plik


Publikacja opracowana podczas realizacji projektu  Plan Rozwoju Politechniki Czstochowskiej wspBfinansowanego przez Uni Europejsk w ramach Europejskiego Funduszu SpoBecznego. ALGEBRA Z GEOMETRI Tadeusz Konik Spis tre[ci 3 RozdziaB I. Wielomiany 1. O wielomianach i rwnaniach algebraicznych 3 2. Funkcje wymierne 4 6 RozdziaB II. Liczby zespolone 1. Okre[lenie i posta kanoniczna liczby zespolonej 6 2. ModuB i sprz|enie liczby zespolonej 8 3. Posta trygonometryczna liczby zespolonej 9 4. Pierwiastkowanie liczb zespolonych 11 5. Posta wykBadnicza liczby zespolonej 14 15 RozdziaB III. Macierze, wyznaczniki i ukBady rwnaD liniowych 1. Macierze 15 2. Wyznaczniki 18 3. Macierz odwrotna, rzd macierzy 23 4. UkBady rwnaD liniowych 26 33 RozdziaB IV. Geometria analityczna 1. O przestrzeni Euklidesa 33 2. Elementy rachunku wektorowego 34 37 3. Iloczyn skalarny w przestrzeni R3 39 4. Iloczyn wektorowy w przestrzeni R3 41 5. Iloczyn mieszany w przestrzeni R3 43 6. PBaszczyzna w przestrzeni R3 47 7. Prosta w przestrzeni R3 49 8. Prosta i pBaszczyzna w przestrzeni R3 9. OdlegBo[ci punktu od pBaszczyzny i prostej, odlegBo[ prostych sko[nych 50 53 10. Powierzchnie w przestrzeni R3 2 I WIELOMIANY 1. O wielomianach i rwnaniach algebraicznych Niech N bdzie zbiorem liczb naturalnych postaci: N = { 0, 1, 2, 3, ...}. Definicja 1.1. Funkcj rzeczywist okre[lon wzorem Wn(x) = anxn + an-1xn-1 + ...+ a1x + a0 , gdzie an `" 0 , n " N , (1.1) nazywamy wielomianem n-tego stopnia zmiennej x . Liczby rzeczywiste a0, a1, ... , an nazywamy wspBczynnikami wielomianu. WspBczynnik a0 nazywamy wyrazem wolnym tego wielomianu. Dziedzin wielomianu jest zbir R liczb rzeczywistych. Je[li Wn(a) = 0, to liczb rzeczywist a nazywamy pierwiastkiem wielomianu Wn(x) . Twierdzenie 1.1 (Bzouta). Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian ten jest podzielny przez dwumian x - a . k k+1 Je[li wielomian Wn(x) jest podzielny przez (x - a) i nie jest podzielny przez (x - a) , to liczb a nazywamy k-krotnym pierwiastkiem tego wielomianu. Liczb k nazywamy krotno[ci pierwiastka a. Je[li x1, x2, ... , xn s r|nymi pierwiastkami wielomianu Wn(x), to wielomian ten mo|na zapisa w postaci Wn(x)= an(x - x1) (x - x2) """ (x - xn). (1.2) Praw stron rwno[ci (1.2) nazywamy postaci iloczynow wielomianu. Je[li Wn(x)= 0 dla dowolnego x " R, to mwimy, |e wielomian ten jest to|samo[ciowo rwny 0, co zapisujemy: Wn(x)a" 0 . Twierdzenie 1.2 (o rozkBadzie wielomianu na czynniki). Ka|dy wielomian Wn(x), ktry nie jest to|samo[ciowo rwny 0, jest iloczynem czynnikw co najwy|ej drugiego stopnia. Niech Wn(x) bdzie wielomianem stopnia stopnia n e" 1 zmiennej x . Definicja 1.2. Rwnanie postaci Wn(x) = an xn + an-1xn-1 + ...+ a1x + a0 = 0 , (1.3) nazywamy rwnaniem algebraicznym stopnia n lub krcej, rwnaniem n-tego stopnia. Twierdzenie 1.3. Ka|de rwnanie algebraiczne n-tego stopnia ma co najwy|ej n r|nych pierwiastkw. Twierdzenie 1.4. Je[li liczba caBkowita a `" 0 jest pierwiastkiem rwnania (1.3) o caBkowitych wspBczynnikach a0, a1, ... , an , to a jest podzielnikiem wyrazu wolnego a0 . Z twierdzenia tego wynika: Wniosek 1.1. Liczba caBkowita a `" 0 mo|e by pierwiastkiem rwnania (1.3) o caBkowitych wspBczynnikach a0, a1, ... , an , je[li jest podzielnikiem wyrazu wolnego a0 . p Twierdzenie 1.5. Je[li liczba wymierna (nieskracalna) `" 0 jest pierwiastkiem rwnania (1.3) o q wspBczynnikach caBkowitych a0, a1, ... , an , gdzie a0 " an `" 0 , to p jest podzielnikiem wyrazu wolnego a0 , natomiast q podzielnikiem wspBczynnika an . Z powy|szego twierdzenia wynika nastpujcy wniosek: 3 p Wniosek 1.2. Liczba wymierna (nieskracalna) `" 0 mo|e by pierwiastkiem rwnania (1.3) o q wspBczynnikach caBkowitych a0, a1, ... , an , gdzie a0 " an `" 0 , je[li p jest podzielnikiem wyrazu wolnego a0 , natomiast q podzielnikiem wspBczynnika an . 2. Funkcje wymierne Niech Vm(x) i Wn(x) bd wielomianami odpowiednio stopni m i n. Definicja 2.1. Funkcj postaci Vm(x) f (x) = , (2.1) Wn(x) gdzie wielomian Wn(x) nie jest to|samo[ciowo rwny 0, nazywamy funkcj wymiern. Je[li m < n , to funkcj f (x) nazywamy funkcj wymiern wBa[ciw, w przypadku przeciwnym, funkcj wymiern niewBa[ciw. Ka|d funkcj wymiern niewBa[ciw f (x) mo|na zapisa w postaci: Rk (x) f (x)= Pm-n(x)+ , (2.2) Wn(x) gdzie k < n oraz Pm-n(x) i Rk (x) s wielomianami odpowiednio stopni m - n i k . Std oraz z podanej wy|ej definicji wynika, |e funkcja Rk (x) h(x)= , (2.3) Wn(x) w rwnaniu (2.2) jest funkcj wymiern wBa[ciw. Definicja 2.2. UBamkami prostymi nazywamy funkcje wymierne wBa[ciwe postaci: A Bx + C , , (2.4) k k (x - a) (x2 + px + q) gdzie p2 - 4q < 0 , k e" 1 oraz A, B,C,a, p,q "R. Dla funkcji wymiernych wBa[ciwych mo|na wykaza nastpujce twierdzenie: Twierdzenie 2.1. Ka|da funkcja wymierna wBa[ciwa da si przedstawi w postaci sumy uBamkw prostych. RozkBadajc, na podstawie Twierdzenia 1.2, wielomian Wn(x) na czynniki otrzymamy 1  s 1   2 2 k Wn(x) = an(x - x1) (x - x2) """ (x - xk ) (x2 + p1x + q1) (x2 + p2x + q2) """ (x2 + psx + qs) . Std i z Twierdzenia 2.1 dla m < n , otrzymamy nastpujcy rozkBad funkcji wymiernej wBa[ciwej na uBamki proste: A1 Vm(x) A11 A12 1 + + """ + 2 1 Wn(x) = x - x1 - x1) (x - x1) (x A2 A21 A22 2 + + + """ + 2 2 x - x2 - x2 ) (x - x2 ) (x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ak Ak1 Ak 2 k + + + """ + 2 2 x - xk - xk ) (x - xk ) (x B1 x + C1 B11x + C11 B12x + C12 1 1 + + + """ + 1 x2 + p1x + q1 + p1x + q1)2 (x2 (x2 + p1x + q1) 4 B2 x + C2 B21x + C21 B22x + C22 2 2 + + + """ + 1 x2 + p2x + q2 + p2x + q2)2 (x2 (x2 + p2 x + q2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bs x + Cs Bs1x + Cs1 Bs2x + Cs2 s s + + + """ + , (2.5) 1 x2 + ps x + qs + ps x + qs)2 (x2 (x2 + ps x + qs) gdzie A11, ... , Ak , B11, ... , Bs , C11, ... ,Cs . (2.6) k s s s pewnymi staBymi. Mno|c rwno[ (2.5) przez wielomian Wn(x), nastpnie grupujc praw stron wzgldem potg x j (j = 0, 1, 2, ... , m) i porwnujc wspBczynniki przy tych samych potgach x j po lewej i prawej stronie tej rwno[ci wyznaczymy staBe (2.6). PrzykBad 2.1. RozBo|y na uBamki proste funkcj wymiern 6x3 + 4x +1 . (2.7) x4 + x2 Korzystajc ze wzoru (2.5) mamy 6x3 + 4x +1 6x3 + 4x +1 A B Cx + D = = + + . (2.8) x x4 + x2 x2(x2 +1) x2 x2 +1 Mno|c t rwno[ przez x2(x2 +1) otrzymamy 6x3 + 4x +1 = Ax(x2 +1)+ B(x2 +1)+ (Cx + D)x2 = Ax3 + Ax + Bx2 + B + Cx3 + Dx2 = (A + C)x3 + (B + D)x2 + Ax + B . Porwnujc wspBczynniki przy tych samych potgach x po lewej i prawej stronie tej rwno[ci otrzymamy nastpujcy ukBad rwnaD liniowych: A + C = 6 # #B + D = 0 # # #A = 4 #B = 1 . # Rozwizujc ten ukBad otrzymamy, |e: A = 4, B = 1, C = 2 i D = -1. Std i z (2.8) otrzymamy nastpujcy rozkBad funkcji wymiernej (2.7) na uBamki proste 6x3 + 4x +1 4 1 2x -1 = + + . x x4 + x2 x2 x2 +1 5 II LICZBY ZESPOLONE 1. Okre[lenie i posta kanoniczna liczby zespolonej Niech Z bdzie zbiorem uporzdkowanych par (a1,b1), (a2,b2), (a3,b3) , ... (1.1) liczb rzeczywistych ai , bi , gdzie i = 1, 2, 3, ... . Definicja 1.1. Uporzdkowane pary liczb rzeczywistych (1.1) nazywamy liczbami zespolonymi, a zbir Z zbiorem liczb zespolonych. Liczby zespolone (1.1) oznacza bdziemy maBymi literami: z1, z2 , z3, ... np. z1 = (a1,b1), z2 = (a2,b2), z3 = (a3,b3) , ... . (1.2) Liczb zespolon (0, 0) oznacza bdziemy przez 0 , to znaczy 0 : = (0, 0). W zbiorze Z okre[lamy dwa dziaBania: dodawania + i mno|enia " liczb zespolonych w nastpujcy sposb: z1 + z2 = (a1,b1)+ (a2,b2): = (a1 + a2, b1 + b2) , (1.3) oraz z1 " z2 = (a1,b1)"(a2,b2): = (a1a2 - b1b2, a1b2 + a2b1). (1.4) Zbir Z z tak okre[lonymi dziaBaniami dodawania i mno|enia stanowi tzw. ciaBo liczbowe, zwane ciaBem liczb zespolonych. CiaBo liczb zespolonych speBnia nastpujce warunki: 10 ciaBo Z zawiera ciaBo R liczb rzeczywistych, 20 rwnanie z2 = -1 ma w ciele Z co najmniej jedno rozwizanie. Definicja 1.1. Dwie liczby zespolone z1 = (a1,b1), z2 = (a2 ,b2 ) nazywamy rwnymi, co zapisujemy: z1 = z2 , wtedy i tylko wtedy, gdy a1 = a2 '" b1 = b2 . Zatem (a1,b1) = (a2 ,b2 ) ! (a1 = a2 '" b1 = b2 ). (1.5) Definicja 1.2. R|nic z1 - z2 liczb zespolonych z1 = (a1,b1) i z2 = (a2 ,b2 ) nazywamy tak liczb zespolon z = (x, y), |e z2 + z = z1 . (1.6) Z rwno[ci (1.6) oraz z definicji dodawania i rwno[ci liczb zespolonych otrzymamy (a2,b2)+ (x, y)= (a1,b1), (a2 + x, b2 + y)= (a1,b1). Std a2 + x = a1 '" b2 + y = b1 , skd x = a1 - a2 '" y = b1 - b2 . Zatem z1 - z2 = (a1,b1)- (a2,b2 ) = (a1 - a2 , b1 - b2 ). (1.7) z1 Definicja 1.3. Ilorazem liczb zespolonych z1 = (a1,b1) i z2 = (a2 ,b2 ), gdzie z2 `" 0 nazywamy z2 tak liczb zespolon z = (x, y), |e 6 z2 " z = z1 . (1.8) Std oraz z definicji mno|enia liczb zespolonych otrzymamy (a2 ,b2 )"(x, y) = (a1,b1), (a2x - b2 y, b2 x + a2 y) = (a1,b1). Std i z definicji rwno[ci liczb zespolonych otrzymamy nastpujcy ukBad rwnaD liniowych: a2 x # - b2 y = a1 (1.9) # x + a2 y = b1 #b2 Rozwizujc ten ukBad otrzymamy, |e a1a2 + b1b2 a2b1 - a1b2 x = '" y = . (1.10) 2 2 2 2 a2 + b2 a2 + b2 Zatem # z1 (a1,b1) a1a2 + b1b2 a2b1 - a1b2 # # # . (1.11) = = , 2 2 2 2 # z2 (a2 ,b2 ) a2 + b2 a2 + b2 # # # Na przykBad # # (-1, 2) -1" 3 + 2(- 4), 3" 2 - (-1)(- 4)# = #- 11 2 # # # = , . # 2 2 # # (3, - 4) 25 25 32 + (- 4) 32 + (- 4) # # # # Poniewa| zbir R liczb rzeczywistych zawiera si w zbiorze Z liczb zespolonych, wic ka|da liczba rzeczywista jest liczb zespolon. Liczb rzeczywist a jako liczb zespolon: (a, 0), czyli a = (a, 0). (1.12) Niech z definicji i : = (0, 1). (1.13) Liczb zespolon z = (a, b) mo|na przedstawi w postaci z = (a, b) = (a, 0)+ (0, b) = (a, 0)+ (b, 0)"(0, 1) = (a, 0)+ (b, 0)"i = a + bi , czyli z = a + bi . (1.14) Posta (1.14) nazywa si postaci kanoniczn liczby zespolonej z . Zauwa|my, |e 2 i2 = (0, 1) = (0, 1)"(0, 1) = (-1, 0) = -1, czyli i2 = -1 . (1.15) Ponadto rwnanie z2 = -1, (1.16) ma w zbiorze Z liczb zespolonych dwa rozwizania z = -i (" z = i , (1.17) gdy| z (1.15) i (1.16) otrzymamy z2 = i2 , z2 - i2 = 0 , (z + i)"(z - i)= 0 , skd wynikaj rozwizania (1.17) rwnania (1.16). 7 Rozwa|my liczb zespolon z = a + bi . Liczby rzeczywiste a i b nazywamy odpowiednio cz[ci rzeczywist i cz[ci urojon liczby zespolonej z i oznaczamy symbolami: re z oraz im z, czyli a = re z, b = im z . (1.18) Liczby rzeczywiste re z oraz im z le| odpowiednio na tzw. osi rzeczywistej x i osi urojonej y ukBadu wspBrzdnych Oxy . Liczby bi nazywamy czsto liczbami urojonymi. Dla liczb zespolonych z1 i z2 mamy re(z1 + z2 ) = re z1 + re z2 , (1.19) im(z1 + z2 ) = im z1 + im z2 . (1.20) Niech z1 i z2 bd liczbami zespolonymi postaci: z1 = a1 + b1i i z2 = a2 + b2i . Wwczas traktujc te liczby jak wielomiany i uwzgldniajc rwno[ (1.15) otrzymamy z1 + z2 = a1 + b1i + a2 + b2i = (a1 + a2)+ (b1 + b2) i , (1.21) z1 - z2 = a1 + b1i - (a2 + b2i) = a1 + b1i - a2 - b2i = (a1 - a2)+ (b1 - b2) i , (1.22) z1 " z2 = (a1 + b1i)"(a2 + b2i) = a1a2 + a1b2i + a2b1i + b1b2i2 = (a1a2 - b1b2)+ (a1b2 + a2b1) i . (1.23) oraz z1 a1 + b1i (a1 + b1i)"(a2 - b2i) a1a2 - a1b2i + a2b1i - b1b2 i2 = = = 2 2 z2 a2 + b2i (a2 + b2i)"(a2 - b2i) a2 - b2 i2 (a1a2 + b1b2)+ (a2b1 - a1b2) i a1a2 + b1b2 a2b1 - a1b2 = = + i . (1.24) 2 2 2 2 2 2 a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 PrzykBad 1.1. Obliczy iloczyn i iloraz liczb zespolonych z1 = 2 + 3i i z2 = 1- i . Korzystajc ze wzorw (1.15), (1.23) i (1.24) mamy z1 " z2 = (2 + 3i)"(1- i) = 2 - 2i + 3i - 3i2 = 5 + i , z1 2 + 3i (2 + 3i)"(1+ i) 2 + 2i + 3i + 3i2 -1+ 5i 1 5 = = = = = - + i . z2 1- i (1- i)"(1+ i) 2 2 2 1- i2 2. ModuB i sprz|enie liczby zespolonej Niech dana bdzie liczba zespolona z = a + bi . Definicja 2.1. ModuBem liczby zespolonej z nazywamy liczb rzeczywist z postaci z = a2 + b2 . (2.1) Na przykBad, je[li z = 3 - 4i , to 2 3 - 4i = 32 + (- 4) = 25 = 5 . ModuB liczby zespolonej z oznacza geometrycznie odlegBo[ tej liczby od pocztku O ukBadu wspBrzdnych Oxy . Twierdzenie 2.1. Dla dowolnych liczb zespolonych z1 i z2 z1 " z1 = z1 z2 , (2.2) z1 z1 = , gdy z2 `" 0 , (2.3) z2 z2 z1 + z2 d" z1 + z2 , (2.4) 8 z1 - z2 d" z1 - z2 . (2.5) Nierwno[ (2.4) mo|na uoglni na n liczb zespolonych z1 + z2 + ... + zn d" z1 + z2 + ... + zn . (2.6) Definicja 2.2. Liczb zespolon z postaci z = a - bi, (2.7) nazywamy liczb sprz|on z liczb zespolon z = a + bi . Na przykBad, je[li z = 2 - 5i , to z = 2 + 5i . Liczby zespolone sprz|one s poBo|one symetrycznie wzgldem osi rzeczywistej x. Wprost z definicji liczby sprz|onej wynika, |e z = z . (2.8) Twierdzenie 2.2. Dla dowolnych liczb zespolonych z1 i z2 z1 + z2 = z1 + z2 , (2.9) z1 - z2 = z1 - z2 , (2.10) z1 " z2 = z1 " z2 , (2.11) # # z1 z1 # # = , gdy z2 `" 0 . (2.12) # # z2 z2 # # 3. Posta trygonometryczna liczby zespolonej Niech dana bdzie liczba zespolona z = a + bi `" 0 . Niech  bdzie ktem (dokBadniej: miar kta) zawartym midzy dodatni pBosi rzeczywist x , a odcinkiem Bczcym liczb zespolon z z pocztkiem ukBadu wspBrzdnych Oxy . y b z=a+bi | z |  0 a x Std wynika, |e a b cos = i sin = , (3.1) z z skd a = z cos i b = z sin . (3.2) Z rwno[ci (3.2) i z postaci kanonicznej liczby zespolonej otrzymamy z = z (cos + i sin). (3.3) Posta (3.3) liczby zespolonej z nazywamy postaci trygonometryczn tej liczby. Otrzymali[my zatem Twierdzenie 3.1. Ka|da liczba zespolona z r|na od 0 daje si przedstawi si w postaci trygonometrycznej (3.3). Z okresowo[ci funkcji trygonometrycznych sin i cos wynika, |e istnieje nieskoDczenie wiele ktw  speBniajcych rwnania (3.1). Ka|de dwa z nich r|ni si midzy sob o caBkowit krotno[ liczby 2 . 9 Kty te nazywamy argumentami liczby zespolonej z i oznaczamy symbolem: arg z . T warto[ argumentu, ktra speBnia nierwno[ 0 d" arg z < 2 , (3.4) nazywamy argumentem gBwnym liczby zespolonej z i oznaczamy przez Arg z . Std wynika, |e arg z = Arg z + 2k , (3.5) gdzie k jest dowoln liczb caBkowit. Na przykBad Arg (-1)=  , arg (-1)=  + 2k , 1 1 Arg (1+ i)=  , arg (1+ i)=  + 2k . 4 4 Niech z1, z2 bd liczbami zespolonymi r|nymi od 0 o przedstawieniu trygonometrycznym: z1 = z1 (cos 1 + i sin1) i z2 = z2 (cos 2 + i sin2 ) (3.6) Twierdzenie 3.2. Dla dowolnych liczb zespolonych z1 i z2 z1 " z2 = z1 z2 (cos(1 +2 )+ i sin(1 +2 )), (3.7) z1 z1 = (cos(1 -2 )+ i sin(1 -2 )). (3.8) z2 z2 Z twierdzenia tego wynika nastpujcy: Wniosek 3.1. Dla dowolnych liczb zespolonych z1 i z2 Arg (z1 " z2 )= Arg z1 + Arg z2 , (3.9) z1 Arg = Arg z1 - Arg z2 . (3.10) z2 z1 PrzykBad 3.1. Korzystajc ze wzoru (3.8) obliczy , je[li z1 = -i , z2 = -1+ i . z2 Poniewa| 3 3 3 3 # # - i =1 #cos  + i sin  oraz -1+ i = 2 #cos  + i sin  , # # # # 2 2 4 4 # # # # wic std i z (3.8) mamy - i 1 # 3 3 3 3 # # # # ## = #cos  -  + i sin  -  # # # ## # -1+ i 2 4 2 4 2 # # # # # # # # 2 3 3 2 2 2 1 1 #cos # # # =  + i sin  = - + i = - + i . # # # # 2 4 4 2 2 2 2 2 # # # # Twierdzenie 3.3. Dla dowolnej liczby zespolonej z = z (cos + i sin)`" 0 n zn = z (cos n + i sin n), (3.11) w szczeglno[ci n (cos  + i sin ) = cos n + i sin n . (3.12) Wzr (3.12) nazywa si wzorem Moivre a dla liczb zespolonych. Z twierdzenia (3.3) wynika Wniosek 3.1. Dla dowolnej liczby zespolonej z = z (cos + i sin)`" 0 Arg(zn)= n Arg z . (3.13) PrzykBad 3.1. Obliczy 10 33 # # 1 3 # - i# . # # 2 2 # # Poniewa| 1 3 5 5 #cos # - i = 1  + i sin  , # # 2 2 3 3 # # wic std i ze wzoru (3.11) otrzymamy 33 33 # # 1 3 # 5 5 # 5 5 #cos ## #33" # #33" # # - i# = #1  + i sin  = cos  + i sin  # ## # # # # # # # 2 2 3 3 3 3 # # # # # # # # # # = cos 55 + i sin 55 = cos (27 " 2 +  )+ i sin (27 " 2 +  )= cos  + i sin  = -1 . 4. Pierwiastkowanie liczb zespolonych Niech x bdzie dowoln liczb rzeczywist. Oznaczmy 1, gdy x > 0 # # sgn x : = 0, gdy x = 0 (4.1) # # #-1, gdy x < 0 . Twierdzenie 4.1. Ka|da liczba zespolona z = a + bi `" 0 ma dwa r|ne pierwiastki drugiego stopnia. Liczba zespolona 0 ma tylko jeden pierwiastek 0 . Pierwiastek kwadratowy z liczby zespolonej z = a + bi `" 0 jest pewn liczb zespolon x + yi, tzn. a + bi = x + yi . (4.2) Podnoszc t rwno[ stronami do kwadratu otrzymamy 2 (x + yi) = a + bi . Std x2 - y2 + 2xyi = a + bi , skd wynika nastpujcy ukBad rwnaD o niewiadomych x, y : #x2 - y2 = a (4.3) # #2xy = b . Rozwizujc ten ukBad i uwzgldniajc rwno[ (4.2) otrzymamy, |e # # # a, gdy a e" 0 i b = 0 # # a + bi = i - a, gdy a < 0 i b = 0 (4.4) # # # # a + z - a + z # # #, # # 2 + i sgn b 2 # gdy b `" 0 . # # # # PrzykBad 4.1. Obliczy pierwiastek kwadratowy 3 - 4i . Korzystajc z powy|szych rozwa|aD mamy 3 - 4i = x + yi . (4.5) Po podniesieniu tej rwno[ci stronami do kwadratu i po porwnaniu cz[ci rzeczywistych i urojonych tych liczb otrzymamy ukBad rwnaD #x2 - y2 = 3 (4.6) # #2xy = -4 . 11 Z drugiego rwnania tego ukBadu wynika, |e 2 y = - dla x `" 0 . (4.7) x Podstawiajc to do pierwszego z rwnaD ukBadu (4.6) mamy 2 2 # # x2 - #- # = 3, x # # skd otrzymamy rwnanie dwukwadratowe postaci x4 - 3x2 - 4 = 0 . Rozwizujc to rwnanie otrzymamy x2 = -1 (" x2 = 4 . Pierwsze z tych rwnaD jest rwnaniem sprzecznym, natomiast drugie ma pierwiastki: x1 = -2, x2 = 2 . (4.8) Std i z rwnania (4.7) otrzymamy, |e 2 2 y1 = - = 1, y2 = - = -1. (4.9) x1 x2 Z (4.8), (4.9) oraz z rwno[ci (4.5) wynika, |e x1 + y1i = # -2 + i, # 3 - 4i = # lub #x + y2i = 2 - i . # 2 Twierdzenie 4.2. Je[li z = z (cos + i sin)`" 0 , (4.10) to istnieje dokBadnie n r|nych pierwiastkw n-tego stopnia z liczby zespolonej (4.10) okre[lonych wzorem  + 2k  + 2k # n zk = z #cos + i sin , (4.11) # # n n # # gdzie k = 0, 1, 2, ... , n -1 . Z definicji moduBu liczby zespolonej oraz ze wzoru (4.11) otrzymamy  + 2k  + 2k n n zk = z . cos + i sin = z dla k = 0, 1, 2, ... , n -1. (4.12) n n Ponadto  + 2(k +1)  + 2k 2 Arg zk+1 - Arg zk = - = . (4.13) n n n Std, z rwno[ci z0 = zn oraz z (4.12) wynika, |e wszystkie pierwiastki n-tego stopnia z liczby zespolonej z `" 0 , okre[lone wzorem (4.11), le| na okrgu o [rodku w pocztku O ukBadu n wspBrzdnych i promieniu r = z i dziel ten okrg (kt peBny) na n rwnych cz[ci. PrzykBad 4.2. Obliczy 4 -16 . (4.14) Poniewa| -16 =16 (cos  + i sin  ), wic std i ze wzoru (4.11) otrzymamy pierwiastki czwartego stopnia z liczby -16 postaci: 12 # #   2 2 # 4 # z0 = 16 #cos + i sin = 2 # + i = 2 + 2 i , # # # # 4 4 2 2 # # # # # # 3 3 2 2 # 4 # z1 = 16 #cos + i sin = 2 # - + i = - 2 + 2 i , # # # # 4 4 2 2 # # # # # # 5 5 2 2 # 4 # z2 = 16 #cos + i sin = 2 # - - i = - 2 - 2 i , # # # # 4 4 2 2 # # # # # # 7 7 2 2 # 4 # z3 = 16 #cos + i sin = 2 # - i = 2 - 2 i . # # # # 4 4 2 2 # # # # Powy|sze pierwiastki le| na okrgu o [rodku w pocztku ukBadu wspBrzdnych i promieniu 2 i dziel ten okrg na cztery rwne cz[ci. y z1 z0 - 2 -2 2 x z2 z4 Z faktem, |e w zbiorze Z liczb zespolonych istnieje pierwiastek dowolnego stopnia z ka|dej liczby zespolonej wi|e si nastpujce twierdzenie, zwane podstawowym twierdzeniem algebry: Twierdzenie 4.3. Ka|de rwnanie algebraiczne n-tego stopnia ma w zbiorze Z liczb zespolonych n pierwiastkw. PrzykBad 4.3. Rozwiza rwnanie z3 - iz2 + 2z - 2i = 0 . (4.15) Grupujc odpowiednio wyrazy tego rwnania mamy z2(z - i)+ 2(z - i)= 0 , (z - i) (z2 + 2)= 0 . Std wynika, |e z2 + 2 = 0 (" z - i = 0 . (4.16) Rozwizujc pierwsze z rwnaD (4.16) otrzymamy z2 = -2 , skd z = - 2 . (4.17) Poniewa| - 2 = 2 (cos  + i sin  ), wic std i ze wzoru (4.11) wynika, |e pierwiastkami rwnania z2 + 2 = 0 s rwne:   # z0 = 2 #cos + i sin = 2 i , # # 2 2 # # 3 3 # z1 = 2 #cos + i sin = - 2 i . # # 2 2 # # Std i z drugiego z rwnaD (4.16) otrzymamy pierwiastki rwnania (4.15) postaci: 13 z0 = 2 i, z1 = - 2 i, z2 = i . Z powy|szego przykBadu wynika, |e liczby sprz|one z0 = 2 i, z1 = - 2 i s pierwiastkami rwnania z2 + 2 = 0 o wspBczynnikach rzeczywistych. Oglnie, Batwo mo|na wykaza, korzystajc z wBasno[ci sprz|enia liczby zespolonej, nastpujce twierdzenie: Twierdzenie 4.3. Je[li rwnanie algebraiczne o wspBczynnikach rzeczywistych ma pierwiastek zespolony z , to liczba zespolona sprz|ona z jest tak|e pierwiastkiem tego rwnania. 5. Posta wykBadnicza liczby zespolonej W zbiorze Z liczb zespolonych zachodzi tzw. wzr Eulera postaci: ei = cos + i sin . (5.1) Na przykBad e2k i = cos 2k + i sin 2k = 1 , gdzie k jest dowoln liczb caBkowit. Ze wzoru (5.1) i wBasno[ci funkcji trygonometrycznych wynika, |e e-i = cos - i sin . (5.2) Z (5.1) i (5.2) otrzymamy nastpujce wzory ei + e-i ei - e-i cos = oraz sin = . (5.3) 2 2i Ze wzoru Eulera (5.1) i z postaci trygonometrycznej liczby zespolonej wynika |e ka|d liczb zespolon z `" 0 mo|na zapisa w postaci: z = z ei , (5.4) zwanej postaci wykBadnicz tej liczby. PrzykBad 5.1. Zapisa w postaci wykBadniczej liczb zespolon z = -2 3 - 2i . (5.5) Poniewa| 2 2 z = (- 2 3) + (- 2) = 4 , (5.6) wic std, z (5.5) i ze wzorw (3.1) otrzymamy - 2 3 3 - 2 1 cos = = - i sin = = - , 4 2 4 2 7 skd wynika, |e  =  . 6 Std i z (5.6) otrzymamy posta kanoniczn liczby zespolonej (5.5) 7  z = 4 e6 . (5.7) 14 III MACIERZE, WYZNACZNIKI I UKAADY RWNAC LINIOWYCH 1. Macierze Niech m i n bd dowolnymi liczbami naturalnymi. Definicja 1.1. Funkcj (i, j) a aij , (1.1) ktra ka|dej parze liczb naturalnych (i, j) , gdzie 1 d" i d" m, 1 d" j d" n przyporzdkowuje pewn liczb aij nazywamy macierz wymiaru m n . Liczb aij nazywamy elementem macierzy, natomiast liczby naturalne i, j wskaznikami tego elementu. Macierz wymiaru m n oznaczamy zwykle symbolami: [aij ] 1d"id"m, 1d" jd"n , (1.2) lub a11 a12 ... a1n # # #a a22 ... a2n # . (1.3) 21 # # # m1 # #a am2 ... amn # Macierze oznaczamy rwnie| du|ymi literami: A, B, C, ... , np. A = [aij ] 1d"id"m, 1d" jd"n . (1.4) O macierzy wymiaru m n mwimy, |e ma m wierszy i n kolumn, natomiast o elemencie aij , |e jest elementem i-tego wiersza i j-tej kolumny tej macierzy. Je[li m `" n , to macierz nazywamy macierz prostoktn, natomiast w przypadku przeciwnym, macierz kwadratow n-tego stopnia. Na przykBad, macierze 2 1 # # #-1 3 # #0 A = 5# , B = , # # # 0 1# # # # # #7 9# maj odpowiednio wymiary 3 2 oraz 2 2 . Pierwsza z nich jest macierz prostoktn, natomiast druga macierz kwadratow drugiego stopnia. Macierz, ktra powstaje z danej macierzy przez skre[lenie pewnej liczby wierszy i kolumn nazywamy podmacierz tej macierzy. Podmacierz stopnia k macierzy kwadratowej A stopnia n (k < n), nazywamy ka|d z macierzy B stopnia k, ktra powstaje z macierzy A przez skre[lenie n - k wierszy i n - k kolumn. Na przykBad, macierz 2 3 # # B = , #1 4# # # jest podmacierz stopnia 2 macierzy 5 2 3 # # #0 A = 7 6# . # # # # #3 1 4# 15 PowstaBa ona z macierzy A przez skre[lenie w tej macierzy pierwszej kolumny i drugiego wiersza. Definicja 1.2. Macierz transponowan (przestawion) macierzy A = [aij ] 1d"id"m, 1d" jd"n nazywamy tak macierz B = [bij ] 1d"id"n, 1d" jd"m , |e bij = a . (1.5) ji Macierz transponowan macierzy A oznaczamy najcz[ciej symbolem: AT . PrzykBad 1.1. Je[li 3 0 2 # # A = #1 4 7# , # # to 3 1 # # #0 AT = 4# . # # # # #2 7# Definicja 1.3. Macierze A = [aij ] 1d"id"m, 1d" jd"n i B = [bij ] 1d"id"m, 1d" jd"n nazywamy rwnymi, co zapisujemy: A = B , wtedy i tylko wtedy, gdy aij = bij . (1.6) Definicja 1.4. Sum macierzy A = [aij ] 1d"id"m, 1d" jd"n , B = [bij ] 1d"id"m, 1d" jd"n (tych samych wymiarw) nazywamy macierz A + B = [cij ] 1d"id"m, 1d" jd"n , ktrej elementy cij s rwne cij = aij + bij . (1.7) PrzykBad 1.2. Je[li 2 1 0 5 - 8 2 # # # # A = #3 4 -1# , B = #3 - 6 1# , # # # # to 7 # - 7 2 # A + B = #6 - 2 0# . # # Definicja 1.5. Iloczynem macierzy A = [aij ] 1d"id"m, 1d" jd"n i liczby  nazywamy macierz wymiaru m n , postaci: A = [bij ] 1d"id"m, 1d" jd"n, ktrej elementy s rwne bij = aij . (1.8) PrzykBad 1.3. Je[li 2 1 0 # # A = , # #-1 - 2 3# # to 2 1 0 6 - 3 0 # # #- # - 3 A = -3 # = . # 3 6 - 9# #-1 - 2 3# # # # Definicja 1.6. Iloczynem macierzy A = [aij ] 1d"id"m, 1d" jd" p i B = [bij ] 1d"id" p, 1d" jd"n nazywamy macierz postaci: A" B = [cij ] 1d"id"m, 1d" jd"n , ktrej elementy cij s okre[lone wzorem: p cij = bkj = ai1b1 j + ai2b2 j + ...+ aipbpj . (1.9) "aik k=1 Z powy|szej definicji wynika, |e mo|na mno|y przez siebie tylko takie macierze, z ktrych pierwsza ma tyle kolumn co druga wierszy. Z wymno|enia macierzy przez siebie otrzymujemy macierz, ktra ma tyle wierszy co pierwsza i tyle kolumn co druga macierz. Element cij, gdzie 1 d" i d" m, 1 d" j d" n nowej macierzy, jest rwny sumie iloczynw elementw i-tego wiersza pierwszej macierzy przez odpowiednie elementy j-tej kolumny drugiej macierzy. 16 PrzykBad 1.4. Je[li 1 0 # -1 # 2 1 0 # # #2 A = #3 4 -1# , B = # 3 1# , # # # # - 2 2# # #0 to 2 "1+1" 2 + 0 "0 2 "0 +1"3+ 0 "(- 2) 2"(-1)+1"1+ 0" 2 4 3 -1 # # # # A" B = #3"1+ 4 " 2 + 3"0 + 4 "3 + 2) 3"(-1)+ 4 "1+ 2# = #11 14 -1# . (-1)"0 (-1)"(- (-1)" # # # # Korzystajc z definicji i iloczynu macierzy mo|na wykaza nastpujce prawa dla macierzy: 1. A + B = B + A 2. A + (B + C) = (A + B) + C 3. A"(B "C) = (A" B) "C 4. A"(B + C) = A" B + A"C 5. (A + B) "C = A"C + B "C 6. (A + B)T = AT + BT 7. (A" B)T = BT " AT . Uwaga. Mno|enie macierzy na ogB nie jest przemienne tzn.: 8. A" B `" B " A . PrzykBad 1.5. Je[li 2 1 # # #- 5 3 # A = , B = , #0 3# # 1 4# # # # # to 2"(- 5)+1"1 2" 3+1" 4 9 10 # # #- # A" B = , #0" 5)+ 3"1 0"3 + 3" 4# = # (- 3 12# # # # # natomiast (- 5)" 2 + 3" 0 (- 5)"1+ 3"3 # # #-10 4 # B " A = = . # # # 1" 2 + 4 "0 1"1+ 4 "3 2 13# # # # # Std wynika, |e A" B `" B " A . Definicja 1.7. Macierz, ktrej wszystkie elementy s zerami nazywamy macierz zerow i oznaczamy symbolem O. Zatem 0 0 ... 0 # # # O : = 0 0 ... 0# . (1.10) # # # # 0 0 ... 0# # Niech dana bdzie macierz kwadratowa n-tego stopnia postaci a11 a12 ... a1n # # #a A = a22 ... a2n # . (1.11) 21 # # # n1 # #a an2 ... ann # Definicja 1.8. Macierz A, ktrej elementy s okre[lone wzorem 1 dla i = j, # aij = (1.12) # 0 dla i `" j. # nazywamy macierz jednostkow i oznaczamy przez I. Zatem 17 1 0 ... 0 # # # I : = 0 1 ... 0# . (1.13) # # # # 0 0 ... 1# # Elementy a11, a22, ... ,ann tworz tzw. gBwn przektn macierzy kwadratowej A postaci (1.11) Std wynika, |e macierz kwadratowa A, jest macierz jednostkow, je[li elementy na gBwnej przektnej s jedynkami, natomiast poza t przektn zerami. Dla dowolnej macierzy A oraz macierzy zerowej O i jednostkowej I mamy: 9. A + O = A 10. A"O = O " A = O 11. A" I = I " A = A . Definicja 1.9. Macierz kwadratow A, ktra poza gBwn przektn ma zera, czyli macierz postaci a11 0 ... 0 # # # # A = 0 a22 ... 0 , (1.14) # # # # 0 0 ... ann # # nazywamy macierz diagonaln. Std wynika, |e ka|da macierz jednostkowa jest macierz diagonaln, ale nie na odwrt. Definicja 1.10. R|nic macierzy A = [aij ] 1d"id"m, 1d" jd"n i macierzy B = [bij ] 1d"id"m, 1d" jd"n nazywamy macierz X = [xij ] 1d"id"m, 1d" jd"n speBniajc warunek: B + X = A . (1.15) R|nic macierzy A i B oznaczamy przez A - B . Macierz ta zawsze istnieje, a jej elementy s rwne xij = aij - bij . (1.16) Zatem A - B = [aij - bij ] 1d"id"m, 1d" jd"n . (1.17) Definicja 1.11. Macierz odwrotn do macierzy kwadratowej A nazywamy tak macierz kwadratow B, |e A" B = B " A = I . (1.18) Macierz odwrotn do macierzy A oznaczamy najcz[ciej przez A-1 . Uwaga. Nie ka|da macierz kwadratowa posiada macierz odwrotn. Na przykBad, macierz zerowa nie ma macierzy odwrotnej, gdy| O " B = B "O = O `" I . (1.19) W dalszej cz[ci wykBadu podamy pewien warunek konieczny i wystarczajcy na to, aby macierz kwadratowa miaBa macierz odwrotn. 2. Wyznaczniki Niech dany bdzie zbir A = { 1, 2, ... , n }. Definicja 2.1. Permutacj zbioru A nazywamy dowolny n-elementowy cig 1, 2, ... , n , (2.1) utworzony z elementw tego zbioru. Ze zbioru n-elementowego mo|na utworzy Pn = n! permutacji. Definicja 2.2. Mwimy, |e para liczb i ,  cigu (2.1) tworzy inwersj, je[li j i >  , gdy i < j . (2.2) j Na przykBad, w cigu postaci: 18 2, 1, 4, 5, 3 s trzy inwersje. Tworz je nastpujce pary liczb: 2, 1; 4, 3; 5, 3. Niech dana bdzie macierz kwadratowa A stopnia n postaci: a11 a12 ... a1n # # #a A = a22 ... a2n # . (2.3) 21 # # #an1 an2 ... ann # # # Niech f oznacza dowoln permutacj (2.1) zbioru A, natomiast I ilo[ inwersji tej permutacji. f Przez  oznaczmy zbir wszystkich permutacji zbioru A. Definicja 2.3. Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A nazywamy liczb okre[lon wzorem: I f "(-1) a1 a2 """ an . (2.4) 1 2 n f " Wyznacznik macierzy A oznaczamy symbolami: a11 a12 ... a1n det A , det [aij ] , A , a21 a22 ... a2n . (2.5) an1 an2 ... ann Zatem I f det A : = a2 """ an . (2.6) "(-1) a11 2 n f " StopieD macierzy kwadratowej A nazywamy stopniem wyznacznika tej macierzy. PrzykBad 2.1. Korzystajc z definicji wyznacznika obliczy wyznacznik: a11 a12 . (2.7) a21 a22 Wskazniki elementw tego wyznacznika nale| do zbioru A = { 1, 2}. Z tego zbioru mo|na utworzy dwie permutacje o nastpujcej liczbie inwersji: 1, 2 - 0 inwersji, 2, 1 - 1 inwersja. Std i z definicji (2.6) mamy a11 a12 0 1 = (-1) a11a22 + (-1) a12a21 = a11a22 - a12a21 . (2.8) a21 a22 PrzykBad 2.2. Korzystajc z definicji wyznacznika obliczy wyznacznik stopnia trzeciego: a11 a12 a13 a21 a22 a23 . (2.9) a31 a32 a33 Wskazniki elementw wyznacznika (2.9) nale| do zbioru A = { 1, 2, 3}. Z tego zbioru mo|na utworzy sze[ permutacji o nastpujcej liczbie inwersji: 1, 2, 3 - 0 inwersji, 1, 3, 2 - 1 inwersja, 2, 1, 3 - 1 inwersja, 2, 3, 1 - 2 inwersje, 3, 1, 2 - 2 inwersje, 3, 2, 1 - 3 inwersje. Std i z definicji (2,6) wyznacznika otrzymamy 19 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 0 1 1 2 2 3 = (-1) a11a22a33 + (-1) a11a23a32 + (-1) a12a21a33 + (-1) a12a23a31 + (-1) a13a21a32 + (-1) a13a22a31 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a11a23a32 - a12a21a33 - a13a22a31. (2.10) Istnieje prosty, mnemotechniczny sposb zapamitywania budowy wyznacznikw trzeciego stopnia, zwany schematem Sarrusa. Z prawej strony (u doBu) wyznacznika dopisujemy dwie pierwsze kolumny (dwa pierwsze wiersze) i tworzymy iloczyny ze znakami +, - wedBug nastpujcego schematu: + + + a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 . (2.11) a31 a32 a33 a31 a32 - - - PrzykBad 2.3. Obliczy wyznacznik 1 0 - 3 4 3 2 . 0 1 - 2 Korzystajc ze schematu Sarrusa mamy + + + 1 0 - 3 1 0 4 3 2 4 3 0 1 - 2 0 1 - - - = 1"3"(- 2)+ 0 " 2 "0 + (- 3)" 4 "1- 0"3"(- 3)-1" 2"1-(- 2)" 4 "0 = -6 -12 - 2 = -20 . Dla wyznacznikw stopnia czwartego i wy|szych praktyczne sposoby obliczania nie s takie proste. Metody obliczania takich wyznacznikw podamy w dalszym cigu niniejszego wykBadu. Rozwinicie Laplace a. Niech M bdzie macierz kwadratow powstaB z macierzy prostoktnej A przez skre[lenie w tej macierzy pewnej liczby wierszy i kolumn. Definicja 2.4. Wyznacznik det M nazywamy minorem macierzy A. Niech Mij oznacza minor stopnia n -1 , ktry powstaje z macierzy kwadratowej A stopnia n przez skre[lenie w tej macierzy i-tego wiersza i j-tej kolumny, gdzie i, j = 1, 2, ... , n . Na przykBad, dla macierzy trzeciego stopnia a11 a12 a13 # # #a A = a22 a23# , 21 # # # # 31 #a a32 a33# a11 a12 M = . 23 a31 a32 Przeanalizujemy teraz budow wyznacznika macierzy kwadratowej A stopnia n, ktry w my[l definicji (2.6) jest rwny: 20 I f det A = "(-1) a1 a2 """ an . (2.12) 1 2 n f " Wezmy pod uwag jeden ustalony element aij macierzy A. Definicja 2.5. Liczb postaci Aij = (-1) i+ jM , (2.13) ij nazywamy dopeBnieniem algebraicznym elementu aij macierzy A. Twierdzenie 2.1. W rozwiniciu (2.12) wyznacznika det A suma tych skBadnikw, w ktrych jako czynnik wystpuje element aij jest rwna aij Aij . Rozwa|my np. i-ty wiersz wyznacznika det A. SkBada si on z elementw: ai1, ai2, ... ,ain , gdzie i = 1, 2, ... , n . (2.14) SkBadniki wyznacznika det A , w ktrych jako czynniki wystpuj elementy (2.14) s na podstawie Twierdzenia 2.1 odpowiednio rwne: ai1Ai1, ai2 Ai2, ... , ain Ain , gdzie i = 1, 2, ... , n . (2.15) Suma wszystkich skBadnikw (2.15) jest rwna wyznacznikowi det A. Zatem n det A = ai1Ai1 + ai2 Ai2 + ... + ain Ain = Aij , (2.16) "aij j=1 gdzie i = 1, 2, ... , n . Wzr (2.16) przedstawia tzw. rozwinicie Laplace a wyznacznika det A wzgldem i-tego wiersza. Podobnie rwno[ postaci n det A = a1 j A1 j + a2 j A2 j + ... + anj Anj = Aij , (2.17) "aij i=1 gdzie j = 1, 2, ... , n , przedstawia rozwinicie Laplace a wyznacznika det A wzgldem j-tej kolumny. Ze wzorw (2.16) i (2.17) wynika, |e najkorzystniej jest rozwija wyznacznik det A wzgldem tego wiersza lub kolumny, ktre maj najwiksz liczb elementw zerowych. PrzykBad 2.4. Stosujc rozwinicie Laplace a obliczy wyznacznik 1 0 -1 2 3 1 . 1 -1 0 Rozwijajc ten wyznacznik np. wzgldem pierwszego wiersza otrzymamy 1 0 -1 3 1 2 1 2 3 2 3 4 2 3 1 = 1 (-1) + 0 (-1) + (-1) (-1) -1 0 1 0 1 -1 1 -1 0 = 1- (- 2 - 3)= 6 . WBasno[ci wyznacznikw. Podamy teraz pewne twierdzenia, ktre w znaczcy sposb uBatwiaj obliczanie wyznacznikw dowolnego stopnia. Twierdzenie 2.2. Wyznacznik, w ktrym jeden wiersz lub kolumna skBada si z samych zer jest rwny zeru. Twierdzenie to wynika natychmiast ze wzorw (2.16) lub (2.17) na rozwinicie wyznacznika det A . Twierdzenie 2.3. Wyznacznik macierzy kwadratowej A jest rwny wyznacznikowi jej macierzy transponowanej AT , tzn. det A = det AT . (2.18) 21 Twierdzenie to wynika wprost z definicji macierzy transponowanej oraz z dowolno[ci obliczania wyznacznika wzgldem wiersza lub kolumny. Twierdzenie 2.4. Je[li macierz B stopnia n e" 2 powstaje z macierzy A przez zamian ze sob dwch wierszy lub kolumn, to det B = - det A. (2.19) Twierdzenie 2.5. Je[li w macierzy dwa wiersze lub dwie kolumny s rwne lub proporcjonalne, to jej wyznacznik jest rwny zeru. Twierdzenie 2.6. Je[li macierz B powstaje z macierzy A przez pomno|enie wszystkich elementw jednego wiersza lub kolumny przez staB c, to det B = c det A. (2.20) Twierdzenie 2.7. Je[li elementy i-tego (i = 1, 2, ..., n) wiersza (kolumny) s sumami dwch skBadnikw aij = a' + a'' , gdzie j = 1, 2, ..., n , ij ij to wyznacznik ten jest sum dwch wyznacznikw, ktre oprcz i-tego wiersza (kolumny) maj te same ' wiersze (kolumny). Wiersz (kolumna) i-ty w pierwszym wyznaczniku skBada si z elementw aij , za[ w '' drugim z elementw aij . O jednej z najwa|niejszych wBasno[ci wyznacznikw, majcej du|e zastosowanie przy ich obliczaniu, mwi nastpujce twierdzenie: Twierdzenie 2.8. Wyznacznik nie ulega zmianie, je[li do elementw jednego wiersza (kolumny) dodamy odpowiednio elementy innego wiersza (kolumny) pomno|one przez dowolna staB. Twierdzenie 2.9. Suma elementw jakiego[ wiersza (kolumny) wyznacznika pomno|onych przez dopeBnienia algebraiczne elementw innego wiersz (kolumny) jest rwna zeru, tzn. ai1Aj1 + ai2 Aj2 + ... + ain Ajn = 0 , (2.21) a1i A1 j + a2i A2 j + ... + ani Anj = 0 , (2.22) dla i `" j oraz i, j = 1, 2, ..., n . Ze wzorw (2.21), (2.22) oraz z rozwinicia Laplace a wyznacznika det A wynikaj nastpujce rwno[ci: det A dla i = j, # ai1Aj1 + ai2 Aj2 + ... + ain Ajn = (2.23) # # 0 dla i `" j . oraz det A dla i = j, # a1i A1 j + a2i A2 j + ... + ani Anj = (2.24) # # 0 dla i `" j . Twierdzenie 2.10. Je[li elementy wyznacznika det A nad (pod) gBwn przektn s rwne zeru, tzn. aij = 0 dla i < j ( i > j ), to wyznacznik ten jest rwny iloczynowi wyrazw gBwnej przektnej, czyli det A = a11 a22 """ ann . (2.25) PrzykBad 2.5. Korzystajc z rozwinicia Laplace a i z wBasno[ci wyznacznikw obliczy wyznacznik 1 0 -1 2 3 - 2 -1 4 . 0 3 2 5 - 2 1 0 1 Dodajc kolumn pierwsz do kolumny trzeciej, mno|c nastpnie kolumn pierwsz przez - 2 i dodajc do kolumny czwartej oraz rozwijajc wyznacznik wzgldem pierwszego wiersza otrzymamy 22 1 0 -1 2 1 0 0 0 - 2 2 - 2 - 2 2 - 2 3 - 2 -1 4 3 - 2 2 - 2 2 = = 1 (-1) 3 2 5 = 3 2 5 . 0 3 2 5 0 3 2 5 1 - 2 5 1 - 2 5 - 2 1 0 1 - 2 1 - 2 5 Dodajc teraz w koDcowym wyznaczniku wiersz trzeci do wiersza pierwszego i wiersza drugiego i rozwijajc ten wyznacznik wzgldem drugiej kolumny dostaniemy - 2 2 - 2 -1 0 3 -1 3 5 3 2 5 = 4 0 10 = -2(-1) = 2 (-10 -12)= - 44 . 4 10 1 - 2 5 1 - 2 5 Zatem 1 0 -1 2 3 - 2 -1 4 = - 44 . 0 3 2 5 - 2 1 0 1 3. Macierz odwrotna, rzd macierzy Niech A i B bd dowolnymi macierzami kwadratowymi n-tego stopnia postaci: a11 a12 ... a1n b11 b12 ... b1n # # # # #a #b A = a22 ... a2n # , B = b22 ... b2n # . (3.1) 21 21 # # # # # n1 # #b # n1 #a an2 ... ann # # bn2 ... bnn # Twierdzenie 3.1 (Cauchy ego). Wyznacznik iloczynu dwch macierzy jest rwny iloczynowi wyznacznikw tych macierzy, czyli det (A" B) = det A " det B . (3.2) Definicja 3.1. Macierz kwadratow A nazywamy macierz nieosobliw, je[li det A `" 0 . W przypadku przeciwnym macierz kwadratow A nazywamy macierz osobliw. Twierdzenie 3.2. Warunkiem koniecznym i wystarczajcym na to, by macierz kwadratowa A miaBa macierz odwrotn jest, aby byBa macierz nieosobliw. ZaB|my, |e macierz kwadratowa A jest macierz nieosobliw, tzn., |e det A `" 0 . Std i z Twierdzenia 3.2 wynika, |e macierz A ma macierz odwrotn A-1 . Oznaczajc #11 12 ... 1n # # A-1 = 22 ... 2n # , (3.3) 21 # # #n1 n2 ... nn # # # mo|na wykaza, |e elementy ij macierzy odwrotnej A-1 s rwne: Aji ij = dla i, j = 1, 2, ..., n , (3.4) det A gdzie Aji oznacza dopeBnienie algebraiczne elementu a macierzy A, okre[lone wzorem (2.13). ji Wzr (3.4) mo|na zapisa w postaci oglnej: 1 A-1= (AT )D , (3.5) det A gdzie (AT )D oznacza macierz dopeBnieD algebraicznych elementw aij macierzy transponowanej AT. PrzykBad 3.1. Obliczy macierz odwrotn do macierzy 23 # -1 2 3 # # 0 1 - 2# . (3.6) # # #- 3 4 - 5# # # Mno|c drug kolumn przez 2 i dodajc do kolumny trzeciej oraz rozwijajc wyznacznik wzgldem drugiego wiersza otrzymamy -1 2 3 -1 2 7 -1 7 4 det A = 0 1 - 2 = 0 1 0 = 1"(-1) = -3 + 21 = 18 , - 3 3 - 3 4 - 5 - 3 4 3 skd wynika, |e macierz A jest macierz nieosobliw i posiada macierz odwrotn A-1 . Std, ze wzoru (3.5) oraz z tego, |e #-1 0 - 3 # # AT = 2 1 4# , # # # - 2 - 5# # 3 # otrzymamy macierz odwrotn do macierzy (3.6) postaci: # 1 4 2 4 2 1 # # - # - 2 - 5 3 - 5 3 - 2 # # 3 22 # # - 7 # 0 - 3 -1 - 3 -1 0 # 1 1 #6 A-1 = = 14 - 2# . #- - # # # 18 - 2 - 5 3 - 5 3 - 2 18 # # # - 2 -1# # #3 # 0 - 3 -1 - 3 -1 0 # # 1 4 - 2 1 # 2 4 # # Definicja 3.2. Ilorazem lewostronnym macierzy A przez macierz B nazywamy macierz C speBniajc rwnanie B " C = A. (3.7) Definicja 3.3. Ilorazem prawostronnym macierzy A przez macierz B nazywamy tak macierz D, |e D " B = A. (3.8) Twierdzenie 3.3. Je[li macierz B jest macierz nieosobliw, to obydwa ilorazy istniej i zachodz wzory C = B-1" A oraz D = A " B-1. (3.9) Niech teraz A bdzie dowoln macierz wymiaru m n , tzn. a11 a12 ... a1n # # #a A = a22 ... a2n # . 21 # # # m1 # #a am2 ... amn # Definicja 3.4. Rzdem macierzy A nazywamy najwy|szy ze stopni minorw tej macierzy, ktre s r|ne od zera. Rzd macierzy A oznacza bdziemy przez rz A. Na przykBad, macierz 2 1 6 0 # # # A = - 2 3 4# , #-1 # # # 0 0 0 0# # ma rzd 2, gdy| np. minor stopnia drugiego postaci 2 1 = -3 `" 0 , -1 - 2 24 natomiast wszystkie minory stopnia trzeciego s rwne zeru, co wynika z wBasno[ci wyznacznikw. Obliczanie rzdw macierzy (poza definicj) opiera si na dwch nastpujcych twierdzeniach: Twierdzenie 3.4. Je[li macierz B powstaje z macierzy A przez pomno|enie wszystkich elementw pewnego wiersza lub kolumny przez liczb c `" 0 , to rzdy tych macierzy s rwne. Twierdzenie 3.5. Je[li macierz B powstaje z macierzy A przez dodanie do wszystkich elementw pewnego wiersza lub kolumny odpowiednich elementw innego wiersza lub kolumny pomno|onych przez pewn liczb c, to rz A = rz B. (3.10) W podanym ni|ej przykBadzie obliczania rzdu macierzy zastosujemy nastpujce oznaczenia: 10 awm - pomno|enie m-tego wiersza przez staB a, 20 bkn - pomno|enie n-tej kolumny przez staB b. PrzykBad 3.2. Znalez rzd macierzy 2 1 - 3 -1 # # # A = 0 -1 2 1# . (3.11) # # #- 6 3 -1 0# # # k4 +k2 2 1 - 3 -1 2 0 -1 0 2 0 # # # # # -1 0 # w2 +w1 -2k4 +k3 rz A = rz # 0 -1 2 1# = rz # 0 -1 2 1# = rz # 0 0 0 1# # # # # # # #- 6 3 -1 0# # 6 3 -1 0# # 6 3 -1 0# # #- # #- # # 2k2 +k1 1 2 0 # -1 0 0 0 # # -1 0 # k2 +k3 2k3+k1 3 = rz #0 0 0 1# = rz #0 0 0 1# = 3. # # # # # # # #0 3 0 0# # 3 0 0# #0 Std wynika, |e rzd macierzy (3.11) jest rwny 3. Zatem praktycznie, rzd macierzy liczy si dodajc wiersze (kolumny) pomno|one przez pewne staBe, odpowiednio do wybranych wierszy (kolumn) tak, aby otrzyma w macierzy jak najwiksz liczb elementw zerowych. W pewnym momencie dochodzimy do maksymalnej liczby zer w danej macierzy. Dzieje si tak wwczas, gdy ka|dy element r|ny od zera znajduje si w innym wierszu i w innej kolumnie otrzymanej macierzy. Wwczas ilo[ wszystkich elementw niezerowych jest rwna rzdowi danej macierzy. Rzd macierzy (3.1) mo|na znalez korzystajc z definicji rzdu macierzy. Rzd tej macierzy bdzie rwny 3, je[li jaki[ minor stopnia trzeciego tej macierzy (w tym przykBadzie jeden z czterech) bdzie r|ny od zera. Wezmy pod uwag np. minor stopnia 3 macierzy (3.11) postaci: 1 - 3 -1 -1 2 1 . (3.12) 3 -1 0 Korzystajc z rozwinicia Laplace a, wBasno[ci wyznacznikw i przyjtych oznaczeD, mamy 1 - 3 -1 1 - 3 -1 w1+w2 1 -1 4 -1 2 1 = 0 -1 0 = -1 (-1) = -3 `" 0 . 3 0 3 -1 0 3 -1 0 Poniewa| minor (3.12) stopnia trzeciego macierzy (3.11) okazaB si r|ny od zera, wic rzd tej macierzy z definicji jest rwny 3. W tym przypadku liczenie rzdu macierzy z definicji okazaBo si efektywniejsze od pokazanego wcze[niej sposobu. Nie zawsze tak bywa. Ktry ze sposobw obliczania rzdu macierzy wybieramy, zale|y od konstrukcji danej macierzy i od pewnej wprawy rachunkowej. 25 4. UkBady rwnaD liniowych Wzory Cramera. Rozwa|my ukBad n rwnaD liniowych o n niewiadomych x1, x2, ... , xn , postaci: a11x1 + a12x2 + ... + a1k xk + ... + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + ... + a2k xk + ... + a2n xn = b2 (4.1) .................................................................. an1x1 + an2x2 + ... + ank xk + ... + ann xn = bn . Liczby aij , gdzie i, j = 1, 2, ..., n , nazywamy wspBczynnikami przy niewiadomych x1, x2, ... , xn ukBadu (4.1), natomiast liczby b1, b2, ... , bn wyrazami wolnymi tego ukBadu. ZaB|my, |e macierz A wspBczynnikw przy niewiadomych jest macierz nieosobliw, czyli a11 a12 ... a1n W = det A = a21 a22 ... a2n `" 0 . (4.2) an1 an2 ... ann Je[li speBniony jest warunek (4.2), to ukBad (4.1) nazywamy ukBadem Cramera. Wyznacznik W nazywamy wyznacznikiem gBwnym ukBadu (4.1) rwnaD liniowych. Oznaczmy a11 ... a1 k-1 b1 a1 k +1 ... a1n Wk = det Ak = a21 ... a2 k-1 b2 a2 k+1 ... a2n , (4.3) an1 ... an k-1 bn an k+1 ... ann gdzie k = 1, 2, ..., n . Niech Ajk , gdzie j, k = 1, 2, ..., n , bd dopeBnieniami algebraicznymi elementw a macierzy jk A wspBczynnikw przy niewiadomych ukBadu (4.1). W celu wyznaczenia rozwizania: x1, x2, ... , xn ukBadu (4.1), pomn|my pierwsze rwnanie tego ukBadu przez A1k , drugie przez A2k itd. i w koDcu n-te rwnanie przez Ank i dodajmy je stronami. Wwczas otrzymamy a11A1k x1 + a12 A1k x2 + ... + a1k A1k xk + ... + a1n A1k xn + a21A2k x1 + a22 A2k x2 + ... + a2k A2k xk + ... + a2n A2k xn .................................................................................. + an1Ank x1 + an2 Ank x2 + ... + ank Ank xk + ... + ann A2-nk xn = b1A1k + b2A2k + ... + bn Ank . Grupujc w tym rwnaniu wspBczynniki przy niewiadomych x1, x2, ... , xk , ... , xn otrzymamy (a11A1k + a21A2k + ... + an1Ank ) x1 + (a12 A1k + a22 A2k + ... + an2 Ank ) x2 ....................................................... + (a1k A1k + a2k A2k + ... + ank Ank ) xk + (a1n A1k + a2n A2k + ... + ann Ank ) xn = b1A1k + b2 A2k + ... + bn Ank . Std oraz ze wzorw (2.24) i (4.3) wynika, |e det A " xk = det Ak , skd otrzymamy wzory na pierwiastki x1, x2, ... , xn ukBadu (4.1) postaci: 26 Wk det Ak xk = = dla k = 1, 2, ..., n . (4.4) W det A Wzory (4.4) nazywaj si wzorami Cramera dla ukBadu (4.1). W przypadku, gdy b1 = b2 = ... = bn = 0 , (4.5) to ukBad (4.1) nazywa si ukBadem jednorodnym, a rwnania tego ukBadu rwnaniami jednorodnymi. W tym przypadku na podstawie (4.3), Wk = det Ak = 0 dla k = 1, 2, ..., n , wobec czego x1 = x2 = ... = xn = 0 . (4.6) Rozwizanie (4.6) ukBadu (4.1) nazywamy rozwizaniem zerowym. Zatem ukBad jednorodny o wyznaczniku gBwnym W = det A `" 0 ma tylko rozwizanie zerowe. Std przez kontrapozycj wynika, |e je[li ukBad jednorodny ma rozwizanie niezerowe, to W = det A = 0 . PrzykBad 4.1. Rozwiza ukBad rwnaD 2x - y + z = 0 3x + 2y - z = -5 (4.7) x + y + 3z = 5 . Poniewa| 2 -1 1 2 -1 1 7 1 3 W = 3 2 -1 = 7 0 1 = -1 (-1) = 28 - 3 = 25 3 4 1 1 3 3 0 4 oraz 0 -1 1 0 -1 1 -1 1 3 W1 = - 5 2 -1 = - 5 2 -1 = -5 (-1) = 5 (- 2 - 3)= -25 , 3 2 5 1 3 0 3 2 2 0 1 2 0 1 2 1 4 W2 = 3 - 5 -1 = 3 - 5 -1 = -5 (-1) = -5 (4 - 4)= 0 , 4 2 1 5 3 4 0 2 2 -1 0 2 -1 0 2 -1 5 W3 = 3 2 - 5 = 3 2 - 5 = -5 (-1) = 5 (6 + 4)= 50 , 4 3 1 1 5 4 3 0 wic std i ze wzorw Cramera otrzymamy rozwizanie ukBadu (4.7) W1 - 25 W2 0 W3 50 x = = = -1, y = = = 0 , z = = = 2 . W 25 W 25 W 25 PrzykBad 4.2. Rozwiza ukBad jednorodny rwnaD x + 2y - z = 0 3x + 4y + z = 0 (4.8) 2x + 4y + 2z = 0 . Poniewa| 1 2 -1 1 2 -1 4 6 4 W = 3 4 1 = 4 6 0 = -1 (-1) = -(32 - 24)= -8 `" 0 , 4 8 2 4 2 4 8 0 wic std i z wcze[niejszych rozwa|aD wynika, |e ukBad (4.8) ma rozwizanie zerowe, tzn. 27 x = y = z = 0 . UkBad rwnaD liniowych (4.1) mo|na rozwiza stosujc tzw. metod macierzow. Przyjmujc a11 a12 ... a1n x1 b1 # # # # # # #a #x # #b # A = a22 ... a2n # , X = , B = , (4.9) 21 2 2 # # # # # # # n1 # #x # #b # n n #a an2 ... ann # # # # # ukBad rwnaD (4.1) mo|na zapisa w postaci macierzowej A" X = B . (4.10) Je[li macierz A jest macierz nieosobliw, to std i z (4.10) otrzymamy A-1 "(A" X )= A-1 " B . Std i z prawa Bczno[ci iloczynu macierzy otrzymamy (A-1 " A)" X = A-1 " B . Zatem I " X = A-1 " B , skd wynika, |e X = A-1 " B . (4.11) PrzykBad 4.3. Metod macierzow rozwiza ukBad rwnaD x + y + z = 2 2x - y - z = 1 (4.12) x + 2y + 3z = 6 . Obliczymy najpierw macierz odwrotn do macierzy A wspBczynnikw przy niewiadomych x, y, z ukBadu (4.12). Poniewa| 1 1 1 3 0 0 -1 -1 2 det A = 2 -1 -1 = 2 -1 -1 = 3 (-1)2 3 = 3 (- 3 + 2)= -3 (4.13) 1 2 3 1 2 3 oraz 1 2 1 # # #1 AT = -1 2# , # # # -1 3# #1 # wic std i ze wzoru (3.5) mamy # -1 2 1 2 1 -1 # # - # -1 3 1 3 1 -1 # # # -1 -1 0 # # 2 1 1 1 1 2 # 1 1 # A-1 = - #- - # = - 7 2 3# . (4.14) #- # 3 -1 3 1 3 1 -1 3 # # # -1 - 3# # 5 # # 2 1 1 1 1 2 # # -1 2 - 1 2 1 -1 # # # Poniewa| x 2 # # # # #y# #1# X = oraz B = , # # # # #z# #6# # # # # zatem z (4.14) i ze wzoru (4.11) otrzymamy 28 x # # # #- 3 1 # # # -1 -1 0 2 # # # 1 1 #y# # #1# # = - " = - # 6# = # # #- 7 2 3# # # # # #- 2# . # # 3 3 # # -1 - 3# #6# # 9# # 3# # # #- # # # 5 #z# # # # Std wynika, |e pierwiastki ukBadu (4.12) s rwne x = 1, y = -2 , z = 3 . UkBad m rwnaD liniowych o n niewiadomych (m < n) . Rozwa|my ukBad m rwnaD liniowych postaci: a11x1 + a12x2 + ... + a1n xn = b1 a21x1 + a22x2 + ... + a2n xn = b2 (4.15) ................................................ am1x1 + am2x2 + ... + ann xn = bm . o n niewiadomych x1, x2 , ... , xn , gdzie m < n . ZaB|my, |e macierz wspBczynnikw tego ukBadu A = [aij ]1d"id"n, 1d" jd"n , (4.16) jest rzdu m. Mo|na wic przyj np., |e a11 a12 ... a1m " = a21 a22 ... a2m `" 0 . (4.17) am1 am2 ... amm Gdyby nie ten wyznacznik, lecz inny m-tego stopnia byB r|ny od 0, wwczas przez odpowiedni zamian numeracji niewiadomych, mo|na ukBad (4.15) sprowadzi do powy|szego przypadku. Je[li w ukBadzie (4.15) oznaczymy xm+1 = t1, xm+2 = t2 , ... , xn = tn-m , (4.18) gdzie tk (k =1, 2, .... , n - m) s dowolnymi parametrami, to stosujc do ukBadu (4.15) o niewiadomych x1, x2, ... , xm wzory Cramera otrzymamy jednoznaczne rozwizanie tego ukBadu, zale|ne od parametrw tk (k =1, 2, .... , n - m) i wspBczynnikw aij , bi gdzie i = 1, 2, ... , m oraz j = 1, 2, ... , n . Zatem ukBad (4.15) ma nieskoDczenie wiele rozwizaD, w ktrych xm+1, xm+2, ... , xn s dowolnymi staBymi, za[ x1, x2, ... , xm niewiadomymi wyznaczonymi ze wzorw Cramera. PrzykBad 4.4. Rozwiza ukBad rwnaD x + y - 2z = 3 (4.19) 2x + y + z = 0 . Macierz 1 1 # # - 2 A = #2 1 1# , # # jest drugiego rzdu, gdy| np. minor 1 1 M = = -1 `" 0 . 2 1 Std i z powy|szych rozwa|aD wynika, |e np. za niewiadom z mo|na przyj dowolny parametr t, za[ pozostaBe niewiadome x, y wyznaczy za pomoc wzorw Cramera. Przyjmujc zatem z = t , ukBad rwnaD (4.19) mo|na zapisa w postaci: 29 x + y = 3+ 2t 2x + y = -t . Poniewa| dla tego ukBadu 1 1 3+ 2t 1 1 3+ 2t W = = -1, W1 = = 3 + 3t, W2 = = -6 - 5t , 2 1 - t 1 2 - t wic std i ze wzorw Cramera otrzymamy rozwizanie ukBadu (4.19) W1 W2 x = = -3- 3t, y = = 6 + 5t, z = t , (4.20) W W gdzie t jest dowolnym parametrem. Je[li ukBad (4.15) jest jednorodny, tzn.: b1 = b2 = ... = bm = 0 , to oprcz rozwizania zerowego ukBad ten ma nieskoDczenie wiele rozwizaD niezerowych. Przypadek oglny ukBadu rwnaD liniowych. Wezmy teraz pod uwag ukBad m rwnaD liniowych a11x1 + a12x2 + ... + a1n xn = b1 a21x1 + a22x2 + ... + a2n xn = b2 (4.21) ................................................ am1x1 + am2x2 + ... + ann xn = bm . o n niewiadomych x1, x2 , ... , xn , gdzie m i n s dowolnymi liczbami naturalnymi. Z ukBadem tym s zwizane dwie macierze # a11 a12 ... a1n # # a11 a12 ... a1n b1 # #a #a A = a22 ... a2n # oraz B = a22 ... a2n b2 # . (4.22) 21 21 # # # # # # m1 # m1 # #a am2 ... amn # #a am2 ... amn bm # Poniewa| A jest podmacierz macierzy B, wic std wynika, |e rz A d" rz B . (4.23) Twierdzenie 4.1 (Kroneckera-Capellego). Warunkiem koniecznym i wystarczajcym rozwizalno[ci ukBadu rwnaqD (4.21) jest rwno[ rzdw macierzy A i B. Je[li przy tym wsplny rzd tych macierzy jest rwny r, a liczba niewiadomych n, to ukBad ten ma nieskoDczenie wiele rozwizaD. Z twierdzenia tego wynika Wniosek 4.1. Je[li 10 rz A `" rz B , 20 rz A = rz B = n , 30 rz A = rz B = r < n , to ukBad rwnaD (4.21) jest odpowiednio: 10 ukBadem sprzecznym i nie ma rozwizania, 20 ma dokBadnie jedno rozwizanie okre[lone wzorami Cramera, 30 ma nieskoDczenie wiele rozwizaD, zale|nych od n - r parametrw. UkBad jednorodny ma zawsze rozwizanie, gdy| macierz B ma taki sam rzd jak macierz A, poniewa| r|ni od niej tylko kolumn zBo|on z samych zer. Je[li ukBad (4.21) jest jednorodny, m = n oraz det A = 0 , to ukBad ten oprcz rozwizania zerowego ma nieskoDczenie wiele rozwizaD niezerowych. Uwaga. Je[li rz A = rz B = r , to przy rozwizywaniu ukBadu (4.21) bierzemy pod uwag tylko r rwnaD tego ukBadu tak dobranych, aby wyznacznik gBwny tego ukBadu byB r|ny od zera. Rozwizujc taki ukBad przy pomocy wzorw Cramera, znajdujemy pierwiastki, ktre speBniaj nie tylko ukBad zBo|ony z r rwnaD, ale tak|e ukBad wyj[ciowy (4.21). PrzykBad 4.5. Rozwiza ukBad rwnaD 30 3x - 2y + 5z + 4t = 2 6x - 4 y + 4z + 3t = 3 (4.24) 9x - 6y + 3z + 2t = 4 . Z ukBadem tym zwizane s dwie macierze A i B postaci: 3 # 3 # # - 2 5 4 # - 2 5 4 2 #6 #6 A = - 4 4 3# oraz B = - 4 4 3 3# . (4.25) # # # # # - 6 3 2# # # - 6 3 2 4# # #9 #9 Obliczymy najpierw rzd macierzy B -2w1+w2 3 # 3 # # - 2 5 4 2 # - 2 5 4 2 -3w1+w3 #6 rz B = rz - 4 4 3 3# = rz #0 0 - 6 - 5 -1# # # # # # - 6 3 2 4# # # -12 -10 - 2# # #9 #0 0 -2w2 +w3 -5k5+k4 3 # # - 2 - 7 - 6 1 3 - 2 - 7 - 6 0 # - 2 -1 -1 1 3 # # # w2 +w1 -6k5+k3 k2 +k3 = rz #0 0 - 6 - 5 -1# = rz #0 0 0 0 -1# = rz #0 0 0 0 -1# # # # # # # # # # # #0 0 0 0 0# # 0 0 0 0# # 0 0 0 0# #0 #0 3 7 k1+k2 , k1+k3 2 3 3 0 0 0 0 # # 2k1+k4 = rz #0 0 0 0 -1# = 2 . # # # # #0 0 0 0 0# Std, z nierwno[ci (4.23) oraz z faktu, |e np. minor drugiego stopnia macierzy A 5 4 M = = 15 -16 = -1 `" 0 , 4 3 wynika, |e rz A = 2 . Zatem rz A = rz B = 2 . Std oraz z Twierdzenia 4.1, a dokBadniej z przypadku 30 Wniosku 4.1, wynika, |e ukBad (4.24) ma nieskoDczenie wiele rozwizaD zale|nych od dwch parametrw. Przyjmujc zatem x = , y =  , (4.26) gdzie ,  s dowolnymi parametrami, ukBad rwnaD (4.24), po odrzuceniu np. trzeciego rwnania, przyjmie posta 5z + 4 t = 2 - 3 + 2 4z + 3 t = 3 - 6 + 4 . Poniewa| dla tego ukBadu 5 4 W = = -1, 4 3 2 - 3 + 2 4 W1 = = 6 - 9 + 6 -12 + 24 -16 = -6 +15 -10 , 3 - 6 + 4 3 5 2 - 3 + 2 W2 = = 15 - 30 + 20 - 8 +12 - 8 = 7 -18 +12 , 4 3 - 6 + 4 wic std i ze wzorw Cramera wynika, |e W1 W2 z = = 6 -15 +10 , t = = -7 +18 -12 . W W 31 Std oraz (4.26) otrzymamy rozwizanie ukBadu (4.24), zale|ne od dwch parametrw  i  , postaci: x = , y =  , z = 6 -15 +10 , t = -7 +18 -12 . 32 IV GEOMETRIA ANALITYCZNA 1. O przestrzeni Euklidesa Niech R bdzie zbiorem liczb rzeczywistych. Definicja 1.1. n-wymiarow przestrzeni Euklidesa nazywamy zbir n-elementowych cigw liczb rzeczywistych i oznaczamy symbolem Rn . Zatem Rn : = { x : x = (x1, x2, ..., xn), gdzie x1, x2, ..., xn " R }. (1.1) Cigi x = (x1, x2, ..., xn ), (1.2) nazywamy punktami przestrzeni euklidesowej Rn . Liczby rzeczywiste x1, x2, ..., xn nazywamy wspBrzdnymi punktu x , a dokBadniej: liczb rzeczywist xi (i = 1, 2, ..., n) nazywamy i-t wspBrzdn punktu x . Jednowymiarow przestrzeni Euklidesa R1 uto|samiamy ze zbiorem R liczb rzeczywistych. Je[li n = 2 lub n = 3, to R2 , R3 nazywamy odpowiednio dwuwymiarow lub trjwymiarow przestrzeni Euklidesa. Dwuwymiarow przestrzeD Euklidesa nazywa si czsto pBaszczyzn. Niech X bdzie dowolnym niepustym zbiorem, zawierajcym co najmniej trzy elementy. Ponadto 2 niech  bdzie nieujemn funkcj rzeczywist, okre[lon w zbiorze X tzn. 2  : X a [0, "), (1.3) speBniajc warunki: 10 (x, y)= 0 ! x = y dla x, y " X , 20 (x, y)= (y, x) dla x, y " X , 30 (x, y)d" (x, z)+ (z, y) dla x, y, z " X . Funkcj rzeczywist  speBniajca warunki: 10 - 30 nazywamy metryk lub odlegBo[ci zbioru X. Warunek 20 nazywamy warunkiem symetrii, za[ warunek 30 warunkiem lub nierwno[ci trjkta. Zbir X, w ktrym jest okre[lona metryka, nazywamy przestrzeni metryczn. DokBadniej, przestrzeni metryczn nazywamy par (X , ), gdzie X jest dowolnym niepustym zbiorem, natomiast  metryk tego zbioru. PrzykBad 1.1. Niech X bdzie n-wymiarow przestrzeni euklidesow Rn . Niech ponadto  bdzie funkcj rzeczywist, okre[lon w przestrzeni R2n wzorem: n 2 (x, y)= - yk ) dla x = (x1, x2, ..., xn ), y = (y1, y2, ..., yn)" Rn . (1.4) "(xk k=1 Mo|na wykaza, |e funkcja  okre[lona wzorem (1.4) jest metryk, tzn., |e speBnia warunki 10 - 30 . PrzestrzeD euklidesowa Rn z tak okre[lon metryk, nazywa si n-wymiarow przestrzeni kartezjaDsk. PrzestrzeD kartezjaDska jest szczeglnym przypadkiem przestrzeni euklidesowej. W praktyce jednak, bardzo czsto, obydwie przestrzenie uto|samia si. Je[li w PrzykBadzie 1.1 przyjmiemy n = 1, to z (1.4) wynika, |e 2 (x, y)= (x1 - y1) = x1 - y1 = x - y , gdzie x = x1 i y = y1 , czyli (x, y)= x - y dla x, y " R . (1.5) 33 Wzr (1.5) okre[la tzw. naturaln metryk (odlegBo[) w zbiorze R liczb rzeczywistych. Je[li P1(x1, y1), P2(x2 , y2 ) s punktami w przestrzeni R2 , to odlegBo[ (metryka) tych punktw, na podstawie wzoru (1.4) jest rwna 2 2 (P1, P2)= (x1 - x2 ) + (y1 - y2 ) . (1.6) W przypadku przestrzeni trjwymiarowej R3, wzr (1.6) przybierze posta: 2 2 2 (P1, P2 )= (x1 - x2 ) + (y1 - y2 ) + (z1 - z2 ) , (1.7) gdzie P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2)" R3 . 2. Elementy rachunku wektorowego Obierzmy w przestrzeni kartezjaDskiej R3 punkt O i poprowadzmy przez ten punkt trzy wzajemnie prostopadBe osie x, y, z . Osie te nazywa bdziemy osiami wspBrzdnych. Figur zBo|on z punktu O i osi x, y, z nazywamy kartezjaDskim lub prostoktnym ukBadem osi wspBrzdnych lub krcej, ukBadem wspBrzdnych i oznaczamy przez Oxyz. PBaszczyzny przestrzeni R3 przechodzce przez osie: x, y ; x, z ; y, z nazywamy pBaszczyznami ukBadu wspBrzdnych i oznaczamy odpowiednio przez: Oxy, Oxz i Oyz. KartezjaDskie ukBady wspBrzdnych dzielimy na: prawoskrtne i lewoskrtne. z z prawoskrtny lewoskrtny O y O x x y r r r Podobnie dzielimy uporzdkowane trjki wektorw: a, b, c nie le|cych w jednej pBaszczyznie i majcych wsplny pocztek. r r r Je[li trjka wektorw a, b, c jest zgodnie skrtna z trjk osi x, y, z ukBadu wspBrzdnych, to mwimy, |e jest zgodnie zorientowana z przyjtym ukBadem wspBrzdnych Oxyz. W przypadku przeciwnym, mwimy, |e trjka wektorw i przyjty ukBad wspBrzdnych s przeciwnie zorientowane. r Ka|dy niezerowy wektor a w przestrzeni kartezjaDskiej jest jednoznacznie okre[lony przez r podanie jego: dBugo[ci a , kierunku i zwrotu. Wektor, ktrego dBugo[ jest rwna zeru, nazywamy wektorem zerowym i oznaczamy przez 0. r Definicja 2.1. Wektor i le|cy na osi x, ktrego dBugo[ jest rwna jedno[ci, a jego zwrot jest zgodny ze zwrotem tej osi, nazywamy wersorem lub wektorem jednostkowym osi x. r i x r Dowolny wektor a le|cy na osi x mo|na jednoznacznie przedstawi w postaci: r r a = a1i . (2.1) r Liczb a1 nazywamy wspBrzdn wektora a na osi x. Rozwa|my teraz w przestrzeni kartezjaDskiej R3 prostoktny ukBad wspBrzdnych Oxyz. 34 r Niech a bdzie dowolnym wektorem niezerowym o pocztku w punkcie O. Niech ponadto r r r i , j, k bd odpowiednio wersorami osi x, y, z . Wersory te tworz tzw. baz ortonormaln w przestrzeni R3 . z r a3k r r a a3k r k r j r r i O a2 j y r r r a1i a1i + a2 j x r Je[li a1, a2, a3 oznaczaj odpowiednio wspBrzdne wektora a na osiach x, y, z , to rzuty r prostopadBe wektora a na osie wspBrzdnych x, y, z , zgodnie z (2.1), daj si przedstawi w postaci: r r r a1i , a2 j, a3k . (2.2) r Wektory (2.2) nazywamy skBadowymi wektora a odpowiednio na osiach wspBrzdnych x, y, z . r Przy tych oznaczeniach wektor a daje si przedstawi w postaci (zobacz powy|szy rysunek): r r r r a = a1i + a2 j + a3k. (2.3) r Wzr (2.3) przedstawia tzw. rozkBad wektora a wzgldem osi x, y, z ukBadu wspBrzdnych. r Wektor a zapisywa bdziemy rwnie| za pomoc jego wspBrzdnych a1, a2, a3 w postaci r a = [a1, a2, a3]. (2.4) r Przedstawienia (2.3) i (2.4) wektora a uwa|a bdziemy za rwnowa|ne, tzn. r r r r a = [a1, a2, a3]= a1i + a2 j + a3k. (2.5) r r r Wektory jednostkowe i , j, k stanowice baz ortonormaln wektorw w przestrzeni R3, mo|na za pomoc wspBrzdnych, zapisa w postaci: r r r i = [1, 0, 0], j = [0, 1, 0], k = [0, 0, 1]. (2.6) r r r Rozwa|my teraz przestrzeD kartezjaDsk n-wymiarow Rn . ZaB|my, |e wektory e1, e2, ... ,en stanowi baz ortonormaln wektorw tej przestrzeni, tzn. r r r e1 = [1, 0, ... , 0] , e2 = [0, 1, ... , 0] , ... , en = [0, 0, ... , 1] . (2.7) r r Wwczas dowolny wektor niezerowy a przestrzeni a mo|na zapisa w postaci: n r r r r r a = [a1, a2, ..., an]= a1e1 + a2e2 + ... + anen = ek . (2.8) "ak k=1 r r r r Wektory a1e1, a2e2, ... ,anen s skBadowymi wektora a , natomiast liczby a1, a2, ..., an wspBrzdnymi tego wektora w przestrzeni Rn . r Je[li w przestrzeni Rn dane s dwa punkty A(a1, a2, ..., an) , B(b1, b2, ..., bn), to wektor a = AB o pocztku w punkcie A i koDcu w punkcie B jest rwny r a = AB = [ b1 - a1, b2 - a2 , ... , bn - an] . (2.9) Niech w przestrzeni Rn dane bd dwa wektory r r a = [a1, a2, ..., an] i b = [b1, b2, ..., bn]. (2.10) 35 r r r r Definicja 2.2. Wektory a, b nazywamy rwnymi, co zapisujemy a = b wtedy i tylko wtedy, gdy ich odpowiednie wspBrzdne s rwne, czyli r r a = b ! (a1 = b1 '" a2 = b2 '" ... '" an = bn ). (2.11) r r r r Geometrycznie, wektory a, b s rwne wtedy i tylko wtedy, gdy maj t sam dBugo[: a = b , ten sam kierunek (s rwnolegBe) i zwrot: !! . r r r r Definicja 2.3. Sum wektorw a, b nazywamy wektor a + b postaci r r a + b = [a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn] . (2.12) r r r r Geometrycznie, sum wektorw a i b nazywamy wektor a + b, ktrego pocztek znajduje si w r r r pocztku wektora a , koniec w koDcu wektora b, przy czym koniec wektora a pokrywa si z r pocztkiem wektora b (zobacz rysunek). r r a b r r a + b r r Definicja 2.4. Iloczynem wektora a przez liczb  , nazywamy wektor a postaci: r a = [a1, a2, ..., an] . (2.13) r r Geometrycznie, iloczynem wektora a przez liczb  , nazywamy wektor a wspBliniowy z r r r wektorem a, o dBugo[ci rwnej  " a i zwrocie zgodnym ze zwrotem wektora a, gdy  > 0 i przeciwnym, gdy  < 0 . Niech teraz w przestrzeni Rn dane bd niezerowe wektory: r r r a1 = [a11, a12, ..., a1n], a2 = [a21, a22, ..., a2n], ... , an = [an1, an2, ..., ann]. (2.14) r r r r Definicja 2.5. Kombinacj liniow wektorw a1, a2, ..., an nazywamy wektor a postaci n r r r r a = 1a1 + 2a2 + ... + nan = ak . (2.15) "k k=1 gdzie k " R dla k = 1, 2, ... , n . r r r Definicja 2.6. Wektory a1, a2, ..., an nazywamy liniowo zale|nymi, je[li istniej liczby 1, 2, ... , n nie znikajce (nie zerujce si) jednocze[nie takie, |e ich kombinacja liniowa jest wektorem zerowym, tzn. n r r r r a = ak = 1a1 + 2a2 + ... + nan = 0 . (2.16) "k k=1 Wektory, ktre nie s liniowo zale|ne, nazywamy wektorami liniowo niezale|nymi. r r r Std i z rwno[ci (2.16) wynika, |e wektory a1, a2, ..., an s liniowo niezale|ne wtedy i tylko wtedy, gdy n r ak = 0 ! (1 = 2 = ... = n = 0) . (2.17) "k k =1 r r Dwa wektory a1, a2 okre[lone rwno[ciami (2.14) s liniowo zale|ne wtedy i tylko wtedy, gdy s wspBliniowe tzn. le| na jednej prostej lub s do niej rwnolegBe. Wektory takie nazywamy wektorami kolinearnymi lub rwnolegBymi. Aatwo pokaza, |e wektory te s liniowo zale|ne wtedy i tylko wtedy, gdy a11 a12 a1n = = ... = . (2.18) a21 a22 a2n ZaB|my teraz, |e w przestrzeni R3 dane s trzy niezerowe wektory: 36 r r r a1 = [a11, a12, a13], a2 = [a21, a22, a23], a3 = [a31, a32, a33]. (2.19) r r r Trzy wektory a1, a2, a3 s liniowo zale|ne wtedy i tylko wtedy, gdy s wektorami rwnolegBymi do jednej pBaszczyzny (le| w jednej pBaszczyznie). Wektory takie nazywamy wektorami komplanarnymi lub wspBpBaszczyznowymi. W trjwymiarowej przestrzeni R3 istniej zawsze trzy wektory liniowo niezale|ne, ale ka|da czwrka wektorw jest w tej przestrzeni liniowo zale|na. r r r ZaB|my, |e wektory a1, a2, a3 okre[lone przez (2.19) s liniowo zale|ne. Istniej zatem liczby ,  ,  nie znikajce jednocze[nie takie, |e r r r  a1 +  a2 +  a3 = 0 . Std, definicji mno|enia wektora przez liczb, dodawania wektorw oraz rwno[ci wektorw otrzymamy ukBad jednorodny rwnaD:  a11 +  a21 +  a31 = 0  a12 +  a22 +  a32 = 0 (2.20)  a13 +  a23 +  a33 = 0 , o niewiadomych ,  ,  . Std i z wBasno[ci wyznacznikw wynika, |e na to aby ukBad (2.20) miaB (z zaBo|enia) rozwizanie niezerowe ,  ,  potrzeba i wystarcza by a11 a12 a13 W = a21 a22 a23 = 0 . (2.21) a31 a32 a33 r r r Zatem, warunek (2.21) jest warunkiem koniecznym i wystarczajcym na to, aby wektory a1, a2, a3 okre[lone rwno[ciami (2.19) byBy liniowo zale|ne w przestrzeni R3 . r r r Je[li wyznacznik (2.21) jest r|ny od zera, czyli W `" 0 , to wektory a1, a2, a3 s liniowo r r r niezale|ne. Ponadto, mo|na wykaza, |e je[li W > 0 , to trjka wektorw a1, a2, a3 jest zgodnie r r r zorientowana z przyjtym ukBadem wspBrzdnych. Je[li W < 0 , to trjka wektorw a1, a2, a3 jest przeciwnie zorientowana do przyjtego ukBadu wspBrzdnych. r r r Podobnie jak w przypadku przestrzeni trjwymiarowej mo|na wykaza, |e wektory a1, a2, ..., an okre[lone przez (2.14), s liniowo zale|ne w przestrzeni Rn wtedy i tylko wtedy, gdy a11 a12 ... a1n W = a21 a22 ... a2n = 0 . (2.22) an1 an2 ... ann r r r Je[li wyznacznik (2.22) jest r|ny od zera tzn. W `" 0 , to wektory a1, a2, ..., an s liniowo niezale|ne w przestrzeni Rn . 3. Iloczyn skalarny wektorw w przestrzeni R3 Niech w przestrzeni kartezjaDskiej R3 dane bd dwa niezerowe wektory r r r r r r r r a = [a1, a2, a3]= a1i + a2 j + a3k oraz b = [b1, b2, b3]= b1i + b2 j + b3k . (3.1) r r Niech  oznacza kt (dokBadniej: miar kta) midzy wektorami a i b . r r r r Definicja 3.1. Iloczynem skalarnym wektorw a i b nazywamy liczb a " b okre[lon wzorem: r r r r a " b = a b cos  . (3.2) r r Je[li jeden z wektorw a, b jest wektorem zerowym, to r r a "b : = 0 . (3.3) Wprost z definicji (3.2) wynika, |e iloczyn skalarny jest przemienny, tzn. 37 r r r a " b = b " a . (3.4) Iloczyn skalarny wektorw jest rozdzielny wzgldem dodawania wektorw: r r r r r r r r r r r r r a "(b + c)= a " b + a " c oraz (a + b)" c = a " c + b " c . (3.5) Ponadto r r r r r r a (b " c) `" (a " b) c , (3.6) r r gdy| lewa strona wzoru (3.6) jest wektorem rwnolegBym do wektora a, za[ prawa do wektora c. Z definicji iloczynu skalarnego wektorw wynika ponadto, |e warunkiem koniecznym i r r wystarczajcym na to, aby dwa niezerowe wektory a i b byBy prostopadBe, jest by ich iloczyn skalarny byB zerem, czyli r r r r r r a " b ! a " b = 0 , gdy a `" 0 `" b . (3.7) r r Je[li b = a `" 0 , to std i ze wzoru (3.2) otrzymamy r r r r 2 a = a " a = a2 , r r skd wynika wzr na dBugo[ a wektora a : r r r r 2 a = (a) = a " a . (3.8) r r r Ze wzorw (3.7) i (3.8), dla wersorw i , j, k , wynikaj nastpujce rwno[ci: r2 r2 r2 i = j = k = 1 , (3.9) oraz r r r r r r i " j = i " k = j " k = 0 . (3.10) Z (3.1) oraz z rwno[ci (3.9) i (3.10) otrzymamy r r r r r r r r a " b = (a1i + a2 j + a3k)"(b1i + b2 j + b3k) r r2 r r r = a1b1 i + a1b2 i " j + a1b3 i " k r r r r2 r + a2b1 j " i + a2b2 j + a2b3 j " k r r r2 r r + a3b1 k " i + a3b2 k " j + a3b3 k = a1b1 + a2b2 + a3b3 , skd wynika nastpujcy wzr na iloczyn skalarny wektorw (3.1) r r a " b = a1b1 + a2b2 + a3b3 . (3.11) Std i ze (3.7) wynika, |e r r r r a " b ! a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0 , gdy a `" 0 `" b . (3.12) r Ze wzorw (3.8) i (3.11) otrzymamy nastpujcy wzr na dBugo[ wektora a = [a1, a2, a3] r a = a12 + a22 + a32 . (3.13) Std, ze wzoru (3.11) oraz z definicji (3.2) iloczynu skalarnego wektorw otrzymamy wzr na kt  r r midzy wektorami a i b postaci: r r a " b a1b1 + a2b2 + a3b3 cos  = = . (3.14) r r a b a12 + a22 + a32 b12 + b22 + b32 r Niech ,  ,  oznaczaj kty jakie tworzy niezerowy wektor a = [a1, a2, a3], odpowiednio z osiami wspBrzdnych x, y, z . Wyra|enia postaci: a1 a2 a3 cos  : = , cos  : = , cos  : = , (3.15) r r r a a a r nazywamy cosinusami kierunkowymi wektora a . r Dla cosinusw kierunkowych wektora a mamy 38 r 2 a12 a22 a32 a12 + a22 + a32 a cos2 + cos2 + cos2 = + + = = = 1 , r r r r 2 r 2 2 2 2 a a a a a czyli cos2 + cos2 + cos2 = 1 . (3.16) PrzykBad 3.1. Obliczy kt midzy przektnymi rwnolegBoboku zbudowanego na wektorach r r a = [1, 5, 1], b = [- 3, 3, 3]. (3.17) r b  r r d1 d2 r a r r Przektne d1 i d2 rwnolegBoboku s odpowiednio rwne (zobacz rysunek): r r r r r r d1 = a + b i d2 = a - b . Std i z (3.17) wynika, |e r d1 = [1, 5, 1]+ [- 3, 3, 3]= [- 2, 8, 4], (3.18) oraz r d2 = [1, 5, 1]-[- 3, 3, 3]= [4, 2, - 2] . (3.19) Ze wzoru (3.14) oraz z (3.18) i (3.19) otrzymamy r r d1 " d2 - 2 " 4 + 8 " 2 + 4 "(- 2) 0 r r = = 0 , cos  = = 84 24 d1 d2 2)2 82 + 42 42 + 22 + 2)2 (- + (-  skd wynika, |e  = , co oznacza prostopadBo[ przektnych tego rwnolegBoboku. 2 4. Iloczyn wektorowy wektorw w przestrzeni R3 Niech r r r r r r r r a = [a1, a2, a3]= a1i + a2 j + a3k i b = [b1, b2, b3]= b1i + b2 j + b3k , (4.1) bd dowolnymi, niezerowymi wektorami w przestrzeni kartezjaDskiej R3, natomiast  ktem r r midzy tymi wektorami, czyli  = " (a, b) . r r r r Definicja 4.1. Iloczynem wektorowym wektorw a i b nazywamy wektor a b taki, |e: r r r r 10 a b = a b sin  , r r r r r r 20 a b " a '" a b " b , r r r r 30 trjka wektorw a, b, a b jest zgodnie zorientowana z przyjtym ukBadem wspBrzdnych Oxyz. r r Je[li jeden z wektorw a, b jest wektorem zerowym, to r r a b : = 0 . (4.2) z r r a b r b r r r - a b a O y x 39 r r r r Iloczyn wektorowy a b = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy wektory a i b s liniowo zale|ne, czyli rwnolegBe, tzn. r r r r r r a b = 0 ! a || b dla a `" 0 `" b. (4.3) r r r r r r W przypadku, gdy 0 < " (a, b) <  oraz a `" 0 `" b , to z 10 wynika, |e a b jest rwny polu P r r rwnolegBoboku rozpitego (zbudowanego) na wektorach a, b . r b r a Zatem r r P = a b . (4.4) r r Std wynika, |e pole P" trjkta zbudowanego na niezerowych wektorach a, b wyra|a si wzorem r 1 r P" = a b . (4.5) 2 Z definicji iloczynu wektorowego wektorw wynikaj nastpujce jego wBasno[ci: r r a a = 0 , (4.6) r r r r a b = - b a , (4.7) r r r r r r (m a) b = a (m b)= m (a b) dla m " R , (4.8) r r r r (m a)(n b)= mn (a b) dla m, n " R , (4.9) r r r r r r r a (b + c)= a b + a c . (4.10) Ponadto, mo|na wykaza, |e r r r r r r r r r (a b) c = (a " c)" b -(b " c)" a . (4.11) Ze wzoru (4.7) wynika nieprzemienno[ iloczynu wektorowego, natomiast z (4.10) rozdzielno[ tego iloczynu wzgldem dodawania wektorw. r r r Z wBasno[ci 20 i 30 definicji iloczynu wektorowego, dla wersorw i , j, k osi wspBrzdnych x, y, z , wynikaj nastpujce rwno[ci: r r r r r r i i = j j = k k = 0 , r r r r r r r r r i j = k , j k = i , k i = j , (4.12) r r r r r r r r r j i = -k , k j = -i , i k = - j. r r Std i z wBasno[ci iloczynu wektorowego dla wektorw a i b okre[lonych przez (4.1) otrzymamy r r r r r r r r a b = (a1i + a2 j + a3k) (b1i + b2 j + b3k) r r r r r r = a1b1(i i )+ a1b2(i j)+ a1b3(i k) r r r + a2b1(r i )+ a2b2(r j)+ a2b3(r k) j j j r r r r r r + a3b1(k i )+ a3b2(k j)+ a3b3(k k) r r r r r r = a1b2 k - a1b3 j - a2b1 k + a2b3 i + a3b1 j - a3b2 i r r r = (a2b3 - a3b2) i - (a1b3 - a3b1) j + (a1b2 - a2b1) k . czyli r r r r r a b = (a2b3 - a3b2)i - (a1b3 - a3b1) j + (a1b2 - a2b1) k . (4.13) 40 Wzr (4.13) mo|na zapisa inaczej: r r r i j k r r a b = a1 a2 a3 . (4.14) b1 b2 b3 r r Std i z (4.13) wynika, |e a b jest wektorem postaci: r # a2 a3 a1 a3 a1 a2 # r a b = , - , . (4.15) # # b2 b3 b1 b3 b1 b2 # # # # Zauwa|my jeszcze, |e z (4.3) i (4.14) oraz z wBasno[ci wyznacznikw wynika, |e r r r a1 a2 a3 r a || b ! = = , gdy a `" 0 `" b. (4.16) b1 b2 b3 PrzykBad 4.1. Obliczy pole trjkta o wierzchoBkach A(1 , - 2, 8) , B(3, 1, 5) , C(4, 2, 3). Ze wzoru (2.9) otrzymamy AB = [2, 3, - 3] , AC = [3, 4, - 5]. Std oraz ze wzorw (4.5) i (4.14) wynika, |e pole P" trjkta zbudowanego na wektorach AB i AC jest rwne r r r i j k r r r 3 1 1 - 3 2 - 3 2 3 P" = | 2 3 - 3 | = | i - j + k | 2 2 4 - 5 3 - 5 3 4 3 4 - 5 r r r 1 1 1 2 2 = | - 3 i + j - k | = (- 3) +12 + (-1) = 11 . 2 2 2 r r To|samo[ Lagrange a. Niech w przestrzeni R3 dane bd dwa niezerowe wektory a, b okre[lone rwno[ciami (4.1). Niech  oznacza miar kta midzy tymi wektorami. Std oraz z definicji iloczynu skalarnego i wektorowego wektorw otrzymamy r r r r 2 2 2 2 r r r 2 r 2 (a b) = a b = a b sin2 = a b (1 - cos2) r r r2 r 2 2 2 r r r r 2 a b -(a b cos ) = a2b -(a " b) , skd wynika tzw. to|samo[ Lagrange a postaci: r r r2 2 2 r r r (a " b) +(a b) = a2b . (4.17) 5. Iloczyn mieszany wektorw w przestrzeni R3 Niech w przestrzeni R3 dane bd trzy niezerowe wektory r r r a = [a1, a2, a3] , b = [b1, b2, b3] , c = [c1, c2, c3] . (5.1) r r r Definicja 5.1. Liczb abc postaci: r r r r r r abc : = (a b)" c, (5.2) r r r nazywamy iloczynem mieszanym wektorw a, b, c . Std oraz ze wzoru (4.15) otrzymamy r r # a2 a3 a1 a3 a1 a2 # r r r r abc = (a b)" c = , - , "[c1, c2, c3] # # b2 b3 b1 b3 b1 b2 # # # # 41 a1 a2 a3 a2 a3 a1 a3 a1 a2 = c1 - c2 + c3 = b1 b2 b3 , b2 b3 b1 b3 b1 b2 c1 c2 c3 czyli a1 a2 a3 r r r abc = b1 b2 b3 . (5.3) c1 c2 c3 Std oraz z wBasno[ci wyznacznikw wynika, |e r r r r r r r r r (a b)" c = (c a)" b = (b c)" a . (5.4) Z powy|szego wzoru i z przemienno[ci iloczynu skalarnego wektorw otrzymamy r r r r r r (a b)" c = a "(b c) . (5.5) r r r r Ponadto, dla wektorw a, b, c, d Batwo wykaza nastpujc rwno[: r r r r r r r r a " c a " d (a b)"(c d)= r r r . (5.6) r b " c b " d Objto[ rwnolegBo[cianu i czworo[cianu. W trjwymiarowej przestrzeni kartezjaDskiej R3 r r r rozwa|my rwnolegBo[cian zbudowany na trzech niezerowych i niekomplanarnych wektorach a, b, c. z B . C r r r a b c h r  b r A a O y x r r r r r r  Niech  = "(c, a b). Je[li trjka wektorw a, b, c jest prawoskrtna, to 0 d"  < . Z " ABC 2 wynika, |e wysoko[ h rwnolegBo[cianu jest rwna r h = c cos  . (5.7) Std i ze wzoru (4.4) na pole P podstawy rwnolegBo[cianu wynika, |e objto[ V tego rwnolegBo[cianu jest rwna r r r r r r V = P" h = a b c cos  = (a b)" c , czyli r r r V = (a b)" c . (5.8) W przypadku lewoskrtnego ukBadu wspBrzdnych otrzymamy r r r V = - (a b)" c . r r r Std i ze wzoru (5.8) wynika, |e objto[ V rwnolegBo[cianu rozpitego na wektorach a, b, c jest rwna 42 a1 a2 a3 r r r V = (a b)" c = | b1 b2 b3 | . (5.9) c1 c2 c3 Korzystajc ze wzoru (4.5) na pole trjkta, podobnie dowodzi si, |e objto[ V czworo[cianu r r r zbudowanego na trzech niezerowych i niekomplanarnych wektorach a, b, c jest rwna: a1 a2 a3 r 1 r r 1 V = (a b)" c = | b1 b2 b3 | . (5.10) 6 6 c1 c2 c3 PrzykBad 5.1. Obliczy objto[ czworo[cianu zbudowanego na wektorach AB, AC i AD , gdzie A(3, 4, 3), B(9, 5, -1), C(1, 7, 0) i D(3, 2, 5). Wektory AB, AC i AD na podstawie wzoru (2.9) s rwne: AB = [6, 1, - 4] , AC = [- 2, 3, - 3] , AD = [0, - 2, 2] . Std i ze wzoru (5.10) otrzymamy 6 1 - 4 6 1 - 3 1 1 V = | - 2 3 - 3 | = | - 2 3 0 | 6 6 0 - 2 2 0 - 2 0 - 2 3 1 1 4 = | - 3 (-1) | = | - 3" 4 |= 2 . 6 0 - 2 6 6. PBaszczyzna w przestrzeni R3 Rozwa|my w ukBadzie Oxyz pBaszczyzn . Niech punkt P0(x0, y0, z0)" oraz niech r r n = [A, B, C] bdzie niezerowym wektorem prostopadBym do tej pBaszczyzny, czyli n = [A, B, C]"  . Wektor prostopadBy do pBaszczyzny nazywamy inaczej, wektorem normalnym tej pBaszczyzny. z r n . P0 . P  O y x r Wwczas pBaszczyzna  jest zbiorem punktw P(x, y, z) takich, |e P0P " n . Poniewa| P0P = [x - x0, y - y0, z - z0], (6.1) r wic std, z iloczynu skalarnego wektorw i prostopadBo[ci wektorw P0P i n = [A, B, C] otrzymamy A(x - x0)+ B(y - y0)+ C(z - z0)= 0 . (6.2) Zatem, rwnanie (6.2) przedstawia pBaszczyzn przechodzc przez punkt P0(x0, y0, z0) i prostopadB r do wektora n = [A, B, C]. Rwnanie (6.2) mo|na zapisa w postaci Ax + By + Cz + (- Ax0 - By0 - Cz0)= 0 . (6.3) 43 Oznaczajc D = -Ax0 - By0 - Cz0 , (6.4) rwnanie (6.3) przybierze posta Ax + By + Cz + D = 0 . (6.5) Rwnanie (6.5) nazywa si rwnaniem oglnym pBaszczyzny. Je[li wszystkie wspBczynniki A, B, C, D w rwnaniu (6.5) s r|ne od zera, wwczas rwnanie to mo|na zapisa w postaci: x y z + + = 1 . D D D - - - A B C Przyjmujc w tym rwnaniu D D D a = - , b = - , c = - , A B C otrzymamy tzw. rwnanie odcinkowe pBaszczyzny postaci x y z + + = 1 . (6.6) a b c PBaszczyzna ta przecina osie wspBrzdnych x, y, z odpowiednio w punktach A(a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c). Na przykBad, rwnanie pBaszczyzny przechodzcej przez punkty: A(3, 0, 0), B(0, - 4, 0), C(0, 0, - 2) ma posta x y z - - = 1 , 3 4 2 czyli 4x - 3y - 6z -12 = 0 . Je[li w rwnaniu oglnym (6.5) pBaszczyzny  : 10 D = 0 , to pBaszczyzna  przechodzi przez pocztek O(0, 0, 0) ukBadu wspBrzdnych, r 20 A = 0 (" B = 0 (" C = 0 , to wektor normalny (prostopadBy) n = [A, B, C] le|y w pBaszczyznie prostopadBej odpowiednio do osi x lub y lub z ; wic pBaszczyzna  jest odpowiednio rwnolegBa do osi x lub y lub z, 30 (A = 0 (" B = 0 (" C = 0) '" D = 0 , to pBaszczyzna  przechodzi odpowiednio przez osie x lub y lub z, 40 A = 0 '" B = 0 lub A = 0 '" C = 0 lub B = 0 '" C = 0 , to pBaszczyzna  jest odpowiednio prostopadBa do osi x lub y lub z . Z powy|szych rozwa|aD wynika, |e pBaszczyzny ukBadu wspBrzdnych maj odpowiednio rwnania: x = 0, y = 0, z = 0 . z x = 0 y = 0 O y z = 0 x Wezmy teraz pod uwag trzy r|ne punkty P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2), P3(x3, y3, z3) nie le|ce na jednej prostej. ZaB|my, |e punkty te le| na pBaszczyznie  o rwnaniu oglnym: 44 Ax + By + Cz + D = 0 . (6.7) Poniewa| P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2), P3(x3, y3, z3) " , wic Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0 , Ax2 + By2 + Cz2 + D = 0 , (6.8) Ax3 + By3 + Cz3 + D = 0 . Rwnania (6.7) i (6.8) tworz ukBad rwnaD jednorodnych o niewiadomych: A, B, C, D . Poniewa| ukBad ten ma rozwizanie niezerowe, wic wyznacznik gBwny tego ukBadu musi by rwny zeru, czyli x y z 1 x1 y1 z1 1 = 0 . (6.9) x2 y2 z2 1 x3 y3 z3 1 Rwno[ (6.9) przedstawia rwnanie pBaszczyzny  przechodzcej przez trzy nie wspBliniowe punkty P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2), P3(x3, y3, z3). Rwnanie (6.9) mo|na zapisa w postaci: x - x1 y - y1 z - z1 x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1 = 0 . (6.10) x3 - x1 y3 - y1 z3 - z1 Wektory P1P2 = [x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1], P1P3 = [x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1] le| w pBaszczyznie  , wic s wektorami rwnolegBymi do tej pBaszczyzny. Zatem korzystajc z (6.10) rwnanie pBaszczyzny  r r przechodzcej przez punkt P0(x0, y0, z0) i rwnolegBej do wektorw a = [a1, a2, a3] , b = [b1, b2, b3] ma posta: x - x0 y - y0 z - z0 a1 a2 a3 = 0 . (6.11) b1 b2 b3 r r Niech teraz dana bdzie pBaszczyzna  i dwa niezerowe wektory a = [a1, a2, a3] , b = [b1, b2, b3] na tej pBaszczyznie, o pocztku w punkcie P0(x0, y0, z0)" , majce r|ne kierunki (zobacz rysunek). z r  a P P0 r r r b r r0 O y x Wezmy pod uwag dowolny punkt P(x, y, z) tej pBaszczyzny. Wwczas wektor P0P jest przektn r r rwnolegBoboku, na ktrego bokach le| wektory a i b. Zatem istniej liczby (parametry) s i t takie, |e r r P0P = s a + t b . (6.12) r r Oznaczajc, r0 = OP0 = [x0, y0, z0] i r = OP = [x, y, z] otrzymamy rwno[ 45 r r r = r0 + P0P . Std i z (6.12) otrzymamy tzw. rwnanie wektorowe pBaszczyzny  : r r r r r = r0 + s a + t b . (6.13) Rozpisujc to rwnanie otrzymamy rwnania parametryczne pBaszczyzny  postaci: x = x0 + a1s + b1t y = y0 + a2s + b2t (6.14) z = z0 + a3s + b3t . Kt midzy pBaszczyznami. Niech w przestrzeni R3 dane bd dwie pBaszczyzny: 1 : A1x + B1y + C1z + D1 = 0 ,  : A2x + B2 y + C2z + D2 = 0 . 2 r n1  2  1 r n2 PBaszczyzny te tworz dwie pary ktw wierzchoBkowych o miarach zawartych w przedziale [0, ]. Oznaczajc przez  miar jednego z tych ktw otrzymamy r r cos  = cos "(n1, n2), gdzie r r n1 = [A1, B1, C1] i n2 = [A2, B2, C2], (6.15) s wektorami normalnymi odpowiednio do pBaszczyzn 1 i  . 2 Std i ze wzoru na kt zawarty midzy wektorami, otrzymamy wzr na kt  midzy pBaszczyznami 1 i  : 2 A1A2 + B1B2 + C1C2 cos  = . (6.16) 2 2 2 A12 + B12 + C12 A2 + B2 + C2 Z powy|szego wzoru wynika natychmiast warunek konieczny i wystarczajcy prostopadBo[ci pBaszczyzn 1 i  : 2 A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0 . (6.17) r r Ponadto pBaszczyzny 1 i  s do siebie rwnolegBe wtedy i tylko wtedy, gdy wektory n1 i n2 2 normalne do tych pBaszczyzn s do siebie rwnolegBe, tzn. A1 B1 C1 = = . (6.18) A2 B2 C2 PrzykBad 6.1. Znalez rwnanie pBaszczyzny  przechodzcej przez punkty P1(-1, - 2, 0), P2(1, 1, 2) i prostopadBej do pBaszczyzny x + 2y + 2z - 4 = 0 . Wektor P1P2 = [2, 3, 2] jest wektorem le|cym w pBaszczyznie  , a zatem wektorem rwnolegBym do tej pBaszczyzny. Drugim wektorem rwnolegBym do pBaszczyzny  jest wektor r a = [1, 2, 2] prostopadBy do pBaszczyzny x + 2y + 2z - 4 = 0 . Iloczyn wektorowy wektorw r P1P2 = [2, 3, 2] i a = [1, 2, 2] bdzie wektorem normalnym do pBaszczyzny  , czyli r r r i j k r r r r r n = P1P2 a = 2 3 2 = 2i - 2 j + k = [2, - 2, 1]"  . 1 2 2 46 Std i z rwnania (6.2) otrzymamy, biorc pod uwag np. punkt P1(-1, - 2, 0)" , rwnanie pBaszczyzny  postaci: 2(x +1)- 2(y + 2)+1(z - 0)= 0 , czyli 2x - 2y + z - 2 = 0 . Zauwa|my jeszcze, |e powy|sze rwnanie pBaszczyzny mo|na otrzyma korzystajc ze wzoru (6.11). 7. Prosta w przestrzeni R3 ZaB|my, |e w przestrzeni R3 dane s dwie pBaszczyzny: 1 : A1x + B1y + C1z + D1 = 0 , (7.1)  : A2x + B2 y + C2z + D2 = 0 . 2 l 1 2 Je[li te pBaszczyzny nie s rwnolegBe, to przecinaj si wzdBu| pewnej prostej l. Zatem ukBad rwnaD (7.1) okre[la w przestrzeni R3 pewn prost l. Jest to tzw. posta krawdziowa tej prostej. r Rozwa|my teraz w ukBadzie Oxyz dowoln prost l. Niech a = [a1, a2, a3] bdzie wektorem rwnolegBym do tej prostej i niech punkt P0(x0, y0, z0)" l . z " P r r r a " P0 r r0 O y l x Je[li P(x, y, z) jest dowolnym punktem prostej l, to wektor P0P jest rwny r P0P = t a, (7.2) gdzie t jest dowolnym parametrem. r r Oznaczajc: r0 = OP0 = [x0, y0, z0] i r = OP = [x, y, z] mamy r r r = r0 + P0P . Std i z (7.2) otrzymamy tzw. rwnanie wektorowe prostej l : r r r r = r0 + t a . (7.3) Z rwnania (7.3) i z przyjtych wy|ej oznaczeD wynikaj rwnania parametryczne prostej l : x = x0 + a1 t y = y0 + a2 t (7.4) x = z0 + a3 t . r Wektor a = [a1, a2, a3] rwnolegBy do prostej l, nazywamy wektorem kierunkowym tej prostej. 47 Poniewa| prosta l w postaci krawdziowej, okre[lona ukBadem (7.1) jest rwnolegBa do wektora r r r i j k r r n1 n2 = A1 B1 C1 , A2 B2 C2 r wic wspBrzdne wektora kierunkowego a = [a1, a2, a3] tej prostej s rwne: B1 C1 A1 C1 A1 B1 a1 = , a2 = - , a3 = . (7.5) B2 C2 A2 C2 A2 B2 Z rwnaD parametrycznych (7.4) otrzymamy tzw. kierunkowe prostej l postaci: x - x0 y - y0 z - z0 = = . (7.6) a1 a2 a3 Je[li punkty P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2) " l, to wektor P1P2 = [x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1] jest rwnolegBy do tej prostej. Std i z rwnania (7.6) otrzymamy rwnanie prostej l przechodzcej przez punkty P1(x1, y1, z1) i P2(x2, y2, z2): x - x1 y - y1 z - z1 = = . (7.7) x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1 Kt midzy prostymi. Niech w przestrzeni R3 dane bd dwie proste x - x1 y - y1 z - z1 x - x2 y - y2 z - z2 l1 : = = oraz l2 : = = . (7.8) a1 b1 c1 a2 b2 c2 l2 r r2  r r1 l1 r Niech  oznacza miar kta midzy prostymi l1 i l2 . Poniewa| wektory r1 = [a1, b1, c1] i r r2 = [a2, b2, c2] s odpowiednio rwnolegBe do prostych l1 i l2 , wic r r cos  = cos "(r1, r2). Std i ze wzoru na kt midzy wektorami otrzymamy a1a2 + b1b2 + c1c2 cos  = . (7.9) 2 2 2 2 2 a1 + b12 + c1 a2 + b2 + c2 Z powy|szego wzoru wynika natychmiast warunek prostopadBo[ci prostych l1 i l2 : a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0 . (7.10) r r Proste l1 i l2 s rwnolegBe wtedy i tylko wtedy, gdy wektory r1 i r2 rwnolegBe do tych prostych s do siebie rwnolegBe tzn., gdy a1 b1 c1 = = . (7.11) a2 b2 c2 Ponadto warunkiem koniecznym i wystarczajcym na to, aby proste l1 i l2 przecinaBy si (le|aBy w r jednej pBaszczyznie) jest komplanarno[ wektorw: P1P2 = [x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1], r1 = [a1, b1, c1] i r r2 = [a2, b2, c2], czyli x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1 a1 b1 c1 = 0 . (7.12) a2 b2 c2 48 PrzykBad 7.1. Znalez rwnanie prostej przechodzcej przez punkt P0(- 3, - 2, 2) i rwnolegBej do pBaszczyzn x - 3y - 2z - 5 = 0 i 3x + 4y + z - 7 = 0 . r Wektor kierunkowy r szukanej prostej jest rwny iloczynowi wektorowemu wektorw r r n1 = [1, - 3, - 2] i n2 = [3, 4, 1] prostopadBych do podanych pBaszczyzn, czyli r r r i j k r r r r r r r = n1 n2 = 1 - 3 - 2 = 5 i - 7 j + 13 k = [5, - 7, 13]. 3 4 1 Std i ze wzoru (7.6) otrzymamy rwnanie kierunkowe prostej: x + 3 y + 2 z - 2 = = . 5 - 7 13 Rwnanie to mo|na przedstawi rwnaniami parametrycznymi postaci: x = -3 + 5 t y = -2 - 7 t z = 2 +13 t . 8. Prosta i pBaszczyzna w przestrzeni R3 Rozwa|my w przestrzeni R3 prost x - x0 y - y0 z - z0 l : = = , (8.1) a b c i pBaszczyzn  : Ax + By + Cz + D = 0 . (8.2) r n l r r   r Niech  bdzie ktem zawartym midzy prost l i pBaszczyzn . Poniewa| wektor r = [a, b, c] jest r rwnolegBy do prostej l, a wektor n = [A, B, C] prostopadBy do pBaszczyzny  , to r r cos " (r, n) = cos (90o - ) = sin  . Std i ze wzoru na kt midzy wektorami, otrzymamy wzr na sinus kta zawartego midzy prost l i pBaszczyzn  : a A + b B + c C sin  = . (8.3) a2 + b2 + c2 A2 + B2 + C2 Z powy|szego wzoru otrzymamy warunek prostopadBo[ci prostej l i pBaszczyzny  : a b c r r = = , ( gdy| wtedy r || n ), (8.4) A B C oraz warunek rwnolegBo[ci prostej l i pBaszczyzny  : r r a A + b B + c C = 0 , ( gdy| wtedy r " n ) . (8.5) Prosta l o rwnaniu (8.1) le|y w pBaszczyznie  okre[lonej rwnaniem (8.2) wtedy i tylko wtedy, gdy speBniony jest nastpujcy ukBad rwnaD: Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 , (8.6) a A + b B + c C = 0 . 49 PrzykBad 8.1. Napisa rwnanie prostej prostopadBej do pBaszczyzny x + 2y + 3z - 29 = 0 i x y -1 z +1 przechodzcej przez punkt przebicia tej pBaszczyzny prost = = . 2 1 2 Rwnanie prostej w postaci parametrycznej ma posta: x = 2 t y = 1+ t (8.7) z = -1+ 2 t . Podstawiajc te rwnania do rwnania pBaszczyzny otrzymamy 2 t + 2(1 + t)+ 3(-1+ 2 t)- 29 = 2 t + 2 + 2 t - 3 + 6 t - 29 = 10 t - 30 = 0 , skd wynika, |e t = 3 . Podstawiajc warto[ tego parametru do rwnaD (8.7) otrzymamy wspBrzdne punktu przebicia: x = 6, y = 4, z = 5 . Zatem punkt P0(6, 4, 5) jest punktem przebicia zadanej pBaszczyzny prost o rwnaniach parametrycznych (8.7). Poniewa| szukana prosta jest prostopadBa do r pBaszczyzny x + 2y + 3z - 29 = 0 , wic wektor n = [1, 2, 3] jest wektorem kierunkowym tej prostej. Std i z rwnania (7.6) otrzymamy rwnanie kierunkowe szukanej prostej postaci: x - 6 y - 4 z - 5 = = . 1 2 3 9. OdlegBo[ci punktu od pBaszczyzny i prostej, odlegBo[ prostych sko[nych. OdlegBo[ punktu od pBaszczyzny. Rozwa|my pBaszczyzn  o rwnaniu Ax + By + Cz + D = 0 . (9.1) i dowolny punkt P0(x0, y0, z0) " . l " P0 r d n = [A, B, C] " " P  r Poprowadzmy przez punkt P0(x0, y0, z0) prost l prostopadB do pBaszczyzny . Poniewa| wektor n normalny do pBaszczyzny  jest wektorem kierunkowym prostej l, wic jej rwnania parametryczne maj posta: x = x0 + A t y = y0 + B t (9.2) z = z0 + C t . Wstawiajc te rwnania do rwnania (9.1) pBaszczyzny  otrzymamy A(x0 + A t)+ B(y0 + B t)+ C(z0 + C t)+ D = 0 . Std 2 (A2 + B2 + C ) t = -Ax0 - By0 - Cz0 - D , skd wynika, |e Ax0 + By0 + Cz0 + D t = - . (9.3) 2 A2 + B2 + C Punktem przecicia pBaszczyzny  z prost l jest punkt P(x, y, z), ktrego wspBrzdne x, y, z s okre[lone wzorami (9.2) dla t okre[lonego rwno[ci (9.3). 50 Std wynika, |e odlegBo[ d punktu P0(x0, y0, z0) od pBaszczyzny  jest rwna odlegBo[ci punktw P0(x0, y0, z0) i P(x, y, z). Zatem std i z rwno[ci (9.2) otrzymamy 2 2 2 d = P0P = (x - x0) + (y - y0) + (z - z0) = A2t2 + A2t2 + A2t2 = (A2 + B2 + C2)t2 = A2 + B2 + C2 t . Std i ze wzoru (9.3) wynika, |e Ax0 + By0 + Cz0 + D d = A2 + B2 + C2 - A2 + B2 + C2 Ax0 + By0 + Cz0 + D Ax0 + By0 + Cz0 + D = A2 + B2 + C2 = . A2 + B2 + C2 A2 + B2 + C2 Zatem odlegBo[ d punktu P0(x0, y0, z0) od pBaszczyzny  : Ax + By + Cz + D = 0 jest rwna Ax0 + By0 + Cz0 + D d = . (9.4) A2 + B2 + C2 OdlegBo[ punktu od prostej. Znajdziemy teraz wzr na odlegBo[ d punktu P1(x1, y1, z1) od prostej l okre[lonej rwnaniem x - x0 y - y0 z - z0 = = . (9.5) a b c r Niech  oznacza kt midzy wektorem r = [a, b, c] || l i wektorem P0P1 = [x1 - x0, y1 - y0, z1 - z0]. P1 d  " r P0 a l Poniewa| d = sin  , P0P1 wic d = P0P1 sin  . (9.6) Z definicji iloczynu wektorowego wektorw mamy " r r P0P1 r = r P0P1 sin , skd r P0P1 r = P0P1 sin  . r r Std i z rwno[ci (9.6) otrzymamy wzr na odlegBo[ d punktu P1(x1, y1, z1) od prostej l okre[lonej rwnaniem (9.5): r r r i j k | x1 - x0 y1 - y0 z1 - z0 | r P0P1 r a b c d = = . (9.7) r r a2 + b2 + c2 51 OdlegBo[ prostych sko[nych. Definicja 9.1. Dwie proste w przestrzeni R3 nie le|ce w jednej pBaszczyznie nazywamy prostymi sko[nymi lub wichrowatymi. Niech w przestrzeni R3 dane bd dwie proste sko[ne okre[lone rwnaniami: x - x1 y - y1 z - z1 l1 : = = , (9.8) a1 b1 c1 x - x2 y - y2 z - z2 l2 : = = . (9.9) a2 b2 c2 l l2 P2  d r n " P1 l1 r Wezmy pod uwag wektor jednostkowy n na prostej l prostopadBej do prostych l1 i l2 oraz wektor r r r P1P2 = [x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1]. Wektor n prostopadBy do wektorw r1 = [a1, b1, c1] i r2 = [a2, b2, c2] r r ma kierunek wektora r1 r2 . Poniewa|, z zaBo|enia, wektor ten jest wektorem jednostkowym, wic r r r r1 r2 n = . (9.10) r r r1 r2 r Oznaczajc przez  kt midzy wektorami P1P2 i n otrzymamy r r P1P2 " n = P1P2 n cos  = P1P2 cos  . (9.11) OdlegBo[ d prostych l1 i l2 jest rwna dBugo[ci rzutu wektora P1P2 na prost l, tzn. d = P1P2 cos  . Std i ze wzoru (9.11) wynika, |e r d = P1P2 " n . Uwzgldniajc w tym wzorze rwno[ (9.10) otrzymamy r r r1 r2 d = P1P2 " . r r r1 r2 Std wynika wzr na odlegBo[ d prostych sko[nych l1 i l2 okre[lonych rwnaniami (9.8) i (9.9) postaci: x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1 | a1 b1 c1 | r r P1P2 "(r1 r2) a2 b2 c2 d = r = . (9.12) r r r r1 r2 i j k | a1 b1 c1 | a2 b2 c2 52 PrzykBad 9.1. Obliczy odlegBo[ prostych sko[nych: x +1 y z -1 x y +1 z - 2 l1 : = = i l1 : = = . 1 1 2 1 3 4 r r W powy|szym przykBadzie mamy: P1(-1, 0, 1)" l1, r1 = [1, 1, 2] || l1, P2(0, -1, 2)" l2, r2 = [1, 3, 4] || l2 . Podstawiajc te dane do wzoru (9.12) otrzymamy 1 -1 1 1 0 0 | 1 1 2 | | 1 2 1 | 2 1 2 | 1 (-1) | 1 3 4 1 4 3 4 3 d = r r = = r r r 2 2 i j k - 2i - 2 j + 2k (- 2) + (- 2) + 22 | 1 1 2 | 1 3 4 2 2 1 3 = = = = . 3 12 2 3 3 10. Powierzchnie w przestrzeni R3 Rwnania postaci: F(x, y, z)= 0, (10.1) lub z = f (x, y), (10.2) okre[laj w przestrzeni R3 pewn powierzchni S . Krzywa (linia) C w przestrzeni mo|e by rozpatrywana jako przecicie dwch powierzchni, a zatem mo|e by okre[lona ukBadem rwnaD F1(x, y, z)= 0, F2(x, y, z)= 0. (10.3) lub z = f (x, y), z = g(x, y) . (10.4) Krzyw C w przestrzeni R3 mo|na okre[li rwnie| rwnaniami parametrycznymi: x = x(t), y = y(t), z = z(t) dla t "[a, b] . (10.5) Wezmy pod uwag ukBad rwnaD postaci F1(x, y, z,)= 0, F2(x, y, z,)= 0, (10.6) gdzie  jest parametrem przyjmujcym dowolne warto[ci. Przy ustalonym  ukBad rwnaD (10.6) majcy rozwizanie, okre[la w przestrzeni pewn krzyw C. Rugujc parametr  z ukBadu (10.6) otrzymamy rwnanie (10.1) okre[lajce pewn powierzchni S . Je[li dla dowolnej warto[ci parametru  ukBad rwnaD (10.6) ma rozwizanie, to okre[la on w przestrzeni R3 pewn rodzin (zbir) ! krzywych. Definicja 10.1. Krzywe (linie) rodziny ! , okre[lone rwnaniami (10.6) nazywamy tworzcymi powierzchni S . Rozwa|my nastpnie ukBad rwnaD postaci: F1(x, y, z,, )= 0, F2(x, y, z,, )= 0, (10.7) gdzie , s dowolnymi parametrami. Je[li przy ustalonych warto[ciach parametrw  i ukBad rwnaD (10.7) ma rozwizanie, to okre[la on w przestrzeni pewn krzyw C. Gdy ukBad rwnaD (10.7) ma rozwizanie dla dowolnej pary parametrw , , to okre[la w przestrzeni R3 pewn rodzin ! krzywych. 53 ZaB|my, |e ka|da krzywa rodziny ! ma punkt wsplny z pewn krzyw C, okre[lon ukBadem rwnaD f (x, y, z)= 0, g(x, y, z)= 0 . (10.8) Eliminujc zmienne x, y, z z rwnaD (10.7) i (10.8) otrzymamy pewien zwizek midzy parametrami  i postaci: (, )= 0 . (10.9) Rugujc nastpnie parametry  i z rwnaD (10.7), (10.9) otrzymamy rwnanie (10.1) pewnej powierzchni S w przestrzeni R3 . Powierzchnia ta zostaBa utworzona przez rodzin ! krzywych okre[lonych rwnaniami (10.7), z ktrych ka|da ma punkt wsplny z krzyw C okre[lon ukBadem rwnaD (10.8). Definicja 10.2. Krzyw C przecinajc ka|d lini rodziny ! tworzcych powierzchni S nazywamy kierownic tej powierzchni. Powierzchnie obrotowe. Definicja 10.3. Powierzchni obrotow w przestrzeni R3 nazywamy powierzchni S utworzon przez obrt krzywej C dookoBa pewnej prostej l le|cej w pBaszczyznie tej krzywej. Krzywa C jest wwczas kierownic powierzchni S, natomiast prosta l tzw. osi obrotu krzywej C. ZaB|my, |e krzywa C w ukBadzie wspBrzdnych Oxyz jest okre[lona rwnaniami (10.8), natomiast prosta l pokrywa si z osi z tego ukBadu. Wwczas powierzchnia obrotowa S jest utworzona przez rodzin wszystkich okrgw poBo|onych w pBaszczyznach prostopadBych do osi z , ktrych [rodki le| na osi z i ktre przechodz przez punkty krzywej C. Rodzina okrgw o tych wBasno[ciach jest okre[lona rwnaniami x2 + y2 = , z = , (10.10) gdzie , s parametrami (  > 0 ). Eliminujc zmienne x, y, z z rwnaD (10.8) i (10.10) otrzymamy rwnanie postaci (10.9). Rugujc nastpnie parametry  i z rwnaD (10.9) i (10.10) otrzymamy rwnanie powierzchni obrotowej w przestrzeni R3 postaci: (x2 + y2, z)= 0 . (10.11) W szczeglno[ci, gdy krzywa C jest pBaska i le|y np. w pBaszczyznie Oxz , wwczas jej rwnania maj posta x = f (z), y = 0. (10.12) Podstawiajc te rwnania do (10.10) otrzymamy 2 f (z)= , z = , skd wynika rwnanie 2 f ()=  . (10.13) 54 Std i z (10.10) otrzymamy rwnanie powierzchni obrotowej postaci: 2 x2 + y2 = f (z) . (10.14) PrzykBad 10.1. Znalez rwnanie powierzchni obrotowej powstaBej z obrotu krzywej C okre[lonej rwnaniami z = x2, y = 0, (10.15) dookoBa osi x. Powierzchnia ta zostanie utworzona przez rodzin okrgw le|cych w pBaszczyznach prostopadBych do osi x , o [rodkach poBo|onych na tej osi i przechodzcych przez punkty krzywej C, okre[lonej ukBadem rwnaD (10.15). Rodzin tych okrgw mo|na opisa rwnaniami x =  , y2 + z2 = . (10.16) Eliminujc x, y, z z rwnaD (10.15) i (10.16) dostaniemy rwnanie 4 = . (10.17) Rugujc nastpnie parametry , z rwnaD (10.16) i (10.17) otrzymamy rwnanie powierzchni obrotowej postaci x4 = y2 + z2. (10.18) Powierzchnie prostoliniowe. Definicja 10.4. Powierzchni utworzon przez rodzin ! linii prostych nazywamy powierzchni prostoliniow lub prostokre[ln. Powierzchnie prostoliniowe dzielimy na: 1. powierzchnie sto|kowe, 2. powierzchnie walcowe. Definicja 10.5. Powierzchni sto|kow nazywamy powierzchni utworzon przez rodzin linii prostych przechodzcych przez staBy punkt P0 , zwany wierzchoBkiem tej powierzchni i punkty danej krzywej C bdcej jej kierownic. W celu znalezienia rwnania powierzchni sto|kowej o wierzchoBku P0(x0, y0, z0) wezmy pod uwag trzy pBaszczyzny o rwnaniach: x - x0 = 0, y - y0 = 0, z - z0 = 0 . (10.19) Przechodz one przez punkt P0 , wic pBaszczyzny x - x0 - (z - z0)= 0, (10.20) y - y0 - (z - z0)= 0, okre[laj zbir wszystkich prostych przechodzcych przez punkt P0(x0, y0, z0), gdy parametry  i zmieniaj si dowolnie. Niech kierownica tej powierzchni bdzie okre[lona rwnaniami (10.8). Eliminujc x, y, z z rwnaD (10.8) i (10.20) otrzymamy rwnanie postaci (10.9). Rugujc nastpnie parametry , z rwnaD (10.9) i (10.20) otrzymamy rwnanie powierzchni sto|kowej postaci # - x0 y - y0 # # x # # , = 0 . (10.21) z - z0 z - z0 # # # W szczeglno[ci, gdy wierzchoBek P0 le|y w pocztku ukBadu wspBrzdnych Oxyz , to rwnanie powierzchni sto|kowej przybierze posta x y # #  , = 0 . (10.22) # # z z # # 55 Definicja 10.6. Powierzchni walcow nazywamy powierzchni utworzon przez rodzin linii prostych rwnolegBych do pewnej staBej prostej l i przechodzcych przez punkty danej krzywej C bdcej kierownic tej powierzchni. ZaB|my, |e kierownica C powierzchni walcowej jest okre[lona rwnaniami (10.8), natomiast prosta l rwnaniem krawdziowym okre[lonym przez pBaszczyzny: P(x, y, z)= 0, Q(x, y, z)= 0 . W celu wyznaczenia rwnania powierzchni walcowej wezmy pod uwag rwnania P(x, y, z)-  = 0, Q(x, y, z)- = 0 , (10.23) gdzie  i s dowolnymi parametrami. PBaszczyzny te s rwnolegBe do prostej l , wic ukBad rwnaD (10.23), gdy parametry  i zmieniaj si dowolnie, okre[la rodzin wszystkich prostych rwnolegBych do l . Eliminujc zmienne x, y, z z rwnaD (10.8) i (10.23) otrzymamy rwnanie (10.9). Rugujc nastpnie parametry , z rwnaD (10.9) i (10.23) otrzymamy rwnanie powierzchni walcowej postaci (P(x, y, z) , Q(x, y, z))= 0 . (10.24) PrzykBad 10.2. Znalez rwnanie powierzchni walcowej o kierownicy okre[lonej rwnaniami y2 = 4x, z = 0 , (10.25) r i tworzcych rwnolegBych do wektora a = [1, 2, 3]. Rwnanie prostej l przechodzcej np. przez pocztek ukBadu wspBrzdnych i rwnolegBej do r wektora a ma posta x y z = = , 1 2 3 lub w postaci krawdziowej: 2x - y = 0, 3x - z = 0 . Std wynika, |e rwnania 2x - y = , 3x - z = , (10.26) r Komentarz [TK1]: gdzie , s dowolnymi parametrami, okre[laj rodzin prostych rwnolegBych do wektora a, tworzcych powierzchni walcow i przechodzcych przez punkty kierownicy okre[lonej przez ukBad rwnaD (10.25). Eliminujc x, y, z z rwnaD (10.25) i (10.26) otrzymamy, |e 2 (2x - ) = 4x, x = , 3 skd wynika rwnanie 2 2 # # 4 # -  = , # 3 3 # # czyli 2 (2 - 3) =12 . (10.27) Rugujc nastpnie parametry , z rwnaD (10.26) i (10.27) otrzymamy rwnanie powierzchni walcowej 2 (2(3x - z)- 3(2x - y)) =12(3x - z) , czyli 2 (3y - 2z) =12(3x - z) . (10.28) 56 Powierzchnie stopnia drugiego. Definicja 10.7. Powierzchni stopnia drugiego w przestrzeni R3 nazywamy zbir punktw P(x, y, z) speBniajcych rwnanie a11x2 + a22 y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23 yz + 2a10x + 2a20 y + 2a30z + a00 = 0 , (10.29) gdzie aij " R dla i, j = 0, 1, 2, 3 i przynajmniej jedna ze staBych aii jest r|na od zera. Rozpatrzymy teraz szczeglne przypadki powierzchni stopnia drugiego. Elipsoida. Elipsoid nazywamy powierzchni okre[lon rwnaniem x2 y2 z2 + + =1 , gdzie a, b, c > 0 . (10.30) a2 b2 c2 Liczby a, b, c nazywamy pBosiami elipsoidy. Punkty przecicia elipsoidy z osiami wspBrzdnych nazywamy wierzchoBkami tej elipsoidy. Je[li a = b = c = R , to rwnanie elipsoidy (10.30) przybierze posta x2 + y2 + z2 = R2. (10.31) Rwnanie to okre[la tzw. sfer dwuwymiarow (krcej: sfer) o [rodku w punkcie O(0, 0, 0) i promieniu R w przestrzeni R3 . Z powy|szej definicji wynika, |e sfera jest szczeglnym przypadkiem elipsoidy. Oglniej, sfer o [rodku w punkcie S0(x0, y0, z0) i promieniu R nazywamy powierzchni stopnia drugiego okre[lon rwnaniem 2 2 2 (x - x0) + (y - y0) + (z - z0) = R2. (10.32) Hiperboloida jednopowBokowa. Powierzchni o rwnaniu x2 y2 z2 + - =1 , (10.33) a2 b2 c2 gdzie a, b, c > 0 nazywamy hiperboloid jednopowBokow. Liczby a,b nazywamy pBosiami rzeczywistymi, za[ liczb c pBosi urojon tej hiperboloidy. Je[li a = b, to hiperboloida ta jest powierzchni obrotow i nazywa si hiperboloid jednopowBokow obrotow. Hiperboloida jednopowBokowa jest powierzchni prostoliniow. Hiperboloida dwupowBokowa. Hiperboloid dwupowBokow nazywamy powierzchni o rwnaniu 57 x2 y2 z2 + - = -1 , gdzie a, b, c > 0 . (10.34) a2 b2 c2 Liczb c nazywamy pBosi rzeczywist, natomiast liczby a, b pBosiami urojonymi tej hiperboloidy. Hiperboloida dwupowBokowa ma dwa wierzchoBki w punktach: (0, 0, c) i (0, 0, - c). Je[li a = b, to hiperboloida ta jest powierzchni obrotow i nazywa si hiperboloid dwupowBokow obrotow. Paraboloida eliptyczna. Paraboloida eliptyczna jest powierzchni stopnia drugiego okre[lon rwnaniem x2 y2 + = z, gdzie a, b > 0 . (10.35) a2 b2 Je[li a = b, to paraboloida ta jest powierzchni obrotow i nazywa si paraboloid obrotow. Paraboloida hiperboliczna. Paraboloid hiperboliczn nazywamy powierzchni o rwnaniu: x2 y2 - = z, gdzie a, b > 0 . (10.36) a2 b2 Paraboloida hiperboliczna jest powierzchni prostoliniow. Sto|ek. Powierzchni stopnia drugiego okre[lon wzorem x2 y2 z2 + - = 0 , (10.37) a2 b2 c2 58 gdzie a, b, c > 0 , nazywamy sto|kiem. Pocztek ukBadu wspBrzdnych jest wierzchoBkiem sto|ka. Je[li a = b, to sto|ek jest powierzchni obrotow i nazywa si sto|kiem obrotowym. Walec eliptyczny. Walcem eliptycznym nazywamy powierzchni okre[lon rwnaniem x2 y2 + = 1, gdzie a, b > 0 . (10.38) a2 b2 Je[li a = b, to walec ten jest powierzchni obrotow i nazywa si walcem obrotowym. Walec hiperboliczny. Powierzchni drugiego stopnia okre[lon rwnaniem x2 y2 - =1, gdzie a, b > 0 , (10.39) a2 b2 nazywamy walcem hiperbolicznym. Walec paraboliczny. Walec paraboliczny to powierzchnia stopnia drugiego, okre[lona rwnaniem: y2 = 2 px , (10.40) gdzie p jest dowolnym parametrem r|nym od zera. 59 Literatura 1. BiaBynicki-Birula A., Algebra liniowa z geometri, PWN, Warszawa 1976 2. BiaBynicki-Birula A., Algebra, PWN, Warszawa 1971. 3. Borsuk K., Geometria analityczna wielowymiarowa, PWN, Warszawa 1966. 4. Janowski W., Matematyka, t. I, II, PWN, Warszawa 1973. 5. Jefimow N.W., Rozendorn E.R., Algebra liniowa wraz z geometri wielowymiarow, PWN, Warszawa 1974. 6. Leitner R., Zarys matematyki wy|szej, cz. I, II, WNT Warszawa 1981. 7. Leja F., Geometria analityczna, PWN Warszawa 1977. 8. Minorski W.P., Zbir zadaD z matematyki wy|szej, WNT, Warszawa 1973 9. Mostowski A., Stark M., Algebra liniowa, PWN, Warszawa 1973. 10. Mostowski A., Stark M., Elementy algebry wy|szej, PWN, Warszawa 1975 11. Stankiewicz W., Zadania z matematyki dla wy|szych uczelni technicznych, Cz[ A, PWN, Warszawa 2003 12. Stark M., Geometria analityczna, PWN, Warszawa 1975. 13. Stark M., Geometria analityczna z wstpem do geometrii wielowymiarowej, PWN, Warszawa 1972. 14. Trajdos T., Matematyka cz. III, WNT 1993 15. Wrona W., Matematyka, cz. I, II, PWN, Warszawa 1971. 60

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
ALGEBRA Z GEOMETRIA I SEMESTR
Wstęp do algebry i geometrii
Algebra z geometrią analityczną listy zadań
Algebra z Geometrią Analityczną Ćw
Zadania z Algebry i Geometrii Dla Semestru I WEL
Dubrovina T , Dubrovin N Algebra i geometriya (Vladimir, 2002)(ru)(113s) MAl
Algebra z geometria zadania
Geometia i Algebra Liniowa
algebra kolokwium (geometria)
Doran Geometric Algebra & Computer Vision [sharethefiles com]
Doran New Advances in Geometric Algebra (2001) [sharethefiles com]

więcej podobnych podstron