Procesy stochastyczne
7. Rozkłady stacjonarne
Ćw. 7.1 (J. S., str. 287) (Model Ehrenfestów) k cząsteczek rozmieszczono losowo w dwóch na-
czyniach (I i II). W chwili n losowo wybraną cząsteczkę przenosi się z naczynia, w którym
była, do drugiego. Jeśli w pewnej chwili w naczyniu I jest m > 0 cząsteczek (układ jest w
stanie m), to w chwili następnej układ znajdzie się w stanie m - 1 lub m + 1, zależnie od
tego czy cząsteczka przeszła z naczynia I do II, czy odwrotnie. Znajdz
rozkład stacjonarny.
Z jaką częstością naczynie I jest puste?
Ćw. 7.2 (J. S., Zad. 1 str. 297) W pudełku A jest 6 kul ponumerowanych liczbami od 1 do 6,
w pudełku B  ani jednej. Wykonano 100 000 rzutów kostką i po każdym rzucie przekładano
kulę z wylosowanym numerem do drugiego pudełka. Jaka jest (mniej więcej) szansa, że
pudełko B jest puste?
Ćw. 7.3 (F., Zad. 6 str. 348) Pierwszy wiersz macierzy P ma postać {p1, p2, ...}. W pozostałych
wierszach pj,j-1 = 1, a pozostałe wyrazy są zerami. Przedyskutuj charakter tego łańcucha
i znajdz
rozkład stacjonarny, jeżeli taki istnieje.
Ćw. 7.4 (F., Zad. 9 str. 348) (Dwa ekrany odbijające) A
ańcuch o stanach 1, 2, ..., a ma macierz,
której pierwszym i ostatnim wierszem są odpowiednio (q, p, 0, ..., 0) oraz (0, ..., 0, q, p). We
wszystkich pozostałych wierszach pk,k+1 = p, pk,k-1 = q. Znajdz
rozkład stacjonarny. Czy
ten łańcuch może być okresowy?
Ćw. 7.5 (B., Przykład 5. str. 169) Przypuśćmy, że dwaj szachiści A i B zachowują się w tur-
nieju w następujący sposób: szachista A, niezależnie od wyników poprzednich partii, każdą
partię wygrywa z prawdopodobieństwem p, przegrywa z prawdopodobieństwem q i remisuje
z prawdopodobieństwem r = 1 - p - q. Szachista B jest mniej zrównoważony: wygrywa
partiÄ™ z prawdopodobieÅ„stwem p + µ, p i p - µ odpowiednio, jeżeli poprzedniÄ… partiÄ™ wygraÅ‚,
zremisował, przegrał. Analogicznie zachowuje się prawdopodobieństwo przegranej: jest ono,
w tych trzech przypadkach odpowiednio równe q - µ, q, q + µ. Który z graczy A i B zbierze
więcej punktów w długotrwałym turnieju? Znajdz
średnią częstość przegranej gracza B.