Procesy stochastyczne
4. Zbieżność martyngałów
Ćw. 4.1 (Urna Pólya ego) Wykaż, że martyngał {Mn} określony w ćw. 2.4 jest zbieżny prawie
wszędzie i wyznacz EM".
Ćw. 4.2 (B. M. P., Ex. 3.4 p. 34) Niech (&!, F, {Fn}n 0, P ) będzie przestrzenią z filtracją. Roz-
ważmy martyngał {(Mn, Fn)} taki, że dla każdego n 0 mamy |Mn| K (K 0). Niech
n

1
Xn = (Mk - Mk-1)
k
k=1
dla n 1. Udowodnij, że {(Xn, Fn)}n 1 jest martyngałem zbieżnym prawie wszędzie i w L1.
Ćw. 4.3 (B. M. P., Ex. 3.7 p. 35) Niech X0, X1, X2, . . . będzie ciągiem zmiennych losowych o war-
tościach w [0, 1], Fn = �(X0, X1, . . . , Xn). Przyjmijmy, że X0 = a " [0, 1] oraz

Xn 1 + Xn
P Xn+1 = | Fn = 1 - Xn, P Xn+1 = | Fn = Xn
2 2
dla n 0.
1. Wykaż, że {Xn} jest martyngałem zbieżnym prawie wszędzie i w L2.
1
2. Udowodnij, że E(Xn+1 - Xn)2 = E(Xn(1 - Xn)).
4
3. Niech X" będzie granicą ciągu {Xn}. Oblicz E(X"(1 - X")). Jaki jest rozkład zmien-
nej X"?
Ćw. 4.4 (S. J., Zad. 1 str. 241) Niech {Un} będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych,
o jednakowym rozkładzie
1
P (Un = 1) = P (Un = -1) =
2
dla n 1. Udowodnij, że ciąg {Zn}n 1 określony wzorem
1
Zn = ea(U +...+Un)-na2/2,
gdzie a " R, jest nadmartyngałem względem filtracji Fn = �(U1, . . . , Un), n 1. Zbadaj
zbieżność tego ciągu prawie wszędzie i w L1. Wyznacz granicę tego ciągu (o ile istnieje).