Algebra
WYKA
AD 4
ALGEBRA
1
Macierze
Własności działań macierzowych
�� Twierdzenie
Działania dodawania i mnożenia macierzy mają następujące własności:
A + B = B + A (przemienność dodawania);
(A + B) + C = A + (B + C) (łączność dodawania);
A + 0 = 0 + A gdzie 0 jest macierzą zerową;
A�� (B �� C) = (A �� B) �� C (łączność mnożenia);
A �� (B + C) = A �� B + A �� C (rozdzielność dodawania względem
mnożenia);
(A + B) �� C = A �� C + B �� C (rozdzielność mnożenia względem
dodawania);
Jeśli A = [ aij]nxn i I jest macierzą jednostkową stopnia n, to A�� I = A = I ��A.
Własności te wynikają bezpośrednio z definicji działań na macierzach.
ALGEBRA
2
Macierze
�� Twierdzenie
Niech -A = [ - aij ]mxn oznacza macierz przeciwną do macierzy A.
Dla dowolnych macierzy A i B zachodzą następujące związki:
- ( A + B) = ( - A) + ( - B );
- A = ( -1) �� A;
A - B = A + (- B ).
ALGEBRA
3
Macierze
��Definicja
Jeżeli A = [ aij] jest macierzą wymiaru m �� n, wtedy macierz wymiaru n �� m,
oznaczoną przez AT =�[aT] , gdzie aT =� a , 1Ł� i Ł� m, 1 Ł� j Ł� n,
ij ij ji
nazywamy macierzą transponowaną do macierzy A.
Przykład
Znalez
ć macierze transponowane do danych macierzy.
Transpozycja macierzy polega więc na zamianie miejscami kolumn i wierszy
macierzy w ten sposób, że pierwszy wiersz staje się pierwszą kolumną itd.
ALGEBRA
4
Macierze
�� Twierdzenie
Dla macierzy A i B zachodzą równości:
( AT)T = A,
( A + B )T = AT + BT,
( A �� B )T = BT �� AT.
��Definicja
Macierz A nazywamy macierzą symetryczną, gdy AT = A.
ALGEBRA
5
WYZNACZNIK MACIERZY
ALGEBRA
6
Wyznacznik macierzy
Rozpatrzmy układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi
Rozwiązanie układu metodą eliminacji
-� Mnożymy pierwsze równanie przez b2,
-� Mnożymy drugie równanie przez (- b1),
-� Dodajemy równania stronami.
Stąd
.
Podobnie
.
Pzy założeniu rozwiązanie układu równań jest postaci:
ALGEBRA
7
Wyznacznik macierzy
Macierz główna układu dwóch równań ma postać
��Definicja
Wyznacznikiem macierzy głównej układu dwóch równań nazywamy liczbę
równą
a1b2 - a2b1
i oznaczamy przez
ALGEBRA
8
Wyznacznik macierzy
Wyznaczając dodatkowo dwa następujące wyznaczniki
możemy rozwiązanie układu równań zapisać w postaci
ALGEBRA
9
Wyznacznik macierzy
Niech A będzie dowolną macierzą kwadratową o wymiaru n �� n (stopnia n)
a11 a12 L� a1n
�� ł�
ę�a a21 L� a2nś�
21
ę� ś�
A =�
ę� M� M� M� M� ś�
ę�a L� L� annś�
�� 21 ��
Dla macierzy A zdefiniujemy liczbę nazywaną wyznacznikiem A, oznaczaną
jako det A, lub | A |.
Możemy zatem wyznacznik traktować jako funkcję, która każdej macierzy
kwadratowej przypisuje liczbę rzeczywistą.
ALGEBRA
10
Wyznacznik macierzy
��Definicja (indukcyjna wyznacznika - rozwinięcie względem pierwszego wiersza)
Niech A oznacza macierz kwadratową wymiaru n �� n.
Krok 1. Dla n = 1, det A = a.
Krok 2. Zakładając, że mamy zdefiniowany wyznacznik macierzy A wymiaru n �� n
definiujemy wyznacznik macierzy A wymiaru (n+1) �� (n+1) postaci:
a11 a12 L� a1n a1,n+�1
�� ł�
ę�
a21 a21 L� a2n a2,n+�1 ś�
ę� ś�
ę� ś�
M� M� M� M� M�
ę�a
an+�1,2 L� an+�1,n an+�1,n+�1ś�
n+�1,1
�� ��
W tym celu dla i = 1, 2, ..., n +1:
-� wykreślamy z macierzy A wiersz 1 i kolumnę i,
-� dla pozostałej macierzy A1,i obliczamy det A1,i ,
-� tworzymy sumę
S =� (-�1)1+�1a11��det A1,1 +�(-�1)1+�2a12 ��det A1,2 +�L�+�(-�1)1+� j a1 j ��det A1, j +�L�+�(-�1)1+�n+�1a1,n+�1 ��det A1,n+�1
Krok 3. Przyjmujemy det A = S.
ALGEBRA
11
Wyznacznik macierzy
det A jest więc sumą następujących iloczynów:
każdy element a1i pierwszego wiersza mnożymy przez (-1)1+i
i przez wyznacznik macierzy otrzymanej przez wykreślenie
pierwszego wiersza i i-tej kolumny.
ALGEBRA
12
Wyznacznik macierzy
Zauważmy, że stosując definicję indukcyjną do macierzy
kwadratowej A stopnia 2 otrzymamy wynik zgodny z pierwszą
definicją przedstawioną w tym wykładzie tzn.:
a11 a12
=� a11��a22 -�a21��a12
a21 a22
ALGEBRA
13
Wyznacznik macierzy
Przykład
Obliczyć z definicji wyznacznik macierzy:
24
.
ALGEBRA
14
Wyznacznik macierzy
Wyznacznik macierzy kwadratowej oznaczamy również symbolem:
a11 a12 L� a1n
a21 a21 L� a2n
M� M� M� M�
a21 L� L� ann
Podobnie jak w przypadku macierzy, dla wyznacznika definiuje się stopień,
wiersze i kolumny.
Wyznacznik jest określony tylko dla macierzy kwadratowych!
ALGEBRA
15
Wyznacznik macierzy
Metoda (wzór) Sarrusa
Jest to metoda rachunkowa obliczania wyznacznika macierzy stopnia 3.
Do macierzy dopisujemy dwie pierwsze kolumny i obliczamy sumę
następujących iloczynów:
-�
a11 a12 a13 a11 a12
a11a22a33 +� a12a23a31 +� a13a21a32
a21 a22 a23 a21 a22 =�
-�(a31a22a13 +� a32a23a11 +� a33a21a12)
a31 a32 a33 a31 a32
+
ALGEBRA
16
Wyznacznik macierzy
Przykład
Obliczyć wyznacznik
3 2 1 3 2
A =� 0 5 2 0 5 =�
6 1 4 6 1
=� 3��5��4 +� 2��2��6 +� 1��0��1 -� 6��5��1 -� 1��2��3 -� 4��0��2 =� 48
Wyznacznik macierzy
Wzór Sarrusa
3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1
A =� 0 5 2 0 5 2 0 5 2 0 5 2 0 5 2 0 5 2
6 1 4 6 1 4 6 1 4 6 1 4 6 1 4 6 1 4
.
=� 3��5��4 +� 0��1��1 +� 2��2��6 -� 1��5��6 -� 2��0��4 -� 3��2��1 =�
=� 48
ALGEBRA
18
Wyznacznik macierzy
Uwaga
Zamiast kolumn można dopisać dwa pierwsze wiersze
i zastosować opisaną procedurę
Przykład
Oblicz wyznacznik metodą Sarrusa
+
-
ALGEBRA
19
Wyznacznik macierzy
Zadanie
Obliczyć wyznacznik macierzy
ALGEBRA
20
Własności wyznaczników
�� Twierdzenie
Wyznacznik macierzy mającej wiersz (kolumnę) zerową
jest równy 0.
�� Twierdzenie
Przestawienie dwóch wierszy (kolumn) w macierzy jest
równoważne pomnożeniu wyznacznika przez -1.
Przykład
a b b a
=� ad -�bc =� -�(bc-�ad) =� -�
c d d c
ALGEBRA
21
Własności wyznaczników
�� Twierdzenie
Wyznacznik macierzy o dwóch jednakowych wierszach
(kolumnach) jest równy 0.
Przykład
a b
=� ab-�ab =� 0
a b
�� Twierdzenie
Wyznacznik macierzy jest równy wyznacznikowi macierzy
względem niej transponowanej
det A = det AT
Przykład
a b a c
=� ad -�bc =�
c d b d
ALGEBRA
22
Własności wyznaczników
�� Twierdzenie
Mnożąc wiersz (kolumnę) macierzy przez liczbę
mnożymy wyznacznik tej macierzy przez tę liczbę.
Przykład
l�a l�b a b
=� l�
c d c d
�� Twierdzenie
Wyznacznik macierzy o dwóch proporcjonalnych
wierszach (kolumnach) jest równy 0.
Przykład
l�a l�b a b
=� l� =� l� ��0 =� 0
a b a b
ALGEBRA
23
Własności wyznaczników
�� Twierdzenie
Jeżeli w macierzy jeden z wierszy (lub jedna z kolumn)
jest kombinacją liniową pozostałych wierszy (lub kolumn),
to wyznacznik tej macierzy jest równy 0.
Przykład
a1 b1 l�a1 +� m�b1 a1 b1 l�a1 a1 b1 m�b1
a2 b2 l�a2 +� m�b2 =� a2 b2 l�a2 +� a2 b2 m�b2 =� 0+�0 =� 0
a3 b3 l�a3 +� m�b3 a3 b3 l�a3 a3 b3 m�b3
ALGEBRA
24
Własności wyznaczników
�� Twierdzenie
Wyznacznik macierzy nie zmieni wartości, jeżeli do wiersza
(lub kolumny) macierzy dodamy kombinację liniową
pozostałych wierszy (lub kolumn).
Przykład
a1 b1 c1 a1 b1 c1 a1 b1 l�a1 +� m�b1 a1 b1 c1 +�l�a1 +� m�b1
a2 b2 c2 =� a2 b2 c2 +� a2 b2 l�a2 +� m�b2 =� a2 b2 c2 +�l�a2 +� m�b2
a3 b3 c3 a3 b3 c3 a3 b3 l�a3 +� m�b3 a3 b3 c3 +�l�a3 +� m�b3
= 0
ALGEBRA
25
Własności wyznaczników
W przyjętej definicji wyznacznika macierzy
wykorzystaliśmy tzw. rozwinięcie względem pierwszego
wiersza. Można wykazać, że ten sam wynik uzyskamy
stosując rozwinięcie względem dowolnego wiersza,
lub kolumny.
ALGEBRA
26
Własności wyznaczników
Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia n
�� Definicja
Wyrażenie
Di j = (-1)i +j det Ai j , 1 Ł� i , j Ł� n ,
gdzie Ai j oznacza macierz stopnia n -1 otrzymaną przez
skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny macierzy A,
nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu ai j .
ALGEBRA
27
Własności wyznaczników
�� Twierdzenie (Laplace'a o rozwinięciu wyznacznika względem
wiersza, lub kolumny )
Dla macierzy A stopnia n zachodzi:
det A = ai 1Di 1 + ai 2Di 2 + ... + ai nDi n
i
det A = a1j D1j + a2 j D2 j + ... + an j Dn j
dla dowolnych liczb i, j takich, że 1 Ł� i, j Ł� n.
Zatem wyznacznik jest równy sumie iloczynów elementów i-tego
wiersza i ich dopełnień algebraicznych, bądz
sumie iloczynów
elementów j-tej kolumny i ich dopełnień algebraicznych.
ALGEBRA
28
Własności wyznaczników
Uwagi
Stosując rozumowanie indukcyjne i twierdzenie Laplace'a łatwo
uzasadnić, że wyznacznik macierzy diagonalnej oraz dolno
lub górnotrójkątnej jest równy
iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej.
Korzystając z twierdzenia Laplace a należy rozwijać wyznacznik
względem wiersza (lub kolumny) zawierającego najwięcej
elementów zerowych.
Liczbę elementów zerowych w wierszu, względem którego
rozwijany jest wyznacznik, można zwiększyć dodając do wierszy
(kolumn) inne wiersze (kolumny) pomnożone przez odpowiednio
dobrane liczby (operacje te nie zmieniają wartości wyznacznika).
ALGEBRA
29
Własności wyznaczników
Przykład
Obliczyć wyznacznik
1 1 1 1 1
1 2 1 1 1
1 1 3 1 1
1 1 1 4 1
1 1 1 1 5
Odejmując pierwszy wiersz od pozostałych otrzymujemy wyznacznik o niezmienionej
wartości
1 1 1 1 1
0 1 0 0 0
0 0 2 0 0
0 0 0 3 0
0 0 0 0 4
Jest on równy 1��1��2��3��4 = 24.
ALGEBRA
30
Dziękuję za uwagę