XLVIII KONFERENCJA NAUKOWA
KOMITETU INŻYNIERII L
DOWEJ I WODNEJ PAN
I KOMITETU NAUKI PZITB
Opole  Krynica 2002
Wiesław BARAN1
Bronisław J
DRASZAK1
STATYKA STANU BEZMOMENTOWEGO POWA
OKI
HIPERBOLOIDALNEJ
1. Wstęp
Dz
wigary powierzchniowe są to cienkościenne ustroje nośne ukształtowane według
określonej powierzchni. Jeżeli powierzchnia środkowa dz
wigara powierzchniowego jest
zakrzywiona pojedynczo lub podwójnie, to mówimy wtedy o powłoce. Do grupy powłok
obrotowych zaliczamy hiperboloidę jednopowłokową. W analizie statycznej powłok, która
jest przedmiotem niniejszego referatu, można wyróżnić dwa podstawowe zbiory obciążeń:
obciążenie symetryczne i obciążenie antysymetryczne. Analityczny sposób obliczania
powłoki, polega na sformułowaniu i rozwiązaniu równania różniczkowego powłok [1, 4]
w ramach różnych przybliżonych teorii. Zasadniczą przeszkodą na jaką natrafia się
w tradycyjnym podejściu, jest kształt równania rozwiązującego układ równań równowagi,
które dla większości powierzchni środkowych i sposobów obciążenia, jest równaniem
różniczkowym cząstkowym drugiego rzędu o współczynnikach funkcyjnych. Rozwiązanie
tego typu równania jest poszukiwane metodami numerycznymi. W pracy pokazano korzyści
wynikające z zastosowania do rozwiązywania powłok różnych parametryzacji. Podano
funkcje przejścia i wzajemne relacje pomiędzy parametrami krzywoliniowymi
występującymi w różnych parametryzacjach wprowadzonych na powierzchni środkowej
hiperboloidy. Dla przyjętych opisów powierzchni środkowej, dla obciążenia symetrycznego
i antysymetrycznego, przedstawiono rozwiązanie w postaci analitycznej opisujące siły
przekrojowe. Przybliżony charakter rozwiązania wynika z uwagi na uproszczenia stosowane
w teorii powłok [4], oparte na założeniach Kirhchoffa  Love a, a także ze względu na
wykorzystanie pojęcia uśrednienia [1].
2. Opis parametryzacji powierzchni środkowej
W celu rozwiązania układu równań równowagi dla parametryzacji krzywiznowej, w naszym
postępowaniu wprowadzimy na powierzchni środkowej jeszcze dwie parametryzacje:
prostokreślną i symetryczną. Równania wektorowe opisujące powierzchnię środkową dla
poszczególnych parametryzacji (rys. 1) mają postać:
1
Dr inż., Wydział Budownictwa Politechniki Opolskiej
20
r = acosh(u1 )[cos(u2 ) i + sin(u2 ) j]+ bo sinh(u1 )k , (1a)
r = a1[cos(u2 )i + sin(u2 )j]+ u1[cos(u2 +Ä… )i + sin(u2 +Ä… )j]cos ² +u1 sin ² k , (1b)
( s ) ( s )
a cos ² a sin ²
( s )
r = i + j - bo ctgÄ… k . (1c)
( s ) ( s )
sinÄ… sinÄ…
a) Parametryzacja krzywiznowa b) Parametryzacja prostokreślna
Opis oznaczeń występujących w równaniach
wektorowych (1a) do (1c) i na rysunku:
u1, u2  współrzędne krzywoliniowe,
u1 " R; u2 " )#0, 2 *#;
a  promień w przewężeniu,
a1 - promień podstawy,
bo  parametr,
Ä…, ² - parametry kÄ…towe,
( s ) ( s )
Ä… , ² - parametry dla parametryzacji
symetrycznej wyrażone zależnościami:
u1 + u2 ( s ) u1 - u2
Ä…( s ) = , ² = . (2)
c) Parametryzacja symetryczna
2 2
Rys. 1. Opis powierzchni środkowej w różnych parametryzacjach
Dla tak przyjętych parametryzacji, zostały określone wzajemne związki pomiędzy
parametrami i współrzędnymi krzywoliniowymi, wyrażone przez parametr przejścia:
( p )
1 cos(Õ )
( s )
µ = = sin(Ä… ) = , (3)
( p )
cosh( u1( k ) ) cos( ² )
gdzie: indeksy górne określają wielkości w odpowiednich parametryzacjach.
 21
W dalszych rozważaniach przyjmiemy oznaczenia:
- u1 ,u2  współrzędne krzywoliniowe występujące w parametryzacji krzywiznowej;
( p )
- ² ,Ä… ,Õ  kÄ…ty wystÄ™pujÄ…ce w parametryzacji prostokreÅ›lnej;
- ą  kąt występujący w parametryzacji symetrycznej.
Wtedy zależność trygonometryczna wiążąca wielkości kątowe w parametryzacji
symetrycznej i prostokreślnej, po przekształceniu zależności (3) napiszemy:
sin(Ä… ) = sin(Ä…)cos(² ). (4)
3. Rozwiązanie ogólne układu równań równowagi
W postępowaniu praktycznym dla parametryzacji krzywiznowej uogólnione siły
ij
przekrojowe N , będące rozwiązaniem umownego stanu błonowego, są wyznaczane
z układu równań, który po podstawieniu symboli Christoffela, oraz stosownych
przekształceniach dokonanych przy przejściu do wielkości fizycznych wzorami
transformacyjnymi przyjmie postać:
Ź Ź Ź
Å„Å‚
( g22 N11) + ( g11 N12) - ( g22 ) N22 + g g11 P1 = 0
,1 ,2 ,1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ Ź Ź
(g22N12) + g[(N22) + g22P2]= 0
ôÅ‚
,1 ,2
(5)
òÅ‚
ôÅ‚
Ź Ź
ôÅ‚µN11 + µN22 + P3 = 0
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
Otrzymany układ równań jest układem równań różniczkowych cząstkowych. Wprowadzając
do trzeciego równania układu ró wnań (5) związek między krzywiznami w postaci:
2
µ = -µtg (Ä… ) (6)
napiszemy:
1 P3
Ź Ź 2 Ź
N22 = - [µN11 + P3]= tg (Ä… )N11 - . ( 7)
µ µ
Podstawienie (7) do pierwszego równania układu (5), da po przekształceniach i zapis
kanoniczny najprostszy z możliwych:
ëÅ‚
g22 Ź öÅ‚ g22
Ź
ìÅ‚
N11 ÷Å‚ +( g22 N12) + F1 = 0 , (8)
,2
ìÅ‚
g11 ÷Å‚ g11
íÅ‚ Å‚Å‚,1
( g22 )
,1
gdzie: F1 = g11P1 + P3 , (9)
µ g22
22
Ź
natomiast wyrugowanie z dwó ch ostatnich równań układu (5) wielkości N22 , przy
wykorzystaniu (7) daje:
µ
Ź Ź
(g22 N12) - g(N11) - g F 2 = 0 . (10)
,1 ,2
µ
gdzie funkcję F2 określono w następujący sposób:
P,3
2
F 2 = - g22P2 . (11)
µ
Po obustronnym zróżniczkowaniu równań (8) i (10), a następnie wyrugowaniu drugiej
Ź
pochodnej z wyrażenia (g22 N12) , uzyskamy poszukiwane równanie rozwiązujące układ
,12
ró wnań równowagi w następującej postaci:
Å„Å‚
îÅ‚ëÅ‚ g22 öÅ‚ g22 Å‚Å‚üÅ‚ µ
ôÅ‚ ôÅ‚ Å„Å‚ üÅ‚
Ź Ź
ìÅ‚
ïÅ‚
g N11 ÷Å‚ + F1śłżł + g(N11) + g F 2żł = 0 (12)
òÅ‚ òÅ‚
22 ,2
ìÅ‚
ïÅ‚
g11 ÷Å‚ g11 śłôÅ‚ ółµ þÅ‚,2
ôÅ‚
Å‚Å‚,1
ðÅ‚íÅ‚ ûÅ‚þÅ‚,1
ół
Otrzymane ró wnanie jest ró wnaniem różniczkowym cząstkowym drugiego rzędu. Pokażemy
teraz możliwość dalszego uproszczenia tego równania, wykorzystując do tego celu
wzajemne powiązania z różnych parametryzacji. W tym celu, wykorzystując zależności: (3)
i (4) oraz podstawowe wzory geometrii różniczkowej. Określimy dla parametryzacji
krzywiznowej wielkości pomocnicze opisujące pierwiastki ze współczynników pierwszej
formy różniczkowej:
a
g11 = a ctg(Ä… ), g22 = ach(u1)= . (13)
sin(Ä…)
Tak przygotowane związki oraz ich zależności zapisane w różnych konfiguracjach, pozwolą
w procesie dalszego działania rozwiązującego na zmianę zmiennej z u1 na ą . Po
wykonaniu stosownych podstawień i przekształceń, otrzymano równanie:
îÅ‚ Å‚Å‚
g22
f,Ä…Ä… - f,22 = ïÅ‚ g22 tg(Ä… )F1śł -[g22 ctg(Ä… )F 2] , (14)
,2
a
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
,Ä…
gdzie funkcję f określono w następujący sposób:
Ź
f = g22 tg(Ä… )N11 . (15)
Jeśli założymy rozwiązanie o rozdzielonych zmiennych, to otrzymamy równanie
różniczkowe zwyczajne drugiego rzędu, o stałych współczynnikach:
 23
îÅ‚ Å‚Å‚
g22
f + f = ïÅ‚ g22 tg(Ä… )F1śł - [g22 ctg(Ä… )F 2] . (16)
,Ä…Ä… ,2
a
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
,Ä…
Uzyskane równanie pozwoli przedstawić pełne rozwiązanie analityczne zamknięte dla
dowolnych obciążeń, a porównanie z równaniem (12), daje wyobrażenie o korzyściach
uzyskanych po wprowadzeniu powiązań pomiędzy różnymi parametryzacjami.
4. Przypadek dowolnego obciążenia
Jeżeli wektor P w układzie odniesienia ma składowe X ,Y ,Z i są to odpowiednie funkcje
obciążenia, to z równości:
P = X i + Y j+ Z k = P1 r1 + P2 r2 + P3 m , (17)
wyznaczymy składowe P1 ,P2 ,P3 w bazach lokalnych. Po rozwiązaniu odpowiednich
układów równań, otrzymuje się;
1
P1 = [Xa sinh(u1)cos(u2)+ Ya sinh(u1)sin(u2)+ Zb0 cosh(u1)],
g11
1
P2 = [- X sin(u2)+ Y cos(u2)], (18)
g22
g22 b0 2 b0
îÅ‚
P3 = X cos(u )- Y sin(u2)+ Z tanh(u1)Å‚Å‚ .
ïÅ‚- a śł
a
g ðÅ‚ ûÅ‚
5. Rozwiązanie dla obciążenia symetrycznego
Symetryczny sposób obciążenia płaszcza powłoki przy uwzględnieniu np. oddziaływaniem
ciężarem własnym, będzie występował przy ustawieniu powłoki równolegle do kierunku
grawitacji. Wtedy składowe wektora obciążenia: P1,P2 ,P3 będą określone wyrażeniami:
cosh(u1) ctg(² )tanh
P1 = Zb0 , P2 = 0 , P3 = Z (u1). (19)
g11 cos(Ä… )
Równanie rozwiązujące (14) dla symetrycznego sposobu obciążenia po podstawieniu opisó w
(19) do (9) i (11) napiszemy:
ëÅ‚
g22 Ź öÅ‚
ìÅ‚
N11 ÷Å‚ = -Z g ctg(² ). (20)
ìÅ‚
g11 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚,1
Rozwiązanie równania (20) jest rozwiązaniem na etapie całki szczególnej dla przypadku
obciążenia symetrycznego. Siły przekrojowe otrzymamy wykonując proste całkowania
i przekształcenia wyprowadzonych równań. Wtedy:
24
1
Ź Ź Ź Ź
N11 = -P , N12 = 0 , N22 = N11tan2(Ä… )- P3 , (21)
µ
gdzie: P  jest funkcją określoną w następujący sposób:
Å„Å‚
Za 1 ôÅ‚îÅ‚ 1 cos4(²)tanh - CôÅ‚ctg(Ä… ) (22)
P = (u1)Å‚Å‚ üÅ‚
żł
śł
2 sin(² ) cosh2(u1)òÅ‚ïÅ‚sinh(u )cosh(u1)+ u1 sin2(²)- 4
ôÅ‚ðÅ‚ ôÅ‚
ûÅ‚
ół þÅ‚
natomiast C jest stałą wyznaczoną z warunku na brzegu swobodnym z zależności:
Ź Ź
N11(u1 = uk )= N11( k ) . (23)
6. Rozwiązanie dla obciążenia antysymetrycznego
Rozwiązanie dla antysymetrycznego sposobu obciążenia płaszcza powłoki przy
uwzględnieniu np. wpływu ciężaru własnego otrzymamy obliczając powłokę jako wspornik.
Wtedy składowe wektora obciążenia P1 ,P2 ,P3 będą określone wyrażeniami:
sin(² )
2 2 2
g11P1 = Ya sinh(u1)sin(u ), g22 P2 = Ya cosh(u1)cos(u ), P3 = -Y sin(u ). (24)
cos(Ä… )
Równanie rozwiązujące (16) napiszemy w następującej postaci:
f,Ä…Ä… + f = -2Yg22 g22 ctg(Ä… )sin(u2). (25)
Funkcja f , jako rozwiązanie równania (25) będzie określona wzorem:
a3 *
f = Y f sin(u2), (26)
cos(² )
*
f = sin(Ä…)
+"cos(Ä…)h(Ä…)dÄ… - cos(Ä…)+"sin(Ä…)h(Ä…)dÄ… + C1cos(Ä…)+ C2 sin(Ä…)
gdzie: *  oznacza rozwiązanie będące funkcją jednej zmiennej, natomiast funkcję
h(ą)określa wzór:
1
2
h(Ä…)= 1- (sin(Ä…)cos(² )) . (27)
sin4(Ä…)
Zestawienie wzorów opisujących siły przekrojowe dla antysymetrycznego sposobu
obciążenia:
2
f du
f ,Ä… P3
+"
Ź Ź 2 Ź 2 Ź
N11 = ctg(Ä… ), N12 = sin (Ä…), N = tg (Ä… )N11 - . (28)
22
2
g22 µ
a
 25
7. Przykład zastosowania
Dla otrzymanego rozwiązania, przeprowadzono przykładowe obliczenia. Przyjęto
żelbetową powłokę hiperboloidalną o wysokości: z = 113 m, kształtowaną z
przeznaczeniem na płaszcz chłodni kominowej. Założono beton klasy B35, natomiast
grubość ścianki przyjęto: 2h = 0,20 m. Obliczenia wykonano wykorzystując własne
procedury obliczeniowe zapisane w języku FORTRAN, dla któ rych algorytmem
zapisanym w języku naturalnym jest przedstawione rozwiązanie. Na załączonych
wykresach przedstawiono wartości sił przekrojowych. Ze wzglę du na charakter
rozwiÄ…zania, dla stanu symetrycznego  S przedstawiono wykresy dla pojedynczych
południkó w (rys. 2), natomiast dla stanu antysymetrycznego przedstawiono wykresy
przestrzenne (rys. 3a, 3b, 3c).
Ź
N11 [kN/m]
[°]
u2
z,[ m]
Max (0 [m], 90[°]) = 937.7 [kN/m]
Rys. 2.
Min (0 [m], 270[°]) = -937,7 [kN/m] Rys. 3a.
Ź Ź
N12 , [kN/m] N22 , [kN/m]
z,[ m] [°] z,[ m ] [°]
Max (0 [m], 180[°]) = 530.9 [kN/m] Max (0 [m], 90[°]) = 296.3 [kN/m]
Rys. 3b. Rys. 3c.
Min (0 [m], 0[°]) = - 530.9 [kN/m] Min (0 [m], 270[°]) = - 296.3 [kN/m]
Ź
Rys. 2. Siły przekrojowe Nij dla symetrycznego stanu obciążenia
Ź
Rys. 3. Siły przekrojowe Nij dla antysymetrycznego stanu obciążenia:
Ź Ź Ź
Rys. 3a. Siły N11 , Rys. 3b. Siły N12 , Rys. 3c. Siły N22
26
8. Podsumowanie
Wybór na powierzchni środkowej odpowiedniej parametryzacji umożliwia uproszczenia
rachunkowe na różnym etapie rozwiązywania powłoki. Wynikają one z opisu geometrii
powierzchni środkowej. Znajomość funkcji przejścia i wzajemnych relacji pomiędzy
poszczególnymi współrzędnymi w wykorzystywanych parametryzacjach umożliwiła
uproszczenie równań rozwiązujących powłokę hiperboloidalną. Dla równań równowagi
uzyskano równanie rozwiązujące cząstkowe drugiego rzędu. Dokonując rozdzielenia
zmiennych otrzymano równanie różniczkowe zwyczajne drugiego rzędu o stałych
współczynnikach  równanie (16). Rozwiązanie zapisane w ogó lnej postaci zostało
przedstawione dla dowolnego sposobu obciążenia. Dla obciążenia symetrycznego
i antysymetrycznego po obwodzie podano rozwiązanie w postaci zamkniętej opisujące siły
Ź
przekrojowe  wzory (21) i (28). Prosta forma opisu sił przekrojowych przedstawiona
w sposób analityczny i zawarta w zbiorze funkcji elementarnych bardzo ułatwia obliczenia
inżynierskie. Otrzymane rozwiązania analityczne mogą służyć jako narzędzie do testowania
rozwiązań numerycznych i budowania niezależnych programów na EMC.
Literatura
[1] BIELAK S., Nieliniowa teoria powłok, cz. II, Wyższa Szkoła Inżynierska w Opolu,
Studia i Monografie, zeszyt 83, Opole 1995.
[2] KONDERLA P., Mechanika ciała odkształcalnego o narastającej masie, Politechnika
Wrocławska, seria: Monografie, zeszyt 11, Wrocław 1986.
[3] KRAWCZYK J., Teoria powłok. Ujęcie symetryczne nieliniowości geometrycznej,
Wyższa Szkoła Pedagogiczna w Opolu, Studia i Monografie, zeszyt 212, Opole 1993.
[4] WOy
NIAK Cz., Nieliniowa teoria powłok, Państwowe Wydawnictwo Naukowe,
Warszawa 1966.
[5] WOy
NIAK Cz., Podstawy nieliniowej mechaniki powłok, Polska Akademia Nauk,
IPPT, PWN Warszawa 1978.
STATICS OF MEMBRANE STATE
OF HYPERBOLOIDAL SHELL
Summary
Interdependences between descriptions of state of stress, based on various parametrizations
introduced for middle surface of shell are discussed in the paper. Complete analitic solutions
for symmetric and antisymmetric load, obtained using various parametrizations are
presented. Practical simplifications for obtained results of system of balance equations that
result from utilization of particular parametrizations are discussed.