jedynek. Oznaczamy ją In lub I.
1 0 L� 0
�� ł�
ę�0 1 L� 0ś�
ę� ś�
ę� ś�
M� M� M� M�
ę�0 L� L� 1ś�
�� ��
ALGEBRA
16
Macierze
Wektor kolumnowy jest to macierz o wymiarze m��1.
Wektor wierszowy jest to macierz o wymiarze 1��n.
Macierzą trójkątną dolną (dolnotrójkątną) nazywamy macierz
kwadratową, w której elementy leżące nad górną przekątną są
równe 0.
Macierzą trójkątną górną (górnotrójkątną) nazywamy macierz
kwadratową, w której elementy leżące pod górną przekątną są
równe 0.
Macierz zerowa oznaczona 0 lub 0mxn jest macierzą wymiaru m �� n
składającą się z samych zer.
ALGEBRA
17
Macierze
Przykłady
Wektor kolumnowy wymiaru 3:
Wektor wierszowy wymiaru 4:
[2, -4, 7, 3].
Macierz o wymiarze 2��3:
Macierz dolnotrójkątna stopnia 2:
ALGEBRA
18
Macierze
��Definicja
Macierze A i B nazywamy równymi, co zapisujemy A = B, jeżeli
mają ten sam wymiar m �� n i jeżeli aij = bij dla i = 1, ..., m
oraz j = 1, ... ,n.
Przykład
Obliczyć dla jakich wartości x i y macierze A i B są równe.
ALGEBRA
19
Macierze
��Definicja
Sumą macierzy A = [ aij] i B = [ bij] wymiaru m �� n, nazywamy
macierz C = [ cij ] wymiaru m �� n taką, że
cij = aij + bij, 1Ł� i Ł� m, 1 Ł� j Ł� n.
(oznaczenie C = A + B)
Przykład
ALGEBRA
20
Macierze
��Definicja
Różnicą macierzy A = [ aij] i B = [ bij] wymiaru m �� n, nazywamy
macierz C = [ cij ] wymiaru m �� n taką, że
cij = aij - bij, 1Ł� i Ł� m, 1 Ł� j Ł� n.
(oznaczenie C = A - B)
Przykład
ALGEBRA
21
Macierze
Zadanie
Jaką wartość musi mieć x, żeby podana niżej macierz była
macierzą trójkątną dolną?
ALGEBRA
22
Macierze
��Definicja
Dla macierzy A =[ aij ] i liczby rzeczywistej c
c�� A =[ c �� aij ].
Mnożąc macierz A przez liczbę c, mnożymy każdy wyraz macierzy
przez c.
Przykład
ALGEBRA
23
Macierze
Niech A = [ aij ] będzie macierzą wymiaru m �� p oraz B = [ bjk]
macierzą wymiaru p �� n.
��Definicja
Iloczynem macierzy A i B nazywamy macierz C= [ cij ] wymiaru
m �� n o wyrazach:
cij =� ai1b1j +�ai2b2 j +�L�+�aipbpj
gdzie 1Ł� i Ł� m, 1 Ł� j Ł� n, tzn.:
p
�� ł�
A�� B =�[�cij]� =�
��a bkjś�
ik
ę�
m��n
k=�1
�� ��m��n
ALGEBRA
24
Macierze
Praktyczny sposób mnożenia macierzy
Wybieramy i - ty wiersz macierzy A tzn. ( ai1, ai2, ... , aip ) oraz j - tą kolumnę
macierzy B tzn. ( b1j, b2j, ... , bpj ).
Mnożymy kolejno odpowiednie wyrazy wybranego wiersza i wybranej
kolumny przez siebie i otrzymane iloczyny dodajemy, otrzymując wyraz cij
macierzy C.
Wyraz cij macierzy C jest więc iloczynem skalarnym i - tego wiersza macierzy
A oraz j - tej kolumny macierzy B.J�
ALGEBRA
25
Macierze
Uwagi !
Mnożenie macierzy w ogólnym przypadku nie jest przemienne.
Dwie macierze można pomnożyć tylko wtedy gdy liczba kolumn
macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy B.
Przykład
Obliczyć iloczyny macierzy: A �� B i B �� A.
2 1 1 -�1
�� ł� �� ł�
A =� B =�
ę�3 -� 2ś� ę�2 -� 3ś�
�� �� �� ��
A��B ą� B��A
ALGEBRA
26
Macierze
Przykłady
=
ALGEBRA
27
Macierze
Zadanie
Obliczyć iloczyn macierzy:
ALGEBRA
28