P u b l i k a c j a o p r a c o w a n a p o d c z a s r e a l i z a c j i p r o j e k t u P l a n R o z w o j u P o l i t e c h n i k i C z s t o c h o w s k i e j
w s p Bf i n a n s o w a n e g o p r z e z U n i E u r o p e j s k w r a m a c h E u r o p e j s k i e g o F u n d u s z u S p o Be c z n e g o .
A L G E B R A Z G E O M E T R I
T a d e u s z K o n i k
S p i s t r e [c i
3
R o z d z i a B I . W i e l o m i a n y
1 . O w i e l o m i a n a c h i r w n a n i a c h a l g e b r a i c z n y c h 3
2 . F u n k c j e w y m i e r n e 4
6
R o z d z i a B I I . L i c z b y z e s p o l o n e
1 . O k r e [l e n i e i p o s t a k a n o n i c z n a l i c z b y z e s p o l o n e j 6
2 . M o d u B i s p r z |e n i e l i c z b y z e s p o l o n e j 8
3 . P o s t a t r y g o n o m e t r y c z n a l i c z b y z e s p o l o n e j 9
4 . P i e r w i a s t k o w a n i e l i c z b z e s p o l o n y c h 1 1
5 . P o s t a w y k Ba d n i c z a l i c z b y z e s p o l o n e j 1 4
1 5
R o z d z i a B I I I . M a c i e r z e , w y z n a c z n i k i i u k Ba d y r w n a D l i n i o w y c h
1 . M a c i e r z e 1 5
2 . W y z n a c z n i k i 1 8
3 . M a c i e r z o d w r o t n a , r z d m a c i e r z y 2 3
4 . U k Ba d y r w n a D l i n i o w y c h 2 6
3 3
R o z d z i a B I V . G e o m e t r i a a n a l i t y c z n a
1 . O p r z e s t r z e n i E u k l i d e s a 3 3
2 . E l e m e n t y r a c h u n k u w e k t o r o w e g o 3 4
3 7
3 . I l o c z y n s k a l a r n y w p r z e s t r z e n i R 3
3 9
4 . I l o c z y n w e k t o r o w y w p r z e s t r z e n i R 3
4 1
5 . I l o c z y n m i e s z a n y w p r z e s t r z e n i R 3
4 3
6 . P Ba s z c z y z n a w p r z e s t r z e n i R 3
4 7
7 . P r o s t a w p r z e s t r z e n i R 3
4 9
8 . P r o s t a i p Ba s z c z y z n a w p r z e s t r z e n i R 3
9 . O d l e g Bo [c i p u n k t u o d p Ba s z c z y z n y i p r o s t e j , o d l e g Bo [ p r o s t y c h s k o [n y c h 5 0
5 3
1 0 . P o w i e r z c h n i e w p r z e s t r z e n i R 3
2
I W I E L O M I A N Y
1 . O w i e l o m i a n a c h i r w n a n i a c h a l g e b r a i c z n y c h
N i e c h N b d z i e z b i o r e m l i c z b n a t u r a l n y c h p o s t a c i : N = { 0 , 1 , 2 , 3 , . . . } .
D e f i n i c j a 1 . 1 . F u n k c j r z e c z y w i s t o k r e [l o n w z o r e m
W n ( x ) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , g d z i e a n `" 0 , n " N , ( 1 . 1 )
n a z y w a m y w i e l o m i a n e m n - t e g o s t o p n i a z m i e n n e j x .
L i c z b y r z e c z y w i s t e a 0 , a 1 , . . . , a n n a z y w a m y w s p Bc z y n n i k a m i w i e l o m i a n u . W s p Bc z y n n i k a 0
n a z y w a m y w y r a z e m w o l n y m t e g o w i e l o m i a n u .
D z i e d z i n w i e l o m i a n u j e s t z b i r R l i c z b r z e c z y w i s t y c h .
J e [l i W n ( a ) = 0 , t o l i c z b r z e c z y w i s t a n a z y w a m y p i e r w i a s t k i e m w i e l o m i a n u W n ( x ) .
T w i e r d z e n i e 1 . 1 ( B z o u t a ) . L i c z b a a j e s t p i e r w i a s t k i e m w i e l o m i a n u w t e d y i t y l k o w t e d y , g d y
w i e l o m i a n t e n j e s t p o d z i e l n y p r z e z d w u m i a n x - a .
k k + 1
J e [l i w i e l o m i a n W n ( x ) j e s t p o d z i e l n y p r z e z ( x - a ) i n i e j e s t p o d z i e l n y p r z e z ( x - a ) , t o
l i c z b a n a z y w a m y k - k r o t n y m p i e r w i a s t k i e m t e g o w i e l o m i a n u . L i c z b k n a z y w a m y k r o t n o [c i
p i e r w i a s t k a a .
J e [l i x 1 , x 2 , . . . , x n s r |n y m i p i e r w i a s t k a m i w i e l o m i a n u W n ( x ) , t o w i e l o m i a n t e n m o |n a z a p i s a
w p o s t a c i
W n ( x ) = a n ( x - x 1 ) ( x - x 2 ) """ ( x - x n ) . ( 1 . 2 )
P r a w s t r o n r w n o [c i ( 1 . 2 ) n a z y w a m y p o s t a c i i l o c z y n o w w i e l o m i a n u .
J e [l i
W n ( x ) = 0 d l a d o w o l n e g o x " R ,
t o m w i m y , |e w i e l o m i a n t e n j e s t t o |s a m o [c i o w o r w n y 0 , c o z a p i s u j e m y : W n ( x ) a" 0 .
T w i e r d z e n i e 1 . 2 ( o r o z k Ba d z i e w i e l o m i a n u n a c z y n n i k i ) . K a |d y w i e l o m i a n W n ( x ) , k t r y n i e j e s t
t o |s a m o [c i o w o r w n y 0 , j e s t i l o c z y n e m c z y n n i k w c o n a j w y |e j d r u g i e g o s t o p n i a .
N i e c h W n ( x ) b d z i e w i e l o m i a n e m s t o p n i a s t o p n i a n e" 1 z m i e n n e j x .
D e f i n i c j a 1 . 2 . R w n a n i e p o s t a c i
W n ( x ) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 , ( 1 . 3 )
n a z y w a m y r w n a n i e m a l g e b r a i c z n y m s t o p n i a n l u b k r c e j , r w n a n i e m n - t e g o s t o p n i a .
T w i e r d z e n i e 1 . 3 . K a |d e r w n a n i e a l g e b r a i c z n e n - t e g o s t o p n i a m a c o n a j w y |e j n r |n y c h
p i e r w i a s t k w .
T w i e r d z e n i e 1 . 4 . J e [l i l i c z b a c a Bk o w i t a a `" 0 j e s t p i e r w i a s t k i e m r w n a n i a ( 1 . 3 ) o c a Bk o w i t y c h
w s p Bc z y n n i k a c h a 0 , a 1 , . . . , a n , t o a j e s t p o d z i e l n i k i e m w y r a z u w o l n e g o a 0 .
Z t w i e r d z e n i a t e g o w y n i k a :
W n i o s e k 1 . 1 . L i c z b a c a Bk o w i t a a `" 0 m o |e b y p i e r w i a s t k i e m r w n a n i a ( 1 . 3 ) o c a Bk o w i t y c h
w s p Bc z y n n i k a c h a 0 , a 1 , . . . , a n , j e [l i j e s t p o d z i e l n i k i e m w y r a z u w o l n e g o a 0 .
p
T w i e r d z e n i e 1 . 5 . J e [l i l i c z b a w y m i e r n a ( n i e s k r a c a l n a ) `" 0 j e s t p i e r w i a s t k i e m r w n a n i a ( 1 . 3 ) o
q
w s p Bc z y n n i k a c h c a Bk o w i t y c h a 0 , a 1 , . . . , a n , g d z i e a 0 " a n `" 0 , t o p j e s t p o d z i e l n i k i e m w y r a z u w o l n e g o
a 0 , n a t o m i a s t q p o d z i e l n i k i e m w s p Bc z y n n i k a a n .
Z p o w y |s z e g o t w i e r d z e n i a w y n i k a n a s t p u j c y w n i o s e k :
3
p
W n i o s e k 1 . 2 . L i c z b a w y m i e r n a ( n i e s k r a c a l n a ) `" 0 m o |e b y p i e r w i a s t k i e m r w n a n i a ( 1 . 3 ) o
q
w s p Bc z y n n i k a c h c a Bk o w i t y c h a 0 , a 1 , . . . , a n , g d z i e a 0 " a n `" 0 , j e [l i p j e s t p o d z i e l n i k i e m w y r a z u
w o l n e g o a 0 , n a t o m i a s t q p o d z i e l n i k i e m w s p Bc z y n n i k a a n .
2 . F u n k c j e w y m i e r n e
N i e c h V m ( x ) i W n ( x ) b d w i e l o m i a n a m i o d p o w i e d n i o s t o p n i m i n .
D e f i n i c j a 2 . 1 . F u n k c j p o s t a c i
V m ( x )
f ( x ) = , ( 2 . 1 )
W n ( x )
g d z i e w i e l o m i a n W n ( x ) n i e j e s t t o |s a m o [c i o w o r w n y 0 , n a z y w a m y f u n k c j w y m i e r n .
J e [l i m <