W Ba [c i w o [c i n o t a c j i O ( "
") ( t z w . r a c h u n e k O ( ") )
"
"
F ( N ) = O ( F ( N ) )
j e [l i F ( N ) j e s t f u n k c j z Bo |o n o [c i a l g o r y t m u , t o s p e Bn i e n i e
O ( ( g ( N ) ) ) = O ( g ( N ) )
w a r u n k u
F ( N )
l i m = C < "
C "O ( g ( N ) ) = O ( C "g ( N ) ) = O ( g ( N ) ) ( d l a d o w o l n e g o 0 < C < ")
N ! " g ( N )
j e s t z a p i s y w a n e F ( N ) = O ( g ( N ) )
X 1
i o d c z y t y w a n e z Bo |o n o [ a l g o r y t m u j e s t r z d u n i e w y |s z e g o
n i | g ( N ) l u b k r c e j z Bo |o n o [ a l g o r y t m u j e s t O ( g ( N ) )
T
r w n o [ w z a p i s i e F ( N ) = O ( g ( N ) ) p o w i n n a b y r o z u m i a n a
X X + 1 X > C O ( g ( N ) )
w t e n s p o s b , |e f u n k c j a F ( N ) j e s t j e d n z f u n k c j i , k t r e
s p e Bn i a j p o w y |s z y w a r u n e k l u b p r e c y z y j n i e j , |e f u n k c j a N
F ( N ) n a l e |y d o z b i o r u w s z y s t k i c h f u n k c j i s p e Bn i a j c y c h
O ( g ( N ) )
p o w y |s z y w a r u n e k
J a r o s Ba w S i k o r s k i - B U D O W A i A N A L I Z A A L G O R Y T M W , W I T 2 0 1 1 r . 1 J a r o s Ba w S i k o r s k i - B U D O W A i A N A L I Z A A L G O R Y T M W , W I T 2 0 1 1 r . 2
O ( g ( N ) ) + O ( h ( N ) ) = O ( g ( N ) + h ( N ) )
O ( g ( N ) ) "O ( h ( N ) ) = O ( g ( N ) "h ( N ) ) = g ( N ) "O ( h ( N ) ) = h ( N ) "O ( g ( N ) )
O ( g ( N ) )
O ( g ( N ) + h ( N ) )
X 1
O ( h ( N ) )
T
g ( N ) .
X X + 1 X > N O ( N g ( N ) )
J e [l i s p e Bn i o n y j e s t w a r u n e k l i m = 0 , c z y l i g ( N ) h ( N ) ,
p
N ! " h ( N )
N
t o O ( g ( N ) ) + O ( h ( N ) ) = O ( g ( N ) + h ( N ) ) = O ( h ( N ) )
O ( g ( N ) )
J a r o s Ba w S i k o r s k i - B U D O W A i A N A L I Z A A L G O R Y T M W , W I T 2 0 1 1 r . 3 J a r o s Ba w S i k o r s k i - B U D O W A i A N A L I Z A A L G O R Y T M W , W I T 2 0 1 1 r . 4
p r z y a n a l i z i e z Bo |o n o [c i w n a j g o r s z y m p r z y p a d k u ,
j e |e l i w a r u n e k w w y b o r z e w a r u n k o w y m z a l e |y
o d d a n y c h w e j [c i o w y c h , t o z a c h o d z i :
X 1
C z y
T
N T
X X + 1 X > h ( N ) O ( h ( N ) .
g ( N ) )
w a r u n e k W j e s t
s p e Bn i o n y ? O ( g ( N ) ) , j e [l i h ( N ) g ( N )
O ( h ( N ) ) , j e [l i g ( N ) = O ( h ( N ) )
N
O ( g ( N ) )
O ( g ( N ) ) O ( h ( N ) )
J a r o s Ba w S i k o r s k i - B U D O W A i A N A L I Z A A L G O R Y T M W , W I T 2 0 1 1 r . 5 J a r o s Ba w S i k o r s k i - B U D O W A i A N A L I Z A A L G O R Y T M W , W I T 2 0 1 1 r . 6
1
Z Bo |o n o [ c z a s o w a p r z y k Ba d o w y c h a l g o r y t m w
A l g o r y t m s o r t o w a n i a b b e l k o w e g o w p o p r a w i o n e j w e r s j i
( z m n i e j s z a j c a s i l i c z b a p o w t r z e D w i t e r a c j i w e w n t r z n e j )
A l g o r y t m s o r t o w a n i a b b e l k o w e g o w p i e r w o t n e j w e r s j i
( i t e r a c j a z a g n i e |d |o n a w i t e r a c j i )
1 . w y k o n a j c o n a s t p u j e N 1 r a z y :
1 . w y k o n a j c o n a s t p u j e N 1 r a z y : 1 . 1 . . . . ,
1 . 2 . w y k o n a j c o n a s t p u j e N K r a z y :
1 . 1 . . . . ,
1 . 2 . w y k o n a j c o n a s t p u j e N 1 r a z y : 1 . 2 . 1 . p o r w n a j w s k a z a n y e l e m e n t l i s t y z n a s t p n y m
1 . 2 . 1 . p o r w n a j w s k a z a n y e l e m e n t l i s t y z n a s t p n y m 1 . 2 . 2 . . . . ,
1 . 2 . 2 . . . . , 1 . 2 . 3 . . . . .
1 . 2 . 3 . . . . .
L i c z b a p o r w n a D p a r e l e m e n t w ( p o w t r z e D k r o k u 1 . 2 . 1 . )
2
F ( N ) = ( N - 1 ) + ( N - 2 ) + ( N - 3 ) + . . . + 2 + 1 = 0 , 5 "N - 0 , 5 "N
L i c z b a p o r w n a D p a r e l e m e n t w ( p o w t r z e D k r o k u 1 . 2 . 1 . )
2
F ( N ) = ( N - 1 ) "( N - 1 ) = N - 2 N + 1 2 2
N N , c z y l i z Bo |o n o [ F ( N ) = O ( N )
p
2 2
1 2 N N , c z y l i z Bo |o n o [ F ( N ) = O ( N )
p p
J a r o s Ba w S i k o r s k i - B U D O W A i A N A L I Z A A L G O R Y T M W , W I T 2 0 1 1 r . 7 J a r o s Ba w S i k o r s k i - B U D O W A i A N A L I Z A A L G O R Y T M W , W I T 2 0 1 1 r . 8
R e k u r e n c y j n y a l g o r y t m d l a p r o b l e m u w i e | H a n o i
A l g o r y t m s u m o w a n i a N l i c z b ( p o j e d y n c z a i t e r a c j a )
L i c z b a d o d a w a D d w c h w a r t o [c i F ( N ) = O ( N ) P r o c e d u r a p r z e n i e [ ( N ) k r |k w . . .
1 . j e [l i N = 1 , . . .
A l g o r y t m b r u t e f o r c e z n a j d o w a n i a n a j w i k s z e j
2 . w p r z e c i w n y m r a z i e ( t j . j e [l i N > 1 ) w y k o n a j c o n a s t p u j e :
p r z e k t n e j w w i e l o k c i e w y p u k By m
2 . 1 . W y w o Ba j p r o c e d u r p r z e n i e [ ( N 1 ) k r |k w . . .
( p r z e g l d t a b l i c y d w u w y m i a r o w e j )
L i c z b a p o r w n a D p a r w a r t o [c i w c e l u z n a l e z i e n i a o d c i n k a 2 . 2 . W y p i s z r u c h X ! Y ,
o m a k s y m a l n e j d Bu g o [c i
2 . 1 . W y w o Ba j p r o c e d u r p r z e n i e [ ( N 1 ) k r |k w . . .
2
F ( N ) = ( N - 1 ) + ( N - 2 ) + ( N - 3 ) + . . . + 2 + 1 = 0 , 5 "N - 0 , 5 "N
3 . w r . . .
2
c z y l i z Bo |o n o [ F ( N ) = O ( N )
O z n a c z m y n i e z n a n f u n k c j z Bo |o n o [c i p r z e z T ( N ) i u B |m y
r w n a n i e , k t r e T ( N ) m u s i s p e Bn i a ( t z w . r w n a n i e r e k u r e n c y j n e ) :
N a j l e p s z y a l g o r y t m z n a j d o w a n i a n a j w i k s z e j p r z e k t n e j w
T ( 1 ) = 1
w i e l o k c i e w y p u k By m ( o b r a c a n i e p a r y p r o s t y c h r w n o l e g By c h
T ( N ) l i c z b a p r z e n i e s i e D p o j e d y n c z e g o
w o k B w i e l o k t a p o j e d y n c z a i t e r a c j a )
k r |k a w z a d a n i u z N k r |k a m i
T ( N ) = 2 "T ( N - 1 ) + 1
L i c z b a m o |l i w y c h o b r o t w F ( N ) = O ( N )
R w n a n i e s p e Bn i a f u n k c j a F ( N ) = 2 N - 1 = O ( 2 N )
J a r o s Ba w S i k o r s k i - B U D O W A i A N A L I Z A A L G O R Y T M W , W I T 2 0 1 1 r . 9 J a r o s Ba w S i k o r s k i - B U D O W A i A N A L I Z A A L G O R Y T M W , W I T 2 0 1 1 r . 1 0
A l g o r y t m s o r t o w a n i a d r z e w i a s t e g o
E t a p l e w o s t r o n n e g o o b e j [c i a d r z e w a B S T m a z Bo |o n o [ O ( N )
( d w a e t a p y : b u d o w a d r z e w a B S T i p r z e g l d d r z e w a )
Z a t e m c a By a l g o r y t m m a p e s y m i s t y c z n z Bo |o n o [
2
E t a p b u d o w y d r z e w a B S T m a p e s y m i s t y c z n z Bo |o n o [ O ( N ) :
2 2
O ( N ) + O ( N ) = O ( N )
7
A l g o r y t m s o r t o w a n i a d r z e w i a s t e g o z s a m o o r g a n i z a c j d r z e w a
1 5
( p o p r a w i o n y e t a p b u d o w y d r z e w a B S T )
7 1 5 1 2 1 1 8 1 0
1 2 1 1
7 1 5 1 2 1 1 8 1 0
1 1 8 1 2
8 7 1 0 1 5
1 0
E t a p b u d o w y d r z e w a B S T m a p e s y m i s t y c z n z Bo |o n o [ O ( N "l g N )
L i c z b a p o r w n a D p a r e l e m e n t w
2 2
F ( N ) = 1 + 2 + . . . + ( N - 2 ) + ( N - 1 ) = 0 , 5 "N - 0 , 5 "N = O ( N ) Z a t e m c a By a l g o r y t m m a z Bo |o n o [ O ( N "l g N ) + O ( N ) = O ( N "l g N )
J a r o s Ba w S i k o r s k i - B U D O W A i A N A L I Z A A L G O R Y T M W , W I T 2 0 1 1 r . 1 1 J a r o s Ba w S i k o r s k i - B U D O W A i A N A L I Z A A L G O R Y T M W , W I T 2 0 1 1 r . 1 2
2
A l g o r y t m s o r t o w a n i a p r z e z s c a l a n i e ( r e k u r e n c j a )
P o r w n a n i e r z d w z Bo |o n o [c i :
P r o c e d u r a s o r t u j ( L )
1 . j e [l i l i s t a L z a w i e r a t y l k o j e d e n e l e m e n t , t o j e s t p o s o r t o w a n a ,
D Bu g o [ l i s t y S o r t o w a n i e b b e l k o w e S o r t . d r z e w i a s t e
2 . w p r z e c i w n y m p r z y p a d k u w y k o n a j c o n a s t p u j e :
2
N N N "
"l g N
"
"
2 . 1 . p o d z i e l l i s t L n a d w i e p o Bo w y L 1 i L 2 ,
1 0 1 0 0 3 3 2 . 2 . w y w o Ba j s o r t u j ( L 1 ) ,
2 . 3 . w y w o Ba j s o r t u j ( L 2 ) ,
1 0 0 1 0 0 0 0 6 6 4
2 . 4 . s c a l p o s o r t o w a n e l i s t y L 1 i L 2 w j e d n p o s o r t o w a n l i s t ,
1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 9 9 6 5
3 . w r d o p o z i o m u w y w o Ba n i a .
1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 9 9 3 1 5 6 8
U B |m y r w n a n i e r e k u r e n c y j n e d l a n i e z n a n e j f u n k c j i z Bo |o n o [c i :
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 9 8 9 7 3 5 2 8 5 3
T ( 1 ) = 0 T ( N ) l i c z b a p o r w n a D p a r e l e m e n t w
T ( N ) = 2 "T ( N / 2 ) + N ! w n a j g o r s z y m p r z y p a d k u
R w n a n i e s p e Bn i a f u n k c j a F ( N ) = N "l g N = O ( N " N )
"l g
"
"
J a r o s Ba w S i k o r s k i - B U D O W A i A N A L I Z A A L G O R Y T M W , W I T 2 0 1 1 r . 1 3 J a r o s Ba w S i k o r s k i - B U D O W A i A N A L I Z A A L G O R Y T M W , W I T 2 0 1 1 r . 1 4
Zr e d n i a z Bo |o n o [ v . p e s y m i s t y c z n a z Bo |o n o [
S o r t o w a n i e p r z e z s c a l a n i e j e s t j e d n y m z n a j l e p s z y c h
A n a l i z a [r e d n i e g o p r z y p a d k u v . a n a l i z a n a j g o r s z e g o p r z y p a d k u
a l g o r y t m w s o r t o w a n i a p o d w z g l d e m p e s y m i s t y c z n e j
z Bo |o n o [c i , c h o m a n i e n a j l e p s z z Bo |o n o [ p a m i c i o w
W a n a l i z i e [r e d n i e g o p r z y p a d k u i s t o t n r o l o d g r y w a j z a Bo |e n i a
O ( N )
o r o z k Ba d z i e p r a w d o p o d o b i e Ds t w a w z b i o r z e d o p u s z c z a l n y c h
d a n y c h w e j [c i o w y c h .
Zr e d n i a z Bo |o n o [c i a l g o r y t m u Q u i c k s o r t j e s t n a j l e p s z a z e
w s z y s t k i c h a l g o r y t m w s o r t o w a n i a i w y n o s i 1 , 4 " "l g N
"N "
" "
" "
A l g o r y t m Zr . z Bo |o n o [ P e s . z Bo |o n o [
i d l a t e g o j e s t c z s t o s t o s o w a n y w p r a k t y c e
s u m o w a n i e n l i c z b O ( N ) O ( N )
A l g o r y t m Q u i c k s o r t o p a r t y j e s t n a m e t o d z i e d z i e l i
2 2
s o r t o w a n i e b b e l k o w e O ( N ) O ( N )
z w y c i |a j i m o |n a g o i m p l e m e n t o w a w k i l k u
s o r t o w a n i e d r z e w i a s t e z
w a r i a n t a c h r |n i c y c h s i s p o s o b a m i w y b o r u m i e j s c a
O ( N "l g N ) O ( N "l g N )
s a m o o r g a n i z a c j d r z e w a
p o d z i a Bu l i s t y i g Bb o k o [c i r e k u r e n c j i
s o r t o w a n i e p r z e z s c a l a n i e O ( N "l g N ) O ( N "l g N )
h t t p : / / e n . w i k i p e d i a . o r g / w i k i / Q u i c k s o r t
2
Q u i c k s o r t O ( N "l g N ) O ( N )
J a r o s Ba w S i k o r s k i - B U D O W A i A N A L I Z A A L G O R Y T M W , W I T 2 0 1 1 r . 1 5 J a r o s Ba w S i k o r s k i - B U D O W A i A N A L I Z A A L G O R Y T M W , W I T 2 0 1 1 r . 1 6
P r z y k Ba d a n a l i z y z Bo |o n o [c i a l g o r y t m u A l g o r y t m p r z y r o s t o w y o n i |s z e j z Bo |o n o [c i ( ? )
P r o b l e m a l g o r y t m i c z n y w y z n a c z a n i a p o w Bo k i w y p u k Be j
1 . z n a j d z p u n k t P 1 o n a j m n i e j s z e j w s p Br z d n e j Y ,
d l a z a d a n e g o z b i o r u N p u n k t w n a p Ba s z c z y zn i e :
2 . p o s o r t u j p o z o s t a Be p u n k t y r o s n c o w e d Bu g k t w
t w o r z o n y c h p r z e z o d c i n k i z l i n i p o z i o m
P P J
1
p r z e c h o d z c p r z e z P 1 - p o w s t a n i e l i s t a P 2 , . . . , P N
3 . d o Bc z d o p o w Bo k i p u n k t y P 1 i P 2 ,
4 . d l a J o d 3 d o N w y k o n a j c o n a s t p u j e :
4 . 1 . d o Bc z d o p o w Bo k i p u n k t P J ,
4 . 2 . c o f a j c s i w s t e c z p o o d c i n k a c h a k t u a l n e j p o w Bo k i ,
3
A l g o r y t m b r u t e f o r c e m a z Bo |o n o [ O ( N ) : u s u w a j z n i e j t e p u n k t y P K , d l a k t r y c h p r o s t a
p r z e c h o d z c a p r z e z P K i P K - 1 p r z e c i n a o d c i n e k
d l a k a |d e g o z N p u n k t w t r z e b a d o b i e r a k o l e j n o p o j e d n y m
P P J , a | d o n a p o t k a n i a p i e r w s z e g o p u n k t u n i e
z p o z o s t a By c h N - 1 p u n k t w i s p r a w d z a c z y d l a p r o s t e j , k t r a
1
d a j c e g o s i u s u n .
p r z e c h o d z i p r z e z t a k p a r r e s z t a p u n k t w ( N - 2 ) l e |y t y l k o p o
j e d n e j j e j s t r o n i e ; F ( N ) = N "( N - 1 ) "( N - 2 )
J a r o s Ba w S i k o r s k i - B U D O W A i A N A L I Z A A L G O R Y T M W , W I T 2 0 1 1 r . 1 7 J a r o s Ba w S i k o r s k i - B U D O W A i A N A L I Z A A L G O R Y T M W , W I T 2 0 1 1 r . 1 8
3
P o 2 . k r o k u a l g o r y t m u : P o 3 . k r o k u a l g o r y t m u :
7 1 1
7 1 1
9
9
6
5 1 4
1 0 6
5 1 4
1 3 1 0
1 3
8
4 8
4
1 2
1 2
2 3 1 5
3
2 1 5
1
1
J a r o s Ba w S i k o r s k i - B U D O W A i A N A L I Z A A L G O R Y T M W , W I T 2 0 1 1 r . 1 9 J a r o s Ba w S i k o r s k i - B U D O W A i A N A L I Z A A L G O R Y T M W , W I T 2 0 1 1 r . 2 0
K o l e j n e i t e r a c j e w 4 . k r o k u a l g o r y t m u : L i c z b a k o r e k t d o k o n a n y c h p o d c z a s i t e r a c j i w 4 . k r o k u :
7 7 1 1
7 7 1 1
7 7 1 1
7 7 1 1
7 7 1 1
7 7 1 1
7 7 1 1
7 7 1 1
7 7 1 1
7 7 1 1
7 7 1 1
7 7 1 1
7 7 1 1 1 1
7 7 1 1 1 1 7 1 1
7 1 1 1 1
7 1 1
7 1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9 9
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6 6
5 1 4
5 1 4
5 1 4
5 1 4
5 1 4
5 1 4
5 1 4
5 1 4
5 1 4
5 1 4
5 1 4
5 1 4
5 1 4
5 1 4
5 1 4
5 1 4
5 1 4
5 1 4
5 1 4
5 1 4
5 1 4
5 1 4
5 1 4
5 1 4
5 1 4
5 1 4
5 1 4
5 1 4
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J a r o s Ba w S i k o r s k i - B U D O W A i A N A L I Z A A L G O R Y T M W , W I T 2 0 1 1 r . 2 1 J a r o s Ba w S i k o r s k i - B U D O W A i A N A L I Z A A L G O R Y T M W , W I T 2 0 1 1 r . 2 2
P o d s u m o w a n i e z Bo |o n o [c i a l g o r y t m u k r o k p o k r o k u :
K r o k 1 . O ( N ) ( w y b r p i e r w s z e g o p u n k t u )
K r o k 2 . O ( N "l g N ) ( s o r t o w a n i e )
K r o k 3 . O ( 1 ) ( d o Bc z e n i e 1 o d c i n k a )
K r o k 4 . O ( N ) ( d o Bc z a n i e z u s u w a n i e m )
R a z e m O ( N + N "l g N + 1 + N ) = O ( N "l g N )
J a r o s Ba w S i k o r s k i - B U D O W A i A N A L I Z A A L G O R Y T M W , W I T 2 0 1 1 r . 2 3
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