Zadania z Algebry i Geometrii Dla Semestru I WEL


Zadania z algebry i geometrii analitycznej dla semestru pierwszego WEL
Liczby zespolone i funkcje wymierne
1.Znalezć część rzeczywistą i część urojoną liczby zespolonej
Re z =� -�1,7 Re z =� -�2
�� ��
(2 -� 3i)2 i5 +� 2
a) z =� Odp: ; b) z =� ( )2 Odp:
�� ��Im z =� 1,5 ;
(1+� 2i)(3-� i) i19 +�1
��Im z =� -�0,7 ��
Re z =� 1 Re z =� 2,5
( 3 +� i)(-�1+� i 3) �� ��
2 +� 3i
c) z =� Odp: ; d) z =� Odp: ;
�� ��
(1+� i)2 1-� i
��Im z =� 3 ��Im z =� -�0,5
2.Znależć postacie trygonometryczne liczb zespolonych
a) z1 =� -� 3 +� i oraz z2 =� -�1-� i a następnie obliczyć :
5p� 5p� z13
a� ) z12z23 Odp: 8 2(-� cos -� i sin ) ; b� ) Odp: -2i ;
12 12
z2 4
b) z1 =� 2 3 -� 2i oraz z2 =� -�1+� 3i a następnie obliczyć:
2
z1
1
3 2
a�) z1 z2 Odp: 128(-� 3 +� i) ; b� ) Odp: (1+� 3i);
5
4
z2
3.Korzystając ze wzoru Moivrea obliczyć
a) (-� 3 -� i)16 Odp: 215(-�1+� i 3) ; b) (-� 3 +� i)21 Odp: -� 221i;
5.Znależć pierwiastki liczby zespolonej i zaznaczyć na płaszczyznie zespolonej
a) 3+� 4i Odp: w1 =� -�2 -� i �� w2 =� 2 +� i ;
b) -� 5 -�12i Odp: w1 =� -�2 +� 3i �� w2 =� 2 -�3i;
4
c) -�8 -�8 3i Odp: w0 =� 1+� 3i �� w1 =� -� 3 +� i �� w2 =� -�1-� 3i �� w3 =� 3 -�i ;
7 1 7 1
4 4
d) -� 3 -� i Odp: wk =� 2[cos( p� +� kp� ) +� isin( p� +� kp� )] dla k =� 0,1,2,3;
24 2 24 2
5 2 5 2
3 3
e) 2 -� 2 3i Odp: wk =� 4[cos( p� +� kp� ) +� isin( p� +� kp� )] dla k =� 0,12;
9 3 9 3
6.Zaznaczyć na płaszczyznie zespolonej zbiory spełniające warunki
a) z -� 3+� 4i <� 4 Odp: (x -�3)2 +� (y +� 4)2 <� 16; b) z -�1 =� Im z Odp: x =� 1Ł� y ł� 0 ;
c) Im z2 =� -�1 Odp: 2xy =� -�1; d) z -� 2 ł� Re z Odp: y2 ł� 4x -� 4;
7.Rozwiązać równanie algebraiczne
a) z2 +� (1-� 2i)z +�1+� 5i =� 0 Odp: z1 =� -�2 +� 3i �� z2 =� 1-�i ;
b) z2 +� (1+� 4i)z -� (5+� i) =� 0 Odp: z1 =� -�2 -�3i �� z2 =� 1-� i;
c) z4 +� 3z2 -� 4 =� 0 Odp: z1 =� -�1�� z2 =� 1�� z3 =� -�2i �� z4 =� 2i ;
3 3 3 3
d) z3 -� 6z -�9 =� 0 Odp: z1 =� 3�� z2 =� -� -� i �� z3 =� -� +� i;
2 2 2 2
e) z4 +� 3z3 +� z2 +�13z +� 30 =� 0 Odp: z1 =� -�2�� z2 =� -�3�� z3 =� 1-� 2i �� z4 =� 1+� 2i ;
f) z4 -� z3 -�5z2 +� 7z +�10 =� 0 Odp: z1 =� -�1�� z2 =� -�2�� z3 =� 2 -�i �� z4 =� 2 +� i;
8.Wiedząc, że liczba zespolona:
a) z1 =� 2 +� i jest pierwiastkiem równania z4 -� 4z3 +� 6z2 -� 4z +� 5 =� 0, znalezć pozostałe
pierwiastki Odp: z1 =� 2 +� i �� z2 =� 2 -�i �� z3 =� -�i �� z4 =� i ;
b) z1 =� 2i jest pierwiastkiem równania z4 +� 4z3 +� 9z2 +�16z +� 20 =� 0, znalezć pozostałe
pierwiastki Odp: z1 =� 2i �� z2 =� -�2i �� z3 =� -�2 -�i �� z4 =� -�2 +� i ;
Macierze i układy równań liniowych
1.Niech będą dane macierze
1 3 -�1 1 4
�� ł� �� ł�
1 3 0
�� ł�
ę�0 ś� ę�
a) A =�
ę�4 1 -�1ś� ; B =� ę� 1 0 ś� ; C =� ę� 2 0ś�
ś�
�� ��
ę�
��2 1 0 ś� ę� 1��
�� ��-�1 ś�
a�) Obliczyć 2A-� 3CT
b�)Rozwiązać równanie macierzowe 3X +� AT =� 2C
g�) Obliczyć iloczyny macierzy AC ; CA ; AB ; ;
CTC CCT
3 1
�� ł�
1 3 2 2 -�1 1 2
�� ł� �� ł�
ę�
b) A =� ; B =� 0 2ś� ; C =�
ę� ę�1 3 1 -�1ś� ;
ś�
��-� 2 0 1ś� ę� 3�� �� ��
��
ę� ś�
��-�1
a�) Obliczyć 3A-� 2BT
b�) Rozwiązać równanie macierzowe 2AT +� 3X =� B
g�)Obliczyć iloczyny macierzy AB ; BA ; BC ; ; .
CTC CCT
1 2 1
�� ł�
ę�1
2.Obliczyć wyznacznik macierzy A =� 0 2ś� Odp: A =� 3
ę� ś�
ę� ś�
��4 3 5��
a) stosując rozwinięcie względem pierwszego wiersza.
b) stosując rozwinięcie względem drugiej kolumny.
3.Korzystając z własności obliczyć wyznacznik
1 2 3 4 1 1 -�1 1
1 2 1
2 1 -� 2 -�1 2 -�1 1 1
a) 1 0 2 Odp: 3 ; b) Odp: -40 ; c) Odp: 33;
3 0 1 2 1 2 3 -�1
4 3 5
0 1 0 2 3 -�1 2 -�1
1 0 4 0
3 -� 2 -� 4 1 x z
3 2 0 1
d) 1 1 5 Odp: -113; e) 1 x +� y z Odp: yu; f) Odp: 63;
-� 2 -�1 0 2
-�1 6 -�1 1 x z +� u
1 -�1 1 4
1 3 4 5 1 1 1 1
a b c
3 0 0 2 1 2 3 4
g) 1 2 3 Odp: 0 ; h) Odp: -10 ; i) Odp: 12
5 1 2 7 1 4 9 16
a +�1 b +� 2 c +� 3
2 0 0 3 1 8 27 64
1 1 1
j) x y z Odp: (y -� x)(z -� x)(z -� y) ;
x2 y2 z2
4. Znalezć macierz odwrotną macierzy za pomocą macierzy dopełnień algebraicznych lub
metodą przekształceń elementarnych
1 1 1
�� ł�
ę�-� 2 2 2 ś�
2 1 -�1
�� ł�
ę�
-�1 3 5 3
�� ł� �� ł�
5 3 1ś�
ę�3
a) A =� 1 -� 2ś� Odp: A-�1 =� ę� -� -� ś� b) A =� Odp: A-�1 =�
ę� ę�2 1ś�
ę� ś�
2 2 2ś� 2 -� 5ś�
ę� �� �� �� ��
ę�
1 1 1
��1 0 1 ś�
��
ę� ś�
-�
ę� ś�
2 2 2
�� ��
1 2 3 -�1 1 1
�� ł� �� ł�
2 5 -� 2 5
�� ł� �� ł�
ę�0 ę�
c) A =� 1 2ś� Odp: A-�1 =� 4 -� 5 -� 2ś� ; d) A =� ;
ę�1 2ś� Odp: A-�1 =� ę�
ę� ś� ę� ś�
1 -� 2ś�
�� �� �� ��
ę� ś� ę�
��
��2 1 1�� ��-� 2 3 1 ś�
5.Rozwiązać równanie macierzowe
2 1 -�1
�� ł�
-� 2 1 3
�� ł�
2 -�1 3
�� ł�
ę�3
a) XA =� B dla A =� 1 -� 2ś� i B =�
ę�1 0 2ś� Odp: X =� ę� 1 -� 1 3ś� ;
ę� ś�
ę�
�� ��
�� 2 2 2ś�
��
ę�
��1 0 1 ś�
��
-�1 3 2 1 19 11
�� ł� �� ł� �� ł�
b) AX =� B dla A =� i B =� ;
ę� ę�3 2ś� Odp: X =� ę� ś�
2 -� 5ś� 7 4
�� �� �� �� �� ��
Skorzystać z wyników przykładu 4a) i 4b).
1 3 -� 3 1 0 10 -� 3
�� ł� �� ł� �� ł�
ę�0 ś� ę�0 ę� ś�
c) AX =� B dla A =� 1 2 i B =� 1ś� Odp: X =� 2 1 ;
ę� ś� ę� ś� ę�-� ś�
ę� ę� ś�
1 0
��0 0 1 ś� ę� 0�� �� ��
�� ��1 ś�
1 0 -�1
�� ł�
1 2 1 1 0 2
�� ł� �� ł�
ę� ś�
d) XA =� B dla A =� 1 0 i B =� Odp: X =� ;
ę� ę�
ę�-�1 ś�
��-�1 0 1ś� ��-�1 0 0ś�
�� ��
ę� ś�
0 1 1
�� ��
6.Rozwiązać za pomocą wzorów Cramera i metodą macierzową układ równań
3x1 +� 2x2 +� x3 =� 17 x1 =� 4 x1 +� 2x2 +� 3x3 =� 14 x1 =� 1
�� �� �� ��
�� ��x �� ��x
a) 2x1 -� x2 +� 2x3 =� 8 Odp: =� 2 ; b) 4x1 +� 3x2 -� x3 =� 7 Odp: =� 2 ;
�� �� �� ��
2 2
�� �� �� ��x =� 3
x1 +� 4x2 -� 3x3 =� 9 x3 =� 1 x1 -� x2 +� x3 =� 2
�� �� �� �� 3
x1 +� 2x2 +� 3x3 =� 2 x1 =� 1 x1 +� x2 +� 2x3 =� -�1 x1 =� 1
�� �� �� ��
��2x �� ��2x ��
c) -� 3x2 +� x3 =� -�5 Odp: x2 =� 2 ; d) -� x2 +� 2x3 =� -�4 Odp: x2 =� 2 ;
�� �� �� ��
1 1
�� ��x =� -�1 ��4x +� x2 +� 4x3 =� -�2 ��x =� -�2
2x1 +� x2 -� x3 =� 5
�� �� 3 �� 1 �� 3
7.Korzystając z definicji obliczyć rząd macierzy
1 2 -�1 1 1 -�1 2
�� ł� �� ł�
ę�2 ę�
a) A =� 4 2 0ś� Odp: r(A)=2 b) A =� 1 -� 2ś� Odp: r(A)=1
ę� ś� ę�-�1 ś�
ę� ś� ę� ś�
2 -� 2 4
��5 10 -�1 3�� �� ��
8.Znależć rząd macierzy sprowadzając macierz do postaci bazowej
1 1 1 1 1 -�1 0 2 3
�� ł� �� ł�
1 -�1 2 -�1
�� ł�
ę�2 2 3 -�1ś� ę�
ę�0 ś�
ę� ś� ę�-�1 2 1 0 2ś�
ś�
a) A =� 2 -� 2 4 b) B =� c) C =�
ę� ś�
ę� ś� ę� ś�
0 0 1 -� 3 0 1 1 2 5
ę�
ę�3 3 5 -� 2ś� ę�
��2 0 3 3 ś�
��
1 0 1 4 8ś�
�� �� �� ��
Odp: r(A)=3; Odp: r(B)=3 ; Odp:r(C)=2.
9.Metodą przekształceń elementarnych rozwiązać układ równań liniowych (sprowadzić
macierz rozszerzoną układu do postaci bazowej w części podstawowej , określić rzędy
macierzy podstawowej i rozszerzonej oraz powołać się na twierdzenie Kroneckera-Capellego)
1
��
x1 =� (1-� 2t)
x1 +� x2 +� x3 =� -�1 2x1 +� x2 +� x3 =� 2
�� ��
��
3 x1 =� 1
��
�� ��
��
2x1 -� x2 +� x3 =� 2 x1 +� 3x2 +� x3 =� 5
�� ��x 1 ��
��
a) Odp: =� -� (4 +� t) ; b) Odp: x2 =� 2 ;
�� �� �� ��
2
5x1 -� x2 +� 3x3 =� 3 3 x1 +� x2 +� 5x3 =� -�7
�� �� �� ��x =� -�2
x3 =� t 3
��
��7x1 -� 2x2 +� 4x3 =� 5 �� ��2x1 +� 3x2 -� 3x3 =� 14
�� ��
��
��
x1 -� x2 +� 3x3 -� x4 =� -�2 x1 =� 2 x1 +� x2 -� 3x3 =� -�1
�� �� ��
�� ��x =� -�2 ��
2x1 +� 3x2 +� x3 +� x4 =� 0 2x1 +� x2 +� x3 =� 1
�� �� ��
2
c) Odp: ; d) Odp: sprzeczny;
�� �� ��
4x1 +� 3x3 -� 2x4 =� -�1 x1 +� x2 +� x3 =� 3
�� ��x3 =� -�1 ��
��3x1 +� 2x2 +� 5x3 +� 2x4 =� 3 �� ��
x4 =� 3 x1 +� 2x2 -� 3x3 =� 1
�� �� ��
x1 =� t
��
3x1 -� 2x2 +� 5x3 +� 4x4 =� 2 x1 -� 2x2 +� 4x3 =� 0 x1 =� -�2t
�� �� ��
��
x2 =� s
��5x �� ��
��
e) -� 4x2 +� 4x3 +� 3x4 =� 3 Odp: f) x1 +� x2 +� x3 =� 0 Odp: x2 =� t ;
�� �� �� ��
1
x3 =� 6 -�15t +�10s
��7x -� 6x2 +� 3x3 +� 2x4 =� 4 �� �� ��
x2 -� x3 =� 0 x3 =� t
�� 1 �� ��
��x4 =� -�7 +�18t -�12s
��
x1 +� x2 +� x3 =� 2 x1 =� 1 5(9 -� 7t) x1 +� 2x2 -� x3 -� x4 =� 1
�� �� ��
�� ��x ��
g) 2x1 -� 3x2 +� 4x3 =� 3 Odp: =� 1 5(1+� 2t) h) x1 +� x2 +� x3 +� 3x4 =� 2 Odp:sprzeczny;
�� �� ��
2
��4x -�11x2 +�10x3 =� 5 �� ��3x +� 5x2 -� x3 +� x4 =� 3
x3 =� t
�� 1 �� �� 1
1
��
x1 =� (5 -� t -� 2s)
x1 +� x2 +� x3 =� 2
��
��
2x1 -� x2 +� x3 +� 2x4 =� 3 3 x1 =� 1
�� ��
��
��
x1 -� x3 =� 0
��x ��x 1 ��x
��
i) +� x2 -� 2x3 +� 2x4 =� 2 Odp: =� (1+� 5t -� 2s) ; j) Odp: =� 0 ;
�� �� �� ��
1 2 2
3 x2 -� x3 =� -�1
�� �� �� ��
3x2 -� 5x3 +� 2x4 =� 1 x3 =� 1
x3 =� t Ł� x4 =� s
�� ��
�� ��
x1 -� x2 =� 1
��
��
��
10*.Przedyskutować rozwiązywalność układu równań w zależności od parametru a�� R .
ax1 -� x2 +� x3 =� 1 x1 +� 2x2 +� 3x3 =� 0
�� ��
�� ��2x
a) x1 -� ax2 +� x3 =� 1 b) +� 4x2 +� 2ax3 =� 0
�� ��
1
��3x -� 3x2 +� 2x3 =� 2a ��
x1 +� 3x2 +� x3 =� a -� 3
�� 1 ��
Odp:a) a`"1 i aą�2 jedno rozwiązanie b) aą�3 jedno rozwiązanie
a=1 nieskończenie rozwiązań a=3 nieskończenie rozwiązań
a=2 układ sprzeczny
Geometria analityczna
1.W równoległoboku ABCD wyrazić wektory AB i AD przez wektory i BD .
AC
r� r�
2. W trapezie OABC zachodzi warunek OA =� 3CB .
a) Wyrazić wektor przez wektory i .
OA OB OC
b) Wyrazić wektor przez wektory i
OB OA OC
3.a)Niech wektory i o długościach u =� 1 i v =� 2 tworzą kąt <( u;v) =120o.
u v
-� 21
Obliczyć cosinus kąta <� (2u -� v;2u +� 3v) . Odp: cos <� (2u -� v;2u +� 3v) =� ;
7
b) Niech wektory i o długościach u =� 3 i v =� 2 tworzą kąt <( u,v) =� 150��.
u v
11
Obliczyć cosinus kąta <� (u +� 2v,2u -� v). Odp: cos <� (u +� 2v,2u -� v) =� -� ;
2 35
4. Obliczyć kąt <� (u,v) wiedząc , że
3
a) u =� 2 i v =� 3 oraz (u +� v) o(3 u +� v) =� 3. Odp: <� (u;v) = p� .
4
1
b) u =� v =� 2 oraz , że wektory i są prostopadłe. Odp: <� (u,v) =� p�.
2u +� v 4u -� 5v
3
5. Obliczyć moduł iloczynu wektorowego wiedząc ,że:
u �� v
a) u =� 2 ; v =� 3; <� (u;v) =� 1500 Odp: u ��v =� 3
b) u =� 3 ; v =� 2 ; u o� v =� -�3
Odp: u ��v =� 3
6. Obliczyć iloczyn skalarny wiedząc, że jest ujemny oraz u =� 2 ; v =� 7 ; u ��v =� 3 3 .
u o� v
Odp: .
u o� v =� -�13
7.a)Równoległobok rozpięty na wektorach u i v ma pole S(u;v) =�10 . Obliczyć pole
równoległoboku rozpiętego na wektorach 3u +� v i u -� 2v. Odp: S(3u +� v;u -� 2v) =� 70.
b) Dane są wektory u i v o długościach u =� 2 i v =� 3 tworzące kąt <� (u,v) =� 120��.
Znalezć pole równoległoboku rozpiętego na wektorach u -� 2v i 3u +� 2v. Odp: S =� 24.
8.Znależć współrzędne środka ciężkości trójkąta o wierzchołkach A =� (-�2,-�1,0) ,
B =� (-�1,-�3,-�2) , C =� (0,-�5,-�1) . Odp: S =� (-�1,-�3,-�1).
9.Znależć kąty wewnętrzne w trójkącie wierzchołkach A =� (1,1,1) , B =� (0,0,5) , C =� (2,-�1,3).
Odp: a� =� 45o� , b� =� 45o� ,g� =� 90o� .
10.Dane są punkty A =� (m,m -�1,2) ; B =� (3,-�1,m -�3); C =� (m -�1,2,1) . Dla jakich wartości
r�
m�� R wektory AB i AC prostopadłe. Odp: m =�1�� m =� 2 .
11.Dla jakich wartości parametrów a i b �� R wektor u =�[�1 3,a,b]� jest wersorem
prostopadłym do wektora v =� [�1,1,1]�.
-�1-� 3 -�1+� 3 -�1+� 3 -�1-� 3
Odp: (a1 =� Ł� b1 =� ) �� (a2 =� Ł� b2 =� )
2 3 2 3 2 3 2 3
4 1 5
�� ł�
12.Znależć rzut wektora a =� [�2,1,-�3]� na wektor b =� [�4,1,5]�. Odp: a =� ,-� ,-� .
b
ę�-� 7 7 7ś�
�� ��
13.Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach A =� (0,0,2) B =� (2,1,1) C =� (-�1,1,0) oraz wysokość hc .
; ,
1 210
Odp: SD�(AB; AC) =� 35 ; hc =� .
2 6
14.Znależć wektor prostopadły do płaszczyzny trójkąta o wierzchołkach A =� (1,2,3), B =� (4,3,2),
C =� (2,2,4) oraz obliczyć jego pole. Odp: w =� [1,-�4,-�1] i S =� 3 2 2.
15.Obliczyć objętość oraz wysokość hD czworościanu o wierzchołkach
37 37 10
a) A =� (2,0,1) , B =� (1,3,2) , C =� (-�1,2,0) , D =� (2,3,8) . Odp:Vcz (AB; AC; AD) =� ; hD =�
6 30
.
20 5 14
b) A =� (2,1,-�1), B =� (0,1,3), C =� (-�2,3,1) i D =� (0,3,2) . Odp:Vcz (AB; AC; AD) =� ; hD =� .
3 7
Płaszczyzna i prosta w przestrzeni
1.Znależć postać parametryczną płaszczyzny i równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty
A =� (-�1,2,4); B =� (2,1,3) ; C =� (3,-�1,5). Odp:
x1 =� x10 +� u1t +� v1s x1 =� -�1+� 3t +� 4s
�� ��
w1(x1 -� x10) +� w2(x2 -� x20) +� w3(x3 -� x30) =� 0
��x ��
H: =� x20 +� u2t +� v2s x2 =� 2 -� t -� 3s ; H:
��
�� ��
2
4x1 +� 7x2 +� 5x3 -� 30 =� 0.
��x =� x30 +� u3t +� v3s ��
x3 =� 4 -� t +� s
�� 3 ��
2.Znależć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A =� (1,-�2,1) i B =� (-�1,1,3) oraz
prostopadłej do płaszczyzny H : 2x1 +� x2 -� x3 +�1 =� 0 . Odp: P� : 5x1 -� 2x2 +�8x3 -�17 =� 0 .
3.Znależć postać parametryczną, kierunkową i krawędziową prostej przechodzącej przez punkty
A =� (2,-�1,1) i B =� (-�1,1,3). Odp:
x1 -� x10 x2 -� x20 x3 -� x30
x1 =� x10 +� u1t x1 =� 2 -� 3t
�� ��
=� =�
��x ��x =� -�1+� 2t ; u1
u2 u3 ; L : ��2x1 +� 3x2 -�1 =� 0
L : =� x20 +� u2t �� L :
�� �� ��
2 2
x1 -� 2 x2 +�1 x3 -�1 x2 -� x3 +� 2 =� 0
��
��x =� x30 +� u3t ��
=� =�
x3 =� 1+� 2t
�� 3 ��
-� 3 2 2
4.Znależć prostą przechodzącą przez punkt A =� (2,3,1) i prostopadłą do płaszczyzny
x1 -� 2 x2 -� 3 x3 -�1
H : 3x1 -� 3x2 +� 2x3 -�1 =� 0. Odp : L : =� =� .
3 -� 3 2
5.Znależć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt
x1 -� 3 x2 x3 +� 2
a) A =� (3,2,1) i prostopadłą do prostej L : =� =� Odp: H : 2x1 -� x2 +� x3 -�5 =� 0.
2 -�1 1
x1 -� 2x2 -�1 =� 0
��
b) A =� (1,4,2) i prostopadłą do prostej L : . Odp: H : 2x1 +� x2 -� 4x3 +� 2 =� 0.
��
+� x3 -� 3 =� 0
��2x1
6.Znależć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A =� (2,-�1,3) i B =� (1,4,2) oraz
równoległej do wektora u =� [3,1,5]. Odp: H :13x1 +� x2 -�8x3 -�1 =� 0.
7.Znależć prostą przechodzącą przez punkt
x1 -� 2x2 +� x3 +�1 =� 0
��
x1 -�1 x2 -� 2 x3 +�1
a) A =� (1,2,-�1) i równoległą do prostej L : Odp: K : =� = .
��
+� x2 -� x3 -� 2 =� 0 1 3 5
��2x1
2x1 +� x2 -� x3 +�1 =� 0
��
x1 x2 -�1 x3 -�1
b) A =� (0,1,1) i równoległą do prostej L : . Odp: K : =� =� .
��
x1 +� x2 +� x3 +� 2 =� 0 2 -� 3 1
��
8.Znależć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt
x1 +�1 x2 -� 3 x3 -�1
a) A =� (1,2,-�3) i prostą L : =� =� Odp: H : 7x1 -� 2x2 +� 4x3 +� 9 =� 0 .
2 1 -� 3
2x1 +� x2 -� x3 +� 3 =� 0
��
b) A =� (2,7,-�3) i prostą L : . Odp: H : 39x1 -� 6x2 +� 23x3 +� 33 =� 0.
��
x1 -� x2 +� 2x3 =� 0
��
9.Wykazać, że proste i przecinają się. Znalezć równanie płaszczyzny zawierającej te proste:
L1 L2
x1 -� 3x3 +� 4 =� 0
��
x1 +� 3 x2 +�1 x3 +�1
a) L1 : =� =� ; L2 : Odp: A =� (-�1,3,1); H : x1 +� 2x2 -� 5x3 =� 0
��
1 2 1 x2 -� x3 -� 2 =� 0
��
x1 -� x3 +� 2 =� 0
��
x1 -� 2 x2 -� 4 x3 -� 2
b) L1 : ; L2 : =� =� . Odp: A =� (-�1,3,1); H : x1 +� 2x2 -�5x3 =� 0.
��
-� 2x3 -�1 =� 0 3 1 1
��x2
10.Wykazać, że proste i są równoległe. Znalezć równanie płaszczyzny zawierającej te proste,
L1 L2
x1 -� 2x2 +� x3 -� 2 =� 0
��
x1 -�1 x2 +� 2 x3 -� 2
a) L1 : i L2 : =� =� . Odp: H : 3x1 +� 9x2 -� 2x3 +�19 =� 0.
��
-� x2 +� x3 +�1 =� 0 1 -�1 -� 3
��2x1
x1 -� x2 +� 2x3 -� 2 =� 0
��
x1 -� 2 x2 -� 3 x3
b) L1 :
��2x -� x2 +� 3x3 -� 3 =� 0 i L2 : 1 =� =� . Odp: H : 4x1 -� x2 +� 5x3 -�5 =� 0.
-�1 -�1
�� 1
x1 -�1 x2 -� 3 x3 +� 2
11.Znależć równanie płaszczyzny zawierającą prostą L1 : =� =� i równoległą do
3 2 -�1
2x1 -� x2 +� x3 -� 3 =� 0
��
prostej L2 : . Odp: H :13x1 -�14x2 +�11x3 +� 51 =� 0
��
+� 2x2 -� x3 -� 5 =� 0
��x1
x1 -�1 x2 x3
.12.Znależć rzut prostopadły punktu A =� (1,2,8) na prostą L : =� =� . Odp:
2 -�1 1
A' =� (3,-�1,1) .
13.Znależć rzut prostopadły punktu A =� (1,2,-�1) na prostą przechodzącą przez punkty B =� (0,1,1) i
C =� (1,2,3) . Odp: A'=� (-�1 3,2 3,1 3).
14.Znależć punkt symetryczny do punktu A =� (5,1,1) względem płaszczyzny H : 3x1 -� 2x2 +� x3 =� 0.
Odp: A' =� (-�1,5,-�1).
15.Znależć punkt symetryczny do punktu A =� (2,-�7,10) względem płaszczyzny przechodzącej przez
punkt P =� (3,2,2) i prostopadłej do wektora w =� [1,-�3,2]. Odp: A'=� (-�4,11,-�2).
LITERATURA
T.Jurlewicz, Z.Skoczylas:Algebra i geometria analityczna (definicje,
twierdzenia,wzory),OWGiS.
T. Jurlewicz, Z. Skoczylas: Algebra i geometria analityczna (przykłady i zadania), OWGiS.
R. Leitner, Zarys matematyki wyższej, część I i II, 1994
R. Leitner, J. Zacharski, Zarys matematyki wyższej, część III, 1994
J. Gawinecki, Matematyka dla informatyków, część I i II, 2003
R. Leitner, M. Matuszewski, Z. Rojek, Zadania z matematyki wyższej, część I i II, 1998
W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, część I i II, 2002
Z. Domański, J. Gawinecki, Algebra w zadaniach, skrypt WAT, 1989
Wprowadzenie do matematyki wyższej
Ciągi liczbowe
1.Zbadać monotoniczność i ograniczoność ciągu:
a) an =� n +� 2 -� n +� 5. Odp: monotonicznie rosnący i ograniczony.
n +�1
b) an =� Odp: nie jest monotoniczny i jest ograniczony.
3n -�8
2n
c) an =� Odp: monotonicznie nierosnący i ograniczony.
n!
d) an =� (-�1)n n Odp: nie jest monotoniczny i nie jest ograniczony.
3n2 +� 5n -� 3
e) an =� Odp: rosnący i ograniczony.
n2 +� 2n
nn
f) an =� Odp: rosnący i ograniczony z dołu.
n!
2*.Korzystając z definicji granicy ciągu wykazać, że
2n -�1
a) lim =� 2; b)lim( n +�1 -� n) =� 0; c) lim(1-� n) =� -�Ą� ;
n��Ą� n��Ą� n��Ą�
n +�1
2n +� 3 2 n2 +�1
d) lim =� ; e) lim =� +�Ą�;
n��Ą� n��Ą�
3n -� 4 3 n
3.Obliczyć granicę ciągu
n3 -� 2n2 +�1 1 4��3n +� 2�� 4n 2
a) lim(n3 -� 2n2 +�1) . Odp: Ą�. b) lim Odp: c) lim . Odp: -� ;
n��Ą� n��Ą� n��Ą�
3n2 +� 2n +� 5. 3 5��(-�2)n -� 3�� 4n 3
n
1 3n +�1
d) lim( n -�1 -� n +� 2). Odp: 0. e) lim( 4n2 -� 2n +� 3 -� 2n).Odp: -� f) limć� �� .Odp: 0.
�� ��
n��Ą� n��Ą� n��Ą�
2. 7n -� 2
Ł� ł�
1 3�� 4n -� 5��(-�3)n 3 5n -� 2
g) lim( 9n2 +� 2n -� 3n) Odp: ; h) lim Odp: ; i) lim( )2n+�3 Odp: 0;
n��Ą� n��Ą� n��Ą�
3 4��3n +� 2�� 4n 2 7n -�1
n
3n-�2
2
2n -�1 ć� ��
3n2 +� 2n -� 4 1+� 3+� 7 +� ������ +� 3n -� 2 3
��
j) limć� �� .Odp: e-�6. k*) lim�� �� Odp: e3 ; l) lim .Odp:
�� ��
��
n��Ą� n��Ą� n��Ą�
2n +� 3 3n2 -�1 n2 2
Ł� ł�
Ł� ł�
n -� 3 1+� 2 +� 3+�...+� n 1
m) lim( )2n+�1 Odp: e-�10; n) lim Odp: ;
n��Ą� n��Ą�
n +� 2 n2 2
1 1 1
1+� +� +� ������ +�
ć� ��
1 1 1
2 4 2n Odp: 4 ; p)
�� ��
o) lim lim�� +� +� ������+� Odp: 1;
��
n��Ą� n��Ą�
1 1 1
3
n2 +�1 n2 +� 2 n2 +� n
Ł� ł�
1+� +� +� ������ +�
3 9 3n
n
n
r) lim 3n +� sin n Odp:1; s) lim 3n +� 2��4n +� 5n Odp: 5; t) lim 2��4n +� 3��6n Odp: 6;
n��Ą� n��Ą� n��Ą�
4*) Wykazać, że istnieje granica ciągu określonego rekurencyjnie
1 3
a) a1 =� 6,...,an+�1 =� 6 +� an Odp: 3; b) a1 =� 2,..., an+�1 =� (an +� ) Odp: 3 ;
2 an
Szeregi liczbowe
1.Korzystając z definicji zbadać zbieżność szeregu
Ą� Ą�
1
a)
��(2n -�1)(2n +�1) Odp: zbieżny do 1 ; c) ��ln(1+� 1) Odp: rozbieżny;
2 n
n=�1 n=�1
Ą� Ą�
d)
��(-� 2)n Odp: zbieżny do -� 1 ; e) ��( 2n +� 3 -� 2n +�1) Odp: rozbieżny;
3 2
n=�1 n=�1
2.Sprawdzić warunek konieczny zbieżności szeregu i wyciągnąć wniosek
Ą� Ą�
a)
��ln(1+� 1) Odp: może być zbieżny; b) ��( 2n +� 3 -� 2n +�1) Odp: może być zbieżny;
n
n=�1 n=�1
Ą� Ą�
c) n2 +�1 -� n2 -�1) Odp: rozbieżny; d)
��n( ��nsin 1 Odp: rozbieżny;
n
n=�1 n=�1
3.Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność szeregu
Ą� Ą� Ą�
2n +� 5 +�1 1
g) Odp: rozbieżny h)
�� ��3n 2n3n +�1 Odp: zbieżny i)��nsin n2 Odp: rozbieżny;
3
n2 +� 3n +�1 -�
n=�1 n=�1 n=�1
Ą� Ą� Ą�
1 1 1 1 1
j) ln(1+� ) Odp: zbieżny l) sin Odp: zbieżny;
��tg n2 Odp: zbieżny; k) �� ��
n n n n
n=�1 n=�1 n=�1
2 p� p� 4 p�
{ sin x Ł� x dla x ł� 0; sin x ł� dla x ��[0, ]; tgx ł� x dla x ��[0, ) ;tgx Ł� x dla x ��[0, ];
p� 2 2 p� 4
ln x Ł� x -�1dla x ł� 0; ln(1+� x) Ł� x dla x ł� 0; }
4.Korzystając z kryterium d Alemberta lub kryterium Cauchyego zbadać zbieżność szeregu.
an+�1
Jeśli g =� lim oraz a�) g <� 1, to zbieżny bezwzględnie; b�) g >� 1, to rozbieżny.
��an ��an
n��Ą�
an
n
Jeśli g =� lim an oraz a�) g <� 1, to zbieżny bezwzględnie; b�) g >� 1, to rozbieżny.
��an ��an
n��Ą�
n
Ą� Ą� Ą�
(2n)! (n!)2
n+�1
a) Odp: zbieżny; c)
��3nn! Odp: zbieżny; b) �� ��(-�1) (2n)! Odp: zbieżny bezwgl.
n
n2n
n=�1 n=�1 n=�1
Ą� Ą� Ą�
n2n
n
d)
��(-�1) 4n(n!)2 Odp:rozb.; e)��((n +�1)2n Odp: zb.; f) n21 Odp: zbieżny;
��
2n2 +�1)n
n=�1 n=�1 n=�1
(2 +� )n
n
Ą� Ą� Ą�
2 2
n +�
n n
g)
��(-�1) (n +� 3)n Odp: rozb.; h) ��(-�1) (nn )n 2n Odp: zb. bezwgl.; i) ��(arcsin 1)n ;
2 +�1 n
n=�1 n=�1 n=�1
5.Zbadać zbieżność bezwzględną i warunkową szeregu
Ą� Ą� Ą�
2n (-�1)n
n n
a) Odp: zb.bezwgl.; c)
��(-�1) 1+� n2 Odp: zb.war.; b)�� ��(-�1) (n2n )n Odp: rozb.;
nln2 n +�1
n=�1 n=�2 n=�1
Ą� Ą� Ą�
(-�1)n+�1 (-�1)n+�1
n
d) Odp: zb.war. e) Odp: zb.war.;
�� ��(-�1) ln n Odp: zb. war.; f) ��
n
n ln n
n=�2 n=�1 n=�1 n2 +� 2n
Ą� Ą� Ą�
(-�1)n n!
n n
g) Odp: zb.war.; h)
�� ��(-�1) 4n Odp: rozbieżny; i) ��(-�1) sin 1 Odp: zb.war.;
nln n n
n=�2 n=�1 n=�1
6.Wyznaczyć przybliżoną wartość sumy szeregu z dokładnością 0,01, gdy
n+�1 n+�1
Ą� Ą�
1
a)
��(-�n) Odp: S � S9 =� 0,83 ; b) ��(-�1) Odp: S � S4 =� 0,40 ;
2
n2n
n=�1 n=�1
Ą�
n+�1
c)
��(-�1) 2n Odp: S � S7 =� 0,87;
n!
n=�1
Granica i ciągłość funkcji
1.Korzystając z definicji granicy w sensie Heinego obliczyć
x +�1 -�1 1 -�1 1
a) lim Odp: b) lim Odp: -� Ą� c) lim Odp: +� Ą�
x��0 x��1
x��2+�
x 2 (x -�1)2 x -� 2
1
x2 -� 4
d) lim Odp: 4 e) lim ex-�1 Odp: +� Ą� f) lim (2-�x +�1) Odp: 1
x��2 x��+�Ą�
x��1+�
x -� 2
2. Korzystając z definicji granicy w sensie Heinego wykazać , że nie istnieje granica
1
1 1
a) lim sin x b) lim 2x-�1 c) lim d) lim arctg
+�
x��+�Ą� x��1 x��p� x��0
sin x x
3.0bliczyć granice funkcji
1 3 1 1-� cos x 1
��
a) limć� -� Odp: -1 b) lim x( x2 +�1 -� x) Odp: c) lim Odp:
�� ��
x��1 x��+�Ą� x��0
2 x2 2
Ł�1-� x 1-� x2 ł�
5 x +� 4 -� 2 1 tg2x 2
d) lim ( x2 -� 2x -�1 -� x2 -� 7x) Odp: e) lim Odp: f) lim Odp:
n��+�Ą� x��0 x��0
2 sin 5x 20 sin 5x 5
sin 3x 3x -� 2sin 2x 1 3x -� 2sin 2x 3
g) lim Odp: -� 9 h) lim Odp: -� i) lim Odp:
x��0 x��0 x��+�Ą�
4x +� 3sin 3x 13 4x +� 3sin 3x 4
3-� 2x +� 9
1-� x2 2 sin x 1-� x p� e3x -�1 3
j) lim Odp: k) lim Odp: -�1 l) lim arcsin Odp: -� n) lim 0dp:
x��1 x��p� x��+�Ą� x��0
sinp�x p� x -�p� 1+� x 2 sin 2x 2
x
x+�1 2x2+�1
2
2x +� 3 ć� �� x
3x2 +� 2x -�1
ć� �� ć� ��
o) lim Odp: e p*) lim �� �� Odp: e3 r) lim 0dp: 0
�� �� �� ��
�� ��
x��+�Ą� x��+�Ą� x��+�Ą�
2x +�1 3x2 +� 2 x +� 3
Ł� ł� Ł� ł�
Ł� ł�
1 1 1 p�
s) lim Odp: 0 t) lim Odp:1 u) lim arctg Odp:
x��0+� 1 x��0-� 1 x��1-�
1-� x 2
1+� ex 1+� ex
1 p� 2 2
v) lim arctg Odp: -� w) lim Odp: 0 z) lim Odp: 2
-� +�
x��1+� p� p�
1-� x 2 1+� 2tgx 1+� 2tgx
x�� x��
2 2
4.Zbadać ciągłość funkcji
2x dla x �� (-�Ą�;1) �� dla x �� (-�Ą�;0)
1-� x2
��
��x2 ��
a) f (x) =� -�1 dla x ��[1;2] b) f (x) =� -�1)2 dla x ��[0;2)
�� ��(x
�� ��
6x-�1 dla x �� (2;+�Ą�) 4 -� x dla x ��[2;+�Ą�)
��
��
Odp: w punkcie x0 =� 1ciągła lewostronnie Odp: w punkcie x0 =� 2 ciągła prawostronnie
p� ��
��cos x dla
x2 +� x4
�� x ��[-�1;1] ��
dla x ą� 0
c) f (x) =� d) f (x) =�
�� 2 ��
x
�� x -�1 dla x �� (-�Ą�;-�1) �� (1;+�Ą�) ��
1 dla x =� 0
��
��
Odp: w punkcie x0 =� -�1ciągła prawostronnie Odp: w punkcie x0 =� 0 ciągła prawostronnie
x +� 3
��
dla x ą� -�3 Ł� x ą� 2
��
��
��1-� cos x
dla x ą� 0
x2 +� x -� 6
e) f (x) =� f) f (x) =�
�� ��
x2
1
�� ��
1 dla x =� 0
-� dla x =� -�3 �� x =� 2
��
�� 5
Odp: nieciągła w punkcie x =� 2. Odp: nieciągła w punkcie x=0
5.Wykazać , że równanie ma w przedziale co najmniej jeden pierwiastek , gdy
a) x3 -�3x +�1 =� 0 dla x ��(1;2) b) x5 -�3x -�1 =� 0 dla x ��(1;2)
6.Wyznaczyć asymptoty funkcji
x3 x
a) f (x) =� b) f (x) =� x2 +�1 c) f (x) =� arctg
(x +�1)2 1-� x
Odp: asymptota pionowa obustronna Odp: asymptota ukośna w Odp: asymptota pozioma
o równaniu x =� -�1; asymptota (-�Ą�) o równaniu y =� -�x równaniu y =� -�0,25p� ;
ukośna o równaniu y =� x -� 2 oraz w o rów. y =� x f (1-�) =� 0,5p� Ł� f (1+�) =� -�0,5p�
(+�Ą�)
1 1
d) f (x) =� e) f (x) =� x -�
ex -�1
x
Odp: asymptota pionowa obustronna o równaniu Odp: asymptota pionowa prawostronna
x =� 0;asymptota pozioma w (-�Ą�) o rów: y =� -�1 o równaniu x =� 0; asymptota ukośna
oraz w (+�Ą�) o rów: y =� 0 w (+�Ą�) o równaniu y =� x
Pochodne funkcji
1.Korzystając z definicji obliczyć pochodną funkcji w punkcie
1
ó� ó�
a) f (x) =� cos 2x ; x �� R Odp: f (x) =� -�2sin 2x b) f (x) =� ln x ; x ��(0;Ą�) Odp: f (x) =�
x
2 1 1
ó� ó�
c) f (x) =� 4x +�1; x0 =� 2 Odp: f (2) =� d) f (x) =� ; xo =� 1 Odp: f (1) =� -�
3 x +� 2 9
1 1
��
x2 -� x dla x �� (-�Ą�;1)
�� 1
ó� ó� ó�
e) f (x) =� ; x0 =� 1 Odp: f (1) =� f-�(1) =� f+� (1) =�
��2 2
2
��
x -�1 dla x ��[1;+�Ą�)
��
2.Obliczyć pochodną funkcji
2
a) f (x) =� x5 +� 3x3 +� x-�3 +� 2 b) f (x) =� tgx -� ctgx +� 4ln x c) f (x) =� x-�2ex
1
-�
1 x -� 2
3
ó� ó� ó�
Odp: f (x) =� 5x4 +� x -� 3x-�4 Odp: f (x) =� 4( +�1) Odp: f (x) =� ex
sin2 2x x3
ln x sin x -� cos x
d) f (x) =� ln x��arcsin x e) f (x) =� f) f (x) =�
1+� x2 sin x +� cos x
arcsin x ln x 1+� x2 -� 2x2 ln x 2sin 2x
ó� ó� ó�
Odp: f (x) =� +� Odp: f (x) =� Odp: f (x) =�
x x(1+� x2)2 1+� sin 2x
1-� x2
g) f (x) =� arctg x h) f (x) =� cos3 x i) f (x) =� esin x
1
ó� ó� ó�
Odp: f (x) =� Odp: f (x) =� -�3cos2 x��sin x Odp: f (x) =� cos x �� esin x
2 x(1+� x)
1+� x
j) f (x) =� ln k) f (x) =� arctg(x -� 1+� x2 ) l) f (x) =� xsin x
1-� x
2 1 sin x
ó� ó� ó�
Odp: f (x) =� Odp: f (x) =� Odp: f (x) =� xsin x(cos xln x +� )
x2 -�1 2(1+� x2) x
3.Obliczyć pierwszą i drugą pochodną funkcji
x x
a) f (x) =� x 1-� x2 +� arctg b) f (x) =� ln(x +� x2 +�1) c) f (x) =� arctgx -� arcsin
1-� x2 1+� x2
1
ó� ó� ó�
Odp: f (x) =� 2 1-� x2 Odp: f (x) =� Odp: f (x) =� 0
x2 +�1
1 x
d) f (x) =� xx e) f (x) =� x 2 -� x2 +� arcsin f) f (x) =� x-�2ex
2
2
1 (x -� 2)(x -� 3)
ó�ó� ó� ó�ó�
Odp: f (x) =� xx[(ln x +�1)2 +� ] Odp: f (x) =� 2 -� x2 Odp: f (x) =� ex
x x4
4.Wykazać, że funkcja u =� u(x) spełnia równanie różniczkowe
2
2
1 1-� e-�x ó�
ó�
a) u(x) =� ln ; xu +�1 =� eu b)u(x) =� ; xu +� 2u =� e-�x
1+� x 2x2
1
-�
x
ó�ó� ó� ó�ó� ó�
c) u(x) =� xe ; x3u -� xu +� u =� 0 d) u(x) =� ex sin x ; u -� 2u +� 2u =� 0
5.Znalezć równanie stycznej do krzywej y =� f (x)
w punkcie o odciętej xo gdy
8
a) f (x) =� ; xo =� 2 Odp: x +� 2y -� 4 =� 0 b) f (x) =� x +� cos x x0 =� p� Odp: y =� x -�1
;
4 +� x2
x -�1 1 1-� x
c) f (x) =� arcsin ; xo =� 1Odp: y =� (x -�1) d) f (x) =� arctg ; xo =� 1Odp: y =� -�x +�1
2 2 1+� x
6.Znalezć różniczkę funkcji df w punkcie x na przyroście argumentu dx gdy
1-� x2 4x
a) f (x) =� ln dla x ��(-�1:1) Ł� dx �� R Odp: df (x;dx) =� dx
1+� x2 x4 -�1
2
b) f (x) =� x2 +� 5 dla xo =� 2 Ł� dx �� R Odp: df (2;dx) =� dx
3
c) f (x) =� arctgx dla xo =� -�1Ł� dx =� -�0,1 Odp: df (-�1: -�0,1) =� -�0,05
7.Obliczyć przyrost funkcji D�f i różniczkę funkcji df w punkcie xo na przyroście argumentu dx , gdy
1
a) f (x) =� 1+� x3 dla xo =� 2 Ł� dx =� 0,2 b) f (x) =� dla xo =� -�1Ł� dx =� -�0,1
1+� x2
Odp; D�f (xo;dx) =� f (xo +� dx) -� f (xo) =� 0,41 Odp: D�f (xo;dx) =� f (xo +� dx) -� f (xo) =� -� 0,0475
' '
df (xo;dx) =� f (xo)dx =� 0,4 df (xodx) =� f (xo)dx =� -�0,05
8.Korzystając z różniczki obliczyć przybliżone wartości liczb
3
a) 8,02 Odp: 2,002 b) e0,03 Odp: 1,03 c) arctg0,96 Odp: 0,765
d) ln 0,97 Odp:-0,03 e) sin 31o� Odp: 0,515 f) arcsin 0,54 Odp: 0,57
9.Korzystając z reguły de l Hospitala obliczyć granice
x -� arctgx 1 1 1 p� 2
��
a) lim Odp: 0 b) limć� -� Odp: c)lim(1-� x)tg x Odp:
�� ��
x��0 x��1 x��1
x2 ln x x -�1ł� 2 2 p�
Ł�
2
-�
1 1 1 2
��
p�
d) lim x2 ln x Odp: 0 e) limć� -� Odp: f) lim ( arctgx)x Odp: e
�� ��
x��0+� x��0 x��+�Ą�
x ex -�1ł� 2 p�
Ł�
1 1
1 2 1
g) lim (ctgx)ln x Odp: h) lim xsin x Odp: 1 i) lim(cos 2x)x Odp:
x��0+� x��0+� x��0
e e2
10..Zapisać wzór Taylora (z resztą Lagrangea) dla funkcji
1
a) f (x) =� w punkcie xo =� -�2 i dla n =� 4
x +� 4
1 1 1 1 1 1
Odp: =� -� (x +� 2) +� (x +� 2)2 -� (x +� 2)3 +� (x +� 2)4 dla x ��(-�4;+�Ą�)
x +� 4 2 4 8 16 [2 +�J�(x +� 2)]5
3
b) f (x) =� x4 w punkcie xo =� 1 i dla n =� 4
4 2 4 5 1
3
Odp: x4 =� 1+� (x -�1) +� (x -�1)2 -� (x -�1)3 +� (x -�1)4 dla x �� -�Ą�,+�Ą�)
3
3 9 81 243
[1+�q� (x -�1)]8
11.Obliczyć bezwzględny błąd przybliżenia funkcji wielomianem w podanym przedziale
1 1 1 1 1
a) 1+� x � 1+� x -� x2 dla x ��[0,1] Odp: R3(x,0) =� x3 Ł� dla x ��[0,1]
2 8 16
(1+�q�x)5 16
4
1 1 1 1 1 1 1
b) cos x � 1-� x2 dla x Ł� Odp: R4(x,0) =� cos(q�x) x4 Ł� ��1��ć� �� =� dla x Ł�
�� ��
2 2 4! 24 2 384 2
Ł� ł�
12.Korzystając ze wzoru Taylora obliczyć przybliżoną wartość liczby i oszacować błąd przybliżenia
1 1 1 1 1 3
a) 4,5 dla n =� 4 ; Odp : 4,5 � 2 +� �� ��0,5 -� �� ��0,52 +� �� ��0,53 � 2,121338
1! 4 2! 32 3! 256
15��0,54
R4(4,5;4) =� Ł� 1,9��10-�5
4!��16 (4 +� 0,5q� )7
1 1 2 6
b) ln1,1 dla n =� 5; Odp: ln1,1 � 0 +� ��0,1-� ��0,12 +� ��0,13 -� ��0,14 =� 0,0953083
1! 2! 3! 4!
24 1
R4(1,1;1,0) =� �� ��0,15 Ł� 0,000002 (ln1,1=0,0953102 kalkulator)
5! (1+� 0,1q� )5
1 1 1
c) sin 0,3 dla n =� 6; Odp: sin 0,3 � ��0,3-� ��0,33 +� ��0,35 =� 0,29552025
1! 3! 5!
sin(0,3q� )
R6(0,3;0) =� ��0,36 Ł� 3��107 [ bo sin(0,3q�) Ł� 0,3) ] (sin 0,3 =� 0,29552021)
6!
1 1 1 1 1 1
d) dla n =� 5; Odp: =� 1+� (-�0,25) +� (-�0,25)2 +� (-�0,25)3 +� (-�0,25)4 � 0,7788086
4 4
1! 2! 3! 4!
e e
e-�0,25q� 0,255 1
R5(-�0,25;0) =� 0,255 Ł� =� 8,1��106 (4 =� e-�0,25 =� 0,7788008 -� kalkulator)
5! 5!
e
13.Zbadać monotoniczność i wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f gdy
1
1 1 1 1
a) f (x) =� x2ex Odp: fmin =� f ( ) =� e2 ; maleje w (-�Ą�,0) i (0, ) , rośnie w ( ,+�Ą�) .
2 4 2 2
3
2 4 2 2
3
b) f (x) =� x2(x -�1) Od. fmin =� f ( ) =� , fmax =� f (0) =� 0 ;mal.w (0, ) ,roś. w (-�Ą�,0) i ( ,Ą�)
3 3 3 3
c) f (x) =� xln2 x Odp: fmin =� f (1) =� 0, fmax =� f (e-�2) =� 4e-�2; maleje w (e-�2,1) rośnie
w (0,e-�2) i(1,+�Ą�) .
d) f (x) =� arctgx -� x Odp: brak ekstremum; maleje w (- Ą�,+�Ą�) .
14.Korzystając z drugiego warunku dostatecznego zbadać czy funkcja f ma ekstremum w punkcie xo :
a) f (x) =� 2ln x -� x dla xo =� 2 Odp: fmax =� f (2) =� 2ln 2 -� 2
b) f (x) =� 2cos x +� x2 dla x0 =� 0 Odp: fmin =� f (0) =� 2
1
c) f (x) =� 2ln x -� x +� dla xo =� 1 Odp: brak ekstremum
x
15.Wyznaczyć najmniejszą największą wartość funkcji f w danym przedziale
a) f (x) =� x -� 33 x dla x ��[-�1,8] Odp: fmin =� f (8) =� -�5Ł� fmax =� f (0) =� 1
1-� x 1
b) f (x) =� arctg dla x ��[0,1] Odp: fmin =� f (1) =� 0 Ł� f (0) =� p�
1+� x 4
c) f (x) =� x2 ln x dla x ��[1,e] Odp: fmin =� f (1) =� 0 Ł� fmax =� f (e) =� e2
15.Wyznaczyć punkty przegięcia oraz przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji
1
-�
1 1 1
x
a) f (x) =� e Odp: f =� f ( ) =� e-�2; wypukła w (-�Ą�,0) i (0, ) , wklęsła w ( ,+�Ą�) .
p
2 2 2
3 3 3
-� -� -�
3
2 2 2
b) f (x) =� x2 ln x Odp: f =� f (e ) =� -� e-�3; wklęsła w (0,e ) , wypukła w (e ,+�Ą�) .
p
2
c) f (x) =� x 4 -� x2 Odp: fp =� f (0) =� 0; wypukła w [-�2,0), wklęsła w (0,2].
1
d) f (x) =� arcsin Odp: brak punktów przegięcia; wklęsła w (-�Ą�,-�1) , wypukła w .
(1,+�Ą�)
x
16..Zbadać funkcję i narysować wykres
1
1
a) f (x) =� (x -� )ex .Odp: asymptota pionowa prawostronna: x =� 0, asymptota ukośna w ( -� Ą� ) i
4
3 1 1 1
( +� Ą�) : y =� x +� ; rosnąca w (-�Ą�,0) (0,+�Ą�); f =� f ( ) =� e2, wklęsła w (-�Ą�,0) (0, ) ,
i i
p
4 2 4 2
1
wypukła w ( ,+�Ą�).
2
ln x
b) f (x) =� Odp: asymptota pionowa prawostronna: x =� 0, asymptota ukośna w (+�Ą�) : y =� 0;
x
8 4
-�
2 8
3
fmax =� f (e2) =� , rosnąca w (0,e2), malejąca w (e2,+�Ą�); f =� f (e3 ) =� e ,
p
e 3
8 8
wklęsła w (0,e3 ) , wypukła w (e3,+�Ą�).
1-� x2 p� p�
c) f (x) =� arcsin Odp: asymptota pozioma w (-�Ą�) i (+�Ą�) : y =� -� ; fmax =� f (0) =� ostrze,
1+� x2 2 2
rosnąca w (-�Ą�,0), malejąca w (0,+�Ą�); wypukła w (-�Ą�,0) i (0,+�Ą�).
1
x
d) f (x) =� xe Odp: asymptota pionowa prawostronna: x =� 0, asymptota ukośna w (-�Ą�) i (+�Ą�) :
y =� x +�1; fmin =� f (1) =� e, rosnąca w (-�Ą�,0) i (1,+�Ą�), malejąca w(0,1); wklęsła w (-�Ą�,0),
wypukła w (0,+�Ą�).
ln x
e) f (x) =� Odp: asymptota pionowa prawostronna: x =� 0, asymptota pozioma w (+�Ą�) : y =� 0;
x
3 3 3
-�
1 3
2
fmax =� f (e) =� , rosnąca w(0,e), malejąca w(e,+�Ą�); fp =� f (e2 ) =� e , wklęsła w (0,e2 ),
e 2
3
wypukła w (e2 ,+�Ą�).
1 1 1
f) f (x) =� x +� arcctgx Odp: asymptota ukośna w (-�Ą�) : y =� x +� p� i (+�Ą�) : y =� x ;
2 2 2
1 3 1 1
fmax =� f (-�1) =� -� +� p� , fmin (1) =� +� p� , rosnąca w (-�Ą�,-�1) i (1,+�Ą�), malejąca w (-�1,1) ;
2 4 2 4
p�
f =� f (0) =� , wklęsła w (-�Ą�,0), wypukła w (0,+�Ą�).
p
2
Literatura podstawowa:
M.Gewert, Z. Skoczylas: Analiza matematycznaI (definicje, twierdzenia,wzory), OWGiS.
M.Gewert, Z. Skoczylas: Analiza matematycznaI (przykłady i zadania), OWGiS.
R. Leitner, Zarys matematyki wyższej, część I i II, 1994
R. Leitner, J. Zacharski, Zarys matematyki wyższej, część III, 1994
J. Gawinecki, Matematyka dla informatyków, część I i II, 2003
R. Leitner, M. Matuszewski, Z. Rojek, Zadania z matematyki wyższej, część I i II, 1998
W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, część I i II, 2002
Literatura uzupełniająca:
W. Leksiński, J. Nabiałek, W. Żakowski, Matematyka. Definicje, twierdzenia, przykłady, zadania, 1992
W. Stankiewicz, Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych, część I, 1995
W. Stankiewicz, J.Wojtowicz, Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych, część II, 1995


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
ALGEBRA Z GEOMETRIA I SEMESTR
Algebra z geometria zadania
87 Omow znaczenie czynnika geometrycznego dla przeplywu krwi
Algebra z geometria w
Ryszard R Andruszkiewicz Wykłady z algebry liniowej dla inżynierów
zadania z algebry
Zadania Algebra Liniowa 2 seria
zadania przygotowawcze matematyka i stopien i semestr 2010
mech zadanie nr 32 dla mnie
Wstęp do algebry i geometrii
Przykładowe zadania na zaliczenie matematyki z semestru 1 z rozwiązaniami

więcej podobnych podstron