Podajemy tu kilka definicji i twierdzeń (z dowodami, które w wiekszości zostana

pominiete na wykladzie ), które pozwalaja mówić o ciaglości i różniczkowalności funk-

cji wielu zmiennych. Z konieczności jest to tylko przeglad najważniejszych spośród
najbardziej podstawowych zagadnień. Definicji kuli wielowymiarowej nie podawalem

na wykladzie, ale jest ono wygodne i dosyć powszechnie stosowane, wiec je tu umiesz-
czam.
Definicja 16.1 (kuli k  wymiarowej) *

Kula otwarta o środku p i promieniu r > 0 nazywamy zbiór B(p, r) = {x "

IRk : x - p < r} , kula domknieta o środku p i promieniu r > 0  zbiór
B(p, r) = {x " IRk: x - p d" r} .

Jasne jest, że jednowymiarowa kula otwarta o środku w punkcie p " IR i pro-
mieniu r > 0 jest przedzial o środku w punkcie p i dlugości 2r . Jednowymiarowa

kula domknieta ośrodku w punkcie p i promieniu r > 0 to po prostu przedzial

domkniety o środku w punkcie p i dlugości 2r . W tym wymiarze kula domknieta

różni sie od otwartej (o tym samym środku i promieniu) jedynie dwoma punktami.

Jasne jest, że dwuwymiarowa kula otwarta o środku p " IR2 i promieniu r > 0 jest
kolo o środku p i promieniu r jednak bez punktów  brzegowych , tj. bez punktów,

których odleglość od p równa jest dokladnie r . Kula domknieta o środku p i pro-
mieniu r > 0 to kolo z  brzegiem o środku p i promieniu r . Trójwymiarowa kula

otwarta to po prostu kula bez punktów brzegowych, a kula domknieta to kula z punk-

tami brzegowymi. Widać wiec, że te nazwy motywowane sa terminologia stosowana

do przestrzeni trójwymiarowej. Mimo, że może sie komuś wydawać śmiesznym nazy-

wanie przedzialu kula, to jednak warto zaplacić taka cene za jednolita terminologie

stosowana w odniesieniu do przestrzeni różnych wymiarów, to ulatwia formulowanie
zarówno twierdzeń jak i ich dowodów.
Definicja 16.2 (zbioru otwartego w IRk )
Zbiór G nazywamy otwartym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu p " G
istnieje liczba dodatnia r taka, że B(p, r) ‚" G , czyli gdy z tego, że x - p < r
wynika, że x " G .
Jasne jest, że cala przestrzeń k  wymiarowa jest zbiorem otwartym, w tym kon-

kretnym przypadku można przyjać np. r = 1831 . Również zbiór pusty jest otwarty.

Wynika to stad, że jeśli poprzednik implikacji jest falszywy (czyli p " " ), to z tej
*angielskie slowo: ball
1

Zbieżność i ciaglość w przestrzeni wielowymiarowej, pochodne
nieprawdy już wszystko wynika w szczególności istnienie liczby r > 0 . Oczywiście

znów to rozumienie slowa wynika nie zawsze jest zgodne z potocznym, ale przyjeto
wynikanie w ten wlaśnie sposób interpretować.
Również otwarta kula k  wymiarowa w przestrzeni k  wymiarowej jest zbiorem
otwartym: jeÅ›li q " B(p, r) i = r - q - p , to B(q, ) ‚" B(p, r) , bo jeÅ›li
x - q < , to x - p d" x - q + q - p < + q - p = r .
Z ostatniego zdania wynika, że przedzial otwarty jest otwartym podzbiorem pro-
stej. Natomiast odcinek bez końców otwartym podzbiorem plaszczyzny nie jest, bo
przecież żaden jego punkt nie jest środkiem dwuwymiarowej kuli, czyli kola zawar-

tego w tym odcinku, odcinek w ogóle żadnego kola nie zawiera. Widzimy wiec, że to
czy zbiór jest otwarty, czy też nie, zależy nie tylko od samego zbioru, lecz również od
tego z jakiego punktu widzenia jest on rozpatrywany!
Czytelnik sprawdzi bez trudu, że plaszczyzna bez jednego punktu, plaszczyzna

bez skończenie wielu punktów, plaszczyzna bez skończenie wielu prostych sa otwar-
tymi podzbiorami plaszczyzny.

Trójkat otwartym podzbiorem plaszczyzny nie jest, bo żadne kolo o środku w

punkcie leżacym na boku trójkata zawarte w trójkacie nie jest. Natomiast trójkat

bez boków i wierzcholków jest zbiorem otwartym, bo każdy punkt nie leżacy na boku

trójkata jest środkiem kola zawartego w trójkacie bez boków.

Podobnie kwadrat nie jest otwartym podzbiorem plaszczyzny, ale staje sie otwar-

ty po usunieciu boków wraz z wierzcholkami.

Obszar nad parabola y = x2 , czyli zbiór takich punktów (x, y) , że y > x2
jest otwartym podzbiorem plaszczyzny. Również obszar zlożony z takich punktów
(x, y) , że y < x2 jest otwarty. Analogiczne przyklady można rozważyć w przestrzeni
trójwymiarowej, co pozostawiamy czytelnikom w charakterze prostego ćwiczenia.
Twierdzenie 16.3 (podstawowe wlasności zbiorów otwartych)
a. Suma dowolnie wielu zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym;

b. cześć wspólna skończenie wielu zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.

Dowód. Zalóżmy, że zbiory Gi sa otwarte dla każdego i " I , I oznacza tu dowolny
zbiór (być może nieskończony). Jeśli p " Gi , to oczywiście p " Gj dla pewnego
i"I

j " G . Zbiór Gj jest otwarty wiec istnieje liczba r > 0 taka, że B(p, r) ‚" Gj , ale

wobec tego również B(p, r) ‚" Gi . To koÅ„czy dowód czeÅ›ci a.
i"I

Zalóżmy teraz, że zbiory G1 , G2 ,. . . , Gn sa otwarte i niech p bedzie ich punk-
2

Zbieżność i ciaglość w przestrzeni wielowymiarowej, pochodne

tem wspólnym. Istnieja wtedy liczby r1 , r2 ,. . . , rn takie, że B(p, ri) ‚" Gi dla

i = 1, 2, . . . , n . Niech r oznacza najmniejsza z liczb r1 , r2 , . . . , rn . Oczywiście
n
r > 0 i B(p, r) ‚" B(p, ri) ‚" Gi dla i = 1, 2, . . . , n . Wobec tego B(p, r) ‚" Gi .
i=1

Wykazaliśmy wiec, że jeśli p należy do wszystkich zbiorów G1 , G2 ,. . . , Gn , to
n
pewna kula o środku w punkcie p jest zawarta w zbiorze Gi , a to oznacza, że
i=1
ten ostatni zbiór jest otwarty. Dowód zostal zakończony.
"

1
Wypada od razu zwrócić uwage na to, że {p} = B(p, ) , zatem cześć
n
n=1
wspólna nieskończenie wielu zbiorów otwartych zbiorem otwartym być nie musi!

Dowód otwartości cześci wspólnej skończonej liczby zbiorów otwartych zaczeliśmy od
wyboru najmniejszego spośród skończenie wielu promieni, w przypadku nieskończonej

ich liczby najmniejszego promienia może nie być i, co wiecej, kres dolny zbioru wszyst-
kich promieni może być równy 0, dokladnie tak, jak to ma miejsce w przykladzie,
który podaliśmy.

Twierdzenie 16.4 (zbioru domknietego w przestrzeni IRk )

Zbiór F ‚" IRk jest domkniety wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór Rk \ F jest otwarty.

Podane poprzednio przyklady zbiorów otwartych daja od razu przyklady zbiorów

domknietych: z tego, że cala przestrzeń IRk jest zbiorem otwartym wnioskujemy

natychmiast, że zbiór pusty jest domkniety. Z tego, że zbiór pusty jest otwarty

wynika, że cala przestrzeń jest zbiorem domknietym. Ponieważ kula otwarta jest

zbiorem otwartym, wiec dopelnienie kuli otwartej jest zbiorem domknietym. Zbiory

skończone sa domkniete, prosta jest podzbiorem domknietym plaszczyzny, przestrzeni
trójwymiarowej.

Jasne jest też, że k  wymiarowa kula domknieta jest podzbiorem domknietym
przestrzeni IRk . To stwierdzenie uzasadnimy. Niech q " B(p, r) , tzn. q - p > r .
/
Niech = q - p - r . Oczywiście > 0 . Zalóżmy, że x " B(q, ) . Oznacza to, że

x - q < = q - p - r . Stad wynika, że r < q - p - x - q d" x - p , co

oznacza, że x " B(p, r) , a wiec B(q, ) )" B(p, r) = " . Wykazaliśmy wiec, że kula
/
B(q, ) jest zawarta w dopelnieniu kuli B(p, r) , a ponieważ q oznacza tu dowolny

punkt dopelnienia kuli B(p, r) , wiec dopelnienie to jest otwarte, zatem sama kula

B(p, r) jest zbiorem domknietym w IRk .
3

Zbieżność i ciaglość w przestrzeni wielowymiarowej, pochodne

Twierdzenie 16.5 (podstawowe wlasności zbiorów domknietych)

a. Cześć wspólna dowolnej rodziny zbiorów domknietych jest zbiorem domknietym;

b. suma skończenie wielu zbiorów domknietych jest zbiorem domknietym.
Dowód. Twierdzenie to wynika natychmiast z podobnego twierdzenia o zbiorach

otwartych i praw de Morgana: dopelnienie cześci wspólnej zbiorów {Ft}t"T jest równe
sumie dopelnień tych zbiorów, czyli zachodzi równość: IRk \ Ft = IRk \ Ft .
t"T t"T

Analogicznie IRk \ Ft = IRk \ Ft , czyli dopelnienie sumy równe jest cześci
t"T t"T
wspólnej dopelnień sumowanych zbiorów.

Zbiory otwarte maja swoja charakteryzacje  wewnetrzna  nie ma konieczności
badania dopelnienia zbioru. W podobny sposób można scharakteryzować zbioru do-

mkniete. Przyda sie nam do tego pojecie granicy ciagu punktów.

Definicja 16.6 (granicy ciagu punktów przestrzeni euklidesowej)

Ciag (pn) jest zbieżny do granicy p wtedy i tylko wtedy, gdy lim pn - p = 0 .
n"

Widać, że definicja ta różni sie od definicji ciagu liczbowego bardzo nieznacznie:

w przypadku ciagu liczbowego wystapila wartość bezwzgledna różnicy wyrazu ciagu

i granicy, w przypadku ciagu punktów przestrzeni mówimy o odleglości wyrazu ciagu
od granicy. Widać wyraz
nie, że różnica obu definicji jest bardziej kosmetyczna niż

merytoryczna  wartość bezwzgledna różnicy dwu liczb to przecież odleglość miedzy
nimi, jeśli o liczbach myślimy jak o punktach prostej.

Twierdzenie 16.7 (charakteryzujace zbiory domkniete)

Zbiór F jest domkniety wtedy i tylko wtedy, gdy z tego że punkty p1 , p2 , . . . należa
do zbioru F oraz p = lim pn wynika, że również p " F .
n"

Dowód. Zalóżmy najpierw, że zbiór F jest domkniety, czyli że zbiór IRk \ F jest

otwarty. Niech p = lim pn i niech punkty ciagu (pn) należa do zbioru F . Jeśli
n"

p " F , to ponieważ zbiór IRk \ F jest otwarty, wiec istnieje taka liczba r > 0 takie,
/

że B(p, r) ‚" IRk \F . Wobec tego w kuli B(p, r) nie ma punktów ciagu (pn) , bo one

leża w zbiorze F , a to oznacza, że dla każdej liczby naturalnej n zachodzi nierówność
pn - p e" r , wbrew temu, że lim pn - p = 0 .
n"
Zalóżmy teraz, że zbiór F spelnia warunek opisany w treści twierdzenia i nie jest

domkniety, tzn. jego dopelnienie nie jest otwarte. Istnieje wiec punkt p " IRk \F taki,
1
że żadna kula o środku p nie jest zawarta w zbiorze IRk \F . Niech pn " B(p, ))"F .
n
4

Zbieżność i ciaglość w przestrzeni wielowymiarowej, pochodne

1
Mamy wiec pn-p < , zatem lim pn-p = 0 , czyli lim pn = p i wobec tego
n
n" n"
musi też być p " F , wbrew uczynionemu zalożeniu. Dowód zostal zakończony.
Z twierdzenia tego wynika natychmiast, że np. zbiór IR2\{(0, 0)} nie jest zbiorem

1
domknietym. Mamy bowiem lim (n , 0) = (0, 0) " IR2 \ {(0, 0)} , chociaż oczywiście
/
n"
1
( , 0) " IR2 \ {(0, 0)} . W taki sam sposób można wykazać, że zbiór Q zlożony ze
n

wszystkich liczb wymiernych nie jest domknietym podzbiorem prostej: każda liczba

niewymierna jest granica ciagu liczb wymiernych. Zauważmy, że zbiór ten nie jest
również otwarty, bo również każda liczba wymierna może przedstawiona jako granica

ciagu liczb niewymiernych. Widzieliśmy wiec, że istnieja zbiory, które sa jednocześnie

otwarte i domkniete ( IRk i " ), istnieja też zbiory, które nie sa ani otwarte ani domk-

niete!

Twierdzenie 16.8 (charakteryzujace zbieżność ciagów w IRk )

Ciag (pn) punktów przestrzeni k  wymiarowej jest zbieżny do punktu p " IRk wtedy
i tylko wtedy, gdy lim pi,n = pi dla i = 1, 2, . . . , k , tu pn = (p1,n, p2,n, . . . , pk,n)
n"
dla n = 1, 2, . . . i p = (p1, p2, . . . , pk) .
Dowód. Dla każdego i " {1, 2, . . . , k} zachodzi nierówność:
|pi,n - pi| d" |p1,n - p1|2 + |p2,n - p2|2 + · · · + |pk,n - pk|2 = pn - p ,
z której wynika od razu, że jeśli lim pn = p , to lim pi,n = pi dla każdego i "
n" n"

{1, 2, . . . , k} . W druga strone twierdzenie wynika natychmiast z definicji odleglości:

pod pierwiastkiem jest k skladników i każdy z nich daży do 0, co jest treścia zalożenia.
Dowód zostal zakończony.

Twierdzenie to pozwala w istocie rzeczy sprowadzać badanie zbieżności ciagu

punktów przestrzeni k  wymiarowej do badania zbieżności k ciagów liczbowych.

Bardzo ważnym twierdzeniem w przypadku ciagów liczbowych jest twierdzenie Bol-

zano  Weierstrassa. Gwarantuje ono możliwość wybierania podciagów zbieżnych

z ciagów ograniczonych. Twierdzenie to pozostaje w mocy w przypadku wielowymia-

rowym. Przed sformulowaniem tego twierdzenia wypada powiedzieć, że ciag (zbiór)

nazywamy ograniczonym, jeśli wszystkie jego wyrazy (elementy) znajduja sie w pew-

nej kuli. Przypomnijmy, że w jednowymiarowym przypadku kulami sa przedzialy,

wiec ta definicja to po prostu uogólnienie definicji stosowanej w przypadku jedno-

wymiarowym. Warto od razu zauważyć, że jeśli ciag punktów przestrzeni IRk jest

ograniczony, to również ciagi liczbowe: utworzony z jego pierwszych wspólrzednych,

utworzony z drugich wspólrzednych itd. sa zbieżne. Czytelnik bez trudu stwierdzi, że

jeśli wszystkie ciagi utworzone ze wspólrzednych o ustalonym numerze sa ograniczone,
5

Zbieżność i ciaglość w przestrzeni wielowymiarowej, pochodne

to również ciag punktów przestrzeni k  wymiarowej jest ograniczony. Twierdzenie to
nie bylo omówione w czasie wykladu, tu jednak je zamieszczam w przekonaniu, że

niektórym studentom zapoznanie sie z nim ulatwi nauke matematyki.
Twierdzenie 16.9 (Bolzano Weiertrassa, przypadek wielowymiarowy)

Z każdego ograniczonego ciagu (pn) punktów przestrzeni IRk można wybrać podciag

zbieżny do pewnego punktu p " IRk , tzn. istnieje ściśle rosnacy ciag (nj) liczb
naturalnych taki, że zachodzi równość lim pn = p .
j
j"

Dowód. Z poprzedniego twierdzenia wynika, że trzeba wybrać ciag (nj) w taki

sposób, by wszystkie ciagi p1,n , p2,n ,. . . , pk,n byly zbieżne. Twierdzenie
j j j

Bolzano Weierstrassa jest prawdziwe dla ciagów liczbowych, zatem istnieje ciag (nj)

taki, że ciag (p1,n ) jest zbieżny, ale nie wiemy nic o nastepnych k - 1 ciagach:
j

(p2,n ) , (p3,n ) , itd. Możemy jednak skorzystać z tego, że wszystkie podciagi ciagu
j j

zbieżnego też sa zbieżne i to do tej samej granicy. Zastapimy wiec ciag wyjściowy (pn)

ciagiem (pn ) (wiec pierwsze wspólrzedne tworza ciag zbieżny) i z tego ciagu wybie-
j

rzemy podciag (pn ) w taki sposób, by ciag (p2,n ) byl zbieżny. Jest to możliwe, bo
j j

ciag (p2,n ) jest ograniczony, wiec możemy zastosować jednowymiarowe twierdzenie
j

Bolzano Weiertrassa. Uzyskamy wiec w ten sposób ciag (pn ) , którego pierwsze i
j

drugie wspólrzedne tworza ciagi zbieżne.* Wystarczy te procedure zastosować jesz-

cze kolejno k - 2 razy, by uzyskać podciag, którego wszystkie wspólrzedne: pierwsze,

drugie, itd. tworza ciagi zbieżne, dzieki czemu również sam podciag jest zbieżny.
Dowód zostal zakończony.

Podamy teraz jedna z najważniejszych definicji tej cześci wykladu.
Definicja 16.10 (zbioru zwartego)

Zbiór C nazywamy zwartym wtedy i tylko wtedy, gdy z każdego ciagu punktów

zbioru C można wybrać podciag zbieżny do punktu leżacego w zbiorze C .

Zbiory zwarte moga być definiowane w taki sposób w nieco ogólniejszej sytuacji

niż rozpatrywana przez nas, moga to być mianowicie podzbiory tzw. przestrzeni me-
trycznych. Podamy teraz twierdzenie, które w ogólnej sytuacji nie jest prawdziwe,
ale jest prawdziwe i bardzo użyteczne w przypadku tych zbiorów, którymi zajmować

sie bedziemy w tej przyszlości.

Twierdzenie 16.11 (charakteryzujace zbiory zwarte w przestrzeni IRk )

Zbiór C ‚" IRk jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest domkniety i ograniczony.

*Pierwsze  bo podciag ciagu zbieżnego jest zbieżny, drugie  bo tak wybieramy.
6

Zbieżność i ciaglość w przestrzeni wielowymiarowej, pochodne
Dowód. Zalóżmy, że zbiór C ‚" IRk jest zwarty. JeÅ›li C nie jest ograniczony, to dla
każdej liczby naturalnej n istnieje punkt pn " C taki, że pn " B(0, n) , czyli pn e"
/

n . Ponieważ C jest zbiorem zwartym, wiec z ciagu (pn) wybrać można podciag

zbieżny (pn ) do pewnego punktu p " C . Stad wynika, że ciag pn - p jest
j j

zbieżny do 0, wiec jest ograniczony. Zachodzi nierówność pn d" p + pn -p , a
j j

z niej i ze zdania poprzedniego wynika, że ciag pn jest ograniczony, co oczywiście
j

przeczy temu, że pn e" nj . Wykazaliśmy wiec, że podzbiór zwarty przestrzeni IRk
j
musi być ograniczony.

Teraz wykażemy, że zbiór C musi być też domkniety. Zalóżmy, że nie jest do-

mkniety. Wtedy istnieje ciag (pn) punktów zbioru C zbieżny do punktu p " C .
/

Wszystkie podciagi ciagu (pn) sa oczywiście zbieżne do punktu p , wiec nie można

wybrać z tego ciagu podciagu, którego granica należalaby do C . Wobec tego podzbiór

zwarty przestrzeni IRk musi być też domkniety.
Czas na dowód implikacji przeciwnej. Zakladamy teraz, że zbiór C ‚" IRk jest

domkniety i ograniczony. Niech (pn) bedzie ciagiem punktów zbioru C . Na mocy

twierdzenia Bolzano Weierstrassa można zeń wybrać podciag (pn ) zbieżny do pew-
j

nego punktu p . Ponieważ zbiór C jest domkniety a wyrazy ciagu (pn ) sa elemen-
j

tami zbioru domknietego C , wiec również jego granica, czyli punkt p jest elementem

zbioru C . Wykazaliśmy wiec, że z ciagu punktów zbioru C można wybrać podciag

zbieżny do punktu leżacego w zbiorze C , a to oznacza, że C jest zbiorem zwartym.
Dowód zostal zakończony.

Interesuja nas nie tylko zbiory, ale również funkcje, w tym funkcje ciagle. Defi-

nicja ciagowa (Heinego) ciaglości funkcji przenosi sie na przypadek wielowymiarowy
bez żadnych zmian.

Definicja 16.12 (ciagloÅ›ci w punkcie) JeÅ›li A ‚" IRk i f: A - IRl jest funkcja

określona na zbiorze A , to f jest ciagla w punkcie p " IRk wtedy i tylko wtedy,
gdy z tego, że lim pn = p , pn " A wynika, że lim f(pn) = f(p) . Można również
n" n"

przeformulować definicje otoczeniowa (Cauchy ego): funkcja f: A - IRl jest ciagla
w punkcie p " A wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby µ > 0 istnieje liczba
´ > 0 taka, że jeÅ›li q " A i q - p < ´ , to f(q) - f(p) < µ .

Ponieważ definicje te nie różnia sie od podawanych w przypadku jednowymiaro-

wym, wiec dowód ich równoważności pomijamy, zreszta nie różni sie on od dowodu
w przypadku jednowymiarowym niczym istotnym. Warto też dodać, że jeśli funkcje

f, g sa ciagle i odpowiednia operacja na nich jest zdefiniowana, to ciagle sa również
7

Zbieżność i ciaglość w przestrzeni wielowymiarowej, pochodne
funkcje f Ä… g , f · g (iloczyn skalarny), f × g (iloczyn wektorowy), (f)-1 (np. jeÅ›li

-1
wartościami funkcji sa macierze odwracalne i f(x) oznacza macierz odwrotna do

macierzy f(x) ), f ć% g (zlożenie funkcji f z funkcja g ). Natomiast funkcja odwrotna

do funkcji ciaglej może nie być ciagla: jeśli
" "
f(t) = (2 + cos t) cos(t 2), (2 + cos t) sin(t 2), sin t ,

to funkcja f jest różnowartościowa, wiec ma funkcje odwrotna, ale ta funkcja od-

wrotna nie ma ani jednego punktu ciaglości.

Dzieki twierdzeniu Bolzano Weierstrassa pozostaje też w mocy

Twierdzenie 16.13 (Weierstrassa o osiaganiu kresów przez funkcje ciagla)

JeÅ›li f: C - IR jest funkcja ciagla w każdym punkcie zbioru zwartego C ‚" IRk , to

istnieja punkty p, q " C takie, że dla każdego punktu x " C zachodzi nierówność

podwójna f(p) d" f(x) d" f(q) , czyli f(p) jest najmniejsza wartościa funkcji f zaś

f(q)  najwieksza.
Twierdzenie to ma kapitalne znaczenie. Pozwala ono stwierdzać, że np. poszuki-

wana przez nas najwieksza wartość funkcji istnieje, co zwalnia nas z obowiazku prze-

prowadzania czesto klopotliwych rozumowań w konkretnych sytuacjach. Już w przy-
padku funkcji jednej zmiennej byly podane przyklady jego stosowania. Teraz mieć to

bedzie jeszcze wieksze znaczenie, bo trudniej w przypadku funkcji wielu zmiennych

mówić o jej monotoniczności niż w jednowymiarowym przypadku, zreszta w przy-
padku odpowiednio skomplikowanych zbiorów może to być w ogóle niewykonalne

(w prostych sytuacjach można rozpatrywać dana funkcje wielu zmiennych kolejno

jako funkcje zmiennej x1 , potem jako funkcje zmiennej x2 , . . . ). Przyklady pojawia

sie nieco póz
niej.

Zajmiemy sie teraz różniczkowaniem funkcji wielu zmiennych. Zaczniemy od

pojecia pochodnej czastkowej, bo jest ono najprostszym z tych, którymi przyjdzie

nam sie zajać. W tym rozdziale, jeśli nie napiszemy wyraz
nie, że jest inaczej, funk-

cja f: G - IRl bedzie okreÅ›lona na zbiorze otwartym G ‚" IRk . Bedziemy starać

sie przenieść twierdzenia użyteczne dla optymalizacji funkcji o wartościach rzeczy-

wistych, czyli dla znajdowania ich wartości najmniejszych oraz najwiekszych. W

niektórych przypadkach pojecie pochodnej czastkowej nam wystarczy, a w niektórych

zmuszeni zostaniemy do użycia pojecia różniczki funkcji, którego zdefiniowanie chwi-
lowo odkladamy.

Definicja 16.14 (pochodnej czastkowej)

Pochodna czastkowa pierwszego rzedu odwzorowania f: G - IRl ze wzgledu na
8

Zbieżność i ciaglość w przestrzeni wielowymiarowej, pochodne

f (p+hei)-f(p)
zmienna xi , 1 d" i d" k , w punkcie p " G , nazywamy granice lim ,
h
h0

o ile istnieje; ei " IRk to wektor, którego wszystkie wspólrzedne z wyjatkiem i  tej

sa równe 0 a i  ta równa jest 1: ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . ., 0) . Te pochodna czastkowa
"f
oznaczamy symbolem (p) .
"xi

4
Przyklad 16.1 Niech f(x) = x1 + 2x3 + x3ex . Z definicji pochodnej czastkowej
2

wynika, że zachodzi nastepujacy wzór:
"f f(x+he1)-f(x) f(x1+h,x2,x3,x4)-f(x1,x2,x3,x4)
(x) = lim = lim =
"x1 h0 h h
h0
x1+h+2x3+x3ex4 -(x1+2x3+x3ex4 )
2 2
= lim = 1 .
h
h0

"f
Pochodna funkcji f obliczamy traktujac x1 jako argument funkcji f przy
"x1

jednoczesnym traktowaniu zmiennych x2 , x3 , x4 jako stalych (parametrów). Liczac
"f "f
4
analogicznie otrzymujemy jeszcze trzy równości: (x) = 6x2 , (x) = ex ,
2
"x2 "x3
"f
4
(x) = x3ex .
"x4

r r cos Õ
Przyklad 16.2 Niech f =  tym razem wspólrzedne punktów pi-
Õ r sin Õ

szemy pionowo, co  jak sie okaże póz
niej  ma sens. Obliczymy pochodna wzgledem
zmiennej r :
(r+h) cos Õ r cos Õ
r+h r
f ( )-( )
( )-f
( )
"f r Õ Õ (r+h) sin Õ r sin Õ cos Õ cos Õ
= lim = lim = lim = .
"r Õ h h sin Õ sin Õ
h0 h0 h0

Teraz kolej na pochodna wzgledem zmiennej Õ :
r
r r cos(Õ+h) r cos Õ
f
( )-f
( )-( )
Õ+h
"f r r sin(Õ+h) r sin Õ
Õ
= lim = lim =
"Õ Õ h h
h0 h0
limh0 r cos(Õ+h)-r cos Õ -r sin Õ
h
= = .
r cos Õ
limh0 r sin(Õ+h)-r sin Õ
h

Widzimy wiec, że w przypadku odwzorowania o wartościach w IR2 otrzymaliśmy wek-

tor, a nie liczbe! Rezultat ten jest dokladnie taki, jakiego należalo sie spodziewać. Jeśli

funkcja o wartościach w przestrzeni IRl ma w jakimś punkcie pochodna wzgledem

którejś ze swych k zmiennych, to ta pochodna czastkowa jest wektorem l  wymia-
rowym. Wlaściwie na tym można by skończyć, ale warto jeszcze otrzymany rezultat
zinterpretować fizycznie.*

Można myśleć, że wartościa funkcji f jest punkt plaszczyzny oddalony o r od

0 0
punktu lub wektor zaczynajacy sie w punkcie i kończacy sie w punkcie
0 0

r r cos Õ
f =  traktujemy wiec liczby r i Õ jako tzw. wspólrzedne biegunowe
Õ r sin Õ

punktu plaszczyzny. Przy obliczaniu pochodnej wzgledem r traktujemy zmienna

*Do przeczytania dalszej cześci tego przykladu wystarczy rozumieć pojecie predkości znane z lekcji
fizyki w szkole.
9

Zbieżność i ciaglość w przestrzeni wielowymiarowej, pochodne

Õ jako stala. Możemy interpretować zmienna r jako czas. Po zmianie czasu o h

r+h (r+h) cos Õ
znajdujemy sie w punkcie f = . Znalez
liśmy sie wiec w punkcie
Õ (r+h) sin Õ

leżacym na tej samej pólprostej wychodzacej z punktu (0, 0) , ale w innej odleglości

od poczatku ukladu wspólrzednych. Zmiana odleglości równa jest zmianie czasu.

Wobec predkość skalarna powinna być równa 1 a wektor predkości powinien być

cos Õ
równolegly do pólprostej, po której porusza sie punkt. Wektor jest równolegly
sin Õ

0 r cos Õ
do pólprostej wychodzacej z punktu i przechodzacej przez punkt . Jego
0 r sin Õ

dlugość to 1. Jest to wektor równy predkości wektorowej poruszajacego sie punktu.

Podobnie można zinterpretować pochodna wzgledem Õ . Tym razem r sie nie

0 r cos Õ
zmienia, natomiast zmienia sie kat jaki tworzy wektor o poczatku i końcu
0 r sin Õ

z osia odcietych (pozioma osia ukladu wspólrzednych). W tej sytuacji Õ oznacza

0
zarówno czas jak i ten kat. Wobec tego ruch odbywa sie po okregu o środku i
0

promieniu r . Chwilowa predkość wektorowa jest wiec wektorem stycznym do tego

okregu. Dlugość tego wektora to oczywiście r , bo predkość katowa równa jest 1.

"f r -r sin Õ
Wektorowi = przysluguja obie te wlasności. To wlaśnie jest wektor
"Õ Õ r cos Õ

predkoÅ›ci chwilowej w tym ruchu w momencie Õ .
r cos Õ cos È
r
Õ
r cos Õ sin È
Przyklad 16.3 Niech f = . Tym razem należy myśleć o tzw.
È
r sin Õ

wspólrzednych sferycznych: r jest odlegloÅ›cia od poczatku ukladu wspólrzednych, Õ
0
0
 szerokoÅ›cia geograficzna na sferze o Å›rodku i promieniu r , zaÅ› È  dlugoÅ›cia
0

geograficzna na tej sferze. Obliczamy pochodne czastkowe:
cos Õ cos È -r sin Õ cos È -r cos Õ sin È
r r r
"f "f "f
Õ Õ Õ
cos Õ sin È -r sin Õ sin È r cos Õ cos È
= , = , = .
"r "Õ "È
È È È
sin Õ r cos Õ 0

r
"f
Õ
Pierwsza z nich, , to wektorowa predkość w ruchu jednostajnym po promie-
"r
È
r cos Õ cos È
0
0 r cos Õ sin È
niu wychodzacym z punktu i przechodzacym przez punkt ; druga
0 r sin Õ

r
"f
Õ
z nich, , to predkość wektorowa w ruchu po poludniku z predkościa katowa
"Õ
È

1 (zachowujemy promień sfery i dlugość geograficzna, jedynie szerokość geograficzna

r
"f
Õ
zmienia sie); trzecia to , to predkość w ruchu po równoleżniku z predkościa
"È
È

katowa 1 (zachowujemy promień sfery i szerokość geograficzna, jedynie dlugość geo-

graficzna zmienia sie). W pierwszym przypadku predkość skalarna równa jest 1, bo
0
0
czas równy jest odleglości od punktu , w drugim predkość skalarna równa jest
0

promieniowi poludnika (bo predkość katowa jest równa 1) czyli r , w trzecim nato-
10

Zbieżność i ciaglość w przestrzeni wielowymiarowej, pochodne

miast predkość skalarna równa jest promieniowi równoleżnika (bo predkość katowa

również w tym przypadku równa jest 1) czyli r cos Õ . OczywiÅ›cie te predkoÅ›ci ska-
r cos Õ cos È r cos Õ cos È

"f "f
r cos Õ sin È r cos Õ sin È
larne równe sa odpowiednio dlugościom wektorów ,
"r "Õ
r sin Õ r sin Õ
r cos Õ cos È
"f
r cos Õ sin È
i .
"È
r sin Õ
0, jeśli x = 0 = y;
x
Przyklad 16.4 Niech f = xy
y
, jeśli x = 0 lub y = 0.

x2+y2

0 x
1
Funkcja ta nie jest ciagla w punkcie , bowiem dla x = 0 mamy f = i jed-

0 x 2

0 0
1
nocześnie f = 0 = . Oznacza to, że jeśli zbliżamy sie do punktu wedrujac

0 2 0

0
wzdluż prostej o równaniu y = x , to wartości badanej funkcji nie daża do 0 = f .
0

Oczywiście jest to jedyny punkt nieciaglości tej funkcji. Zbadamy teraz kwestie istnie-

nia pochodnych czastkowych funkcji f . We wszystkich punktach z wyjatkiem punktu

0
pochodne czastkowe istnieja, co wynika od razu z twierdzeń pozwalajacych na ob-
0
0
liczanie pochodnej funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Również w punkcie funk-
0
h 0

f
( )-f
( )
0 0 0-0
cja f ma pochodne czastkowe. Wykażemy to. Mamy lim = lim = 0 .
h h
h0 h0
"f 0 "f 0
Wykazaliśmy, że = 0 . W taki sam sposób wykazujemy, że = 0 . Za-
"x 0 "y 0
"f x y3-x2y
uważmy jeszcze, że jeśli x = 0 lub y = 0 , to =  wynika to

"x y
(x2+y2)2
natychmiast z twierdzenia o pochodnej ilorazu dwu funkcji jednej zmiennej. Ana-

"f x x3-xy2
logicznie = . Zachecamy czytelnika do samodzielnego sprawdzenia
"y y
(x2+y2)2

tych wzorów oraz do sprawdzenia, że pochodne czastkowe, które wlaśnie znalez
liśmy,

0
sa nieciagle w punkcie .
0

Przyklad 16.4 pokazuje, że stwierdzenie istnienia pochodnych czastkowych w ja-
kimÅ› punkcie, a nawet w calej dziedzinie funkcji nie pozwala jeszcze zbyt wiele na

temat tej funkcji wywnioskować  z istnienia pochodnych czastkowych nie wynika

nawet ciaglość funkcji! Jasne jest, że potrzebne nam sa wlasności pozwalajace na

stwierdzanie ciaglości funkcji i co wiecej na stwierdzanie, że jej zachowanie w malym
otoczeniu punktu różniczkowalności jest w przybliżeniu takie jak funkcji liniowej. To
jest podstawowa idea w rachunku różniczkowym. Stosowaliśmy rozumowania oparte
na tej wlaśnie idei wielokrotnie w przypadku funkcji jednej zmiennej. To one dopro-

wadzily nas do sformulowania twierdzeń pozwalajacych na ustalanie w jakich prze-
dzialach funkcja różniczkowalna jest monotoniczna, w jakich punktach może mieć

lokalne ekstrema itd. Podamy teraz definicje różniczkowalności funkcji wielu zmien-

nych i warunek wystarczajacy dla różniczkowalności.
11

Zbieżność i ciaglość w przestrzeni wielowymiarowej, pochodne
Definicja 16.15 (funkcji różniczkowalnej w punkcie)
Funkcja f : G - IRl określona na zbiorze G otwartym w IRk jest różniczkowalna
w punkcie p " G wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje macierz L , taka że
f(p+h)-f(p)-Lh
lim = 0 .
h
h0

Wtedy macierz L nazywamy różniczka funkcji f w punkcie p i oznaczamy symbo-
lem Df(p) lub df(p) lub f (p) .
Z definicji wynika natychmiast, że dla h dostatecznie bliskich 0 zachodzi przy-

bliżona równość f(p + h) H" f(p) + f (p)h , wiec bardzo podobny do znanej od
dawna równości dla funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Różnica polega na tym

tylko, że teraz pochodna jest przeksztalceniem liniowym (macierza) f (p) , a po-

przednio mieliśmy do czynienia z liczba. Poprzednio zmiana argumentu h byla liczba,
teraz zmiana argumentu h jest wektorem.
Uwaga 16.16 (o jednoznaczności różniczki.)
Ü
f(p+h)-f (p)-Lh f(p+h)-f(p)-Lh
Zauważmy, że jeśli lim = 0 i lim = 0 , to również
h h
h0 h0
Ü
Ü
f(p+h)-f (p)-Lh f(p+h)-f(p)-Lh
Lh-Lh
0 = lim - lim = lim .
h h h
h0 h0 h0
Ü
Lh-Lh
Ü
Równość 0 = lim ma miejsce wtedy jedynie, gdy Lv = Lv dla wszystkich
h
h0
Ü
v " IRk . Jeśli bowiem Lv = Lv dla pewnego wektora v " IRk , to dla każdej liczby

Ü Ü
t > 0 zachodzi równość L(tv) = tL(v) = tL(v) = L(tv) i wobec tego mamy też

Ü
Ü Ü
L(tv)-L(tv)
Lv-Lv Lv-Lv
0 = lim = lim = = 0 .

t0+ tv t0+ v v

Ü
Mnożac macierze L, L przez wektor (1, 0, . . . , 0) stwierdzamy, że maja taka sama

pierwsza kolumne, mnożac przez wektor (0, 1, 0, 0, . . .) stwierdzamy, że drugie ko-

lumny sa takie same itd. Wynika stad, że warunek nalożony na różniczke może być

spelniony przez co najwyżej jedna macierz.

Twierdzenie 16.17 (warunek wystarczajacy dla różniczkowalności)
Jeśli funkcja f: G - IRl określona na otwartym podzbiorze przestrzeni IRk ma

pochodne czastkowe wzgledem zmiennych x1 , x2 ,. . . , xk w każdym punkcie pewnej

kuli otwartej B(p, µ) o Å›rodku w punkcie p i wszystkie one sa ciagle w punkcie p ,

to funkcja f jest różniczkowalna w punkcie p i zachodzi nastepujacy wzór:
"f "f "f
Df(p)h = (p)h1 + (p)h2 + · · · + (p)hk .
"x1 "x2 "xk

Dowód. By uniknać komplikacji zwiazanych z zapisem przeprowadzimy dowód

w przypadku l = 1 i k = 2 . Dowód w przypadku ogólnym nie różni sie od tego, który

zamierzamy podać, niczym istotnym (po prostu jest wiecej wspólrzednych zarówno w
12

Zbieżność i ciaglość w przestrzeni wielowymiarowej, pochodne
dziedzinie jak i obrazie). Skorzystamy przy tym z twierdzenia Lagrange a o wartości
średniej dla funkcji o wartościach rzeczywistych jednej zmiennej rzeczywistej. Niech
p1 h1 p1+t "f p1+t
p = , h = . Niech Ä…(t) = f(p + te1) = f . Mamy Ä… (t) = .
p2 h2 p2 "x1 p2
Istnieje liczba ¸1 taka, że
p1+t p1 "f p1+¸1
Ä…(t) - Ä…(0) = f(p + te1) - f(p) = f - f = h1 = Ä… (¸1)h1 .
p2 p2 "x1 p2
p1+h1
Niech ²(s) = f . Istnieje taka liczba Ã2 , że
p2+s
"f p1+h1
²(h2) - ²(0) = h2 = ² (s)h2 .
"x1 p2+Ã2

Stad wynika, że
"f "f
1
f(p + h) - f(p) - (p)h1 - (p)h2 =
h "x1 "x2
"f "f
1
= f(p + h) - f(p + h1e1) + f(p + h1e1) - f(p) - (p)h1 - (p)h2 =
h "x1 "x2
"f "f "f "f
1
= (p + h1e1 + Ã2e2)h2 + (p + ¸1e1)h1 - (p)h1 - (p)h2 =
h "x2 "x1 "x1 "x2
h2 "f "f h1 "f "f
= (p + h1e1 + Ã2e2) - (p) + (p + ¸1e1) - (p) - 0 ,
----
h "x2 "x2 h "x1 "x1 h 0

|h1| |h2| "f "f
bo d" 1 , d" 1 i pochodne czastkowe i sa ciagle (jako funkcje ze-
h h "x1 "x2

spolu zmiennych) w punkcie p . Wykazaliśmy wiec, że funkcja liniowa przypisujaca

"f "f
wektorowi h liczbe (p)h1 + (p)h2 jest różniczka funkcji f w punkcie p .
"x1 "x2
Uwaga 16.18

Dowód polega na tym, że zamiast przemieścić sie z punktu p do punktu p + h od

razu, przemieszczamy sie najpierw z punktu p do punktu p + h1e1 , czyli równolegle

do jednej osi ukladu wspólrzednych, a potem dopiero z tego punktu do punktu p +

h , drugie przemieszczenie odbywa sie wiec w kierunku równoleglym do drugiej osi.
Czynimy tak, by sprowadzić problem do różniczkowania funkcji jednej zmiennej, bo

tam dziala twierdzenie Lagrange a o wartości średniej pozwalajace na wnioskowanie
wlasności funkcji z odpowiednich wlasności pochodnych.

Twierdzenie 16.19 (o ciaglości funkcji różniczkowalnej)

Jeśli funkcja f: G - IRl jest różniczkowalna w punkcie p " G , to jest też ciagla w
punkcie p .

Dowód. Zalóżmy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie p . Zachodza wtedy
równości:
f (p+h)-f(p)-Df (p)h
lim f(p + h) = lim · h + f(p) + Df(p)h =
h
h0 h0
= 0 + f(p) + Df(p)0 = f(p) ,
13

Zbieżność i ciaglość w przestrzeni wielowymiarowej, pochodne

a to wlaśnie oznacza, że funkcja f jest ciagla w punkcie p  skorzystaliśmy tu

z definicji różniczkowalności i tego, że przeksztalcenie liniowe Df(p) jest ciagle.
Dowód zostal zakończony.

Czytelnik z latwościa może przeoczyć różnice miedzy tym rozumowaniem i do-
wodem przeprowadzonym dla funkcji jednej zmiennej, bo polega ona jedynie na tym,

że teraz wystapila norma wektora a poprzednio  wartość bezwzgledna liczby rzeczy-
wistej.
Twierdzenie 16.20 (o arytmetycznych wlasnościach różniczki)

Jeśli funkcje f i g określone na tym samym zbiorze otwartym sa różniczkowalne w
punkcie p , to:

a. jeśli wartości obu funkcji znajduja sie w tej samej przestrzeni IRl , to ich suma i

różnica sa różniczkowalne i zachodzi wzór D(f ą g)(p) = Df(p) ą Dg(p) ;

b. jeÅ›li ich iloczyn f · g jest zdefiniowany (np. wartoÅ›ciami funkcji f sa liczby

rzeczywiste albo wartościami funkcji f i g sa wektory tego samego wymiaru

a iloczyn to iloczyn skalarny, albo wartościami funkcji f i g sa macierze i to
takich wymiarów, że mnożenie f(x) · g(x) jest wykonalne), to iloczyn f · g jest

funkcja różniczkowalna w punkcie p i zachodzi wzór
D(f · g)(p) = Df(p) · g(p) + f(p) · Dg(p)) ,
×
tzn. D(f · g)(p)h = Df(p)h · g(p) + f(p) · Dg(p)(h). *

Podamy teraz twierdzenie pozwalajace na znajdowanie najwiekszych i najmniej-

szych wartości funkcji zależnych od wielu zmiennych, których wartościami sa liczby

rzeczywiste. Czytelnik zauważy, że rozszerzamy zasieg twierdzenia, które bylo uży-
wane w przypadku funkcji jednej zmiennej rzeczywistej.

Twierdzenie 16.21 (Fermata o zerowaniu sie pochodnych w punktach
lokalnego ekstremum)
Jeśli funkcja f: G - IR ma w punkcie p lokalne maksimum lub lokalne minimum

i ma w punkcie pochodne czastkowe, to te pochodne czastkowe sa równe 0 .

Dowód. Dowód tego twierdzenia jest w istocie zbedny, bowiem jest ono natychmia-

stowa konsekwencja twierdzenia jednowymiarowego  po prostu rozpatrujemy od-

cinki przechodzace przez punkt p i odcinki równolegle do osi ukladu wspólrzednych.

Obcinamy funkcje kolejno do tych odcinków. Na każdym z nich przyjmuje ona swa

najwieksza (ewentualnie najmniejsza) wartość w punkcie p , wiec pochodna w tym

* Mnożenie macierzy jest nieprzemienne, wiec nie wolno zmieniać kolejności czynników iloczynu.
14

Zbieżność i ciaglość w przestrzeni wielowymiarowej, pochodne

punkcie ze wzgledu na odpowiednia zmienna, czyli pochodna czastkowa musi być
równa 0 .

Przyklad 16.5 Znajdziemy najmniejsza i najwieksza wartość wyrażenia xy2z3
zalożywszy, że x, y, z e" 0 i x + y + z = 6 .
x x
y y
Niech C = : x e" 0, y e" 0, z e" 0, x + y + z = 6 i f = xy2z3 .
z z

Funkcja f jest ciagla na IR3 , wiec również na zbiorze C . Zbiór C jest ograniczony,

x
y
bo jeśli punkt znajduje sie zbiorze C , to 0 d" x d" 6 , 0 d" y d" 6 , 0 d" z d" 6 . Jest
z

xn
yn
też domkniety, to jeśli " C , czyli xn e" 0 , yn e" 0 , zn e" 0 oraz xn+yn+zn = 6 ,
zn
xn x x
y
yn y
i lim = , to również 0 d" x , 0 d" y , 0 d" z i x+y +z = 6 , czyli " C .
z
n"
zn z

Ograniczony i domkniety podzbiór IR3 jest zwarty, wiec funkcja ciagla określona na

tym zbiorze przyjmuje w jakimś jego punkcie wartość najmniejsza i w jakimś punk-

cie wartość najwieksza. C oczywiście nie zawiera żadnej kuli, wiec nie można tu

stosować twierdzenia o zerowaniu sie gradientu w punktach lokalnego ekstremum.

Można natomiast wyznaczyć jedna z trzech zmiennych za pomoca dwu pozostalych,

y
np. x = 6-y-z i rozważyć funkcje dwu zmiennych: g = (6-y-z)y2z3 na zbiorze
z
y
D = : 0 d" y, 0 d" z, y + z d" 6 . Zbiór D , podobnie jak C , jest zwarty. Funk-
z

cja g jest ciagla w każdym punkcie plaszczyzny, wiec również w punktach zbioru

D i wobec tego przyjmuje w jakimś punkcie tego zbioru wartość najmniejsza i w

jakimś punkcie  wartość najwieksza. Latwo zauważyć, że zbiór D jest trójkatem

0 6 0
prostokatnym równoramiennym którego wierzcholkami sa punkty , i .
0 0 6

Na brzegu tego trójkata, czyli w punktach prostej y = 0 , w punktach prostej
z = 0 oraz w punktach prostej y + z = 6 funkcja g przyjmuje wartość 0.

Wewnatrz trójkata przyjmuje wartości dodatnie. Wobec tego jej najmniejsza

wartościa jest liczba 0, a wartość najwieksza jest przyjeta w pewnym punkcie we-

wnetrznym. W tym punkcie wewnetrznym musza być spelnione równości
"g "g
0 = = -y2z3 + 2yz3(6 - y - z) i 0 = = -y2z3 + 3y2z2(6 - y - z) .
"y "z

Ponieważ szukamy punktów wewnatrz trójkata D , wiec musi być y > 0 i z > 0 .

Możemy zatem podzielić pierwsza z nich przez yz3 , a druga przez y2z2 . Otrzymu-
jemy -y +2(6-y -z) = 0 i -z +3(6-y -z) = 0 , czyli 3y +2z = 12 i 3y +4z = 18 .

Wobec tego musi być z = 3 i y = 2 . Ponieważ wartość najwieksza jest przyjmowana

2
w pewnym punkcie i jedynym kandydatem jest punkt , wiec najwieksza wartościa
3
2
funkcji g na zbiorze D jest liczba g = (6 - 2 - 3)2233 = 108 .
3
15

Zbieżność i ciaglość w przestrzeni wielowymiarowej, pochodne
Zadanka

16. 01 Zbadać ciaglość odwzorowania f : IR3 IR2 określonego nastepujaco:
xy x2y2z2
f(x, y, z) = , , jeżeli (x, y, z) = (0, 0, 0) i f(0, 0, 0) = (0, 0) .

1+z2 x2+y2+z2
16. 02 Niech f(x, y) = xy dla x > 0 i y > 0 . Pokazać, że nie można określić funkcji w

(0, 0) tak, aby byla ona ciagla w tym punkcie.

x2y
16. 03 Definiujemy funkcje f : IR2 IR za pomoca wzorów: f(x, y) = , gdy
x4+y2

(x, y) = (0, 0) oraz f(0, 0) = 0 . Pokazać, że obciecie f do dowolnej prostej


przechodzacej przez (0, 0) jest funkcja ciagla na tej prostej, mimo że funkcja f

nie jest ciagla w (0, 0) .

16. 04 Zbiór S = {x " IRk : f(x) = f(x0)} nazywamy poziomica (warstwica) prze-

chodzaca przez punkt x0 funkcji f: IRk IR . Pokazać, że poziomice funkcji

ciaglej sa domkniete w IRk .

16. 05 Obliczyć pochodne czastkowe funkcji
2
(a) f(x, y) = e-x -2xy+4 ,
x
(b) f(x, y) = arctan( ) ,
y
(c) f(x, y, z) = ex sin y + ey sin(2z) + ez sin(3x) ,
k
(d) f(x) = x = x2 , dla x = 0 ,

i
i=1
k
(e) f(x) = e-x·x, dla x " IRk , gdzie x · x = x2 .
i
i=1

16. 06  Narysować nastepujace zbiory (w odpowiedniej przestrzeni, R2 lub R3 ):
a. A = {(x, y): |x| - |y| d" 1} ,
b. B = {(x, y): 0 < x + y d" 1, y e" x2} ,
c. C = {(x, y): 0 < x + y d" 1, y e" x2 + 1} ,
d. D = {(x, y): x2 + 2x + y2 - 4y e" -1, 9x2 + 16y2 d" 144} ,
e. E = {(x, y, z): x e" 0, y e" 0, z e" 0, x + 2y + 3z = 6} ,
f. F = {(x, y, z): x e" 0, y e" 0, z e" 0, x + 2y + 3z < 6} ,
g. G = {(x, y, z): x2 + y2 = 4z2, x2 + y2 + z2 = 9} ,
h. H = {(x, y, z): x2 + y2 d" 4z2, x2 + y2 + z2 d" 9} ,
i. I = {(x, y, z): x2 + y2 = 4, x2 + y2 + z2 d" 9} ,
j. J = {(x, y, z): x2 + y2 d" 4, x2 + y2 + z2 d" 9} ,
k. K = {(x, y, z): x2 + y2 d" 4, x2 + y2 + z2 > 9} ,
l. L = {(x, y, z): x2 + y2 < z, x2 + y2 + z2 d" 1} ,
m. M = {(x, y, z): x2 - y2 = z, x2 + y2 + z2 d" 1} ,
16

Zbieżność i ciaglość w przestrzeni wielowymiarowej, pochodne
n. N = {(x, y, z): x2 + y2 d" 4, x2 + y2 - z2 d" 1} ,
o. O = {(x, y, z): x2 + y2 d" 4, z2 - x2 - y2 d" 1} ,
p. P = {(x, y, z): xy d" 0, x2 + z2 d" 1}
r. R = {(x, y, z): x e" 0, y e" 0, z e" 0, x + y + z < 3} ,
s. S = {(x, y, z): x e" 0, y e" 0, z e" 0, x + y + 2z e" 6, x + y + z d" 6} ,
t. T = {(x, y, z): x e" 0, y e" 0, z e" -6, x + y + 2z e" 6, x + y + z d" 6} ,
u. U = {(x, y, z): |x| d" 1, |y| d" 1, |z| d" 1, x2 + y2 + z2 e" 1} ,
v. V = {(x, y, z): |x| d" 1, |y| d" 1, |z| d" 1, x2 + y2 + z2 > 1} ,
w. W = {(x, y, z): |x| d" 1, |y| d" 1, |z| d" 1, x2 + y2 + z2 = 1} .

16. 07 Wyjaśnić, które ze zbiorów zdefiniowanych w zadaniu 6 sa otwarte, które do-

mkniete, które ograniczone, które zwarte, a które wypukle.

16. 08 Ciaglość normy. Pokazać, że x - y d" x - y .
16. 09 Wypuklość normy. Pokazać, że ąx + (1 - ą)y d" ą x + (1 - ą) y dla

0 d" ą d" 1 . Pokazać, że kule B(x0, r) , B(x0, r) sa zbiorami wypuklymi. Zbiór

A jest wypukly, jeśli każdy odcinek, którego końce leża w zbiorze A jest zawarty
w A .
16. 10 Znalez
ć kierunek najszybszego wzrostu funkcji f , czyli jej gradient, w punkcie
P dla:
y
(a) f(x, y) = arctan( ) , p = (1, -2) ;
x
(b) f(x, y, z) = xy2z3 , p = (2, 2, 2) ;
(c) f(x, y, z) = ex-y-z , p = (5, 2, 3) ;
(d) f(x, y, z) = x + 2y + 3z , p = (1, 1, 1) .
16. 11 Pokazać, że niżej zdefiniowana funkcja jest różniczkowalna w (0, 0) :
x3+y3
"
, jeżeli (x, y) = (0, 0);

x2+y2
f(x, y) =
0, jeżeli (x, y) = (0, 0);
natomiast funkcja
x3+y3
, jeżeli (x, y) = (0, 0);

x2+y2
g(x, y) =
0, jeżeli (x, y) = (0, 0);

jest ciagla w punkcie (0, 0) , ale różniczkowalna w tym punkcie nie jest.
"
3
16. 12 Pokazać, że funkcja f(x, y) = xy nie jest różniczkowalna w (0, 0) , chociaż

istnieja obie pochodne czastkowe w tym punkcie.

16. 13 Znalez
ć punkty zerowania sie gradientu funkcji f i wyjaśnić, w których z nich ma
ona lokalne minima, w których  lokalne maksima, a w których nie ma lokalnego
ekstremum, jeśli
17

Zbieżność i ciaglość w przestrzeni wielowymiarowej, pochodne
(a) f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 + 2x + 4y - 6z ; (b) f(x, y) = x3 + 3xy2 - 15x - 12y ;
4y2 z2 2
(c) f(x, y, z) = x3 + y2 + z2 + 12xy + 2z ; (d) f(x, y, z) = x + + + ;
x y z
(e) f(x, y, z) = xy2z3(6 - x - 2y - 3z) ; (f) f(x, y) = 3x8 + 3y8 + 8x3y3 ;
(g) f(x, y) = y2 + 3x2y - x3y ; (h) f(x, y) = y2 + y4 + 3x4 - 4x3 - 12x2 ;
(i) f(x, y) = x5y7(13 - x - y) ; (j) f(x, y) = -x4 + y4 + 4x2y - 2y2 ;
(k) f(x, y) = x4 - y4 - 2x3 - 2xy2 + x2 + y2 .

ad (j): w otoczeniu punktu (0, 0) rozważyć zachowanie sie funkcji f na para-
boli y = x2 .
1
16. 14 Niech f(x, y, z) = · 3(x + y)3 - 18x2 - 36xy - 54y2 - 9z2 + 2 . Znalez
ć punk-
9
ty krytyczne f , tj. te, w których
grad f(x, y, z) = (x + y)2 - 4x - 4y, (x + y)2 - 4x - 12y, -2z
jest wektorem zerowym. Wyjaśnić, w których z tych punktów funkcja f ma
lokalne minima, w których lokalne maksima, a w których nie ma lokalnego eks-
tremum.
2
1
16. 15 Niech f(x, y) = 6y5 + 15y4 - 50y3 - 90y2 + -e2x + (y + 1)2(y - 2)2 ,
4
2
1
g(x, y) = 6y5 + 15y4 - 50y3 - 90y2 + -e2x + y2(y + 3)2 .
4

Znalez
ć punkty zerowania sie gradientu obu funkcji i wyjaśnić, w których punk-

tach funkcje maja lokalne minima, w których lokalne maksima, a w których nie

ma lokalnego ekstremum. Wykazać, że funkcje f i g nie sa ograniczone ani z
góry ani z dolu.

16. 16 Zobaczmy, co sie może wydarzyć w wymiarze wiekszym niż 1 :
(a) Wykazać, że funkcja (1 + ey) cos x - yey ma nieskończenie wiele maksimów
lokalnych, chociaż nie ma żadnego minimum lokalnego.
2
1
(b) Niech f(x, y) = 6y5 + 15y4 - 50y3 - 90y2 + -e2x + (y + 1)2(y + 3)2 .
4
Znalez
ć kresy funkcji f oraz punkty, w których funkcja ta ma lokalne eks-
trema.

Można, a może wrecz warto, skorzystać przy tym z równości:
"f
(x, y) = -e2x -e2x + (y + 1)2(y + 3)2 oraz
"x
"f
(x, y) = 30y(y + 3)(y + 1)(y - 2) +
"y
+ 2(y + 1)(y + 2)(y + 3) -e2x + (y + 1)2(y + 3)2 .
xy2
16. 17 Znalez
ć kresy funkcji f , f(x, y) = , w pierwszej ćwiartce.
4x2+y4+4
xy2-1
16. 18 Niech f(x, y) = . Znalez
ć kres górny i kres dolny wartości funkcji f
4x2+y4+4

w pierwszej ćwiartce ukladu wspólrzednych. Wyjaśnić, czy funkcja f ma
18

Zbieżność i ciaglość w przestrzeni wielowymiarowej, pochodne

wewnatrz pierwszej ćwiartki ukladu wspólrzednych lokalne ekstrema.
"f (y2+2x)(y4-2xy2+4) "f 2y(y2+2x)(2x2+2-xy2)
Informacja: = , = .
"x (4x2+y4+4)2 "x (4x2+y4+4)2


2
16. 19 Niech p, q, r " oznaczaja trzy niewspólliniowe punkty. Niech

2
f(x) = x - p + x - q + + x - r dla x " ,

tzn. f(x) jest suma odleglości punktu x od danych punktów p, q, r . Wykazać,


2
że jeśli f(x0) jest najmniejsza wartościa funkcji f: - [0, ") , to albo x0

-- -- --

jest jednym z punktów p, q, r , albo katy miedzy wektorami x--p, x--q, x-- r

2Ä„
sa równe .
3
16. 20 Znalez
ć kres dolny i kres górny funkcji f , f(x, y, z) = (3x+2y +z)e-(6x+5y+3z) ,
na zbiorze E = {(x, y, z): x > 0, y > 0, z > 0} .
16. 21 Znalez
ć kres dolny i kres górny funkcji f , f(x, y, z) = (3x+2y +z)e-(6x+5y+3z) ,
na zbiorze E = {(x, y, z): x > 0, y > 0, z > 0} .
19