Algebra z geometrią I semestr MEiL
rozkład materiału w kolejnych tygodniach semestru (zajęcia w modułach 3 godzinnych)
l. Liczby zespolone - definicja, własności, postać kartezjańska i trygonometryczna, wzory (de) Moivre'a.
2. Przestrzeń liniowa (wektorowa)  podprzestrzeń; generowanie przestrzeni, liniowa niezależność wektorów,
baza i wymiar, rozkład wektora w bazie (współrzędne wektora w bazie); iloczyn skalarny.
3. Przestrzeń liniowa cd. - przekształcenia liniowe i ich własności.
4. Wielomiany - podstawowe twierdzenie algebry, rozkład wielomianu na czynniki liniowe, wielomiany o
współczynnikach rzeczywistych.
5. Algebra macierzy. Wyznacznik- definicja i własności. Macierz odwrotna  sposoby obliczania.
6. Układy równań liniowych: a) ogólne (metoda eliminacji Gaussa) oraz b) w szczególności o macierzy
kwadratowej (metoda eliminacji Gaussa, wzory Cramera, metoda macierzowa).
7. Układ jednorodny. Wartości własne i wektory własne macierzy / odwzorowania liniowego.
8. Rząd macierzy. Układy równań liniowych - przypadek ogólny, twierdzenie Kroneckera-Capelli ego.
9. Kolokwium z algebry (materiał pierwszych ośmiu wykładów), wraz z omówieniem zadań.
10. Geometria analityczna w R3 - iloczyn wektorowy i mieszany, prosta i płaszczyzna.
11. Powierzchnie drugiego stopnia w R3 - sposoby opisu, informacja o klasyfikacji, równania kanoniczne.
12. Powierzchnie obrotowe, powierzchnie prostokreślne (=prostoliniowe), przekroje powierzchni
płaszczyznami (informacja o krzywych stożkowych).
13. Płaszczyzna styczna i prosta normalna do powierzchni. Funkcja wektorowa - pochodna i jej
interpretacja. Krzywe w R3 - sposoby opisu.
14. Wektor styczny do powierzchni. Parametryzacja krzywej, parametr naturalny. Wektor styczny do krzywej,
wektor normalny główny i wektor binormalny. Trójścian Freneta.
15. Trójścian Freneta  cd (płaszcz. normalna, ściśle styczna, prostująca). Krzywizna i skręcenie krzywej.
Wzory Freneta. Wektor Darboux.
Liczby zespolone
z = x + i y - liczba zespolona ; x = Re z - część rzeczywista liczby z ; y = Im z - część urojona
liczby z
z = x - i y - liczba sprzężona do liczby z; | z |= x2 + y2 - moduł liczby zespolonej z.
" Jeżeli liczbę z = x + i y interpretujemy jako punkt na płaszczyz
nie o współrzędnych (x,y), to |z| jest
odległością tego punktu od punktu (0,0). Uwaga: zz =| z |2 (iloczyn liczb zespolonych - zobacz niżej)
" Argumentem liczby zespolonej z = x + i y `" 0 nazywamy kąt � (określony z dokładnością do
wielokrotności 2Ą), jaki tworzy promień wodzący punktu z=(x,y) z dodatnim kierunkiem osi Ox. Jeśli �
jest argumentem liczby z, to liczba � + 2kĄ ( k = 0, ą1, ą2, ...) także jest argumentem liczby z
(oznaczamy arg z - przez małe a). Liczbie z = 0 nie przypisujemy żadnego argumentu. Jeżeli założyć,
że 0 d" � < 2Ą, to � nazywamy argumentem głównym liczby z (oznaczamy. � = Arg z - [duże A]).
" z = r cos� + i sin�
()- postać trygonometryczna liczby zespolonej, r = |z| , cos �=x/r, sin � = y/r (te
warunki wyznaczają kąt �=arg z z dokładnością do wielokrotności 2Ą). [Uwaga: Przytaczany niekiedy
y
wzór � = arc tg (dla x`"0) nie jest prawdziwy ogólnie  dlaczego?]
x
Niech z1 = x1 + i y1 oraz z2 = x2 + i y2 .
" Suma (różnica) liczb zespolonych: z1 ą z2 = (x1 ą x2) + i(y1 ą y2) .
" Iloczyn liczb zespolonych: Liczby zespolone mnożymy tak jak wielomiany, pamiętając, że i2 =  1. Tak
więc z1z2=(x1x2 y1y2)+i(x1y2+x2y1) (w istocie - nie ma potrzeby zapamiętywania tego wzoru).
z1 z1 �" z2 x1x2 + y1 y2 x2 y1 - x1 y2
" Dzielenie liczb zespolonych: = = + i Po wymnożeniu licznika
z2 z2 �" z2
x2 2 + y2 2 x2 2 + y2 2
i podzieleniu przez mianownik, który jest liczba rzeczywistą otrzymujemy wynik dzielenia.
" Jeżeli liczby dane są w postaci trygonometrycznej, tzn. zk = rk(cos �k + i sin �k) , k=1,2,
Str. 1 z 46
z1 r1
to wtedy z1z2 = r1r2(cos(�1 + �2) + i sin(�1 + �2)) oraz = (cos(�1  �2) + i sin(�1  �2))
z2 r2
{Tak więc przy mnożeniu (dzieleniu) liczb zespolonych, ich moduły się mnożą (dzielą), a argumenty
dodają (odejmują)}. W szczególności, | z1z2 |=| z1 || z2 |, | z1 / z2 |=| z1 | / | z2 | , | zn |=| z |n .
" Wzór Moivre a: Jeśli z = r(cos � + i sin �) , to zn = rn(cos n� + i sin n�) (n=1,2,... ).
" Pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby w nazywamy każdą liczbę zk , spełniającą równanie zk n = w.
� + 2kĄ � + 2kĄ
ś#, k = 0, 1, ..., n 1.
n
Jeżeli w = r(cos� + isin� ) , to zk = r�#cos + isin
ś# ź#
n n
�# #
z1 z13
1) Policzyć z1+z2, 2z1+3z2, z1z2, z12z2, , , gdzie z1=2 3i, z2 =  1 2i.
z2
z22
2) Przedst. w post. trygonometr:. a) 1 + i 3 b)  1 + i c) 2i + 2 d) 3  i e) 1  i
f)  i g)  1 h) i i) sin �+i cos� j) (cos �  1)+i sin � (Wsk: wyrazić poprzez funkcje kąta �/2)
(1+ i)10
(2 + i)2 (1+ 2i)3
3) Policzyć a) (1  i 3 )6 , (1  i 3 )25 , b) , c) + ; d) - 9 + 40i (ogólnie, por.
1- i 3 (1- 2i)3 (2 - i)2
(1- i 3)6 (1 - i)7i99 (i -1)40
zad. 7); e) ; f) ; g)
(1+ i 3)9 ( 3 + i)6 ( 6 - i 2)13
4) Rozwiązać równania: a) (1+i)z2  (6+2i)z + 14 2i = 0; b) (1+i)z2  (4+2i)z + 7+i = 0; c) z2  2z +2 = 0;
d) z4 + z2 + 1 = 0 ;e) z2 + z  i + 1 = 0; f) z2  (1 + i)z  2  i = 0; g) z2 + (3i  1)z  (i + 2) = 0
3 4 4
5) Obl. 1,3 -1,3 i, 1, -1,6 1,6 -1,8 1,8 -1 (zastosować wzory połówkowe i symetrię) ,
12 4
1,161, - 8 + 8 3i
6) Wyrazić cos 5� oraz sin 5� za pomocą sin� i cos �. (Wskazówka: skorzystać ze wzoru Moivre a)
7) Wykazać met. algebr. lub trygonometr., że dwa zespol. pierw.kwadr. z liczby zespolonej w = a + bi, czyli
Ą# ń#
r + a r - a
rozw. równania z2 = w, wyrażają się wzorem z = ąó# + � iĄ# , gdzie r=|w|= a2 + b2 , zaś � =+1,
2 2
Ł# Ś#
gdy be"0; � =  1, gdy b<0. Uwaga. Przy obliczaniu pierwiastków kwadratowych z liczb zespolonych niekiedy
a + c a - c
są przydatne tożsamości a ą b = ą , gdzie c2 = a2 - b .
2 2
8) Korzystając ze wzoru na sumę n wyrazów ciągu geometrycznego, znalez
ć wzory na
Cn = cos x + cos 2x + ... + cos nx oraz Sn = sin x + sin 2x + ... + sin nx (wsk.: z=cos x + i sin x; obliczyć
Cn+iSn = z + z2 + ... + zn i wyodrębnić część rzeczywistą i część urojoną tego wyrażenia).
Uwaga. Dla ułatwienia rachunków można doprowadzić zn+1 z oraz z 1 do postaci zbliżonej do
trygonometrycznej). Odp.:
n
kĄ
9*a) Rozkładając wielomian x2n+1 1 na czynniki rzeczywiste, obliczyć iloczyn x2 - 2x cos +1ś# .
ś#
"�# ź#
2n +1
k=1 �# #
n-1
(2k +1)Ą
b) Rozkładając wielomian x2n+1 na czynniki rzeczywiste, obliczyć iloczyn x2 - 2x cos +1ś# .
ś#
"�# ź#
2n
k=1 �# #
10) Podać interpretację geometryczną zbiorów liczb zespolonych:
a) {z: |z-i| d" 4, 0 d" arg z d"Ą/2}; b) {z: |2z + 3| > 4}; c) {z: |z +1  i| < 2}; d) {z: |z  4| > |z|};
e) D1 = {z "C :1<| z - i + 2 |d" 2}; f) D2 = {z "C : (Ą / 4 d" arg z < Ą / 2) '" (Re z < 2 Im z)};
g) D3 = {z "C :| z - i | + | z + i |< 4}
11) Wykazać prawdziwość tożsamości (dla dowolnych liczb zespolonych z1, z2):
a) |z1 + z2|2 +|z1  z2|2 = 2(|z1|2 + |z2|2)
Str. 2 z 46
(jest to szczególny - w przypadku liczb zespolonych - przypadek tzw. reguły równoległoboku, prawdziwej dla
normy zdefiniowanej jako pierwiastek kwadratowy z iloczynu skalarnego wektora przez siebie);
b) |1+ z1z2 |2 + | z1 - z2 |2 = (1+ | z1 |2)(1+ | z2 |2)
c) |1- z1z2 |2 - | z1 - z2 |2 = (1- | z1 |2)(1- | z2 |2)
d)* | z1(1+ | z2 |2) |2 - | z1(1+ | z2 |2) |2 =| z1 - z2 |2 -(z1z2 - z1z2)2 (dosyć żmudne);
we wszystkich przypadkach korzystać intensywnie z tego, że | u |2 = uu .
3
12) Obliczyć wszystkie wartości 1+ i (wsk.: wykorzystać wzory połówkowe, tożsamości z zadania 7 oraz
fakt, że 17/12 Ą=18/12 Ą  1/12 Ą = 3/2 Ą  1/12 Ą .
n
1+ iz
�# ś#
13) Znalez
ć wszystkie zespolone rozwiązania równania = 1.
ś# ź#
�#1- iz #
14)* a) Znalez
ć wszystkie zespolone pierwiastki stopnia 5 z jedynki, rozwiązując równanie
1
z4 + z3 + z2 + z +1 = 0 , po podzieleniu przez z2, za pomocą podstawienia z + = w . Znalez
ć także
z
pierwiastki piątego stopnia z liczb  1, i oraz  i.
b) To samo, korzystając z tego, że 3*72=360  2*72, sin 3x = 3 sin x  4 sin3x.
Inne zadania dotyczące liczb zespolonych
1. Wyrazić Re z i Im z za pomocą z i z .
2. Niech z = a + bi . Wyznaczyć: a) część rzeczywistą i urojoną odwrotności liczby z ; b) iloraz z / z ;
z
c) Im .
z
3. Obliczyć wartości wyrażeń: (2 3i)( 1+2i), 1/(1 2i), (2+i)/(3 2i), (1+2i)3,((3 i)/(2+3i))2
4. Dla jakich wartości rzeczywistych a i b spełnione są relacje:
a) a(2+3i)+b(4 5i)=6 2i
b) a(- 2 + i) + b(3 2 + 5i) = 8i
2
2 + i 4 - i
c) a + b�# ś# = 1- i
ś# ź#
3- i
�#1- 3i #
5. Rozwiązać równania: a) (1 i)2z+1+i=2 i; b) z2 2z+3=0; c) z2 4z+5=0; d) iz2+(1+i)z 1/2=0;
e) (1 i)z2 iz 1+i=0 f)iz2+2z+i=0
3
6. Wyznaczyć wszystkie pierwiastki: 1,6 1,12 1,16 1
7. Korzystając z wzorów de Moivre'a na potęgowanie wyprowadzić wzory na sin 4a i cos 4a.
Ą Ą
8. Korzystając z wzorów de Moivre'a na pierwiastkowanie wyznaczyć wartości sin i cos .
8 8
9. Rozwiązać równania: a) z3 +1 = 0; b) z4 + 4 + 4i 3 = 0; c) 8 2z3 +1- i = 0.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
Niech K = (K,+,�") będzie pewnym ciałem - zwanym w dalszym ciągu ciałem skalarów. (Wystarczy
wiedzieć, że zarówno R (zbiór liczb rzeczywistych) jak i C (zbiór liczb zespolonych) wraz z czterema
działaniami: dodawaniem, odejmowaniem, mnożeniem i dzieleniem przez liczbę różną od zera - są ciałami.
Uwaga: także W (zbiór liczb wymiernych) z tymi działaniami jest ciałem. )
Definicja: Przestrzenią wektorową nad ciałem K nazywamy czwórkę V=(V,+," ,K), gdzie
0) V - pewien zbiór niepusty (zwany zbiorem wektorów);
Str. 3 z 46
+:V�VV - działanie dwuargumentowe na zbiorze V, tzn. funkcja, przyporządkowująca każdym
dwóm wektorom u, v"V wektor u + v, zwany sumą tych wektorów;
" :K�VV - funkcja, przyporządkowująca każdej parze (ą,v), gdzie ą jest skalarem (ą"K), zaś v jest
wektorem (v"V) - pewien wektor, zwany iloczynem wektora v przez skalar ą i oznaczany przez ą" v (lub też
krócej - po prostu przez ąv) -
- przy czym spełnione są następujące aksjomaty 1) i 2):
1) (V,+) jest grupą (zob. a, b, c poniżej) i to przemienną, czyli abelową (d), tzn.:
a) dla dowolnych wektorów u, v, w zachodzi
(u + v) + w = u + (v + w) (łączność dodawania wektorów);
b) istnieje element 0"V taki, że
0 + v = v = v + 0 dla dowolnego wektora v"V;
0 nazywamy wektorem zerowym, jest on elementem neutralnym względem
dodawania wektorów;
c) dla każdego wektora v"V istnieje wektor oznaczany przez  v taki, że
v + ( v) = 0 = ( v) + v;
d) dla dowolnych wektorów u, v zachodzi
u + v = v + u (przemienność dodawania wektorów).
2) Dla dowolnych wektorów i skalarów występujących poniżej zachodzą równości:
a) ą" (u + v) = ą" u + ą" v ;
b) (ą+�)" v = ą" v + �" v ;
c) ą" (�" v) = (ą�)" v ;
d) 1" v = v.
Z powyższych aksjomatów można z łatwością wyprowadzić następujące własności:
a) 0" v=0;
b) ą" 0=0;
c) ( ą)" v =  (ą" v) = ą" ( v), w szczególności ( 1)" v =  v;
d) ą" v = 0 �! (ą = 0 lub v = 0).
Od tej pory rezygnujemy z rozróżniania + i +,  i  , �" i " oraz 0 i 0.
Przykłady.
1.1) K - dowolne ciało, V = Kn , tzn. V jest zbiorem wszystkich ciągów n-elementowych
(x1, x2, ... , xn), gdzie xi"K dla i=1,2,...,n. Definiujemy działania w V jak następuje:
(x1, x2, ..., xn) + (x1, x2, ..., xn) = (x1 + y1, x2 + y2, ...xn + yn)
ą(x1, x2, ..., xn ) = (ąx1, ąx2, ..., ąxn).
(Najczęściej rozważamy takie przestrzenie nad K = R bądz
też K = C, tzn. mamy do czynienia z Rn bądz
Cn.)
1.1') K jak wyżej, V = Kn[x], tzn. V jest zbiorem wszystkich wielomianów stopnia d" n o współczynnikach z K.
Dodawanie wielomianów i mnożenie wielomianu przez stałą (skalar z K) są określone w zwykły sposób.
Ponieważ wielomian możemy uważać za ciąg jego współczynników, tzn. współczynników przy kolejnych
potęgach 1, x, x2..., xn, rozważana przestrzeń z punktu widzenia teorii przestrzeni wektorowych w zasadzie
niczym się nie różni od przestrzeni z przykładu 1 z n zastąpionym przez n+1 (w algebrze mówimy, że
przestrzenie Kn[x] i Kn+1 są izomorficzne: istnieje wzajemnie jednoznaczne przekształcenie jednej z nich na
drugą, zachowujące działania przestrzeni wektorowej, tzn. liniowe - zob. dalej).
1.1'') K jak wyżej, V = Mm�n(K), tzn. V jest zbiorem wszystkich macierzy o m wierszach i n kolumnach, o
elementach z K. Dodawanie macierzy i mnożenie macierzy przez liczbę (element ciała K) określamy w zwykły
Str. 4 z 46
sposób. Okazuje się, że przestrzeń ta jest izomorficzna z Kmn . W szczególności, zarówno przestrzeń M1�n(K)
(macierze jednowierszowe, jak i Mn�1(K) (macierze jednokolumnowe) możemy utożsamiać z Kn .
PODPRZESTRZENIE PRZESTRZENI WEKTOROWEJ
Definicja. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K i niech W będzie pewnym niepustym
podzbiorem zbioru V (Wą"V). Mówimy, że W jest podprzestrzenią przestrzeni V, jeżeli spełnione są
następujące dwa warunki:
a) dla dowolnych wektorów w1, w2 "W, ich suma w1 + w2 również należy do W;
b) dla dowolnego skalara ą i dla dowolnego wektora w"W, iloczyn ąw również należy do W.
Oba te warunki wyrażamy krótko mówiąc, że podzbiór W jest zamknięty ze względu na dodawanie
wektorów i ze względu na mnożenie przez dowolny skalar z K. A
atwo zauważyć, że każda podprzestrzeń
przestrzeni wektorowej sama jest przestrzenią wektorową ze względu na odpowiednio ograniczone działania.
Powyższe warunki a) i b) wyrażamy niekiedy łącznie poprzez jeden warunek:
c) dla dowolnych w1 ,w2 "W i ą1, ą2 "K, zachodzi ą1w1 + ą2w2 "W.
Występujące powyżej wyrażenie ą1w1 + ą2w2 jest kombinacją liniową (zdefiniowaną w następnym paragrafie)
dwóch wektorów w1, w2. Okaże się, że w istocie podprzestrzeń wektorowa jest zamknięta na branie kombinacji
liniowej dowolnego układu wektorów do niej należących.
Przykłady.
2.1) W przestrzeni z przykładu 1.1, rozważmy podzbiór, do którego należą wszystkie te punkty (x1 ,...,xn ),
które spełniają ustalony jednorodny układ równań liniowych:
a11x1 + a12x2 +...+ a1nxn =0
a21x1 + a22x2 +...+ a2nxn =0
..........................................
am1x1 + am2x2 +...+ amnxn =0
lub, w równoważnym zapisie, zbiór macierzy jednokolumnowych X (tzn. n�1) spełniających równanie
macierzowe AX=0, gdzie A=[aij] jest ustaloną macierzą m�n. A
atwo przekonać się, że podzbiór ten stanowi
podprzestrzeń rozważanej przestrzeni.
2.1') Przestrzeń Km[x] jest podprzestrzenią przestrzeni Kn[x] dla md"n. Wszystkie przestrzenie Kn[x] są
oczywiście podprzestrzeniami przestrzeni K[x]. Innym przykładem podprzestrzeni przestrzeni Kn[x] jest zbiór,
składający się ze wszystkich wielomianów, których pierwsza pochodna jest równa 0. (Ogólnie, dla dowolnego
przekształcenia liniowego, jego jądro, tzn. zbiór wektorów pierwszej przestrzeni, które przechodzą przy tym
przekształceniu na zero drugiej przestrzeni, jest podprzestrzenią pierwszej przestrzeni.)
2.1'') Zbiory macierzy a) symetrycznych (AT = A); b) antysymetrycznych (AT =  A); c) diagonalnych (aij=0 dla
i`"j) - są podprzestrzeniami przestrzeni Mm�n(K).
2.4) Zbiory funkcji a) ciągłych b) różniczkowalnych - są podprzestrzeniami przestrzeni wszystkich funkcji
rzeczywistych określonych na danym przedziale. Podobnie: zbiór funkcji zerujących się na ustalonym
podprzedziale tego przedziału; zbiór funkcji parzystych na przedziale < a,a>; zbiór funkcji nieparzystych na
przedziale < a,a>.
Można wykazać, że:
Str. 5 z 46
(i) przecięcie (część wspólna) dwóch, i ogólnie - dowolnej rodziny podprzestrzeni danej przestrzeni jest
również podprzestrzenią tej przestrzeni; w szczególności, istnieje najmniejsza podprzestrzeń zawierająca dany
podzbiór A tej przestrzeni;
(ii) suma (algebraiczna, nie teoriomnogościowa) dwóch podprzestrzeni W1 i W2 danej przestrzeni V, tzn. zbiór
tych wektorów v"V, które dadzą się przedstawić w postaci
v = w1 + w2 , gdzie w1"W i w2"W
 jest również podprzestrzenią tej przestrzeni.
KOMBINACJA LINIOWA UKA
ADU WEKTORÓW.
PODPRZESTRZEC
GENEROWANA PRZEZ DANY UKA
AD WEKTORÓW.
Definicja. Niech będą dane wektory v1, v2, ..., vk danej przestrzeni wektorowej. Mówimy, że wektor
v"V jest kombinacją liniową wektorów v1, v2, ..., vk, jeżeli istnieją skalary ą1, ą2, ..., ąk , takie że
v = ą1v1 + ą2v2 + ... + ąkvk .
Mówimy wtedy też, że wektor v daje się przedstawić w postaci kombinacji liniowej danego układu wektorów.
Skalary ą1, ą2, ..., ąk nazywamy współczynnikami tej kombinacji liniowej. Kombinacją liniową możemy też
nazywać każde wyrażenie postaci ą1v1 + ą2v2 + ... + ąkvk jak wyżej, gdzie vi są wektorami danego układu, zaś
ąi - dowolnymi skalarami. Zbiór wszystkich kombinacji liniowych wektorów ze zbioru A oznaczamy prze
L(A) lub Span A (lub Lin A)  jest to najmniejsza podprzestrzeń rozważanej przestrzeni, zawierająca zbiór A,
czyli podprzestrzeń generowana przez A lub podprzestrzeń rozpięta na A.
Mówimy, że zbiór A generuje daną przestrzeń wektorową V, jeżeli L(A)=V, tzn. każdy wektor z
przestrzeni V daje się przedstawić jako pewna kombinacja liniowa wektorów zbioru A. W naszym wykładzie
najczęściej będziemy korzystali z tego pojęcia w przypadku skończonego układu wektorów - powtórzmy
zatem, że:
zbiór (układ) wektorów {v1, v2, ..., vk} generuje przestrzeń V, jeżeli każdy wektor v"V posiada przedstawienie
w postaci pewnej kombinacji liniowej tego układu (tzn.
v=ą1v1 + ą2v2 + ... + ąkvk dla odpowiednio dobranych skalarów ąi"K).
Przedstawienie takie na ogół nie jest jednoznaczne - z wyjątkiem pewnych szczególnych przypadków, o
których będzie mowa przy omawianiu pojęcia bazy przestrzeni wektorowej.
LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ WEKTORÓW. GENEROWANIE PRZESTRZENI.
Definicja. Niech V będzie przestrzenią wektorową (nad K), niech v1, v2, ... vk "V. Mówimy, że zbiór
(układ) wektorów {v1, v2, ..., vk} jest:
a) liniowo zależny, jeżeli istnieją ą1, ą2, ..., ąk"K nie wszystkie równe zeru, takie że
ą1v1 + ą2v2 + ... + ąkvk = 0
(tzn. istnieje nietrywialna kombinacja liniowa tego zbioru, która się zeruje; aby stwierdzić, że badane wektory
są liniowo zależne, wystarczy więc podać przynajmniej jedną taką nietrywialną kombinację);
b) liniowo niezależny - w przeciwnym przypadku, tzn. gdy
warunek ą1v1 + ą2v2 + ... + ąkvk = 0 pociąga za sobą ą1 = ą2 = ... = ąk = 0;
(inaczej mówiąc, gdy jedyną kombinacją liniową tego zbioru, która się zeruje, jest kombinacja trywialna, ze
wszystkimi współczynnikami równymi zeru). Jak widać, warunek liniowej niezależności układu wektorów ma
postać implikacji - której prawdziwość trzeba sprawdzać w konkretnych przypadkach badania liniowej
niezależności danych wektorów.
Str. 6 z 46
Przykłady. Zbiór złożony z jednego wektora - powiedzmy {v} jest liniowo niezależny wtedy i tylko
wtedy, gdy wektor ten jest niezerowy. Zbiór złożony z dwu wektorów - {v1, v2}, gdzie dla uproszczenia
zakładamy że v1`"0 - jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy v2 =ąv1 dla pewnego ą, tzn. gdy wektor v2
jest równoległy do v1 (leży na prostej, wyznaczonej przez kierunek wektora v1). Zbiór {v1, v2, v3}, gdzie dla
uproszczenia zakładamy, że pierwsze dwa wektory są liniowo niezależne - jest liniowo zależny wtedy i tylko
wtedy, gdy v3 jest kombinacją liniową pierwszych dwóch wektorów, tzn., geometrycznie, leży na płaszczyz
nie
rozpiętej na wektorach v1 i v2 . Można ogólnie udowodnić, że:
Wektory v1 ,v2 ,...,vk są liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy v1 =0 lub też jeden z wektorów jest
kombinacją liniową wektorów poprzedzających go w tym ciągu. (Warunek v1 =0 można w powyższym
sformułowaniu opuścić, jeżeli przyjąć umowę, że wektor zerowy uważamy za kombinację liniową pustego
zbioru wektorów; wtedy fakt, że v1 =0 jest równoznaczny ze stwierdzeniem, że v1 jest kombinacją liniową
wektorów go poprzedzających, tzn. zbioru pustego !)
Można również stwierdzić, że: zbiór A jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje v"A taki,
że v jest kombinacją liniową wektorów pozostałych, tzn. zbioru A \ {v}. (W odróżnieniu od poprzedniego
twierdzenia, zbiór A może tu być nieskończony i jego elementy nie muszą być ustawione w jakimś zadanym z
góry porządku; dlatego nie możemy mówić o elementach poprzedzających jakiś element, ale zawsze mamy
prawo mówić o pozostałych elementach zbioru, czyli o zbiorze A \ {v}.)
W wielu przypadkach badanie liniowej zależności bądz
też niezależności danego układu wektorów
można sprowadzić do badania istnienia niezerowych (nietrywialnych) rozwiązań pewnego jednorodnego
układu równań liniowych, co z kolei w niektórych przypadkach wiąże się z zerowaniem się (lub nie) pewnych
wyznaczników.
Tak więc, jeżeli badamy układ n wektorów v1, v2, ... vn w przestrzeni Km , to każdy z wektorów vi jest, z
definicji Km, pewnym m - elementowym ciągiem: vi =(ai1, ai2, ..., ain), i = 1,2,...,n. Warunek x1v1 + x2v2 + ...+
xnvn = 0, występujący zarówno w definicji liniowej zależności, jak i niezależności można zapisać jako
a11x1 + a12x2 +...+ a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 +...+ a2nxn = 0
.............................................
am1x1 + am2x2 +...+ amnxn = 0
czyli w postaci układu m równań liniowych jednorodnych z k niewiadomymi x1, x2, ..., xn. W myśl podanych
definicji, wektory te są liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy układ ten posiada rozwiązanie niezerowe, zaś
liniowo niezależne - wtedy i tylko wtedy, gdy układ ten posiada jedynie rozwiązanie zerowe. W szczególności
jeżeli m = n, to ma zastosowanie twierdzenie Cramera i wystarczy zbadać odpowiedni wyznacznik n�n,
utworzony ze współrzędnych badanych wektorów (wektory są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy
wyznacznik ten jest różny od zera). (Natomiast jeżeli m `" n, to trzeba wiedzieć coś więcej o układach równań -
np. znać twierdzenie Kroneckera  Capelli ego i pojęcie rzędu macierzy, choć nie jest to bezwzględnie
konieczne. Badane wektory są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy utworzonej z ich
współrzędnych w pewnej bazie jest równy ilości tych wektorów.)
Zwróćmy wreszcie uwagę na pewną konsekwencję liniowej niezależności układu wektorów, dotyczącą
przedstawienia wektora w postaci kombinacji liniowej tego układu:
Jeżeli układ (v1, v2, ..., vk) jest liniowo niezależny, to przedstawienie danego wektora v w postaci
kombinacji liniowej tego układu, o ile istnieje - jest jednoznaczne:
jeżeli v = ą1v1 + ą2v2 + ... + ąkvk = �1v1 + �2v2 + ... + �kvk , to ąi=�i dla i=1,2,...,k
(wynika to natychmiast z liniowej niezależności po przeniesieniu wszystkich składników na jedną stronę
równości i zgrupowaniu współczynników przy poszczególnych wektorach). Fakt ten można natychmiast
Str. 7 z 46
uogólnić także na nieskończony układ wektorów i stanowi on podstawę możliwości jednoznacznego
zdefiniowania współrzędnych wektora względem bazy, o czym będzie mowa dalej.
BAZA PRZESTRZENI WEKTOROWEJ.
WSPÓA
RZ
DNE WEKTORA WZGL
DEM BAZY.
WYMIAR PRZESTRZENI WEKTOROWEJ.
Niech V będzie przestrzenią wektorową. Zbiór Bą"V nazywamy bazą tej przestrzeni, jeżeli generuje V i
jest liniowo niezależny.
Przykłady.
5.1) W przestrzeni Kn układ (e1, e2, ..., en), gdzie e1 = (1,0,0,...,0), e2 = (0,1,0,...,0), ..., en = (0,0,0,...,1) - jest
bazą. Istotnie, każdy wektor x=(x1, x2, ..., xn) ma przedstawienie
x = x1e1 + x2e2 + ... + xnen ,
zaś liniowa niezależność tego zbioru wynika wprost z definicji liniowej niezależności.
5.1') W przestrzeni Kn[x] wielomianów stopnia d" n bazą jest np. układ 1; x; x2; ...; xn . W przestrzeni K[x]
nieskończony układ 1; x; x2; x3 ; ... jest bazą. Podobnie w przestrzeni K" bazą jest np. nieskończony ciąg e1,
0
e2, e3 , ... , gdzie ei = (0,0,...,0,1,0,...), tzn. ei ma jedynkę na i-tym miejscu, a 0 na pozostałych. W przestrzeni K"
istnieje niewątpliwie jakaś baza (można udowodnić, że każda przestrzeń wektorowa posiada bazę - zobacz
dalej), ale ciąg e1, e2, e3 , ... nie jest bazą (bo np. element (1,1,1,...) nie przedstawia się jako kombinacja liniowa
tego ciągu - taka kombinacja liniowa musiałaby mieć współczynniki przy wszystkich ei równe jeden, a zatem
musiałoby być nieskończenie wiele współczynników różnych od zera - czego definicja kombinacji liniowej nie
dopuszcza).
Zadanie. Podać przykład bazy dla przestrzeni macierzy n�n i dla jej dwóch podprzestrzeni - podprzestrzeni
macierzy symetrycznych (AT = A, tzn. aji = aij dla i,j=1,2,...,n) i podprzestrzeni macierzy antysymetrycznych
(AT =  A, tzn. aji =  aij dla i,j=1,2,...,n).
To, że B generuje V - oznacza, że każdy wektor v"V ma przedstawienie w postaci kombinacji liniowej
wektorów zbioru B. Na mocy liniowej niezależności zbioru B, w myśl uwagi z poprzedniego paragrafu, to
przedstawienie jest jednoznaczne (z dokładnością do porządku składników i ew. składników z zerowymi
współczynnikami). Tak więc:
Jeżeli B jest bazą przestrzeni V, to każdy wektor przestrzeni V
ma jednoznaczne przedstawienie w postaci kombinacji liniowej wektorów zbioru B.
Na odwrót, jeżeli każdy wektor przestrzeni V ma jednoznaczne przedstawienie w postaci kombinacji
liniowej zbioru B, to B jest bazą przestrzeni V. W istocie, aby udowodnić liniową niezależność zbioru B,
załóżmy, że (dla uproszczenia przyjmujemy, że zbiór B jest skończony)
ą1v1 + ą2v2 + ... + ąkvk = 0 = 0v1 + 0v2 + ... + 0vk;
ponieważ w szczególności przedstawienie wektora zerowego w postaci kombinacji liniowej zbioru B jest
jednoznaczne, musi być
ą1 = 0, ą2 = 0, ..., ąk = 0,
cnd.
Jeżeli B jest zbiorem skończonym, to na ogół przyjmujemy, że elementy zbioru B są ponumerowane w
pewnej kolejności - czyli mamy wtedy właściwie do czynienia z bazą uporządkowaną, tzn. ciągiem B=(v1, v2,
..., vn). Fakt, że B jest bazą oznacza więc wtedy, że każdy wektor v"V ma przedstawienie w postaci
v = ą1v1 + ą2v2 + ... + ąnvn
Str. 8 z 46
przy czym współczynniki tego przedstawienia są wyznaczone jednoznacznie. Współczynniki te nazywamy
współrzędnymi wektora v w bazie B. Zwykle współrzędne wektora v w bazie B zapisujemy w postaci macierzy
kolumnowej (tzn. [ą1, ą2, ... ąn]T) i oznaczamy przez MB(v).
Twierdzenie. Niech V będzie przestrzenią wektorową, Bą"V. Wtedy następujące warunki są sobie równoważne:
B jest bazą przestrzeni V
B jest liniowo niezależny i B generuje V
B jest maksymalnym liniowo B jest minimalnym podzbiorem
niezależnym podzbiorem zbioru V, generującym V, tzn. B generu-
tzn. B jest liniowo je V i dla dowolnego v"B, zbiór
niezależny i dla dowolnego v"V\B, B\{v} nie generuje prz. V
zbiór B*"{v} jest liniowo zależny.
Ponadto, gdy dim V = n < " (zob. dalej),
dochodzą nowe równoważne warunki,
a mianowicie:
B jest liniowo niezależny B generuje V i ma n=dim V elementów
i ma n=dim V elementów
Warunki powyższe wiążą się z możliwością uzupełniania danego liniowo niezależnego podzbioru
przestrzeni do jej bazy oraz wybierania bazy z danego zbioru generującego przestrzeń. Mianowicie:
Niech
A-liniowo niezależny podzbiór przestrzeni V,
C-zbiór generujący (rozpinający) przestrzeń V,
przy czym A ą" C.
Wtedy istnieje baza B przestrzeni V taka, że Aą"Bą"C.
Wnioski:
Każdy liniowo niezależny podzbiór A przestrzeni V
można uzupełnić do bazy tej przestrzeni (wystarczy wziąć C=V !).
(W praktyce, mając A dopisujemy do niego dowolny (skończony) układ generatorów, np. znaną już
jakąkolwiek bazę, i stosujemy procedurę wykreślania tych wektorów, które są kombinacjami liniowymi
wektorów je poprzedzających. Ponieważ sam zbiór A jest liniowo niezależny, żaden z jego elementów nie
ulegnie wykreśleniu.)
Z każdego zbioru generującego przestrzeń V
można wybrać bazę tej przestrzeni (wystarczy wziąć A = " (zbiór pusty)).
Str. 9 z 46
(W praktyce, mając do czynienia ze (skończonym) zbiorem generującym przestrzeń V, wystarczy kolejno
wykreślić z niego te wektory, które są kombinacją liniową wektorów je poprzedzających.)
W szczególności,
każda przestrzeń wektorowa ma bazę.
Dowodzi się, że każde dwie bazy przestrzeni W składają się z tej samej liczby wektorów. Wymiarem
przestrzeni W nazywamy ilość wektorów jej bazy. Przestrzeń jest skończenie wymiarowa, jeżeli ma skończoną
bazę, w przeciwnym przypadku mówimy, że jest nieskończenie wymiarowa.
DALSZE WA
ASNOŚCI WSPÓA
RZ
DNYCH WEKTORA W BAZIE.
Jeżeli baza B rozpatrywanej przestrzeni jest zbiorem skończonym, to na ogół przyjmujemy, że elementy
zbioru B są ponumerowane w pewnej kolejności - czyli mamy właściwie do czynienia z bazą uporządkowaną,
tzn. ciągiem B=(v1, v2, ..., vn). Fakt, że B jest bazą oznacza więc wtedy, że każdy wektor v"V ma
przedstawienie w postaci
v = ą1v1 + ą2v2 + ... + ąnvn
przy czym współczynniki tego przedstawienia są wyznaczone jednoznacznie. Współczynniki te nazywamy
współrzędnymi wektora v w bazie B. Zwykle współrzędne wektora v w bazie B zapisujemy w postaci macierzy
kolumnowej (tzn. ściśle mówiąc - jednokolumnowej) [ą1, ą2, ... ąn]T i oznaczamy przez MB(v) lub [v]B.
Odwzorowanie MB ma oczywiście następujące własności:
MB(v1 + v2) = MB(v1) + MB(v2);
MB(ąv)=ąMB(v);
ogólniej,
MB(ą1v1 + ą2v2 + ... + ąkvk) = ą1MB(v1) + ą2MB(v2) + ... + ąkMB(vk),
w szczególności
MB(0)=0;
wszystkie te fakty możemy skwitować stwierdzeniem, że MB jest odwzorowaniem liniowym - zobacz dalej.
MB możemy w sposób naturalny uogólnić na układy wektorów:
jeżeli U=(u1, u2, ..., uk), to przez MB(U) będziemy rozumieć macierz n�k, powstałą przez ustawienie obok
siebie jednokolumnowych macierzy MB(u1), MB(u2), ..., MB(uk) - co zapisujemy jako
[MB(u1)|MB(u2)|...|MB(uk)]. Inaczej mówiąc, MB(U) jest macierzą, której poszczególne kolumny są kolumnami
współrzędnych wektorów układu U w bazie B.
Niech B będzie ustaloną bazą przestrzeni V, n=dim V, U będzie dowolnym układem k wektorów.
Wtedy:
podprzestrzeń W przestrzeni V generowana przez U ma wymiar rz MB(U);
w szczególności:
układ U jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy rz MB(U)=k;
układ U generuje całą przestrzeń V wtedy i tylko wtedy, gdy rz MB(U) = n = dim V;
w jeszcze bardziej szczególnym przypadku, gdy układ U składa się z n = dim V wektorów:
U jest bazą przestrzeni wtedy i tylko wtedy, gdy rz MB(U)=n,
co z kolei zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy det MB(U) `" 0.
Str. 10 z 46
Jeżeli C jest również bazą przestrzeni V, to macierz MB(C) będziemy nazywać macierzą zmiany bazy
(zmiany bazy B na bazę C) lub macierzą przejścia od bazy B do bazy C. (B nazywamy często umownie "starą"
bazą, zaś C - "nową".) Mamy w szczególności C=BMB(C). Ponieważ dla dowolnego wektora v mamy
BMB(v) = v = CMC(v)=BMB(C)MC(v),
zaś równość tę można interpretować w ten sposób, że macierzą współrzędnych wektora v w bazie B jest
zarówno MB(v), jak i MB(C)MC(v) (a współrzędne wektora są wyznaczone jednoznacznie), więc
MB(v) = MB(C)MC(v).
Równość tę można z kolei uogólnić na dowolne układy wektorów:
MB(U) = MB(C)MC(U) .
W szczególności podstawiając tu U=B, otrzymujemy
I = MB(B) = MB(C)MC(B) ,
czyli macierze MB(C) i MC(B) są wzajemnie odwrotne. Wobec tego otrzymujemy także związek odwrotny
pomiędzy współrzędnymi tego samego wektora w dwóch bazach, a mianowicie
MC(v) = MC(B)MB(v) = [MB(C)] 1MB(v) .
1. Zbadać, czy wektory v1 = (1,2,3), v2 = (4,5,6), v3 = (7,8,9) w R3 są liniowo zależne. Odp.: Tak, np.
v1  2v2 + v3 = 0 jest nietrywialną zależnością liniową między tymi wektorami.
2. Zbadać liniową niezależność / zależność wektorów:
a) (1,1,1),( 1,2,1); b) (1,3,1,2),(2,3,2,1),(4,1,0,1),(1, 5, 3, 2); c) (1,3,1),(1,0,3),(2,2,2); d) (5,1, 1),( 3,0,2),
( 1,1,3); e) (1,2,1,0),(2,2,1,1),(3,2,4,1),(3,1,3,1),(1, 1, 1,3). Odp. a),c) są lin. niezal; b), d), e) są lin. zależne.
3. Znalez
ć wszystkie wartości parametru , przy których wektor b wyraża się jako kombinacja liniowa
wektorów a1, a2,..., as. Znalez
ć taką kombinację. Czy jest ona wyznaczona jednoznacznie? Zinterpretować
otrzymany wynik geometrycznie.
a) a1=(2,3,5), a2=(3,7,8), a3=(1, 6,1), b=(7, 2, ). Odp.: =15 (niejednoznacznie).
b) a1=(4,4,3), a2=(7,2,1), a3=(4,1,6), b=(5,9, ). Odp.:  - dowolne (jednoznacznie).
c) a1=(3,4,2), a2=(6,8,7), b=(9,12,) Odp.:  - dowolne (wszystko dzieje się na płaszczyz
nie 4x1 3x2=0).
d) a1=(3,2,5), a2=(2,4,7), a3=(5,6,), b=(1,3,5). Odp. `"12 (jednoznacznie).
r) a1=(3,2,6), a2=(7,3,9), a3=(5,1,3), b=(,2,5). Odp. Nigdy (płaszczyzna 3x2 x3=0).
4. Wykazać, że funkcje 1, cos x, sin x (rozważane np. jako elementy przestrzeni wszystkich funkcji ciągłych na
prostej) są liniowo niezależne.
5. Rozważmy zbiór R2 z następująco wprowadzonymi działaniami:
(x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1, x2 + y2);
ą(x1, x2) = (ąx1, 0) dla ą"R.
Czy przy takich definicjach działań R2 jest przestrzenią wektorową? Które z aksjomatów przestrzeni
wektorowej są spełnione, a które ewentualnie nie? [Pytanie na póz
niej: Jeżeli tak, tzn. jeżeli jest przestrzenią
wektorową, to podać przykład jakiejkolwiek bazy tej przestrzeni.]
1 2 3
6. Wykazać, że funkcje e x,e x,e x , gdzie 1,2,3 są parami różne - tworzą układ liniowo niezależny.
Wskazówka. Założyć, że pewna kombinacja liniowa się zeruje - zróżniczkować ją 0, 1, 2 razy, podstawić x=0,
otrzymując pewien jednorodny układ równań liniowych względem współczynników kombinacji liniowej - o
wyznaczniku różnym od zera (jest to szczególny przypadek tzw. wyznacznika Vandermonda; dla większej
ilości parametrów liczy się go przez indukcję).
Str. 11 z 46
7. Wykazać, że funkcje cos2x, sin2x, cos4x, sin4x są liniowo zależne. Wsk.: Rozważyć cos4x sin4x
8. W przestrzeni R3 rozważamy podzbiór W={(x1,x2,x3): 2x1+3x2+5x3=0}.
a) Zbadać, czy W jest podprzestrzenią.
Jeżeli tak, to:
b) podać przykład bazy tej przestrzeni (tzn. W);
c) czy wektor (5, 5,1) należy do W? Jeżeli tak, to
ca) czy wektor ten da się przedstawić w postaci kombinacji liniowej wektorów znalezionej bazy - jeżeli tak, to
znalez
ć taką kombinację liniową i
cb) zbadać, czy takie przedstawienie (tzn. w postaci kombinacji liniowej wektorów bazy) jest jednoznaczne.
Odp. a) tak; b) np. {( 3/2,1,0),( 5/2,0,1)} - znajdujemy rozwiązując  jednorównaniowy układ równań
liniowych; c) tak; ca) tak - oczywiście, z definicji bazy; konkretnie - współczynniki (3,5), tak że [3,5]T jest
kolumną współrzędnych danego wektora w tej bazie; cb) - tak, oczywiście, z wyznaczenia jedynego
rozwiązania lub z własności bazy.
9. Rozstrzygnąć pytanie w a) z powyższego zadania także dla W={(x1,x2,x3): x1+x2+x3=1}, W={(x1,x2,x3):
x1+x22=1}, W={(x1,x2,x3): x1jest liczbą wymierną}.
10. Rozważamy zbiór wszystkich macierzy antysymetrycznych n na n (tzn. takich, że AT =  A) - wykazać, że
zbiór ten jest podprzestrzenią przestrzeni wszystkich macierzy n na n; podać (skonstruować) przykład bazy -
najpierw w szczególnym przypadku n=3, a następnie ogólnie - jaki jest wymiar tej przestrzeni? Odp.: n(n 1)/2 .
11. Niech A będzie daną macierzą n na n, i niech W={X: AX=XA}, tzn. W jest zbiorem wszystkich macierzy
kwadratowych n na n przemiennych z macierzą A. Wykazać, że W jest podprzestrzenią przestrzeni wszystkich
1 2
Ą# ń#
macierzy kwadratowych n na n. W przypadku n=2 i gdy A jest konkretną macierzą 2 na 2, np. A =
ó#3 4Ą# ,
Ł# Ś#
podać przykład bazy przestrzeni W (to ostatnie znowu sprowadza się do rozwiązania układu czterech równań
liniowych z czterema niewiadomymi).
12. Podobnie, niech X będzie ustalonym wektorem kolumnowym i rozważamy zbiór W wszystkich macierzy
kwadratowych X takich, że AX=0. Wykazać, że jest to podprzestrzeń przestrzeni wszystkich macierzy
kwadratowych n na n. W szczególnym przypadku gdy n=2 i X=[1,2]T, znalez
ć (podać przykład) bazę
przestrzeni W.
13. Czy wektory e1=(2,2, 1), e2=(2, 1,2), e3=( 1,2,2) tworzą bazę przestrzeni R3 ? Jeśli tak, to znalez
ć
współrzędne wektora v=(1,1,1) w tej bazie.
14. Jak wiadomo, przestrzeń wielomianów stopnia d"n posiada za bazę np. układ wektorów 1;x;x2,...,xn, tak że
jej wymiar wynosi n+1. Wykazać, że inny układ n+1 wektorów, a mianowicie
1; x; x(x 1); x(x 1)(x 2); ... ; x(x 1)(x 2)...(x n+1)
jest również bazą tej przestrzeni.
Wsk. Wystarczy zbadać liniową niezależność. Podstawiać kolejno szczególne punkty x=0, x=1, x=2 itd., co
pozwoli otrzymać kolejno, że współczynniki kombinacji liniowej przy 1; x; x2 itd. muszą być równe zeru.
15. B=(e1,e2) - baza V. Niech B =(e1 , e2 ), gdzie e1 =2e1+3e2, e2 =2e1 e2. (Czyli e1 ma jako kolumnę
współrzędnych macierz [2,3]T, zaś e2 - macierz [2, 1]T.) a) Sprawdzić, że B jest również bazą przestrzeni V.)
b) Wektor v ma w bazie B współrzędne [2,3]T. Jakie współrzędne ma ten wektor w bazie B? c) Wektor v ma
w bazie B współrzędne [14,5]T. Jakie współrzędne ma ten wektor w bazie B ?
Odp. a) wynika np. z faktu, że wyznacznik utworzony ze wspomnianych kolumn (lub wierszy) jest różny od
zera; b) [10,3]T; c) [3,4]T.
16. Ogólnie, niech N=[aij] będzie macierzą n na n, det N`"0, B=(v1, v2, ..., vn), - ustalona baza przestrzeni V,
n
B =(v1 , v2 , ..., vn ), gdzie vj'= vi, j = 1,2,...,n (Tak więc kolumnami współrzędnych wektorów vj w
"a
ij
i=1
bazie B są kolejne kolumny macierzy N. Macierz N jest tzw. macierzą przejścia od bazy B do bazy B .)
Str. 12 z 46
a) Sprawdzić, że B jest bazą dzięki temu, że B jest bazą i det N`"0.
b) Zauważyć, że w tej sytuacji mamy także (częściowo symboliczną) równość
(v1',v2',...,vn') = (v1,v2,...,vn)N, czyli B'= BN .
c) Sprawdzić, że dany wektor v, który w bazie B ma kolumnę współrzędnych X =[x1 ,...,xn ]T, w bazie B ma
n
kolumnę współrzędnych X=[x1,...,xn]T, gdzie xi = xj' , i = 1,2,...,n , tzn. X=NX . (Uwaga - wtedy
"a
ij
j =1
oczywiście X =N 1X .)
17. Niech wektor v będzie kombinacją liniową wektorów u1, u2, ..., um, w, przy czym wektor v nie jest
kombinacją liniową wektorów u1, u2, ..., um . Wykazać, że wtedy wektor w jest kombinacją liniową
wektorów u1, u2, ..., um, v . (Jest to tzw. twierdzenie o wymianie.)
18. Wykazać, że jeżeli wektory v1, v2, v3, ... vm są liniowo zależne, to v1=0 lub też jeden z wektorów jest
kombinacją liniową poprzednich (warunek v1=0 można opuścić, jeżeli umówić się, że 0 uważamy za
kombinację liniową pustego zbioru wektorów); inne wysłowienie: jeden z wektorów należy do podprzestrzeni
generowanej przez wektory go poprzedzające w tym ciągu.
PRZEKSZTAA
CENIA LINIOWE PRZESTRZENI WEKTOROWYCH.
MACIERZ PRZEKSZTAA
CENIA LINIOWEGO.
ZMIANA BAZY W PRZESTRZENI WEKTOROWEJ.
Niech V i W będą przestrzeniami wektorowymi nad tym samym ciałem K. Odwzorowanie F:VW
nazywamy odwzorowaniem liniowym (przestrzeni V w przestrzeń W), jeżeli spełnione są następujące warunki:
(i) F(v1 + v2) = Fv1 + Fv2
(ii) F(ąv) = ą(Fv)
dla dowolnych wektorów v1, v2, v"V i dla dowolnego skalara ą. Te dwa warunki możemy też wyrazić
równoważnie jako
F(ą1v1 + ą2v2) = ą1Fv1 + ą2Fv2
dla dowolnych wektorów v1 ,v2 i skalarów ą1, ą2. Konsekwencją tych warunków jest z kolei zachowywanie
dowolnej kombinacji liniowej wektorów z przestrzeni V:
F(ą1v1 + ... + ąkvk) = ą1Fv1 + ... + ąkFvk
co możemy również zapisać jako
F(UC)=F(U)C,
jeżeli umówimy się, że przez dla układu U=(u1 , ..., uk) przez F(U) rozumiemy układ (Fu1, ..., Fuk); C jest tu
dowolną macierzą kolumnową [ą1, ą2, ..., ąk]T, a w konsekwencji także dowolną macierzą o k wierszach.
W szczególnym przypadku, gdy V=W, przekształcenie liniowe F:VV, tzn. przekształcenie liniowe
prowadzące z danej przestrzeni w nią samą, nazywamy operatorem liniowym.
Przykłady.
7.1) Niech V = Rn , W = Rm , przy czym elementy przestrzeni V i W utożsamiamy z ich jednokolumnowymi
macierzami współrzędnych w bazie  kanonicznej , tzn. zero-jedynkowej (inaczej mówiąc, ciągi (x1, x2, ...,
xn)"Rn utożsamiamy z macierzami kolumnowymi X=[x1, x2 , ..., xn]T). Niech A będzie ustaloną macierzą m�n.
Str. 13 z 46
Można z łatwością sprawdzić, że odwzorowanie F: VW dane wzorem: F(X)=AX dla X"V - jest liniowe.
Zobaczymy póz
niej, że przy ustalonych bazach (skończonych) w obu przestrzeniach, każde odwzorowanie
liniowe przekształca współrzędne wektorów właśnie w ten sposób.
7.2) W przestrzeni wielomianów, zarówno różniczkowanie (branie pochodnej), jak i mnożenie przez ustalony
wielomian - są odwzorowaniami liniowymi. W konsekwencji np. odwzorowanie, dane wzorem
F(w(x))=d2/dx2[(x2 + 1)w(x)] , jest odwzorowaniem liniowym.
A
atwo przekonać się, że:
(i) suma dwóch odwzorowań liniowych z V w W jest odwzorowaniem liniowym;
(ii) iloczyn danego odwzorowania liniowego przez dowolną liczbę (skalar z K) jest odwzorowaniem liniowym;
(iii) jeżeli F jest odwzorowaniem liniowym przestrzeni V w przestrzeń W, zaś G jest odwzorowaniem
liniowym przestrzeni W w przestrzeń U, to złożenie GF = G�F (rozumiane jako: (GF)v = G(Fv), v"V) jest
odwzorowaniem liniowym przestrzeni V w przestrzeń U.
(iv) jeżeli F jest przekształceniem liniowym F:V1V2 , oraz W1, W2 są podprzestrzeniami odpowiednio
przestrzeni V1 i V2 , to:
obraz podprzestrzeni W1 przy odwzorowaniu F, tzn. zbiór F(W1) = {Fw: w"W1} jest podprzestrzenią
przestrzeni V1; w szczególności obraz przekształcenia F, tzn. podzbiór
im F = F(V1) = {Fv: v"V1}
przestrzeni V2 jest podprzestrzenią przestrzeni V2 ;
przeciwobraz podprzestrzeni W2 przy przekształceniu F, tzn. zbiór
F 1(W) = {v"V: Fv"W2}
jest podprzestrzenią przestrzeni V1; w szczególności jądro przekształcenia F, tzn. zbiór ker F = {v"V1
:Fv=0}=F 1({0}) jest podprzestrzenią przestrzeni V (zauważmy, że przeciwobraz F 1(W) zawsze istnieje, nawet
gdy nie istnieje przekształcenie odwrotne do F, które - o ile istnieje - jest również oznaczane symbolem F 1, a
jego wartości - symbolem F 1(v1) z małym v1).
W szczególności obraz całej przestrzeni V1 przy odwzorowaniu liniowym F jest podprzestrzenią przestrzeni V2
 oznaczaną przez Im F (Im = image = obraz) - obraz F, zaś przeciwobraz zerowej podprzestrzeni przestrzeni
V2, czyli Ker F={v"V1:Fv=0V2}=F 1({0})  tzw. jądro (Ker=kernel=jądro) odwzorowania F  jest
podprzestrzenią przestrzeni V1, przy czym ker F={0} wtedy i tylko wtedy, gdy F jest różnowartościowe.
Jeżeli B jest ustaloną bazą przestrzeni V, to odwzorowanie liniowe F: VW jest w zupełności
wyznaczone przez swoje wartości przyjmowane na elementach bazy B, czyli układ F(B). Istotnie, dla każdego
wektora v"V mamy przecież v = BMB(v), więc Fv=F(BMB(v))=(na mocy powyższej równości związanej z
liniowością) = F(B)MB(v).
Niech teraz C będzie dowolną bazą przestrzeni W. Biorąc MC po obu stronach i korzystając ze
wspomnianej już liniowości odwzorowania M , dostajemy
MC(Fv) = MC(F(B)MB(v)) = MC(F(B))MB(v),
czyli
MC(Fv) = MC(F(B))MB(v);
inaczej mówiąc,
jeżeli X = MB(v), Y = MC(Fv),
Str. 14 z 46
to
Y = AX,
gdzie A = MC(F(B)).
Inaczej mówiąc, kolumnę współrzędnych Y obrazu Fv dowolnego wektora v"V w ustalonej bazie C
przestrzeni W otrzymujemy mnożąc kolumnę współrzędnych X tego wektora w bazie B przez ustaloną macierz
A = MC(F(B)).
Z kolei, stosując powyższe stwierdzenie kolejno do poszczególnych wektorów vi bazy B = (v1, v2, ...,
vn) otrzymujemy, że kolejnymi kolumnami macierzy A są kolumny współrzędnych kolejnych wektorów Fvi w
bazie C, gdzie B=(v1, ..., vn)) (własność tę możemy stosować do wyznaczania tej macierzy). Macierz A =
MC(F(B)) nazywamy macierzą odwzorowania liniowego F przy ustalonej bazie B pierwszej przestrzeni
(przestrzeni, na której odwzorowanie jest określone, dom F) i bazie C drugiej przestrzeni (w którą przekształca
to przekształcenie, codom F) i oznaczamy przez MCB(F).
W szczególnym przypadku, gdy V = W, możemy (choć wcale nie musimy) wybrać C = B i mówić o
macierzy operatora liniowego w bazie B, czyli MBB(F). Zauważmy także, że jeżeli V = W i F jest
identycznością na V, to MCB(idV) = MC(B), czyli jest to omówiona już wcześniej macierz zmiany bazy.
A
atwo pokazać, że jeżeli przestrzenie wektorowe V1, V2, V3 są skończenie wymiarowe, Bi jest bazą Vi
(i=1,2,3),zaś F:V1V2 i G:V2V3 są odwzorowaniami liniowymi, to ich złożenie G�F=GF:V1V3 (które, jak
już wspomniano, jest również odwzorowaniem liniowym) w odpowiednich bazach ma macierz
M31(GF) = M32(G) M21(F)
(gdzie - dla oszczędności czasu przy wpisywaniu tego tekstu - zamiast oznaczeń baz B1, B2, B3 użyto samych
wskaz
ników 1,2,3).
Z powyższego wynika w szczególności, że odwzorowanie liniowe F: VW posiada odwzorowanie
odwrotne G=F 1 :WV wtedy i tylko wtedy, gdy jego macierz MCB(F) jest macierzą odwracalną, i wtedy
MBC(F 1) = [MCB(F)] 1.
Pozostaje wyjaśnić, jak zmienia się macierz MCB(F) przy zmianie bazy (w jednej lub w obu
przestrzeniach), a w szczególności jak zmienia się macierz MBB(F) przy zmianie bazy B. Oto odpowiednie
wzory (F:V1V2, Bi, Bi -bazy w Vi, i=1,2):
B1' B1 B1
M (F ) = M (B2 ) �" M (F ) �" M (B1') = [M (B2')]-1 �" M (F) �" M (B1')
B2 ' B2 ' B2 B1 B2 B2 B1
w szczególności gdy V1=V2, B1 = B2 = B, B1' = B2' = B' mamy
B B B
MB''(F) = MB'(B)�" MB (F)�" MB(B') = [MB(B')]-1 �" MB (F)�" MB(B')
czyli
B -1 B
MB''(F) = N �" MB (F) �" N
gdzie N = MB(B') - macierz przejścia.
STRESZCZENIE (NIECO UPROSZCZONE)
" Niech V i W będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem K. Przekształcenie F : V W
nazywamy przekształceniem liniowym, jeżeli dla dowolnych v1, v2 " V i dla dowolnych a1 i a2 " K
zachodzi równość F(a1v1 + a2v2) = a1F(v1) + a2F(v2)
Str. 15 z 46
" Dane jest przekształcenie F: Rn Rm. Macierzą przekształcenia F ( w bazach kanonicznych)
nazywamy macierz, w której k-tą kolumnę stanowią współrzędne obrazu k-tego wektora bazy
kanonicznej przestrzeni Rn, czyli F(ek), w bazie kanonicznej Rm
" Niech F: V W będzie przekształceniem liniowym. Jeśli w przestrzeni V mamy bazę B = (v1, v2, ...,
F(v1) = a11w1 + a21w2 +K+ am1wm
ż#
�#
F(v2) = a12w1 + a22w2 +K+ am2wm
�#
vn), a w przestrzeni W  bazę C = (w1, w2, ..., wm) i
�#........................................................., to
�#
�#
F(vn ) = a1nw1 + a2nw2 +K+ amnwm
�#
a11 a12 ... a1n
Ą# ń#
ó#a a22 ... a2n Ą#
21
B
ó# Ą#
A = MC (F) = nazywa się macierzą przekształcenia F w bazach B i C.
ó# ... ... ... ... Ą#
ó#a am2 ... amn Ą#
Ł# m1 Ś#
Tak więc kolumny macierzy A są kolumnami współrzędnych obrazów (przy odwzorowaniu F) kolejnych
wektorów bazy B w bazie C.
Zachodzi związek: Y=AX, gdzie A  macierz odwzorowania w ustalonych bazach B i C pierwszej i drugiej
przestrzeni odpowiednio, X  kolumna współrzędnych wektora v w bazie B (bazie przestrzeni, na której działa
dane odwzorowanie liniowe), Y  kolumna współrzędnych wektora Fv w bazie C (bazie przestrzeni, w którą
przekształca dane odwzorowanie liniowe)
" Niech F: V V będzie operatorem liniowym, a B = { v1, v2, ..., vn} i B = { v1 , v2 , ..., vn } niech
będą dwiema bazami przestrzeni V. Wtedy macierz operatora identycznościowego na V w bazach B i B
2
B B B
( M (IV ) ) nazywa się macierzą zmiany bazy. ( Macierze M (IV ) i M (IV )są względem
2 2
B B B
siebie wzajemnie odwrotne).
Jeżeli M (v) - współrzędne wektora v w bazie B, to w bazie B jego współrzędne policzymy
B
B
korzystając ze wzoru: M (v) = M (IV ) � M (v).
2 2
B B B
" Niech F: V W będzie przekształceniem liniowym.
Zbiór wektorów v " V, dla których F(v) = 0 nazywamy jądrem przekształcenia F i oznaczamy Ker F.
Zbiór wektorów w " W, dla których istnieje v"V takie, że F(v) = w nazywamy obrazem
przekształcenia F i oznaczamy Im F .. Ker F jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni V, a Im F jest
podprzestrzenią wektorową przestrzeni W. Zachodzi tzw. twierdzenie o wymiarze:
dim ker F+dim im F = dim dom F,
gdzie dim dom F jest to wymiar przestrzeni, na której jest określone przekształcenie liniowe F.
1) Które z następujących przekształceń są liniowe?
a) F: R3 R2 , F(x1,x2,x3)=(x1,x3); b) F: R2 R, F(x1,x2)=x1x2; c) F: R2 R2, F(x1,x2)=(2x1+x2,x2);
d) F: R2 R2, F(x1,x2)=(x12,x2).
2) Znalez
ć macierz przekształcenia liniowego F w bazach kanonicznych. Dla każdego z tych przekształceń
znalez
ć jądro KerF i obraz ImF. Podać bazy tych podprzestrzeni.
a) F: R4 R5 , F(x1,x2,x3,x4)=(x1+x2,x2+x3,x3+x4,x3,x1); b) F: R4 R3, F(x1,x2,x3,x4)=(2x1+x3, 2x2 x4,
x3+2x4); c) F: R4 R4, F(x1,x2,x3,x4)=(x4,x3,x2,x1); d) F: R4 R3, F(x1,x2,x3,x4) =(x1+x3,x2 x4,2x3);
e) F: R4 R3, F(x1,x2,x3,x4)=(x1 x3,3x2,x4 x2); f) F: R4 R3, F(x1,x2,x3,x4)=(x1+x3,x2 x4,x1+x2+x3+x4);
3) Dane jest przekształcenie liniowe, takie że F(1,1,0)=(1,0,1), F(0,1,0)=(0,1,1), F(0,1,1)=(1,1,0).
Znalez
ć macierz tego przekształcenia w bazie standardowej. Znalez
ć macierz przekształcenia odwrotnego do F.
4) Dane jest przekształcenie F(x,y)=(2x+y,y) i dwie bazy R2: B1=((1,0),(0,1)) i B2=((1,2),(3,1)). Znalez
ć
B1
macierz tego przekształcenia w bazach B1 i B2 : M F .
( )
B2
Str. 16 z 46
5) Dane jest przekształcenie F: R4 R5 , dane wzorem F(x1,x2,x3,x4)=(x1+x2,x2+x3,x3+x4,x4+x1,x1).. W R4
mamy bazę kanoniczną B, a w R5 bazę C = ((1,0,0,0,0),(0,2,0,0,0),(0,0,3,0,0),(0,0,0,4,0),(0,0,0,0,5)). Znalez
ć
B
macierz przekształcenia F w bazach B i C : MC F .
( )
6) Dane jest przekształcenie F: R2 R3, F(x1,x2)=(x1+x2,x1 x2,x2). W R2 mamy bazę kanoniczną B, a w R3
B
rozpatrujemy bazę C=((1,1,0),(0,0,1),(1,0,1)). Znalez
ć macierz przekształcenia F w bazach B i C : MC F .
( )
7) Dane są dwie bazy przestrzeni R3. B=((1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)) i C=((2,1,1),(1,2,1),(1,1,2)) Znalez
ć macierze
B C
zmiany bazy M (IR ) i M (IR ). Jakie współrzędne będzie miał wektor v w bazie C, jeżeli w bazie B ma
3 3
C B
współrzędne [3,4,5]T?
3 0 1
Ą# ń#
ó#1
8) Przekształcenie F: R3 R3 ma w bazie kanonicznej B macierz 1 0Ą# . Jaką macierz ma to
ó# Ą#
ó# Ą#
Ł#2 2 0Ś#
przekształcenie w bazie C=((1,1,0),(0,0,1),(1,0,1)) ?
8
Ą# -2
ń#
9) Przekształcenie F: R2 R2 ma w bazie B = (v1 , v2) macierz
ó#28 -7Ą# . Jaką macierz ma to
Ł# Ś#
przekształcenie w bazie C = (2v1 + 7v2, v1 + 4v2 )?
10a) Wykazać, że wektory (1, 1,0,0),(1,0, 1,0),(1,0,0, 1) stanowią bazę podprzestrzeni
W={(x1,x2,x3,x4):"R4: x1 + x2 + x3 + x4=0}.
1 0 1
Ą# ń#
ó#0
b) Operator F:WW ma w tej bazie macierz A = 1 0Ą# . Obliczyć F(x1,x2,x3, x1 x2 x3).
ó# Ą#
ó# Ą#
Ł#1 0 1Ś#
11a) W przestrzeni rozpiętej na wektorach 1, cos x, sin x, tzn. funkcji postaci
a + b cos x + c sin x,
rozważamy operator różniczkowania D. Pokazać, że D rzeczywiście nie wyprowadza poza tę przestrzeń, i
znalez
ć jego macierz w bazie {1, cos x, sin x}.
b) To samo dla podprzestrzeni rozpiętej na 1, x, cos x, x cos x, sin x, x sin x.
c) To samo dla podprzestrzeni rozpiętej na 1, x, ex, xex.
12. W przestrzeni V=R2[x] wielomianów stopnia d" 2 o współczynnikach rzeczywistych rozważamy układ
wektorów C=(x+1; x2 x; x2 1).
a) Wykazać, że C jest bazą przestrzeni V.
b) Niech F:VV będzie dany wzorem (Fw)(x)=(xw(x))'. Sprawdzić, że F jest operatorem liniowym.
c) Napisać MBB(F), gdzie B jest bazą  standardową (1;x;x2).
3/ 2 1/ 2 1
Ą# ń#
ó#
d) Obliczyć MCC(F). Odp. do d)
ó#-1/ 2 5/ 2 1Ą#
Ą#
ó# 1/ 2 1/ 2 2Ś#
Ą#
Ł#
13. W przestrzeni V=R2[x] wielomianów stopnia d" 2 o współczynnikach rzeczywistych rozważamy układ
wektorów C={x, x2 1, x2 x}.
a) Wykazać, że C jest bazą tej przestrzeni.
b) Operator F:VV dany jest wzorem (Fw)(x)=w(1)+[x2w(x)]  . Wykazać, że F jest liniowy.
c) Znalez
ć macierz tego operatora w  standardowej bazie B=(1;x;x2).
d)* Znalez
ć macierz tego operatora w bazie C (ew. wypisać tylko wyrażenie pozwalające tę macierz otrzymać).
1 2
Ą# ń#
14. Macierz operatora liniowego w bazie (e1,e2) (przestrzeń nad R) ma postać
ó#3 4Ą# . Wykazać, że
Ł# Ś#
(e1+e2, e1 e2) jest również bazą tej przestrzeni i znalez
ć macierz tego operatora w tej bazie.
Str. 17 z 46
Przestrzenie wektorowe z iloczynem skalarnym i normą
Normą w przestrzeni wektorowej V nazywamy funkcję || ||:VR, spełniającą następujące aksjomaty:
1) ||u||e"0; ||u||=0 �! u=0;
2) ||ąu|| = |ą|||u||;
3) ||u+v|| d" ||u||+||v|| (nierówność trójkąta).
Niech V będzie przestrzenią wektorową nad K = R lub C. Iloczynem skalarnym nazywamy dowolną
funkcję
< , >: V�VK, czyli przyporządkowującą dwóm wektorom u,v liczbę "K, spełniającą następujące
aksjomaty:
1) < u1 + u2,v >=< u1,v > + < u2,v >
2) < ąu,v >= ą < u,v >
3) < v,u >= < u,v > (skośna symetria);
w przypadku K = R, warunek ten redukuje się do
< v,u >=< u,v >;
4) < u,u >e" 0; < u,u >= 0 �! u = 0 (dodatnia określoność)
Z warunków 1), 2) i 3) wynika, że
1') < u,v1 + v2 >=< u,v1 > + < u,v2 >
2') < u,ąv >= ą < u,v >
Z tego względu iloczyn skalarny jest, w szczególności, tzw. formą półtoraliniową (oczywiście w przypadku
K=R jest on formą dwuliniową).
Jedną z najważniejszych własności iloczynu skalarnego jest spełnianie przezeń tzw. nierówności
Buniakowskiego - Schwarza:
|< u,v >|2 d" < u,u > �" < v,v > .
(Wiktor Buniakowski (1804-1889) - matematyk ros., prof. uniw. w Petersburgu, czł. Petersb. AN; autor ponad 100 prac nauk. z
różnych dziedzin matematyki; Herman Amandus Schwarz (1843-1921) - matem. niem.; prof. uniw. w Halle, Getyndze, Berlinie i
politechn. w Zurychu; czł. niem. Akad. Nauk; autor prac z rachunku wariacyjnego, przekształceń konforemnych, równań
różniczkowych i funkcji rzeczywistych.
Uwaga: Laurent Schwartz (1915-....) - matematyk fr.; prof. �cole Polytechnique; rozwinął teorię dystrybucji jako nowy dział
matematyki; prace z zakresu analizy funkcjonalnej i fizyki matematycznej)
W przestrzeni z iloczynem skalarnym możemy wprowadzić normę wzorem ||u ||= < u,u > .
(Spełnione są wtedy wszystkie aksjomaty normy.) Nierówność Buniakowskiego - Schwarza przybiera wtedy
postać
|< u,v >|2 d"||u ||||v ||
W rzeczywistej przestrzeni z iloczynem skalarnym możemy wprowadzić pojęcie kąta, przyjmując że
kosinus kąta między dwoma niezerowymi wektorami u i v jest równy:
< u,v >
cosą =
||u ||||v ||
(ze względu na nierówność Schwarza liczba po prawej stronie jest zawarta między  1 a +1).
Wektory u i v nazywamy ortogonalnymi, jeżeli =0 (także w przestrzeni nad C).
Układ wektorów u1, u2, ..., uk nazywamy
a) ortogonalnym, jeżeli =0 dla i`"j; b) ortonormalnym, jeżeli jest ortogonalny i unormowany, tzn. ||ui||=1
dla i=1,2,...,k. Inaczej mówiąc, =�ij=1 dla i=j, 0 dla i`"j.
Dowolny układ ortogonalny złożony z niezerowych wektorów, a w szczególności - układ ortonormalny
- jest liniowo niezależny.
Str. 18 z 46
Jeżeli wektor v ma przedstawienie w postaci kombinacji liniowej ortogonalnego układu wektorów u1,
u2, ..., uk, tzn. v = ą1u1 + ... + ąkuk, to współczynniki ą1, ..., ąk tej kombinacji liniowej wyznaczone są
jednoznacznie jako tzw. współczynniki Fouriera wektora v względem układu ortogonalnego u1, u2, ..., uk,
mianowicie ąi = /.
Jeżeli obliczamy macierz operatora liniowego F czyli MBB(F)=[aij] w bazie ortonormalnej B=(e1, e2, ...,
en), to aij = . Rzeczywiście, Fej=a1je1+...+aijei+...+a1nen (z definicji macierzy operatora) - wystarczy
pomnożyć skalarnie obie strony tej równości przez ei.
Ortogonalizacja Grama-Schmidta.
Z każdego układu wektorów v1, v2, ..., vk możemy otrzymać układ ortogonalny, generujący tę samą
podprzestrzeń: mianowicie, tworzymy rekurencyjnie wektory
u1 = v1
< v2,u1 >
u2 = v2 - u1
< u1,u1 >
< v3,u1 > < v3,u2 >
u3 = v3 - u1 - u2
< u1,u1 > < u2,u2 >
< v4,u1 > < v4,u2 > < v4,u3 >
u3 = v4 - u1 - u2 - u3
< u1,u1 > < u2,u2 > < u3,u3 >
itd. (ewentualnie powstające wektory zerowe odrzucamy - a powstają one wtedy, gdy pewne wektory są
kombinacjami liniowymi wektorów je poprzedzających, czyli gdy dany układ jest liniowo zależny). Sens
geometryczny powyższych operacji polega na tym, że od każdego wektora vi odejmujemy jego rzuty
ortogonalne na poprzednio skonstruowane wektory u1, u2, ..., ui 1 . Jeżeli chcemy otrzymać układ ortonormalny,
wystarczy jeszcze podzielić (dla ułatwienia obliczeń - na samym końcu) każdy z wektorów przez jego normę.
1. Wykazać (przeliczyć), że norma w przestrzeni z iloczynem skalarnym spełnia tzw. warunek równoległoboku
||u + v ||2 + ||u - v ||2 = 2 ||u ||2 +2 ||v ||2
2. Wykazać (przeliczyć), że iloczyn skalarny wyraża się poprzez normę związaną z tym iloczynem skalarnym
w sposób następujący:
1
u,v = (||u + v ||2 - ||u - v ||2 ), K = R
4
1
u,v = (||u + v ||2 - ||u - v ||2 +i ||u + iv ||2 -i | u - iv ||2 ), K = C.
4
Są to tzw. wzory (formuły) polaryzacyjne.
3*. (Uogólnienie warunku równoległoboku) Niech a, b, c, d będą długościami boków czworokąta, e, f -
długościami jego przekątnych, m - długością odcinka łączącego środki przekątnych czworokąta, powiedzmy M'
i M". Udowodnić, że wtedy
2 2
a2 + b2 + c2 + d = e2 + f + 4m2 .
(W przypadku równoległoboku m=0 i otrzymujemy znany już warunek równoległoboku.)
Wsk. Niech wektor a = AB, b = BC, c=CD, d=DA, u=M'A, v=M"B, w=M'M". Obliczyć a2, b2, c2, d2 i dodać.
4. Znalez
ć ortogonalną i ortonormalną bazę podprzestrzeni przestrzeni R4 (ze zwykłym iloczynem skalarnym),
generowanej przez wektory (1,1,0,0), (1, 1,1,1), ( 1,0,2,1), (0,1,2,1).
1
5. Zortogonalizować wielomiany 1; x; x2, x3 względem iloczynu skalarnego f , g = f (x)g(x)dx
+"
-1
1
(wariant: f , g = f (x)g(x)dx ).
+"
0
Str. 19 z 46
6*. Znalez
ć rzut ortogonalny wektora (2, 2, 1, 1) na podprzestrzeń, rozpiętą na wektorach v1=(3, 4, 4, 1) i
v2=(0, 1, 1, 2). Odp.v1/6+v2/3=(1/2, 1,  1, 1/2) (składowa ortogonalna: (3/2, 1, 2, 1/2).
Wielomiany
Niech P - pierścień przemienny z jedynką bez dzielników zera, np. ciało, np. R lub C.
Wielomianem nazywamy ciąg nieskończony (a0, a1, a2, a3, ...) o wyrazach z P, taki że istnieje m takie, że ai=0
dla i>m. Z definicji, dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiednie wyrazy ciągów są sobie
równe. W zbiorze wielomianów nad danym P wprowadzamy działanie dodawania w sposób naturalny (po
wyrazach), natomiast mnożenie wprowadzamy wzorem
(a0, a1, a2, a3, ...)�" (b0, b1, b2, b3, ...) = (c0, c1, c2, c3, ...), gdzie c0=a0b0, c1=a0b1+a1b0, c2=a0b2+a1b1+a2b0, ...,
m
ogólnie cm = a0bm + a1bm-1 + ... + amb0 = bm-i . Jeżeli dowolny element a0 pierścienia P utożsamić z
"a
i
i=0
ciągiem postaci (a0, 0, 0, 0, ...) oraz przez x oznaczyć wielomian (0,1,0,0,...), to każdy wielomian
w=(a0, a1, a2, a3, ...) przedstawia się w postaci w=a0+a1x+a2x2+...+amxm dla pewnego (dostatecznie dużego) m.
Piszemy też wtedy w(x)= a0+a1x+a2x2+...+amxm. Dla wielomianu niezerowego, jego stopniem nazywamy
najmniejsze takie m, że jest możliwe takie przedstawienie (tzn. w postaci a0+a1x+a2x2+...+amxm). Przyjmujemy,
że wielomian zerowy ma stopień  ", z naturalną umową że  "  "+k= " dla dowolnej liczby całkowitej k. Z każdym wielomianem w nad pierścieniem P związana jest
pewna funkcja wielomianowa dana wzorem w(x)= a0+a1x+a2x2+...+amxm dla x"P. Jeżeli pierścień P jest
skończony, to funkcje wielomianowe nie odpowiadają jednoznacznie wielomianom, tzn. dwa różne
wielomiany mogą określać tę samą funkcję wielomianową, np. wielomian 0 oraz (x x0)(x x1)...(x xs 1), gdzie
x0=0, x1=1, x2, x3,...,xs 1 są wszystkimi elementami pierścienia - oba określają funkcję tożsamościowo równą
zeru, chociaż pierwszy jest stopnia  ", zaś drugi - stopnia s. W przypadku pierścienia (lub, w szczególności,
ciała) nieskończonego, odpowiedniość między wielomianami i funkcjami wielomianowymi jest jednoznaczna,
tzn. jak uczono w szkole, funkcje wielomianowe są sobie równe wtedy i tylko wtedy, gdy wielomiany z
których one powstały są sobie równe, tzn. współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej są sobie
równe. Wynika to twierdzenia o ilości pierwiastków wielomianu n-tego stopnia.
Algorytm dzielenia z resztą  znane.
Szczególny przypadek  dzielenie przez dwumian x a.
x jest pierwiastkiem wielomianu w(x) wtedy i tylko wtedy, gdy w(x) jest podzielny przez x a.
Wielomian stopnia n nad ciałem nieskończonym (ogólnie: nieskończonym pierścieniem całkowitym) ma co
najwyżej n pierwiastków.
Funkcje wielomianowe. Odpowiedniość dla nieskończonego pierścienia całkowitego (=przemiennego, bez
dzielników zera) między wielomianami a funkcjami wielomianowymi.
Krotność pierwiastka wielomianu.
Podstawowe twierdzenie algebry: Wielomian o współczynnikach zespolonych stopnia ne"1 ma co najmniej
jeden pierwiastek zespolony.
Wniosek. Wielomian stopnia n o współczynnikach zespolonych ma dokładnie n pierwiastków zespolonych, w
szczególności rozkłada się na czynniki liniowe.
Jeżeli liczba zespolona z=a+bi jest pierwiastkiem pewnego wielomianu o współczynnikach rzeczywistych, to
liczba do niej sprzężona czyli z*=a bi jest również pierwiastkiem tego wielomianu.
Wniosek. Wielomian o współczynnikach rzeczywistych rozkłada się (nad ciałem liczb rzeczywistych) na
pewną ilość czynników liniowych i /lub pewną ilość czynników stopnia 2 nierozkładalnych nad R, tzn. o
wyróżniku "<0.
1. Podzielić wielomian P przez Q, jeśli
a) P=8x4+3x2+5x 6, Q=x+1
b) P=x3+27 Q=x2 3x+9
c) P=z4+1 Q=z2 i
Str. 20 z 46
d) P=iz3+2z 1+3i Q=z 2i
2. Sprawdzić, czy podane liczby są pierwiastkami wielomianu w:
a) w(x)=x3 2x+4, x1= 2, x2=1 i, x3=1+i.
b) w(z)=z2+2iz+2 4i, z1=1+i, z2= 1 3i.
3. Znalez
ć krotność pierwiastka x0 wielomianu w dla
a) x0=2, w(x)=x2 3x+2
b) x0=0, w=x7+4x3
c) x0= 2 , w=x4 4x2+4;
d) x0=  i, w=(x2+1)4;
e) x0=  i, w=x4+(2+3i)x3+3x2(2i 1) x(6+i) 2i.
4. Niech w(x)=  5x4+a3x3+a2x2+a1x+a0, gdzie a3, a2, a1, a0 są rzeczywiste. Wiedząc, że x1=1 i oraz x2=2+3i są
pierwiastkami wielomianu w, znalez
ć w.
5. Wiedząc, że x1 jest pierwiastkiem wielomianu w, znalez
ć pozostałe pierwiastki tego wielomianu, jeśli:
a) w(x)=x3 (2+ 3 )x2+2(1+ 3 )x 2 3 , x1=1 i;
b) w(x)=x4 x3+x2+9x 10, x1=1+2i
c) w(x)=x4 7x2+28x+8 (lub: x4+64), x1=2 2i
d) w(z) = z4 - 4z3 +10z2 -12z + 5 , z0 = 1- 2i
6. Rozłożyć na czynniki liniowe następujące wielomiany:
a) w(z) = z5 - iz3 + iz2 +1; b) w(z) = z4 + 2z2 + 4 ; c) w(z) = z4 +1.
7.Wiedząc, że z0=i jest pierwiastkiem wielomianu
w(z) = z5 + (3i - 2)z4 + (2 - 6i)z3 + (6 +14i)z2 + (2i -15)z - 5i
wyznaczyć pozostałe pierwiastki.
8. Dla jakich wartości parametru zespolonego a wielomian w(z) = z3 + iz2 + 5z + a ma pierwiastek
podwójny z0 = i ?
9. Rozłożyć w R i w C wielomiany, o ile jest to wykonalne:
a) w(x)=x3+1; b) w(x)=x6+3x4+3x2+1; c) w(x)=x2+1; d) w(x)=x4+i; e) w(x)=x4+ix2+6; f) w(x)=x4+x2+1;
g) w(x)=x4+16; h) w(x)=x5 1; i) w(x)=x3 2x2+5x+8; j) w(x)=x3+x2 5x+3; k) w(x)=4x3+5x2+9x+2; l) x8 1;
m) x6+1.
10* Rozłożyć na wielomiany o współczynnikach całkowitych, jeżeli jest to możliwe, wielomian x8 5x4+4.
PROSTE DZIAA
ANIA NA MACIERZACH
Definicje i własności działań na macierzach:
Dla macierzy m � n:
Jeżeli A=[aij], B=[bij], to A+B=[aij]+[bij]=[aij+bij] (definicja dodawania macierzy)
Własności dodawania macierzy:
(A+B)+C=A+(B+C) (łączność dodawania macierzy)
O+A=A=A+O (macierz zerowa O (odpowiednich wymiarów) jest elementem neutralnym dodawania
macierzy)
A+( A)=0=( A)+A (macierz  A jest elementem przeciwnym do A ze względu na dodawanie)
Jeżeli A=[aij] jest macierzą m � n, zaś B=[bjk] jest macierzą n � p (tzn. B ma tyle wierszy, ile A ma kolumn), to
n
definiujemy iloczyn macierzy A i B jako macierz AB=C=[cik], gdzie cik = bjk .
"a
ij
j=1
Str. 21 z 46
Macierz jednostkowa n � n: I=In=[�ij], gdzie �ij=1 gdy i=j, zaś �ij=0 w przeciwnym przypadku.
Własności mnożenia macierzy:
A(B+C)=AB+AC (rozdzielność mnożenia względem dodawania)
(A+B)C=AB+BC (jw)
AI=A=IA (ściślej, AIn=A=ImA, o ile A jest macierzą m � n);
OA=AO=O
(AB)C=A(BC) (mnożenie macierzy jest łączne;
tutaj oczywiście A - m � n; B - n � p; C - p � r).
UWAGA: mnożenie macierzy nie jest na ogół przemienne (z dwóch iloczynów AB i BA, nie zawsze oba są
określone; nawet jeżeli oba są określone, to wynik może być różnych rozmiarów  tak jest, gdy A jest macierzą
m � n, zaś B  macierzą n � m. Wreszcie nawet jeśli A i B są macierzami n � n, to AB i BA nie muszą być
równe).
Macierzą transponowaną do macierzy A=[aij] m�n nazywamy macierz B=[bij] n�m taką, że bij=aji. Macierz
transponowaną do A oznaczamy przez AT. Jeżeli wymiary macierzy A i B są takie, że ma sens iloczyn AB, to
(AB)T=BTAT (zwrócić uwagę na odwrócenie kolejności!). Oczywiście (A+B)T=AT+BT, ATT=A, IT=I.
5 2 - 2 3 2 2 2 2 1 1 1 -1 7 - 2 3 4
Ą# ń#Ą# ń# Ą# ń#Ą# ń#
ó#6 4 - 3 5Ą#ó#-1 - 5 3 11 Ą# ó# Ą#ó#11 0 3 4Ą#
- 5 - 3 - 4 4
ó# Ą#ó# Ą#, ó# Ą#ó# Ą#
1. Obliczyć
9 2 - 3 4 16 24 8 - 8 5 1 4 - 3 5 4 3 0
ó# Ą#ó# Ą# ó# Ą#ó# Ą#
ó#7 6 - 4 7Ą#ó# 8 16 0 -16Ą# ó# Ą#ó#22 2 9 8Ą#
Ł# Ś#Ł# Ś# Ł#-16 -11 -15 14 Ś#Ł# Ś#
2. Znalez
ć warunek konieczny i dostateczny na to, aby (A + B)2 = A2 + 2AB + B2.
1 2
Ą# ń#
3. Znalez
ć wszystkie macierze przemienne z macierzą
ó#3 4Ą# .
Ł# Ś#
4*. Śladem Tr(A) macierzy kwadratowej A n�n nazywamy sumę jej wyrazów na przekątnej, tzn.
n
Tr A = . Wykazać, że dla macierzy kwadratowych A i B tego samego wymiaru zachodzi równość
"a
ii
i=1
Tr(AB)=Tr(BA).
1 1 1 0 -1
Ą# ń# Ą# ń#
1 0 -1
Ą# ń#
ó# ó#1 Ą#, Ą# 1 1ń# . Wykonać następujące
5. Niech A =
ó#2 1 1 Ą#, B = ó# 1 -1Ą#, C = ó# -1 0 Ą# D = ó#
Ą#
Ł# Ś# Ł#-1 1Ą#
Ś#
ó#-1 1 Ą# ó#
Ł# Ś# Ł#1 1 1 Ą#
Ś#
działania (o ile są wykonalne): 2A BT, AT B, A+2B, D2+2D-2I, C2, CCT, (CTC)2, AB, BA, ATBT,AD, DA, BD,
DB, CD, DC, AC, CB, (C 2I)2.
Str. 22 z 46
WYZNACZNIKI
" Załóżmy, że A jest macierzą kwadratową stopnia n , n > 1. Niech 1d"i,jd"n. Wtedy symbolem Ai,j
oznaczamy macierz stopnia n 1, powstałą z macierzy A przez skreślenie i-tego wiersza oraz j-tej
kolumny.
Rozwinięcie Laplace a wyznacznika macierzy A względem i-tego wiersza ( j-tej kolumny):
a11 L a1n
Ą# ń#
n n
ó# Ą# i+k k+ j
Jeśli A = M M to det A =
"(-1) aik det Ai,k (det A = "(-1) ak det Ak ).
j , j
ó# Ą#
k=1 k=1
ó# L ann Ś#
Ą#
Ł#an1
Przy ustalonym i, np. i=1, może to służyć jako indukcyjna definicja wyznacznika, wychodząc z równości
Det [a11]=a11.
Wyznacznik macierzy nie zmieni się, jeśli do danego wiersza (danej kolumny) dodamy inny wiersz
(inną kolumnę) tej macierzy, pomnożony/ą przez dowolny skalar; pomnoży się przez liczbę, gdy
pomnożymy dowolny wiersz (lub kolumnę) przez tę liczbę; zmieni znak na przeciwny, jeżeli
zamienimy miejscami dwa wiersze (lub dwie kolumny) tej macierzy. Dokonując operacji tego typu
można, wychodząc z dowolnej macierzy kwadratowej - dojść do macierzy, która pod główną przekątną
(lub nad główną przekątną) ma same zera, a wyznacznik macierzy tej postaci jest równy iloczynowi
elementów na głównej przekątnej. Alternatywnie, można starać się otrzymać w danej kolumnie (lub
wierszu) wyznacznika jak najwięcej zer, i stosując rozwinięcie Laplace a względem danej kolumny lub
wiersza, stopniowo sprowadzać obliczenie wyznacznika danej macierzy do obliczania wyznaczników
mniejszego stopnia.
1 0 -1 0 1 1 0 0 1 2 3 0 1 -1 1 -1
0 1 0 -1 0 1 1 0 0 1 2 3 0 1 1 1
1) Obliczyć wyznaczniki: a) ; b) ; c) ; d)
-1 0 1 0 0 0 1 1 3 0 1 2 2 1 0 1
0 1 0 -1 1 0 0 1 2 3 0 1 1 2 3 4
2). Obliczyć wyznaczniki:
1 2 3 4 5 a 0 0 0 0
x a a a
1 2 -1 0
2 3 7 10 13 0 0 0 b 0
a x a a
0 1 - 2 2
a) 3 5 11 16 21 b) c) 0 c 0 0 0 d)
1 1 1 - 2
a a x a
2 - 7 7 7 2 0 0 0 0 d
0 1 2 1
a a a x
1 4 5 3 10 0 0 e 0 0
x - y y - z z - x
3*. Przyjmijmy P = sin sin sin , Q = sin(x - y)sin( y - z)sin(z - x) .
2 2 2
Sprawdzić następujące tożsamości:
1 sin x cos x 1 sin x cos 2x
Ą# ń# Ą# ń#
x + y y + z z + x
ó#1 ó#1
a) sin y cos yĄ# = -4P b) sin y cos 2yĄ# = -16P cos cos cos
ó# Ą# ó# Ą#
2 2 2
ó#1 sin z cos zĄ# ó#1 sin z cos 2zĄ#
Ł# Ś# Ł# Ś#
Wsk. a) Od drugiego i trzeciego wiersza odjąć pierwszy, rozwinąć względem pierwszej kolumny, zamienić
różnice na iloczyny, wyłączyć odpowiednie czynniki z wierszy lub kolumn; b) - podobnie.
sin2 x sin xcos x cos2 x
4*. Rozwijając na różne sposoby wyznacznik W= sin2 y sin y cos y cos2 y wykazać tożsamości
sin2 z sin zcos z cos2 y
W =  Q = [czyli  sin (x y) sin (y z) sin (z x)]
Str. 23 z 46
 = sin x sin x sin (x y) + sin y sin z sin (y z) + sin z sin x sin (z x) =
= cos x cox y sin (x y) + cos y cos z sin (y z) + cos z cos x sin (z x)
Wsk. Dodać trzecią kolumnę do pierwszej, od drugiego i trzeciego wiersza odjąć pierwszy, rozwinąć
względem pierwszej kolumny, zamienić różnice na iloczyny; korzystać z różnych wzorów z tablic, np.
sin(ą + � )sin(ą - � ) = sin2 ą - sin2 � = cos2 � - cos2 ą
cos s(ą + � )cos(ą - � ) = cos2 ą - sin2 � = cos2 � - sin2 ą
sin(ą + � )cos(ą - � ) = siną cosą + sin � cos �
cos(ą + � )sin(ą - � ) = siną cosą - sin � cos �
;
wyłączyć odpowiednie czynniki z wierszy lub kolumn.
5) Dla jakich zespolonych wartości z macierz A jest osobliwa (tzn. ma wyznacznik równy zeru  zob. dalej
przy definicji macierzy odwrotnej)
z i 0 iz 1 1
Ą# ń# Ą# ń#
z -1- i iz 1
Ą# ń# Ą# ń#
ó#0 Ą# ó#1 Ą#
a) A = ; b) A = A = z i d) A = z - i ;
ó#1- i z Ą# ó#1- i zĄ# ; c)
ó# Ą# ó# Ą#
Ł# Ś# Ł# Ś#
ó# Ą# ó# Ą#
Ł#i 0 zŚ# Ł#1 i - izŚ#
z -1 0 0
Ą# ń#
1 z 1 1 -1 1 1 z i
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
ó#0 z 1 0Ą#
ó#z ó# ó#1 z 1 Ą#
ó# Ą#
e) A = 1 1Ą# ; f) A = g) A = z i 1Ą# A = .
. h)
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
0 0 z 1
ó# Ą#
2
ó# Ą# ó# -1 1Ś# ó# -1 -1Ś#
Ą# Ą#
Ł#1 1 zŚ# ó#1 0 0 zĄ# Ł#z Ł#iz
Ł# Ś#
1 6 0 2 2 4 3 5 1 2 3 1
1 1 -1
2 0 4 0 4 3 2 6 -1 4 2 3
6) Obliczyć wyznaczniki a) 2 0 - 3 , , ,
1 4 -1 2 3 1 2 0 - 2 - 4 5 1
-1 1 - 2
3 4 1 -1 4 5 8 11 4 8 12 6
2 1 2 3 1
2 0 0 0 3 10 12 - 7
3 - 2 5 4 3
3 -1 0 0 3 6 - 20 19
4 2 1 0 2 ; b) ,
46 - 2 6 0 0 0 - 4 101
1 3 -1 3 -1
0 0 0 5 0 0 0 - 2
2 1 4 3 2
1 0 0 0 1
1 1 1 1
1 2 3 1 1 0 0 0
1 2 3 4
c) 1 4 9 , , 0 1 1 0 0
1 4 9 16
1 8 27 0 0 1 1 0
1 8 27 64
0 0 0 1 1
MACIERZE ODWROTNE
Niech A będzie macierzą kwadratową n � n. Macierzą odwrotną do A nazywamy dowolną macierz B taką, że
AB=I=BA, gdzie I  macierz jednostkowa n � n. Jeżeli do danej macierzy A istnieje macierz odwrotna, to
macierz A nazywamy macierzą nieosobliwą (w przeciwnym przypadku A jest osobliwa).
Okazuje się, że:
" Macierz odwrotna do danej macierzy, o ile istnieje, jest wyznaczona jednoznacznie  oznaczamy ją przez
A 1. Tak więc AA 1=I=A 1A.
Str. 24 z 46
" Dla macierzy o wyrazach z pewnego ciała (najczęściej rozważamy R lub C), macierz odwrotna istnieje
wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik tej macierzy jest różny od zera. Tak więc macierz jest nieosobliwa
wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyznacznik jest różny od zera.
" W definicji macierzy odwrotnej do A, powiedzmy B, żąda się, aby oba iloczyny AB i BA były równe
macierzy jednostkowej. Okazuje się jednakże, że na to, aby B było macierzą odwrotną do A, wystarczy,
aby był spełniony jeden z warunków AB=I lub BA=I. (Wtedy B=A 1.)
Obliczanie macierzy odwrotnej do danej jest zwykle bardzo żmudne rachunkowo. Zasadniczo, istnieją dwie
podstawowe metody obliczania macierzy odwrotnej:
1
1) Metoda dopełnień algebraicznych. Stosuje wzór A-1 = AD , gdzie AD = [(-1)i+ j M ], gdzie Mji
ji
det A
jest wyznacznikiem podmacierzy powstałej z A przez skreślenie j-tego wiersza i i-tej kolumny. W praktyce tą
metodą liczymy następująco:
a) Liczymy wyznacznik det A macierzy A  aby macierz odwrotna istniała, musi być oczywiście det A`"0.
b) Liczymy n2 podwyznaczników (n 1)�(n 1) macierzy A  tworzymy macierz, w której na miejscu ij
wpisujemy wyznacznik Mij powstały z macierzy A przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny.
c) Zmieniamy znak co drugiego elementu powstałej macierzy  zgodnie z tzw. szachownicą znaków, czyli
schematu plusów i minusów jak białe i czarne pola szachownicy, przy czym na głównej przekątnej są same
plusy. Innymi słowy, zastępujemy Mij przez ( 1)i+jMij.
d) Transponujemy powstałą macierz i dzielimy ją przez wyznacznik macierzy A.
2. Metoda operacji elementarnych na wierszach (lub eliminacji): do danej macierzy A dopisujemy z prawej
strony macierz jednostkową I. Przeprowadzamy operacje elementarne na wierszach powstałej macierzy [A|I]
(zob. dalej  układy równań liniowych) tak, aby na miejscu macierzy A otrzymać macierz jednostkową (uda się
tego dokonać wtedy i tylko wtedy, gdy macierz A jest nieosobliwa, tzn. posiada macierz odwrotną). Jeżeli to
się uda, to w powstała macierz będzie macierzą [I|A 1], tzn. szukana macierz odwrotna do A powstanie na
miejscu dopisanej macierzy I. Metoda ta w istocie jest związana z faktem, że obliczenie macierzy X odwrotnej
do A jest równoznaczne z rozwiązaniem (macierzowego) układu równań liniowych AX=I: jeżeli AX=I, to
X=A 1.
1. Wykazać, że (AT) 1 = (A 1)T , (AB) 1 =B 1A 1 , (A 1) 1=A.
2 Wykazać, że macierz odwrotna do macierzy symetrycznej jest również symetryczna (o ile istnieje).
3. Wykazać, że jeżeli AB = BA i istnieje A 1, to A 1B=BA 1 .
4. Wyliczyć X z równania AX=B przy założeniu, że istnieje A 1. To samo dla równań: XA=B; AXB=C.
5. Obliczyć macierze odwrotne do następujących macierzy:
1 2 2 2 7 3 3 2 6
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
ó#2 1 - 2Ą# , ó#3 9 4Ą#, ó#1 1 2Ą# , Ą#cosą - sinąń#
ó#siną cosą Ą#
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
Ł# Ś#
ó# - 2 1 Ą# ó# Ą# Ą#
Ł#2 Ś# Ł#1 5 3Ś# ó# 2 5Ś#
Ł#2
1 2 2 - 7 / 3 2 -1/ 3 1 2 - 2
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
cosą siną
Ą# ń#
ó#2 ó# ó# Ą#
Odp: 1 - 2Ą# , 5/ 3 -1 -1/ 3Ą# , ,
ó#
ó# Ą# ó# Ą# ó#-1 3 0 Ą#
Ł#- siną cosąĄ#
Ś#
ó# - 2 1 - 2 1 -1 0 - 2 1 Ą#
Ą# ó# Ą# ó#
Ł#2 Ś# Ł# Ś# Ł# Ś#
6. Ogólnie: obliczyć macierz odwrotną do macierzy
cos� cosŃ sin� cosŃ sinŃ
Ą# ń#
a b
Ą# ń#
ó# Ą#, Ą# z1 z2 ń# (z1,z2 - liczby zespolone).
,
ó#c d Ą# ó#
ó#- r sin� cosŃ r cos� cosŃ 0 Ą#
z2 z1 Ą#
Ł# Ś# Ś#
ó#- r cos� sinŃ - r sin� sinŃ r cosŃŚ# Ł#-
Ą#
Ł#
(Wsk.: Wyznacznik drugiej macierzy to jakobian przejścia do współrzędnych sferycznych, czyli r2 cos �.)
Str. 25 z 46
cos� cosŃ - sin� /(r cosŃ) - (cos� sinŃ) / r
Ą# ń#
d - c
1 Ą# ń#
ó#sin� cosŃ cos� /(r cosŃ) - (sin� sinŃ) / rĄ#
Odp.:
ó# Ą#, ad - bc `" 0 ;
ó# Ą#
ad - bc b a
Ł#- Ś#
ó# sinŃ 0 1/ r Ą#
Ł# Ś#
Ą# - z2
ń#
z1
1
(przy założeniu, że r cos � `" 0); (|z1|2 +|z2|2 >0, tzn. z1 i z2 nie są jednocześnie
| z1 |2 + | z2 |2 ó#z2
z1 Ą#
Ł# Ś#
równe zeru).
z 1 - z
Ą# ń#
ó# Ą#
7. Dla jakich z macierz A jest odwracalna?. Wyznaczyć A 1 dla z =i. A = 1 i 1
ó# Ą#
2
ó# -1 1 Ą#
Ł#z Ś#
1 1 1 1
Ą# ń#
ó#1 1 -1 -1Ą#
ó# Ą#
8. Obliczyć macierz odwrotną do w M4�4(R). b*) Dla jakich ne"2 macierz ta, traktowana
1 Ą#
ó# -1 1 -1
ó#1 -1 -1 1 Ą#
Ł# Ś#
jako element M4�4(Zn) posiada macierz odwrotną?
1 -12 0 0 0 1 4 / 3 0 0 0
Ą# ń# Ą# ń#
ó#0 9 0 0 0 Ą# ó#0 1/ 9 0 0 0Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
9. Znal. macierz odwr. do macierzy 0 5 3 0 14 Odp.: 0 - 5/ 27 1/ 3 7 / 6 0
ó# Ą# ó# Ą#
ó#0 0 0 0 - 4Ą# ó#0 0 0 1/ 2 1Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
ó# ó# Ą#
Ł#0 0 0 1 2 Ą# Ł#0 0 0 -1/ 4 0Ś#
Ś#
Układy równań liniowych.
Rozważamy układ m równań liniowych z n niewiadomymi:
a11 x1 + ... + a1n xn = b1
( U ) a21 x1 + ... + a2n xn = b2 czyli AX=B.
......................................
am1 x1 + ... + amn xn = bm
Najwygodniejszą i najbardziej ogólną metodą rozwiązywania układów równań jest metoda operacji
elementarnych na wierszach, zwana też metodą eliminacji (ew. metodą eliminacji Gaussa). Metoda ta
stosuje się do układów równań o dowolnej ilości równań i dowolnej ilości niewiadomych.
Operacjami elementarnymi na wierszach macierzy nazywamy
" mnożenie dowolnego wiersza macierzy przez liczbę różną od zera
" dodawanie do dowolnego wiersza macierzy innego wiersza pomnożonego przez dowolną liczbę
" zamianę dwóch różnych wierszy miejscami
Jeżeli na macierzy rozszerzonej [A,B] układu równań dokonujemy operacji tego typu, to układ
odpowiadający zmienionej przez te operacje macierzy jest równoważny wyjściowemu. Celem tych
operacji jest doprowadzenie macierzy do postaci, w której występuje pewna ilość, powiedzmy r,
kolumn zerojedynkowych (o numerach 1d" j11,2,...,r-tym wierszu, choć w dowolnej kolejności), zaś m r pozostałych, końcowych wierszy albo
jest zerowych, albo wśród nich występuje przynajmniej jeden postaci [0, 0, ..., 0, a], gdzie a `" 0.
" W pierwszym z tych przypadków, układ posiada rozwiązania, i wszystkie rozwiązania otrzymuje
się, przyjmując za parametry wszystkie niewiadome, które odpowiadają kolumnom nie wybranym
powyżej jako zerojedynkowe; pozostałe niewiadome wyrażamy w zależności od tych parametrów, co
jest możliwe dzięki temu, że każda z nich występuje tylko w jednym równaniu ze współczynnikiem
Str. 26 z 46
1. W rozważanym przypadku rząd macierzy A, rz A = rz [A,B] = r (oznaczenie rz A zobacz poniżej
 rząd macierzy)
" W drugim z tych przypadków układ jest sprzeczny (rz A=r, zaś rz[A,B]=r+1).
W powyższych rozważaniach rz A oznacza rząd macierzy A, będący wymiarem (stopniem)
największego niezerowego minora macierzy A, gdzie minorem nazywamy każdy wyznacznik
utworzony z macierzy A przez skreślenie pewnej ilości wierszy i kolumn (tak, aby powstała macierz
posiadająca wyznacznik, tzn. macierz kwadratowa). Na wykładach z przestrzeni wektorowych
dowiemy się, że rząd jest również liczbą liniowo niezależnych wierszy macierzy A (wymiarem
przestrzeni generowanej przez wiersze), jak również ilością liniowo niezależnych kolumn macierzy
A (wymiarem przestrzeni generowanej przez kolumny).
Dla niektórych układów równań liniowych n�n (ilość równań = ilości niewiadomych),
mianowicie tych o niezerowym wyznaczniku, oprócz metody eliminacji Gaussa można zastosować
także:
det Ai
a) wzory Cramera: xi = , gdzie A-macierz układu, Ai  macierz, otrzymana z macierzy A
det A
przez zastąpienie i-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych;
b) metodę macierzową, która polega na obliczeniu macierzy odwrotnej do A, czyli A 1, i
wyliczeniu rozwiązania układu AX=B jako X=A 1B (ten wzór na rozwiązanie otrzymuje się przez
lewostronne pomnożenie obu stron równania AX=B przez macierz A 1). Sposób ten jest opłacalny
zwłaszcza wtedy, gdy mając ustalone A, chcemy rozwiązać układy równań AX=B z różnymi
prawymi stronami B.
1. Rozwiązać układy równań:
x1 + x2+ x3 + x4 + x5 = 15
ż#
x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 + x5 = 4
ż#
�#
x1 + 2x2+ 3x3 + 4x4 + 5x5 = 35
�#3x + 6x2 + 5x3 - 4x4 + 3x5 = 5
�#
�#x �#
1
a) + 3x2 + 6x3 +10x4 +15x5 = 70 b)
�# �#
1
x1 + 2x2 + 7x3 - 4x4 + x5 = 11
�#x + 4x2 +10x3 + 20x4 + 35x5 = 126 �#
1
�# �#2x1 + 4x2 + 2x3 - 3x4 + 3x5 = 6
�#
�# + 5x2 +15x3 + 35x4 + 70x5 = 210
�#x1
x1 - x3 + x5 = 0
ż#
3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 0
ż#
�#
�#5x + 7x2 + x3 + 3x4 + 4x5 = 0 �# x2 - x4 + x6 = 0 ż# x + y + z + u = 1
�# �#x - x2 �#
1
c) + x5 - x6 = 0 e) 2x - 3y - 2z + 5u = 1
�#4x + 5x2 + 2x3 + x4 + 5x5 = 0 d) �# �#
1
1
�# �# �#- x - 6y - 5z + 2u = 1
x2 - x3 + x6 = 0
�#
�#7x1 +10x2 + x3 + 6x4 + 5x5 = 0 �#
�#
�# x1 - x4 + x5 = 0
�#
ż#x + y + z = 2
x
ż# - y + z - u = 2 x - y + 3z - u = -2 x + 2z + 3u = 0
ż# ż#
�#
�#3x - y - 7z + 2u = 0 �#2x + 3y + z + u = 0 �#
�#x - z = 0
x + 2 y + 4z + 5u = 0
�# �# �# �#
f) y - z = -1
�#6x + 2 y - z - u = 3 g) �#4x + 3z - 2u = -1 h) �#2x + 4z + 6u = 0 i) �#
�# �# �# �# - y = 1
x
�#2x - 2 y + 2z - 2u = 5 �#3x + 2 y + 5z + 2u = 3 �#3x + 2 y + 8z +11u = 0 �#x - y - z = 0
�# �# �#
�#
�#
6 5 - 2 4 x1 Ą#- 4
Ą# ń#Ą# ń# ń#
x1
ż# - x2 + x3 - x4 + x5 = 1
ó#9 -1 4 -1Ą#ó#x2 Ą# ó# Ą#
13
�#x
ó# Ą#ó# Ą# ó# Ą#
j) - x2 + x3 + x4 - x5 = 1 k) =
�#
1
3 4 2 - 2 x3 1
ó# Ą#ó# Ą# ó# Ą#
�#x - x2 + x3 + 3x4 - 3x5 = 1
�# 1
ó#3 - 9 0 2 Ą#ó#x Ą# ó# Ą#
11
Ł# Ś#Ł# 4 Ś# Ł# Ś#
Odp.: a) (5,4,3,2,1); b) x1 =  (9/2)  2t1  t2 , x2 = t1, x3 = t2, x4 = ( 7/2) + 2t2 , x5 = (3/2) + 2t2.
c) x3 = t1, x5 = t2, x1 =  3t1 5t2, x2 = 2t1+3t2, x4 = 0 ;
d) x1 = t1  t2, x2 = t1  t3, x3 = t1, x4 = t1, x5 = t2, x6 = t3;
k) x1 = 2/3, x2 =  1, x3 = 3/2, x4 = 0.
2. Rozwiązać w zależności od parametru ( a lub ):
Str. 27 z 46
ax1 + x2 + x3 = 1 x1 + 2x2 + 3x3 = 0
2x - y+ z + t = 1
ż# ż#
�#x + ax2 + x3 = a c) �#2x + 4x2 + 2ax3 = 0
a) x + 2 y - z + 4t = 2 b)
�# �#
1 1
�#x1 + x2 + ax3 = a2 �#
x + 7 y - 4z +11t = a x1 + 3x2 + x3 = a - 3
�# �#
2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 3
ax1 - x2 + x3 =1
ż#
x1 + ax2 + x3 = 2a 4x1 + 6x2 + 3x3 + 4x4 = 5
ż#
�#
d) x1 - ax2 + x3 =1 e) f)
�# �#ax
6x1 + 9x2 + 5x3 + 6x4 = 7
�#3x1 - 3x2 + 2x3 = 2a �# 1 + x2 + x3 = a
�#
8x1 +12x2 + 7x3 + x4 = 9
5x1 - 3x2 + 2x3 + 4x4 = 3
( +1)x1 + x2 + x3 = 2 + 3
4x1 - 2x2 + 3x3 + 7x4 = 1
g) h) x1 + ( +1)x2 + x3 = 3 + 32
8x1 - 6x2 - x3 - 5x4 = 9
x1 + x2 + ( +1)x3 = 4 + 33
7x1 - 3x2 + 7x3 +17x4 = 
Wsk. do h): Przekształcać przy pomocy operacji elementarnych, lub też skorzystać ze wzorów Cramera w
przypadku, w którym jest to możliwe.
Odp: a) Gdy a `" 5  układ jest sprzeczny;
gdy a = 5: x=(4/5)  (1/5)t1  (6/5)t2
y=(4/5) + (3/5)t1  (7/5)t2
z= t1
t= t2
f) Jeżeli =8, to x1 =t1 , x2 =t2 , x3 =  1, x4 = 2  t1  (3/2)t2 ;
jeżeli `"8, to x1 = t, x2 = (4/3)  (2/3)t, x3 =  1, x4 = 0.
g) Jeżeli `"0, to układ jest sprzeczny. Jeżeli zaś =0, to:
x1 = t1, x2 =t2, x =(17/2) (19/2)t1+(13/2)t2, x =( 7/2)+(7/2)t1 (5/2)t2 .
h) Jeżeli  = 0, to x1 =  t1  t2, x2 = t1, x3 = t2 ; jeżeli  =  3, to x1 =x2 =x3 =t;
jeżeli  `" 0, 3, to x1 = 2 2 , x2 = 2  1, x3 = 3 + 22    1.
3. Korzystając m.in. ze wzorów Cramera, rozwiązać następujące układy równań:
x + aby + b2z = a
x + y + z = 1 ax + y + z = p
a) ax + by + cz = d ; b) x + ay + z = q ; c) x + a2 y + abz = b .
2
x + y + az = r cx + ay + bz = c
a2x + b2 y + c2z = d
(b - d)(c - d)
Odp. a) Jeżeli a`"b`"c`"a, to x = , y,z - cyklicznie.
(b - a)(c - a)
Jeżeli np. a=b, to: jeżeli a=b=c`"d, to układ jest sprzeczny;
jeżeli a=b=c=d, to np. y, z można przyjąć za parametry i x=1 y z;
jeżeli a=b`"c=d, to z=1, y  parametr, x =  y;
jeżeli a=b=d`"c, to z=0, y - parametr, x = 1  y;
jeżeli a=b`"c oraz d`"a, c to układ jest sprzeczny.
1 2 0 1 0 1
Ą# ń# Ą# ń#
ó#0 ó#0
4. Rozwiązać równanie macierzowe AX=B, gdzie A = 1 2Ą#, B = 1 0Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
ó# Ą# Ą#
Ł#2 0 1Ś# ó# 0 1Ś#
Ł#1
1 2 3 0 1 -1
Ą# ń# Ą# ń#
ó#3 ó# Ą#
5. Rozwiązać równanie macierzowe XA=B, w którym A = 2 1Ą#, B =
ó# Ą# ó#-1 0 1 Ą#
1
ó# Ą# ó# -1 0 Ą#
Ł#1 1 1Ś# Ł# Ś#
Str. 28 z 46
2 1 1
Ą# ń#
1 2 1 0 1
Ą# ń# Ą# ń#
ó#
6. Niech A =
ó#0 -1Ą#, B = ó#-1 1 -1Ą#, C = ó#0 1 0Ą#. Rozwiązać równanie AXB = C.
Ą#
Ł# Ś# Ł# Ś#
1
ó# -1 2 Ą#
Ł# Ś#
2x1 + 4x2 + x3 = 3
ż#
�#3x
7. Korzystając z metody macierzowej, rozwiązać układ równań - 2x2 + 2x3 = 4 .
�#
1
�#
x1 + 3x2 + x3 = -3
�#
8. Rozwiązać równania macierzowe:
2 2 3 2 -1
Ą# ń# Ą# ń#
1 3 1 0 1 -1 5 3 4 3
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
ó# ó# Ą#
a) X = X = 1 -1 0Ą#X =
ó# ó#0 3Ą# ; b) ó#1 2 Ą# ó# ó#7 8Ą# ; c)
ó# Ą# ó#-1 3 Ą#
Ł#-1 2Ą# Ł# Ś# Ł# Ś# Ł#- 4 - 2Ą# Ł# Ś#
Ś# Ś#
ó#-1 2 1Ś# Ł# 0 1 Ą#
Ą# ó#
Ł# Ś#
2 2 3 7
Ą# ń# Ą# ń#
ó# ó#
d) 1 -1 0Ą#X = 3Ą#
ó# Ą# ó#- Ą#
ó#-1 2 1Ś# Ł# 2
Ą# ó# Ą#
Ł# Ś#
Rząd macierzy. Tw. Kroneckera  Capelli ego.
" Minorem macierzy A = [ aij ] 1 d"id" m, 1d" jd" n nazywamy każdy wyznacznik macierzy powstałej z
macierzy A przez skreślenie pewnej ilości wierszy i kolumn (tak, aby powstała w ten sposób macierz
była kwadratowa).
" Rzędem macierzy A (ozn. rz(A)) nazywamy taką liczbę r, że:
1) istnieje co najmniej jeden minor stopnia r różny od zera
2) wszystkie minory macierzy A stopnia większego niż r (jeżeli istnieją) są równe zeru.
(Jest to tzw. wyznacznikowa definicja rzędu macierzy. Jej bezpośrednie stosowanie wymaga żmudnych
obliczeń, zwłaszcza jeżeli rząd macierzy okazuje się mniejszy od maksymalnego możliwego przy
danych wymiarach.) Z definicji wyznacznikowej i własności wyznaczników wynika przede wszystkim,
że rz A=rz AT.
Rząd danej macierzy m�n jest też wymiarem podprzestrzeni przestrzeni Kn generowanej przez
wiersze tej macierzy oraz także wymiarem podprzestrzeni przestrzeni Km generowanej przez kolumny
tej macierzy. W szczególności, wiersze (kolumny) macierzy są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy,
gdy rząd macierzy równa się ilości tych wierszy (tzn. m) względnie kolumn (tzn. n). Oczywiście, rząd
takiej macierzy nie przekracza ani m, ani n, tzn. rz Ad"min (m,n).
Rząd macierzy nie zmienia się w wyniku: 1. dodania do danego wiersza (kolumny) innego wiersza
(innej kolumny) pomnożonego (onej) przez dowolną liczbę; 2. pomnożenia dowolnego wiersza
(dowolnej kolumny) przez liczbę różną od zera; 3. dowolnego przestawiania wierszy (kolumn) macierzy
miejscami. I właśnie zazwyczaj staramy się uprościć macierz przez te operacje, a ewentualne
podwyznaczniki liczymy już w macierzy uproszczonej, co prowadzi do prostszych obliczeń.
" Twierdzenie Kroneckera - Capelli ego. Dany jest układ (U), czyli AX=B. Przez A oznaczamy
macierz układu, a przez [A,B] macierz rozszerzoną. Niech rz A = r. Wtedy:
albo rz [A,B]=rz A (= r), i wtedy rozwiązanie układu (U) istnieje i zależy od n r dowolnych para-
metrów (w szczególności, jeżeli r = n, to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie),
albo też rz [A,B]`"rz A (wtedy w istocie rz [A,B]=rz A+1=r+1), i wtedy układ (U) jest sprzeczny.
Inaczej mówiąc, układ (U) posiada (przynajmniej jedno) rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy
rz A = rz [A,B].
Twierdzenie Kroneckera-Capelli ego ma raczej większe znaczenie teoretyczne niż praktyczne.
Zauważmy, że jeżeli już je stosujemy, to należy zacząć raczej od obliczenia rzędu macierzy
rozszerzonej [A,B]; jeżeli rząd ten będziemy liczyć dokonując wyłącznie operacji elementarnych, to 
Str. 29 z 46
po pierwsze  te same operacje elementarne wykonywane bez zwracania uwagi na ostatnią kolumnę (B)
dadzą nam natychmiast rząd macierzy A; po drugie, doprowadzenie macierzy [A,B] do odpowiedniej
postaci pozwoli nam w istocie nie tylko rozstrzygnąć czy istnieje rozwiązanie, ale nawet znalez
ć
wszystkie rozwiązania danego układu równań.
Bardzo szczególnym, ale bardzo ważnym przypadkiem, są jednorodne układy równań, tzn. takie, w
których B=0: AX=0. Taki układ jest zawsze niesprzeczny, tzn. ma przynajmniej jedno rozwiązanie,
mianowicie rozwiązanie zerowe, czyli trywialne  w którym wszystkie niewiadome równe zeru. Bardzo
ważne jest więc pytanie, kiedy taki układ jednorodny posiada (przynajmniej jedno) rozwiązanie
niezerowe. Na podstawie tw. Kroneckera-Capelli ego, układ jednorodny m � n (m równań z n
niewiadomymi) posiada rozwiązanie niezerowe wtedy i tylko wtedy, gdy r = rz A < n (bo wtedy
rozwiązanie ogólne zależy od n r>0 parametrów, którym można nadawać dowolne, w szczególności
niezerowe, wartości). W szczególności, jeżeli mniewiadomych, to zawsze istnieje rozwiązanie niezerowe.
Dla układów n � n warunek istnienia niezerowych rozwiązań sprowadza się do warunku Det A=0.
Fakt ten jest wykorzystany między innymi przy liczeniu wartości własnych macierzy lub operatora,
mianowicie warunkiem na to, aby  było wartością własną operatora jest Det(A I)=0 (zob. dalej
wartości własne i wektory własne).
1 3 5 - 1 1 1 1 1
Ą# ń# Ą# ń#
2 -1 3 - 2 4
Ą# ń#
ó#2 - 1 - 3 4Ą# ó#2 2 3 - 1Ą#
ó#4
Ą# ó# Ą#
1. Obl. rząd macierzy: a) - 2 5 1 7Ą# ó# c)
b)
ó# Ą#
5 1 - 1 7 0 0 1 - 3
ó# Ą# ó# Ą#
ó# -1 1 8 2Ś# ó#7
Ą#
Ł#2
7 9 1Ą# ó#3 3 5 - 3Ą#
Ł# Ś# Ł# Ś#
4 3 - 5 2 3
Ą# ń#
ó#8 6 - 7 4 2Ą# Ą#3 - 1 3 2 5ń#
1 - 1 2 - 1
Ą# ń#
ó#5 - 3 2 3 4Ą#
ó# Ą#
ó#2 Ą#
ó# Ą#
d) - 3 - 1 1 4 3 - 8 2 7 f)
e) ó# Ą#
ó# Ą#
1 Ą#
ó# - 3 - 5 0 - 7
ó#4
ó#
Ł#1 0 7 4 Ą# ó# 3 1 2 - 5Ą# ó#7 - 5 1 4 1Ą#
Ś#
Ą#
Ł# Ś#
ó# Ą#
Ł#8 6 - 1 4 - 6Ś#
3 -1 3 2 5
Ą# ń#
ó#5 - 3 2 3 4 Ą#
ó# Ą#
2. a) Obliczyć rząd podanej macierzy A =
1 Ą#
ó# - 3 - 5 0 - 7
ó#7 - 5 1 4 1 Ą#
Ł# Ś#
b) Znalez
ć wszystkie zależności liniowe między kolumnami tej macierzy (tzn. ogólną postać takiej zależności).
c) Znalez
ć bazę przestrzeni rozwiązań układu jednorodnego AX=0.
d) Znalez
ć maksymalny liniowo niezależny układ kolumn (równoważnie, z kolumn wybrać bazę przestrzeni
generowanej przez kolumny).
e) To samo dla wierszy.
Rozwiązanie. Przekształcając tę macierz operacjami na wierszach, otrzymujemy kolejno
0 8 18 2 26 0 4 9 1 13 0 4 9 1 13 0 4 9 1 0
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
ó#0 12 27 3 39 Ą# ó#0 4 9 1 13 Ą# ó#0 0 0 0 0 Ą# ó#0 0 0 0 0Ą#
ó# Ą#, ó# Ą#, ó# Ą#, ó# Ą#
.
1 Ą# ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
ó# - 3 - 5 0 - 7 1 - 3 - 5 0 - 7 1 - 3 - 5 0 - 7 1 - 3 - 5 0 0
ó#0 16 36 4 50 Ą# ó#0 8 18 2 25 Ą# ó#0 0 0 0 -1Ą# ó#0 0 0 0 1Ą#
Ł# Ś# Ł# Ś# Ł# Ś# Ł# Ś#
Rozw. b) Wszystkie związki liniowe między kolumnami (o współczynnikach (x1,x2,...,x5)) mają postać
Str. 30 z 46
x1 3 5
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
ó#x Ą# ó# Ą# ó# Ą#
1 0
2
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
x3 = t1 0 + t2 1 . Stąd otrzymujemy także
x1=3t1+5t2, x2=t1, x3=t2, x4= 4t1 9t2, x5= 0, czyli ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
ó#x Ą# ó# ó#
4
ó# Ą# ó#- 4Ą# ó#- 9Ą#
Ą# Ą#
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
0 0
Ł#x0 Ś# Ł# Ś# Ł# Ś#
odpowiedz
do punktu c). a) Z ostatecznej postaci do której doprowadzono A mamy rz A=3 (otrzymaliśmy trzy
liniowo niezależne wiersze). d) Taki układ składa się np. z kolumn o numerach 1,3,4 (bo w ostatniej macierzy
te właśnie kolumny tworzą w oczywisty sposób maksymalny układ liniowo niezależny, a więc to samo jest
prawdziwe dla A). e) Wiadomo, że trzeba wybrać trzy liniowo niezależne wiersze, bo rząd wierszowy i rząd
kolumnowy są takie same. Z powyższego rachunku łatwo widać, że pierwsze trzy wiersze są liniowo zależne 
drugi wiersz da się wyrazić jako kombinacja liniowa 1 i 3 wiersza, a więc trzeba go odrzucić. Stąd odpowiedz

do e), mianowicie: 1,3 i 4 wiersz.
3 1 1 4
Ą# ń#
1 a - 1 2
Ą# ń#
ó#a 4 10 1Ą#
ó#2
ó# Ą#
3. Obliczyć rząd w zależności od parametru a: a) b) - 1 a 5Ą#
ó# Ą#
ó# 1 7 17 3
Ą#
ó# Ą#
ó#2 2 4 3Ą# Ł#1 10 - 6 1Ś#
Ł# Ś#
a 1 2 3
Ą# ń#
a - 1 2 1 - a 1
Ą# ń#
ó# Ą#
4 a - 2 4 5
ó#
ó# Ą#
c) d) 4 a - 8 - 4 4Ą#
ó# Ą#
ó#- 1 - 1 a - 3 3 Ą#
ó# a 2a - 1 aŚ#
Ą#
ó# Ł#
a 1 2 a - 3Ą#
Ł# Ś#
(a
ż# - 1)x + ay + 2z = a
4. Korz. z tw. Kroneck. - Capell. zbadać war. rozwiązalności: a)
�#2x + (2a - 3) y + 2z = a + 3 b)
�#
ax + (a + 2) y + 2z = a + 2
ż#
�#(a - 2)x + (2a - 5) y + (2a - 4)z = a - 1
�#
5. Bez rozwiązywania układów do końca (tylko częściowo) przedyskutować ich rozwiązalność oraz liczbę
rozwiązań (ilość parametrów w rozwiązaniu ogólnym) na podstawie tw. Kroneckera-Capelli ego:
1 6 - 1 0
Ą# ń#
1 3 5 1 -1 1 -1 0
Ą# ń# Ą# ń#
ó#
ó#2 ó#1
ó#- 1 - 4 5 6Ą#
Ą#
[A | B]= 1 7Ą# [A, B]= 1 -1 0 2Ą#
a) ; b) [A,B]= ;
ó# Ą# ó# Ą#; c)
ó# 3 17 0 2
Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
Ł#3 1 9Ś# Ł#5 1 -1 - 2 0Ś# ó#
2 13 5 8Ą#
Ł# Ś#
5 - 3 -1 1 1 1 2 3 1 0
Ą# ń# Ą# ń#
ó#1 ó#1
[A, B]= -1 - 2 2 - 2Ą# ; e) | B]= - 2 1 -1 0Ą# ;
d) [A
ó# Ą# ó# Ą#
ó# ó# - 2 0 1 0Ś#
Ą#
Ł#2 1 -1 1 2 Ą# Ł#4
Ś#
1 2 0 -1 0
Ą# ń#
ó#
1 3 1 -1 0Ą#
ó# Ą#
f) [A | B]= Odp.: a), b) sprzeczny; c) dokł. 1 rozw.; d),e) 1 par.; f) 2 par.
ó# 0 1 1 0 0
Ą#
ó#
Ł#-1 - 4 - 2 1 0Ą#
Ś#
Dodatkowe zadania z układów równań
Str. 31 z 46
4. Rozwiązać układy równań:
x + y + z = 0 x + y + z = 3 x
ż# ż# ż# - y + 3z = 0 x + y + z + u = 1
ż#
�#2x �# �#2x + y + z = 0 d) �#
a) - y - z = -3 2x - 3y - 2z + 5u = 1
b)
�# �#- 2x + 2y + 3z = 3 c) �# �#
�# �# �#5x + 2y - 5z = 0 �#- x - 6y - 5z + 2u = 1
x - y + z = 0 - x + 3y + 4z = 6
�# �# �# �#
x
ż# - y + z - u = 2 x x + 2z + 3u = 0
ż# - y + 3z - u = -2
ż#
�#3x - y - 7z + 2u = 0 �#2x + 3y + z + u = 0 �#
x + 2 y + 4z + 5u = 0
�# �# �#
e)
�#6x + 2 y - z - u = 3 f) �#4x + 3z - 2u = -1 g) �#2x + 4z + 6u = 0
�# �# �#
�#2x - 2 y + 2z - 2u = 5 �#3x + 2 y + 5z + 2u = 3 �#3x + 2 y + 8z + 11u = 0
�# �# �#
ż#x + y + z = 2
�#
�#x - z = 0
�#
h) y - z = -1
�#
�#x - y = 1
�#x - y - z = 0
�#
�#
Wartości własne i wektory własne operatorów i macierzy.
Niech F:VV będzie operatorem liniowym w przestrzeni V nad R lub C. Mówimy, że niezerowy
wektor v"V jest wektorem własnym operatora F, jeżeli istnieje skalar "K taki, że Fv = v (dla wektora
zerowego v=0, dowolna liczba  spełniałaby ten warunek, dlatego właśnie musimy założyć, że wektor v jest
niezerowy). Tę liczbę  nazywamy wtedy wartością własną operatora F i mówimy, że wektor własny v
odpowiada wartości własnej . Ogólnie, dla dowolnej liczby  zbiór - jak łatwo zauważyć - podprzestrzeń
V(F) = {v"V: Fv = v} = {v"V: Fv  v = 0} = {v"V: (F  IV)v=0}=(F  IV) 1({0})
składa się albo z samego wektora zerowego - i wtedy  nie jest wartością własną operatora F, albo jest
nietrywialna (niezerowa, tzn. należy do niej przynajmniej jeden wektor niezerowy) i wtedy  jest wartością
własną operatora F, zaś wspomniany zbiór V(F) nazywamy wtedy podprzestrzenią własną operatora F.
Wymiar tej przestrzeni (przestrzeni własnej) jest oczywiście równy co najmniej 1.
Jeżeli V jest przestrzenią skończenie wymiarową (dim V = n<"), wybierzmy w niej dowolną bazę B,
niech A = MBB(F) będzie macierzą operatora F w bazie B, zaś X = MB(v) będzie macierzą współrzędnych
szukanego wektora własnego v w bazie B. Wtedy równanie (F IV)v=0 przyjmie postać
(A  I)X = 0,
czyli
(a11  )x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0
a21x1 + (a22  )x2 + ... + a2nxn = 0
........................................................................
an1 x1 + an2x2 + ... + (ann  )xn = 0
(macierzą tego układu jest A, od której wszystkich wyrazów na przekątnej odjęto , tzn. macierz A I). Ten
jednorodny układ n równań liniowych o n niewiadomych ma rozwiązania niezerowe wtedy i tylko wtedy, gdy
wyznacznik układu, det(A  I) , jest równy zeru: det(A  I) = 0. Niech f(x) = det(A  xI) [niekiedy przyjmuje
się f(x) = det(xI  A), co różni się tylko współczynnikiem ( 1)n ]. Okazuje się, że f(x) jest wielomianem n-tego
stopnia, powiedzmy
f(x) = det (A  xI) = ( 1)n xn + an 1xn 1 + ... + a1x + a0
[współczynnik ( 1)n przy najwyższej potędze powstaje tu z iloczynu wyrazów na przekątnej, tzn. (a11  x) (a22
 x) ... (ann  x)]. Wielomian f(x) nazywamy wielomianem charakterystycznym operatora F.
Str. 32 z 46
Tak więc zagadnienie znajdowania wartości własnych sprowadza się do znalezienia pierwiastków
równania n - tego stopnia (co na ogół jest zadaniem dość trudnym). W ciele liczb zespolonych istnieje zawsze n
pierwiastków tego równania - uwzględniając krotności. Pierwiastki te oznaczamy albo przez 1, 2, ..., n,
wypisując pierwiastki wielokrotne tyle razy, ile wynosi ich krotność, albo też wszystkie k parami różnych
pierwiastków oznaczamy przez 1, 2, ... k mówiąc, że ich krotnościami są m1, m2, ..., mk (oczywiście, m1 + m2
+ ... +mk = n). Przy pierwszym z tych oznaczeń
f (x) = (-1)n (x - 1)(x - 2 )...(x - n )
przy drugim zaś
1 2 k
f (x) = (-1)n (x - 1)m (x - 2 )m ...(x - n )m .
Mając już wyznaczone wartości własne i , dla każdej z nich rozwiązujemy wypisany już układ równań
liniowych z konkretnym i , co już jest problemem (przynajmniej teoretycznie) znacznie łatwiejszym - możemy
otrzymać kolejno pewne bazy wszystkich podprzestrzeni własnych V ,V ,...,V . Okazuje się, że wymiar
1 2 k
przestrzeni własnej nie może przekraczać krotności danej wartości własnej : 1 d" dim V d" mi dla i=1,2,...,k
i
(stosujemy drugi sposób numerowania wartości własnych).
1) Znalez
ć wartości własne i wektory własne następujących macierzy:
2
Ą# -1 -6 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 2 0 -1 5 2 -3
ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
ó#0 Ą# ó#1 ó#1 Ą# ó#0 ó#1 ó# Ą# ó#4
a) 1 0 b) 0 1Ą# c) 0 0 d) 0 -1Ą# e) 0 1Ą# f) 0 3 0 g) 5 -4Ą#
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
ó# Ą#
Ł#0 0 -1Ś# ó# 1 0Ś# ó# 0 -1Ś# ó# 1 0 Ą# ó# 1 0Ś# ó#-1 0 2 Ą# ó# 4 -4Ś#
Ł#1 Ą# Ł#0 Ą# Ł#0 Ś# Ł#1 Ą# Ł# Ś# Ł#6 Ą#
1 0 0
Ą# ń#
ó#3
h) 1 2Ą# 2. Znalez
ć wartości własne i wektory własne macierzy:
ó# Ą#
ó# Ą#
Ł#0 5 4Ś#
-1 - 2 - 2
Ą# ń#
2 1 0 4 1 1
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
ó#10 11 10 Ą#
a) (odp. =3ąi); b) (odp. =ą4i); c) (odp. 1=2, m1=2); d)
ó# ó# ó#
ó# Ą#
Ł#- 2 4Ą# Ł#-1 0Ą# Ł#-1 3Ą#
Ś# Ś# Ś#
ó#- 6 - 6 - 5Ś#
Ą#
Ł#
2 -1 - 2
Ą# ń#
ó# Ą#
(odp. 1=1, m1=2, X= ą[ 1,1,0]T+ �[ 1,0,1]T; 2=3, m2=1, X=ą[1, 5,3]T); e) 5 - 3 3 (odp. = 1,
ó# Ą#
ó#-1 0 2 Ą#
Ł# Ś#
-1 3 -1
Ą# ń#
ó#
m=3, X=ą[1,1, 1]T); f)
ó#- 3 5 -1Ą# (odp. 1=1, m1=1, X=ą[1,1,1]T; 2=2, m2=2, X=ą[1,1,0]+�[0.1.3]T);
Ą#
ó#- 3 3 1 Ą#
Ł# Ś#
Str. 33 z 46
3 -1 0 0
Ą# ń#
6 - 5 - 3
Ą# ń#
ó#1 1 0 0 Ą#
ó#3
ó# Ą#
g) - 2 - 2Ą# (1=1, m1= 2, X=ą[1,1,0]; 2=2, m2=1, X=ą[2,1,1,]); h) (odp. =2,
ó# Ą#
3 0 5 - 3
ó# Ą#
ó# - 2 0 Ą#
Ł#2 Ś# ó#4 -1 3 -1Ą#
Ł# Ś#
1 0 2 -1
Ą# ń#
ó#0 1 4 - 2Ą#
ó# Ą#
m=4, X=ą[0,0,1,1]T + �[1,1, 1,0]T ; (odp. =1, m=4, X=ą[1,2,0,0]T + �[0,1,1,2]T).
2
ó# -1 0 1 Ą#
ó#2 -1 -1 2 Ą#
Ł# Ś#
3 - i 0 17 - 8 4
Ą# ń# Ą# ń#
cosą - siną cosą siną
Ą# ń# Ą# ń#
ó#i 3 0Ą# ; ó#
,
ó#siną cosą Ą# ó#siną cosąĄ# ;
ó# Ą# ó#- 8 17 - 4Ą# (wsk.: w A I, w1:=w1+w2; 9,9,27).
Ą#
Ł# Ś# Ł# Ś#
ó# Ą#
Ł#0 0 4Ś# ó# 4 - 4 11 Ą#
Ł# Ś#
3. Niech X będzie wektorem własnym macierzy A, odpowiadającym wartości własnej . Co można powiedzieć
o wektorze X w stosunku do macierzy A2 ?
4. Wykazać, że macierz odwrotna do macierzy kwadratowej A istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy 0 nie jest
wartością własną macierzy A. Niech X będzie wektorem własnym macierzy A, odpowiadającym wartości
własnej . Co można powiedzieć o wektorze X w stosunku do macierzy A 1 ?
Wektory w R3. Iloczyn skalarny, wektorowy i mieszany
Niech w przestrzeni R3, będą dane wektory u = [ux,uy,uz],v = [vx,vy,vz], w =[wx,wy,wz]
Iloczyn skalarny: u�v = |u|�|v| cos( " (u,v))
u�" v = uv = uxvx + uyvy + uzvz
Własności:
u�"(v1+v2)=u�"v1 + u �"v2; (u1 + u2 )�"v = u1 v + u2�"v (addytywność);
(ąu)�"v=ą(u�"v)=u�"(ąv) (jednorodność);
u�"v = v�"u; u ue"0, przy czym u u=0 wtedy i tylko wtedy, gdy u=0; u u=|u|2;
u�"v=0 �! uĄ"v.
(porównaj właściwości ogólnego iloczynu skalarnego w dowolnej przestrzeni).
Iloczyn wektorowy: u�vĄ"u,v, |u � v| = |u|�|v|sin( "(u,v)) (długość iloczynu wektorowego to pole
równoległoboku); wektory u, v i u � v tworzą trójkę o orientacji zgodnej z orientacją wersorów i,j,k osi
współrzędnych.
i j k
Ą# uy uz ux uy ń#
ux uz
u � v = ux uy uz = ,- ,
ó#
vy vz vx vy Ą#
vx vz
Ś#
vx vy vz Ł#
Własności:
Str. 34 z 46
v � u = -u � v
u � (v1 + v2 ) = u � v1 + u � v2
(u1 + u2 ) � v = u1 � v + u2 � v
u � u = 0
(ąu) � v = ą(u � v) = u � (ąv)
u � v = 0 �! u || v
ux uy uz
Iloczyn mieszany: [uvw] = (u � v) �" w = vx vy vz (względna objętość równoległościanu rozpiętego
wx wy wz
na danych wektorach))
Własności:
[uvw] = [vwu] = [wuv] = -[vuw] = -[wvu] = -[uwv]
[(u1 + u2 )vw] = [u1vw] +[u2vw] itp.
b c
a �(b �c) = (a �"c)b - (a �"b)c =
a�" b a�"c
b a
(a � b) �c = (a�"c)b - (b �"c)a =
b �"c a�"c
(podwójny iloczyn wektorowy); ciekawostki:
a �" c b �" c
(a � b) �" (c � d) = (a �" c)(b �" d) - (a �" d)(b �" c) =
a �" d b �" d
(a � b) � (c � d) = [acd]b - [bcd]a = [abd]c - [abc]d
0) Niech A=(2, 1,4) i niech AB=[2,3, 1]. Obliczyć współrzędne punktu B.
Znalez
ć długość wektora [ 2,  1,4] i wersor tego wektora.
Znalez
ć kąt między wektorami [5, 7,3] i [2,1, 1].
Znalez
ć rzut wektora a=[2,1, 1] na kierunek wektora b=[4,5,3].
Znalez
ć pole równoległoboku zbudowanego na wektorach a=[3,1,0] i b=[4, 2,6].
Znalez
ć objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach a=[1,2, 2], b=[0,3,2], c=[2,3,4].
Czy wektory [2, 3,5] i [4,1, 1] są do siebie prostopadłe?
Czy punkty A(1,0, 1), B(0, 2,3), C( 1,2,5), D(6,7, 11) leżą na jednej płaszczyz
nie?
Znalez
ć przykład wektora prostopadłego do dwóch danych wektorów a=[1,1, 3] i b=[3, 2,1]
1) Sprawdzić, czy punkty A( 1,1,1), B(2,1,0), C(0,1,0) leżą na jednej prostej.
2) Wykazać, że współrzędne środka odcinka są średnimi arytmetycznymi współrzędnych jego końców.
3) Znalez
ć kąty wewnętrzne trójkąta o wierzchołkach A(2, 1,3), B(1,1,1), C(0,0,5)
4) Sprawdzić, czy trójkąt o wierzchołkach A,B,C jest prostokątny:
a) A(0,0), B(3,1), C(1,7) b) A(1,0), B( 1,3), C(1,10) c) A(3,2,1), B( 1,6,5), C(5,3,2)
5) Obliczyć pole trójkąta ABC, A(0,0,2), B(2,1,1), C( 1,1,0)
6) Znalez
ć wektor u, wiedząc że jest on prostopadły do v =[1,2, 3] i w =[ 1,4,2] oraz że u�[4,5,1] =  150
Ż# Ż#
Ż# Ż#
7) W rombie ABCD dane są przekątne AC = a, BD = b. Wyrazić za pomocą wektorów a i b wektory:
Ż# Ż# Ż# Ż#
Ż# Ż# Ż# Ż#
AB , BC , CD , DA .
8) Wektor a = [3, 2,1] przedstawić w postaci sumy dwóch wektorów, z których jeden jest prostopadły, a drugi
równoległy do wektora b = [ 1,4,5]. Następnie zrobić to dla dwóch dowolnych wektorów a i b (b`"0).
9) Dane są punkty A(4, 1,2a), B(a,2,4), C( 2,4,2), D(3 a, 1, 3). Dla jakich wartości parametru a iloczyn
Ż# Ż#
Ż# Ż#
skalarny AB � CD jest dodatni?
Str. 35 z 46
10) Dane są wektory a = [3, 2,1], b = [1,2,1], c = [ 1,4,3]. Obliczyć
a) [(a  2b) � c]�[(a � c)(b�c)] b) [(b � c)(2c � a)] [(a  b)�(a + c)]
11) Znalez
ć objętość czworościanu o wierzchołkach A(2,0,0), B(0,3,0), C(0,0,6), D(2,3,8).
Geometria analityczna w R3 (część I)
" Płaszczyzna w R3:
" równ. ogólne: Ą: A(x  x0) + B(y  y0) + C(z  z0) = 0, gdzie v=[A,B,C]Ą"Ą, zaś (x0,y0,z0)"Ą .
x = x0 + u1t + v1�
ż#
�#y
" przedst. parametr.: Ą: = y0 + u2t + v2� , gdzie u=[u1,u2,u3]||Ą, v=[v1,v2,v3]||Ą , (x0,y0,z0)"Ą
�#
�#
z = z0 + u3t + v3�
�#
" Prosta w R3:
x = x0 + at
ż#
" przedst. parametr.: l :�# y = y0 + bt , gdzie p0=(x0,y0,z0)"l , zaś v=[a,b,c] || l; (czyli p = p0 + vt )
�#
�#
z = z0 + ct
�#
A1 x + B1 y + C1z + D1 = 0
ż#
" równanie krawędziowe: l :�# gdzie [A1,B1,C1]�[A2,B2,C2] `" 0, czyli te
x + B2 y + C2z + D2 = 0
�#A2
dwa wektory nie są do siebie równoległe (nie są proporcjonalne);
x - x0 y - y0 z - z0
" równanie kierunkowe: l : = = , gdzie (x0,y0,z0)"l , [a,b,c] || l.
a b c
Ax0 + By0 + Cz0 + D
" Odległość punktu (x0,y0,z0) od płaszczyzny Ax + By + Cz + D = 0: d =
A2 + B2 + C2
" Odległość dwóch danych prostych l1 : p = p1 + u1t i l2 : p = p2 + u2t :
| (u1 � u2 ) �" ( p1 - p2 ) | |[u1,u2, p1 - p2 ]|
" d = = gdy pr. są skośne, tzn. licznik i mianownik we
| u1 � u2 | | u1 � u2 |
wzorze są `" 0;
| u1 � ( p1 - p2 ) |
" d = gdy te proste są równoległe, tzn. ich wektory kierunkowe są równoległe
| u1 |
(u2 = ku1).
0a. Znalez
ć równanie prostej AB, gdzie A(2, 1,3), B(0,1,4).
b) Znalez
ć równanie prostej przechodzącej przez punkt A(4,5,6) i równoległej do prostej x= 1+3t, y=1 2t, z=0.
c) Znalez
ć równanie płaszczyzny, przechodzącej przez punkt A(1, 2,5) i prostopadłej do wektora [4,0, 1].
d) Znalez
ć równanie prostej, przechodzącej przez punkt A(7, 6, 4) i prostopadłej do płaszczyzny
2x y+z+7=0
e) Znalez
ć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt A(1, 2,5) i prostopadłej do prostej
x +1 y z - 3
= = (tzn. x =  1+3t, y=0, z=3+4t).
3 0 4
x +1 y z - 3
f) Znalez
ć równanie płaszczyzny, zawierającej prostą = = i równoległej do wektora [2, 1,1].
3 0 4
g) Znalez
ć postać parametryczną prostej x+y+2z 3=0, 3x y+5z 1=0.
h) Znalez
ć rzut prostokątny punktu A(2, 1,3) na prostą x+y+2z 3=0, 3x y+5z 1=0. Znalez
ć też odległość
punktu A od tej prostej i punkt symetryczny do A względem tej prostej.
i) Znalez
ć rzut punktu A(3,2, 4) na płaszczyznę x+2z+1=0. Znalez
ć też odległość punktu A od tej płaszczyzny
i punkt symetryczny do A względem tej płaszczyzny.
j) Znalez
ć kąt między płaszczyznami x+2y+3z+5=0 i 3x+2y+z+1=0.
k) Zbadać wzajemne położenie prostych
ka) l1: x=9t, y=5t, z= 3+t; l2: x=27 9t, y=15 5t, z=t. Odp. : identyczne.
Str. 36 z 46
kb) l1: 2x+3y=0, z 1=0 i l2: x+y 8=0, 2y+3z 7=0 Odp. skośne. Obliczyć też odległość między tymi prostymi.
kc) l1: x+z 1=0, x 2y+3=0 i l23x+y z+13=0. y+2z 8=0 Odp.: przecinają się. Znalez
ć punkt przecięcia i
płaszczyznę, na której obie leżą. Odp.:A( 3,0,4), Ą: 3x+4y+5z 11=0.
l) Dla jakich parametrów a i b prosta x=5 3t, y=9+4t, z=  2+at jest prostopadła do płaszczyzny
6x+by 10z+9=0
x + 3 y - 2 z -1
m) Dla jakich A i C płaszczyzna Ax 5y+Cz+6=0 zawiera prostą = = ?
- 7 4 3
n) Dla jakich A i B płaszczyzny 2x y+11=0, x+z+1=0, Ax+By+3z 8=0
na) przecinają się wzdłuż pewnej prostej
nb) nie mają żadnego punktu wspólnego?
nc) przecinają się dokładnie w jednym punkcie?
1) Znal. równ. płaszcz. H, a) przechodzącej przez P(1,5,1) i równoległej do u1= [ 2,1,3] i u2= [1,4, 1];
b) przechodzącej przez P(2,4, 1) i równoległej do płaszczyzny 2x  y  3z  1 = 0;
c) przechodzącej przez P(3,5,7) i prostopadłej do płaszczyzn H1: x  y + 2z = 1 i H2 :3x + y  z =  2;
d) przech. przez punkty A(2, 1,3), B(1,4,2) i równoległej do wektora u=[3,1,5];
e) przechodzącej przez punkty A( 1,2,4), B(2,1,3), C(3, 1,5).
2) Znalez
ć równanie (tzn. przedstawienie param., z wyj. ew. p.-tu d) prostej przechodzącej przez P(2,3,1) oraz:
x
ż# - y + z = 1
a) prostopadłej do Ą: 5x  3y + 2z  1 = 0;b) prostopadłej do l1 :�# i l2: x=3t, y= 1+t, z=  t;
�#x + 2 y + 3z = 2
x - 1 y - 3 z
c) prostopadłej do prostej = = i przecinającej prostą x = y = z;
2 2 - 1
d) przecinającej proste l1 : x + y = 0, x - y + z + 4 = 0 oraz l2 : x + 3y -1 = 0, y + z = 0
(odp. można podać w postaci krawędziowej). Wskazówka: Prosta przechodząca przez dany punkt i
przecinająca daną prostą leży na płaszczyz
nie wyznaczonej przez ten punkt i tę prostą.
x - 9 y + 5z + 20 = 0
ż#
Odp.:
�#
2x + y - 5z - 2 = 0
�#
x - 2 y +1 z - 3 x -1 y - 2 z + 3
3) Znal. równanie płaszczyzny, zawierającej proste l1 : = = i l2 : = =
3 2 - 2 3 2 - 2
(o ile taka płaszczyzna istnieje).
2x + 3y - z -1 = 0 x + 5y + 4z - 3 = 0
ż# ż#
4) Czy przez proste l1 :
�#x + y - 3z = 0 i l2 :�# + 2 y + 2z -1 = 0 można poprowadzić płaszczyznę?
�# �#x
5) Znalez
ć rzut prostokątny punktu P(1,2, 2) na płaszczyznę x  2y + 3z  1 = 0. 6) Znalez
ć punkt
symetryczny do punktu P(1,1,0) względem płaszczyzny x + 2y  z = 0. 7) Znalez
ć rzut prostokątny punktu
P(3,5,4) na prostą l: x=  2t + 1, y = t, z = 5. 8) Znalez
ć punkt symetryczny do punktu P(1,2, 2) wzgl. prostej l:
x = t, y = 2t  3, z =  t + 2.
x y - 1 z + 1
9) Znalez
ć rzut prostokątny a) prostej = = na płaszczyznę x + y + z = 0.
2 - 1 2
b) prostej x = 3+t, y =  1+2t, z = 4+4t na płaszczyznę 2x+y+z 7=0.
10) Znalez
ć równanie prostej, przechodzącej przez P(1,1, 2), prostopadłej do wektora [ 1, 3, 4] i
x -1 y + 4 z
przecinającej prostą l : = = . (Odp.: x = 1+ 2s, y = 1- 6s, z = -2 + 5s .)
2 -1 3
POWTÓRZENIE Z PRZESTRZENI LINIOWYCH I RZ
DU MACIERZY ZESTAW 1
3 2 4
Ą# ń#
ó#1
Zad.1. a) Obliczyć macierz odwrotną do macierzy A = 3 2Ą# .
ó# Ą#
ó# Ą#
Ł#3 1 2Ś#
b) B=((1/0,0),(0/1/0),(0,0,1)), C=((3,1,3),(2,3,1),(4,2,2))
Str. 37 z 46
(C - tak jak kolumny macierzy A).
ba) Wektor v ma w bazie C współrzędne (kolumnę współrzędnych) [1,2,3]T. Jakie współrzędne ma ten wektor
w bazie B (tzn., jaki to po prostu wektor)?
bb) Jakie współrzędne ma wektor (1,0,0) w bazie C ?
1 2 2 7
Ą# ń#
ó#2 4 3 12 Ą#
ó# Ą#
Zad.2 a) Znalez
ć rząd r macierzy A:
1 2 - 4 - 5
ó# Ą#
ó#1 2 0 3 Ą#
Ł# Ś#
b) Wskazać r liniowo niezależnych wierszy oraz r liniowo niezależnych kolumn w tej macierzy (to ostatnie jest
równoważne podaniu bazy przestrzeni im F dla operatora F o macierzy A w bazie standardowej).
c) Znalez
ć bazę podprzestrzeni rozwiązań układu równań jednorodnych AX=0, (A - macierz z punktu a). Jest
to równoważne znalezieniu bazy ker F dla operatora F jak wyżej.
Zad. 3. W przestrzeni V wielomianów stopnia d"3 o współczynnikach rzeczywistych rozważamy podzbiór W,
składający się ze wszystkich tych weV, dla których w(2)=0.
a) Wykazać, że W stanowi podprzestrzeń przestrzeni V.
b) Podać jakikolwiek przykład jej bazy (jest to równoważne problemowi znalezienia bazy jądra przekształcenia
liniowego).
Zad. 4. Zbadać liniową zależność wektorów: (1,1,1,2),(0,1,0,1) ,(1, 1,1,0).
Zad. 5. Przekształcenie F:R3   >R2 dane jest wzorem F(x1 ,x2 ,x3) = (x1+x2, 2x3+1). Zbadać, czy F jest
liniowe.
Zad. 6. Przekształcenie liniowe F:R4    >R3 dane jest wzorem:
F (x1,x2,x3,x4) = (x1+x2+8x3,x1+2x2+13x3, -x1+ x2+7x3+ x4).
a) Napisać macierz tego przekształcenia (w bazach standardowych).
b) Podać przykład bazy w przestrzeniach ker F i im F (jądro i obraz). Upewnić się, że dim ker F + dim im F
wynosi tyle, ile ma wynosić (tzn. ile ?).
c) Zbadać, czy wektor (5,8,4) należy do im F. Jeżeli tak, to znalez
ć jego współrzędne w bazie znalezionej w
poprzednim punkcie.
2 - 2 2
Ą# ń#
ó#3
Zad.7. Dana jest macierz A = 9 - 6Ą#
ó# Ą#
ó#
Ł#1 2 1 Ą#
Ś#
a) Znalez
ć wartości własne i wektory własne tej macierzy (Wsk: w A I, w3:=w3+w1).
b)* Czy istnieje macierz nieosobliwa (odwracalna) N taka, że N 1AN jest pewną macierzą diagonalną �? (duże
lambda)? Jeżeli tak, to podać przykład takiej macierzy N i podać �. Uwaga: Jeżeli istnieją trzy różne wartości
własne, to obliczyć wektory własne tylko dla dwóch wartości własnych - trzeci traktować jako znany (oznaczyć
go przez [x13,x23,x33]T.)
1 2 1 a
Ą# ń#
ó#3 4 a 1Ą#
Zad.8. Obliczyć, w zależności od parametru a, rząd macierzy
ó# Ą#
ó# Ą#
Ł#2 3 3 3Ś#
Algebra z geometrią - zadania na egzamin 26.01.2001 r. l) Wyznaczyć pierwiastki wielomianu w(z) oraz ich
krotności.
(I) w(z) = z6 + 2z3 +1
(II) w(z) = z5 + z3 + z2 +1
2) Rozwiązać układ równań
Str. 38 z 46
(I) metodą eliminacji
(II) metodą macierzową
3) Wyznaczyć wszystkie wartości własne macierzy A oraz wektory własne odpowiadające dowolnie wybranej
wartości własnej.
4) Zbadać rozwiązalność układu równań
ze względu na parametr zespolony a.
5) Wykazać, że proste
są (I) równoległe (II) skośne i obliczyć odległość między nimi.
Str. 39 z 46
Str. 40 z 46
Zestawy  opr. Ewa L.
ZESTAW 1  LICZBY ZESPOLONE
1. Narysować liczbę zespoloną z i liczbę sprzężoną z , jeśli
a) z=3+4i ; b) z=1 5i ; c) z= 1 3i ; d) z=2i.
2. Wykonać następujące działania:
a) (1+2i)(2 4i); b) (3 5i)2; c) (4+2i)3; d) in; e) (3 i)/(2+i); f) ((3 i)(3+2i))/((2 5i)i3).
2 + 3i (1+ 2i)(3 + i)2
3. Obliczyć Im , Re .
1- i 2 - 7i
4. Rozwiązać równania: a) z2+(Im z)2=9 6i; b) z2 |z|2= 8 6i; c) z2= 3+4i; d) z212+9i.
5. Znalez
ć moduł i argument następujących liczb zespolonych: 2, 2 2i, -1+ 3i,-2i( 3 - i) , 3+4i, 3i,  4i.
Podać postać trygonometryczną.
6. Narysować zbiory: a) {z:Rez=2}; b) {z:1arg z=Ą}, {z:arg z= Ą/6}, {z:|z|=2}; {z: |z|>3}, {z:1d"|z|d"3 i Ą/6{z: |z 1|2=Re z}
(7)
8. Znalez
ć postać trygonometryczną liczb z1= 4 4i z2=2i 2 3 , a następnie obliczyć
z110, z29, z1z29, z1/z2, z1/z29.
9. Rozwiązać równania z4= 2 3 +2i; z3=( 3 +i)(1+i)5; z3= 8; z3=8; z5= 32i.
10. Rozwiązać równania z2+2z+5=0, z2 6z+25=0.
ZESTAW 3. MACIERZE, WYZNACZNIKI, MACIERZ ODWROTNA,
METODA MACIERZOWA ROZWI
ZYWANIA UKA
ADU RÓWNAC
, WZORY CRAMERA
1 1 1 x1 x2 x3 2 0 2
Ą# ń#Ą# ń# Ą# ń#
ó#1 1 3Ą#ó# y1 y2 y3Ą# = ó#4 4 - 2Ą#
Metodą eliminacji Gaussa rozwiązać układ równań:
ó# Ą#ó# Ą# ó# Ą#
ó# Ą#ó#
Ł#3 0 2Ś#Ł# z1 z2 z3 Ą# ó# 1 5 Ą#
Ś# Ł#2 Ś#
Metodą eliminacji Gaussa rozwiązać układy równań:
2 2 3 2 2 2 3 7
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
ó# ó# Ą# ó# ó#
a) 1 -1 0Ą#X1 = ; b) 1 -1 0Ą#X2 = 3Ą# (wskazówka: można oba jednocześnie)
ó# Ą# ó#-1Ą# ó# Ą# ó#- Ą#
ó#-1 2 1Ś# Ł# 0 Ą# ó# Ą#
Ą# ó# Ą# ó#-1 2 1Ś# Ł# 2
Ł# Ś# Ł# Ś#
Znalez
ć wszystkie zależności liniowe (tzn. ogólną postać zależności liniowej) dla wektorów [poniżej  zawsze
rozwiązanie odpowiedniego układu równań]:
Str. 41 z 46
a) (1,1,0,0),(0,1,1,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(0,2,1,1,),(1,2,1,2).
1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
ó#1 1 0 0 2 2Ą# ó#0 1 0 -1 2 1Ą# ó#0 1 0 -1 2 1Ą# ó#0 1 0 -1 2 1Ą#
ó# Ą#, ó# Ą#, ó# Ą#, ó# Ą#,
0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 2 -1 0 0 0 1 2 -1 0
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
ó#0 0 1 0 1 2Ą# ó#0 0 1 0 1 2Ą# ó#0 0 1 0 1 2Ą# ó#0 0 0 - 2 2 2Ś#
Ą#
Ł# Ś# Ł# Ś# Ł# Ś# Ł#
1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 2
Ą# ń# Ą# ń#
ó#0 1 0 -1 2 1Ą# ó#0 1 0 0 1 0 Ą#
ó# Ą#, ó# Ą#
;
0 0 1 2 -1 0 0 0 1 0 1 2
ó# Ą# ó# Ą#
ó#0 0 0 -1 1 1Ą# ó#0 0 0 1 -1 -1Ą#
Ł# Ś# Ł# Ś#
b) (1,0, 1,0,1),(1,1,0,0, 1),( 1,2,1, 1,3),(2,3,1,0,0),(6,4, 2,0,2),(6, 1,3,5, 8).
1 1 -1 2 6 6 1 1 -1 2 6 6 1 0 - 3 -1 2 7
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
ó# Ą# ó#0 1 2 3 4 -1 Ą#
0 1 2 3 4 -1Ą# ó#0 1 2 3 4 -1
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
ó#-1 0 1 1 - 2 3 , 0 1 0 3 4 9 , 0 0 - 2 0 0 10
Ą# ó# Ą# ó# Ą#
ó# Ą# ó#0 0 -1 0 0 5 Ą# ó#0 0 -1 0 0 5 Ą#
0 0 -1 0 0 5
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
ó# -1 3 0 2 - 8Ś# Ł#0 - 2 4 - 2 - 4 -14Ś# Ł#0 0 8 4 4 -16Ś#
Ą# ó# Ą# ó# Ą#
1
Ł#
1 0 - 3 -1 2 7 1 0 0 -1 2 8 1 0 0 0 3 - 2
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
ó#0 1 2 3 4 -1Ą# ó#0 1 0 3 4 9 Ą# ó#0 1 0 0 1 - 9Ą#
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
0 0 1 0 0 - 5 , 0 0 1 0 0 - 5 , 0 0 1 0 0 - 5 ;
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
ó#0 0 2 1 1 - 4Ą# ó#0 0 0 1 1 6 Ą# ó#0 0 0 1 1 6 Ą#
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
ó#
Ł#0 0 0 0 0 0 Ą# ó# 0 0 0 0 0 Ą# ó# 0 0 0 0 0 Ą#
Ś# Ł#0 Ś# Ł#0 Ś#
c) (1, 1,2,0,4),(1,0,3, 1,1),(2,0,0,1,3),(0,1,5,3,2),( 5, 1,10, 13, 12),(0,12,40,16, 1).
1 1 2 0 - 5 0 1 1 2 0 - 5 0 1 0 0 -1 1 -12
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
ó# ó#0 1 2 1 - 6 12Ą# ó#0 1 2 1 - 6 12 Ą#
ó#-1 0 0 1 -1 12Ą# ó# Ą# ó# Ą#
Ą#
ó# 2 3 0 5 10 40 , 0 1 - 4 5 20 40 , 0 0 - 6 4 26 28
Ą# ó# Ą# ó# Ą#
ó# Ą#
0 -1 1 3 -13 16Ą# ó#0 -1 1 3 -13 16Ą# ó#0 0 3 4 -19 28
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
4 1 3 2 -12 -1Ś# Ł#0 - 3 - 5 2 8 -1Ś# Ł#0 0 1 5 -10 35
Ł# Ś#
1 0 0 -1 1 -12 1 0 0 -1 1 -12 1 0 0 0 0 - 5
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
ó#0 1 0 - 9 14 - 58Ą# ó#0 1 0 - 9 14 - 58Ą# ó#0 1 0 0 5 5 Ą#
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
0 0 1 5 -10 35 , 0 0 1 5 -10 35 , 0 0 1 0 - 5 0
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
ó#0 0 0 34 - 34 238 Ą# ó#0 0 0 1 -1 7 Ą# ó#0 0 0 1 -1 7 Ą#
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
ó# Ą#
Ł#0 0 0 -11 11 - 77Ś# ó# 0 0 -1 1 - 7 Ą# ó# 0 0 0 0 0 Ą#
Ł#0 Ś# Ł#0 Ś#
2 6 4 - 4 12
Ą# ń#
ó#
2 6 - 2 2 -12Ą#
ó# Ą#
Znalez
ć bazę jądra i bazę obrazu przekształcenia liniowego o macierzy 12 1 2 - 6 .
ó#-1 Ą#
ó# Ą#
3 24 3 0 - 6
ó# Ą#
ó# Ą#
1 18 -1 4 -18Ś#
Ł#
Str. 42 z 46
Rozw. Obraz jest rozpięty na kolumnach macierzy. Znajdujemy ogólną postać liniowych zależności pomiędzy
kolumnami macierzy. Przekształcając za pomocą operacji elementarnych na wierszach otrzymujemy kolejno:
1 3 2 - 2 6 1 3 2 - 2 6 1 3 2 - 2 6
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
ó# Ą# ó# Ą# ó#0 0 - 3 - 3 -12Ą#
1 3 -1 1 - 6 1 3 -1 1 - 6
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
ó#-1 12 1 2 - 6 , 12 1 2 - 6 , 0 15 3 0 0
Ą# ó#-1 Ą# ó# Ą#
ó# Ą# ó# Ą# ó#0 5 -1 2 - 8 Ą#
1 8 1 0 - 2 1 8 1 0 - 2
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
1 18 -1 4 -18Ś# Ł# 1 18 -1 4 -18Ś# Ł#0 15 - 3 6 - 24Ś#
Ł#
1 3 2 - 2 6 1 - 7 0 - 2 6 1 - 7 0 - 2 6 1 3 0 0 - 2
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
ó#0 0 1 -1 4 Ą# ó#0 - 5 0 -1 4 Ą# ó#0 5 0 1 - 4Ą# ó#0 5 0 1 - 4Ą#
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
0 5 1 0 0 , 0 5 1 0 0 , 0 5 1 0 0 , 0 5 1 0 0
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
ó#0 5 -1 2 - 8Ą# ó#0 10 0 2 - 8Ą# ó#0 5 0 1 - 4Ą# ó#0 0 0 0 0 Ą#
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
ó# Ą#
Ł#0 5 -1 2 - 8Ś# ó# 0 0 0 0 Ą# ó# 0 0 0 0 Ą# ó# 0 0 0 0 Ą#
Ł#0 Ś# Ł#0 Ś# Ł#0 Ś#
Baza jądra  np. ( 3,1, 5, 5,0),(2,0,0,4,1); bazę obrazu stanowią np. pierwsza, trzecia i czwarta kolumna
macierzy (po przekształceniach te kolumny są liniowo niezależne, a zależności liniowe między kolumnami nie
zmieniają się przy operacjach elementarnych na wierszach), tzn. (2,2, 1,3,1),(4, 2,1,3, 1),( 4,2,2,0,4).
Z następującego układu wektorów wybrać układ liniowo niezależny, generujący tę samą przestrzeń, oraz
uzupełnić ten otrzymany układ do pewnej bazy przestrzeni R5.
v1=(2,0,1,3, 1),v2=(0, 2,1,5, 3),v3=(1, 1,1,4, 2),v4=(3,2,0, 2,2),v5=(4, 1,2,7, 3).
Wsk. W myśl ogólnej teorii wystarczy dopisać do tego układu pewien zbiór generujący przestrzeń, np. bazę
kanoniczną (zero-jedynkową) e1,...e5, i z powstałego układu wykreślać kolejno te wektory, które są kombinacją
liniową wektorów poprzedzających. Systematycznie badać wszystkie zależności liniowe między wektorami
możemy tworząc macierz A kolumnowo zapisanych współrzędnych i rozwiązując układ równań AX=0 za
pomocą operacji elementarnych na wierszach macierzy A:
2 0 1 3 4 1 0 0 0 0 1 1 1 0 2 0 0 1 0 0
Ą# ń# Ą# ń#
ó#
0 - 2 -1 2 -1 0 1 0 0 0Ą# ó#0 - 2 -1 2 -1 0 1 0 0 0Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
ó# 1 1 1 0 2 0 0 1 0 0 E" 0 - 2 -1 3 0 1 0 -1 0 0
Ą# ó# Ą#
ó#
3 5 4 - 2 7 0 0 0 1 0Ą# ó#0 2 1 - 2 1 0 0 - 3 0 0Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
ó#-1 - 3 - 2 2 - 3 0 0 0 0 1Ś# Ł#0 - 2 -1 2 -1 0 -1 1 0 1Ś#
Ą# ó# Ą#
Ł#
1 1 1 0 2 0 0 1 0 0 1 1 1 0 2 0 0 1 0 0
Ą# ń# Ą# ń#
ó#0 - 2 -1 2 -1 0 1 0 0 0Ą# ó#0 - 2 -1 2 -1 0 1 0 0 0Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
0 Ą# ó# Ą#
ó# - 2 -1 3 0 1 0 -1 0 0 , 0 0 0 1 1 1 -1 1 0 0
ó#0 2 1 - 2 1 0 0 - 3 0 0Ą# ó#0 0 0 0 0 0 1 3 1 0Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
ó# - 2 -1 2 -1 0 -1 1 0 1Ś# Ł#0 0 0 0 0 0 -1 1 0 1Ś#
Ą# ó# Ą#
Ł#0
1 1 1 0 2 0 0 1 0 0
Ą# ń#
ó#0 - 2 -1 2 -1 0 1 0 0 0Ą#
ó# Ą#
0 0 0 1 1 1 -1 1 0 0 . Odp. Układ (v1,v2,v4) jest maksymalnym liniowo
ó# Ą#
ó#0 0 0 0 0 0 1 3 1 0Ą#
ó# Ą#
ó# Ą#
Ł#0 0 0 0 0 0 0 4 1 1Ś#
niezależnym podzbiorem danego układu wektorów, a układ (v1,v2,v4,e2,e3) jest bazą przestrzeni R5.
Str. 43 z 46
POWIERZCHNIE W PRZESTRZENI
" Jeżeli powierzchnia w przestrzeni jest zadana równaniami parametrycznymi w postaci x=x(u,v),
y=y(u,v), z=z(u,v)  czyli r=r(u,v), gdzie u,v są parametrami przebiegającymi pewien obszar płaski D, to
płaszczyzna styczna do tej powierzchni (w ustalonym punkcie odpowiadającym pewnym wartościom
parametrów (u,v)) jest płaszczyzną rozpiętą na wektorach ru i rv, czyli o wektorze prostopadłym ru � rv.
W konsekwencji prosta normalna do tej powierzchni ma jako wektor kierunkowy również wektor ru � rv.
" Dana jest powierzchnia opisana równaniem F(x,y,z) = 0 i punkt A(x0, y0, z0) należący do tej
powierzchni tzn. F(x0, y0, z0) = 0. Wtedy gradient F w punkcie A, czyli wektor
Ą#"F "F "F ń#
(x0, y0, z0), (x0, y0, z0), (x0, y0, z0)Ą# jest wektorem normalnym do tej powierzchni w
ó#
"x "y "z
Ł# Ś#
punkcie A. W konsekwencji:
a) Płaszczyzna styczna do tej powierzchni w punkcie A ma równanie:
" F " F " F
(x0 , y0 , z0 )(x - x0 ) + (x0 , y0 , z0 )( y - y0 ) + (x0 , y0 , z0 )(z - z0 ) = 0 .
" x " y " z
2
x = x0 + Fx (x0, y0, z0 )t
ż#
�#y
2
b) Prosta normalna do tej powierzchni w punkcie A ma równanie: = y0 + Fy (x0 , y0 , z0 )t .
�#
�#
2
z = z0 + Fz (x0, y0, z0 )t
�#
A)
1. Wykazać analitycznie, że wektor normalny do sfery x=r cos � cos �, y=r sin � cos �, z=r sin � w danym
punkcie jest proporcjonalny do promienia wodzącego tego punktu.
2. Wyprowadzić dwoma sposobami (tzn. traktując to najpierw jako pierwszy przypadek opisu powierzchni, a
potem jako drugi) wzory na wektor normalny do powierzchni z=f(x,y) w punkcie (x,y,f(x,y)).)
3. Napisać równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni x=2u v, y=u2+v2, z=u3 v3 w punkcie o
współrzędnych u=2, v=1. (Odp.: 18x+3y 4z 41=0.)
4. Napisać równanie prostej normalnej do powierzchni x=u+v, y=v u, z=uv w punkcie (3,1,2). Odp.:x=3+3t,
y=1 t, z=2 2t.
5. Napisać równanie prostej normalnej i płaszczyzny stycznej do powierzchni x=u, y=u2 2v, z=u3 3uv w
punkcie (1,3,4).
6. Napisać równanie płaszczyzny stycznej do pseudosfery x = a sin u cos v, y = a sin u sin v,
z = a (ln tg(u/2)+cos u).
7. Znalez
ć punkty torusa x=(a+b cos u) cos v, y=(a+b cos u) sin v, z = b sin u , w których normalna do tego
torusa jest prostopadła do płaszczyzny 3x+4y+5z 1=0
8. Udowodnić, że suma kwadratów długości odcinków wyznaczonych na osiach współrzędnych przez
płaszczyznę styczną do powierzchni x=u3sin3v, y=u3cos3v, z = (a2 u2)3/2 jest stała.
B)
1) Napisać równanie płaszczyzny stycznej i prostej normalnej do powierzchni w podanym punkcie:
a) z = arctg (y/x), w punkcie P0(1, 1, Ą/4); b) z = 2x2 + y2, w punkcie P0(1, 1, 3); c) z = (x3 3axy+y3)/a2 , w
punkcie (a,a, a); d) 4 + x2 + y2 + z2 = x + y + z , w punkcie (2,3,6). e) x2 2y2 3z2 4=0 w punkcie (3,1, 1).
2) Wykazać, że powierzchnie x + 2y  ln z + 4 = 0 i x2  xy  8x + z + 5 = 0 są styczne do siebie w punkcie
P0(2, 3,1).
3) Wykazać, że płaszczyzna styczna do powierzchni x + y + z = a odcina na osiach układu
współrzędnych odcinki, których suma długości jest stała.
4) Na sferze x2 + y2 + z2 = 676 znalez
ć punkty, w których płaszczyzna styczna jest równoległa do płaszczyzny
3x  12y + 4z = 0. Napisać równanie płaszczyzny stycznej w tych punktach.
5a) Znalez
ć równ. płaszcz. stycznej do sfery x2+y2+z2 8x 4z=205 i równoległej do płaszcz. 10x 11y-2z+3=0.
5b) Znalez
ć równ. płaszczyzny stycznej do powierzchni 2x2+4xy+z2 10=0 i równol. do płaszcz.2x+y+z 10=0.
6) Na powierzchni x2 + 2y2 + 3z2 + 2xy + 2xz + 4yz = 8 znalez
ć punkty, w których płaszczyzny styczne są
równoległe do płaszczyzn układu współrzędnych.
Str. 44 z 46
7) Napisać równanie płaszczyzn stycznych do paraboloidy 4z = x2 + y2 w punktach jej przecięcia z prostą
x = y = z.
8) Wykazać, że płaszczyzny styczne do powierzchni xyz = m3 tworzą wraz z płaszczyznami układu
współrzędnych czworościan o stałej objętości.
9) Wykazać, że powierzchnie x2+y2+z2 2x=0, x2+y2+z2 4y=0 przecinają się pod kątem prostym.
10) Wykazać, że powierzchnie z=tg(xy), x2 y2=a przecinają się pod kątem prostym.
11) Wykazać, że powierzchnie 4x+y2+z2=a, y=bz, y2+z2=cex przecinają się parami pod kątem prostym.
Własności różniczkowania funkcji wektorowej jednego parametru.
r r r r
Jeżeli r = r(t) = [x(t), y(t), z(t)], to r' = r'(t) = [x'(t), y'(t), z'(t)]
Przy tym
r r r r r r
(u �" v)'= u'�"v + u �" v'
r r r r r r
(u � v)'= u'�v + u � v'
rr r r r r rr r rr r
[uvw]'= [u'vw] + [uv'w] + [uvw']
Zadania wykraczające poza przyjęty zakres materiału
MACIERZE ODWROTNE
4*. Rozwiązać układ równań macierzowych: AX+BY=M, CX+DY=N, gdzie macierze A,B,C,D,M i N są dane,
a X i Y niewiadome, przy czym A,B,C,D są macierzami kwadratowymi n�n odwracalnymi, M i N są
macierzami kwadratowymi n�n i szukane macierze X i Y są również macierzami kwadratowymi n�n, przy
czym zakładamy dodatkowo, że macierz (A 1B C 1D) jest odwracalna.
5*. Niech A, B - macierze rzeczywiste n�n. Wykazać, że jeżeli istnieją A-1 oraz (A + BA-1B)-1, to istnieje
(A + Bi)-1 i wyraża się wzorem
(A + Bi)-1 = (A + BA-1B)-1 - iA-1B(A + BA-1B)-1
6*. Niech A będzie macierzą kwadratową o elementach z pewnego pierścienia przemiennego z 1. Dowieść, że
macierz odwrotna do A (o elementach z tego pierścienia) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy det A jest
elementem odwracalnym tego pierścienia.
2 1 2 3 4 1 -1 0 0 0
Ą# ń# Ą# ń#
ó#1 1 2 3 4Ą# ó#2 10 - 2 - 3 - 4Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
10*. Znalez
ć macierz odwrotną do macierzy 2 2 5 6 8 Odp.: 0 - 2 1 0 0
ó# Ą# ó# Ą#
ó#2 1 2 4 4Ą# ó#1 0 0 1 0 Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
ó# Ą# ó#
Ł#1 1 2 3 5Ś# Ł#0 1 0 0 1 Ą#
Ś#
1 1 1 ... 1
Ą# ń# Ą# -1 1 -1 ... (-1)n-1 ń#
1
ó#0 1 1 ... 1Ą# ó#0 1 -1 1 ... (-1)n-2 Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
11*. Znal. macierz odwr. do macierzy 0 0 1 ... 1 . Odp. ó# Ą# (n -
ó# Ą#
0 0 1 -1 ... (-1)n-3
ó# Ą#
ó#... ... ... ... ...Ą#
ó#... ... ... ... ... ... Ą#
ó# Ą#
ó#0 0 0 0 0 1 Ą#
ó# Ą#
Ł#0 0 0 0 1Ś#
Ł# Ś#
wymiar danej macierzy).
Str. 45 z 46
Ik U
Ą# ń#
12*. Znalez
ć macierz odwrotną do macierzy A = , gdzie Ik, Il - macierze jednostkowe k�k i l�l
ó#O Il Ą#
Ł# Ś#
Ik -U
Ą# ń#
odpowiednio, U - dowolna macierz k�l, O - macierz zerowa. Odp.: A = .
ó#O Il Ą#
Ł# Ś#
A B
Ą# ń#
13*. Znalez
ć macierz odwrotną do macierzy postaci n � n, gdzie:
ó#C d Ą#
Ł# Ś#
A jest macierzą nieosobliwą (n 1) � (n 1), której odwrotność jest znana, B jest macierzą (n 1) � 1, C jest
Ą#A-1 + uA-1BCA-1 uA-1Bń#
1
macierzą 1 � (n 1), d jest liczbą rzeczywistą. Odp. , gdzie u = .
ó# Ą#
d - CA-1B
- uCA-1 u
Ł# Ś#
Dokładniej, macierz odwrotna istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy d - CA-1B `" 0, i wtedy macierz odwrotna
wyraża się wzorem jak wyżej.
WARTOŚCI WA
ASNE I WEKTORY WA
ASNE MACIERZY
2)* Czy istnieje baza przestrzeni R3, złożona z wektorów własnych następujących macierzy (A)? Jeśli tak, to
znalez
ć ją; utworzyć macierz P, której kolumnami będą wektory znalezionej bazy, znalez
ć macierz P-1 i
obliczyć iloczyn P-1AP (niekoniecznie wykonując te żmudne mnożenia).
1 0 2 3 2 -3 2 3 -3
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą#-4 3 1 3 2 -2
ń# Ą# ń# Ą#-2 4 -2
ń#
ó#0 ó#2 ó#1 ó# Ą# ó#3 ó#
a) A= 3 1Ą# b) 3 -3Ą# c) 4 -3Ą# d) 4 1 e) 2 -2Ą# f) 8 -4Ą#
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą# ó#-5 Ą# ó# Ą# ó#-4 Ą#
ó# Ą# Ą# Ą#
Ł#0 0 9Ś# ó# 2 -2Ś# ó# 5 -4Ś# ó# 3 -3 -2Ś# ó# 2 -2Ś# ó#-4 8 -4Ś#
Ł#2 Ą# Ł#1 Ą# Ł# Ł#4 Ą# Ł#
3)* Znalez
ć macierz, której wartościami własnymi są 1, 2, 3, a wektorami własnymi v1, v2, v3.
1 1 1 1 2 3
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
ó#0Ą# ó#1Ą# ó#1Ą# ó#0Ą# ó#1Ą# ó#1Ą#
a) 1 = 1, 2 = 2, 3 = 3, v1 = , v2 = , v3 = b) 1 = 2 = 3 = 2, v1 = , v2 = , v3 =
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
ó# ó#
Ł#0Ą# ó# Ś# Ł#1Ą# Ł#1Ą# ó# Ś# Ł#2Ą#
Ś# Ł#0Ą# ó# Ś# Ś# Ł#0Ą# ó# Ś#
1 1 1
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
ó#1Ą# ó#0Ą# ó#1Ą#
c) 1 = 2 = 1, 3 = 2, v1 = , v2 = , v3 =
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
ó#
Ł#0Ą# ó# Ś# Ł#1Ą#
Ś# Ł#0Ą# ó# Ś#
Str. 46 z 46