Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna
Adam Badura
1 czerwca 2005
1
1.1
Paradoks Bertranda (1822-1900). W danym kole prowadzimy na chybi trafi to znaczy w sposób losowy
l l
cieciwe. Jakie jest prawdopodobieństwo, że bedzie ona d od boku trójkata równobocznego wpisanego
luższa

w to ko
lo?
1.2
Udowodnić twierdzenie

Å»
P (A) = 1 - P A ,
Å»
gdzie A jest zdarzeniem przeciwnym do A.
Å»
1.2.1 A *" A
Z definicji
Å»
A = &! - A
zatem
Å»
A *" A = (&! - A) *" A =
ponieważ A ą" &! to
= &!.
Å»
1.2.2 A )" A
Z definicji
Å»
A = &! - A
zatem
Å»
A )" A = (&! - A) )" A = "
Å»
Zatem zdażenia A i A sa roz aczne.
l

1.2.3 Dowód

Å»
1 = P (&!) = P A *" A =
Å»
ponieważ zdarzenia A i A sa roz aczne
l


= P
+ P (A)
A skoro

1 = P
+ P (A)
czyli

Å»
P A = 1 - P (A)
1.3
Udowodnić twierdzenie: prawdopodobieństwo alternatywy dowolnych zdarzeń A i B jest dane wzorem:
P (A *" B) = P (A) + P (B) - P (A )" B) .
1

1.3.1 P A )" B
Zachodzi

Å»
A = (A )" B) *" A )" B
przy czym oczywiście

Å»
(A )" B) )" A )" B = "
a zatem

Å» Å»
P (A) = P (A )" B) *" A )" B = P (A )" B) + P A )" B ,
czyli

Å»
P A )" B = P (A) - P (A )" B) .
1.3.2 P (A *" B)
Zachodzi

Å»
A *" B = B *" (A - B) = B *" A )" B
przy czym oczywiście

Å»
B )" A )" B = "
a zatem

Å» Å»
P (A *" B) = P B *" A )" B = P (B) + P A )" B
1.3.3 Dowód

Å»
P (A *" B) = P (B) + P A )" B
P (A *" B) = P (B) + (P (A) - P (A )" B))
P (A *" B) = P (A) + P (B) - P (A )" B)
1.4
Z dobrze potasowanej 52-kartowej talii wyciagamy w sposób losowy 26 kart. Jakie jest prawdopodo-

bieństwo, że wśród wyciagnietych kart bedzie po czerwonych i po czarnych kart?
lowa lowa

1.4.1 &!
Przestrzenia zdarzeń elementarnych &! jest zbiór wszystkich możliwych uk 26 kart, przy czym per-
ladów
mutacje tego samego uk beda utożsamiane i prawdopodobieństwa wszystkich uk sa równe. Zatem
ladu ladu


52
|&!| = .
26
1.4.2 Prawdopodobieństwo
Rozważane zdarzenie A polega na wylosowaniu 13 czerwonych i 13 czarnych kart. Zatem

26 26
|A| = .
13 13
Poszukiwane prawdopodobieństwo to
26 26
26! 26!
|A| 26!4
13 13 13!13! 13!13!
P (A) = = 52 = = .
52!
|&!| 52!13!4
26 26!26!
"
Stosujac wzór przybliżeniowy Sterlinga: n! = 2Ąnnne-n, można otrzymać

26!4 2
"
P (A) = H" H" 0, 23.
52!13!4 26Ä„
2
1.5
Przypuśćmy, że z urny zawierajacej 49 losów ponumerowanych od 1 do 49 wyciaga sie 6 losów (toto-lotek).

Obywatel X wype l tylko jeden ma kupon. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia A polegajacego
lni ly

na tym, że w najbliższym losowaniu zostana wylosowane dok te same numery, które skreśli obywatel
ladnie l
X? Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia B polegajacego na tym, że w najbliższym losowaniu zostanie

wylosowanych co najmniej pieć numerów spośród numerów skreślonych przez obywatela X?

1.5.1 &!
Przestrzenia zdarzeń elementarnych &! jest zbiór wszystkich możliwych uk 6 losów, przy czym per-
ladów
mutacje tego samego u beda utożsamiane i prawdopodobieństwa wszystkich uk sa równe.
lożenia ladów

Zatem

49 49!
|&!| = = = 13983816.
6 43!6!
1.5.2 A
Zdarzenie A polega na wylosowaniu dok jednego uk liczb spośród wszystkich możliwych, tego
ladnie ladu
który zosta obstawiony przez obywatela X. Zatem
l
|A| = 1.
Poszukiwane prawdopodobieństwo zdarzenia A to
|A| 1
P (A) = = H" 0, 000000072.
|&!| 13983816
1.5.3 B
Zdarzenie B polega na wylosowaniu takiego uk liczb spośród wszystkich możliwych, że co najmniej 5
ladu
z liczb zgadza sie z obstawionymi przez obywatela X. Zatem


6 43 6! 43!
|B| = |A| + = 1 + = 259.
5 1 1!5! 42!1!
Poszukiwane prawdopodobieństwo zdarzenia B to
|B| 259 37
P (B) = = = H" 0, 00002.
|&!| 13983816 1997688
1.6
Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia or co najmniej raz przy dwukrotnym rzucie moneta syme-
la
tryczna?

1.6.1 &!
Jeśli O oznaczać bedzie, iż wynikiem rzutu jest orze a R analogicznie oznaczać bedzie reszke, to
l,

&! = {OO; OR; RO; RR}
i prawdopodobieństwa wszystkich wyników sa równe. Zatem
|&!| = 4.
1.6.2 Prawdopodobieństwo
Przy analogicznych oznaczeniach rozważane zdarzenie A bedzie mia postać
lo

A = {OO; OR; RO} .
Zatem
|A| = 3.
Poszukiwane prawdopodobieństwo to
|A| 3
P (A) = = = 0, 75.
|&!| 4
3
1.7
Moneta symetryczna rzucamy tak d aż dwa razy pod rzad wypadnie ta sama strona monety. Jakie
lugo,

jest prawdopodobieństwo zdarzenia Z polegajacego na tym, że bedziemy rzucać parzysta liczbe razy?

1.7.1 &!
Przestrzenia zdarzeń elementarnych &! jest zbiór wszystkich możliwych uk rzutów. Oczywiście
ladów

wiec &! jest zbiorem nieskończonym, ale przeliczalnym.

1.7.2 Z
Zdarzenie Z ma postać
Z = {OO, RR, OROO, RORR, . . .} .
Zbiór ten, podobnie jak przestrzeń, jest nieskończony, ale przeliczalny.
1
Ponieważ: prawdopodobieństwo określonego wynkiu przy rzucie moneta symetryczna wynosi , rzuty
2
sa niezależne i wyszczególnione zdarzenia elementarne sa oczywiście roz aczne to
l

P (Z) = P ({OO, RR, OROO, RORR, . . .}) =
= P ({OO}) + P ({RR}) + P ({OROO}) + P ({RORR}) + . . . =

1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
4
= + + + + . . . = + + + + . . . = 2 + + . . . = 2 = .
1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 16 16 4 16 1 - 3
4
1.8
Stwierdzono, że 40% niesprawnych samochodów zg
laszanych do naprawy w okresie gwarancyjnym ma
wadliwie dzia uk kierowniczy, 45% - wadliwie dzia uk hamulcowy, 60% - uk napedowy
lajacy lad lajacy lad lad

(do którego umownie wliczamy też silnik), 15% - wadliwie dzia jednocześnie uk kierowniczy
lajace lady

i hamulcowy, 15% - jednocześnie kierowniczy i napedowy, 20% - hamulcowy i napedowy. Jakie jest

prawdopodobieństwo, że zg w okresie gwarancyjnym niesprawny samochód ma wadliwie dzia
loszony lajace

wszystkie trzy uk Zak przy tym, że każdy niesprawny samochód ma wadliwie dzia co
lady? ladamy lajacy

najmniej jeden z wymienionych uk
ladów.
1.8.1 Zdarzenia
Oznaczmy przez zdarzenia K - samochód ma wadliwie dzia uk kierowniczy, H - samochód ma
lajacy lad

wadliwie dzia uk hamulcowy i N - samochód ma wadliwie dzia uk napedowy. Wtedy
lajacy lad lajacy lad

P (K) = 40%,
P (H) = 45%,
P (N) = 60%,
P (K )" H) = 15%,
P (K )" N) = 15%,
P (H )" N) = 20%.
1.8.2 Rozwiazanie

Ponieważ samochód oddany do serwisu z za ma jakieś uszkodzenie, wiec
lożeń

K *" H *" N = &!.
1 = P (&!) = P (K *" H *" N) = P (K *" (H *" N)) = P (K) + P (H *" N) - P (K )" (H *" N)) =
= P (K) + (P (H) + P (N) - P (H )" N)) - P ((K )" H) *" (K )" N)) =
= P (K) + P (H) + P (N) - P (H )" N) - (P (K )" H) + P (K )" N) - P ((K )" H) )" (K )" N))) =
= P (K) + P (H) + P (N) - P (H )" N) - P (K )" H) - P (K )" N) + P (K )" H )" N) .
4
Zatem
1 = P (K) + P (H) + P (N) - P (H )" N) - P (K )" H) - P (K )" N) + P (K )" H )" N)
co daje
P (K )" H )" N) = 1 - P (K) - P (H) - P (N) + P (H )" N) + P (K )" H) + P (K )" N) = 5%
5
2
2.1
Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że przy rzucie trzema kostkami do gry wypadnie przynajmniej
jedna jedynka pod warunkiem, że na każdej kostce wypadnie inna liczba oczek.
2.1.1 &!
Przestrzenia zdarzeń elementarnych &! jest zbiór wszystkich możliwych wyników trzech rzutów kostka,

przy czym każdy wynik jest równie prawdopodobny. Zatem
&! = {(x; y; z) : x, y, z " {1; 2; 3; 4; 5; 6}} ,
|&!| = 63 = 216.
2.1.2 Zdarzenie najmniej jednej jedynki
 co
Zdarzenie A polega na wyrzuceniu co najmniej jednej jedynki na trzech kostkach. Zatem
A = {(x; y; z) : (x, y, z) " &! '" (x = 1 (" y = 1 (" z = 1)} .
2.1.3 Zdarzenie
 różnych liczb
Zdarzenie B polega na wyrzuceniu na każdej kostce innej liczby. Zatem
B = {(x; y; z) : (x, y, z) " &! '" x = y '" x = z '" y = z} ,

|B| = 6 · 5 · 4 = 120,
|B| 120 5
P (B) = = = H" 0, 56.
|&!| 216 9
2.1.4 Prawdopodobieństwo
Zatem
|A )" B| = 3 · 5 · 4 = 60,
|A )" B| 60 5
P (A )" B) = = = H" 0, 28.
|&!| 216 18
Z definicji prawdopodobieństwa warunkowego
5
P (A )" B) 1
18
P (A|B) = = = = 0, 5.
5
P (B) 2
9
2.2
Wiadomo, że 64% bliz
niat to bliz
nieta tej samej p Znalez
ć prawdopodobieństwo, że drugie z bliz
niat
lci.

jest ch pod warunkiem, że pierwsze jest ch przyjmujac, że prawdopodobieństwo urodzenia
lopcem, lopcem,

sie ch wynosi 0,51.
lopca

2.2.1 &!
Jeśli C oznaczać bedzie, iż urodzi sie ch a D analogicznie oznaczać bedzie dziewczynke, to
l lopiec,

&! = {CC; CD; DC; DD} .
2.2.2 Zdarzenie samej p
lci
 tej
Zdarzenie A oznaczać bedzie, iż bliz
nieta maja ta sama p Zatem
leć.

A = {CC; DD} .
Z warunków wynika, że
P (A) = P ({CC; DD}) = P ({CC}) + P ({DD}) = 64%.
6
2.2.3 Zdarzenie lopiec
 pierwszy ch
Zdarzenie B1 oznaczać bedzie, iż pierwszym dzieckiem jest ch Zatem
lopiec.

B1 = {CC; CD}
Z warunków wynika, że prawdopodobieństwo urodzenia sie ch wynosi 0,51, a wiec w szczególności
lopca

prawdopodobieństwo, iż pierwszym dzieckiem bedzi ch wynosi 0,51, czyli
lopiec

P (B1) = P ({CC; CD}) = P ({CC}) + P ({CD}) = 51%.
2.2.4 Zdarzenie lopiec
 drugi ch
Zdarzenie B2 oznaczać bedzie, iż drugim dzieckiem jest ch Zatem
lopiec.

B2 = {CC; DC}
Z warunków wynika, że prawdopodobieństwo urodzenia sie ch wynosi 0,51, a wiec w szczególności
lopca

prawdopodobieństwo, iż drugim dzieckiem bedzi ch wynosi 0,51, czyli
lopiec

P (B2) = P ({CC; DC}) = P ({CC}) + P ({DC}) = 51%.
2.2.5 Prawdopodobieństwo
Ponadto zachodzi
P (&!) = P ({CC; CD; DC; DD}) = P ({CC}) + P ({CD}) + P ({DC}) + P ({DD}) = 1.
To prowadzi do uk równań
ladu
Å„Å‚
P ({CC}) + P ({DD}) = 0, 64
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
P ({CC}) + P ({CD}) = 0, 51
P ({CC}) + P ({DC}) = 0, 51
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
P ({CC}) + P ({CD}) + P ({DC}) + P ({DD}) = 1
Å„Å‚
P ({CC}) + P ({DD}) = 0, 64
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
P ({CC}) + P ({CD}) = 0, 51
P ({CC}) + P ({DC}) = 0, 51
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
P ({CD}) + P ({DC}) = 0, 36
Å„Å‚
P ({CC}) + P ({DD}) = 0, 64
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
P ({CC}) + P ({CD}) = 0, 51
P ({CC}) + P ({DC}) = 0, 51
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
P ({CD}) = 0, 36 - P ({DC})
Å„Å‚
P ({CC}) + P ({DD}) = 0, 64
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
P ({CC}) + 0, 36 - P ({DC}) = 0, 51
P ({CC}) + P ({DC}) = 0, 51
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
P ({CD}) = 0, 36 - P ({DC})
Å„Å‚
P ({CC}) + P ({DD}) = 0, 64
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
P ({CC}) - P ({DC}) = 0, 15
P ({CC}) + P ({DC}) = 0, 51
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
P ({CD}) = 0, 36 - P ({DC})
Å„Å‚
P ({CC}) + P ({DD}) = 0, 64
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
P ({CC}) - P ({DC}) = 0, 15
2P ({CC}) = 0, 66
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
P ({CD}) = 0, 36 - P ({DC})
Å„Å‚
P ({CC}) + P ({DD}) = 0, 64
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
P ({CC}) - P ({DC}) = 0, 15
P ({CC}) = 0, 33
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
P ({CD}) = 0, 36 - P ({DC})
7
Å„Å‚
P ({DD}) = 0, 31
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
P ({DC}) = 0, 18
P ({CC}) = 0, 33
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
P ({CD}) = 0, 18
Zatem szukanym prawdopodobieństwem jest
P (B2 )" B1) P ({CC}) 11
P (B2|B1) = = = H" 0, 7 = 70%
P (B1) P ({CC}) + P ({DC}) 17
2.3
Mamy dwie urny z kulami. W pierwszej urnie sa 2 bia i 8 czarnych kul, w drugiej 6 bia i 4 czarne
le lych
kule. Z losowo wybranej urny wyciagamy w sposób losowy kule. Jakie jest prawdopodobieństwo, że bedzie

to kula bia
la?
2.3.1 Zdarzenia
 wyboru urny
Zdarzenia A1 i A2 polegaja na wylosowaniu odpowiednio pierwszej i drugiej urny. Oczywiście
1
P (A1) = P (A2) = = 0, 5.
2
2.3.2 Zdarzenie lej
 wylosowania kuli bia
Zdarzenie B polega na wylosowaniu kuli bia Z treści zadania wynika, iż
lej.
2 2 1
P (B|A1) = = = = 0, 2,
2 + 8 10 5
6 6 3
P (B|A2) = = = = 0, 6.
6 + 4 10 5
2.3.3 Prawdopodobieństwo
1 1 1 3 4 2
P (B) = P (A1) P (B|A1) + P (A2) P (B|A2) = + = = = 0, 4
2 5 2 5 10 5
2.4
Rozpatrzmy doświadczenie losowe z zadania 3 polegajace na losowym wyborze urny, a z urny kuli.

Przypuśćmy, że w wyniku takiego doświadczenia otrzymano kule bia a, ale nie wiemy, z której urny
l

ta kula pochodzi. Jakie jest prawdopodobieństwo, że kula pochodzi z urny pierwszej?
2.4.1 Zdarzenia
 wyboru urny
Zdarzenia A1 i A2 polegaja na wylosowaniu odpowiednio pierwszej i drugiej urny. Oczywiście
1
P (A1) = P (A2) = = 0, 5.
2
2.4.2 Zdarzenie lej
 wylosowania kuli bia
Zdarzenie B polega na wylosowaniu kuli bia Z treści zadania wynika, iż
lej.
2 2 1
P (B|A1) = = = = 0, 2,
2 + 8 10 5
6 6 3
P (B|A2) = = = = 0, 6.
6 + 4 10 5
8
2.4.3 Prawdopodobieństwo
Z twierdzenia o prawdopodobieństwie zupe jest wiec
lnym

1 1 1 3 4 2
P (B) = P (A1) P (B|A1) + P (A2) P (B|A2) = + = = = 0, 4,
2 5 2 5 10 5
a ze wzoru Bayesa zachodzi
1 1
P (A1) P (B|A1) 1
2 5
P (A1|B) = = = = 0, 25.
2
P (B) 4
5
2.5
Å» Å»
Udowodnij, że jeżeli zdarzenia A i B sa niezależne, to niezależna jest także para zdarzeń A i B.
2.5.1 Dowód
Z niezależności zdarzeń A i B

Å»
P (A) P (B) = P (A )" B) = 1 - P A )" B =
z prawa De Morgana

Å» Å» Å» Å» Å» Å» Å» Å» Å»
= 1 - P A *" B = 1 - P A + P B - P A )" B = 1 - P
- P B + P A )" B .
Jest wiec


Å» Å» Å»
P (A) P (B) = 1 - P
- P B + P A )" B

Å» Å» Å» Å» Å»
1 - P A 1 - P B = 1 - P
- P B + P A )" B

Å» Å» Å» Å» Å» Å»
1 - P
- P B + P A P B = 1 - P
- P B + P A )" B

Å» Å» Å» Å»
P A )" B = P A P B .
2.6
Wez
my pod uwage rodziny posiadajace dwoje dzieci. Czy zdarzenia: A - w rodzinie jest co najwyżej


jedna dziewczynka i B - w rodzinie sa dzieci obu p sa niezależne?
lci

2.6.1 &!
Jeśli C oznaczać bedzie, iż urodzi sie ch a D analogicznie oznaczać bedzie dziewczynke, to
l lopiec,

&! = {CC; CD; DC; DD} .
2.6.2 B
B = {CD; DC}
2.6.3 A
A = {CC; CD; DC} = A *" {CC} ,
przy czym zdarzenia B i {CC} sa roz aczne.
l

9
2.6.4 Niezależność
P (A )" B) = P (A) P (B)
P ((B *" {CC}) )" B) = P (B *" {CC}) P (B)
P (B) = (P (B) + P ({CC})) P (B)
0 = (P (B) + P ({CC}) - 1) P (B)
By wiec równanie by spe a zdarzenia niezależne, to musi zachodzić
lo lnione,

P (B) = 0
P ({CD; DC}) = 0
lub
P (B) + P ({CC}) - 1 = 0
P ({CD; DC}) + P ({CC}) = 1
P ({CC; CD; DC}) = 1
P ({DD}) = 0
Ponieważ żaden z tych warunków nie jest spe to zdarzenia te nie sa niezależne.
lniony,
2.7
Wez
my pod uwage rodziny posiadajace troje dzieci. Czy zdarzenia: A - w rodzinie jest co najwyżej jedna


dziewczynka i B - w rodzinie sa dzieci obu p sa niezależne?
lci

2.7.1 &!
Jeśli C oznaczać bedzie, iż urodzi sie ch a D analogicznie oznaczać bedzie dziewczynke, to
l lopiec,

&! = {CCC; CCD; CDC; CDD; DCC; DCD; DDC; DDD} .
2.7.2 A
A = {CCC; CCD; CDC; DCC}
2.7.3 B
B = {CCD; CDC; CDD; DCC; DCD; DDC}
2.7.4 Niezależność
Przyjmujac każdy uk dzieci za równie prawdopodobny jest
lad


1 1 1 1 1
P (A) = P ({CCC; CCD; CDC; DCC}) = + + + = = 0, 5
8 8 8 8 2
1 1 1 1 1 1 3
P (B) = P ({CCD; CDC; CDD; DCC; DCD; DDC}) = + + + + + = = 0, 75.
8 8 8 8 8 8 4
1 1 1 3
P (A )" B) = P ({CCD; CDC; DCC}) = + + = = 0, 375
8 8 8 8
Zatem
3 1 3
P (A )" B) = = = P (A) P (B)
8 2 4
czyli zdarzenia A i B sa niezależne.
10
2.8
Zadanie S. N. Bernsteina. Przypuśćmy, że w urnie znajduja sie 4 kule ponumerowane liczbami: 112, 121,

211, 222. Z urny wyciagamy w sposób losowy jedna kule. Oznaczmy przez Ai (i = 1, 2, 3) zdarzenie

polegajace na tym, że w numerze wyciagnietej kuli cyfra 1 znajduje sie na i-tym miejscu liczac od lewej

strony. Wykazać, że zdarzenia A1, A2, A3 sa parami niezależne, natomiast nie sa niezależne lacznie.


2.8.1 &!
Przestrzenia zdarzeń elementarnych &! jest zbiór wszystkich możliwych wyników losowania, przy czym
każdy wynik jest równie prawdopodobny. Zatem
&! = {112; 121; 211; 222}
|&!| = 4.
2.8.2 Zdarzenia elementarne
A1 = {112; 121}
|A1| = 2
|A1| 1
P (A1) = = = 0, 5
|&!| 2
A2 = {112; 211}
|A2| = 2
|A2| 1
P (A2) = = = 0, 5
|&!| 2
A3 = {121; 211}
|A3| = 2
|A3| 1
P (A3) = = = 0, 5
|&!| 2
2.8.3 Pary
A1 )" A2 = {112}
|A1 )" A2| = 1
|A1 )" A2| 1
P (A1 )" A2) = = = 0, 25
|&!| 4
A1 )" A3 = {121}
|A1 )" A3| = 1
|A1 )" A3| 1
P (A1 )" A3) = = = 0, 25
|&!| 4
A2 )" A3 = {211}
|A2 )" A3| = 1
|A2 )" A3| 1
P (A2 )" A3) = = = 0, 25
|&!| 4
A1 )" A2 )" A3 = "
2.8.4 Trójka
|A1 )" A2 )" A3| = 0
|A1 )" A2 )" A3| 0
P (A1 )" A2 )" A3) = = = 0
|&!| 4
11
2.8.5 Niezależność
Zatem istotnie
P (A1 )" A2) = P (A1) P (A2)
P (A1 )" A3) = P (A1) P (A3)
P (A2 )" A3) = P (A2) P (A3)
i
P (A1 )" A2 )" A3) = P (A1) P (A2) P (A3)

2.9
Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia A polegajacego na wyrzuceniu or co najmniej raz przy dwu-
la

krotnym rzucie moneta symetryczna? Zadanie rozwiazać wykorzystujac schemat Bernoulliego.

2.9.1 Rozwiazanie

Przy rzucie moneta symetryczna prawdopodobieństwa uzyskania or i reszki sa równe, tak wiec
la

1
p = 1 - p = q = .
2
Ilość rzutów n = 2. Zatem szukane prawdopodobieństwo to
0 2-0
2 1 1 3
P = 1 - = .
0 2 2 4
2.10
W urnie jest N kul, z czego b bia i c czarnych. Dokonujemy n-krotnego losowania kuli z urny zwra-
lych
cajac każda wylosowana kule z powrotem do urny. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia An, że wśród
k
wylosowanych n kul bedzie k bia kul.
lych

2.10.1 Prawdopodobieństwa zdarzeń podstawowych
b
Prawdopodobieństwo wylosowania kuli bia p = . Prawdopodobieństwo wylosowania kuli innej niż
lej
N
N-b
bia 1 - p = q = .
la
N
2.10.2 Prawdopodobieństwo
Z wzoru Bernoulliego
k n-k
n n! b N - b n!bk (N - b)n-k
P (An) = pkqn-k = =
k
k k! (n - k)! N N k! (n - k)!Nn
2.11
Wiadomo, że przy dziesieciokrotnym rzucie kostka wypad co najmniej jedna jedynka. Obliczyć prawdo-
la

podobieństwo warunkowe, że wypad co najmniej dwie jedynki.
ly
2.11.1 Dane
1 5
Przy rzucie kostka prawdopodobieństwo uzyskania jedynki wynosi p = , co pociaga 1 - p = q = . Ilość
6 6
rzutów n = 10.
2.11.2 Prawdopodobieństwo zadarzenia najmniej jednej jedynki
 co
Prawdopodobieństwo zdarzenia A polegajacego na uzyskaniu co najmniej jednej jedynki wynosi ze wzoru

Bernoulliego
0 10
10 1 5 610 - 510
P (A) = 1 - = .
0 6 6 610
12
2.11.3 Prawdopodobieństwo zadarzenia najmniej dwóch jedynek
 co
Prawdopodobieństwo zdarzenia B polegajacego na uzyskaniu co najmniej dwóch jedynki wynosi ze wzoru

Bernoulliego
0 10 1 10-1
10 1 5 10 1 5 610 - 3 · 510
P (B) = 1 - - = .
0 6 6 1 6 6 610
2.11.4 Prawdopodobieństwo
PrawdopodobieÅ„stwo zdarzenia B )" A jest takie, jak zdarzenia B, gdyż B ‚" A. Zatem
610 - 3 · 510
P (B )" A) = .
610
Zatem poszukiwane prawdopodobieństwo to
610-3·510
P (B )" A) 610 - 3 · 510 31169301
610
P (B|A) = = = = H" 0, 62.
610-510
P (A) 610 - 510 50700551
610
2.12
11
Prawdopodobieństwo wylegniecia sie kurczaka z zap
lodnionego jaja wynosi . Z 12 jaj, z których 4 sa
12
zap lodnionych wybieramy losowo do inkubacji 3 jaja. Jakie jest prawdopodobieństwo,
lodnione, a 8 niezap
że wylegnie sie choćby jeden kurczak?

2.12.1 Prawdopodobieństwo zdarzenia lodnionego
 żadnego niezap
Zdarzenie B0 polega na tym, iż spośród wszystkich trzech wybranych jaj żadne nie jest zap
lodnione.
8
8!
14
3 5!3!
P (B0) = 12 = = H" 0, 26.
12!
55
3 9!3!
2.12.2 Prawdopodobieństwo zdarzenia lodnionego
 jednego niezap
Zdarzenie B1 polega na tym, iż spośród wszystkich trzech wybranych jaj dok jedno jest zap
ladnie lodnione.
4 8
4! 8!
28
1 2 3!1! 6!2!
P (B1) = 12 = = H" 0, 51.
12!
55
3 9!3!
2.12.3 Prawdopodobieństwo zdarzenia lodnionych
 dwóch niezap
Zdarzenie B2 polega na tym, iż spośród wszystkich trzech wybranych jaj dok dwa sa zap
ladnie lodnione.
4 8
4! 8!
6
2 1 2!2! 6!1!
P (B2) = 12 = = H" 0, 11.
12!
55
3 9!3!
2.12.4 Prawdopodobieństwo zdarzenia lodnionych
 trzech niezap
Zdarzenie B3 polega na tym, iż spośród wszystkich trzech wybranych jaj trzy sa zap
lodnione.
4
4!
1
3 1!3!
P (B3) = 12 = = H" 0, 02.
12!
55
3 9!3!
2.12.5 Prawdopodobieństwo
Zdarzenie A polega na wylegnieciu chociaż jednego kurczaka z trzech wybranych jaj.

P (A|B0) = 0
11
P (A|B1) =
12
13
1 1 143
P (A|B2) = 1 - =
12 12 144
1 1 1 1727
P (A|B3) = 1 - =
12 12 12 1728
Z twierdzenia o prawdopodbieństwie ca
lkowitym
P (A) = P (B0) P (A|B0) + P (B1) P (A|B1) + P (B2) P (A|B2) + P (B3) P (A|B3) =
14 11 28 143 6 1727 1 16055 3211
= 0 + + + = = H" 0, 17
55 12 55 144 55 1728 55 95040 19008
14
3
3.1
Obliczyć A i B, aby funkcja F (x) by dystrybuanta ciag zmiennej losowej X
la lej

Å„Å‚
0 : x " (-"; -1]
òÅ‚
FX (x) = A + B arcsin x : x " (-1; 1) .
ół
1 : x " [1; ")
Wyznaczyć gestość prawdopodobieństwa zmiennej losowej X. Wykreślić funkcje FX (x) i fX (x). Obliczyć

prawdopodobieństwo przyjmowania przez zmienna losowa X wartości z przedzai (0; 0, 5).
lu
3.1.1 FX
Aby FX by dystrybuanta to musi zachodzić:
la
1) FX jest niemalejaca. Musi wiec zachodzić

lim [A + B arcsin x] e" 0,
x-1+
by FX by niemalejaca w prawostronnym otoczeniu -1,
la

B e" 0,
by FX by niemalejaca w przedziale (-1; 1) i
la

lim [A + B arcsin x] d" 1,
x1-
by FX by niemalejaca w lewostronnym otoczeniu 1. Zatem
la

Å„Å‚
lim [A + B arcsin x] e" 0
ôÅ‚
òÅ‚
x-1+
B e" 0
ôÅ‚
ół
lim [A + B arcsin x] d" 1
x1-
Å„Å‚
Ä„
A + B - e" 0
òÅ‚
2
B e" 0
ół
Ä„
A + B d" 1
2
Å„Å‚
Ä„
A e" B
òÅ‚
2
B e" 0
ół
Ä„
A d" 1 - B
2
Uk ten ma rozwiazanie, gdy zachodzi:
lad

Ä„ Ä„
B d" 1 - B
2 2
Ä„B d" 1
1
B d" ,
Ä„
w przeciwnym wypadku nie istnia żadna możliwa wartość parametru A. Zatem
laby

1
B "
Ä„
0;
.
Ä„ Ä„
A " B; 1 - B
2 2
2) lim FX (x) = 0 i lim FX (x) = 1. Oba te warunki zachodza niezależnie od wartości parametrów
x-" x"
A i B.
15
3) FX jest lewostronnie ciag Musi wiec zachodzić
la.

lim FX (x) = FX (1)
x1-
Ä„
A + B = 1
2
Ä„
A = 1 - B
2
Aby FX by dystrybuanta ciag zmiennej losowej, to musi być ciag Ponieważ zaś lewostronnie jest
la lej la.

ciag to wystarczy prawostronna ciag a wiec musi zachodzić
la, lość,

lim FX (x) = FX (-1)
x-1+
Ä„
A - B = 0
2
Ä„
A = B
2
Zatem musi być:
A = A
Ä„ Ä„
1 - B = B
2 2
BÄ„ = 1
1
B = ,
Ä„
co daje
1
A =
2
Wartości te spe postawione nierówności, jest wiec:
lniaja

Å„Å‚
0 : x " (-"; -1]
òÅ‚
1 1
FX (x) = + arcsin x : x " (-1; 1) .
2 Ä„
ół
1 : x " [1; ")
3.1.2 Wykres FX
3.1.3 fX
Gestość prawdopodobieństwa jest funkcja

Å„Å‚
0 : x " (-"; -1)
òÅ‚
1 1
"
: x " (-1; 1)
fX (x) = ,
Ä„
1-x2
ół
0 : x " (1; ")
co można pokazać:
Dla x " (-"; -1).
d d
FX (x) = 0 = 0
dx dx
Dla x " (-1; 1).

d d 1 1 d 1 d 1 1 d 1 1
FX (x) = + arcsin x = + arcsin x = 0 + arcsin x = "
dx dx 2 Ä„ dx 2 dx Ä„ Ä„ dx Ä„ - x2
1
Dla x " (1; ").
d d
FX (x) = 1 = 0
dx dx
16
3.1.4 Wykres fX
3.1.5 Prawdopodobieństwo
2 1 1
P (0 d" X < 0, 5) = F (0, 5) - F (0) = - =
3 2 6
3.2
Obliczyć A, aby funkcja fX (x) by gestościa prawdopodobieństwa zmiennej losowej X
la

fX (x) = Ae-|x|.
Znalez
ć dystrybuante zmiennej losowej X. Wykreślić funkcje FX (x) i fX (x).

3.2.1 fX (x)
By fX by gestościa prawdopodobieństwa to musi zachodzić
la

fX (x) e" 0
czyli
Ae-|x| e" 0
A e" 0.
Jeśli istnieja odpowiednie ca to
lki
" " 0 " 0 "
fX (x) dx = Ae-|x|dx = Aexdx + Ae-xdx = A exdx + A e-xdx =
-" -" -" 0 -" 0
" "
= A [ex]0 + A -e-x = lim A e0 - ez + lim A -e-z - -e-0 = A + A = 2A
-"
0 0
z-" z"
By fX by gestościa prawdopodobieństwa to musi zachodzić
la

"
f (x) dx = 1,
-"
czyli
2A = 1
1
A =
2
1
Wartość ta spe warunek e" 0, zatem A = i
lnia
2
1
fX (x) = e-|x|
2
3.2.2 Wykres fX
3.2.3 FX
x
FX (x) = fX (u) du
-"
zatem
Dla x " (-"; 0]. Jeśli istnieja odpowiednie ca to
lki
x x x
1 1 1 1 1
FX (x) = fX (u) du = e-|u|du = eudu = [eu]x = lim [ex - ez] = ex
-"
z-"
2 2 2 2 2
-" -" -"
17
Dla x " (0; "). Jeśli istnieja odpowiednie ca to
lki
x 0 x x x
1 1 1
FX (x) = fX (u) du = fX (u) du + fX (u) du = F (0) + e-|u|du = e0 + e-udu =
2 2 2
-" -" 0 0 0
x 1 1
1 1
= + -e-u = + -e-x - -e0 = 1 - e-x
0
2 2 2 2
Zatem

1
ex : x " (-"; 0]
2
FX (x) =
1
1 - e-x : x " (0; ")
2
3.2.4 Wykres FX
3.3
Czas pracy (w setkach godzin) do chwili przepalenia sie lampy elektronowej jest zmienna losowa X o

gestości prawdopodobieństwa


0, 3 2 + x - x2 : x " (0; 2]
fX (x) = .
0 : x " (0; 2]
/
Znalez
ć dystrybuante zmiennej losowej X. Narysować funkcje fX (x) i FX (x). Obliczyć prawdopodo-

bieństwo, że lampa przepali sie przed up 100 godzin oraz prawdopodobieństwo, że lampa przepali
lywem

sie miedzy 50 a 100 godzina.

3.3.1 FX
x
FX (x) = fX (u) du.
-"
zatem
Dla x " (-"; 0]. Jeśli istnieja odpowiednie ca to
lki
x x
FX (x) = fX (u) du = 0du = 0
-" -"
Dla x " (0; 2]. Jeśli istnieja odpowiednie ca to
lki
x 0 x x

FX (x) = fX (u) du = fX (u) du + fX (u) du = FX (0) + 0, 3 2 + u - u2 du =
-" -" 0 0
x x

1 1
= 0 + 0, 3 2 + u - u2 du = 0, 3 2u + u2 - u3 =
2 3
0
0

1 1 1 1 3 3 1
= 0, 3 2x + x2 - x3 - 2 · 0 + · 0 - · 03 = x + x2 - x3
2 3 2 3 5 20 10
Dla x " (2; "]. Jeśli istnieja odpowiednie ca to
lki
x 2 x x
FX (x) = fX (u) du = fX (u) du + fX (u) du = FX (2) + 0du = 1
-" -" 2 2
Zatem
Å„Å‚
0 : x " (-"; 0]
òÅ‚
3 3 1
F (x) = x + x2 - x3 : x " (0; 2]
5 20 10
ół
1 : x " (2; ")
18
3.3.2 Wykres FX
3.3.3 Prawdopodobieństwa

100 13
P (X < 100) = F = F (1) = = 0, 65
100 20

100 50 13 13 13
P (50 d" X < 100) = F - F = F (1) - F (0, 5) = - = = 0, 325.
100 100 20 40 40
3.4
Zmienna losowa X ma gestość prawdopodobieństwa fX (x) dana wzorem


1 - |x| : |x| d" 1
fX (x) = .
0 : |x| > 1

1
Wyznaczyć dystrybuante FX (x) zmiennej losowej X oraz podać wykres. Obliczyć P X > .
2
3.4.1 FX
x
FX (x) = f (u) du
-"
zatem
Dla x " (-"; -1). Jeśli istnieja odpowiednie ca to
lki
x x
FX (x) = fX (u) du = 0du = 0
-" -"
Dla x " [-1; 0]. Jeśli istnieja odpowiednie ca to
lki
-1
x x x
FX (x) = fX (u) du = fX (u) du + fX (u) du = FX (-1) + (1 - |u|) du =
-" -" -1 -1
x x
1 1 1 1 1
= 0 + (1 + u) du = u + u2 = x + x2 - -1 + (-1)2 = + x + x2
2 2 2 2 2
-1
-1
Dla x " (0; 1]. Jeśli istnieja odpowiednie ca to
lki
-1
x x x
FX (x) = fX (u) du = fX (u) du + fX (u) du = FX (0) + (1 - u) du =
-" -" 0 0
x x
1 1 1 1 1 1 1 1
= + (1 - u) du = + u - u2 = + x - x2 - 0 - 02 = + x - x2
2 2 2 2 2 2 2 2
0
0
Dla x " (1; "). Jeśli istnieja odpowiednie ca to
lki
x 1 x x
FX (x) = fX (u) du = fX (u) du + fX (u) du = FX (1) + 0du = 1 + 0 = 1
-" -" 1 1
Zatem
Å„Å‚
0 : x " (-"; -1)
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
1 1
+ x + x2 : x " [-1; 0]
2 2
FX (x) =
1 1
+ x
ôÅ‚ - x2 : x " (0; 1]
ôÅ‚ 2 2
ół
1 : x " (1; ")
19
3.4.2 Wykres fX
3.4.3 Prawdopodobieństwo

1 1 1 1 1 1
P X > = P X e" - P X = = 1 - F - lim F + h - F =
2 2 2 2 h0+ 2 2

7 7 7 1
= 1 - - - = = 0, 125
8 8 8 8
3.5
Zmienna losowa X ma dystrybuante FX (x) dana wzorem

Å„Å‚
1
0 : x " -
ôÅ‚
2
ôÅ‚ -";
ôÅ‚
1 1
ôÅ‚
x + : x " ;
òÅ‚
2
- 2
0
1 1
FX (x) = : x " .
2 2
0;
ôÅ‚
1
ôÅ‚
ôÅ‚ x : x " ; 1
ôÅ‚ 2
ół
1 : x " (1; ")

3
Podać wykres FX (x). Wyznaczyć gestość fX (x) tej zmiennej losowej. Obliczyć P |X| < . Podać
4
interpretacje geometryczna obliczonego prawodpodobieństwa.

3.5.1 Wykres FX
3.5.2 fX

1
Dla x " -"; - .
2
d d
FX (x) = 0 = 0
dx dx

Dla x " -1 ; 0 .
2

d d 1 d d 1
FX (x) = x + = x + = 1 + 0 = 1
dx dx 2 dx dx 2

1
Dla x " 0; .
2
d d 1
FX (x) = = 0
dx dx 2
1
Dla x " ; 1 .
2
d d
FX (x) = x = 1
dx dx
Dla x " (1; ").
d d
FX (x) = 1 = 0
dx dx
Zatem
Å„Å‚
1
0 : x " -
ôÅ‚
2
ôÅ‚ -";
ôÅ‚
1
ôÅ‚
1 : x " ;
òÅ‚
-2
0
1
fX (x) = 0 : x "
2
0;
ôÅ‚
1
ôÅ‚
ôÅ‚ 1 : x " ; 1
ôÅ‚ 2
ół
0 : x " (1; ")
20
3.5.3 Prawdopodobieństwo
Jeśli istniejaa odpowiednie ca to
lki
3
4

3 3 3
P |X| < = P - < X < = fX (x) dx =
4 4 4
3
-
4
1 1 3 1 1 3
- -
2 2 4 2 2 4
0 0
= fX (x) dx + fX (x) dx + fX (x) dx + fX (x) dx = 0dx + 1dx + 0dx + 1dx =
3 1 1 3 1 1
0 0
- - - -
4 2 2 4 2 2

3
1 3 1 3
4
= 0 + [x]0 + 0 + [x] = 0 - - + - = = 0, 75
1
1
-
2
2 2 4 2 4
3.5.4 Interpretacja geometryczna
3.6
Rozpatrujemy rzuty kostka do gry. Zdarzeniu elementarnemu polegajacemu na pojawieniu sie jednej z

liczb 1, 2, ..., 6 przyporzadkowujemy w te liczbe, która sie pojawi. Zmienna losowa X może tu
laśnie

1
przybierać 6 wartości xi = i (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6) z jednakowym prawdopodobieństwem P (X = xi) = .
6
Obliczyć
- prawdopodobieństwo P (X < x), jeżeli x " (-"; 1],
- prawdopodobieństwo P (X < x), jeżeli x " (1; 2],
- prawdopodobieństwo P (X < x), jeżeli x " (2; 3],
- prawdopodobieństwo P (X < x), jeżeli x " (3; 4],
- prawdopodobieństwo P (X < x), jeżeli x " (4; 5],
- prawdopodobieństwo P (X < x), jeżeli x " (5; 6],
- prawdopodobieństwo P (X < x), jeżeli x " (6; ").
Sporzadz
wykres funkcji P (X < x) jako funkcji zmiennej x.

3.6.1 Dystrybuanta zmiennej losowej X
Å„Å‚
0 : x " (-"; 1]
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
1
ôÅ‚
: x " (1; 2]
ôÅ‚
ôÅ‚ 6
ôÅ‚
2
ôÅ‚
: x " (2; 3]
òÅ‚
6
3
FX (x) = : x " (3; 4]
6
ôÅ‚
4
ôÅ‚
ôÅ‚ : x " (4; 5]
ôÅ‚ 6
ôÅ‚
5
ôÅ‚
ôÅ‚ : x " (5; 6]
ôÅ‚ 6
ół
1 : x " (6; ")
3.6.2 Prawdopodobieństwa
Å„Å‚
0 : x " (-"; 1]
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
1
ôÅ‚
: x " (1; 2]
ôÅ‚
ôÅ‚ 6
ôÅ‚
2
ôÅ‚
: x " (2; 3]
òÅ‚
6
3
P (X < x) = FX (x) = : x " (3; 4]
6
ôÅ‚
4
ôÅ‚
ôÅ‚ : x " (4; 5]
ôÅ‚ 6
ôÅ‚
5
ôÅ‚
ôÅ‚ : x " (5; 6]
ôÅ‚ 6
ół
1 : x " (6; ")
3.6.3 Wykres
3.7
Na zbiorze liczb rzeczywistych określamy funkcje gestości w sposób nastepujacy


1
x : x " (0; 2)
2
fX (x) = .
0 : x " (0; 2)
/
Znalez
ć dystrybuante zmiennej losowej X i narysować jej wykres.

21
3.7.1 FX
x
FX (x) = f (u) du
-"
zatem
Dla x " (-"; 0]. Jeśli istnieja odpowiednie ca to
lki
x x
FX (x) = fX (u) du = 0du = 0
-" -"
Dla x " [0; 2). Jeśli istnieja odpowiednie ca to
lki
x 0 x x x
1 1
FX (x) = fX (u) du = fX (u) du + fX (u) du = FX (0) + udu = 0 + udu =
2 2
-" -" 0 0 0
x
1 1 1 1 1 1
= u2 = x2 - 02 = x2
2 2 2 2 2 4
0
Dla x " [2; "). Jeśli istnieja odpowiednie ca to
lki
x 2 x x
FX (x) = fX (u) du = fX (u) du + fX (u) du = FX (2) + 0du = 1 + 0 = 1
-" -" 2 2
Zatem
Å„Å‚
0 : x " (-"; 0)
òÅ‚
1
FX (x) = x2 : x " [0; 2]
4
ół
1 : x " (2; ")
3.7.2 Wykres FX
22
4
4.1
Rezystancja obwodu elektrycznego jest zmienna losowa o gestości prawdopodobieństwa fR (r), natomiast

napiecie U ma rozk o gestości prawdopodobieństwa fU (u):
lad


1
: r " (0; r0] 0 : u d" 0
r0
fR (r) = , fU (u) = .
0 : r " (0; r0] e-u : u e" 0;  > 0
/
Znalez
ć laczna gestość prawdopodobieństwa wektora (R, U), dystrybuanty brzegowe FR (r) i FU (u), dys-


trybuante laczna F (r, u) i pokazać, że


F (r, u) = FR (r) FU (u) .
4.1.1 FR
r
FR (r) = fR (s) ds
-"
zatem
Dla r " (-"; 0]. Jeśli istieja odpowiednie ca to
lki
r r
FR (r) = fR (s) ds = 0ds = 0
-" -"
Dla r " (0; r0]. Jeśli istieja odpowiednie ca to
lki
r 0 r r r
1 1 1
FR (r) = fR (s) ds = fR (s) ds + fR (s) ds = FR (0) + ds = 0 + ds = [s]r =
r0 r0 r0 0
-" -" 0 0 0
1 r
= [r - 0] =
r0 r0
Dla r " (r0; "). Jeśli istieja odpowiednie ca to
lki
0
r r r r
FR (r) = fR (s) ds = fR (s) ds + fR (s) ds = FR (r0) + 0ds = 1 + 0 = 1
-" -" r0 0
Zatem
Å„Å‚
0 : r " (-"; 0]
òÅ‚
r
: r " (0; r0]
FR (r) =
r0
ół
1 : r " (r0; ")
4.1.2 FU
u
FU (u) = fU (s) ds
-"
zatem
Dla u " (-"; 0]. Jeśli istieja odpowiednie ca to
lki
u u
FU (u) = fU (s) ds = 0ds = 0
-" -"
23
Dla u " (0; "). Jeśli istieja odpowiednie ca to
lki
u 0 u u u
FU (u) = fU (s) ds = fU (s) ds + fU (s) ds = FU (0) + e-sds = 0 +  e-sds =
-" -" 0 0 0
u
1 1 1
=  - e-s =  - e-u - - e-0 = 1 - e-u
  
0
Zatem

0 : u " (-"; 0]
FU (u) =
1 - e-u : u " (0; ")
4.1.3 fR;U
Jeśli zmienne losowe R i U sa niezależne, to laczna gestość ma postać



e-u
: r " (0; r0] '" u " [0; ") ;  > 0
r0
fR;U (r; u) = fR (r) fU (u) = .
0 : r " (-"; 0) *" (r0; ") (" u " (-"; 0)
4.1.4 FR;U
ëÅ‚ öÅ‚
r u r u
íÅ‚
FR;U (r; u) = fR;U (s; w) dsdw = fR;U (s; w) dwłł ds
-" -" -" -"
zatem jeśli istnieja odpowiednie ca to
lki
ëÅ‚ öÅ‚
r u r u
íÅ‚
FR;U (r; u) = fR;U (s; w) dsdw = fR;U (s; w) dwłł ds =
-" -" -" -"
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
r u r u r
íÅ‚ íÅ‚
= fR (s) fU (w) dwłł ds = fR (s) fU (w) dwłł ds = fR (s) FU (u) ds =
-" -" -" -" -"
Å„Å‚
ôÅ‚ 0 : r " (-"; 0] (" u " (-"; 0]
r
òÅ‚
r 1-e-u
( )
= FU (u) fR (s) ds = FU (u) FR (r) = .
: r " (0; r0] '" u " (0; ")
r0
ôÅ‚
ół
-" 1 - e-u : r " (r0; ") '" u " (0; ")
4.2
Przy przep pradu przez przewodnik o rezystancji R nastepuje zamiana energii elektrycznej na cieplna
lywie

zgodnie z zależnościa
u2t
A = ,
R
t -2
gdzie u oznacza przy napiecie, a t czas. Niech = c = 1, 5 · I · V . Przypuśćmy, że napiecie jest
lożone
R
zmienna losowa o rozk prawdopodobieństwa określonym przez gestość
ladzie

Å„Å‚
u-200
: u " [200; 220]
òÅ‚
300
230-u
fU (u) = : u " (220; 230] .
150
ół
0 : u " [200; 230]
/
Obliczyć prawdopodobieństwo, że energia elektryczna zamieniona na energie cieplna przyjmuje jedna

z wartości z przedzia (71000; 74000).
lu
24
4.2.1 Prawdopodobieństwo



71000 74000
P (71000 < A < 74000) = P 71000 < cU2 < 74000 = P < U < =
c c
" "
185 185
20 20
220 c
c

710 185
= P 10 < U < 20 = fU (u) du = fU (u) du + fU (u) du =
c c
" "
710 710 220
10 10
c c
"
185
20
220 c 185
220 20"
c
u - 200 230 - u 1 400 920 2
= du + du = u2 - u + u - u2 =
"
300 150 600 600 710 600 600
10 220
"
c
710 220
10
c
îÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚Å‚Å‚
2


1 400 1 710 400 710
ðÅ‚ íÅ‚ Å‚Å‚ûÅ‚
= 2202 - 220 - 10 - 10 +
600 600 600 c 600 c
îÅ‚ëÅ‚ Å‚Å‚
2öÅ‚


920 185 2 185 920 2
ðÅ‚íÅ‚ Å‚Å‚ ûÅ‚
+ 20 - 20 - 220 - 2202 =
600 c 600 c 600 600

48400 88000 71000 1 4000 710 18400 185 148000 1 202400 96800
= - - + + - - + H" 0, 3
600 600 600 c 600 c 600 c 600 c 600 600
4.3
Zmienna losowa X typu skokowego ma nastepujacy zbiór punktów skokowych

SX = {-2; -1; 0; 1; 2} ,
które przyjmuje z nastepujacymi prawdopodobieństwami:

P (X = -2) = P (X = 2) = p,
P (X = -1) = P (X = 1) = P (X = 0) = 2p.
Wyznaczyć rozk zmiennej losowej Y = X2.
lad
4.3.1 Rozk X
lad
Musi zachodzić
P (S) = P (X = -2) + P (X = -1) + P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) = 1
p + 2p + 2p + 2p + p = 1
1
p =
8
4.3.2 Rozk Y
lad
Zachodzi

P (Y = 0) = P X2 = 0 = P (X = 0) = 2p

P (Y = 1) = P X2 = 1 = P (X " {-1; 1}) = P (X = -1) + P (X = 1) = 2p + 2p = 4p

P (Y = 4) = P X2 = 4 = P (X " {-2; 2}) = P (X = -2) + P (X = 2) = p + p = 2p
4.4
Rzucamy dwiema kostkami sześciennymi: czerwona i zielona. Określamy dwie zmienne losowe X i Y w

nastepujacy sposób: X - liczba oczek na kostce czerwonej, Y - (1 - gdy na kostce zielonej jest parzysta

liczba oczek, 2 - gdy na kostce zielonej jest nieparzysta liczba oczek). Niech Z = X + Y , U = XY .
Obliczyć P (Z > 6) oraz prawdopodobieństwo tego, że U przyjmuje jako wartość liczbe nieparzysta.

25
4.4.1 Zmienne losowe X i Y
Zachodzi
1
P (X = 1) = P (X = 2) = P (X = 3) = P (X = 4) = P (X = 5) = P (X = 6) =
6
1
P (Y = 1) = P (Y = 2) = .
2
Ponadto rzuty sa niezależne, a wiec niezależne sa zmienne losowe X i Y .

4.4.2 Prawdopodobieństwa
P (Z > 6) = P (Z " {7; 8}) = P (Z = 7) + P (Z = 8) = P (X + Y = 7) + P (X + Y = 8) =
= (P (X = 5; Y = 2) + P (X = 6; Y = 1)) + P (X = 6; Y = 2) =
1
= P (X = 5) P (Y = 2) + P (X = 6) P (Y = 1) + P (X = 6) P (Y = 2) =
4
P (U " {1; 3; 5}) = P (U = 1) + P (U = 3) + P (U = 5) =
= P (XY = 1) + P (XY = 3) + P (XY = 5) =
= P (X = 1; Y = 1) + P (X = 3; Y = 1) + P (X = 5; Y = 1) =
1
= P (X = 1) P (Y = 1) + P (X = 3) P (Y = 1) + P (X = 5) P (Y = 1) =
4
4.5
Liczba niezbednych regulacji automatu w ciagu jednej zmiany jest zmienna losowa o rozk przedsta-
ladzie

wionym w tablicy
Liczba regulacji 0 1 2 3 4 5 i wiecej

Prawdopodobieństwo 0,15 0,68 0,12 0,04 0,01 0,00
Obliczyć wartość oczekiwana, wariancje i odchylenie standardowe liczby niezbednych regulacji.

4.5.1 E (X)

E (X) = xkP (X = xk) = 0 · 0, 15 + 1 · 0, 68 + 2 · 0, 12 + 3 · 0, 04 + 4 · 0, 01 + 5 · 0, 00 + . . . = 1, 08
k
4.5.2 V (X)


V (X) = E X2 - (E (X))2 = x2P (X = xk) - 1, 082 =
k
k
= (0 · 0, 15 + 1 · 0, 68 + 4 · 0, 12 + 9 · 0, 04 + 16 · 0, 01 + 25 · 0, 00 + . . .) - 1, 1664 =
= 1, 68 - 1, 1664 = 0, 5136

4.5.3 V (X)

V (x) H" 0, 72
4.6
Rozpatrzmy trzy przyk zmiennych losowych przyjmujacych przeliczalne wiele wartości.
lady

a) Zmienna losowa X1 przyjmuje wartości: 1, 2, 3 . . . , i, . . . odpowiednio z prawdopodobieństwami pi =
P (X1 = i) = 2-i, 1, 2, 3 . . ..

b) Zmienna losowa X2 przyjmuje wartości: 2, 22, . . . , 2i, . . . z prawdopodobieństwami pi = P X2 = 2i =
2-i, 1, 2, 3 . . ..
c) Zmienna losowa X3 przyjmuje wartości: 2, -22, 23, -24, . . . , (-1)i+1 2i, . . . z prawdopodobieństwami

pi = P X3 = (-1)i+1 2i = 2-i, 1, 2, 3 . . ..
Obliczyć wartości oczekiwane powyższych zmiennych losowych.
26
4.6.1 a)
Zbieżna jest suma

|xk| P (X = xk) = |k| 2-k = k2-k = 1 · 2-1 + 2 · 2-2 + 3 · 2-3 + . . . =
k k k

= 2-1 + 2-2 + 2-3 + . . . + 2-2 + 2-3 + . . . + 2-3 + . . . + . . . =
2-1 2-2 2-3 1
= + + + . . . = 1 + 2-1 + 2-2 + . . . = = 2
1 1 1 1
1 - 1 - 1 - 1 -
2 2 2 2
Zatem

E (X) = xkP (X = xk) = k2-k = 1 · 2-1 + 2 · 2-2 + 3 · 2-3 + . . . =
k k

= 2-1 + 2-2 + 2-3 + . . . + 2-2 + 2-3 + . . . + 2-3 + . . . + . . . =
2-1 2-2 2-3 1
= + + + . . . = 1 + 2-1 + 2-2 + . . . = = 2
1 1 1 1
1 - 1 - 1 - 1 -
2 2 2 2
4.6.2 b)
Wartość oczekiwana zmiennej losowej X2 nie istnieje, gdyż rozbieżna jest suma

E (X) = xkP (X = xk) = 2k2-k = i
k k k
4.6.3 c)
Wartość oczekiwana zmiennej losowej X3 nie istnieje, gdyż rozbieżna jest suma

E (X) = xkP (X = xk) = (-1)k+1 2k2-k = (-1)k+1 .
k k k
4.7
Predkość czastki gazu jest zmienna losowa V o rozk Maxwella:
ladzie


0 : v d" 0
fV (v) = 2 ,
Av2e-h v2 : v > 0
4h2
"
gdzie A = . Obliczyć wartość oczekiwana predkości czasteczki.
Ä„
4.7.1 E (V )
Jeśli istnieja odpowiednie ca to
lki
" 0 " 0 "
2
E (V ) = vfV (v) dv = vfV (v) dv + vfV (v) dv = v0dv + vAv2e-h v2dv =
-" -" 0 -" 0
Å„Å‚ üÅ‚
u = h2v2
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
u
ôÅ‚ ôÅ‚
" "
v2 =
òÅ‚ żł
h2
4h2 2 2 2
" "
= 0 + v2e-h v2vdv = v2e-h v22h2vdv = du = 2h2vdv =
Ä„ Ä„ ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
v = 0 Ò! u = 0
ôÅ‚ ôÅ‚
0 0
ôÅ‚ ôÅ‚
ół þÅ‚
v " Ò! u "
" "

2 u 2
f1 = u f2 = e-u
= " e-udu = " ue-udu = =

f1 = 1 f2 = -e-u
Ä„ h2 Ä„h2
0 0
" 2 "
2
"
= u -e-u - " 1 -e-u du =
0
Ä„h2 Ä„h2
0
27
 "
"
2 2 2
= lim " -e-z - 0 -e-0 + " e-udu = 0 + -e-u =
z "
z"
Ä„h2 Ä„h2 Ä„h2 0
0

2 2
"
= lim -e-z - -e-0 = "
z"
Ä„h2 Ä„h2
4.8
Wykazać, że jeżeli istnieja wartości oczekiwane E (X) i E (Y ) zmiennych losowych X i Y niezależnych i
typu ciag to E (X + Y ) = E (X) + E (Y ).
lego,

4.9
Udowodnić, że jeżeli zmienne losowe X i Y sa niezależne, to D2 (X + Y ) = D2 (X) + D2 (Y ).
4.10
Czasteczka wykonuje ruch harmoniczny po linii prostej o apmlitudzie równej 1 i o okresie T0. Chwile T

wybrana losowo z przedzia [0; T0] możemy uważać za zmienna o rozk
lu ladzie

0 : t " (-"; 0) *" (T0, ")
fT (t) = .
1
: t " [0; T0]
T0
Obliczyć:

2Ä„T
a) wartość oczekiwana E (X) zmiennej losowej X = sin określajacej po czasteczki na osi;
lożenie
T0
b) modu predkości czasteczki i jego wartość oczekiwana;
l

c) energie kinetyczna czasteczki (przy za że jej masa jest jednostkowa) i jej wartość oczekiwana.
lożeniu,

28
5
5.1
Wyprodukowane wkrety pakuje sie w pude Z uwagi na drobne odchylenia ilościowe, liczbe wkretów
leczka.

w pude możemy uważać za zmienna losowa Znana jest wartość oczekiwana tej zmiennej
leczku
X.
E (X) = 200 sztuk oraz standardowe odchylenie V (X) = 2, 8 sztuk. Obliczyć wartość oczekiwana
oraz standardowe odchylenie liczby wkretów w n = 100 opakowaniach. Obliczyć wspó
lczynnik zmienności

dla jednego opakowania, a także dla 100 opakowań.
5.1.1 Zmienna losowa n opakowań
Niech Xn oznacza zmienna losowa ilości wkretów dla n opakowań. Ponieważ pude pakowane sa nie-
lka


zależnie , to ich zmienne losowe ilości wkretów też uznać można za niezależne.

5.1.2 E (Xn)
E (Xn) = nE (X) = 20000
5.1.3 V (Xn)
V (Xn) = nV (X) = 100 · 2, 82
5.1.4 Wspó
lczynnik zmienności

V (X) 2, 8 7
½X = = = = 0, 014
E (X) 200 500

V (Xn) 100 · 2, 82 7
½X = = = = 0, 0014
n
E (X) 200 5000
5.2
Wektor losowy ma laczna gestość prawdopodobieństwa



x + y : x " (0; 1) '" y " (0; 1)
f (x; y) = .
0 : x " (0; 1) (" y " (0; 1)
/ /
Obliczyć momenty zwyczajne i momenty centralne pierwszego i drugiego rzedu.

5.3
Zmienna losowa X ma rozk normalny o gestości określonej wzorem
lad

1 x2
2
"
fX (x) = e- .
2Ä„
Znalez
ć punkt xp , dla którego spe jest rowność
lniona
FX (xp) = p,
dla p = 0, 1; 0, 25; 0, 5; 0, 75; 0, 9; 0, 95. Należy nauczyć sie korzystania z tablicy III rozk normalnego
ladu

z ksia żki M. Fisza.
5.4
Zmienna losowa X może przybierać wartości 0 i 1, przy czym
P (X = 0) = 1,
P (X = 1) = 4.
Wykazać, że mediana jest punkt x = 1. Narysować funkcje P (X < x).

29
5.5
Zmienna losowa X jest typu ciag o gestości określonej wzorem
lego


Ä„
cos x : x "
2
0;
fX (x) = .
Ä„
0 : x " 0;
/
2
Obliczyć mediane zmiennej losowej X.

5.6
Zmienna losowa X może przybierać trzy wartości
x1 = -1,
x2 = 0,
x1 = 1,
z prawdopodobieństwami
1
P (X = -1) = ,
4
1
P (X = 0) = ,
4
1
P (X = 1) = .
2
Narysować dystrybuante tego rozk Wykazać, że każda wartość x z przedzia [0; 1] jest tu mediana.
ladu. lu

5.7
Zmienna losowa ma rozk jednostajny o gestości prawdopodobieństwa określonej wzorem
lad


1
: x " (a; b)
b-a
fX (x) = ,
0 : x " (a; b)
/
gdzie a, b " R i a < b. Obliczyć funkcje charakterystyczna.

5.8
Udowodnić, że jeżeli funkcja charakterystyczna ÕX (t) zmiennej losowej X jest różniczkowalna k-krotnie,
to jej k-ty moment mk wyraża sie wzorem

Õ(k) (0)
mk = .
ik
5.9
Dana jest funkcja
Õ (t) = e-|t|.
Zbadać, czy istnieje rozk ktorego by to funkcja charakterystyczna.
lad, laby
30
6
6.1
W pewnym urzadzeniu znajduja sieob wy aczniki o niepe niezawodności. Mianowicie, w przypadku
l lnej

wystepowania impulsu udarowego przep pradu zostaje przerwany w 90% przypadków. Obliczyć, jaka
lyw

powinna być minimalna liczba takich wy aczników (po aczonych szeregowo), aby prawdopodobieństwo
l l

wy aczenia urzadzenia by równe co najmniej 99,99%.
l lo

6.2
Partia wyrobów zawiera 3% braków. Z partii tej losujemy próbe liczaca n = 100 sztuk. Należy obli-

czyć prawdopodobieństwo, że w próbie znajduje si x = 0, 1, 2, . . . , 100 sztuk wybrakowanych wyrobów.
Narysować funkcje prawdopodobieństwa.

6.3
Do wykonania dziennego zadania potrzebnych jest 52 pracowników. Ponieważ absencja pracowników
wynosi średnio 5% do wykonania zadania skierowany zosta zespó a) 56-osobowy, b) 60-osobowy. Obliczyć
l l
prawdopodobieństwo wykonania pracy w dowolnie wybranym dniu, dla przypadków a) i b). Jak sadzisz,

co ile dni przecietnie może sie zdarzyć niewykonanie dziennego zadania?

6.4
Partia wa zawiera 10 sztuk o dodatniej odchy od nominalnego wymiaru średnicy i 15 sztuk o od-
lków lce
chy ujemnej. Z partii tej wybieramy do kontroli 3 wa Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród
lce lki.
wa wybranych do kontroli bedzie x = 0, 1, 2, 3 wa o odchy dodatniej. Obliczyć P (x > 3).
lków lki lce

6.5
Udowodnić, że funkcja prawdopodobieństwa rozk hipergeometrycznego spe zależność rekurencyjna
ladu lnia
r - x n - x
P (x + 1) = P (x) .
x + 1 N - r - n + x + 1
6.6
Udowodnić, że funkcja prawdopodobieństwa rozk Poissona spe zależność rekurencyjna
ladu lnia

P (x + 1) = P (x) ,
x + 1
dla x = 0, 1, 2, . . .. Dla jakich x
P (x + 1) > P (x) ,
oraz dla jakich x
P (x + 1) < P (x) .
Obliczyć funkcje charakterystyczna i na jej podstawie wyznaczyć wartość oczekiwana, wariancje, od-

chylenie standardowe, wspó laszczenia zmiennej losowej o rozk
lczynniki zmienności, asymetrii i sp ladzie
Poissona.
6.7
Liczba akumulatorów samochodowych wymienianych w okresie jednego miesiaca w samochodach przed-

siebiorstwa transportowego ma rozk geometryczny o parametrze p = 0, 58. Obliczyć, jakim zapasem
lad

akumulatorów powinno dysponować przedsiebiorstwo, aby prawdopodobieństwo, że zapas wyczerpie sie

przed up miesiaca by mniejsze niż 0, 025.
lywem lo

31
7
7.1
Obliczyć wartość oczekiwana i wariancje zmiennej losowej X majacej rozk normalny. Wyjaśnić znacze-
lad

nia sta we wzorze na gestość prawdopodobieństwa zmiennej losowej o rozk normalnym. Pokazać
lych ladzie

na wykresie wp µ i à na funkcje gestoÅ›ci prawdopodobieÅ„stwa. Dla rozk normalnego wyzna-
lyw ladu

czyć wspó lczynnik asymetrii i wspó laszczenia oraz zinterpretować
lczynnik zmienności, wspó lczynnik sp
geometrycznie te wspó
lczynniki.
7.2
Udowodnić zależności
"
erfx = 2Åš 2x ,
"
erfx = 2F 2x - 1,

1 1
"
F (x) = 1 + erf ,
2
2
gdzie erfx - funkcja b edu, Åš - funkcja Laplace a.
l

7.3

1
D (w mm) pewnej cześci produkowanej na automacie jest zmienna losowa o rozk N 20, .
lugość ladzie
5
Obliczyć prawdopodobieństwo, że d tej cześci zawarta bedzie miedzy 19, 9 [mm] i 20, 3 [mm].
lugość

7.4
Wiadomo, że przy obróbce cześci na pewnym automacie odchylenie standardowe od wymiaru nominalnego

wynosi à = 0, 01 [mm]. Pole tolerancji jest równe 0, 06 [mm] (zinterpretować graficznie pole tolerancji).
Na skutek trudności w uzyskaniu nominalnego wymiaru nastawczego wartość przecietna odchy jest
lki

o 0, 015 [mm] przesunieta od środka pola tolerancji w prawo. Obliczyć. przewidywany % cześci wykona-

nych wadliwie, to jest prawdopodobieÅ„stwo, że |X| > 3Ã.
7.5
Wykazać, że gestość prawdopodobieństwa rozk N (0, 1) spe warunek
ladu lnia

f (x) = -xf (x) .
7.6
Czas (w h) dojazdu pracownikow do zak pracy jest zmienna losowa o rozk logarytmo-normalnym
ladu ladzie
o parametrach: µ = 0, 7, i à = 0, 5, . Obliczyć dystrybuanteob tej zmiennej losowej. Obliczyć oczekiwany
czas dojazdu do pracy oraz prawdopodobieństwo, że czas dojazdu nie przekracza 2 [h]. Obliczyć mediane

i wartość modalna oraz podać ich interpretacje.

7.7
Przeprowadzić badanie funkcji gestości prawdopodobieństwa (i podać jej wykres) dla rozk logarytmo-
ladu

normalnego, przy µ = 0, i à = 0, 5.
32
8
8.1
Znalez
ć dopuszczalna intensywność uszkodzeń nieodnawialnego obiektu, którego czas pracy do uszkodzenia
ma rozk wyk
lad ladniczy, jeżeli niezawodność jego w ciagu 100h ma wynosić co najmniej 0,99.

8.1.1 Intensywność uszkodzeń
Niezadowność urzadzenia to

x 0 x
R (x) = P (X e" x) = 1 - F (x) = 1 - f (u) du = 1 - 0du - e-udu =
-" -" 0

= 1 - 0 - - e-x - 1 = e-x,
gdzie  to intensywność uszkodzeń.
Zatem
R (100) > 0, 99
e-100 > 0, 99
-100 > ln 0, 99
ln 0, 99
 < - H" 0, 00011
100
8.2
Czas zdatności pewnego obiektu jest zmienna losowa o rozk Rayleigha (ą = 2) z parametrem
ladzie
² = 5 · 10-7. Wyznaczyć funkcje niezawodnoÅ›ci tego obiektu, gestość prawdopodobieÅ„stwa oraz obli-

czyć niezawodność obiektu dla 500 [h] i 1000 [h].
8.2.1 Gestość prawdopodobieństwa

Funkcja gestości rozk Weibulla ma postać
ladu


0 : x < 0
Ä…
f (x) = .
Ä…²xÄ…-1e-²x : x e" 0
Rozk Rayleigha to rozk Weibulla dla ą = 2, a wiec jego funkcja gestości ma postać
ladu lad


0 : x < 0
f (x) = 2 .
2²xe-²x : x e" 0
Zatem szukana gestość to


0 : x < 0
f (x) = -7 .
10-6xe-5·10 x2 : x e" 0
8.2.2 Funkcja niezawodności
Niezadowność urzadzenia to

x 0 x
2
R (x) = P (X e" x) = 1 - F (x) = 1 - f (u) du = 1 - 0du - 2²ue-²u du =
-" -" 0
Å„Å‚ üÅ‚
z = -²u2
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
x x x
òÅ‚ żł
2 2 2
dz = -2²udu
= 1-0- 2²ue-²u du = 1- 2²ue-²u du = = 1+ -2²ue-²u du =
u = 0 Ô! z = 0
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ół
0 0
u = x Ô! z = -²x2 þÅ‚ 0
-²x2


2
2 2 -7
= 1 + ezdz = 1 + [ez]-²x = 1 + e-²x - 1 = e-²x = e-5·10 x2
0
0
33
8.2.3 Niezawodności
-7
R (500) = e-5·10 5002 = e-0.125 H" 0, 9
-7
R (1000) = e-5·10 10002 = e-0.5 H" 0, 61
8.3
Urzadzenie z jednym nieobcia żonym elementem rezerwowym pracuje do chwili uszkodzenia sie elementu

rezerwowego. Czas pracy urzadzenia do uszkodzenia ma rozk gamma o parametrach Ä… = 2 i .
lad

Wyznaczyć gestość prawdopodobieństwa, dystrybuante i funkcje niezawodności urzadzenia dla x e" 0.

Wykreślić funkcje niezawodności R (x) oraz wyznaczyć przedzia w którym funkcja R (x) jest wypuk
l, la

w góre, wkles w dó a także wyznaczyć punkt przegiecia. Obliczyć funkcje intensywności uszkodzeń.
la l,

8.3.1 Gestość prawdopodobieństwa

Funkcja gestości prawdopodobieństwa rozk gamma ma postać
ladu


0 : x < 0
f (x) = .
1
Ä…xÄ…-1e-x : x e" 0
“(Ä…)
Zatem szukana gestość prawdopodobieństwa to


0 : x < 0
f (x) = .
2xe-x : x e" 0
8.3.2 Dystrybuanta
Szukana dystrubuanta to

0 : x < 0
F (x) = ,
-xe-x - e-x + 1 : x e" 0
gdyż dla x e" 0

" "
f (x) = -xe-x - e-x + 1 = -e-x + 2xe-x + e-x + 0 = 2xe-x
"x "x
i funkcja ta spe warunki na na dystrybuante ciag zmiennej losowej.
lnia lożone lej

8.3.3 Funkcja niezawodności
Niezadowność urzadzenia to

R (x) = P (X e" x) = 1 - F (x) .
Zatem szukana niezawodność to

R (x) = 1 - -xe-x - e-x + 1 = xe-x + e-x.
8.3.4 Wykres funkcji niezawodności
8.3.5 Przedzia wypuk
ly lości

"2 "2 " "
R (x) = xe-x + e-x = e-x - 2xe-x - e-x = -2xe-x =
"x2 "x2 "x "x
= -2e-x + 3xe-x = 2e-x (x - 1)

1 1
Zatem R (x) jest w przedziale 0, jest wypuk (wypuk w góre), dla x = jest punkt przegiecia,
la la
 

1
w przedziale , " jest wkles (wypuk w dó
la la l).

8.3.6 Intensywność uszkodzeń
f (x) 2xe-x 2x
 (x) = = = .
R (x) xe-x + e-x x + 1
34
8.4
Dla rozk gamma wyznaczyć wspó lczynnik asymetrii i wspó la-
ladu lczynnik zmienności, wspó lczynnik sp
szczenia.
8.4.1 Momenty zwyczajne
Dla rozk gamma zachodzi
ladu
Ä… (Ä… + 1) (Ä… + 2) . . . (Ä… + k - 2) (Ä… + k - 1)
mk = ,
k
a wiec

Ä…
m1 =

Ä… (Ä… + 1)
m2 =
2
Ä… (Ä… + 1) (Ä… + 2)
m3 =
3
Ä… (Ä… + 1) (Ä… + 2) (Ä… + 3)
m4 =
4
8.4.2 Momenty centralne
Dla rozk gamma zachodzi
ladu

µk = E (X - m1)k ,
a wiec



µ2 = E (X - m1)2 = E X2 - 2Xm1 + m2 = E X2 - E (2Xm1) + E m2 =
1 1
Ä… (Ä… + 1) Ä…2 Ä…
= m2 - 2m2 + m2 = m2 - m2 = - =
1 1 1
2 2 2

µ3 = E (X - m1)3 = E (X - m1) (X - m1)2 = E X (X - m1)2 - m1 (X - m1)2 =


= E X (X - m1)2 - E m1 (X - m1)2 = E X3 - 2X2m1 + Xm2 - m1µ2 =
1

= E X3 - E 2X2m1 + E Xm2 - m1 m2 - m2 = m3 - 2m2m1 + m3 - m1m2 + m3 =
1 1 1 1
Ä… (Ä… + 1) (Ä… + 2) Ä… (Ä… + 1) Ä… Ä…3 2Ä…
= m3 - 3m2m1 + 2m3 = - 3 + 2 =
1
3   3 3

µ4 = E (X - m1)4 = E (X - m1) (X - m1)3 = E X (X - m1)3 - m1 (X - m1)3 =


= E X (X - m1)3 - E m1 (X - m1)3 = E X4 - 3X3m1 + 3X2m2 - Xm3 - m1µ3 =
1 1

= E X4 - E 3X3m1 + E 3X2m2 - E Xm3 - m1 m3 - 3m2m1 + 2m3 =
1 1 1
= m4 - 3m3m1 + 3m2m2 - m4 - m1m3 + 3m2m2 - 2m3 = m4 - 4m3m1 + 6m2m2 - 3m4 =
1 1 1 1 1 1
Ä… (Ä… + 1) (Ä… + 2) (Ä… + 3) Ä… (Ä… + 1) (Ä… + 2) Ä… Ä… (Ä… + 1) Ä…2 Ä…4 3Ä…2 + 6Ä…
= - 4 + 6 - 3 =
4 3  2 2 4 4
8.4.3 Wspó
lczynnik zmienności

"
Ä…
µ2 2 1
Å‚ = = = "
m1 Ä… Ä…

35
8.4.4 Wspó
lczynnik asymetrii
µ3 2Ä… 2
3
Å‚1 = = = "
3 3
2 2
µ2 Ä… Ä…
3
8.4.5 Wspó laszczenia
lczynnik sp
µ4 3Ä…2+6Ä… 6
4
Å‚2 = - 3 = - 3 =
Ä…2
µ2 Ä…
2
4
8.5
Czas jednej obs pó ladzie
lugi lautomatycznej obrabiraki reprezentowany jest przez zmienna losowa o rozk
wyk lugi
ladniczym. Średni czas jednej obs wynosi 20 [min]. Obliczyć prawdopodobieństwo, że czas losowo
wybranej obs przekroczy pó godziny.
lugi l
8.5.1 Gestość prawdopodobieństwa

Gestości prawdopodobieństwa rozk wyk
ladu ladniczego ma postać


0 : x < 0
f (x) = .
e-x : x e" 0
Zachodzi też dla niego
1
E (X) = .

1
Skoro E (X) = 20 to  = . Zatem
20

0 : x < 0
f (x) = 1 .
1 x
e- 20
: x e" 0
20
8.5.2 Prawdopodobieństwo
Jeśli istnieja odpowiednie ca to
lki
" " "
"
1 1 1 1 1 1
20 20 20
P (X > 30) = f (u) du = e- xdu = e- xdu = -20e- x =
20 20 20 30
30 30 30

1 1 1 3
20 20 2
= lim -20e- z - -20e- 30 = e- H" 0, 23
z"
20
8.6
Wykazać, że dla zmiennej losowej o rozk Cauchy ego nie istnieje wartość oczekiwana.
ladzie
8.6.1 Gestość prawdopodobieństwa

Gestości prawdopodobieństwa rozk Cauchy ego ma postać
ladu

1 1
f (x) =
2 ,
x-t
sĄ
1 +
s
gdzie s = 0.

36
8.6.2 Wartość oczekiwana

1 x s x s x
xf (x) dx = dx = dx =
2 dx =
x-t
sĄ Ą -
s2 + (x - t)2 Ä„ x2 2tx + s2 + t2
1 +
s

1 t x - t
= " = (-2t)2 - 4 · 1 · s2 + t2 = -4s2 < 0 = ln x2 - 2tx + s2 + t2 + arctan
2 |s| |s|
Zatem wartość oczekiwana
" "

1 t x - t
E (X) = xf (x) dx = ln x2 - 2tx + s2 + t2 + arctan =
2 |s| |s|
-"
-"

z

1 t x - t
= lim ln x2 - 2tx + s2 + t2 + arctan =
z ,z " 2 |s| |s|
-z


1 t z - t
= lim ln z 2 - 2tz + s2 + t2 + arctan +
z ,z " 2 |s| |s|


1 t (-z ) - t
- ln (-z )2 - 2t (-z ) + s2 + t2 + arctan =
2 |s| |s|



1 t Ä„ 1 t Ä„
= lim ln z 2 - 2tz + s2 + t2 + - ln z 2 + 2tz + s2 + t2 - - =
z ,z " 2 |s| 2 2 |s| 2


1 + +
1 z 2 - 2tz + s2 + t2 t 1 z 2 -2t s2+t2 t
z z 2
= lim ln + Ä„ = lim ln + Ä„ =
z ,z " 2 z 2 + 2tz + s2 + t2 |s| z ,z " 2 z 2 1 + 2t + s2+t2 |s|
z z 2

1 z 2 t
= lim ln + Ä„
z ,z " 2 z 2 |s|
z 2
Ponieważ granica lim ln nie istnieje, to ca nie jest zbieżna, a co za tym idzie nie istnieje
lka
z 2
z ,z "
wartość oczekiwana.
8.7
Dana jest laczna gestość prawdopodobieństwa


1 1
fX;Y (x; y) =
Ä„2 (1 + x2) (1 + y2)
wektora losowego (X, Y ). Oblicz brzegowe gestości prawdopodobieństwa fX (x) i fY (y) oraz warunkowa

gestość prawdopodobieństwa. Czy sk wektora losowego sa zmiennymi losowymi niezależnymi?
ladowe

8.7.1 fX (x)
Jeśli istnieja odpowiednie ca to
lki
" " "
1 1 1 1
fX (x) = fX;Y (x; y) dy = dy = dy =
Ä„2 (1 + x2) (1 + y2) Ä„2 (1 + x2) 1 + y2
-" -" -"
1 1 1
= [arctan y]" = lim [arctan z - arctan z ] =
-"
Ä„2 (1 + x2) Ä„2 (1 + x2) Ä„ (1 + x2)
z "
z -"
8.7.2 fY (y)
Jeśli istnieja odpowiednie ca to
lki
" " "
1 1 1 1
fY (y) = fX;Y (x; y) dx = dx = dx =
Ä„2 (1 + x2) (1 + y2) Ä„2 (1 + y2) 1 + x2
-" -" -"
1 1 1
= [arctan x]" = lim [arctan z - arctan z ] =
-"
Ä„2 (1 + y2) Ä„2 (1 + y2) Ä„ (1 + y2)
z "
z -"
37
8.7.3 fX|Y (x|y)
fX;Y (x, y) = fX|Y (x|y) fY (y)
fX;Y (x, y)
fX|Y (x|y) =
fY (y)
1 1
Ä„2 (1+x2)(1+y2)
fX|Y (x|y) =
1 1
Ä„ 1+y2
1 1
fX|Y (x|y) = = fX (x)
Ä„ 1 + x2
8.7.4 fY |X (y|x)
fX;Y (x, y) = fY |X (y|x) fX (x)
fX;Y (x, y)
fY |X (y|x) =
fX (x)
1 1
Ä„2 (1+x2)(1+y2)
fY |X (y|x) =
1 1
Ä„ 1+x2
1 1
fY |X (y|x) = = fY (y)
Ä„ 1 + y2
8.7.5 Niezależność zmiennych losowych X i Y
Zmienne losowe X i Y sa niezależne, gdyż
fX;Y (x, y) = fX (x) fY (y)
8.8
Wykazać, że kowariancja zmiennych losowych X i Y spe równość
lnia
cov (X; Y ) = E (XY ) - E (X) E (Y ) .
8.8.1 Dowód
Jeśli istnieja odpowiednie momenty to
cov (X, Y ) = E ([X - E (X)] [Y - E (Y )]) = E (XY - XE (Y ) - E (X) Y + E (X) E (Y )) =
= E (XY ) - E (XE (Y )) - E (E (X) Y ) + E (E (X) E (Y )) =
= E (XY ) - E (X) E (Y ) - E (X) E (Y ) + E (X) E (Y ) = E (XY ) - E (X) E (Y )
8.9
Wykazać, że wspó
lczynnik korelacji zmiennych losowych X i Y rozumiany jako kowariancja odpowia-
dajacych im zmiennych losowych standaryzowanych jest równy

cov (X; Y )
ÁX;Y = .
V (X) V (Y )
38
8.9.1 Dowód
Jeśli istnieja odpowiednie momenty to

X - E (X) Y - E (Y )
ÁX;Y = cov ; =
V (X) V (Y )

X - E (X) X - E (X) Y - E (Y ) Y - E (Y )
= E - E - E =
V (X) V (X) V (Y ) V (Y )
wartości oczekiwane zmiennych losowych standaryzowanych sa równe 0

X - E (X) Y - E (Y ) E ([X - E (X)] [Y - E (Y )]) cov (X, Y )
= E = =
V (X) V (Y ) V (X) V (Y ) V (X) V (Y )
8.10
Wykazać, że cov (X; X) = V (X).
8.10.1 Dowód
Jeśli istnieja odpowiednie momenty to

cov (X; X) = E ([X - E (X)] [X - E (X)]) = E [X - E (X)]2 = E X2 - 2XE (X) + E (X)2 =


= E X2 + E (2XE (X)) + E E (X)2 = E X2 - 2E (X) E (X) + E (X)2 =

= E X2 - E (X)2 = V (X)
39
9
9.1
Obliczyć wspó ladowymi wektora losowego o lacznej gestości prawdopodo-
lczynnik korelacji miedzy sk

bieństwa

x + y : x " (0; 1) '" y " (0; 1)
fX;Y (x; y) = .
0 : x " (0; 1) (" y " (0; 1)
/ /
9.1.1 fX (x)
Dla x " (0, 1), jeśli istnieja odpowiednie ca to
lki
" 0 1 "
fX (x) = fX;Y (x; y) dy = fX;Y (x; y) dy + fX;Y (x; y) dy + fX;Y (x; y) dy =
-" -" 0 1
0 1 " 1
1 1 1 1
= 0dy + (x + y) dy + 0dy = 0 + xy + y2 + 0 = x1 + 12 - x0 + 02 = x +
2 2 2 2
0
-" 0 1
dla x " (0, 1) zachodzi fX (x) = 0 ponieważ wtedy fX;Y (x; y) = 0. Zatem
/

1
x + : x " (0, 1)
2
fX (x) =
0 : x " (0, 1)
/
9.1.2 E (X)
Jeśli istnieja odpowiednie ca to
lki
" 0 1 "
E (X) = xfX (x) dx = xfX (x) dx + xfX (x) dx + xfX (x) dx =
-" -" 0 1
0 1 " 1 1
1 1 1 1
= x0dx + x x + dx + x0dx = 0 + x2 + x dx + 0 = x3 + x2 =
2 2 3 4
0
-" 0 1 0

1 1 1 1 7
= 13 + 12 - 03 + 02 =
3 4 3 4 12
9.1.3 Moment drugiego rzedu zmiennej losowej X

Jeśli istnieja odpowiednie ca to
lki
" 0 1 "

E X2 = x2fX (x) dx = x2fX (x) dx + x2fX (x) dx + x2fX (x) dx =
-" -" 0 1
0 1 " 1 1
1 1 1 1
= x20dx + x2 x + dx + x20dx = 0 + x3 + x2 dx + 0 = x4 + x3 =
2 2 4 6
0
-" 0 1 0

1 1 1 1 5
= 14 + 13 - 04 + 03 =
4 6 4 6 12
9.1.4 V (X)
2

5 7 60 49 11
V (X) = E X2 - (E (X))2 = - = - =
12 12 144 144 144
40
9.1.5 fY (y)
Dla y " (0, 1), jeśli istnieja odpowiednie ca to
lki
" 0 1 "
fY (y) = fX;Y (x; y) dx = fX;Y (x; y) dx + fX;Y (x; y) dx + fX;Y (x; y) dx =
-" -" 0 1
0 1 " 1
1 1 1 1
= 0dx + (x + y) dx + 0dx = 0 + x2 + yx + 0 = 12 + y1 - x0 + 02 = y +
2 2 2 2
0
-" 0 1
dla y " (0, 1) zachodzi fY (y) = 0 ponieważ wtedy fX;Y (x; y) = 0. Zatem
/

1
y + : y " (0, 1)
2
fY (y) =
0 : y " (0, 1)
/
9.1.6 E (Y )
Jeśli istnieja odpowiednie ca to
lki
" 0 1 "
E (Y ) = yfY (y) dy = yfY (y) dy + yfY (y) dy + yfY (y) dy =
-" -" 0 1
0 1 " 1 1
1 1 1 1
= y0dy + y y + dy + y0dy = 0 + y2 + y dy + 0 = y3 + y2 =
2 2 3 4
0
-" 0 1 0

1 1 1 1 7
= 13 + 12 - 03 + 02 =
3 4 3 4 12
9.1.7 Moment drugiego rzedu zmiennej losowej Y

Jeśli istnieja odpowiednie ca to
lki
" 0 1 "

2
E Y = y2fY (y) dy = y2fY (y) dy + y2fY (x) dy + y2fY (y) dy =
-" -" 0 1
0 1 " 1 1
1 1 1 1
= y20dy + y2 y + dy + y20dy = 0 + y3 + y2 dy + 0 = y4 + y3 =
2 2 4 6
0
-" 0 1 0

1 1 1 1 5
= 14 + 13 - 04 + 03 =
4 6 4 6 12
9.1.8 V (Y ).
2

5 7 60 49 11
2
V (Y ) = E Y - (E (Y ))2 = - = - =
12 12 144 144 144
9.1.9 cov (X; Y )
Jeśli istnieja odpowiednie ca to
lki
" "
7 7
cov (X; Y ) = E ([X - E (X)] [Y - E (Y )]) = x - y - fX;Y (x; y) dxdy =
12 12
-" -"
ëÅ‚
" 0 1
7 7 7 7
íÅ‚
= x - y - fX;Y (x; y) dx + x - y - fX;Y (x; y) dx+
12 12 12 12
-" -" 0
41
öÅ‚

"
7 7
+ x - y - fX;Y (x; y) dxłł dy =
12 12
1
ëÅ‚
" 0 1
7 7 7 7
íÅ‚
= x - y - 0dx + x - y - fX;Y (x; y) dx+
12 12 12 12
-" -" 0
öÅ‚

"
7 7
+ x - y - 0dxłł dy =
12 12
1
ëÅ‚ öÅ‚
" 1
7 7
íÅ‚0
= + x - y - fX;Y (x; y) dx + 0Å‚Å‚ dy =
12 12
-" 0
" 1
7 7
= x - y - fX;Y (x; y) dxdy =
12 12
-" 0
0 1 1 1
7 7 7 7
= x - y - fX;Y (x; y) dxdy + x - y - fX;Y (x; y) dxdy+
12 12 12 12
-" 0 0 0
" 1
7 7
+ x - y - fX;Y (x; y) dxdy =
12 12
1 0
0 1 1 1
7 7 7 7
= x - y - 0dxdy + x - y - (x + y) dxdy+
12 12 12 12
-" 0 0 0
" 1
7 7
+ x - y - 0dxdy =
12 12
1 0
1 1
7 7 7 49 49
= 0 + x2y + xy2 - x2 - y2 - xy + x + y dxdy + 0 =
12 12 6 144 144
0 0
1 1
1 1 7 7 7 49 49
= x3y + x2y2 - x3 - y2x - x2y + x2 + yx dy =
3 2 36 12 12 288 144
0
0
1
1 1 7 7 7 49 49
= 13y + 12y2 - 13 - y21 - 12y + 12 + y1 -
3 2 36 12 12 288 144
0

1 1 7 7 7 49 49
- 03y + 02y2 - 03 - y20 - 02y + 02 + y0 dy =
3 2 36 12 12 288 144
1 1
1 13 7 1 13 7
= - y2 + y - dy = - y3 + y2 - y =
12 144 288 36 288 288
0
0

1 13 7 1 13 7 1
= - 13 + 12 - 1 - - 03 + 02 - 0 = -
36 288 288 36 288 288 144
9.1.10 ÁX;Y
1
-
cov (X; Y ) 1
144
ÁX;Y = = - H" -0, 091
=
11 11 11
V (X) V (Y )
144 144
42
9.2
Zmienne losowe X i Y maja laczna gestość określona wzorem


x2-2xy+2y2
1
2
fX;Y (x; y) = e- .
2Ä„
Wykazać, że
" "
fX;Y (x; y) dxdy = 1.
-" -"
Obliczyć momenty rzedu pierwszego i drugiego, drugi moment centralny mieszany i wspó korealcji
lczynnik

zmiennych losowych.
9.2.1 Dowód
Jeśli istnieja odpowiednie ca to
lki
" " " " " "
x2-2xy+2y2 (x-y)2+y2
1 1
2 2
fX;Y (x; y) dxdy = e- dxdy = e- dxdy =
2Ä„ 2Ä„
-" -" -" -" -" -"
" " " "
(x-y)2 y2 y2 (x-y)2
1 1 1
2 2 2 2
= e- e- dxdy = " e- " e- dxdy =
2Ä„
2Ä„ 2Ä„
-" -" -" -"
(x-y)2
"1
funkcja e- 2
jest gestościa prawdopodobieństwa zmiennej losowej X o rozk N (y, 1), a co za
ladzie

2Ä„
"

(x-y)2
"1 2
tym idzie ca e- dx = 1
lka
2Ä„
-"
" " " "
(x-y)2 y2 y2 y2
1 1 1
2 2 2 2
= e- e- dxdy = " e- 1dy = " e- dy =
2Ä„
2Ä„ 2Ä„
-" -" -" -"
y2
"1
funkcja e- 2
jest gestościa prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y o rozk N (0, 1), a co za tym
ladzie

2Ä„
"

y2
"1 2
idzie ca e- dy = 1
lka
2Ä„
-"
= 1
9.2.2 Moment m10
" " " "
x2-2xy+2y2
1
2
m10 = xfX;Y (x; y) dxdy = x e- (x; y) dxdy =
2Ä„
-" -" -" -"
" " " "
(x-y)2+y2 (x-y)2 y2
1 1
2 2 2
= x e- (x; y) dxdy = x e- e- (x; y) dxdy =
2Ä„ 2Ä„
-" -" -" -"
" "
y2 (x-y)2
1 1
2 2
"
= " e- (x; y) x e- dxdy =
2Ä„ 2Ä„
-" -"
(x-y)2
"1
funkcja e- 2
jest gestościa prawdopodobieństwa zmiennej losowej X o rozk N (y, 1), a co za
ladzie

2Ä„
"

(x-y)2
"1
tym idzie ca x e- 2
lka dx = E (X) = y
2Ä„
-"
" "
y2 y2
1 1
2 2
"
= " e- (x; y) ydy = y e- (x; y) dy =
2Ä„ 2Ä„
-" -"
43
y2
"1
funkcja e- 2
jest gestościa prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y o rozk N (0, 1), a co za tym
ladzie

2Ä„
"

y2
"1
idzie ca y e- 2
lka dy = E (Y ) = 0
2Ä„
-"
= 0
9.2.3 Moment m01
" " " "
x2-2xy+2y2
1
2
m01 = yfX;Y (x; y) dxdy = y e- (x; y) dxdy =
2Ä„
-" -" -" -"
" " " "
(x-y)2+y2 (x-y)2 y2
1 1
2 2 2
= y e- (x; y) dxdy = y e- e- (x; y) dxdy =
2Ä„ 2Ä„
-" -" -" -"
" "
y2 (x-y)2
1 1
2 2
"
= y e- (x; y) " e- dxdy =
2Ä„ 2Ä„
-" -"
(x-y)2
"1
funkcja e- 2
jest gestościa prawdopodobieństwa zmiennej losowej X o rozk N (y, 1), a co za
ladzie

2Ä„
"

(x-y)2
"1 2
tym idzie ca e- dx = 1
lka
2Ä„
-"
" "
y2 y2
1 1
2 2
" "
= y e- (x; y) 1dy = y e- (x; y) dy =
2Ä„ 2Ä„
-" -"
y2
"1
funkcja e- 2
jest gestościa prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y o rozk N (0, 1), a co za tym
ladzie

2Ä„
"

y2
"1
idzie ca y e- 2
lka dy = E (Y ) = 0
2Ä„
-"
= 0
9.2.4 Moment m20
" " " "
x2-2xy+2y2
1
2
m20 = x2fX;Y (x; y) dxdy = x2 e- (x; y) dxdy =
2Ä„
-" -" -" -"
" " " "
(x-y)2+y2 (x-y)2 y2
1 1
2 2 2
= x2 e- (x; y) dxdy = x2 e- e- (x; y) dxdy =
2Ä„ 2Ä„
-" -" -" -"
" "
y2 (x-y)2
1 1
2 2
"
= " e- (x; y) x2 e- dxdy =
2Ä„ 2Ä„
-" -"
(x-y)2
"1
funkcja e- 2
jest gestościa prawdopodobieństwa zmiennej losowej X o rozk N (y, 1), a co za
ladzie

2Ä„
"

(x-y)2
"1
tym idzie ca x2 e- 2
lka dx = E X2 = y2 + 1
2Ä„
-"
" " "

y2 y2 y2
1 1 1
2 2 2
" "
= " e- (x; y) y2 + 1 dy = y2 e- (x; y) dy + y e- (x; y) dy =
2Ä„ 2Ä„ 2Ä„
-" -" -"
y2
"1
funkcja e- 2
jest gestościa prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y o rozk N (0, 1), a co za tym
ladzie

2Ä„
" "

y2 y2
2
"1
idzie ca y2 e- 2 "1 2
lka dy = E Y = 1, a ca e- dy = 1
lka
2Ä„ 2Ä„
-" -"
= 1 + 1 = 2
44
9.2.5 Moment m11
" " " "
x2-2xy+2y2
1
2
m11 = xyfX;Y (x; y) dxdy = xy e- (x; y) dxdy =
2Ä„
-" -" -" -"
" " " "
(x-y)2+y2 (x-y)2 y2
1 1
2 2 2
= xy e- (x; y) dxdy = xy e- e- (x; y) dxdy =
2Ä„ 2Ä„
-" -" -" -"
" "
y2 (x-y)2
1 1
2 2
" "
= y e- (x; y) x e- dxdy =
2Ä„ 2Ä„
-" -"
(x-y)2
"1
funkcja e- 2
jest gestościa prawdopodobieństwa zmiennej losowej X o rozk N (y, 1), a co za
ladzie

2Ä„
"

(x-y)2
"1
tym idzie ca x e- 2
lka dx = E (X) = y
2Ä„
-"
" "
y2 y2
1 1
2 2
" "
= y e- (x; y) ydy = y2 e- (x; y) dy =
2Ä„ 2Ä„
-" -"
y2
"1
funkcja e- 2
jest gestościa prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y o rozk N (0, 1), a co za tym
ladzie

2Ä„
"

y2
2
"1
idzie ca y2 e- 2
lka dy = E Y = 1
2Ä„
-"
= 1
9.2.6 Moment m02
" " " "
x2-2xy+2y2
1
2
m20 = y2fX;Y (x; y) dxdy = y2 e- (x; y) dxdy =
2Ä„
-" -" -" -"
" " " "
(x-y)2+y2 (x-y)2 y2
1 1
2 2 2
= y2 e- (x; y) dxdy = y2 e- e- (x; y) dxdy =
2Ä„ 2Ä„
-" -" -" -"
" "
y2 (x-y)2
1 1
2 2
"
= y2 e- (x; y) " e- dxdy =
2Ä„ 2Ä„
-" -"
(x-y)2
"1
funkcja e- 2
jest gestościa prawdopodobieństwa zmiennej losowej X o rozk N (y, 1), a co za
ladzie

2Ä„
"

(x-y)2
"1 2
tym idzie ca e- dx = 1
lka
2Ä„
-"
" "
y2 y2
1 1
2 2
" "
= y2 e- (x; y) 1dy = y2 e- (x; y) dy =
2Ä„ 2Ä„
-" -"
y2
"1
funkcja e- 2
jest gestościa prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y o rozk N (0, 1), a co za tym
ladzie

2Ä„
"

y2
2
"1
idzie ca y2 e- 2
lka dy = E Y = 1
2Ä„
-"
= 1
9.2.7 Moment µ20
" " " "
µ20 = (x - m10)2 fX;Y (x; y) dxdy = (x - 0)2 fX;Y (x; y) dxdy =
-" -" -" -"
" "
= x2fX;Y (x; y) dxdy = m20 = 2
-" -"
45
9.2.8 Moment µ11
" " " "
µ11 = (x - m10) (y - m01) fX;Y (x; y) dxdy = (x - 0) (y - 0) fX;Y (x; y) dxdy =
-" -" -" -"
" "
= xyfX;Y (x; y) dxdy = m11 = 1
-" -"
9.2.9 Moment µ02
" " " "
µ02 = (y - m01)2 fX;Y (x; y) dxdy = (y - 0)2 fX;Y (x; y) dxdy =
-" -" -" -"
" "
= y2fX;Y (x; y) dxdy = m02 = 1
-" -"
9.2.10 ÁX;Y
cov (X; Y ) µ11 1 1
" " "
ÁX;Y = = = =
" "
µ20 µ02 2 1 2
V (X) V (Y )
9.3
Obliczyć linie regresji I i II rodzaju zmiennej losowej Y wzgledem zmiennej losowej X, gdy laczna gestość


prawdopodobieństwa dana jest wzorem

x + y : x " (0; 1) '" y " (0; 1)
fX;Y (x; y) = .
0 : x " (0; 1) (" y " (0; 1)
/ /
Narysować wykres obu linii regresji. Obliczyć b ad aproksymacji linia regresji.
l

9.3.1 fX (x)
Dla x " (0, 1), jeśli istnieja odpowiednie ca to
lki
" 0 1 "
fX (x) = fX;Y (x; y) dy = fX;Y (x; y) dy + fX;Y (x; y) dy + fX;Y (x; y) dy =
-" -" 0 1
0 1 " 1
1 1 1 1
= 0dy + (x + y) dy + 0dy = 0 + xy + y2 + 0 = x1 + 12 - x0 + 02 = x +
2 2 2 2
0
-" 0 1
dla x " (0, 1) zachodzi fX (x) = 0 ponieważ wtedy fX;Y (x; y) = 0. Zatem
/

1
x + : x " (0, 1)
2
fX (x) =
0 : x " (0, 1)
/
9.3.2 E (X)
Jeśli istnieja odpowiednie ca to
lki
" 0 1 "
E (X) = xfX (x) dx = xfX (x) dx + xfX (x) dx + xfX (x) dx =
-" -" 0 1
0 1 " 1 1
1 1 1 1
= x0dx + x x + dx + x0dx = 0 + x2 + x dx + 0 = x3 + x2 =
2 2 3 4
0
-" 0 1 0

1 1 1 1 7
= 13 + 12 - 03 + 02 =
3 4 3 4 12
46
9.3.3 Moment drugiego rzedu zmiennej losowej X

Jeśli istnieja odpowiednie ca to
lki
" 0 1 "

E X2 = x2fX (x) dx = x2fX (x) dx + x2fX (x) dx + x2fX (x) dx =
-" -" 0 1
0 1 " 1 1
1 1 1 1
= x20dx + x2 x + dx + x20dx = 0 + x3 + x2 dx + 0 = x4 + x3 =
2 2 4 6
0
-" 0 1 0

1 1 1 1 5
= 14 + 13 - 04 + 03 =
4 6 4 6 12
9.3.4 V (X)
2

5 7 60 49 11
V (X) = E X2 - (E (X))2 = - = - =
12 12 144 144 144
9.3.5 fY (y)
Dla y " (0, 1), jeśli istnieja odpowiednie ca to
lki
" 0 1 "
fY (y) = fX;Y (x; y) dx = fX;Y (x; y) dx + fX;Y (x; y) dx + fX;Y (x; y) dx =
-" -" 0 1
0 1 " 1
1 1 1 1
= 0dx + (x + y) dx + 0dx = 0 + x2 + yx + 0 = 12 + y1 - x0 + 02 = y +
2 2 2 2
0
-" 0 1
dla y " (0, 1) zachodzi fY (y) = 0 ponieważ wtedy fX;Y (x; y) = 0. Zatem
/

1
y + : y " (0, 1)
2
fY (y) =
0 : y " (0, 1)
/
9.3.6 E (Y )
Jeśli istnieja odpowiednie ca to
lki
" 0 1 "
E (Y ) = yfY (y) dy = yfY (y) dy + yfY (y) dy + yfY (y) dy =
-" -" 0 1
0 1 " 1 1
1 1 1 1
= y0dy + y y + dy + y0dy = 0 + y2 + y dy + 0 = y3 + y2 =
2 2 3 4
0
-" 0 1 0

1 1 1 1 7
= 13 + 12 - 03 + 02 =
3 4 3 4 12
9.3.7 Moment drugiego rzedu zmiennej losowej Y

Jeśli istnieja odpowiednie ca to
lki
" 0 1 "

2
E Y = y2fY (y) dy = y2fY (y) dy + y2fY (x) dy + y2fY (y) dy =
-" -" 0 1
0 1 " 1 1
1 1 1 1
= y20dy + y2 y + dy + y20dy = 0 + y3 + y2 dy + 0 = y4 + y3 =
2 2 4 6
0
-" 0 1 0

1 1 1 1 5
= 14 + 13 - 04 + 03 =
4 6 4 6 12
47
9.3.8 V (Y )
2

5 7 60 49 11
2
V (Y ) = E Y - (E (Y ))2 = - = - =
12 12 144 144 144
9.3.9 cov (X; Y )
Jeśli istnieja odpowiednie ca to
lki
" "
7 7
cov (X; Y ) = E ([X - E (X)] [Y - E (Y )]) = x - y - fX;Y (x; y) dxdy =
12 12
-" -"
ëÅ‚
" 0 1
7 7 7 7
íÅ‚
= x - y - fX;Y (x; y) dx + x - y - fX;Y (x; y) dx+
12 12 12 12
-" -" 0
öÅ‚

"
7 7
+ x - y - fX;Y (x; y) dxłł dy =
12 12
1
ëÅ‚
" 0 1
7 7 7 7
íÅ‚
= x - y - 0dx + x - y - fX;Y (x; y) dx+
12 12 12 12
-" -" 0
öÅ‚

"
7 7
+ x - y - 0dxłł dy =
12 12
1
ëÅ‚ öÅ‚
" 1
7 7
íÅ‚0
= + x - y - fX;Y (x; y) dx + 0Å‚Å‚ dy =
12 12
-" 0
" 1
7 7
= x - y - fX;Y (x; y) dxdy =
12 12
-" 0
0 1 1 1
7 7 7 7
= x - y - fX;Y (x; y) dxdy + x - y - fX;Y (x; y) dxdy+
12 12 12 12
-" 0 0 0
" 1
7 7
+ x - y - fX;Y (x; y) dxdy =
12 12
1 0
0 1 1 1
7 7 7 7
= x - y - 0dxdy + x - y - (x + y) dxdy+
12 12 12 12
-" 0 0 0
" 1
7 7
+ x - y - 0dxdy =
12 12
1 0
1 1
7 7 7 49 49
= 0 + x2y + xy2 - x2 - y2 - xy + x + y dxdy + 0 =
12 12 6 144 144
0 0
1 1
1 1 7 7 7 49 49
= x3y + x2y2 - x3 - y2x - x2y + x2 + yx dy =
3 2 36 12 12 288 144
0
0
1
1 1 7 7 7 49 49
= 13y + 12y2 - 13 - y21 - 12y + 12 + y1 -
3 2 36 12 12 288 144
0
48

1 1 7 7 7 49 49
- 03y + 02y2 - 03 - y20 - 02y + 02 + y0 dy =
3 2 36 12 12 288 144
1 1
1 13 7 1 13 7
= - y2 + y - dy = - y3 + y2 - y =
12 144 288 36 288 288
0
0

1 13 7 1 13 7 1
= - 13 + 12 - 1 - - 03 + 02 - 0 = -
36 288 288 36 288 288 144
9.3.10 ÁX;Y
1
-
cov (X; Y ) 1
144
ÁX;Y = = - H" -0, 091
=
11 11 11
V (X) V (Y )
144 144
9.3.11 Regresja I rodzaju
Linie regresji I rodzaju tworzy krzywa dana wzorem

y = E (Y |x) .
Ponieważ przy odpowiednich warunkach zachodzi
fX;Y (x; y) = f (y|x) fX (x)
fX;Y (x; y)
f (y|x) =
fX (x)
to

x+y
: x " (0; 1) '" y " (0; 1)
1
x+
2
f (y|x) =
0 : x " (0; 1) (" y " (0; 1)
/ /
Jeśli istnieja odpowiednie ca to
lki
" 0 1 "
E (Y |x) = yf (y|x) dy = yf (y|x) dy + yf (y|x) dy + yf (y|x) dy =
-" -" 0 1
0 1 " 1 1

x + y 1 1 1 1
= y0dy + y dy + y0dy = 0 + xy + y2 dy + 0 = xy2 + y3 =
1 1 1
x + x + x + 2 3
0
2 2 2
-" 0 1 0

1 1 2 1 1
x + x + x + +
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 3 3 2 6
= x12 + 13 - x02 + 03 = = = = +
1 1 1 1 1
2
x + 2 3 2 3 x + x + 2 x + 2 12 x +
2 2 2 2 2
Zatem linie regresji I rodzaju tworzy fragment krzywej dla x " (0; 1) danej wzorem

1 1 1
y = +
1
2 12 x +
2
9.3.12 Regresja II rodzaju
Linie regresji II rodzaju tworzy prosta dana wzorem


V (Y ) V (Y )
y = ÁX;Y x + E (Y ) - ÁX;Y E (X) .
V (X) V (X)
Zatem linie regresji I rodzaju tworzy fragment prostej dla x " (0; 1) danej wzorem


11 11
1 7 1 7
144 144
y = - x + - -
11 11
11 12 11 12
144 144
1 7
y = - x +
11 11
y H" -0, 091x + 0, 64
49
9.3.13 B ad aproksymacji linia regresji II rodzaju
l

B ad aproksymacji linia regresji II rodzaju wyraża sie wzorem
l

ëÅ‚
2öÅ‚

V (Y ) V (Y )
íÅ‚ Å‚Å‚
e = E Y - ÁX;Y x + E (Y ) - ÁX;Y E (X)
V (X) V (X)

co, jeśli V (Y ) jest sta redukuje sie do
le,


e = 1 - Á2 V (Y ) .
X;Y
Zatem b ad aproksymacji linia regresji II rodzaju jest równy
l


2
1 11 1 11 1320 5
e = 1 - - = 1 - = = H" 0, 08
11 144 121 144 17424 66
9.3.14 Wykresy linii regresji
9.4
Zmienna losowa ma rozk wyk
lad ladniczy o gestości prawdopodobieństwa określonej wzorem


e-x : x e" 0
fX (x) = .
0 : x < 0
Wyznaczyć gestość prawdopodobieństwa zmienenj losowej

"
Y = X
i narysować jej wykres.
9.4.1 fY (y)
Jeśli h jest funkcja przedzia monotoniczna i różniczkowalna oraz dla zmiennych losowych X i Y
lami
zachodzi
Y = h (X)
to zachodzi też



d

fY (y) = fX h-1 (y) h-1 (y) ,
i i

dy
i
gdzie h-1 to funkcje odwrotne do h na tych przedzia
lach.
i
Ponieważ
"
h (x) = x
spe te warunki i
lnia
h-1 (y) = y2
to, pamietajac, że z za o zmiennej losowej Y dla y < 0 musi być fY (y) = 0,
lożenia



d d

fY (y) = fX h-1 (y) h-1 (y) = fX y2 y2 = fX y2 |2y| =

dy dy

2 2
|2y| e-y : y2 e" 0 2ye-y : y e" 0
= = .
0 : y2 < 0 0 : y < 0
50
9.4.2 Wykres fY (y)
9.5
Zmienna losowa ma rozk normalny o gestości prawdopodobieństwa określonej wzorem
lad

(x-µ)2
1
" .
fX (x) = e- 2Ã2
2Ä„Ã
Obliczyć gestość prawdopodobieństwa zmiennej losowej

Y = aX + b,
gdzie a, b " R i a = 0. Jaki rozk ma zmienna losowa Y ?
lad
9.5.1 fY (y)
Jeśli h jest funkcja przedzia monotoniczna i różniczkowalna oraz dla zmiennych losowych X i Y
lami
zachodzi
Y = h (X)
to zachodzi też



d

fY (y) = fX h-1 (y) h-1 (y) ,
i i

dy
i
gdzie h-1 to funkcje odwrotne do h na tych przedzia
lach.
i
Ponieważ
h (x) = ax + b
spe te warunki i
lnia
1 b
h-1 (y) = y -
a a
to



d 1 b d 1 b 1 b 1

fY (y) = fX h-1 (y) h-1 (y) = fX y - y - = fX y - =

dy a a dy a a a a a
2
1 b 1
y- ) (y-(aµ+b))2
( -µ (y-b-aµ)2

a a (y-(aµ+b))2
1 1 1 a2 1 1 -
2(|a|Ã)2
" = " e- 2Ã2
= e- 2Ã2
= " e- 2a2Ã2
= " e .

a
2Ä„Ã 2Ä„ |a| Ã 2Ä„ |a| Ã 2Ä„ |a| Ã
9.5.2 Rozk zmiennej losowej Y
ladu
Zmienna losowa Y ma rozk normalny N (aµ + b; |a| Ã).
lad
9.6
W obwodzie jak na rysunku napiecie wejściowe jest sta i wynosi 10 [V ]. Rezystancja R0 = 1 [&!] jest
le

również sta natomiast rezystancja R ma gestość prawdopodobieństwa
la,


2
r : r " (1 [&!] ; 2 [&!])
3
fR (r) = .
0 : r " (1 [&!] ; 2 [&!])
/
Znalez
ć gestość prawdopodobieństwa spadku napiecie Ur na rezystancji R.

51
9.6.1 Zmienna losowa Ur
Z prawa Ohma dla obwodu wynika
U
Rz = ,
I
gdzie Rz = R + r to opór zastepczy obwodu. Zatem przez obwód p prad
lynie

U U
I = = .
Rz R + r
Wobec tego spadek napiecia na rezystorze R wynosi

Ur Ur + UR - UR UR
ur = rI = = = U - .
R + r R + r R + r
9.6.2 Zmienna losowa Ur jako funkcja zmiennej losowej R
Jeśli h jest funkcja przedzia monotoniczna i różniczkowalna oraz dla zmiennych losowych X i Y
lami
zachodzi
Y = h (X)
to zachodzi też



d

fY (y) = fX h-1 (y) h-1 (y) ,
i i

dy
i
gdzie h-1 to funkcje odwrotne do h na tych przedzia
lach.
i
Ponieważ
UR
h (r) = U -
R + r
spe te warunki i
lnia
Rur -RU + Rur + RU RU
h-1 (ur) = = = -R +
U - ur U - ur U - ur
to



d RU d RU

fU (ur) = fR h-1 (ur) h-1 (ur) = fR -R + -R + =
r

dur U - ur dur U - ur



RU RU

= fR -R + =

U - ur (U - ur)2



2 RU RU RU
-R + -R + " (1 [&!] ; 2 [&!])
:
3 U-ur U-ur
(U-ur)2
= =
RU
0 : -R + " (1 [&!] ; 2 [&!])
/
U-ur


20ur 20
[&!] : ur " 5 [V ] ; [V ]
3
3(10[V ]-ur)3

= .
20
0 : ur " 5 [V ] ; [V ]
/
3
9.7
Wyznacz gestość prawdopodobieństwa zmiennej losowej

Y = X2,
przy za że zmienna losowa X ma rozk normlany N (0, Ã).
lożeniu, lad
52
9.7.1 fY (y)
Jeśli h jest funkcja przedzia monotoniczna i różniczkowalna oraz dla zmiennych losowych X i Y
lami
zachodzi
Y = h (X)
to zachodzi też



d

fY (y) = fX h-1 (y) h-1 (y) ,
i i

dy
i
gdzie h-1 to funkcje odwrotne do h na tych przedzia
lach.
i
Ponieważ
h (x) = x2
spe te warunki i
lnia
"
h-1 (y) = - y
1
"
h-1 (y) = y
2
to, pamietajac, że z za o zmiennej losowej Y dla y < 0 musi być fY (y) = 0,
lożenia




d d d

fY (y) = fX h-1 (y) h-1 (y) = fX h-1 (y) h-1 (y) + fX h-1 (y) h-1 (y) =
i i 1 1 2 2

dy dy dy
i


" 1 " 1 1 " "
-
= fX (- y) + fX ( y) = (fX (- y) + fX ( y)) =
" " "

2 y 2 y 2 y

"

(- y (" )2
)2 y
y y y
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
"
= " e- + e- = " e- + e- = " e-
" "
"
2 y 2 y
2Ä„Ã 2Ä„Ã 2Ä„Ã 2Ä„Ã y
Zatem ostatecznie

y
1
"
: y > 0
" e- 2
2Ä„Ã y
fY (y) =
0 : y < 0
53
10
10.1
Zmienna losowa X ma rozk dyskretny o funkcji prawdopodobieństwa
lad
P (X = k) = 2-k, k " N
Zmienna losowa

Ä„
Y = sin X
2
może przyja ć jedna z trzech wartości: 0 dla X = 2n, 1 dla X = 4n - 3, -1 dla X = 4n - 1, n " N.
Obliczyć P (Y = 0), P (Y = 1), P (Y = -1).
10.1.1 Prawdopodobieństwa

P (Y = 0) = P (X = 2n) = P (X " {2, 4, 6, . . . , }) = P (X = k) = 2-k =
k"{2,4,6,...,} k"{2,4,6,...,}
1

1 1
4
= 2-2i = = =
1
4i - 3
1
4
i"N i"N

P (Y = 1) = P (X = 4n - 3) = P (X " {1, 5, 9, . . . , }) = P (X = k) = 2-k =
k"{1,5,9,...,} k"{1,5,9,...,}
1

1 1 8
2
= 2-(4i+1) = = =
1
2 16i - 15
1
16
i"N i"N

P (Y = -1) = P (X = 4n - 1) = P (X " {3, 7, 11, . . . , }) = P (X = k) = 2-k =
k"{3,7,11,...,} k"{3,7,11,...,}
1

1 1 2
8
= 2-(4i+3) = = =
1
8 16i - 15
1
16
i"N i"N
10.2
Laczna gestość wektora losowego w prostokatnym uk wspó
ladzie lrzednych ma postać

x2+y2
1
fX;Y (x; y) = e- 2Ã2
.
2Ä„Ã2
Wyznaczyć laczna gestość tego wektora we wspó
lrzednych biegunowych

x = r cos Õ, y = r sin Õ, 0 d" Õ d" 2Ä„, 0 d" r < ".
Wyznaczyć gestoÅ›ci brzegowe fR (r) i fÅš (Õ). Czy zmienne losowe R i Åš sa niezależne dla dowolnych

(r, Õ) " R2?
10.2.1 Jakobian


"x "x

" (x; y)
cos Õ -r sin Õ

"r "Õ

J = = = = cos Õ · r cos Õ - sin Õ · (-r sin Õ) = r e" 0
"y "y

sin Õ r cos Õ
" (r; Õ)
"r "Õ
10.2.2 Gestość prawdopodobieństwa we wspó
lrzednych biegunowych

Ponieważ Jakobian J jest nieujemny to gestość we wspó
lrzednych biegunowych otrzymać można ze wzoru

fB (r, Õ) = fX;Y (g1 (r; Õ) ; g2 (r; Õ)) |J| =
gdzie gi to funkcje odwrotne zmiany zmiennych, a wiec g1 (r; Õ) = r cos Õ i g2 (r; Õ) = r sin Õ

(r cos Õ)2+(r sin Õ)2
1 1 r2
= fX;Y (r cos Õ; r sin Õ) r = e- 2Ã2
r = re- 2Ã2
2Ä„Ã2 2Ä„Ã2
54
10.2.3 fR (r)
Jeśli odpowiednie ca istnieja to (granice ca
lki lkowania uwzgledniaja, że r e" 0)

2Ä„ 2Ä„

1 r2 1 r2 1 r2 1 r2
fR (r) = re- 2Ã2
dÕ = re- 2Ã2
dÕ = re- 2Ã2
[Õ]2Ä„ = re- 2Ã2
0
2Ä„Ã2 2Ä„Ã2 2Ä„Ã2 Ã2
0 0
10.2.4 fÅš (Õ)
Jeśli odpowiednie ca istnieja to (granice ca
lki lkowania uwzgledniaja, że r e" 0)

r2
u = -
" " 2Ã2 0
r
1 r2 1 r r2 1
du = - dr
Ã2
fÅš (Õ) = re- 2Ã2 - - e- 2Ã2
dr = dr = = - eudu =
2Ä„Ã2 2Ä„ Ã2 r = 0 Ô! u = 0 2Ä„
0 0 -"
r " Ô! u -"
"
1 1 r2 1 z2 02 1
= - [eu]0 = - e- 2Ã2
= lim - e- 2Ã2 - e- 2Ã2
=
-"
z"
2Ä„ 2Ä„ 0 2Ä„ 2Ä„
10.2.5 Niezależność
Ponieważ zachodzi
fB (r; Õ) = fR (r) fÅš (Õ)
to zmienne losowe R i Åš sa niezależne dla dowolnych (r, Õ) " R2.
10.3
Wiadomo, że laczna gestość prawdopodobieństwa wektora (X; Y ) ma postać



4xy : x " (0; 1) '" y " (0; 1)
fX;Y (x; y) =
0 : x " (0; 1) (" y " (0; 1)
/ /
Wyznaczyć laczna gestość prawdopodobieństwa wektora (U; V ), gdzie


2
U = X2, V = Y .
10.3.1 Jakobian
Ponieważ zachodzi
2
U = X2, V = Y
to w rozważanym przedziale
" "
X = U, Y = V .


1
"x "x
"

0
" (x; y) 1 1 1

2 u
"u "v
"
J = = = = " " - 0 · 0 = e" 0
"y "y 1

"
0
" (u; v) 2 u 2 v 4 uv
"u "v 2 v
10.3.2 fU;V (u, v)
Ponieważ Jakobian J jest nieujemny to gestość wektora (U; V ) otrzymać można ze wzoru

fU;V (u, v) = fX;Y (g1 (u; v) ; g2 (u; v)) |J| =
" "
gdzie gi to funkcje odwrotne zmiany zmiennych, a wiec g1 (u; v) = u i g2 (u; v) = v


" " " "
1 1
" "
= fX;Y u; v = fX;Y u; v =
4 uv 4 uv
" " " "
1
"
4 u v : u " (0; 1) '" v " (0; 1)
1 : u " (0; 1) '" v " (0; 1)
4 uv
= " " =
0 : u " (0; 1) (" v " (0; 1)
/ /
0 : u " (0; 1) (" vy " (0; 1)
/ /
55
10.4
Znalez
ć kwantyl Ç2 rzedu p = 0, 95 zmiennej losowej Yn majacej rozk Ç2 o n = 100 stopniach swobody.
lad
p;n

10.4.1 Ç2
p;n
Dla dużych n kwantyle rozk Ç2 przybliżać można wzorem
ladu
" 2
1
Ç2 H" 2n - 1 + p ,
p;n
2
gdzie p to kwantyl standardowego rozk normalnego.
ladu
Ponieważ z tablic odczytać można, iż 0,95 H" 1, 645 to
" 2
1
Ç2 H" 2 · 100 - 1 + 1, 645 H" 130
0,95;100
2
10.5
Wiadomo, że kwantyl nieznanego rzedu p Ç2 = 37, 57. Wykorzystujac kwantyle rozk normalnego
ladu
p;n

p znalez
ć rzad p kwantyla zmiennej losowej Yn majacej rozk Ç2 o n = 20 stopniach swobody.
lad

10.5.1 p
Dla dużych n kwantyle rozk Ç2 przybliżać można wzorem
ladu
" 2
1
Ç2 H" 2n - 1 + p ,
p;n
2
gdzie p to kwantyl standardowego rozk normalnego. Wobec tego
ladu

" "
p H" 2Ç2 - 2n - 1 = 2 · 37, 57 - 2 · 20 - 1 H" 2, 5
p;n
co po odczytaniu z tablic daje
p = 0, 9938
10.6
Zmienna losowa T ma rozk jednostajny na przedziale [0; 2Ą], to znaczy jej gestość
lad


1
: t " [0, 2Ä„]
2Ä„
fT (t) = .
0 : t " [0, 2Ä„]
/
Rozpatrzmy dwie zmienne losowe
X = cos T
i
Y = cos (T + Õ) ,
przy czym Õ " [0; 2Ä„]. Obliczyć E (X), E (Y ) oraz wspó
lczynnik korelacji ÁX;Y miedzy zmiennymi X i Y .

10.6.1 E (X)
Jeśli istnieja odpowiednie ca to
lki
2Ä„
" 0 "
E (X) = xfT (t) dt = cos tfT (t) dt + cos tfT (t) dt + cos tfT (t) dt =
-" -" 0 2Ä„
2Ä„ 2Ä„
0 "
1 1 1
= cos t0dt + cos t dt + cos t0dt = 0 + cos tdt + 0 = [sin t]2Ä„ =
0
2Ä„ 2Ä„ 2Ä„
-" 0 2Ä„ 0
1
= [sin 2Ä„ - sin 0] = 0
2Ä„
56

10.6.2 E X2
Jeśli istnieja odpowiednie ca to
lki
2Ä„
" 0 "

E X2 = x2fT (t) dt = cos2 tfT (t) dt + cos2 tfT (t) dt + cos2 tfT (t) dt =
-" -" 0 2Ä„
2Ä„ 2Ä„
0 " 2Ä„
1 1 1 1 1
= cos2 t0dt + cos2 t dt + cos2 t0dt = 0 + cos2 tdt + 0 = t + sin 2t =
2Ä„ 2Ä„ 2Ä„ 2 4
0
-" 0 2Ä„ 0

1 1 1 1 1 1
= 2Ä„ + sin 2 · 2Ä„ - 0 + sin 2 · 0 =
2Ä„ 2 4 2 4 2
10.6.3 E (Y )
Jeśli istnieja odpowiednie ca to
lki
2Ä„
" 0 "
E (Y ) = yfT (t) dt = cos (t + Õ) fT (t) dt + cos (t + Õ) fT (t) dt + cos (t + Õ) fT (t) dt =
-" -" 0 2Ä„
2Ä„ 2Ä„
0 "
1 1
= cos (t + Õ) 0dt + cos (t + Õ) dt + cos (t + Õ) 0dt = 0 + cos (t + Õ) dt + 0 =
2Ä„ 2Ä„
-" 0 2Ä„ 0
1 1
= [sin (t + Õ)]2Ä„ = [sin (2Ä„ + Õ) - sin (0 + Õ)] = 0
0
2Ä„ 2Ä„

2
10.6.4 E Y
Jeśli istnieja odpowiednie ca to
lki
"

2
E Y = y2fT (t) dt =
-"
2Ä„
0 "
= cos2 (t + Õ) fT (t) dt + cos2 (t + Õ) fT (t) dt + cos2 (t + Õ) fT (t) dt =
-" 0 2Ä„
2Ä„ 2Ä„
0 "
1 1
= cos2 (t + Õ) 0dt + cos2 (t + Õ) dt + cos2 (t + Õ) 0dt = 0 + cos2 (t + Õ) dt + 0 =
2Ä„ 2Ä„
-" 0 2Ä„ 0
2Ä„
1 1 1
= (t + Õ) + sin (2t + 2Õ) =
2Ä„ 2 4
0

1 1 1 1 1 1
= (2Ä„ + Õ) + sin (2 · 2Ä„ + 2Õ) - (0 + Õ) + sin (2 · 0 + 2Õ) =
2Ä„ 2 4 2 4 2
10.6.5 cov (X; Y )
Jeśli istnieja odpowiednie ca to
lki
"
E ([X - E (X)] [Y - E (Y )]) = (x - E (X)) (y - E (Y )) fT (t) dt =
-"
" "
= (x - 0) (y - 0) fT (t) dt = xyfT (t) dt =
-" -"
57
2Ä„
0 "
= cos t cos (t + Õ) fT (t) dt + cos t cos (t + Õ) fT (t) dt + cos t cos (t + Õ) fT (t) dt =
-" 0 2Ä„
2Ä„
0 "
1
= cos t cos (t + Õ) 0dt + cos t cos (t + Õ) dt + cos t cos (t + Õ) 0dt =
2Ä„
-" 0 2Ä„
2Ä„ 2Ä„ 2Ä„

1 1 cos Õ 1
= 0 + (cos (t - (t + Õ)) + cos (t + (t + Õ))) dt + 0 = dt + cos (2t + Õ) dt =
2Ä„ 2 4Ä„ 4Ä„
0 0 0
2Ä„
cos Õ 1 1 cos Õ 1 1 1
= [t]2Ä„ + sin (2t + Õ) = [2Ä„ - 0] + sin (2 · 2Ä„ + Õ) - sin (2 · 0 + Õ) =
0
4Ä„ 4Ä„ 2 4Ä„ 4Ä„ 2 2
0
1
= cos Õ
2
10.6.6 ÁX;Y
1
cos Õ
cov (X; Y ) E ([X - E (X)] [Y - E (Y )])
2
ÁX;Y = = = = cos Õ
1
V (X) V (Y )
2
E (X2) - (E (X))2 E (Y ) - (E (Y ))2 1 - 0 - 0
2 2
10.7
Rozpatrzmy iloraz niezależnych zmiennych losowych X i Y takich, że X ma rozk Ç2 o m stopniach
lad
swobody, a Y ma rozk Ç2 o n stopniach swobody. Wykazać, że gestość prawdopodobieÅ„stwa ilorazu
lad

Y
V = ,
X
gdzie X = 0 dla v > 0 wyraża sie wzorem


n
-1
2
1 v

fV (v) = ,
n+m
n m
B ; 2
2 2 (1 + v)
gdzie B jest funkcja beta.
10.8
Wzgledny spadek trwa obiektu odnowionego po jego awarii jest zmienna losowa V o rozk beta
lości ladzie

o parametrach n = 2, m = 4 i gestości prawdopodobieństwa


20v (1 - v)3 : v " (0; 1)
fV (v) = .
0 : v " (0; 1)
/
Obliczyć E (V ) oraz prawdopodobieństwo, że wzgledny spadek trwa bedzie d" 50%.
lości

10.8.1 E (V )
Jeśli istnieja odpowiednie ca to
lki
" 0 1 "
E (V ) = vfV (v) dv = vfV (v) dv + vfV (v) dv + vfV (v) dv =
-" -" 0 1
0 1 " 1

= v0dv + v20v (1 - v)3 dv + v0dv = 20 v2 - 3v3 + 3v4 - v5 dv =
-" 0 1 0
1
1 3 3 1
= 20 v3 - v4 + v5 - v6 =
3 4 5 6
0

1 3 3 1 1 3 3 1 1
= 20 13 - 14 + 15 - 16 - 03 - 04 + 05 - 06 = H" 0, 34
3 4 5 6 3 4 5 6 3
58

1
10.8.2 P V d"
2
Jeśli istnieja odpowiednie ca to
lki
1 1 1
2 2 2
0 0
1
P V d" = fV (v) dv = fV (v) dv + fV (v) dv = 0dv + 20v (1 - v)3 dv =
2
-" -" 0 -" 0
1
2 1

2

1 3 1
= 0 + 20 v - 3v2 + 3v3 - v4 dv = 20 v2 - v3 + v4 - v5 =
2 4 5
0
0

2 3 4 5
1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 13
= 20 - + - - 02 - 03 + 04 - 05 = = 0, 8125
2 2 2 4 2 5 2 2 4 5 16
59
11
11.1
Wśród wyrobów produkowanych na nowej maszynie wystepuje 20% sztuk wadliwych. W losowaniu nie-

zależnym wylosowano 100 sztuk wyprodukowanych na tej maszynie. Obliczyć E (X) i V (X) wiedzac, że

zmienna losowa ma rozk dwumianowy, a także obliczyć prawdopodobieństwo, że w próbie znajdzie sie
lad

dok k = 22 sztuk wadliwych.
ladnie
11.1.1 E (X)
Z w rozk dwumianowego
lasności ladu
20
E (X) = np = 100 = 20
100
11.1.2 V (X)
Z w rozk dwumianowego
lasności ladu

20 20
V (X) = np (1 - p) = 100 1 - = 16
100 100
11.1.3 P (X = k)
Z lokalnego twierdzenia Moivre a-Laplace a
2
20
22-100
( )
100
-
(k-np)2
1 1 1 1 20 20
2·100 1- )
(
2np(1-p) 100 100
P (X = k) H" " e- = " e H" 0, 09

20 20
np (1 - p) 2Ä„ 2Ä„
100 1 -
100 100
11.2
Lańcuch rolkowy sk sie z n = 43 ogniw. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że montujac taki lańcuch
lada

z ogniw o wymiarze k = 19, 06+0,05 [mm] otrzymamy d ca lańcucha L = 820+0,78 [mm] (przewi-
lugość lego
-0,04 -0,85
dziana norma).

11.2.1 Wartość oczekiwana d ogniwa
lugości
Z prawa trzech sigm

(19, 06 + 0, 05) + (19, 06 - 0, 04)
µ H" = 19, 065
2
11.2.2 Odchylenie standardowe d ogniwa
lugości
Z prawa trzech sigm

(19, 06 + 0, 05) - (19, 06 - 0, 04)
à H" = 0, 015
6
11.2.3 Prawdopodobieństwo
Z twierdzenia Lindeberg a-Levy ego szukane prawdopodobieństwo przybliżyć można przez


n

2 - nµ 1 - nµ
P 1 < Xi < 2 H" Åš " - Åš " .
à n à n
i=1
Zatem

43 43

P 820 - 0, 85 < Xi < 820 + 0, 78 = P 819, 15 < Xi < 820, 78 H"
i=1 i=1

820, 78 - 43 · 19, 065 819, 15 - 43 · 19, 065
H" Åš " - Åš " H" Åš (11) - Åš (-7) =
0, 015 43 0, 015 43
H" Åš (11) + Åš (7) H" 0, 5 + 0, 5 = 1
60
11.3
Znane jest prawdopodobieństwo tego, że obrabiany przedmiot bedzie mia wymiar poza polem tolerancji
l

p = 0, 05. Mamy partie przedmiotów z z n = 400 sztuk. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że w
lożona

partii znajduje sie co najwyżej 30 sztuk wadliwych.

11.3.1 Prawdopodobieństwo
Z integralne twierdzenia graniczne Moivre a-Laplace a szukane prawdopodobieństwo przybliżyć można
przez

n

x2 - np x1 - np
P x1 d" Xi d" x2 H" Åš - Åš .
np (1 - p) np (1 - p)
i=1
Zatem

400

30 - 400 · 0, 05 0 - 400 · 0, 05
P 0 d" Xi d" 30 H" Åš - Åš H"
400 · 0, 05 (1 - 0, 05) 400 · 0, 05 (1 - 0, 05)
i=1
H" Åš (2, 3) - Åš (-5) = Åš (2, 3) + Åš (5) H" 0, 4893 + 0, 4999997 H" 0, 99
11.4
Prawdopodobieństwo otrzymania wadliwego odlewu wynosi p = 0, 02. Wykonano serie liczaca n = 5000

odlewów. Oszacować prawdopodobieństwo, że wadliwość tej serii nie bedzie różni sie od p o wiecej niż
la

0, 005.
11.4.1 Prawdopodobieństwo.
Z prawa wielkich liczb Bernoulliego szukane prawdopodobieństwo przybliżyć można przez



x
n
P - p < H" 2Åš .

n p (1 - p)
Zatem


x
5000
P - 0, 02 < 0, 005 H" 2Åš 0, 005 H" 2Åš (2, 6) H" 0, 99

5000 0, 02 (1 - 0, 02)
11.5
Obliczyć, ilu dokonać trzeba pomiarow pewnej wielkości, aby z prawdopodobieństwem wiekszym od 0, 95

można by spodziewać sie, że średnia arytmetyczna otrzymanych wynikow różni sie od wartości oczeki-
lo

wanej o mniej niż 0, 1. Zak że znana jest wariancja pomiarow V (X) = 0, 002.
ladamy,
11.5.1 Liczba pomiarów
Z nierówności Czebyszewa szukana liczbe wyznaczyć można przez

V (X)
P (|X - µ| < ) > 1 - .
n 2
Zatem
V (X)
p = 1 -
n 2
V (X)
= 1 - p
n 2
V (X) 0, 002
n = = = 4
2 (1 - p) 0, 12 (1 - 0, 95)
czyli liczba pomiarów musi być wieksza niż 4.

61
11.6
Pewne zdarzenie wystapi x razy w serii m powtórzeń. Wiadomo, że prawdopodobieństwo wystapienia
lo

tego zdarzenia przy każdym pojedynczym powtórzeniu jest takie samo i równe p, lecz p nie jest znane.
Obliczyć p dla m = 16 i x = 5 metoda najwiekszej wiarygodności.

11.6.1 Rozk prawdopodobieństwa
lad
Skoro rozpatrujemy serie doświadczeń i za każdym razem prawdopodobieństwo jest to samo, to zdarzenie

ma rozk dwumianowy, czyli
lad

m
P (X = x) = px (1 - p)m-x
x
11.6.2 Funkcja wiarygodności

m
L (x; p) = P (X = x) = px (1 - p)m-x
x

m m
ln L (x; p) = ln P (X = x) = ln + ln px + ln (1 - p)m-x = ln + x ln p + (m - x) ln (1 - p)
x x
11.6.3 Maksimum funkcji wiarygodności
Maksimum funkcja wiarygodności osiaga (przy odpowiednich spe lożeniach) w tym samym
lnionych za

punkcie, co funkcja ln L, zatem

" " m
ln L (x; p) = ln + x ln p + (m - x) ln (1 - p) =
"p "p x

" m " " x m - x x (1 - p) (m - x) p
= ln + x ln p + (m - x) ln (1 - p) = 0 + + - = - =
"p x "p "p p 1 - p p (1 - p) p (1 - p)
x - mp
=
p (1 - p)
Oczywiście
"
ln L (x; p) = 0
"p
x - mp
Ć
= 0
p - p)
Ć(1 Ć
x - mp = 0
Ć
x
p =
Ć
m
"
ponadto w punkcie tym ln L (x; p) zmienia znak z + na -, wiec jest w nim maksimum funkcji ln L, a co
"p
za tym idzie i funkcji L.
11.6.4 p
Ć
x 5
p = = = 0, 3125
Ć
m 16
11.7
Za pomoca metody najwiekszej wiarygodności wyznaczyć estymator parametru p rozk populacji
ladu

ogólnej o funkcji prawdopodobieństwa

m
P (x; p) = px (1 - p)m-x , x = 1, 2, · · · , m.
x
Wyznaczyć estymator parametru p dla próby n-elementowej.
62
11.7.1 Funkcja wiarygodności

n n

m
i
i
L (x1; . . . ; xn; p) = P (X = xi) = px (1 - p)m-x
xi
i=1 i=1

n n

m
i
i
ln L (x1; . . . ; xn; p) = ln P (X = xi) = ln + ln px + ln (1 - p)m-x =
xi
i=1 i=1

n

m
= ln + xi ln p + (m - xi) ln (1 - p)
xi
i=1
11.7.2 Maksimum funkcji wiarygodności
Maksimum funkcja wiarygodności osiaga (przy odpowiednich za
lożeniach) w tym samym punkcie, co

funkcja ln L, zatem

n

" " m
ln L (x1; . . . ; xn; p) = ln + xi ln p + (m - xi) ln (1 - p) =
"p "p xi
i=1

n n

" m " " xi m - xi
= ln + xi ln p + (m - xi) ln (1 - p) = 0 + + - =
"p xi "p "p p 1 - p
i=1 i=1
n

xi - nmp
n n

xi (1 - p) (m - xi) p xi - mp
i=1
= - = =
p (1 - p) p (1 - p) p (1 - p) p (1 - p)
i=1 i=1
Oczywiście
"
ln L (x1; . . . ; xn; p) = 0
"p
n

xi - nmp
Ć
i=1
= 0
p - p)
Ć(1 Ć
n

xi - nmp = 0
Ć
i=1
n n

xi xi
Å»
1 1 X
i=1 i=1
Å»
p = = = X =
Ć
nm m n m m
"
ponadto w punkcie tym ln L (x1; . . . ; xn; p) zmienia znak z + na -, wiec jest w nim maksimum funkcji
"p
ln L, a co za tym idzie i funkcji L.
11.8
Populacja ogólna ma rozk normalny N (µ; Ã). Na podstawie próby n-elementowej ocenić oba parametry
lad
µ i à metoda najwiekszej wiarygodnoÅ›ci.

11.8.1 Funkcja wiarygodności
n n
xi-µ xi-µ
( )2 ( )2
1 1 1
L (x1; . . . ; xn; µ; Ã) = " e- 2Ã2
= " e- 2Ã2
Ã
2Ä„Ã 2Ä„
i=1 i=1

n n
xi-µ xi-µ
( )2 ( )2
1 1 1 1
" =
ln L (x1; . . . ; xn; µ; Ã) = ln " e- 2Ã2
= ln + ln + ln e- 2Ã2
à Ã
2Ä„ 2Ä„
i=1 i=1

n

1 (xi - µ)2
"
= ln - ln à -
2Ã2
2Ä„
i=1
63
11.8.2 Maksimum funkcji wiarygodności
Maksimum funkcja wiarygodności osiaga (przy odpowiednich za
lożeniach) w tym samym punkcie, co

funkcja ln L, zatem

n

" " 1 (xi - µ)2
"
ln L (x1; . . . ; xn; µ; Ã) = ln - ln à - =
"µ "µ 2Ã2
2Ä„
i=1


n n

" 1 " " (xi - µ)2 n -2 (xi - µ) xi - µ
"
= ln - ln à - = 0 - 0 - = =
"µ "µ "µ 2Ã2 2Ã2 Ã2
2Ä„
i=1 i=1 i=1
n

xi - nµ
i=1
=
Ã2

n

" " 1 (xi - µ)2
"
ln L (x1; . . . ; xn; µ; Ã) = ln - ln à - =
"Ã "Ã 2Ã2
2Ä„
i=1

n

" 1 " " (xi - µ)2 n 1 (xi - µ)2
"
= ln - ln à - = 0 - + =
"Ã "Ã "Ã 2Ã2 Ã Ã3
2Ä„
i=1 i=1
n


nÃ2 - (xi - µ)2
n n

Ã2 (xi - µ)2 Ã2 - (xi - µ)2
i=1
= - + = - = -
Ã3 Ã3 Ã3 Ã3
i=1 i=1
Oczywiście

"
ln L (x1; . . . ; xn; µ; Ã) = 0
"µ
"
ln L (x1; . . . ; xn; µ; Ã) = 0
"Ã
Å„Å‚
n
ôÅ‚
xi-nµ
Ć
ôÅ‚
òÅ‚
i=1
= 0
Ã2
Ć
n
ôÅ‚
nÃ2- (xi-µ)2
Ć Ć
ôÅ‚
ół
i=1
- = 0
Ã3
Ć
Å„Å‚
n

ôÅ‚
ôÅ‚
xi - nµ = 0
Ć
òÅ‚
i=1
n

ôÅ‚
ôÅ‚
-nÃ2 + (xi - µ)2 = 0
Ć Ć
ół
i=1
Å„Å‚
n
ôÅ‚
xi
ôÅ‚
òÅ‚
i=1
µ =
Ć
n
n
ôÅ‚
(xi-µ)2
Ć
ôÅ‚
ół
i=1
Ã2 =
Ć
n
Å„Å‚
Å»
µ = X
Ć
ôÅ‚
òÅ‚

n
2
Å»
xi-X
( )
ôÅ‚
i=1
ół
à =
Ć
n
" "
ponadto w punktach tych odpowiednio ln L (x1; . . . ; xn; µ; Ã) i ln L (x1; . . . ; xn; µ; Ã) zmieniaja znak
"µ "Ã
z + na -, wiec jest w nich maksimum funkcji ln L, a co za tym idzie i funkcji L.

11.9
Różnica wskazań dowolnych dwóch przyrzadów pomiarowych z pewnej serii tych przyrzadów jest zmienna

losowa o rozk jednostajnym w przedziale (Ń1; Ń2). Na podstawie próby ocenić metoda momentów
ladzie
Ć Ć
parametry Ń1 i Ń2 oraz wyznaczy ich estymatory Ń1 i Ń2.
64
11.9.1 Rozk jednostajny
lad
Dla rozk jednostajnego na odcinku (a; b) zmiennej losowej X zachodzi
ladu
a + b
E (X) =
2

b - a
V (X) = "
2 3
11.9.2 Estymatory

Ć Ć
Ń1+Ń2
Å»
X =
2
"
Ć Ć
Ń2-Ń1
"
S2 =
2 3

Ż Ć Ć
2X = Ń1 + Ń2
" "
Ć Ć
2 3 S2 = Ń2 - Ń1


" "
Ż Ć Ć Ć Ć
2X + 2 3 S2 = Ń1 + Ń2 + Ń2 - Ń1
" "
Ć Ć
2 3 S2 = Ń2 - Ń1
" "
Ć Ż
" "Ń2 = X + 3 S2
Ć Ć
2 3 S2 = Ń2 - Ń1
" "
Ć Ż 2
Ń2 = X +
"S
"3
Ć Ż
Ń1 = X - 3 S2
11.10
Dokonano pomiaru średnic n = 5 wa produkowanych automatycznie. Średnia arytmetyczna po-
lków
Å»
mierzonych średnic wynios X = 25 [mm]. Wiadomo, e à = 0, 5 [mm] i rozk prawdopodobieństwa
la lad
średnic jest normalny. Obliczyć końce 95% przedzia ufności. Obliczenia wykonać także dla n = 36
lu
i 1 - Ä… = 0, 9; 0, 99; 0, 999.
11.10.1 Ä…
1 - Ä…1 = 0, 9
Ä…1 = 0, 1
Ä…1
= 0, 05
2
Ä…1
1 - = 1 - 0, 05
2
Ä…1
1 - = 0, 95
2
1 - Ä…2 = 0, 95
Ä…2 = 0, 05
Ä…2
= 0, 025
2
Ä…2
1 - = 1 - 0, 025
2
Ä…2
1 - = 0, 975
2
1 - Ä…3 = 0, 99
Ä…3 = 0, 01
Ä…3
= 0, 005
2
Ä…3
1 - = 1 - 0, 005
2
65
Ä…3
1 - = 0, 995
2
1 - Ä…4 = 0, 999
Ä…4 = 0, 001
Ä…4
= 0, 0005
2
Ä…4
1 - = 1 - 0, 0005
2
Ä…4
1 - = 0, 9995
2
11.10.2 Przedzia ufności
ly
Dla danych z zadania przedzia ufności dla oczekiwanej d wa dany jest wzorem
l lugości lka

à à à Ã
Å» Å» Å» Å»
X +  Ä… " ; X + 1- Ä… " = X - 1- Ä… " ; X + 1- Ä… " ,
2 2 2 2
n n n n
gdzie  to odpowiedni kwantyl standardowego rozk normalnego. Zatem
ladu
Dla Ä…1

0, 5 0, 5 0, 5 0, 5
" " " "
25 - 0,95 ; 25 + 0,95 H" 25 - 1, 645 ; 25 + 1, 645 H" (24, 63; 25, 37)
5 5 5 5
Dla Ä…2

0, 5 0, 5 0, 5 0, 5
" " " "
25 - 0,975 ; 25 + 0,975 H" 25 - 1, 960 ; 25 + 1, 960 H" (24, 56; 25, 44)
5 5 5 5
Dla Ä…3

0, 5 0, 5 0, 5 0, 5
" " " "
25 - 0,995 ; 25 + 0,995 H" 25 - 2, 576 ; 25 + 2, 576 H" (24, 42; 25, 58)
5 5 5 5
Dla Ä…4

0, 5 0, 5 0, 5 0, 5
" " " "
25 - 0,9995 ; 25 + 0,9995 H" 25 - 3, 291 ; 25 + 3, 291 H" (23, 53; 26, 47)
5 5 5 5
11.11
Przy warunkach z zadania 10 oraz danych n = 30 wa zak że estymatorem jest mediana
lków ladamy,
Xm = 25. Ocenić końce 95% przedzia ufności.
lu
11.11.1 Ä…
1 - Ä… = 0, 95
Ä… = 0, 05
Ä…
= 0, 025
2
Ä…
1 - = 1 - 0, 025
2
Ä…
1 - = 0, 975
2
66
11.11.2 Przedzia ufności
ly
Dla danych z zadania przedzia ufności dla oczekiwanej d wa dany jest wzorem
l lugości lka

Ä„ Ä„ Ä„ Ä„
Xm +  Ä… Ã; Xm + 1- Ä… Ã = Xm - 1- Ä… Ã; Xm + 1- Ä… Ã =
2 2 2 2
2n 2n 2n 2n


Ä„ Ä„
= 25 - 0,975 0, 5; 25 + 0,975 0, 5 H"
2 · 30 2 · 30


Ä„ Ä„
H" 25 - 1, 960 0, 5; 25 + 1, 960 0, 5 H" (24, 78; 25, 22)
2 · 30 2 · 30
gdzie  to odpowiedni kwantyl standardowego rozk normalnego. Zatem
ladu
11.12
Przy niezmienionych pozosta danych z zadania 10 przyjmujemy, że à nie jest znane, a jego ocena jest
lych
wartość S równa s = 0, 5 [mm]. Znalez
ć końce przedzia ufności.
lu
11.12.1 Ä…
1 - Ä…1 = 0, 9
Ä…1 = 0, 1
Ä…1
= 0, 05
2
Ä…1
1 - = 1 - 0, 05
2
Ä…1
1 - = 0, 95
2
1 - Ä…2 = 0, 95
Ä…2 = 0, 05
Ä…2
= 0, 025
2
Ä…2
1 - = 1 - 0, 025
2
Ä…2
1 - = 0, 975
2
1 - Ä…3 = 0, 99
Ä…3 = 0, 01
Ä…3
= 0, 005
2
Ä…3
1 - = 1 - 0, 005
2
Ä…3
1 - = 0, 995
2
1 - Ä…4 = 0, 999
Ä…4 = 0, 001
Ä…4
= 0, 0005
2
Ä…4
1 - = 1 - 0, 0005
2
Ä…4
1 - = 0, 9995
2
67
11.12.2 Przedzia ufności
ly
Dla danych z zadania przedzia ufności dla oczekiwanej d wa dany jest wzorem
l lugości lka

S S S S
Å» Å» Å» Å»
X + t Ä… " ; X + t1- Ä… " = X - t1- Ä… " ; X + t1- Ä… "
2 2 2 2
n - 1 n - 1 n - 1 n - 1
gdzie t to odpowiedni kwantyl rozk Studenta o n - 1 = 4 stopniach swobody. Zatem
ladu
Dla Ä…1

S S 0, 5 0, 5
Å» Å»
"
X - t1- Ä… " ; X + t1- Ä… " = 25 - t0,95 ; 25 + t0,95 " H"
2 2
n - 1 n - 1 5 - 1 5 - 1

1 1
H" 25 - 1, 645 ; 25 + 1, 645 H" (24, 59; 25, 41)
4 4
Dla Ä…2

S S 0, 5 0, 5
Å» Å»
"
X - t1- Ä… " ; X + t1- Ä… " = 25 - t0,975 ; 25 + t0,975 " H"
2 2
n - 1 n - 1 5 - 1 5 - 1

1 1
H" 25 - 1, 960 ; 25 + 1, 960 = (24, 51; 25, 49)
4 4
Dla Ä…3

S S 0, 5 0, 5
Å» Å»
"
X - t1- Ä… " ; X + t1- Ä… " = 25 - t0,995 ; 25 + t0,995 " H"
2 2
n - 1 n - 1 5 - 1 5 - 1

1 1
H" 25 - 2, 576 ; 25 + 2, 576 H" (24, 36; 25, 64)
4 4
Dla Ä…4

S S 0, 5 0, 5
Å» Å»
"
X - t1- Ä… " ; X + t1- Ä… " = 25 - t0,9995 ; 25 + t0,9995 " H"
2 2
n - 1 n - 1 5 - 1 5 - 1

1 1
H" 25 - 3, 291 ; 25 + 3, 291 H" (24, 18; 25, 82)
4 4
11.13
W celu sprawdzenia dok wskazań przyrzadu pomiarowego dokonano n = 15 pomiarów i otrzymano
ladności

kwadrat średniego kwadratowego odchylenia s2 = 10. Wyznaczyć końce 95% przedzia ufności wariancji
lu
i odchylenia standardowego. Obliczenia wykonać także dla n = 100.
11.13.1 Ä…
1 - Ä… = 0, 95
Ä… = 0, 05
Ä…
= 0, 025
2
Ä…
1 - = 1 - 0, 025
2
Ä…
1 - = 0, 975
2
68
11.13.2 Przedzia ufności
ly
Dla danych z zadania przedzia ufności dla wariancji wskazań dany jest wzorem
l

nS2 nS2
; ,
Ç1- Ä… ÇÄ…
2 2
gdzie Ç to odpowiedni kwantyl rozk Ç o n - 1 stopniach swobody.
ladu
Dla danych z zadania przedzia ufności dla odchylenia standardowego wskazań dany jest wzorem
l


n n
S; S ,
Ç1- Ä… Ç Ä…
2 2
gdzie Ç to odpowiedni kwantyl rozk Ç o n - 1 stopniach swobody.
ladu
Dla n = 15

nS2 nS2 15 · 10 15 · 10 150 150
; = ; H" ; H" (5, 74; 26, 64)
Ç1- Ä… ÇÄ… Ç0,975 Ç0,025 26, 12 5, 63
2 2




" "
n n 15 15 150 150
S; S = 10; 10 H" ; = (2, 40; 5, 16)
Ç1- Ä… Ç Ä…
Ç0,975 Ç0,025 26, 12 5, 63
2 2
Dla n = 100

nS2 nS2 100 · 10 100 · 10 1000 1000
; = ; H" ; H" (7, 72; 13, 48)
Ç1- Ä… ÇÄ…
Ç0,975 Ç0,025 129, 6 74, 2
2 2




" "
n n 100 100 1000 1000
S; S = 10; 10 H" ; = (2, 78; 3, 67)
Ç1- Ä… Ç Ä…
Ç0,975 Ç0,025 129, 6 74, 2
2 2
11.14
Dla danych z zadania 13 i n = 100 korzystajac z asymptotycznej w statystyki S obliczyć przedzia
lasności l

ufnoÅ›ci parametru Ã2.
11.14.1 Ä…
1 - Ä… = 0, 95
Ä… = 0, 05
Ä…
= 0, 025
2
Ä…
1 - = 1 - 0, 025
2
Ä…
1 - = 0, 975
2
11.14.2 Przedzia ufności
ly
Dla danych z zadania przy dużym n przedzia ufności dla wariancji wskazań dany jest wzorem
l

" " " "
S 2n S 2n S 2n S 2n
" ; " = " ; " =
2n -  Ä… 2n +  Ä…
2n + 1- Ä… 2n + Ä…
2 2 2 2

" " " " " " " "
10 2 · 100 10 2 · 100 10 200 10 200
= " ; " H" " ; " H" (2, 78; 3, 6)
2 · 100 + 0,975 2 · 100 + 0,975 200 + 1, 960 200 - 1, 960
gdzie  to odpowiedni kwantyl standardowego rozk normalnego. Zatem
ladu
69
12
12.1
Obliczyć, jaka powinna być liczność n próby, aby na poziomie 0, 99 można by oszacować nieznany,
lo
oczekiwany czas zdatności lamp elektronowych z dok lad
ladnościa do d = 10 [h] wiedzac, że rozk czasu

zdatnoÅ›ci jest normalny N (µ; Ã) i à = 40 [h].
12.1.1 Ä…
1 - Ä… = 0, 99
Ä… = 0, 01
Ä…
= 0, 005
2
Ä…
1 - = 1 - 0, 005
2
Ä…
1 - = 0, 995
2
12.1.2 Przedzia ufności
l
Dla danych z zadania przedzia ufności dla oczekiwanego czasu zdatności lampy elektronowej dany jest
l
wzorem

à à à Ã
Å» Å» Å» Å»
X +  Ä… " ; X + 1- Ä… " = X - 1- Ä… " ; X + 1- Ä… " ,
2 2 2 2
n n n n
gdzie  to odpowiedni kwantyl standardowego rozk normalnego. D przedzia wynosi zaÅ›
ladu lugość lu

à à Ã
Å» Å»
X + 1- Ä… " - X - 1- Ä… " = 21- Ä… "
2 2 2
n n n
12.1.3 n
Ã
2d e" 21- Ä… "
2
n
2
1- Ä… Ã
2
n e"
d
2
0,99540
n e" H" (4 · 2, 575)2 = 106, 09
10
czyli
n e" 107
12.2
Dokonano pomiaru średnic n = 5 wa produkowanych automatycznie. Rozk średnic wa jest
lków lad lków
normalny. Średnia arytmetyczna pomierzonych średnic wynios x = 23 [mm]. Wyznaczyć 95% przedzia
la Å» l
tolerancji obejmujacy 90% jednostek populacji, jeżli wiadomo, że ocena nieznanego à jest wartość S równa

s = 0, 5 [mm].
12.2.1 Ä…
1 - Ä… = 0, 95
Ä… = 0, 05
Ä…
= 0, 025
2
Ä…
1 - = 1 - 0, 025
2
Ä…
1 - = 0, 975
2
70
12.2.2 Przedzia tolerancji
l
Dla danych z zadania przedzia tolerancji dla d wa dany jest wzorem
l lugości lka

n n
Å» Å»
X - K (n; p; Å‚) S; X + K (n; p; Å‚) S =
n - 1 n - 1


5 5
= 23 - K (5; 0, 90; 0, 95) 0, 5; 23 + K (5; 0, 90; 0, 95) 0, 5 =
5 - 1 5 - 1


= 23 - 4, 275 1, 250, 5; 23 + 4, 275 1, 250, 5 = (20, 61; 25, 39)
12.3
Obliczyć minimalna liczność próby, aby na poziomie 0, 99 można by oszacować nieznany, oczekiwany
lo
czas zdatności lamp elektronowych z dok
ladnościa do d = 20 [h], jeżeli standardowe odchylenie z populacji
à nie jest znane, lecz ze wstepnej próby o licznoÅ›ci n0 = 10 otrzymaliÅ›my ocene satatystyki S rowna

s = 40 [h]. Ile lamp należy jeszcze wylosować?
12.3.1 Ä…
1 - Ä… = 0, 99
Ä… = 0, 01
Ä…
= 0, 005
2
Ä…
1 - = 1 - 0, 005
2
Ä…
1 - = 0, 995
2
12.3.2 Przedzia ufności
l
Dla danych z zadania przedzia ufności dla oczekiwanego czasu zdatności lampy elektronowej dany jest
l
wzorem

S S S S
Å» Å» Å» Å»
X + t Ä… " ; X + t1- Ä… " = X - t1- Ä… " ; X + t1- Ä… " ,
2 2 2 2
n - 1 n - 1 n - 1 n - 1
gdzie t to odpowiedni kwantyl rozk Studenta o n - 1 stopniach swobody. D przedzia wynosi
ladu lugość lu
zaÅ›

S S S
Å» Å»
X + t1- Ä… " - X - t1- Ä… " = 2t1- Ä… "
2 2 2
n - 1 n - 1 n - 1
12.3.3 Próba pilotażowa
Gdy nie jest znana wartość Ã badanego rozk to wykonuje sie próbe pilotażowa polegajaca na
ladu,


wybraniu próbki o ma liczości n0, a nastepnie obliczenie dla niej statystyki
lej



n0


1

S = (xi - x)2.
Å»
n0 i=1
Wtedy też trzeba wszystkie kwantyle i inne parametry (nie zadane z góry) uzyskać dla próby pilotażowej.
71
12.3.4 n
S
2d e" 2t1- Ä… "
2
n - 1
2
t1- Ä… S
2
n e" 1 +
d
2
t0,99540
n e" 1 + H" 1 + (2 · 3, 25)2 = 43, 25
20
czyli
n e" 44
co po uwzglednieniu, że wylosowanych zosta już n0 lamp do próby pilotażowej daje
lo

n e" 34
12.4
Niech zmienna losowa X ma rozk normalny N (µ; 2) z nieznana µ i znana Ã. Na podstawie n ele-
lad
mentowej próbki weryfikujemy hipoteze H: µ = µ0. W celu zweryfikowania tej hipotezy, że w populacji

o rozk normalnym wartość oczekiwana µ = 10, wobec hipotezy alternatywnej: µ = 10 pobrano
ladzie
próbke o liczności n = 100. Otrzymano średnia x = 9, 2. Czy wynik ten przeczy na poziomie istotności
Å»

0, 01 weryfikowanej hipotezie?
12.4.1 Hipotezy
H0 : µ = µ0 = 10
H1 : µ = µ0 = 10

12.4.2 Statystyka
Dla tak dobranych hipotez statystyka jest
Å»
"
X - µ0
n
Ã
12.4.3 Ä…
Ä… = 0, 01
Ä…
= 0, 005
2
Ä…
1 - = 1 - 0, 005
2
Ä…
1 - = 0, 995
2
12.4.4 Obszar krytyczny
Dla tak dobranych hipotez

RÄ… = -";  Ä… *" 1- Ä… ; " = -"; -1- Ä… *" 1- Ä… ; " = (-"; -0,995) *" (0,995; ") =
2 2 2 2
= (-"; -2, 576) *" (2, 576; ") ,
gdzie  to kwantyle standardowego rozk normalnego.
ladu
12.4.5 Weryfikacja
Ponieważ statystyka
Å»
"
"
X - µ0 9, 2 - 10
n = 100 = -4 " RÄ…,
à 2
to hipoteze H0 należy odrzucić wobec alternatywnej hipotezy H1.

72
12.5
Dla danych jak w zadaniu 4 rozpatrzyć weryfikacje hipotezy µ = 10, wobec hipotezy alternatywnej µ < 10.

12.5.1 Hipotezy
H0 : µ = µ0 = 10
H1 : µ < µ0 = 10
12.5.2 Statystyka
Dla tak dobranych hipotez statystyka jest
Å»
"
X - µ0
n
Ã
Ma ona standardowy rozk normalny.
lad
12.5.3 Ä…
Ä… = 0, 01
1 - Ä… = 1 - 0, 01
1 - Ä… = 0, 99
12.5.4 Obszar krytyczny
Dla tak dobranych hipotez
RÄ… = (-"; Ä…) = (-"; -1-Ä…) = (-"; 0,99) = (-"; -2, 326) ,
gdzie  to kwantyle standardowego rozk normalnego.
ladu
12.5.5 Weryfikacja
Ponieważ statystyka
Å»
"
"
X - µ0 9, 2 - 10
n = 100 = -4 " RÄ…,
à 2
to hipoteze H0 należy odrzucić wobec alternatywnej hipotezy H1.

12.6
W próbce o liczności n = 10, pochodzacej z populacji o rozk normalnym z nieznanymi parametrami
ladzie

µ i Ã, obliczono x = -0, 2 i s = 0, 6. Czy wynik ten przeczy na poziomie istotnoÅ›ci Ä… = 0, 05 hipotezie
Å»
µ = 0, 2? Hipoteza alternatywna µ = 0, 2.

12.6.1 Hipotezy
H0 : µ = µ0 = 0, 2
H1 : µ = µ0 = 0, 2

12.6.2 Statystyka
Dla tak dobranych hipotez statystyka jest
Å»
X - µ0 "
n - 1
S
Ma ona rozk Studenta o n - 1 stopniach swobody.
lad
73
12.6.3 Ä…
Ä… = 0, 05
Ä…
= 0, 025
2
Ä…
1 - = 1 - 0, 025
2
Ä…
1 - = 0, 975
2
12.6.4 Obszar krytyczny
Dla tak dobranych hipotez

RÄ… = -"; t Ä… *" t1- Ä… ; " = -"; -t1- Ä… *" t1- Ä… ; " = (-"; -t0,975) *" (t0,975; ") =
2 2 2 2
= (-"; -2, 262) *" (2, 262; ") ,
gdzie t to kwantyle rozk Studenta o n - 1 = 9 stopniach swobody.
lad
12.6.5 Weryfikacja
Ponieważ statystyka
Å»
"
X - µ0 " -0, 2 - 0, 2
n - 1 = 10 - 1 = -2 " RÄ…,
/
S 0, 6
to nie ma podstaw do odrzucenia hipoteze H0 wobec alternatywnej hipotezy H1.

12.7
Wysunieto hipoteze, że muzyka przy warsztatach pracy zwieksza wydajność pracy zatrudnionych na pew-

nym stanowisku roboczym. W celu sprawdzenia tej hipotezy wylosowano grupe 8 robotników i zmierzono

im wydajność pracy przed i po umieszczeniu przy ich stanowiskach g
lośników, z których nadawano cicho
muzyke rozrywkowa. Wyniki (liczba sztuk na godzine) przed zainstalowaniem g ly
lośników by nastepujace:

35, 20, 40, 30, 38, 42, 30, 22, a po zainstalowaniu g ladajac,
lośników: 36, 24, 52, 46, 44, 50, 40, 48. Zak że

wydajność pracy ma rozk normalny, zweryfikować na poziomie istotności 0, 05 hipoteze, że wydajność
lad

pracy przy muzyce wzrasta.
12.7.1 Hipotezy
H0 : Z = X - Y = 0
H1 : Z = X - Y < 0,
gdzie X to wyniki przed w aczeniem muzyki, a Y to wyniki po w aczeniu muzyki.
l l

12.7.2 Statystyka
Dla tak dobranych hipotez statystyka jest
"
Z
n - 1
SZ
Ma ona rozk Studenta o n - 1 stopniach swobody.
lad
12.7.3 Ä…
Ä… = 0, 05
1 - Ä… = 1 - 0, 05
1 - Ä… = 0, 95
74
12.7.4 Obszar krytyczny
Dla tak dobranych hipotez
RÄ… = (-"; tÄ…) = (-"; -t1-Ä…) = (-"; -t0,95) = (-"; -1, 895) ,
gdzie t to kwantyle rozk Studenta o n - 1 = 7 stopniach swobody.
lad
12.7.5 Weryfikacja
n = 8
z1 = x1 - y1 = 35 - 36 = -1
z2 = x2 - y2 = 20 - 24 = -4
z3 = x3 - y3 = 40 - 52 = -12
z4 = x4 - y4 = 30 - 46 = -16
z5 = x5 - y5 = 38 - 44 = -6
z6 = x6 - y6 = 42 - 50 = -8
z7 = x7 - y7 = 30 - 40 = -10
z8 = x8 - y8 = 32 - 48 = -26
n

zi
i=1
z = = -10, 375
Å»
n
n


Å» 2
zi - Z
i=1
s2 = H" 53, 98
Z
n

n



Å» 2
zi - Z

i=1
sZ = H" 7, 35
n
Ponieważ statystyka
" "
z -10, 375
Å»
n - 1 = 8 - 1 H" -3, 73 " RÄ…,
sz 7, 35
to hipoteze H0 należy odrzucić wobec alternatywnej hipotezy H1, a co za tym idzie muzyka powoduje

wzrost wydajności pracy.
75