Zadania przygotowawcze do kolokwium 2 z Algebry - SIMR 2012/13
1. Rozwiązać układ równań:
Å„Å‚
ôÅ‚ 2x + y + z = 1
òÅ‚
(a) 4x + 2y - az = 2
ôÅ‚
ół
x + y + z = a
Å„Å‚
ax + y + z = 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
x + y + az = a
(b)
ôÅ‚
x + ay + z = 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
ax - y + z = a
Å„Å‚
ôÅ‚ - y + z = 1
ax
òÅ‚
(c) x + y - az = a
ôÅ‚
ół
4x + y = 4
Å„Å‚
ôÅ‚ - az = 1
x + y
òÅ‚
(d) ax + y + 2z = 1
ôÅ‚
ół
2x + 2y + z = 2
2. Obliczyć:
( × ×
a b) c
( ×
a b c)
( b)
a c
(( × × c
a b) c)
( × × + ( × ×
a b) c b c) a
(2 + 3 × ( - 2
a b) a b)

(a) = [1, 2, 1] ; b = [2, 3, -1] ; = [4, 1, 2]
a c

(b) = [2, -1, 0] ; b = [3, 0, 2] ; = [4, -1, 1]
a c

(c) = [1, 0, 1] ; b = [1, -1, 2] ; = [3, 0, 3]
a c

(d) = [2, 2, 1] ; b = [4, 4, 2] ; = [1, 1, -2]
a c
3. (a) Znalez
ć płaszczyznę prostopadłą do płaszczyzn Ą1 : 2x - y + 3z + 4 = 0 i Ą2 :
x - 2y + z + 1 = 0 przechodzÄ…cÄ… przez punkt P (1, 0, 2).
(b) Znalez
ć płaszczyznę prostopadłą do płaszczyzny Ą1 : x + 2y - 3z - 3 = 0 ,
równoległą do wektora = [2, -1, 1] i przechodzącą przez punkt P (-2, 1, 1).
a
(c) Znalez
ć kąt między rzutem wektora = [3, -1, 3] na płaszczyznę Ą a wektorem
a

b = [2, -1, 2]
Ä„ : 2x - 2y + 3z + 1 = 0
(d) Znalez
ć płaszczyznę przechodzącą przez prostą punkty A(0, 1, 0) i B(1, 0, 1) , od-
"
dalonÄ… od punktu C(1, 2, 2) o 2