Algebra
WYKA
AD 9
ALGEBRA
1
1
1
Prosta w R3
W geometrii analitycznej przestrzeni prosta (podobnie
jak płaszczyzna) jest definiowana jako zbiór punktów
o pewnej własności i opisywana stosownym równaniem.
2
2
Prosta w R3
rð
Dane sÄ… punkt P(x0, y0, z0) oraz wektor
v =ð[vx, vy,vz]
Równanie prostej przechodzącej przez punkt P , równoległej do wektora v
ma postać
ìð
x=x0 +ðtvx
rð
ïð y=y +ðtvy t ÎðR
v =ð[vx,vy,vz]
l :
íð
0
z
,
ïð z=z +ðtvz
îð 0
P(x0, y0, z0)
Jest to
parametryczna postać równania prostej.
0
y
Wektor v nazywamy wektorem kierunkowym prostej l.
x
3
3
Prosta w R3
Niech
v - wektor kierunkowy prostej,
r0 - wektor wodzÄ…cy ustalonego punktu prostej,
Wówczas wektor wodzący r dowolnego punktu prostej
ma przedstawienie
r = r0 + t v , tÎðR
Jest to postać wektorowa równania prostej.
t v
r0
r
4
Prosta w R3
JeÅ›li vx Ä…ð 0, vy Ä…ð 0, vz Ä…ð 0, to przeksztaÅ‚cajÄ…c ukÅ‚ad równaÅ„ dostajemy
x -ð x0 y -ð y0 z -ð z0
=ð t, =ð t, =ð t, t ÎðR
,
vx vy vz
StÄ…d
x -ð x0 y -ð y0 z -ð z0
l : =ð =ð ,
rð
vx vy vz
v =ð[vx,vy,vz]
Jest to z
kierunkowa postać równania prostej.
P(x, y, z)
Interpretacja:
P(x0, y0, z0)
Dowolny wektor o poczÄ…tku w punkcie P0
i końcu P(x, y, z) należącym na prostej l
0
y
(tzn. [x-x0, y-y0, z-z0]) jest równoległy do wektora v.
x
5
5
Prosta w R3
Uwaga
Aby nie ograniczać ogólności zapisu przyjęto, że w mianowniku mogą
symbolicznie wystąpić  0 .
Przykład
x-ð1 y -ð0 z -ð3,
l : =ð =ð
2 1 0
Oznacza to, że z =ð 3, zaÅ› liczby w mianownikach reprezentujÄ… odpowiednie
współrzędne wektora kierunkowego prostej. Leży on w płaszczyz
nie xOy.
6
6
Prosta w R3
Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty P(x0, y0, z0) i Q(x1, y1, z1).
PQ|| l
Ponieważ wektor , dostajemy równanie prostej w postaci kierunkowej:
x -ð x0 =ð y -ð y0 =ð z -ð z0 ,
l :
x1 -ð x0 y1 -ð y0 z1 -ð z0
lub w postaci parametrycznej:
x=x0 +ðt(x1 -ð x0)
ìð
ïð y=y +ðt(y1 -ð y0) , t ÎðR
l :
íð
0
ïð z=z +ðt(z1 -ð z0)
0
îð
7
7
Prosta w R3
Przykład
Wyznaczyć równanie prostej l przechodzącej przez dwa punkty: P(1,2,3),
Q(2,4,-1).
PQ= [1,2,-4] , stąd postać kierunkowa
Wektor równoległy do prostej l:
prostej l:
x-1 y-2 z -3
l : =ð =ð
1 2 -4
lub postać parametryczna:
x=1+t
ìð
ïðy=2+2t , t ÎðR
l :
íð
ïðz=3-4t
îð
8
8
Prosta w R3
Dwie pÅ‚aszczyzny pð1 : A1x +B1y +C1z +D1 = 0 i pð2: A2x +B2y +C2z +D2= 0
mogą mieć punkty wspólne, lub być zbiorami rozłącznymi.
Punkty wspólne tych płaszczyzn będą rozwiązaniami następującego układu
równań liniowych z trzema niewiadomymi:
A1x +ð B1y +ð C1z +ð D1 =ð 0,
ìð
íðA x +ð B2 y +ð C2z +ð D2 =ð 0.
îð 2
Zgodnie z twierdzeniem Kroneckera-Capelli ego układ będzie miał rozwiązanie,
gdy rzędy macierzy
A1 B1 C1
éð Å‚ð
A1 B1 C1 -ð D1
éð Å‚ð
A =ð
A| D =ð
Ä™ðA B2 C2 Å›ð
Ä™ðA B2 C2 -ð D2Å›ð
oraz
ëð 2 ûð
ëð 2 ûð
będą sobie równe.
9
9
Prosta w R3
Jeżeli rz(A) Ä…ð rz(A|D), to pð1Çðpð2 = Ćð i pÅ‚aszczyzny pð1 i pð2 sÄ… równolegÅ‚e.
rð
rð
n2
n1
Jeżeli rz(A) = rz(A|D) = 1, to wektory =[A1, B1, C1] i =[A2, B2, C2] są równoległe,
rð rð
n1 n2
czyli istnieje lðÎðR, takie że =lð , a ponieważ rz(A|D) = 1, wiÄ™c także D1=lðD2,
a wiÄ™c pÅ‚aszczyzny pð1 i pð2 pokrywajÄ… siÄ™.
Jeżeli rz(A) = rz(A|D) = 2, to rozwiązania tego układu są zależne od jednego parametru i
przedstawiajÄ… równania parametryczne prostej l = pð1Çðpð2 bÄ™dÄ…cej wspólnÄ… krawÄ™dziÄ…
tych płaszczyzn.
Otrzymujemy w ten sposób równania krawędziowe prostej l:
A1x +ð B1y +ð C1z +ð D1 =ð 0,
ìð
l :
íðA x +ð B2 y +ð C2z +ð D2 =ð 0.
îð 2
10
10
Prosta w R3
Uwaga
Wektor kierunkowy prostej przedstawionej równaniem w postaci krawędziowej
jest iloczynem wektorowym wektorów normalnych płaszczyzn wyznaczających
tÄ™ prostÄ….
rð rð
n1´ðn2 =ð[A1,B1,C1]´ð[A2,B2,C2]
rð rð
n1 =ð[A1,B1,C1] n2 =ð[A2,B2,C2]
11
11
Prosta w R3
Krawędz
l wyznacza tzw. pęk płaszczyzn (czyli zbiór wszystkich płaszczyzn
zawierających prostą l), który jest kombinacją liniową równań płaszczyzn
wyznaczajÄ…cych prostÄ… l.
Równanie pęku płaszczyzn ma więc następującą postać:
að(A1x +B1y +C1z +D1) +bð( A2x +B2y +C2z +D2)=0, að2+bð2 Ä…ð 0, að, bðÎðR.
12
12
Prosta w R3
Przykład
Wyznaczyć równanie płaszczyzny przechodzącej
przez punkt P(1, 2, -1) i zawierajÄ…cej prostÄ…
x + y - z= 0
ìð
l :
íð2x -y +
.
3z -4 = 0
îð
Szukana płaszczyzna należy do pęku:
að(x+y-z) + bð(2x-y+3z-4) = 0.
Ponieważ punkt P należy do szukanej płaszczyzny,
wiÄ™c að(1 + 2 + 1) + bð(2 - 2 - 3 - 4) = 0, stÄ…d 4að = 7bð.
PrzyjmujÄ…c að = 7, bð = 4 otrzymamy równanie szukanej
płaszczyzny:
7(x + y - z) + 4(2 x- y + 3z - 4) = 0 Ûð 15x + 3y + 5z -16 = 0.
13
13
Prosta w R3
Przykład
Wyznaczyć punkt Q symetryczny do punktu P(1, -2, 7) względem prostej
x=2t
ìð
ïðy=1+t
l :
íð
ïðz=2-t .
îð
rð
v
Wektor =[2, 1, -1] równoległy do prostej l jest wektorem prostopadłym do
płaszczyzny prostopadłej do prostej l. Wyznaczymy równanie takiej
płaszczyzny, która przechodzi przez dany punkt P:
pð: 2(x-1)+1(y+2)-1(z-7)= 0 Ûð 2x + y - z + 7=0.
Punkt wspólny S danej prostej i znalezionej płaszczyzny wyznaczymy
wstawiając do równania płaszczyzny współrzędne prostej:
2(2t) + (1+t) - (2-t) + 7= 0, stÄ…d t = -1 i mamy punkt S(-2,0,3).
Punkt S jest środkiem odcinka PQ i jeśli punkt Q ma współrzędne (a,b,c), to:
a +1 b-2 c +7
=ð -ð2 , =ð 0 , =ð 3,
, stÄ…d Q(-5, 2, -1).
2 2 2
14
14
Prosta w R3
Przykład (c. d.)
l
P
S
Q
15
15
Prosta w R3
Rozważmy dwie proste l1 i l2 o równaniach:
x-x1 =ð y-y1 =ð z-z1 , x-x2 =ð y-y2 =ð z-z2
l1 : l2 :
.
vx vy vz ux uy uz
Kąt między prostymi:
rð rð
vxux +ð vyuy +ð vzuz
voðu
cosjð =ð =ð
rð rð
v ×ð u
vx2 +ð vy2 +ð vz2 ux2 +ðuy2 +ðuz2 .
Warunek prostopadłości:
rð rð
l1 ^ðl2 Ûð voðu =ð 0 Ûðvxux +ðvyuy +ðvzuz =ð 0
Warunek równoległości:
vy
rð rð vx vz
l1 || l2 Ûð v´ðu =ð 0 Ûð =ð =ð
ux uy uz
16
16
Iloczyn mieszany
þð Definicja
rð rð rð
u, v,w
Iloczynem mieszanym wektorów nazywamy iloczyn
rð rð rð
uoð(v´ðw)
rð rð rð
(u,v,w)
Oznaczamy go symbolem .
Wzór obliczeniowy
ux uy uz
vy vz vx vy
vx vz
rð rð rð
(u,v,w) =ð ux -ðuy +ðuz =ð vx vy vz
wy wz wx wy
wx wz
wx wy wz
17
17
Iloczyn mieszany
Własności iloczynu mieszanego
rð rð rð rð rð rð
(u,v,w) =ð (v,w,u)
1.
rð rð rð rð rð rð
(u,v,w) =ð -ð (v,u,w)
2.
rð rð rð
u, v,w
3. Niezerowe wektory sÄ… współpÅ‚aszczyznowe Ûð
rð rð rð
uoð(v´ðw) =ð 0
18
18
Iloczyn mieszany
Interpretacja geometryczna
rð rð rð
u, v,w
Wartość bezwzględna iloczynu mieszanego wektorów
jest równa objętości równoległościanu zbudowanego na tych
wektorach
19
19
Prosta w R3
Warunek przecinania się prostych nierównoległych:
rð
rð rð rð rð
v´ðu Ä…ð 0 i (AB, v,u) =ð 0, gdzie AÎðl1, BÎðl2 ,
(proste muszą leżeć w jednej płaszczyz
nie - wektory kierunkowe obu
prostych i dowolny wektor łączący punkty leżące na tych prostych
muszą być współpłaszczyznowe )
rð rð
(AB,v,u) Ä…ð 0, to proste nazywamy skoÅ›nymi .
Jeżeli
20
20
Prosta w R3
Przykład
x-1 y+2 z-1 x y-5 z +4
l1 : =ð =ð l2 : =ð =ð
Sprawdzić, że proste i
1 2 2 1 -1 3
się przecinają. Wyznaczyć cosinus kąta między nimi.
AB
Punkt A(1,-2,1) Îðl1, zaÅ› B(0, 5, -4) Îðl2 , stÄ…d = [-1,7,-5];
rð
v = [1,2,2] , rð = [1,-1,3], stÄ…d
u
Wektory kierunkowe prostych
rð rð
v´ðu =ð[8, -ð1, 3] Ä…ð 0 .
rð rð
ABoð(v´ðu)
Ponieważ = (-1)8+(7)(-1)+(-5)(-3) = 0, więc proste
przecinajÄ… siÄ™.
1-ð2+ð6 5 5
cosjð =ð =ð jð =ð arccos
stÄ…d .
1+ð4+ð4 1+ð1+ð9 3 11 3 11
21
21
Prosta w R3
y -ð ay
x -ð ax =ð z -ð az
OdlegÅ‚ość punktu P(x0,y0,z0) od prostej =ð
vx vy vz
obliczamy ze wzoru:
rð
v´ð AP
d(P,l) =ð
, gdzie punkt AÎðl
rð
,
v
C
Uzasadnienie
Pole równoległoboku ABCP jest równe P
rð
v´ð AP
Jest też równe d
rð
| v |×ðd(P,l)
B
P
rð
Stąd dostajemy wzór.
v
l
A
22
Prosta w R3
Przykład
x -ð1 y +ð1 z -ð3
l : =ð =ð
Wyznaczyć odległość punktu P(1, 2,-1) od prostej .
2 0 1
rð
v =ð[2, 0,1], a stÄ…d
AP =ð[0, 3, -ð 4],
Punkt A(1, -1, 3)Îðl,
rð rð rð
i j k
rð
v´ð AP =ð 2 0 1 =ð[-3,8, 6]
0 3 - 4
Ze wzoru na odległość punktu od prostej mamy:
9+ð 64+ð36 109
d(P,l) =ð =ð
4+ð0+ð1 5
23
23
Prosta w R3
Odległość dwóch prostych skośnych:
rð rð
(v,u, AB)
d(l1,l2) =ð
, gdzie AÎðl1 , BÎðl2
rð rð
v´ðu
Uzasadnienie
- objętość równoległościanu
u
B
rð rð
l2
v´ðu ×ðd(l1,l2)
- objętość równoległościanu
rð rð
d
l1
(v,u, AB)
A
v
24
24
Prosta w R3
Zadanie
Wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkt P(1, 2, 0),
równolegÅ‚ej do pÅ‚aszczyzny pð: x + 2y - z + 4 = 0 oraz przecinajÄ…cej
prostÄ…
x y -ð1 z -ð3
l : =ð =ð
2 -1 1
25
25
26