Algebra z geometriÄ… analitycznÄ…
Spis treści
I Zadania przygotowawcze 2
1 Wyrażenia algebraiczne 2
1.1 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Liczby zespolone 3
2.1 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3 Macierze i wyznaczniki 4
3.1 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.2 Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4 Układy równań 5
4.1 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.2 Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
5 Wielomiany i funkcje wymierne 6
5.1 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
5.2 Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
6 Geometria analityczna w R2 7
6.1 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
6.2 Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
7 Geometria analityczna w Rn, n 3 8
7.1 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
7.2 Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
II Sprawdziany 9
8 Drugie kolokwium, zestaw 1, semestr Z 2013/14, 9
8.1 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
8.2 RozwiÄ…zania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
9 Drugie kolokwium, zestaw 2, semestr Z 2013/14, 10
9.1 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
9.2 RozwiÄ…zania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1
10 Drugie kolokwium, zestaw 3, semestr Z 2013/14, 11
10.1 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
10.2 RozwiÄ…zania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
11 Drugie kolokwium, zestaw 4, semestr Z 2013/14, 12
11.1 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
11.2 RozwiÄ…zania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
ć%
Symbol oznacza, że z zadaniem warto się zapoznać, ale rozwiązywanie zwykle nie obowią-
zuje.
Część I
Zadania przygotowawcze
1 Wyrażenia algebraiczne
1.1 Zadania
1.1. Uprościć wyrażenie

a-b a
(a) - 1 ,
a2-2ab+b2 b

b-a b
(b) + 1 .
a2-b2 a
1.2. W rozwinięciu dwumianowym wyrażenia f(x) wyznaczyć współczynnik przy xk, jeśli
10
1
"
(a) f(x) = x5 + , k = 39,
x
9
1
(b) f(x) = x4 - , k = 24.
x2
1.3. Zapisać w prostszej postaci liczbę

n

n
(a) 3k,
k
k=0

n

n
(b) (-2)k.
k
k=0
1.2 Odpowiedzi, wskazówki
1
1.1. (a) ,
b
(b) -1.
a
1.2. (a) 45,
(b) 36.
1.3. (a) 4n,
(b) (-1)n.
2
2 Liczby zespolone
2.1 Zadania
2.1. Zapisać w postaci algebraicznej liczbę zespoloną
"
(1+ 3i)20
(a) z = ,
(1-i)40
(1+i)40
"
(b) z = ,
( 3-i)20
"
( 3-i)24
"
(c) z = .
(1- 3i)14(1-i)20
2.2. Opisać za pomocą części rzeczywistej, urojonej lub argumentu oraz zaznaczyć na płasz-
czyżnie zbiór liczb zespolonych z spełniających warunek
(a) Re(iz - 1) = Im((2 - i)z + i),
(b) Re (z2) = [Im(iz)]2 - 4,
(c) 0 arg(1 + iz) Ä„/2,
(d) Re(-2iz + 4) 0,
(e) Im (z4) < 0.
2.3. Zapisać w postaci algebraicznej wszystkie pierwiastki trzeciego stopnia z liczby
z = -2 + 2i.
2.4. W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać równanie z4 = (-1 + 2z)4.
2.5. Wyznaczyć pole figury F = {z " C : Im (z3) 0 '" -1 Im(z) 0}.


i 1 1 1


1 i 1 1

ć%
2.6. Obliczyć wyznacznik .

1 1 i 1


1 1 1 i
ć%
2.7. Rozwiązać równanie macierzowe
ëÅ‚ öÅ‚
i 2 2

ìÅ‚ ÷Å‚
(a) A × 2 i 2 = 3 3i + 2 3i + 2 ,
íÅ‚ Å‚Å‚
2 2 i
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
i 0 0 i 2i
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
(b) i i 0 × B = 3i 3i .
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
0 i i 2i -i
2.2 Odpowiedzi, wskazówki
"
3
2.1. (a) -1 + i,
2 2
"
3
(b) -1 - i,
2 2
"
1 3
(c) - i.
2 2
1 2
2.2. (a) Im(z) = Re(z) - ,
3 3
(b) Im(z) = 2 lub y = -2,
(c) Re(z) 0 '" Im(z) 1 '" z = i,

(d) Im(z) -2,

Ä„ Ä„ 3Ä„ 5Ä„ 3Ä„ 7Ä„
(e) arg(z) " , *" , Ä„ *" , *" , 2Ä„ .
4 2 4 4 2 4
3
" " " "
3 3 3 3
2.3. 1 + i, -1 - + -1 + i, -1 + + -1 - i.
2 2 2 2 2 2 2 2

2 1 1 2 1
2.4. z " 1, - i, , + i .
5 5 3 5 5
"
3
2.5. .
3
2.6. 4 + 8i.

2.7. (a) A = i 1 1 ,
ëÅ‚ öÅ‚
1 2
ìÅ‚ ÷Å‚
(b) B = 2 1 .
íÅ‚ Å‚Å‚
0 -2
3 Macierze i wyznaczniki
3.1 Zadania
3.1. Obliczyć wyznacznik


1 1 1 1


1 2 1 1

(a) ,

1 1 2 1


1 1 1 2


2 1 1 -1


1 2 -1 1

(b) .
-1 1 2 1



1 1 1 2
3.2. Dla jakich wartości parametru  " R macierz
ëÅ‚ öÅ‚
 1 1
ìÅ‚ ÷Å‚
(a) A = 1 1  ,
íÅ‚ Å‚Å‚
1  1
ëÅ‚ öÅ‚
 1 1 1
ìÅ‚ ÷Å‚
1  1 1
ìÅ‚ ÷Å‚
(b) B = ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ 1 1 1  Å‚Å‚
1 1  1
jest nieosobliwa?
3.3. Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy
ëÅ‚ öÅ‚
1 1 -1
ìÅ‚ ÷Å‚
(a) A = 1 -1 1 ,
íÅ‚ Å‚Å‚
-1 1 1
ëÅ‚ öÅ‚
1 1 1
ìÅ‚ ÷Å‚
(b) B = 1 2 1 .
íÅ‚ Å‚Å‚
1 1 2
4
3.2 Odpowiedzi, wskazówki
3.1. (a) 1,
(b) 27.
3.2. (a)  " R \ {-2, 1},
(b)  " R \ {-3, 1}.
ëÅ‚ öÅ‚
1 1
0
2 2
ìÅ‚ ÷Å‚
1 1
3.3. (a) A-1 = 0 ,
íÅ‚ Å‚Å‚
2 2
1 1
0
2 2
ëÅ‚ öÅ‚
3 -1 -1
ìÅ‚ ÷Å‚
(b) B-1 = -1 1 0 .
íÅ‚ Å‚Å‚
-1 0 1
4 Układy równań
4.1 Zadania
4.1. Metodą macierzy odwrotnej rozwiązać układ równań
Å„Å‚
ôÅ‚ x + y + z - t = 4
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
x + y - z + t = -4
ôÅ‚ - y + z + t = 2
x
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
-x + y + z + t = -2.
4.2. Metodą Gaussa (przekształcając macierz rozszerzoną) rozwiązać układ równań
Å„Å‚
ôÅ‚ x + y + z + t = 6
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
x + 2y + z + t = 8
ôÅ‚
x + y + 2z + t = 9
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
x + y + z + 2t = 6.
4.3. Rozwiązać układ równań
Å„Å‚
ôÅ‚ -x - y + z + t = 4
òÅ‚
(a) x - y - z + t = 0
ôÅ‚
ół
x - y - z - t = -8,
Å„Å‚
x + y + z + t + u = 2
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ -x + y + z + t + u = 0
òÅ‚
(b) x - y + z + t + u = 0
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
x + y -z + t + u = 0
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
x + y + 3z + 3t + 3u = 2.
Å„Å‚
ôÅ‚
x + y + z = 1
òÅ‚
4.4. Dla jakich wartości parametru  " R układ równań x + y + z = 
ôÅ‚
ół
x + y + z = - + 1
ma nieskończenie wiele rozwiązań?
Å„Å‚
ôÅ‚ -1 dla x " (-", 0)
òÅ‚
4.5. Niech sgn() = 0 dla x = 0 oznacza znak liczby rzeczywistej . Wyznaczyć
ôÅ‚
ół
1 dla x " (0, ")
Å„Å‚
ôÅ‚ x + 2y + z = 2
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
x + y + 2z = sgn() - 1
te wartości , dla których układ równań
ôÅ‚
2x + y + z = 2
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
2y + 2z = 0
nie ma rozwiązań.
5
4.6. W zależności od wartości parametru  " R, wyznaczyć liczbę rozwiązań układu równań
Å„Å‚
x + y + z + t = 2
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ -x - y + z + t = 0
òÅ‚
x - y - z + t = 0
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
x + y - z - t = 0
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
-x + y + z - t = .
4.2 Odpowiedzi, wskazówki
4.1. x = 1, y = -1, z = 2, t = -2.
4.2. x = 1, y = 2, z = 3, t = 0.
4.3. (a) y = 4, t = 2, z = x + 2, z  dowolne,
(b) x = y = z = 1, t = -u - 1, u  dowolne.
4.4.  = -2.
4.5.  " (-", 0].
4.6. dla  " R \ {0} układ sprzeczny (0 rozwiązań), dla  = 0 nieskończenie wiele rozwiązań.
5 Wielomiany i funkcje wymierne
5.1 Zadania
5.1. Wyznaczyć iloraz i resztę z dzielenia wielomianu P (x) przez Q(x), jeśli
(a) P (x) = x5 - x4 + 3x3 + x + 7, Q(x) = x3 + x + 1,
(b) P (x) = x4 + 2x3 + x2 + x + 1, Q(x) = x2 + x + 3.
5.2. Rozłożyć na nierozkładalne czynniki rzeczywiste wielomian W (x) = x4 +x3 -3x2 -4x-4.
5.3. Nie wykonując dzielenia, wyznaczyć resztę z dzielenia wielomianu W (x) = x4+x3+x2+x+1
przez x2 - 1.
5.4. Rozłożyć na czynniki liniowe wielomian zespolony W (z) = z3 - 2z2 + 4z - 8.
5.5. Rozłożyć na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną właściwą
x2+3
(a) f(x) = ,
x3+2x2+5x+4
x2
(b) f(x) = ,
x3+3x2+4x+4
2x3+4x2+5x+5
(c) f(x) = .
x4+3x3+3x2+3x+2
5.6. Rozłożyć na sumę wielomianu i rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną
x4 - 5x3 + 5x2 - 19x - 1
f(x) = .
x3 - 5x2 + 4x - 20
ć%
5.7. Rozłożyć na sumę zespolonych ułamków prostych funkcję wymierną
z2 + z + 5
f(z) = .
z3 + z2 + 4z + 4
6
5.2 Odpowiedzi, wskazówki
5.1. (a) I(x) = x2 - x + 2, R(x) = 5,
(b) I(x) = x2 + x - 3, R(x) = x + 10.
5.2. W (x) = (x + 2)(x - 2) (x2 + x + 1) .
5.3. R(x) = 2x + 3.
5.4. W (z) = (z - 2)(z + 2i)(z - 2i).
-1 1
5.5. (a) f(x) = + ,
x2+x+4 x+1
-1 1
(b) f(x) = + ,
x2+x+2 x+2
1 1 1
(c) f(x) = + + .
x+1 x+2 x2+1
1 1
5.6. f(x) = x + + .
x-5 x2+4
1 1
i - i
1
4 4
5.7. f(z) = + + .
z+1 z+2i z-2i
6 Geometria analityczna w R2
6.1 Zadania
6.1. Wyznaczyć w mierze łukowej kąt pomiędzy wektorami u, v, jeśli

" "
(a) u = 1, 3 , v = -1, 3 ,

" "
(b) u = - 3, 1 , v = -1, 3 ,

" " "
(c) u = 2, 2 , v = -1, - 3 ,

" " "
(d) u = - 2, - 2 , v = 3, -1 .
Wskazówka: dla dwóch ostatnich przykładów wyniki można otrzymać jako sumy lub róż-
nice odpowiednich kątów.
"
6.2. Wyznaczyć kąt przy wierzchołku C w trójkącie o wierzchołkach A = (1, 1), B = ( 3, 2 +
" "
3), C = (1 + 3, 2).
6.3. Wyznaczyć równanie takiego okręgu o środku w punkcie S, którego jedną ze stycznych
jest prosta przechodząca przez punkty A, B, jeśli
(a) S = (1, -3), A = (-1, 2), B = (2, 4),
(b) S = (-2, -1), A = (1, 2), B = (4, 1).
6.4. Napisać równania tych stycznych do okręgu o równaniu x2+2x+y2-3 = 0, które przecinają
"
Ä„
siÄ™ z prostÄ… 3 x - y + 1 = 0 pod kÄ…tem .
3
6.2 Odpowiedzi, wskazówki
Ä„
6.1. (a) ,
3
Ä„
(b) ,
6
5
(c) Ä„,
12
7
(d) Ä„.
12
7
Ä„
6.2. .
2
192
6.3. (a) (x - 1)2 + (y + 3)2 = ,
13
122
(b) (x + 2)2 + (y + 1)2 = .
10
" " " " " "
6.4. y = -2, y = 2, y = - 3 x + 3 + 14, y = - 3 x + 3 - 14.
7 Geometria analityczna w Rn, n 3
7.1 Zadania
7.1. Dla jakich wartości parametru  " R równoległobok ABCD o środku w punkcie O =
(1 + , 1 + , 2 + ) i kolejnych wierzchołkach A = (1, 0, 1), B = (1, 2, 3) jest rombem?
Wskazówka: wykorzystać charakteryzację rombu jako czworokąta o niezerowych przekąt-
nych, przecinających się w połowach i pod kątem prostym.
7.2. Czy równoległobok o kolejnych wierzchołkach A = (3, 0, 3), B = (4, 1, 5), C = (3, 2, 3), jest
rombem?
7.3. Dla jakich wartości parametru  " R równoległościan o trzech kolejnych wierzchołkach
podstawy A = (-5, 2, 1), B = (2, 1, 2), C = (3, 2, 3) i wierzchołku E = (- - 5, 4, -18)
nad A, jest prostopadłościanem?
7.4. Napisać równanie ogólne płaszczyzny
(a) zawierajÄ…cej proste
l = {(-1, 1, 1) + t(1, 0, 1) : t " R} i m = {(3, 0, 5) + s(-1, 1, -1) : s " R},
(b) prostopadÅ‚ej do wektorów u = (1, 1, 1), v = (1, 0, 1) × (1, 2, 1) i przechodzÄ…cej przez
punkt A = (1, 0, 0).
7.5. Napisać równanie parametryczne prostej prostopadłej do prostych l = {(0, 1, 1)+t(1, 0, 1) :
t " R}, m = {(0, 2, 1) + s(-1, 1, -1) : s " R}, w punkcie ich przecięcia.
7.6. Wyznaczyć kąt pomiędzy płaszczyznami Ą1, Ą2, jeśli Ą1 jest określona przez warunki
Å„Å‚
ôÅ‚
x = 1 + t + u
òÅ‚
y = t - u dla t, u " R, Ą2 równaniem y - z - 1 = 0.
ôÅ‚
ół
z = t + u

x + y + z + 2 = 0
7.7. Wyznaczyć kąt pomiędzy prostą l : i płaszczyzną Ą : x + y + 5 = 0.
x - y + z + 3 = 0
7.8. Wyznaczyć pole
(a) równoległoboku o kolejnych wierzchołkach A = (2, 2, 4), B = (0, -2, -2), C = (2, 1, 2),
(b) równoległoboku o środku w punkcie O = (2, 1, 2) i końcach jednego z boków A =
(2, 2, 4), B = (0, -2, -2),
(c) trójkąta o wierzchołkach A = (-2, -2, -4), B = (0, 2, 2), C = (-2, -1, -2).
7.9. Dla jakich wartości parametru p " R kąt pomiędzy wektorami u = (1, 2, p, 4) oraz
v = (2p, -p, p, -4) jest prosty?
8
7.2 Odpowiedzi, wskazówki

2 2
7.1.  = lub  = - .
3 3
7.2. Tak.
7.3.  = -3.
7.4. (a) x - z + 2 = 0,
(b) x - 2y + z - 1 = 0.
7.5. (x, y, z) = (1, 1, 2) + t(1, 0, -1), t " R.
Ä„
7.6. .
3
Ä„
7.7. .
6
"
7.8. (a) 2
"6,
(b) 4 5,
"
(c) 6.
7.9. p = 4 lub p = -4.
Część II
Sprawdziany
8 Drugie kolokwium, zestaw 1, semestr Z 2013/14,
8.1 Zadania
8.1. Zbadać, dla jakich rzeczywistych parametrów p " R istnieje macierz odwrotna A-1 do
ëÅ‚ öÅ‚
1 1 1
ìÅ‚ ÷Å‚
macierzy A, a następnie wyznaczyć A-1, jeśli A = 1 2 1 .
íÅ‚ Å‚Å‚
1 1 p
8.2. Wyznaczyć odległosc punktu P = (1, 2, 1) od płaszczyzny Ą zadanej w postaci parame-
Å„Å‚
ôÅ‚
x = 1 + s + t
òÅ‚
trycznej y = 2 + s
ôÅ‚
ół
z = -1 + s - t.
8.3. Wyznaczyć, o ile istnieją, macierze złożeń S ć% T oraz T ć% S w bazach standardowych,
jezeli S : R3 R2 oraz T : R2 R5 są przekształceniami linowymi, danymi wzorami:
S(x, y, z) = (x - 2y, x + y + 3z), T (u, v) = (u + v, v, u - 2v, 3u, u).
8.2 RozwiÄ…zania
8.1. Wyznacznik det A = p - 1, macierz odwrotna istnieje dla p " R \ {1} i wtedy
ëÅ‚ öÅ‚
2p-1 -1
-1
p-1 p-1
ìÅ‚ ÷Å‚
A-1 = -1 1 0 .
íÅ‚ Å‚Å‚
-1 1
0
p-1 p-1
8.2. Aby otrzymać równanie ogólne płaszczyzny Ą można wyeliminować parametry z równania
parametrycznego lub wyznaczyć wektor normalny do Ą. W tym drugim przypadku,
n = (1, 1, 1) × (1, 0, -1) = (-1, 2, -1), a pÅ‚aszczyzna Ä„ ma równanie -(x - 1) + 2(y - 2) -

|-1+4-1-4|
2
"
(z + 1) = 0, czyli -x + 2y - z - 4 = 0. Odległość d(P, Ą) = = .
3
6
9
8.3. Złożenie S ć% T nie istnieje.
Macierz złożenia T ć% S ma postać
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
2 -1 3
1 1
ìÅ‚ ÷Å‚
1 1 3
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
1
ìÅ‚ -2 1 -2 0
÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
MT ć%S = MT · MS = ìÅ‚ ÷Å‚ · = ìÅ‚ -1 -4 -6 ÷Å‚ .
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ 3 0 Å‚Å‚ 1 1 3
íÅ‚ Å‚Å‚
3 -6 0
1 0
1 -2 0
9 Drugie kolokwium, zestaw 2, semestr Z 2013/14,
9.1 Zadania
9.1. W zależności od rzeczywistego parametru p " R, rozwiazać układ równań
Å„Å‚
ôÅ‚
2x + 3y - z = 1
òÅ‚
x - py + 2z = 3
ôÅ‚
ół
2x - py + 3z = 5.
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ -1 + t x = 3
ôÅ‚ - s
x =
òÅ‚ òÅ‚
9.2. Udowodnić, że proste l i m, o równaniach l : y = 1 oraz m : y = s
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
z = 1 + t z = 5 - s,
przecinają się. Napisać równanie ogólne płaszczyzny zawierającej te proste.
9.3. Niech B2 oznacza bazę standardową w R3, a B1 bazę w R2, złożoną z wektorów e1 +
e2, e1 -e2, gdzie e1, e2 tworzą bazę standardową w R2. Wyznaczyć w bazach B1, B2 macierz
przekształcenia liniowego T : R2 R3, określonego wzorem T (x, y) = (x-2y, x+2y, x-y).
9.2 RozwiÄ…zania
9.1. Możemy rozwiązywać metodą eliminacji Gaussa (z rozbiciem na końcu na przypadki) lub
od razu przez rozważenie przypadku układu Cramera. Tym drugim sposobem,


2 3 -1


W = 1 -p 2 = -3p + 3. Dla p " R \ {1} układ ma dokładnie jedno rozwiązanie,


2 -p 3
które można wyznaczyć ze wzorów Cramera. Otrzymujemy


1 3 -1 2 1 -1 2 3 1


Wx = 3 -p 2 = -3p + 3, Wy = 1 3 2 = 0, Wz = 1 -p 3 = -3p + 3


5 -p 3 2 5 3 2 -p 5
Wy
Wx Wz
i rozwiÄ…zanie x = = 1, y = = 0, z = = 1.
W W W
ëÅ‚ öÅ‚
2 3 -1 1 w1 - 2w2
ìÅ‚ ÷Å‚
Dla p = 1 postępujemy metodą eliminacji Gaussa: 1 -1 2 3 w3 - 2w2 -
íÅ‚ Å‚Å‚
2 -1 3 5 w1 "! w2
ëÅ‚ öÅ‚

1 -1 2 3
w1 + w3 1 0 1 2
ìÅ‚ ÷Å‚
0 5 -5 -5
íÅ‚ Å‚Å‚ - ,
skreślenie w2 (= 5w3) 0 1 -1 -1
0 1 -1 -1
Å„Å‚
ôÅ‚ - z,
x = 2
òÅ‚
co odczytujemy jako nieskończenie wiele rozwiązań postaci y = -1 + z,
ôÅ‚
ół
z " R.
9.2. Punktem wspólnym prostych jest P = (2, 1, 4) (dla t = 3 i s = 1).
Równanie ogólne płaszczyzny możemy otrzymać przez eliminację parametrów z rownań
prostych lub przez wyznaczenie wektora normalnego. Tym drugim sposobem, n = (1, 0, 1)×
(-1, 1, -1) = (-1, 0, 1), a płaszczyzna Ą ma równanie -(x - 2) + z - 4 = 0, czyli
-x + z - 2 = 0.
10
ëÅ‚ öÅ‚
1 -2
ìÅ‚ ÷Å‚
9.3. Macierz przekształcenia T w bazach standardowych ma postać MT = 1 2 , a
íÅ‚ Å‚Å‚
1 -1

1 1
macierz przejścia A z bazy standardowej do bazy B1 w R2 ma postać A = .
1 -1
ëÅ‚ öÅ‚
-1 3
ìÅ‚ ÷Å‚
Szukana macierz M = MT · A = 3 -1 .
íÅ‚ Å‚Å‚
0 2
10 Drugie kolokwium, zestaw 3, semestr Z 2013/14,
10.1 Zadania
10.1. Zbadać, dla jakich rzeczywistych parametrów p " R istnieje macierz odwrotna A-1 do
ëÅ‚ öÅ‚
1 1 1
ìÅ‚ ÷Å‚
macierzy A, a następnie wyznaczyć A-1, jeśli A = 1 2 p .
íÅ‚ Å‚Å‚
1 1 p
10.2. Wyznaczyć odległosc punktu P = (0, 1, 2) od płaszczyzny Ą zadanej w postaci parame-
Å„Å‚
ôÅ‚ - t
x = s
òÅ‚
trycznej y = 1 + s
ôÅ‚
ół
z = -2 + s + t.
10.3. Wyznaczyć, o ile istnieją, macierze złożeń S ć% T oraz T ć% S w bazach standardowych,
jezeli S : R3 R4 oraz T : R4 R5 są przekształceniami linowymi, danymi wzorami:
S(x, y, z) = (x - 2y, x + y + 3z, x, y), T (s, t, u, v) = (u + v, v, u - 2v, 3s, t).
10.2 RozwiÄ…zania
10.1. Wyznacznik det A = p - 1, macierz odwrotna istnieje dla p " R \ {1} i wtedy
ëÅ‚ öÅ‚
p p-2
-1
p-1 p-1
ìÅ‚ ÷Å‚
A-1 = 0 1 -1 .
íÅ‚ Å‚Å‚
-1 1
0
p-1 p-1
10.2. Aby otrzymać równanie ogólne płaszczyzny Ą można wyeliminować parametry z równania
parametrycznego lub wyznaczyć wektor normalny do Ą. W tym drugim przypadku,
n = (1, 1, 1)×(-1, 0, 1) = (1, -2, 1), a pÅ‚aszczyzna Ä„ ma równanie x-2(y -1)+z +2 = 0,

|-2+2+4|
2
"
czyli x - 2y + z + 4 = 0. Odległość d(P, Ą) = = 2 .
3
6
10.3. Złożenie S ć% T nie istnieje.
Macierz złożenia T ć% S ma postać
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
0 0 1 1 1 1 0
1 -2 0
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
0 0 0 1 0 1 0
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
1 1 3
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
MT ć%S = MT · MS = ìÅ‚ 0 0 1 -2 ÷Å‚ · ìÅ‚ ÷Å‚ = ìÅ‚ 1 -2 0 ÷Å‚ .
ìÅ‚ ÷Å‚ íÅ‚ 1 0 0 Å‚Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
3 0 0 0 3 -6 0
0 1 0
0 1 0 0 1 1 3
11
11 Drugie kolokwium, zestaw 4, semestr Z 2013/14,
11.1 Zadania
11.1. W zależności od rzeczywistego parametru p " R, rozwiazać układ równań
Å„Å‚
ôÅ‚
2x + 3y - z = 1
òÅ‚
-2x + 5py - 7z = -9
ôÅ‚
ół
-x + 2py - 3z = -4.
11.2. Napisać równanie ogólne płaszczyzny zawierającej proste o równaniach
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚ - s
x = t x = 4
òÅ‚ òÅ‚
y = 2 oraz y = 1 + s
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
z = 2 + t z = 6 - s.
11.3. Niech B2 oznacza bazę standardową w R3, a B1 bazę w R2, złożoną z wektorów e1 +
2e2, e1-e2, gdzie e1, e2 tworzą bazę standardową w R2. Wyznaczyć w bazach B1, B2 macierz
przekształcenia liniowego T : R2 R3, określonego wzorem T (x, y) = (x+2y, x+y, x-y).
11.2 RozwiÄ…zania
11.1. Możemy rozwiązywać metodą eliminacji Gaussa (z rozbiciem na końcu na przypadki)
lub od razu przez rozważenie przypadku układu Cramera. Tym pierwszym sposobem,
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
2 3 -1 1 w1 + 2w3 -1 2p -3 -4 -w1
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ -2 5p -7 -9 w2 - 2w3 - 0 p -1 -1 k2 "! k3 -
Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
-1 2p -3 -4 w1 "! w3 0 3 + 4p -7 -7 (y "! z)
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 3 -2p 4 w1 + 3w2 1 0 p 1
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
0
íÅ‚ -1 p -1 w3 - 7w2 - 0 1 -p 1 .
Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
0 -7 3 + 4p -7 -w2 0 0 3 - 3p 0
Å„Å‚
ôÅ‚ - y
x = 1
òÅ‚
Dla p = 1 otrzymujemy nieskończenie wiele rozwiązań postaci y " R
ôÅ‚
ół
z = 1 + y.
1
Dla p " R \ {1}, kolejno po operacjach w3, w2 + pw3, w1 - pw3, otrzymujemy dokładnie
3-3p
Å„Å‚
ôÅ‚
x = 1
òÅ‚
jedno rozwiÄ…zanie y = 0
ôÅ‚
ół
z = 1.
11.2. Punktem wspólnym prostych jest P = (3, 2, 5) (dla t = 3 i s = 1).
Równanie ogólne płaszczyzny możemy otrzymać przez eliminację parametrów z rownań
prostych lub przez wyznaczenie wektora normalnego. Tym drugim sposobem, n = (1, 0, 1)×
(-1, 1, -1) = (-1, 0, 1), a płaszczyzna Ą ma równanie -(x - 3) + z - 5 = 0, czyli
-x + z - 2 = 0.
ëÅ‚ öÅ‚
1 2
ìÅ‚ ÷Å‚
11.3. Macierz przekształcenia T w bazach standardowych ma postać MT = 1 1 , a
íÅ‚ Å‚Å‚
1 -1

1 1
macierz przejścia A z bazy standardowej do bazy B1 w R2 ma postać A = .
2 -1
ëÅ‚ öÅ‚
5 -1
ìÅ‚ ÷Å‚
Szukana macierz M = MT · A = 3 0 .
íÅ‚ Å‚Å‚
-1 2
M. Burnecki
12