Zestawy zadań z ALGEBRY
Opracowa : Andrzej WALENDZIAK
Zestaw 1
W asności dzia ań
1. Ile r żnych dzialań można określić w dowolnym zbiorze jednoelemen-
towym?
2. Wykaż, że w zbiorze dwuelementowym można określić 16 r żnych dzialań.
Napisz tabliczki tych dzialań.
3. Ile r żnych dzialań można określić w zbiorze n-jednoelementowym?
4. Czy dodawanie jest dzialaniem w zbiorze {-1, 0, 1}? A mnożenie?
5. Napisz tabliczki dodawania modulo 5 i mnożenia modulo 5 w zbiorze
Z5 = {0, 1, 2, 3, 4}.
6. Udowodnij, że dodawanie, mnożenie i odejmowanie liczb sa dzialaniami
" "
w zbiorze ( 2) = {a + b 2 : a, b " }.
7. Podaj przyklad przyporzadkowania, kt re nie jest dzialaniem.
8. Dane sa nastepujace dzialania:
(i) : , n m = nm;
a+b
(ii) : , a b = , gdzie + oznacza zwykle dodawanie w
2
zbiorze liczb wymiernych;
(iii) NWD : , (a, b) " NWD(a, b);
(iv) ć% : , m ć% n = m.
Wykaż, że:
(a) dzialania i NWD sa przemienne, natomiast oraz ć% nie sa prze-
mienne;
(b) dzialania NWD i ć% sa laczne, ale i nie sa laczne;
(c) podane dzialanie nie maja element w neutralnych.
9. W zbiorze liczb wymiernych definiujemy dwa dzialania: a •" b = a + b + 1,
a b = ab + a + b. Udowodnij, że dzialania te sa przemienne, laczne, maja
elementy neutralne. Wykaż, że dzialanie jest rozdzielne wzgledem •", ale
•" nie jest rozdzielne wzgledem .
1
10. Niech Zn = {0, 1, . . . , n-1}. Wykaż, że dzialanie ·n (mnożenie modulo n)
jest przemienne, laczne, ma element neutralny. W przypadku n = 8 wyznacz
elementy odwrotne dla element w odwracalnych.
Zestaw 2
Przyk ady grup. Grupy permutacji.
Najprostsze w asności grupy
1. Kt re z nastepujacych zbior w sa grupami wzgledem dodawania liczb:
(a) , (b) , (c) , (d) {kn : k " }, gdzie n jest ustalona liczba natu-
ralna.
2. Kt re z poniższych zbior w sa grupami wzgledem mnożenia liczb:
"
(a) , (b)  zbi r liczb rzeczywistych r żnych od zera,
+
(c)  zbi r liczb rzeczywistych dodatnich, (d) {x " : 0 d" |x| d" 1},
(e) {z " : |z| = 1}, (f) {-1, 1}.
3. Kt re z nastepujacych zbior w przeksztalceń plaszczyzny tworza grupe
przeksztalceń:
(a) zbi r podobieństw, (b) zbi r wszystkich obrot w,
(c) zbi r przesunie ć, (d) zbi r podobieństw o skali e" 1.
4. Wykaż, że nastepujace zbiory macierzy tworza grupe wzgledem mnożenia
macierzy: (a) GL(n, K), (b) SL(n, K), (c) D(n, K),
(d) {A " Mn(K) : A-1 = AT },gdzie K jest dowolnym cialem.
5. Wyznacz grupe izometrii wlasnych:
(a) prostokata (nie bedacego kwadratem),
(b) kwadratu, (c) tr jkata r wnobocznego.
6. Sprawdz
, czy zbi r liczb calkowitych tworzy grupe wzgledem dzialania ć%
zdefiniowanego wzorem: a ć% b = a + b + 2.
"
7. Udowodnij, że zbi r z dzialaniem (a, b) (c, d) = (ac, ad + b) jest
grupa. Czy jest to grupa abelowa?
8. Dana jest grupa (G, ·, e) taka, że ("a " G) a2 = e. Udowodnij, że G jest
grupa abelowa.
9. Niech (G, ·, 1) bedzie grupa. Wykaż, że
("a " G)("m, n " ) (am)n = amn.
2
10. Dany jest zbi r Bn = {(a1, . . . , an) : ai " {0, 1} dla i = 1, . . . , n}.
Udowodnij, że Bn jest grupa ze wzgledu na dzialanie :
(a1, . . . , an) (b1, . . . , bn) = (a1 +2 b1, . . . , an +2 bn).
123456 123456 123456
11. Dane sa permutacje à = , Ä = , Á = . Wyznacz
264135 326514 653412
permutacje: ÃÄ, ÄÁ, ÃÄÁ, Ã-1ÄÁ-1, a nastepnie każda z nich rozl ż na cykle
rozlaczne.
12. Nastepujace permutacje przedstaw w postaci iloczynu transpozycji:
12345678
(a) , (b) (1, 2, 3)(2, 5, 4)(1, 3, 6)(2, 3).
28367451
13. W zbiorze permutacji liczb: 1, 2, 3, 4, 5, 6 rozpatrujemy cykle: Ã1 =
(1, 3, 6, 4), Ã2 = (2, 4, 5), Ã3 = (1, 2, 4, 6), Ã4 = (3, 4, 5). Wyznacz permu-
tacje Ã1Ã2Ã3, Ã3Ã1Ã4, Ã1Ã4Ã2Ã-1, a nastepnie każda z nich rozl ż na cykle
3
rozlaczne.
14. W grupie S5 rozwia ż r wnania:
12345 12345
(a) x = ;
52143 35124
-1
12345 12345 12345
(b) x = .
54132 41253 24153
15. Sprawdz
, czy permutacja à " S5 jest parzysta, czy też nieparzysta:
12345678 12345678
(a) Ã = , (b) Ã = .
32751468 61387254
Zestaw 3
Podgrupy. Zbi r generator w grupy
1. Sprawdz
, czy zbi r {(0, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1), (1, 1, 1, 1)} jest pod-
grupa grupy Bn (patrz zad. 10 z zestawu 2).
2. Sprawdz
, czy nastepujace zbiory tworza podgrupe grupy ( , +, 0) : a) ,
"
+
b) , c) , d) [ 2], e) .
3. Wyznacz wszystkie podgrupy grupy izometrii wlasnych:
(a) tr jkata r wnobocznego, (b) kwadratu.
4. Niech V bedzie niepustym zbiorem, a A jego niepustym podzbiorem.
Wykaż, że H = {f " S(V ) : ("a " A) (f(a) = a} jest podrupa grupy
symetrii S(V ).
5. Wykaż, że jeÅ›li H d" G i a " G, to a " H Ô! aH = Ha = H.
6. Wyznacz wszystkie podgrupy grup i .
8 12
3
7. Sprawdz
, czy zbi r H wszystkich ciag w arytmetycznych o wyrazach
"
rzeczywistych jest podgrupa grupy .
8. Niech dana bedzie grupa (G, +, 0) i niech G = a, b . Opisz elementy
grupy G.
9. Sprawdz
, że żadna z nastepujacych grup nie jest cykliczna, natomiast
każda jest generowana przez pewien zbi r 2-elementowy:
(a) D3, (b) , (c) SL(2, ).
8 2
10. Wskaż n-elementowy zbi r generator w grupy Bn z zestawu 2.
Zestaw 4
Warstwy. Rzad elementu grupy
1. Wyznacz warstwy grupy G wzgledem podgrupy H, gdy
(a) G = , H = 6 , (b) G = , H = {0, 3, 6, 9},
12
" +
(c) G = , H = , (d) G = , H = .
2. Wyznacz warstwy lewostronne i prawostronne grupy G wzgledem pod-
grupy H, gdy
(a) G = S3, H = {id, (1, 2)}, (b) G = , H = {-1, 1}.
8
3. (a) Grupa S3 ma 6 podgrup. Wyznacz indeks każdej z nich.
(b) Grupa ma 6 podgrup. Wyznacz indeks każdej z nich.
8
(c) Grupa D4 ma 10 podgrup. Wyznacz indeks każdej z nich.
4. Oblicz nastepujace indeksy: (a) ( : n ), (b) (GL(n, ) : SL(n, )),
(c) (GL(n, ) : SL(n, )).
5. Sprawdz
, czy podane warstwy sa r wne, czy rozlaczne:
(a) w grupie warstwy 11 + 15 oraz 5 + 15 ,
(b) w grupie warstwy 12 17 oraz 63 + 17 ,
"+ "
" " "
(c) w grupie warstwy 2 oraz 3 ,
" " "
(d) w grupie warstwy (1 - i) oraz (1 + i) .
6. Wykaż, że jeśli G jest grupa skończona oraz H1 ą" H2, gdzie H1, H2 "
SubG, to (G : H1) = (G : H2)(H2 : H1).
7. W grupie S4 oblicz rzedy element w: (a) Ã = (1, 3, 4), (b) Ã = (1, 2, 3, 4).
8. Wyznacz rzedy element w grupy G : (a) G = D4, (b) G = ,
8
(c) G = , (d) G = , (e) G = µ5.
6
4
9. Udowodnij, że w dowolnej grupie G, rz(a-1) = rz(a) dla a " G.
Zestaw 5
Homomorfizmy, endomorfizmy i automorfizmy grup
1. Sprawdz
, czy dana funkcja jest homomorfizmem grup:
"Õ
" " 3
(a) Õ : , Õ(x) = x, (b) Õ : , Õ(z) = |z| ,
" "
(c) Õ : , Õ(x) = 4x.
2. Sprawdz
, że podane odwzorowania h : G1 G2 sa homomorfizmami.
Wyznacz kerh oraz Imh.
" +
(a) G1 = , G2 = , h(x) = |x| ,
"
(b) G1 = , G2 = {-1, 1}, h(x) = sgn(x),
+ " "
(c) G1 = , G2 = , h(x) = log x, (d) G1 = , G2 = , h(x) = x2.
3. Sprawdz
, kt re z nastepujacych odwzorowań f : jest endomor-
fizmem grupy :
(a) f(x) = 3x, (b) f(x) = 3x + 1, (c) f(x) = x2, (d) f(x) = 1.
4. Wykaż, że podane grupy G1 i G2 sa izomorficzne:
(a) G1 = ( , "), gdzie a " b = a + b - 3 dla a, b " , G2 = ,
a b
"
(b) G1 = : a, b " , · , G2 = .
-b a
5. Niech Õ : (G, ·) (F, +) bedzie homomorfizmem grup i niech H " SubG.
Wykaż, że Õ(H) jest podgrupa grupy F.
6. Przeksztalcenie Èa : dane jest wzorem: Èa(x) = ax (gdzie a jest
ustalona, r żna od zera, liczba wymierna). Wykaż, że:
" "
<"
(a) Èa " Aut , (b) Aut = {Èa : a " }, (c) Aut .
=
7. Niech Õa, a " G beda automorfizmami wewnetrznymi grupy G. Wykaż, że
odwzorowanie h : G AutwG dane wzorem h(a) = Õa jest epimorfizmem.
8. Udowodnij, że nie istnieje homomorfizm grupy na grupe .
Zestaw 6
Podgrupy normalne. Grupy ilorazowe.
Twierdzenie o izomorfiz
mie
1. Wyznacz wszystkie podgrupy grupy S3. Kt re z nich sa dzielnikami nor-
malnymi?
5
2. Sprawdz
, czy podzbi r H jest podgrupa normalna grupy S4: (a) H =
{id, (1, 2)}, (b) H = {id, (1, 3), (1, 4), (3, 4), (1, 3, 4), (1, 4, 3)}.
3. Wyznacz wszystkie podgrupy normalne w grupach: (a) D4, (b) .
16
4. Sprawdz
, czy dany zbi r H jest podgrupa normalna grupy G = GL(n, ):
(a) H = {In, -In}, (b) H = {A " G : det A " },
" "
(c) H = {A " G : det A " }, d) H = {In " G :  " }.
a b a 0
" "
5. Niech G = : a " , b " , · , H = : a " .
0 1 0 1
Wykaż, że H " SubG, ale H nie jest podgrupa normalna.
6. Niech H = {Ã " S5 : Ã(1) = 1}. Sprawdz
, że H " Sub(S5), ale H " N(G).
/
7. Niech H1, H2 " N(G). Wykaż, że H1 )" H2 " N(G).
8. Podaj przyklad grupy G i takich jej podgrup H1 i H2, że H1 H2 i H2 G,
ale H1 G.
9. Opisz grupy ilorazowe: (a) /{0, 4, 8}, (b) /{0, 2, 4, 6}, (c) /{0, 3}.
12 8 6
10. Korzystajac z twierdzenia o izomorfiz
mie grup wykaż prawdziwość po-
danych zwiazk w:
" " + " +
<" <" <"
(a) /{z " : |z| = 1} , (b) / , (c) /{bi : b " } ,
= = =
2
4 2
<"
(d) /H , gdzie H = {(x1, x2, x3, x4) : x1 - 2x2 = x3 + x4 = 0},
=
3
<"
(e) /H , gdzie H = {(x1, x2, x3, . . .) " : x1 = x4 = x5 = 0}.
=
11. Niech Z(G) oznacza centrum grupy G. Wykaż, że Z(G) " N(G) oraz
<"
G/Z(G) Autw(G).
=
12. Sprawdz
, czy istnieje homomorfizm grupy D3 na grupe rzedu:
(a) 2, (b) 3.
Zestaw 7
Suma prosta grup. Grupy cykliczne,
abelowe, proste i rozwiazalne.
1. Udowodnij, że grupa izometrii wlasnych prostokata (nie bedacego kwadratem)
jest iloczynem prostym dw ch swoich podgrup cyklicznych rzedu 2.
2. Sprawdz
, czy grupa G jest izomorficzna z iloczynem prostym pewnych
swoich podgrup wlaściwych, gdy: (a) G = , (b) G = D4.
6
6
" +
3. Sprawdz
, że: (a) = {-1, 1} , (b) = i .
4. Niech G bedzie grupa a f : G G G przeksztalceniem określonym
wzorem f(g1, g2) = g1 ·g2. Udowodnij, że grupa G jest abelowa wtedy i tylko
wtedy, gdy f jest homomorfizmem grup.
5. Wykaż, że jeÅ›li Õ : G G jest automorfizmem grupy cyklicznej G = a ,
to G = Õ(a) .
6. Oblicz rzedy grup: (a) , (b) S3 , (c) D5 S4.
2 3 15 4 10
7. Dana jest grupa D4 i jej elementy: a = (O1, 3), b = (O2, 1) c = (O3, 2),
5
Ä„ 3Ä„
gdzie O1, O2, O3 sa obrotami odpowiednio o katy , Ä„, . Wyznacz elementy:
2 2
a " b, a " c oraz b " c, gdzie " jest dzialaniem w grupie D4 .
5
8. Spośr d grup: (a) , (b) , (c) / 6 , (d) , (e) D5, (f) ,
7 8 3 4
(g) , (h) /{0, 4} wymień te, kt re sa cykliczne. Odpowiedz

3 3 8
uzasadnij.
9. Wyznacz z dokladnościa do izomorfizmu wszystkie grupy abelowe rzedu:
(a) 4, (b) 5, (c) 9, (d) 12, (e) 24, (f) p3, gdzie p jest liczba pierwsza,
(g) 60, (h) 72.
10. Sprawdz
, kt re z nastepujacych par grup sa izomorficzne:
(a) i , (b) i , (c) i V4, (d) i .
15 3 5 8 8 4 16 4 4
11. Oblicz rzedy wszystkich element w grup: , (b) D3 .
2 4 2
12. Sprawdz
, kt re z podanych grup sa abelowe: (a) S2, (b) S2 S3,
2
(c) A3 , (d) A2 A4, (e) D3 , (f) A3 S3.
5 2
13. Wykaż, że grupa A5 nie ma podgrupy rzedu 30.
14. Wskaż izomorfizm grupy D4 z podgrupa grupy S4.
15. Udowodnij, że wszystkie grupy rzedu < 10 sa rozwiazalne.
Zestaw 8
Pierścienie. Dzielniki zera i elementy odwracalne
1. Kt re z podanych niżej zbior w liczb sa pierścieniami ze wzgledu na
zwykle dzialania dodawania i mnożenia liczb:
"
(a) , (b) {m " : 2 | m lub 3 | m}, (c) {a + b 2 : a, b " },
"
(d) [i] = {a + bi : a, b " }, (e) {a + b1+ -3 : a, b " }.
2
7
2. Kt re z podanych niżej zbior w liczb sa pierścieniami wzgledem podanych
dzialań:
(a) , x•" y = x+y + 1, x y = x +y +xy, (b) P = {f : | f(1) = 0}
ze zwyklymi dzialaniami dodawania i mnożenia funkcji,
(c) P = {f : | f(0) = f(1)} ze zwyklymi dzialaniami dodawania i
mnożenia funkcji.
3. Niech P bedzie pierścieniem. Udowodnij, że
(a) ("a " P)("m, n " ) an · am = an+m;
(b) ("a " P)("m, n " ) (am)n = amn.
(0;1)
4. Niech P = . Czy funkcja f jest dzielnikiem zera w pierścieniu P ?
1
0 dla x " 0;
2
(a) f(x) = , (b) f(x) = 2x - 1, c) f(x) = x2.
1
1 dla x " ; 1
2
5. W pierścieniu funkcji ciaglych C 0;1 wskaż wlaściwy dzielnik zera.
"
6. Wyznacz elementy odwracalne w pierścieniach: a) [X], b) [ -5].
7. Wyznacz dzielniki zera i elementy odwracalne w pierścieniach:
(a) , (b) .
5 8
8. Niech n bedzie liczba nieparzysta e" 3. W pierścieniu znajdz
odwrot-
n
ność elementu 2.
a b 0 0 1 0
9. Niech P = : a, b " ; +, ·, , . Wyz-
0 a 0 0 0 1
nacz elementy odwracalne w P.
10. Wyznacz elementy odwracalne i dzielniki zera w pierścieniach:
(a) , (b) .
4 6
Zestaw 9
Podpierścienie. Homomorfizmy i izomorfizmy pierścieni
1. Zbadaj, czy dany zbi r A jest podpierścieniem pierścienia
P = ; +, ·, 0, 1 :
(a) A jest zbiorem wszystkich ciag w arytmetycznych o wyrazach rzeczy-
wistych, (b) A = {(an) " P : a10 = 0}.
2. Zbadaj, czy dany zbi r A jest podpierścieniem pierścienia
P = ; +, ·, 0, 1 :
(a) A jest zbiorem wszystkich funkcji parzystych,
8
(b) A = {f " P : f(5) = 0}, (c) A = {f " P : f(1) " }.
3. Zbadaj, czy dany zbi r A jest podpierścieniem pierścienia
0 0 1 0
P = M2( ); +, ·, , :
0 0 0 1
a b
(a) A = : a, b, c " , (b) A = {T " P : det T " }.
0 c
4. Znajdz
wszystkie podpierścienie pierścienia (z 1): (a) , (b) .
12 2 2 2
5. T jest podpierścieniem pierścienia S, a S jest podpierścieniem pierścienia
R. Czy T jest podpierścieniem pierścienia R ?
6. Dane sa odwzorowania fi : (i = 1, 2, 3, 4) : (a) f1(k) = -k,
(b) f2(k) = 0, (c) f3(k) = k + 1, (d) f4(k) = k2.
Zbadaj, czy sa one homomorfizmami.
7. f : P1 P2 jest homomorfizmem pierścieni oraz a1, . . . , an " P1. Wykaż,
że: (a) f(a1 + · · · + an) = f(a1) + · · · + f(an),
(b) f(a1 · . . . · an) = f(a1) · . . . · f(an).
8. Sprawdz
, czy dana funkcja Õ jest homomorfizmem pierÅ›cienia P1 w P2 :
"
(a)" = [X], P2 = , Õ(f) = f( 2); (b) P1 = [X], P2 = , Õ(f) =
P1
2
f(i 3); (c) P1 = , P2 = , Õ(x, y) = x + y; (d) P1 = M2( ), P2 = ,
Õ(X) = det X.
9. Udowodnij, że nie istnieje homomorfizm pierscienia [i] w .
2
10. Udowodnij, że pierścień jest izomorficzny z
a 0 0 0 1 0
P = : a, b " ; +, ·, , .
0 b 0 0 0 1
11. Udowodnij, że jesli P1 <" P2, to P1 <" P2 .
= =
Zestaw 10
Cia o, podcia o. Charakterystyka cia . Cia o u amk w
1. Sprawdz
, czy dany zbi r jest cialem ze wzgledu na" dzialania aryt-
zwykle
"
metyczne: (a) , (b) {a + bi 2 : a, b " }, (c) {a + b 7 : a, b " }.
2
2. Sprawdz
, czy zbi r tworzy cialo wzgledem dzialań: (a, b) + (c, d) =
(a + c, b + d), (a, b) · (c, d) = (a · c + 5bd, a · d + b · c).
9
3. Wykaż, że algebra , •". , -1, 0 , gdzie a•"b = a+b+1, a b = a+b+a·b
jest cialem.
4. Sprawd" czy dany zbi r jest podcialem ciala liczb rzeczywistych: (a) ,
z
,
"
(b) {a + b 3 : a, b " }, (c) {a + b 2 : a, b " }.
5. Sprawdz
, czy dany zbi r jest podcialem ciala liczb zespolonych:
(a) {z " : |z| d" 1}, (b) , (c) {a + bi : a, b " }.
"
6. Wyznacz wszystkie podciala ciala ( 7).
" "
20
1+i 6
7. W ciele wykonaj dzialania: (a) , (b) -27, (c) (1 + i 3)6.
1-i
8. Sprawdz
, czy odwzorowanie f : dane wzorem f(z) = z jest auto-
morfizmem ciala .
2
<"
9. Niech p bedzie liczba pierwsza. Wykaż, że (p) , •", , (0, 0), (1, 0) ,
=
gdzie (a, b) •" (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) (c, d) = (ac + pbd, ad + bc), gdzie
a, b, c, d " .
a b 0 0 1 0
10. Wykaż, że algebra : a, b " ; +, ·, ,
7b a 0 0 0 1
"
jest izomorficzna z cialem ( 7).
11. Wyznacz cialo proste"zawarte w: (a) , (b) , (c) (p) (p  liczba
pierwsza), (d) (i), (e) ( 3).
12. Wyznacz charakterystyke ciala K, w kt rym zachodza zwiazki:
(a) 27·1 = 0, (b) 1 = - 1, (c) (1 + 1 + 1 + 1 + 1)2 = (1 + 1)5,
(d) 35·1 = 0, (e) 40·1 =16 · 1 = 0.
13. Niech charK = p > 0, a, b " K oraz ap = bp. Udowodnij, że a = b.
14. Wypisz elementy ciala ulamk w: (a) ( ), (b) ( ).
2 5
0 4 2
15. W ciele ( ) wskaż elementy danego ulamka: (a) , (b) , (c) .
7
1 4 3
Zestaw 11
Pierścienie wielomian w
1. Dany wielomian z pierścienia [X] zapisz w tradycyjnej postaci:
(a) (5, 1, -4, 8, 0, 0, . . .), (b) (0, 0, 1, 7, 0, 0, . . .).
2. Dany wielomian z pierścienia [X] zapisz w postaci ciagu:
(a) 6 - 7X + X2 - 9X3, (b) 8 + X3, (c) X4 + 2X2 + 4X - 5.
10
3. W pierścieniu [X] wykonaj wskazane dzialania:
4
(a) (X3 + 2X2 + 2X + 3) + (X4 + X3 + 3X2 + 2X + 2),
(b) (X4 + 2X3 + 3X2 + 1) - (X4 + 3X3 + X + 2),
(c) (X2 + X + 1) · (2X2 + 3X + 3), (d) (2X4 + 3) · (2X4 + 1).
4. Czy jest podpierścieniem pierścienia [X] zbi r wielomian w:
(a) w kt rych wyraz wolny jest podzielny przez 7,
(b) w kt rych wsp lczynnik przy X wynosi 0,
(c) {f " [X] : 5 | f(5)}, d) {f · X + g · (X2 + 1) : f, g " [X]}.
5. W pierścieniu P wykonaj dzielenie z reszta wielomianu f przez g :
(a) P = [X], f = 4X5 + 3X2 + 5X - 2, g = X2 + X + 1,
(b) P = [X], f = X5 + 4X4 + 3X2 + 2, g = 2X3 + X + 4,
5
(c) P = [X], f = 5X3 + 2X2 + 7X + 1, g = X2 + 3X + 7.
8
6. Wskaż wielomiany f, g " [X] takie, że iloraz i reszta z dzielenia f przez
6
g nie sa wyznaczone jednoznacznie.
7. Korzystajac ze schematu Hornera, w pierścieniu P wykonać dzielenie z
reszta wielomianu f przez g :
(a) P = [X], f = X4 - 2X3 + 4X2 - 6X + 8, g = X - 1,
(b) P = [X], f = 4X3 + X2, g = X + 1 + i,
(c) P = [X], f = 3X5 + 7X4 - 5X3 - 14X2 - 12X - 4, g = X + 2,
(d) P = [X], f = X4 + 5X3 + 2X2 + 4X + 3, g = X + 2,
6
(e) P = [X], f = X4 + 3X + 2, g = X + 4.
6
8. Wielomian o wsp lczynnikach z daje przy dzieleniu przez X + 1 reszte
5
2, przy dzieleniu przez X +2  reszte 3, przy dzieleniu przez X +3  reszte 1.
Jaka reszte da ten wielomian przy dzieleniu przez (X +1)·(X +2)·(X +3)?
9. Sprawdz
, czy funkcje wielomianowe wyznaczone przez wielomiany f, g "
[X] sa r wne:
3
(a) f = 2X3 + X2 + X + 1, g = 2X + 1, (b) f = X3 + 2X2, g = 2X4 + X.
10. Wykaż, że funkcja Õ : dana wzorem Õ(x) = cos x nie funkcja
wielomianowa.
Zestaw 12
Pierwiastki wielomian w. Wielomiany wielu zmiennych
1. Oblicz wszystkie pochodne danego wielomianu:
(a) X3 + 3X2 + 4X + 2 " [X], (b) X6 + X5 + 2X4 + X2 + 2 " [X],
5 3
11
(c) 4X4 + 5X2 + 4X + 3 " [X], (d) 3X4 + 5X3 + 7X2 + 9X + 6 " [X].
6 10
2. Stosujac pochodne oblicz krotność pierwiastka x0 = 3 wielomianu f =
X5 - 8X4 + 20X3 - 7X2 - 39X + 45 " [X].
3. Stosujac schemat Hornera oblicz krotność pierwiastka x0 = 4 wielomianu
f = 3X4 + 3X3 + X2 + 4 " [X].
5
4. Przedstaw dany wielomian f " P w postaci f = (X - a)k · g, gdzie g " P
i k jest krotnościa pierwiastka a wielomianu f :
(a) P = [X], f = X5 + 2X4 + X3 + X2 + 2X + 1, a = -1,
(b) P = [X], f = 2X4 + 3X3 + 3X + 3, a = 3,
5
(c) P = [X], f = X6 + X5 + X + 1, a = 4.
5
5. Znajdz
wielomian f " [X] wiedzac, że stf = 4 oraz f(0) = 6, f (0) = -5,
f (0) = 2, f (0) = 24 i f(4)(0) = 48.
6. Znajdz
wielomian f " [X] wiedzac, że stf = 3 oraz f(0) = 1, f (2) = 3,
7
f (2) = 2 i f (0) = 5.
7. Wyznacz pierwiastki danego wielomianu:
(a) f = X5 + 3X4 - 8X2 - 9X - 3 " [X],
(b) f = 2X3 + X2 + X - 1 " [X],
(c) f = X4 - 5X3 + 6X2 - 5X + 1 " [X].
8. Niech x1, x2, x3 beda pierwiastkami wielomianu aX3+bX2+cX+d " [X]
(uwzgledniamy krotności i zakladamy, że a = 0). Oblicz:

1 1 1
(a) x2 + x2 + x2, (b) + + , jeÅ›li x1 · x2 · x3 = 0.

1 2 3
x1 x2 x3
2
9. Oblicz sume i iloczyn wielomian w: f = 3X3 + 5XY + 4, g = 4X2 +
2
6XY + 5Y " [X, Y ].
7
2 4 5 3 2
10. Określ stopień wielomianu f = 10X1X2 - 7X1X2X3 + 3X1X2X3 -
6 3
11X1X2X3 + 2X1X2 - X1 " [X1, X2, X3] oraz jego wartość w punkcie
(2, 1, 0).
Zestaw 13
Idea y w pierścieniach przemiennych. Pierścienie ilorazowe
1. Wykaż, że I jest idealem pierścienia P, gdzie:
(a) P = [X], I = {f " P : 5 | f(5)},
(b) P = [X, Y ], I = {(X - 1) · f + Y · g : f, g " P},
12
(c) P = C 0;1 , I = {f " P : f(0) = f(1) = 0}.
2. Sprawdz
, czy I jest idealem pierścienia P, gdzie
(a) P = [X], I = {2 · f + (X2 + 1) · g : f, g " P},
(b) P = [X, Y ], I = {f " P : f(X, Y ) = f(Y, X)},
(c) P = , I = {(5m, 8k) : m, k " },
(d) P = , I = {f " P : f(0) = 2f(1)}.
3. Wykaż, że produkt dw ch cial jest pierścieniem majacym cztery idealy.
Opisz je.
4. Niech P bedzie pierścieniem, I1, I2  idealami w P. Wykaż, że zbi r
I1 + I2 = {a + b : a " I1 i b " I2} jest idealem w P.
5. Oblicz liczbe element w pierścienia ilorazowego P/I, jeśli: (a) P = [X],
5
I = x2 , (b) P = [X], I = xk , (c) P = , I = (2, 5) .
m 16 15
6. Wyznacz warstwy pierścienia P wzgledem idealu I oraz utw rz tabelki
dzialań w pierścieniu P/I :
(a) P = , I = 3 , (b) P = , I = 2 , (c) P = [X], I = x2 + 1 .
15 10 2
7. W pierścieniu ilorazowym [X]/ x3 oblicz odwrotność elementu (1 +
5
x) + x3 .
8. Udowodnij, że: (a) jeśli P jest pierścieniem, a " P, I = {f " P[X] :
<"
f(a) = 0}, to P[X]/I P,
=
4 2
<"
(b) /I , gdzie I = {(a, b, c, d) : a = c = 0},
=
<"
(c) /I , gdzie I = {(a1, a2, a3, . . .) " : ("n e" 3) an = 0},
=
2
<" <"
(d) [X]/ x2 - 5x + 4 , e) [X]/ x2 + 1 .
= =
9. Wyznacz wszystkie idealy w pierścieniach: a) , b) . Kt re z tych
6 18
ideal w sa pierwsze, a kt re maksymalne?
10. Sprawdz
jakimi idealami (maksymalnymi, pierwszymi) sa idealy z zadań:
6c; 8 b,c,d,e; x3 w [X]?
5
Zestaw 14
Teoria podzielności w dziedzinach ca kowitości
1. Sprawdz
, czy w pierścieniu [i] liczba 1 + i jest dzielnikiem liczby:
(a) 2, (b) 7 - i, (c) 1 + 6i.
13
2. W pierścieniu P wskaż elementy stowarzyszone z
" "elementem a :
(a) P = [i], a = 1 - 8i, (b) P = [i 7], a = 1 - i 7,
(c) P = [X], a = 4X5 + 2X3.
5
3. Udowodnij implikacje: Jeśli P jest dziedzina calkowitości, a, b " P oraz
a <" b, to a jest elementem nierozkladalnym wtedy i tylko wtedy, gdy b jest
elementem nierozkladalnym.
4. Wykaż, że dany element a jest nierozkladalny w pierścieniu P :
(a) P = [i], a = 2 + i, (b) P = [X], a = X4 + 1.
5. Zbadaj, jakiego typu elementem (odwracalnym, rozkladalnym, nierozkla-
dalnym) jest dany element a pierścienia P :
"
4 5
(a) P = [ -5], a = 10, b) P = [X, Y ], a = X5 + XY + X4Y + Y ,
6
(c) P = [i], a = 23, d) P = [X, Y ], a = X8 - Y .
6. Wykaż, że a jest elementem pierwszym pierścienia P :
" " "
(a) P = [i 5], a = 3, (b) P = [i 7], a = 3 + i 7.
7. W podanym pierścieniu rozl ż na czynniki nierozkladalne wielomian
X6 - 1 : (a) [X], (b) [X], (c) [X], (d) [X].
2 7
8. W podanym pierścieniu rozl ż na czynniki nierozkladalne wielomian f =
X3 + 3X + 1 : a) [X], b) [X].
5 7
9. Stosujac kryterium Eisensteina wykaż, że wielomian f jest nierozkladalny
w P[X] :
(a) P = , f = X3 -3X2 -6X +3, (b) P = , f = 2X4 -51X2 +27X -66,
(c) P = , f = 3X6 - 10, (d) P = , f = 3X6 - 10,
3 3 15 35
(e) P = , f = 2X5 + X3 + X2 +9X + , (f) P = , f = 5X11 + X7 +
5 4 7 3
20X + 3.
10. Sprawdz
, czy dany ideal I pierścienia P jest maksymalny:
(a) P = [i], I = 2 + i , (b) P = [i], I = 1 + 6i , (c) P = , I = 4 ,
(d) P = , I = 5 , (e) P = [X], I = X5 - 5 , (f) P = [X], I =
2
X2 + X + 1 .
11. Sprawdz
, czy pierścień P/I jest cialem: (a) P = [X], I = X + 1 ,
(b) P = [X], I = X2 + 2 , (c) P = [X], I = X2 + 1 , (d) P = [X],
5
I = X2 + 3 , (e) P = [X], I = 2X2 + 1 .
3
12. Wykaż, że nastepujace pierścienie nie sa calkowite:
(a) [X]/ X , (b) [X]/ X2 + X , (c) [X]/ X2 + 1 .
6 2
14
13. Oblicz w pierścieniu P, korzystajac z algorytmu Euklidesa, NWD(a, b) a
nastepnie liczbe NWD(a, b) przedstaw w postaci ax + by, gdzie x, y " P :
(a) P = , a = 213, b = 94,
(b) P = [X], a = X4 + 2X2 + X + 2, b = X3 + 5x + 3.
7
14. Znajdz
generator idealu a, b w pierścieniu P :
(a) P = , a = 354, b = 66, (b) P = [X], a = X2 - 2X + 1, b = X2 - 1.
15