Zadania z algebry i geometrii analitycznej dla semestru pierwszego WEL
Liczby zespolone i funkcje wymierne
1.Znalezć część rzeczywistą i część urojoną liczby zespolonej
Re z = -1,7 Re z = -2
(2 - 3i)2 i5 + 2
a) z = Odp: ; b) z = ( )2 Odp:
Im z = 1,5 ;
(1+ 2i)(3- i) i19 +1
Im z = -0,7
Re z = 1 Re z = 2,5
( 3 + i)(-1+ i 3)
2 + 3i
c) z = Odp: ; d) z = Odp: ;
(1+ i)2 1- i
Im z = 3 Im z = -0,5
2.Znależć postacie trygonometryczne liczb zespolonych
a) z1 = - 3 + i oraz z2 = -1- i a następnie obliczyć :
5p 5p z13
a ) z12z23 Odp: 8 2(- cos - i sin ) ; b ) Odp: -2i ;
12 12
z2 4
b) z1 = 2 3 - 2i oraz z2 = -1+ 3i a następnie obliczyć:
2
z1
1
3 2
a) z1 z2 Odp: 128(- 3 + i) ; b ) Odp: (1+ 3i);
5
4
z2
3.Korzystając ze wzoru Moivrea obliczyć
a) (- 3 - i)16 Odp: 215(-1+ i 3) ; b) (- 3 + i)21 Odp: - 221i;
5.Znależć pierwiastki liczby zespolonej i zaznaczyć na płaszczyznie zespolonej
a) 3+ 4i Odp: w1 = -2 - i w2 = 2 + i ;
b) - 5 -12i Odp: w1 = -2 + 3i w2 = 2 -3i;
4
c) -8 -8 3i Odp: w0 = 1+ 3i w1 = - 3 + i w2 = -1- 3i w3 = 3 -i ;
7 1 7 1
4 4
d) - 3 - i Odp: wk = 2[cos( p + kp ) + isin( p + kp )] dla k = 0,1,2,3;
24 2 24 2
5 2 5 2
3 3
e) 2 - 2 3i Odp: wk = 4[cos( p + kp ) + isin( p + kp )] dla k = 0,12;
9 3 9 3
6.Zaznaczyć na płaszczyznie zespolonej zbiory spełniające warunki
a) z - 3+ 4i < 4 Odp: (x -3)2 + (y + 4)2 < 16; b) z -1 = Im z Odp: x = 1Ł y ł 0 ;
c) Im z2 = -1 Odp: 2xy = -1; d) z - 2 ł Re z Odp: y2 ł 4x - 4;
7.Rozwiązać równanie algebraiczne
a) z2 + (1- 2i)z +1+ 5i = 0 Odp: z1 = -2 + 3i z2 = 1-i ;
b) z2 + (1+ 4i)z - (5+ i) = 0 Odp: z1 = -2 -3i z2 = 1- i;
c) z4 + 3z2 - 4 = 0 Odp: z1 = -1 z2 = 1 z3 = -2i z4 = 2i ;
3 3 3 3
d) z3 - 6z -9 = 0 Odp: z1 = 3 z2 = - - i z3 = - + i;
2 2 2 2
e) z4 + 3z3 + z2 +13z + 30 = 0 Odp: z1 = -2 z2 = -3 z3 = 1- 2i z4 = 1+ 2i ;
f) z4 - z3 -5z2 + 7z +10 = 0 Odp: z1 = -1 z2 = -2 z3 = 2 -i z4 = 2 + i;
8.Wiedząc, że liczba zespolona:
a) z1 = 2 + i jest pierwiastkiem równania z4 - 4z3 + 6z2 - 4z + 5 = 0, znalezć pozostałe
pierwiastki Odp: z1 = 2 + i z2 = 2 -i z3 = -i z4 = i ;
b) z1 = 2i jest pierwiastkiem równania z4 + 4z3 + 9z2 +16z + 20 = 0, znalezć pozostałe
pierwiastki Odp: z1 = 2i z2 = -2i z3 = -2 -i z4 = -2 + i ;
Macierze i układy równań liniowych
1.Niech będą dane macierze
1 3 -1 1 4
ł ł
1 3 0
ł
ę0 ś ę
a) A =
ę4 1 -1ś ; B = ę 1 0 ś ; C = ę 2 0ś
ś
ę
2 1 0 ś ę 1
-1 ś
a) Obliczyć 2A- 3CT
b)Rozwiązać równanie macierzowe 3X + AT = 2C
g) Obliczyć iloczyny macierzy AC ; CA ; AB ; ;
CTC CCT
3 1
ł
1 3 2 2 -1 1 2
ł ł
ę
b) A = ; B = 0 2ś ; C =
ę ę1 3 1 -1ś ;
ś
- 2 0 1ś ę 3
ę ś
-1
a) Obliczyć 3A- 2BT
b) Rozwiązać równanie macierzowe 2AT + 3X = B
g)Obliczyć iloczyny macierzy AB ; BA ; BC ; ; .
CTC CCT
1 2 1
ł
ę1
2.Obliczyć wyznacznik macierzy A = 0 2ś Odp: A = 3
ę ś
ę ś
4 3 5
a) stosując rozwinięcie względem pierwszego wiersza.
b) stosując rozwinięcie względem drugiej kolumny.
3.Korzystając z własności obliczyć wyznacznik
1 2 3 4 1 1 -1 1
1 2 1
2 1 - 2 -1 2 -1 1 1
a) 1 0 2 Odp: 3 ; b) Odp: -40 ; c) Odp: 33;
3 0 1 2 1 2 3 -1
4 3 5
0 1 0 2 3 -1 2 -1
1 0 4 0
3 - 2 - 4 1 x z
3 2 0 1
d) 1 1 5 Odp: -113; e) 1 x + y z Odp: yu; f) Odp: 63;
- 2 -1 0 2
-1 6 -1 1 x z + u
1 -1 1 4
1 3 4 5 1 1 1 1
a b c
3 0 0 2 1 2 3 4
g) 1 2 3 Odp: 0 ; h) Odp: -10 ; i) Odp: 12
5 1 2 7 1 4 9 16
a +1 b + 2 c + 3
2 0 0 3 1 8 27 64
1 1 1
j) x y z Odp: (y - x)(z - x)(z - y) ;
x2 y2 z2
4. Znalezć macierz odwrotną macierzy za pomocą macierzy dopełnień algebraicznych lub
metodą przekształceń elementarnych
1 1 1
ł
ę- 2 2 2 ś
2 1 -1
ł
ę
-1 3 5 3
ł ł
5 3 1ś
ę3
a) A = 1 - 2ś Odp: A-1 = ę - - ś b) A = Odp: A-1 =
ę ę2 1ś
ę ś
2 2 2ś 2 - 5ś
ę
ę
1 1 1
1 0 1 ś
ę ś
-
ę ś
2 2 2
1 2 3 -1 1 1
ł ł
2 5 - 2 5
ł ł
ę0 ę
c) A = 1 2ś Odp: A-1 = 4 - 5 - 2ś ; d) A = ;
ę1 2ś Odp: A-1 = ę
ę ś ę ś
1 - 2ś
ę ś ę
2 1 1 - 2 3 1 ś
5.Rozwiązać równanie macierzowe
2 1 -1
ł
- 2 1 3
ł
2 -1 3
ł
ę3
a) XA = B dla A = 1 - 2ś i B =
ę1 0 2ś Odp: X = ę 1 - 1 3ś ;
ę ś
ę
2 2 2ś
ę
1 0 1 ś
-1 3 2 1 19 11
ł ł ł
b) AX = B dla A = i B = ;
ę ę3 2ś Odp: X = ę ś
2 - 5ś 7 4
Skorzystać z wyników przykładu 4a) i 4b).
1 3 - 3 1 0 10 - 3
ł ł ł
ę0 ś ę0 ę ś
c) AX = B dla A = 1 2 i B = 1ś Odp: X = 2 1 ;
ę ś ę ś ę- ś
ę ę ś
1 0
0 0 1 ś ę 0
1 ś
1 0 -1
ł
1 2 1 1 0 2
ł ł
ę ś
d) XA = B dla A = 1 0 i B = Odp: X = ;
ę ę
ę-1 ś
-1 0 1ś -1 0 0ś
ę ś
0 1 1
6.Rozwiązać za pomocą wzorów Cramera i metodą macierzową układ równań
3x1 + 2x2 + x3 = 17 x1 = 4 x1 + 2x2 + 3x3 = 14 x1 = 1
x x
a) 2x1 - x2 + 2x3 = 8 Odp: = 2 ; b) 4x1 + 3x2 - x3 = 7 Odp: = 2 ;
2 2
x = 3
x1 + 4x2 - 3x3 = 9 x3 = 1 x1 - x2 + x3 = 2
3
x1 + 2x2 + 3x3 = 2 x1 = 1 x1 + x2 + 2x3 = -1 x1 = 1
2x 2x
c) - 3x2 + x3 = -5 Odp: x2 = 2 ; d) - x2 + 2x3 = -4 Odp: x2 = 2 ;
1 1
x = -1 4x + x2 + 4x3 = -2 x = -2
2x1 + x2 - x3 = 5
3 1 3
7.Korzystając z definicji obliczyć rząd macierzy
1 2 -1 1 1 -1 2
ł ł
ę2 ę
a) A = 4 2 0ś Odp: r(A)=2 b) A = 1 - 2ś Odp: r(A)=1
ę ś ę-1 ś
ę ś ę ś
2 - 2 4
5 10 -1 3
8.Znależć rząd macierzy sprowadzając macierz do postaci bazowej
1 1 1 1 1 -1 0 2 3
ł ł
1 -1 2 -1
ł
ę2 2 3 -1ś ę
ę0 ś
ę ś ę-1 2 1 0 2ś
ś
a) A = 2 - 2 4 b) B = c) C =
ę ś
ę ś ę ś
0 0 1 - 3 0 1 1 2 5
ę
ę3 3 5 - 2ś ę
2 0 3 3 ś
1 0 1 4 8ś
Odp: r(A)=3; Odp: r(B)=3 ; Odp:r(C)=2.
9.Metodą przekształceń elementarnych rozwiązać układ równań liniowych (sprowadzić
macierz rozszerzoną układu do postaci bazowej w części podstawowej , określić rzędy
macierzy podstawowej i rozszerzonej oraz powołać się na twierdzenie Kroneckera-Capellego)
1
x1 = (1- 2t)
x1 + x2 + x3 = -1 2x1 + x2 + x3 = 2
3 x1 = 1
2x1 - x2 + x3 = 2 x1 + 3x2 + x3 = 5
x 1
a) Odp: = - (4 + t) ; b) Odp: x2 = 2 ;
2
5x1 - x2 + 3x3 = 3 3 x1 + x2 + 5x3 = -7
x = -2
x3 = t 3
7x1 - 2x2 + 4x3 = 5 2x1 + 3x2 - 3x3 = 14
x1 - x2 + 3x3 - x4 = -2 x1 = 2 x1 + x2 - 3x3 = -1
x = -2
2x1 + 3x2 + x3 + x4 = 0 2x1 + x2 + x3 = 1
2
c) Odp: ; d) Odp: sprzeczny;
4x1 + 3x3 - 2x4 = -1 x1 + x2 + x3 = 3
x3 = -1
3x1 + 2x2 + 5x3 + 2x4 = 3
x4 = 3 x1 + 2x2 - 3x3 = 1
x1 = t
3x1 - 2x2 + 5x3 + 4x4 = 2 x1 - 2x2 + 4x3 = 0 x1 = -2t
x2 = s
5x
e) - 4x2 + 4x3 + 3x4 = 3 Odp: f) x1 + x2 + x3 = 0 Odp: x2 = t ;
1
x3 = 6 -15t +10s
7x - 6x2 + 3x3 + 2x4 = 4
x2 - x3 = 0 x3 = t
1
x4 = -7 +18t -12s
x1 + x2 + x3 = 2 x1 = 1 5(9 - 7t) x1 + 2x2 - x3 - x4 = 1
x
g) 2x1 - 3x2 + 4x3 = 3 Odp: = 1 5(1+ 2t) h) x1 + x2 + x3 + 3x4 = 2 Odp:sprzeczny;
2
4x -11x2 +10x3 = 5 3x + 5x2 - x3 + x4 = 3
x3 = t
1 1
1
x1 = (5 - t - 2s)
x1 + x2 + x3 = 2
2x1 - x2 + x3 + 2x4 = 3 3 x1 = 1
x1 - x3 = 0
x x 1 x
i) + x2 - 2x3 + 2x4 = 2 Odp: = (1+ 5t - 2s) ; j) Odp: = 0 ;
1 2 2
3 x2 - x3 = -1
3x2 - 5x3 + 2x4 = 1 x3 = 1
x3 = t Ł x4 = s
x1 - x2 = 1
10*.Przedyskutować rozwiązywalność układu równań w zależności od parametru a R .
ax1 - x2 + x3 = 1 x1 + 2x2 + 3x3 = 0
2x
a) x1 - ax2 + x3 = 1 b) + 4x2 + 2ax3 = 0
1
3x - 3x2 + 2x3 = 2a
x1 + 3x2 + x3 = a - 3
1
Odp:a) a`"1 i aą2 jedno rozwiązanie b) aą3 jedno rozwiązanie
a=1 nieskończenie rozwiązań a=3 nieskończenie rozwiązań
a=2 układ sprzeczny
Geometria analityczna
1.W równoległoboku ABCD wyrazić wektory AB i AD przez wektory i BD .
AC
r r
2. W trapezie OABC zachodzi warunek OA = 3CB .
a) Wyrazić wektor przez wektory i .
OA OB OC
b) Wyrazić wektor przez wektory i
OB OA OC
3.a)Niech wektory i o długościach u = 1 i v = 2 tworzą kąt <( u;v) =120o.
u v
- 21
Obliczyć cosinus kąta < (2u - v;2u + 3v) . Odp: cos < (2u - v;2u + 3v) = ;
7
b) Niech wektory i o długościach u = 3 i v = 2 tworzą kąt <( u,v) = 150.
u v
11
Obliczyć cosinus kąta < (u + 2v,2u - v). Odp: cos < (u + 2v,2u - v) = - ;
2 35
4. Obliczyć kąt < (u,v) wiedząc , że
3
a) u = 2 i v = 3 oraz (u + v) o(3 u + v) = 3. Odp: < (u;v) = p .
4
1
b) u = v = 2 oraz , że wektory i są prostopadłe. Odp: < (u,v) = p.
2u + v 4u - 5v
3
5. Obliczyć moduł iloczynu wektorowego wiedząc ,że:
u v
a) u = 2 ; v = 3; < (u;v) = 1500 Odp: u v = 3
b) u = 3 ; v = 2 ; u o v = -3
Odp: u v = 3
6. Obliczyć iloczyn skalarny wiedząc, że jest ujemny oraz u = 2 ; v = 7 ; u v = 3 3 .
u o v
Odp: .
u o v = -13
7.a)Równoległobok rozpięty na wektorach u i v ma pole S(u;v) =10 . Obliczyć pole
równoległoboku rozpiętego na wektorach 3u + v i u - 2v. Odp: S(3u + v;u - 2v) = 70.
b) Dane są wektory u i v o długościach u = 2 i v = 3 tworzące kąt < (u,v) = 120.
Znalezć pole równoległoboku rozpiętego na wektorach u - 2v i 3u + 2v. Odp: S = 24.
8.Znależć współrzędne środka ciężkości trójkąta o wierzchołkach A = (-2,-1,0) ,
B = (-1,-3,-2) , C = (0,-5,-1) . Odp: S = (-1,-3,-1).
9.Znależć kąty wewnętrzne w trójkącie wierzchołkach A = (1,1,1) , B = (0,0,5) , C = (2,-1,3).
Odp: a = 45o , b = 45o ,g = 90o .
10.Dane są punkty A = (m,m -1,2) ; B = (3,-1,m -3); C = (m -1,2,1) . Dla jakich wartości
r
m R wektory AB i AC prostopadłe. Odp: m =1 m = 2 .
11.Dla jakich wartości parametrów a i b R wektor u =[1 3,a,b] jest wersorem
prostopadłym do wektora v = [1,1,1].
-1- 3 -1+ 3 -1+ 3 -1- 3
Odp: (a1 = Ł b1 = ) (a2 = Ł b2 = )
2 3 2 3 2 3 2 3
4 1 5
ł
12.Znależć rzut wektora a = [2,1,-3] na wektor b = [4,1,5]. Odp: a = ,- ,- .
b
ę- 7 7 7ś
13.Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach A = (0,0,2) B = (2,1,1) C = (-1,1,0) oraz wysokość hc .
; ,
1 210
Odp: SD(AB; AC) = 35 ; hc = .
2 6
14.Znależć wektor prostopadły do płaszczyzny trójkąta o wierzchołkach A = (1,2,3), B = (4,3,2),
C = (2,2,4) oraz obliczyć jego pole. Odp: w = [1,-4,-1] i S = 3 2 2.
15.Obliczyć objętość oraz wysokość hD czworościanu o wierzchołkach
37 37 10
a) A = (2,0,1) , B = (1,3,2) , C = (-1,2,0) , D = (2,3,8) . Odp:Vcz (AB; AC; AD) = ; hD =
6 30
.
20 5 14
b) A = (2,1,-1), B = (0,1,3), C = (-2,3,1) i D = (0,3,2) . Odp:Vcz (AB; AC; AD) = ; hD = .
3 7
Płaszczyzna i prosta w przestrzeni
1.Znależć postać parametryczną płaszczyzny i równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty
A = (-1,2,4); B = (2,1,3) ; C = (3,-1,5). Odp:
x1 = x10 + u1t + v1s x1 = -1+ 3t + 4s
w1(x1 - x10) + w2(x2 - x20) + w3(x3 - x30) = 0
x
H: = x20 + u2t + v2s x2 = 2 - t - 3s ; H:
2
4x1 + 7x2 + 5x3 - 30 = 0.
x = x30 + u3t + v3s
x3 = 4 - t + s
3
2.Znależć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A = (1,-2,1) i B = (-1,1,3) oraz
prostopadłej do płaszczyzny H : 2x1 + x2 - x3 +1 = 0 . Odp: P : 5x1 - 2x2 +8x3 -17 = 0 .
3.Znależć postać parametryczną, kierunkową i krawędziową prostej przechodzącej przez punkty
A = (2,-1,1) i B = (-1,1,3). Odp:
x1 - x10 x2 - x20 x3 - x30
x1 = x10 + u1t x1 = 2 - 3t
= =
x x = -1+ 2t ; u1
u2 u3 ; L : 2x1 + 3x2 -1 = 0
L : = x20 + u2t L :
2 2
x1 - 2 x2 +1 x3 -1 x2 - x3 + 2 = 0
x = x30 + u3t
= =
x3 = 1+ 2t
3
- 3 2 2
4.Znależć prostą przechodzącą przez punkt A = (2,3,1) i prostopadłą do płaszczyzny
x1 - 2 x2 - 3 x3 -1
H : 3x1 - 3x2 + 2x3 -1 = 0. Odp : L : = = .
3 - 3 2
5.Znależć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt
x1 - 3 x2 x3 + 2
a) A = (3,2,1) i prostopadłą do prostej L : = = Odp: H : 2x1 - x2 + x3 -5 = 0.
2 -1 1
x1 - 2x2 -1 = 0
b) A = (1,4,2) i prostopadłą do prostej L : . Odp: H : 2x1 + x2 - 4x3 + 2 = 0.
+ x3 - 3 = 0
2x1
6.Znależć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A = (2,-1,3) i B = (1,4,2) oraz
równoległej do wektora u = [3,1,5]. Odp: H :13x1 + x2 -8x3 -1 = 0.
7.Znależć prostą przechodzącą przez punkt
x1 - 2x2 + x3 +1 = 0
x1 -1 x2 - 2 x3 +1
a) A = (1,2,-1) i równoległą do prostej L : Odp: K : = = .
+ x2 - x3 - 2 = 0 1 3 5
2x1
2x1 + x2 - x3 +1 = 0
x1 x2 -1 x3 -1
b) A = (0,1,1) i równoległą do prostej L : . Odp: K : = = .
x1 + x2 + x3 + 2 = 0 2 - 3 1
8.Znależć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt
x1 +1 x2 - 3 x3 -1
a) A = (1,2,-3) i prostą L : = = Odp: H : 7x1 - 2x2 + 4x3 + 9 = 0 .
2 1 - 3
2x1 + x2 - x3 + 3 = 0
b) A = (2,7,-3) i prostą L : . Odp: H : 39x1 - 6x2 + 23x3 + 33 = 0.
x1 - x2 + 2x3 = 0
9.Wykazać, że proste i przecinają się. Znalezć równanie płaszczyzny zawierającej te proste:
L1 L2
x1 - 3x3 + 4 = 0
x1 + 3 x2 +1 x3 +1
a) L1 : = = ; L2 : Odp: A = (-1,3,1); H : x1 + 2x2 - 5x3 = 0
1 2 1 x2 - x3 - 2 = 0
x1 - x3 + 2 = 0
x1 - 2 x2 - 4 x3 - 2
b) L1 : ; L2 : = = . Odp: A = (-1,3,1); H : x1 + 2x2 -5x3 = 0.
- 2x3 -1 = 0 3 1 1
x2
10.Wykazać, że proste i są równoległe. Znalezć równanie płaszczyzny zawierającej te proste,
L1 L2
x1 - 2x2 + x3 - 2 = 0
x1 -1 x2 + 2 x3 - 2
a) L1 : i L2 : = = . Odp: H : 3x1 + 9x2 - 2x3 +19 = 0.
- x2 + x3 +1 = 0 1 -1 - 3
2x1
x1 - x2 + 2x3 - 2 = 0
x1 - 2 x2 - 3 x3
b) L1 :
2x - x2 + 3x3 - 3 = 0 i L2 : 1 = = . Odp: H : 4x1 - x2 + 5x3 -5 = 0.
-1 -1
1
x1 -1 x2 - 3 x3 + 2
11.Znależć równanie płaszczyzny zawierającą prostą L1 : = = i równoległą do
3 2 -1
2x1 - x2 + x3 - 3 = 0
prostej L2 : . Odp: H :13x1 -14x2 +11x3 + 51 = 0
+ 2x2 - x3 - 5 = 0
x1
x1 -1 x2 x3
.12.Znależć rzut prostopadły punktu A = (1,2,8) na prostą L : = = . Odp:
2 -1 1
A' = (3,-1,1) .
13.Znależć rzut prostopadły punktu A = (1,2,-1) na prostą przechodzącą przez punkty B = (0,1,1) i
C = (1,2,3) . Odp: A'= (-1 3,2 3,1 3).
14.Znależć punkt symetryczny do punktu A = (5,1,1) względem płaszczyzny H : 3x1 - 2x2 + x3 = 0.
Odp: A' = (-1,5,-1).
15.Znależć punkt symetryczny do punktu A = (2,-7,10) względem płaszczyzny przechodzącej przez
punkt P = (3,2,2) i prostopadłej do wektora w = [1,-3,2]. Odp: A'= (-4,11,-2).
LITERATURA
T.Jurlewicz, Z.Skoczylas:Algebra i geometria analityczna (definicje,
twierdzenia,wzory),OWGiS.
T. Jurlewicz, Z. Skoczylas: Algebra i geometria analityczna (przykłady i zadania), OWGiS.
R. Leitner, Zarys matematyki wyższej, część I i II, 1994
R. Leitner, J. Zacharski, Zarys matematyki wyższej, część III, 1994
J. Gawinecki, Matematyka dla informatyków, część I i II, 2003
R. Leitner, M. Matuszewski, Z. Rojek, Zadania z matematyki wyższej, część I i II, 1998
W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, część I i II, 2002
Z. Domański, J. Gawinecki, Algebra w zadaniach, skrypt WAT, 1989
Wprowadzenie do matematyki wyższej
Ciągi liczbowe
1.Zbadać monotoniczność i ograniczoność ciągu:
a) an = n + 2 - n + 5. Odp: monotonicznie rosnący i ograniczony.
n +1
b) an = Odp: nie jest monotoniczny i jest ograniczony.
3n -8
2n
c) an = Odp: monotonicznie nierosnący i ograniczony.
n!
d) an = (-1)n n Odp: nie jest monotoniczny i nie jest ograniczony.
3n2 + 5n - 3
e) an = Odp: rosnący i ograniczony.
n2 + 2n
nn
f) an = Odp: rosnący i ograniczony z dołu.
n!
2*.Korzystając z definicji granicy ciągu wykazać, że
2n -1
a) lim = 2; b)lim( n +1 - n) = 0; c) lim(1- n) = -Ą ;
nĄ nĄ nĄ
n +1
2n + 3 2 n2 +1
d) lim = ; e) lim = +Ą;
nĄ nĄ
3n - 4 3 n
3.Obliczyć granicę ciągu
n3 - 2n2 +1 1 43n + 2 4n 2
a) lim(n3 - 2n2 +1) . Odp: Ą. b) lim Odp: c) lim . Odp: - ;
nĄ nĄ nĄ
3n2 + 2n + 5. 3 5(-2)n - 3 4n 3
n
1 3n +1
d) lim( n -1 - n + 2). Odp: 0. e) lim( 4n2 - 2n + 3 - 2n).Odp: - f) limć .Odp: 0.
nĄ nĄ nĄ
2. 7n - 2
Ł ł
1 3 4n - 5(-3)n 3 5n - 2
g) lim( 9n2 + 2n - 3n) Odp: ; h) lim Odp: ; i) lim( )2n+3 Odp: 0;
nĄ nĄ nĄ
3 43n + 2 4n 2 7n -1
n
3n-2
2
2n -1 ć
3n2 + 2n - 4 1+ 3+ 7 + + 3n - 2 3
j) limć .Odp: e-6. k*) lim Odp: e3 ; l) lim .Odp:
nĄ nĄ nĄ
2n + 3 3n2 -1 n2 2
Ł ł
Ł ł
n - 3 1+ 2 + 3+...+ n 1
m) lim( )2n+1 Odp: e-10; n) lim Odp: ;
nĄ nĄ
n + 2 n2 2
1 1 1
1+ + + +
ć
1 1 1
2 4 2n Odp: 4 ; p)
o) lim lim + + + Odp: 1;
nĄ nĄ
1 1 1
3
n2 +1 n2 + 2 n2 + n
Ł ł
1+ + + +
3 9 3n
n
n
r) lim 3n + sin n Odp:1; s) lim 3n + 24n + 5n Odp: 5; t) lim 24n + 36n Odp: 6;
nĄ nĄ nĄ
4*) Wykazać, że istnieje granica ciągu określonego rekurencyjnie
1 3
a) a1 = 6,...,an+1 = 6 + an Odp: 3; b) a1 = 2,..., an+1 = (an + ) Odp: 3 ;
2 an
Szeregi liczbowe
1.Korzystając z definicji zbadać zbieżność szeregu
Ą Ą
1
a)
(2n -1)(2n +1) Odp: zbieżny do 1 ; c) ln(1+ 1) Odp: rozbieżny;
2 n
n=1 n=1
Ą Ą
d)
(- 2)n Odp: zbieżny do - 1 ; e) ( 2n + 3 - 2n +1) Odp: rozbieżny;
3 2
n=1 n=1
2.Sprawdzić warunek konieczny zbieżności szeregu i wyciągnąć wniosek
Ą Ą
a)
ln(1+ 1) Odp: może być zbieżny; b) ( 2n + 3 - 2n +1) Odp: może być zbieżny;
n
n=1 n=1
Ą Ą
c) n2 +1 - n2 -1) Odp: rozbieżny; d)
n( nsin 1 Odp: rozbieżny;
n
n=1 n=1
3.Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność szeregu
Ą Ą Ą
2n + 5 +1 1
g) Odp: rozbieżny h)
3n 2n3n +1 Odp: zbieżny i)nsin n2 Odp: rozbieżny;
3
n2 + 3n +1 -
n=1 n=1 n=1
Ą Ą Ą
1 1 1 1 1
j) ln(1+ ) Odp: zbieżny l) sin Odp: zbieżny;
tg n2 Odp: zbieżny; k)
n n n n
n=1 n=1 n=1
2 p p 4 p
{ sin x Ł x dla x ł 0; sin x ł dla x [0, ]; tgx ł x dla x [0, ) ;tgx Ł x dla x [0, ];
p 2 2 p 4
ln x Ł x -1dla x ł 0; ln(1+ x) Ł x dla x ł 0; }
4.Korzystając z kryterium d Alemberta lub kryterium Cauchyego zbadać zbieżność szeregu.
an+1
Jeśli g = lim oraz a) g < 1, to zbieżny bezwzględnie; b) g > 1, to rozbieżny.
an an
nĄ
an
n
Jeśli g = lim an oraz a) g < 1, to zbieżny bezwzględnie; b) g > 1, to rozbieżny.
an an
nĄ
n
Ą Ą Ą
(2n)! (n!)2
n+1
a) Odp: zbieżny; c)
3nn! Odp: zbieżny; b) (-1) (2n)! Odp: zbieżny bezwgl.
n
n2n
n=1 n=1 n=1
Ą Ą Ą
n2n
n
d)
(-1) 4n(n!)2 Odp:rozb.; e)((n +1)2n Odp: zb.; f) n21 Odp: zbieżny;
2n2 +1)n
n=1 n=1 n=1
(2 + )n
n
Ą Ą Ą
2 2
n +
n n
g)
(-1) (n + 3)n Odp: rozb.; h) (-1) (nn )n 2n Odp: zb. bezwgl.; i) (arcsin 1)n ;
2 +1 n
n=1 n=1 n=1
5.Zbadać zbieżność bezwzględną i warunkową szeregu
Ą Ą Ą
2n (-1)n
n n
a) Odp: zb.bezwgl.; c)
(-1) 1+ n2 Odp: zb.war.; b) (-1) (n2n )n Odp: rozb.;
nln2 n +1
n=1 n=2 n=1
Ą Ą Ą
(-1)n+1 (-1)n+1
n
d) Odp: zb.war. e) Odp: zb.war.;
(-1) ln n Odp: zb. war.; f)
n
n ln n
n=2 n=1 n=1 n2 + 2n
Ą Ą Ą
(-1)n n!
n n
g) Odp: zb.war.; h)
(-1) 4n Odp: rozbieżny; i) (-1) sin 1 Odp: zb.war.;
nln n n
n=2 n=1 n=1
6.Wyznaczyć przybliżoną wartość sumy szeregu z dokładnością 0,01, gdy
n+1 n+1
Ą Ą
1
a)
(-n) Odp: S S9 = 0,83 ; b) (-1) Odp: S S4 = 0,40 ;
2
n2n
n=1 n=1
Ą
n+1
c)
(-1) 2n Odp: S S7 = 0,87;
n!
n=1
Granica i ciągłość funkcji
1.Korzystając z definicji granicy w sensie Heinego obliczyć
x +1 -1 1 -1 1
a) lim Odp: b) lim Odp: - Ą c) lim Odp: + Ą
x0 x1
x2+
x 2 (x -1)2 x - 2
1
x2 - 4
d) lim Odp: 4 e) lim ex-1 Odp: + Ą f) lim (2-x +1) Odp: 1
x2 x+Ą
x1+
x - 2
2. Korzystając z definicji granicy w sensie Heinego wykazać , że nie istnieje granica
1
1 1
a) lim sin x b) lim 2x-1 c) lim d) lim arctg
+
x+Ą x1 xp x0
sin x x
3.0bliczyć granice funkcji
1 3 1 1- cos x 1
a) limć - Odp: -1 b) lim x( x2 +1 - x) Odp: c) lim Odp:
x1 x+Ą x0
2 x2 2
Ł1- x 1- x2 ł
5 x + 4 - 2 1 tg2x 2
d) lim ( x2 - 2x -1 - x2 - 7x) Odp: e) lim Odp: f) lim Odp:
n+Ą x0 x0
2 sin 5x 20 sin 5x 5
sin 3x 3x - 2sin 2x 1 3x - 2sin 2x 3
g) lim Odp: - 9 h) lim Odp: - i) lim Odp:
x0 x0 x+Ą
4x + 3sin 3x 13 4x + 3sin 3x 4
3- 2x + 9
1- x2 2 sin x 1- x p e3x -1 3
j) lim Odp: k) lim Odp: -1 l) lim arcsin Odp: - n) lim 0dp:
x1 xp x+Ą x0
sinpx p x -p 1+ x 2 sin 2x 2
x
x+1 2x2+1
2
2x + 3 ć x
3x2 + 2x -1
ć ć
o) lim Odp: e p*) lim Odp: e3 r) lim 0dp: 0
x+Ą x+Ą x+Ą
2x +1 3x2 + 2 x + 3
Ł ł Ł ł
Ł ł
1 1 1 p
s) lim Odp: 0 t) lim Odp:1 u) lim arctg Odp:
x0+ 1 x0- 1 x1-
1- x 2
1+ ex 1+ ex
1 p 2 2
v) lim arctg Odp: - w) lim Odp: 0 z) lim Odp: 2
- +
x1+ p p
1- x 2 1+ 2tgx 1+ 2tgx
x x
2 2
4.Zbadać ciągłość funkcji
2x dla x (-Ą;1) dla x (-Ą;0)
1- x2
x2
a) f (x) = -1 dla x [1;2] b) f (x) = -1)2 dla x [0;2)
(x
6x-1 dla x (2;+Ą) 4 - x dla x [2;+Ą)
Odp: w punkcie x0 = 1ciągła lewostronnie Odp: w punkcie x0 = 2 ciągła prawostronnie
p
cos x dla
x2 + x4
x [-1;1]
dla x ą 0
c) f (x) = d) f (x) =
2
x
x -1 dla x (-Ą;-1) (1;+Ą)
1 dla x = 0
Odp: w punkcie x0 = -1ciągła prawostronnie Odp: w punkcie x0 = 0 ciągła prawostronnie
x + 3
dla x ą -3 Ł x ą 2
1- cos x
dla x ą 0
x2 + x - 6
e) f (x) = f) f (x) =
x2
1
1 dla x = 0
- dla x = -3 x = 2
5
Odp: nieciągła w punkcie x = 2. Odp: nieciągła w punkcie x=0
5.Wykazać , że równanie ma w przedziale co najmniej jeden pierwiastek , gdy
a) x3 -3x +1 = 0 dla x (1;2) b) x5 -3x -1 = 0 dla x (1;2)
6.Wyznaczyć asymptoty funkcji
x3 x
a) f (x) = b) f (x) = x2 +1 c) f (x) = arctg
(x +1)2 1- x
Odp: asymptota pionowa obustronna Odp: asymptota ukośna w Odp: asymptota pozioma
o równaniu x = -1; asymptota (-Ą) o równaniu y = -x równaniu y = -0,25p ;
ukośna o równaniu y = x - 2 oraz w o rów. y = x f (1-) = 0,5p Ł f (1+) = -0,5p
(+Ą)
1 1
d) f (x) = e) f (x) = x -
ex -1
x
Odp: asymptota pionowa obustronna o równaniu Odp: asymptota pionowa prawostronna
x = 0;asymptota pozioma w (-Ą) o rów: y = -1 o równaniu x = 0; asymptota ukośna
oraz w (+Ą) o rów: y = 0 w (+Ą) o równaniu y = x
Pochodne funkcji
1.Korzystając z definicji obliczyć pochodną funkcji w punkcie
1
ó ó
a) f (x) = cos 2x ; x R Odp: f (x) = -2sin 2x b) f (x) = ln x ; x (0;Ą) Odp: f (x) =
x
2 1 1
ó ó
c) f (x) = 4x +1; x0 = 2 Odp: f (2) = d) f (x) = ; xo = 1 Odp: f (1) = -
3 x + 2 9
1 1
x2 - x dla x (-Ą;1)
1
ó ó ó
e) f (x) = ; x0 = 1 Odp: f (1) = f-(1) = f+ (1) =
2 2
2
x -1 dla x [1;+Ą)
2.Obliczyć pochodną funkcji
2
a) f (x) = x5 + 3x3 + x-3 + 2 b) f (x) = tgx - ctgx + 4ln x c) f (x) = x-2ex
1
-
1 x - 2
3
ó ó ó
Odp: f (x) = 5x4 + x - 3x-4 Odp: f (x) = 4( +1) Odp: f (x) = ex
sin2 2x x3
ln x sin x - cos x
d) f (x) = ln xarcsin x e) f (x) = f) f (x) =
1+ x2 sin x + cos x
arcsin x ln x 1+ x2 - 2x2 ln x 2sin 2x
ó ó ó
Odp: f (x) = + Odp: f (x) = Odp: f (x) =
x x(1+ x2)2 1+ sin 2x
1- x2
g) f (x) = arctg x h) f (x) = cos3 x i) f (x) = esin x
1
ó ó ó
Odp: f (x) = Odp: f (x) = -3cos2 xsin x Odp: f (x) = cos x esin x
2 x(1+ x)
1+ x
j) f (x) = ln k) f (x) = arctg(x - 1+ x2 ) l) f (x) = xsin x
1- x
2 1 sin x
ó ó ó
Odp: f (x) = Odp: f (x) = Odp: f (x) = xsin x(cos xln x + )
x2 -1 2(1+ x2) x
3.Obliczyć pierwszą i drugą pochodną funkcji
x x
a) f (x) = x 1- x2 + arctg b) f (x) = ln(x + x2 +1) c) f (x) = arctgx - arcsin
1- x2 1+ x2
1
ó ó ó
Odp: f (x) = 2 1- x2 Odp: f (x) = Odp: f (x) = 0
x2 +1
1 x
d) f (x) = xx e) f (x) = x 2 - x2 + arcsin f) f (x) = x-2ex
2
2
1 (x - 2)(x - 3)
óó ó óó
Odp: f (x) = xx[(ln x +1)2 + ] Odp: f (x) = 2 - x2 Odp: f (x) = ex
x x4
4.Wykazać, że funkcja u = u(x) spełnia równanie różniczkowe
2
2
1 1- e-x ó
ó
a) u(x) = ln ; xu +1 = eu b)u(x) = ; xu + 2u = e-x
1+ x 2x2
1
-
x
óó ó óó ó
c) u(x) = xe ; x3u - xu + u = 0 d) u(x) = ex sin x ; u - 2u + 2u = 0
5.Znalezć równanie stycznej do krzywej y = f (x)
w punkcie o odciętej xo gdy
8
a) f (x) = ; xo = 2 Odp: x + 2y - 4 = 0 b) f (x) = x + cos x x0 = p Odp: y = x -1
;
4 + x2
x -1 1 1- x
c) f (x) = arcsin ; xo = 1Odp: y = (x -1) d) f (x) = arctg ; xo = 1Odp: y = -x +1
2 2 1+ x
6.Znalezć różniczkę funkcji df w punkcie x na przyroście argumentu dx gdy
1- x2 4x
a) f (x) = ln dla x (-1:1) Ł dx R Odp: df (x;dx) = dx
1+ x2 x4 -1
2
b) f (x) = x2 + 5 dla xo = 2 Ł dx R Odp: df (2;dx) = dx
3
c) f (x) = arctgx dla xo = -1Ł dx = -0,1 Odp: df (-1: -0,1) = -0,05
7.Obliczyć przyrost funkcji Df i różniczkę funkcji df w punkcie xo na przyroście argumentu dx , gdy
1
a) f (x) = 1+ x3 dla xo = 2 Ł dx = 0,2 b) f (x) = dla xo = -1Ł dx = -0,1
1+ x2
Odp; Df (xo;dx) = f (xo + dx) - f (xo) = 0,41 Odp: Df (xo;dx) = f (xo + dx) - f (xo) = - 0,0475
' '
df (xo;dx) = f (xo)dx = 0,4 df (xodx) = f (xo)dx = -0,05
8.Korzystając z różniczki obliczyć przybliżone wartości liczb
3
a) 8,02 Odp: 2,002 b) e0,03 Odp: 1,03 c) arctg0,96 Odp: 0,765
d) ln 0,97 Odp:-0,03 e) sin 31o Odp: 0,515 f) arcsin 0,54 Odp: 0,57
9.Korzystając z reguły de l Hospitala obliczyć granice
x - arctgx 1 1 1 p 2
a) lim Odp: 0 b) limć - Odp: c)lim(1- x)tg x Odp:
x0 x1 x1
x2 ln x x -1ł 2 2 p
Ł
2
-
1 1 1 2
p
d) lim x2 ln x Odp: 0 e) limć - Odp: f) lim ( arctgx)x Odp: e
x0+ x0 x+Ą
x ex -1ł 2 p
Ł
1 1
1 2 1
g) lim (ctgx)ln x Odp: h) lim xsin x Odp: 1 i) lim(cos 2x)x Odp:
x0+ x0+ x0
e e2
10..Zapisać wzór Taylora (z resztą Lagrangea) dla funkcji
1
a) f (x) = w punkcie xo = -2 i dla n = 4
x + 4
1 1 1 1 1 1
Odp: = - (x + 2) + (x + 2)2 - (x + 2)3 + (x + 2)4 dla x (-4;+Ą)
x + 4 2 4 8 16 [2 +J(x + 2)]5
3
b) f (x) = x4 w punkcie xo = 1 i dla n = 4
4 2 4 5 1
3
Odp: x4 = 1+ (x -1) + (x -1)2 - (x -1)3 + (x -1)4 dla x -Ą,+Ą)
3
3 9 81 243
[1+q (x -1)]8
11.Obliczyć bezwzględny błąd przybliżenia funkcji wielomianem w podanym przedziale
1 1 1 1 1
a) 1+ x 1+ x - x2 dla x [0,1] Odp: R3(x,0) = x3 Ł dla x [0,1]
2 8 16
(1+qx)5 16
4
1 1 1 1 1 1 1
b) cos x 1- x2 dla x Ł Odp: R4(x,0) = cos(qx) x4 Ł 1ć = dla x Ł
2 2 4! 24 2 384 2
Ł ł
12.Korzystając ze wzoru Taylora obliczyć przybliżoną wartość liczby i oszacować błąd przybliżenia
1 1 1 1 1 3
a) 4,5 dla n = 4 ; Odp : 4,5 2 + 0,5 - 0,52 + 0,53 2,121338
1! 4 2! 32 3! 256
150,54
R4(4,5;4) = Ł 1,910-5
4!16 (4 + 0,5q )7
1 1 2 6
b) ln1,1 dla n = 5; Odp: ln1,1 0 + 0,1- 0,12 + 0,13 - 0,14 = 0,0953083
1! 2! 3! 4!
24 1
R4(1,1;1,0) = 0,15 Ł 0,000002 (ln1,1=0,0953102 kalkulator)
5! (1+ 0,1q )5
1 1 1
c) sin 0,3 dla n = 6; Odp: sin 0,3 0,3- 0,33 + 0,35 = 0,29552025
1! 3! 5!
sin(0,3q )
R6(0,3;0) = 0,36 Ł 3107 [ bo sin(0,3q) Ł 0,3) ] (sin 0,3 = 0,29552021)
6!
1 1 1 1 1 1
d) dla n = 5; Odp: = 1+ (-0,25) + (-0,25)2 + (-0,25)3 + (-0,25)4 0,7788086
4 4
1! 2! 3! 4!
e e
e-0,25q 0,255 1
R5(-0,25;0) = 0,255 Ł = 8,1106 (4 = e-0,25 = 0,7788008 - kalkulator)
5! 5!
e
13.Zbadać monotoniczność i wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f gdy
1
1 1 1 1
a) f (x) = x2ex Odp: fmin = f ( ) = e2 ; maleje w (-Ą,0) i (0, ) , rośnie w ( ,+Ą) .
2 4 2 2
3
2 4 2 2
3
b) f (x) = x2(x -1) Od. fmin = f ( ) = , fmax = f (0) = 0 ;mal.w (0, ) ,roś. w (-Ą,0) i ( ,Ą)
3 3 3 3
c) f (x) = xln2 x Odp: fmin = f (1) = 0, fmax = f (e-2) = 4e-2; maleje w (e-2,1) rośnie
w (0,e-2) i(1,+Ą) .
d) f (x) = arctgx - x Odp: brak ekstremum; maleje w (- Ą,+Ą) .
14.Korzystając z drugiego warunku dostatecznego zbadać czy funkcja f ma ekstremum w punkcie xo :
a) f (x) = 2ln x - x dla xo = 2 Odp: fmax = f (2) = 2ln 2 - 2
b) f (x) = 2cos x + x2 dla x0 = 0 Odp: fmin = f (0) = 2
1
c) f (x) = 2ln x - x + dla xo = 1 Odp: brak ekstremum
x
15.Wyznaczyć najmniejszą największą wartość funkcji f w danym przedziale
a) f (x) = x - 33 x dla x [-1,8] Odp: fmin = f (8) = -5Ł fmax = f (0) = 1
1- x 1
b) f (x) = arctg dla x [0,1] Odp: fmin = f (1) = 0 Ł f (0) = p
1+ x 4
c) f (x) = x2 ln x dla x [1,e] Odp: fmin = f (1) = 0 Ł fmax = f (e) = e2
15.Wyznaczyć punkty przegięcia oraz przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji
1
-
1 1 1
x
a) f (x) = e Odp: f = f ( ) = e-2; wypukła w (-Ą,0) i (0, ) , wklęsła w ( ,+Ą) .
p
2 2 2
3 3 3
- - -
3
2 2 2
b) f (x) = x2 ln x Odp: f = f (e ) = - e-3; wklęsła w (0,e ) , wypukła w (e ,+Ą) .
p
2
c) f (x) = x 4 - x2 Odp: fp = f (0) = 0; wypukła w [-2,0), wklęsła w (0,2].
1
d) f (x) = arcsin Odp: brak punktów przegięcia; wklęsła w (-Ą,-1) , wypukła w .
(1,+Ą)
x
16..Zbadać funkcję i narysować wykres
1
1
a) f (x) = (x - )ex .Odp: asymptota pionowa prawostronna: x = 0, asymptota ukośna w ( - Ą ) i
4
3 1 1 1
( + Ą) : y = x + ; rosnąca w (-Ą,0) (0,+Ą); f = f ( ) = e2, wklęsła w (-Ą,0) (0, ) ,
i i
p
4 2 4 2
1
wypukła w ( ,+Ą).
2
ln x
b) f (x) = Odp: asymptota pionowa prawostronna: x = 0, asymptota ukośna w (+Ą) : y = 0;
x
8 4
-
2 8
3
fmax = f (e2) = , rosnąca w (0,e2), malejąca w (e2,+Ą); f = f (e3 ) = e ,
p
e 3
8 8
wklęsła w (0,e3 ) , wypukła w (e3,+Ą).
1- x2 p p
c) f (x) = arcsin Odp: asymptota pozioma w (-Ą) i (+Ą) : y = - ; fmax = f (0) = ostrze,
1+ x2 2 2
rosnąca w (-Ą,0), malejąca w (0,+Ą); wypukła w (-Ą,0) i (0,+Ą).
1
x
d) f (x) = xe Odp: asymptota pionowa prawostronna: x = 0, asymptota ukośna w (-Ą) i (+Ą) :
y = x +1; fmin = f (1) = e, rosnąca w (-Ą,0) i (1,+Ą), malejąca w(0,1); wklęsła w (-Ą,0),
wypukła w (0,+Ą).
ln x
e) f (x) = Odp: asymptota pionowa prawostronna: x = 0, asymptota pozioma w (+Ą) : y = 0;
x
3 3 3
-
1 3
2
fmax = f (e) = , rosnąca w(0,e), malejąca w(e,+Ą); fp = f (e2 ) = e , wklęsła w (0,e2 ),
e 2
3
wypukła w (e2 ,+Ą).
1 1 1
f) f (x) = x + arcctgx Odp: asymptota ukośna w (-Ą) : y = x + p i (+Ą) : y = x ;
2 2 2
1 3 1 1
fmax = f (-1) = - + p , fmin (1) = + p , rosnąca w (-Ą,-1) i (1,+Ą), malejąca w (-1,1) ;
2 4 2 4
p
f = f (0) = , wklęsła w (-Ą,0), wypukła w (0,+Ą).
p
2
Literatura podstawowa:
M.Gewert, Z. Skoczylas: Analiza matematycznaI (definicje, twierdzenia,wzory), OWGiS.
M.Gewert, Z. Skoczylas: Analiza matematycznaI (przykłady i zadania), OWGiS.
R. Leitner, Zarys matematyki wyższej, część I i II, 1994
R. Leitner, J. Zacharski, Zarys matematyki wyższej, część III, 1994
J. Gawinecki, Matematyka dla informatyków, część I i II, 2003
R. Leitner, M. Matuszewski, Z. Rojek, Zadania z matematyki wyższej, część I i II, 1998
W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, część I i II, 2002
Literatura uzupełniająca:
W. Leksiński, J. Nabiałek, W. Żakowski, Matematyka. Definicje, twierdzenia, przykłady, zadania, 1992
W. Stankiewicz, Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych, część I, 1995
W. Stankiewicz, J.Wojtowicz, Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych, część II, 1995
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
ALGEBRA Z GEOMETRIA I SEMESTRAlgebra z geometria zadania87 Omow znaczenie czynnika geometrycznego dla przeplywu krwiAlgebra z geometria wRyszard R Andruszkiewicz Wykłady z algebry liniowej dla inżynierówzadania z algebryZadania Algebra Liniowa 2 seriazadania przygotowawcze matematyka i stopien i semestr 2010mech zadanie nr 32 dla mnieWstęp do algebry i geometriiPrzykładowe zadania na zaliczenie matematyki z semestru 1 z rozwiązaniamiwięcej podobnych podstron