Procesy stochastyczne
4. Zbieżność martyngałów
Ćw. 4.1 (Urna Pólya ego) Wykaż, że martyngał {Mn} określony w ćw. 2.4 jest zbieżny prawie
wszędzie i wyznacz EM".
Ćw. 4.2 (B. M. P., Ex. 3.4 p. 34) Niech (&!, F, {Fn}n 0, P ) będzie przestrzenią z filtracją. Roz-
ważamy martyngał rzeczywisty {(Mn, Fn)} taki, że dla każdego n 0 mamy |Mn| K
(K 0). Niech
n

1
Xn = (Mk - Mk-1).
k
k=1
Udowodnij, że {(Xn, Fn)}n 0 jest martyngałem zbieżnym prawie na pewno i w L1.
Ćw. 4.3 (B. M. P., Ex. 3.7 p. 35) Niech X1, X2, . . . będzie ciągiem zmiennych losowych o warto-
ściach w [0, 1], Fn = �(X0, X1, . . . , Xn). Przyjmijmy, że X0 = a oraz

Xn 1 + Xn
P Xn+1 = | Fn = 1 - Xn, P Xn+1 = | Fn = Xn.
2 2
1. Wykaż, że {Xn} jest martyngałem zbieżnym prawie wszędzie i w L2 do zmiennej losowej
X".
1
2. Udowodnij, że E(Xn+1 - Xn)2 = E(Xn(1 - Xn)).
4
3. Oblicz E(X"(1 - X")). Jaki jest rozkład zmiennej X"?
Ćw. 4.4 (S. J., Zad. 1 str. 241) {Un} jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,
1
1
P (Un = 1) = P (Un = -1) = , Fn = �(U1, . . . , Un), Zn = ea(U +...+Un)-na2/2.
2
Udowodnij, że {(Zn, Fn)} jest nadmartyngałem. Zbadaj zbieżność ciągu {Zn} prawie wszę-
dzie i w L1.