ZAKA
AD STATYKI I BEZPIECZEC
STWA BUDOWLI
INSTYTUT INŻYNIERII L
DOWEJ
POLITECHNIKA WROCA
AWSKA
RUSZT BELKOWY
METODA SIA

SPIS TREÅšCI
SPIS TREÅšCI
1. PRZYJ
CIE UKA
ADÓW WSPÓA
RZ
DNYCH .............................................................................. 2
2. OBLICZENIE STOPNIA STATYCZNEJ NIEWYZNACZALNOÅšCI I DOBRANIE UKA
ADU
PODSTAWOWEGO METODY SIA
........................................................................................................... 2
3. BUDOWA UKA
ADU RÓWNAC
METODY SIA
............................................................................. 3
3.1 Postać ogólna układu równań metody sił ................................................................... 3
3.2 Obliczenie współczynników układu równań ............................................................... 4
4. WYNIKI ROZWI
ZANIA UKA
ADU RÓWNAC
METODY SIA
.................................................. 9
5. OBLICZENIE RZECZYWISTYCH MOMENTÓW ZGINAJ
CYCH I SIA
TN
CYCH ............. 9
6. ROZWI
ZANIE RUSZTU Z WYKORZYSTANIEM PROGRAMU STRAINS........................... 11
© 2000 dr inż. Róża SIENIAWSKA
[e-mail]
WBLiW statyka sem. V Ruszt belkowy  metoda sił  przykład
ZADANIE: Stosując metodę sił rozwiązać ruszt belkowy o schemacie i obciążeniu jak na
rysunku.
78
9
EI EI
q
a
4
5 6
EI EI
a
1
23
EI
EI
a
a
1. PRZYJ
CIE UKA
ADÓW WSPÓA
RZ
DNYCH
Przy rozwiązywaniu przestrzennych układów konstrukcyjnych niezbędne jest przyjęcie
globalnego układu współrzędnych dla całego układu oraz lokalnych układów współrzędnych
dla poszczególnych elementów (prętów). Przyjmujemy prawoskrętne układy współrzędnych,
lokalne układy współrzędnych przyjmiemy tak, aby znaki sił przekrojowych były takie jak
w układach płaskich (dodatnie momenty zginające odpowiadają rozciąganiu włókien dolnych).
Y
q
78
9
x EI EI x
Z
y y
z z
y a
z
4
5
6
EI
x EI x
y y
z z
a
y
z
1 X
23
x x
EI EI
y y
z z
a
a
2. OBLICZENIE STOPNIA STATYCZNEJ NIEWYZNACZALNOÅšCI
I DOBRANIE UKA
ADU PODSTAWOWEGO METODY SIA

W rusztach belkowych tzn. belkach połączonych między sobą przegubami przez które
przekazywana jest tylko siła pionowa i obciążonych tylko obciążeniami działającymi
prostopadle do płaszczyzny układu, stopień statycznej niewyznaczalności układu obliczamy ze
wzoru:
strona 2
EI
5
.
0
I
E
.5
0
x
EI
5
0.
I
E
x
5
0.
WBLiW statyka sem. V Ruszt belkowy  metoda sił  przykład
nh = e - 2 Å" lb ,
gdzie e jest liczbą więzi elementarnych łączących belki między sobą i z podłożem, w których
reakcje nie są równe zeru z założenia (nie uwzględniamy więzi, w których reakcje są równe
zeru z założenia to jest więzi w płaszczyz
nie układu i więzi odpowiadających momentom
skręcającym - w rusztach belkowych występują tylko momenty zginające i siły tnące), lb jest
liczbÄ… belek "sztywnych".
Na rysunku poniżej zaznaczono różnymi kolorami belki "sztywne" i więzi elementarne.
.
e=1
78
9
e=1
e=1
4 e =1
56
e=2
e =1
e=1
1
23
EI
e =1
e =1
W naszym zadaniu: e = 10, lb =4 (prÄ™ty 1-3, 4-6, 7-9 i 2-8), nh = 10 - 2 Å" 4 = 2.
Układ podstawowy metody sił pokazany na rysunku poniżej przyjęto zastępując więz

odpowiadajÄ…cÄ… momentowi zginajÄ…cemu w przekroju 5 belki 2-8 niewiadomymi momentami
X1 i więz
odpowiadajÄ…cÄ… momentowi na podporze 4 niewiadomym momentem X2.
78
9
X2
56
4
1
23
EI
3. BUDOWA UKA
ADU RÓWNAC
METODY SIA

3.1 Postać ogólna układu równań metody sił
strona 3
1
X
1
X
WBLiW statyka sem. V Ruszt belkowy  metoda sił  przykład
´11 X1 + ´12 X + "F = 0
2 1
´ X1 + ´ X + "F = 0
21 22 2 2
3.2 Obliczenie współczynników układu równań
Współczynniki przy niewiadomych układu równań obliczymy ze wzoru (z uwzględnieniem
więzi sprężystych - drugi człon, których w rozwiązywanym przykładzie brak)
i j
i
M M
Rn Rnj
y y
´ij = ds +
EI kn
n
s y
wyrazy wolne od obciążeń siłami ze wzoru
i F
F
M M
RniRn
y y
"F = ds +
i
EI kn
n
s y
i F
gdzie M , M są momentami zginającymi w układzie podstawowym wywołanymi
y y
F
odpowiednio siłami hiperstatycznymi X = 1 oraz obciążeniem danym, Rni , Rn są siłami
i
w n-tej więzi sprężystej wywołanymi odpowiednio siłami hiperstatycznymi X = 1 oraz
i
obciążeniem danym, kn jest sztywnością n-tej więzi sprężystej.
3.2.1 Rozwiązanie układu podstawowego od obciążenia X1 = 1.
Zauważmy, że belka 2-5-8 (z przegubem w punkcie 5) opiera się na belkach 1-3, 4-6 oraz 7-9.
Można więc najpierw rozwiązać belkę 2-5-8 na 3 podporach a następnie pozostałe belki
obciążone odpowiednimi jej reakcjami. Ze względu na prostotę obliczeń pominięto je.
Uwaga: Momenty zginające odkładamy zawsze po stronie włókien rozciąganych, znaki
wynikają z przyjętych lokalnych układów współrzędnych.
X1=1
- X1=1
-
8
2
5
1/a
1/a
2/a
1/a
0.5
1 lub 7 3 lub 9
- 2 lub 8-
0.5/a
0.5/a
strona 4
WBLiW statyka sem. V Ruszt belkowy  metoda sił  przykład
2/a
5
6
4
+ +
1
1/a
1/a
Wykres momentów zginających, po złożeniu rozwiązań poszczególnych belek, przedstawiono
na rysunku poniżej
0.5
78 - 9
-
-
1
5 6
4
My1
+
+
1
0.5
1
- 2 - 3
Odpowiedni wykres sił tnących pokazano poniżej
0.5/a
-
78
9
+
1/a
0.5/a
1/a
-
+
5 6
4
Vz1
+
- 1/a
0.5/a
1/a
-
1
23
+
0.5/a
3.2.2 Rozwiązanie układu podstawowego od obciążenia X = 1
2
Sposób postępowania jest analogiczny jak w przypadku obciążenia X1=1. Ze względu na brak
obciążenia belki 2-5-8 a więc i 1-3 oraz 7-9 w tym przypadku momenty zginające i siły tnące
wystąpią tylko na belce 4-6 (wykresy poniżej).
strona 5
1
=
1
X
=1
1
X
WBLiW statyka sem. V Ruszt belkowy  metoda sił  przykład
78
9
0.5
1
X2=1
-
56
-
4
My2
1
23
EI
78
9
56
4
Vz2
+
0.5/a
1
23
EI
3.2.3 Rozwiązanie układu podstawowego od obciążenia danego
Obciążona jest belka 2-5-8 a jej reakcje obciążają pozostałe belki.
5 8
2
qa2/8
+
0
qa/2
qa/2
qa/2
4 lub 7 5 lub 8 6 lub 9
qa2/4
+
qa/4 qa/4
Wykres momentów zginających, po złożeniu rozwiązań poszczególnych belek, przedstawiono
na rysunku poniżej
strona 6
WBLiW statyka sem. V Ruszt belkowy  metoda sił  przykład
7 8
9
+
qa2/4
qa2/8
+
5
6
4
+
MyF
qa2/4
1
23
Odpowiedni wykres sił tnących przedstawia rysunek
0.5qa
0.25qa
- -
8
9
7
+ 0.25qa
0.25qa
0.25qa
-
5 6
4
+ VzF
+
0.5qa
1
23
3.2.4 Obliczenie współczynników macierzy podatności
Skorzystamy ze wzorów uproszczonego całkowania - wzoru Simpsona i wzoru Mohra-
Wereszczagina.
1 1
M M
y y
´11 = ds =
EI
s y
1 1 1 2 1 1 1 2
= Å" a Å" - -
Å" Å" Å" 2 Å" 2 + Å" a Å"1Å" Å"1 Å" 2 +
EI 2 2 3 2 EI 2 3
y y
1 1 2 7a
+ Å" a Å"(-1)Å" Å"(-1) Å" 2 =
0.5EI 2 3 3EI
y y
1 2
M M
y y
´12 = ´ = ds =
21
EI
s y
a 3 1 1 1 1 1 2
= (-1)Å" 0 + 4 Å" - -
Å" + Å"1 + Å" a Å" -
Å" Å"1 =
6EI 4 2 2 EI 2 2 3
y y
- a
=
2EI
y
strona 7
WBLiW statyka sem. V Ruszt belkowy  metoda sił  przykład
2 2
M M
y y
´ = ds =
22
EI
s y
a 3 3 1 1
= (-1)Å"(-1)+ 4 Å" - - - -
Å" + Å" +
6EI 4 4 2 2
y
1 1 1 2 1 2a
+ Å" a Å" - -
Å" Å" =
EI 2 2 3 2 3EI
y y
Macierz podatności
7 1
-
a
3 2
D =
1 2
EI
y
-
2 3
3.2.5 Obliczenie wyrazów wolnych układu równań metody sił
1 F
M M
y y
"F = ds =
1
EI
s y
1 1 2 qa2 1 1 1 2 qa2
= Å" a Å"1Å" Å" Å" 2 + Å" a Å" -
Å" Å" Å" 2 +
EI 2 3 4 EI 2 2 3 4
y y
a 1 qa2 0 Å" a3
+ 0 Å" 0 + 4 Å" -
Å" + (-1)Å" 0 =
6 Å" 0.5EI 2 8 EI
y y
2 F
M M
y y
"F = ds =
2
EI
s y
a 3 qa2 1 qa2
= (-1) Å"0 + 4Å" -
Å" + -
Å" +
6EIy 4 8 2 4
1 1 1 2 qa2 - qa3
+ Å" a Å" -
Å" Å" =
EIy 2 2 3 4 8EIy
3.2.6 Postać szczegółowa układu równań metody sił
7a a qa3
X1 - X + 0 Å" = 0
2
3EI 2EI EIy
y y
a 2a qa3
- X1 + X - = 0
2
2EI 3EI 8EI
y y y
strona 8
WBLiW statyka sem. V Ruszt belkowy  metoda sił  przykład
4. WYNIKI ROZWI
ZANIA UKA
ADU RÓWNAC
METODY SIA

9 21
X1 = qa2 = 0.0479qa2 , X = qa2 = 0.2234qa2
2
188 94
5. OBLICZENIE RZECZYWISTYCH MOMENTÓW ZGINAJ
CYCH I SIA

TN
CYCH
Rzeczywiste momenty zginajÄ…ce obliczymy wykorzystujÄ…c zasadÄ™ superpozycji:
1 2 F
M = M Å" X1 + M Å" X + M
y y y 2 y
X
0,047872 0,223404
i
*qa2 *qa2
1 2 F
M
Moment M M M
y y y y
[-] [-]
[qa2] [qa2]
M
0000
12
M -0,5 0 0 -0,023936
21
M
-0,5 0 0 -0,023936
23
M
0000
32
M
0 -1 0 -0,22340
45
M
1 -0,5 0,25 0,18617
54
M
1 -0,5 0,25 0,18617
56
M
0000
65
M
0000
78
M -0,5 0 0,25 0,22606
87
M
-0,5 0 0,25 0,22606
89
M
0000
98
M
0000
25
M -1 0 0 -0,047872
52
M
-1 0 0 -0,047872
58
M
0000
85
M -0,5 0 0,125 0,10106
58 w śr
Wykres momentów zginających przedstawiono na rysunku poniżej:
strona 9
WBLiW statyka sem. V Ruszt belkowy  metoda sił  przykład
7 8
9
0.226qa2
+
-0.019qa2
-0.223qa2 0.101qa2
-0.048qa2
-
56
4
+
My
0.186qa2
-0.024qa2
1
23
Siły tnące obliczamy analogicznie
Vz = Vz1 Å" X1 + Vz2 Å" X +VzF
2
Vz1
X
0,047872 0,223404
i
*qa2 *qa2
Siła tnąca Vz
Vz1 Vz2 VzF
[1/a] [1/a] [qa] [qa]
V
-0,5 0 0 -0,023936
12
V
-0,5 0 0 -0,023936
21
V
0,5 0 0 0,02394
23
V
0,5 0 0 0,02394
32
V
1 0,5 0,25 0,40957
45
V
1 0,5 0,25 0,40957
54
V
-1 0,5 -0,25 -0,18617
56
V
-1 0,5 -0,25 -0,18617
65
V
-0,5 0 0,25 0,22606
78
V
-0,5 0 0,25 0,22606
87
V
0,5 0 -0,25 -0,226064
89
V
0,5 0 -0,25 -0,226064
98
V
-1 0 0 -0,047872
25
V
-1 0 0 -0,047872
52
V
1 0 0,5 0,54787
58
V
1 0 -0,5 -0,452128
85
Wykres sił tnących pokazuje rysunek
strona 10
WBLiW statyka sem. V Ruszt belkowy  metoda sił  przykład
-0.452qa
-0.226qa
- -
0.226qa
7 8
9
+
-0.186qa
-
6
5
4
-0.048qa
+
Vz
0.410qa
+
0.548qa
-0.024qa
1 3
2
0.024qa
6. ROZWI
ZANIE RUSZTU Z WYKORZYSTANIEM PROGRAMU STRAINS
Poniżej zamieszczono wydruk danych i wyników (zbiór mgr.wyn)
***S Y S T E M mikro - S T R A I N S***
***UZYTKOWNIK : Inst. Inz. Ladowej Polit. Wroclawskiej
0 ST 'Ruszt belkowy - prd '
1 TYP RTB
2 W 9 EL 8
3 SCH 0
4 WSP
5 1 0.00000 0.00000
6 2 1.00000 0.00000
7 3 2.00000 0.00000
8 4 0.00000 1.00000
9 5 1.00000 1.00000
10 6 2.00000 1.00000
11 7 0.00000 2.00000
12 8 1.00000 2.00000
13 9 2.00000 2.00000
14 TOP
15 1 1 2
16 2 2 3
17 3 4 5
18 4 5 6
19 5 7 8
20 6 8 9
21 7 2 5
22 8 5 8
23 WP 1
24 8
25 M
26 E IY A
27 1 do 6
28 WARTOSCI
29 1 1 100000
30 POZOSTALE
31 1 0.5 100000
32 PDP
33 1,7
34 ZWK Z
35 3,6,9
36 ZWK Z
strona 11
WBLiW statyka sem. V Ruszt belkowy  metoda sił  przykład
37 4
38 ZNY
39 OPOB ' Obciazenie q wsp= 1.000 1.000 '
40 PR
41 8
42 Z
43 -1
44 WYN
45 OBL
46 stop
***S Y S T E M mikro - S T R A I N S***
***UZYTKOWNIK : Inst. Inz. Ladowej Polit. Wroclawskiej
R U S Z T B E L K O W Y
3. OPIS CHARAKTERYSTYK KONSTRUKCJI
TYP :RUSZT BL
WEZLOW : 9
ELEMENTOW : 8
TYTUL :"Ruszt belkowy - prd
"
ELEMENT OPIS
NR KON."1" KON."2" SIN COS L E IY
1 1 2 0.00000 1.00000 1.000 1. 1.000
2 2 3 0.00000 1.00000 1.000 1. 1.000
3 4 5 0.00000 1.00000 1.000 1. 1.000
4 5 6 0.00000 1.00000 1.000 1. 1.000
5 7 8 0.00000 1.00000 1.000 1. 1.000
6 8 9 0.00000 1.00000 1.000 1. 1.000
7 2 5 1.00000 0.00000 1.000 1. 0.5000
8 5 8 1.00000 0.00000 1.000 1. 0.5000
INNE DANE NUMERYCZNE :
SZEROKOSC POLPASMA (MAX["2"-"1"]= 3+1)*3= 12
SZEROKOSC BLOKU Z ROWNANIAMI = 27
ROZMIAR BLOKU Z ROWNANIAMI = 172
LICZBA BLOKOW = 1
LICZBA ROWNAN = 27
POTRZEBNA WIELKOSC OBSZARU ROBOCZEGO = 23 K BYTE'OW
PODPORY
WEZEL NR ZAMOCOWANIE W KIERUNKU SPREZYSTOSC
1Z
7Z
3Z
6Z
9Z
4 YZ XZ Z
4. OPIS OBCIAZEN
TYTUL : " Obciazenie q wsp= 1.000 1.000
"
OBCIAZENIA PRETOW :
PRET OBCIAZENIE WIELKOSCI
NR KIERUNEK TYP W1 A1 W2 A2
8 Z-GL PROS -1.00000
5. WYNIKI
strona 12
WBLiW statyka sem. V Ruszt belkowy  metoda sił  przykład
PRZEMIESZCZENIA
WEZEL NR FIX FIY UZ
1 0.00000 -0.01197 0.00000
2 -0.03546 0.00000 0.00798
3 0.00000 0.01197 0.00000
4 0.00000 0.00000 0.00000
5 -0.08333 0.01862 -0.04344
6 0.00000 -0.07447 0.00000
7 0.00000 0.11303 0.00000
8 0.03546 0.00000 -0.07535
9 0.00000 -0.11303 0.00000
SILY I MOMENTY
NR "1" "2" MY"1" MY"2" PZ"1" PZ"2"
1 1 2 0.00000 -0.02394 -0.02394 -0.02394
2 2 3 -0.02394 0.00000 0.02394 0.02394
3 4 5 -0.22340 0.18617 0.40957 0.40957
4 5 6 0.18617 0.00000 -0.18617 -0.18617
5 7 8 0.00000 0.22606 0.22606 0.22606
6 8 9 0.22606 0.00000 -0.22606 -0.22606
7 2 5 0.00000 -0.04787 -0.04787 -0.04787
8 5 8 -0.04787 0.00000 0.54787 -0.45213
0.500 0.10106 0.04787
REAKCJE
WEZEL NR Z YZ XZ
1 -0.02394
7 0.22606
3 -0.02394
6 0.18617
9 0.22606
4 0.40957 -0.22340 0.00000
KONTROLA ROWNOWAGI
KIERUNEK OBCIAZENIA REAKCJE
YZ -1.50000 1.50000
XZ 1.00000 -1.00000
Z -1.00000 1.00000
KONIEC OBLICZEN
Uwaga: W systemie STRAINS lokalne układy współrzędnych przyjmowane są automatycznie
jak na rys. poniżej.
Y
y y
z z
78
9
x x
EI EI
Z z
x
y
a
y y
z z
4
5
6
x
x
EI
EI
z
x
y
a
y y
z z
1 X
23
x x
EI EI
a
a
strona 13
I
E
.5
0
I
E
5
0.
WBLiW statyka sem. V Ruszt belkowy  metoda sił  przykład
W systemie SRAINS stosowana jest odwrotna do stosowanej na wykładzie i ćwiczeniach
umowa znakowania sił przekrojowych tzn. na płaszczyz
nie przekroju, dla której zewnętrzny
wektor normalny ma zwrot zgodny z osią x (dodatnia strona, koniec pręta), dodatnie siły
przekrojowe mają zwroty niezgodne ze zwrotami odpowiednich osi lokalnego układu
współrzędnych.
Ponieważ zwroty lokalnych osi y i z przyjęte w systemie STRAINS są odwrotne niż przyjęte
wcześniej do obliczeń "odręcznych" i odwrotna jest też stosowana umowa znakowania sił
przekrojowych otrzymaliśmy pełną zgodność wartości i znaków sił przekrojowych.
strona 14